Проект на тему: "Незвичайні методи множення". Науково-дослідна робота «Незвичайні способи множення Методика множення поділу багатозначних чисел

другий спосіб множення:

На Русі селяни не застосовували таблиці множення, але чудово вважали добуток багатозначних чисел.

На Русі, починаючи з давніх-давен і майже до вісімнадцятогостоліття, російські люди у своїх обчисленнях обходилися без множення іподілу. Вони застосовували лише дві арифметичні дії – додавання тавіднімання. Та ще так зване «подвоєння» та «роздвоєння». Алепотреби торгової та іншої діяльності вимагали вироблятимноження досить великих чисел, як двоцифрових так і трицифрових.І тому існував свій особливий спосіб множення таких чисел.

Сутність старовинного російського способу множення у тому, щомноження будь-яких двох чисел зводилося до ряду послідовних поділіводного числа навпіл (послідовне роздвоєння) за одночасногоподвоєння іншого числа.

Наприклад, якщо у творі 24 ∙ 5 множинне 24 зменшити у дварази (подвоїти), а множинне збільшити удвічі (подвоїти), тобто. взятитвір 12 ∙ 10, то твір залишається рівним числу 120. Цевластивість твору помітили наші далекі предки та навчилисязастосовувати його при множенні чисел своїм особливим старовинним російськимспособом множення.

Помножимо цим способом 32 ∙ 17.
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙544 Відповідь: 32 ∙ 17 = 544.

У розібраному прикладі поділ на два – "роздвоєння" відбуваєтьсябез залишку. А як бути, якщо множник не ділиться на два без залишку? Іце здавалося під силу древнім обчислювачам. У цьому випадку чинили так:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Відповідь: 357.

З прикладу видно, що якщо множина не ділиться на два, то від неїспочатку забирали одиницю, потім отриманий результат роздвоювали» і так5 остаточно. Потім усі рядки з парними множинними викреслювали (2-а, 4-а,6-а і т.д.), а всі праві частини рядків, що залишилися, складали і отримувалишуканий твір.

Як міркували стародавні обчислювачі, обгрунтовуючи свій спосібобчислення? А ось як: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Число 17 запам'ятовується, а добуток 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (роздвоюємо –подвоюємо) та записуємо. Твір 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (роздвоюємо –подвоюємо), а як зайве твір 10∙34 викреслюємо. Так як 5*34= 4 ∙ 68 + 68, то число 68 запам'ятовується, тобто. третій рядок не викреслюється, а4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (роздвоюємо – подвоюємо), при цьому четвертарядок, що містить як зайве твір 2 ∙ 136, викреслюється, ачисло 272 запам'ятовується. Ось і виходить, що, щоб помножити 21 на 17,треба скласти числа 17, 68 і 272 – це якраз і є рівні частини рядківсаме з непарними множинними.
Російський спосіб множення і елегантний і екстравагантний одночасно

Пропоную Вашій увазі три приклади у кольорових картинках (у правому верхньому кутку) перевірочний стовпчик).

Приклад №1: 12 × 321 = 3852
Малюємо перше числозверху вниз, зліва направо: одна зелененька паличка ( 1 ); дві помаранчеві палички ( 2 ). 12 намалювали.
Малюємо друге числознизу вгору, зліва направо: три голубенькі палички ( 3 ); дві червоні ( 2 ); одну бузкову ( 1 ). 321 намалювали.

Тепер простим олівцем по малюнку прогуляємося, крапки перетину чисел-паличок на частини розділимо і приступимо до підрахунку крапок. Рухаємося праворуч наліво (за годинниковою стрілкою): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результатбудемо «збирати» зліва направо (проти годинникової стрілки) і… вуаля, отримали 3852

Приклад №2: 24 × 34 = 816
У цьому прикладі є нюанси. При підрахунку крапок у першій частині вийшло 16 . Одиничку відправляємо-додаємо до крапок другої частини ( 20 + 1 )…

Приклад №3: 215 × 741 = 159315
Без коментарів

Спочатку здався мені дещо химерним, але при цьому інтригуючим і напрочуд гармонійним. На п'ятому прикладі зловила себе на думці, що множення йде в літ і працює в режимі автопілота: малюємо, крапочки вважаємо, про таблицю множення не згадуємо, як ми її взагалі не знаємо.

Якщо чесно, то здійснюючи перевірку малювального способу множенняі звернувшись до множення стовпчиком, і не раз, і не два до свого сорому відзначила деякі пригальмовування, що свідчили про те, що таблиця множення у мене проіржавіла в деяких місцях і забувати її не варто. Працюючи з більш «серйозними» числами малювальний спосіб множеннястав надто громіздким, а множення стовпчикомпішло на радість.

P.S.: Слава та хвала рідному стовпчику!
У плані побудови спосіб невибагливий і компактний, дуже швидкісний, пам'ять тренує – таблицю множення забувати не дозволяє.

І тому наполегливо рекомендую і собі і Вам по можливості забувати про калькулятори в телефонах та на комп'ютерах; і періодично балувати себе множенням стовпчиком. А то не рівна година і сюжет із фільму «Повстання машин» розгорнеться не на екрані кінотеатру, а на нашій з Вами кухні чи галявині поряд з будинком.


Тричі через ліве плече…, стукаємо по дереву… …і головне не забуваємо про гімнастику для розуму!

ВЧИМО ТАБЛИЦЬ ПРИМНОЖЕННЯ!!!

Кандидат педагогічних наук Наталія Карпушина.

Щоб освоїти множення багатозначних чисел, потрібно лише знати таблицю множення і вміти складати числа. По суті, вся складність у тому, як правильно розмістити проміжні результати множення (часткові твори). Прагнучи полегшити обчислення, люди вигадали безліч способів множення чисел. За багатовікову історію математики їх набралося кілька десятків.

Множення способом решітки. Ілюстрація з першої друкованої книги з арифметики. 1487 рік.

Палички Непера. Цей простий лічильний прилад вперше був описаний у творі Джона Непера «Рабдологія». 1617 рік.

Джон Непер (1550–1617).

Модель лічильної машини Шиккарда. Це обчислювальний пристрій, що не дійшов до нас, виготовлено винахідником в 1623 році і описано ним роком пізніше в листі Йоганну Кеплеру.

Вільгельм Шіккард (1592–1635).

Спадщина індусів - спосіб ґрат

Індуси, з давніх-давен знали десяткову систему числення, воліли усний рахунок письмовому. Вони винайшли кілька способів швидкого множення. Згодом їх запозичили араби, а від них ці способи перейшли до європейців. Ті, однак, ними не обмежилися та розробили нові, зокрема той, що вивчається у школі, – множення стовпчиком. Цей спосіб відомий з початку XV століття, у наступному столітті він міцно увійшов у вжиток у математиків, а сьогодні ним користуються повсюдно. Але чи є множення стовпчиком найкращим способомздійснення цієї арифметичної дії? Насправді існують й інші, у наш час забуті способи множення, анітрохи не гірші, наприклад спосіб ґрат.

Цим способом користувалися ще в давнину, в Середньовіччі він широко поширився на Сході, а в епоху Відродження - у Європі. Метод грати називали також індійським, мусульманським або «множенням у клітинку». А в Італії його називали «джелозія», або «решітчасте множення» (gelosia у перекладі з італійської - «жалюзі», «решітчасті віконниці»). Справді, фігури з чисел, що виходили при множенні, мали схожість зі віконницями-жалюзі, які закривали від сонця вікна венеціанських будинків.

Суть цього нехитрого способу множення пояснимо на прикладі: обчислимо твір 296 × 73. Почнемо з того, що намалюємо таблицю з квадратними клітинами, в якій буде три стовпці та два рядки, - за кількістю цифр у множниках. Розділимо клітини навпіл по діагоналі. Над таблицею запишемо число 296, а праворуч вертикально - число 73. Перемножимо кожну цифру першого числа з кожною цифрою другого і запишемо твори у відповідні клітини, розташовуючи десятки над діагоналлю, а одиниці під нею. Цифри шуканого твору отримаємо складання цифр у косих смугах. При цьому рухатимемося за годинниковою стрілкою, починаючи з правої нижньої клітини: 8, 2+1+7 і т.д. Запишемо результати під таблицею, і навіть ліворуч від неї. (Якщо при додаванні вийде двозначна сума, вкажемо тільки одиниці, а десятки додамо до суми цифр з наступної смуги.) Відповідь: 21 608. Отже, 296 x 73 = 21 608.

Спосіб ґрат ні в чому не поступається множенню стовпчиком. Він навіть простіший і надійніший, при тому, що кількість виконуваних дій в обох випадках однакова. По-перше, працювати доводиться лише з однозначними та двозначними числами, а ними легко оперувати в умі. По-друге, не потрібно запам'ятовувати проміжні результати та стежити за тим, у якому порядку їх записувати. Пам'ять розвантажується, а увага зберігається, тому можливість помилки зменшується. До того ж спосіб ґрат дозволяє швидше отримати результат. Освоївши його, ви зможете переконатися у цьому самі.

Чому спосіб ґрат призводить до правильної відповіді? У чому полягає його "механізм"? Розберемося у цьому з допомогою таблиці, побудованої аналогічно першої, лише цьому випадку множники представлені як суми 200 + 90 + 6 і 70 + 3.

Як бачимо, у першій косій смузі стоять одиниці, у другій – десятки, у третій – сотні тощо. При додаванні вони відповідають відповідно число одиниць, десятків, сотень тощо. Подальше очевидно:

Інакше висловлюючись, відповідно до законами арифметики добуток чисел 296 і 73 обчислюється так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 60 (70 + 20 + 10) + 8 = 21608.

Палички Непера

Множення способом ґрат лежить в основі простого та оригінального лічильного приладу - паличок Непера. Його винахідник Джон Непер, шотландський барон та аматор математики, поряд із професіоналами займався удосконаленням засобів та методів обчислення. В історії науки він відомий, перш за все, як один із творців логарифмів.

Прилад складається із десяти лінійок, на яких розміщена таблиця множення. У кожній клітині, розділеній діагоналлю, записано добуток двох однозначних чисел від 1 до 9: у верхній частині вказано число десятків, у нижній – число одиниць. Одна лінійка (ліва) нерухома, решта можна переставляти з місця на місце, викладаючи необхідну числову комбінацію. За допомогою паличок Непера легко множити багатозначні числа, зводячи цю операцію до складання.

Наприклад, щоб обчислити добуток чисел 296 і 73, потрібно помножити 296 на 3 і 70 (спочатку на 7, потім на 10) і скласти отримані числа. Прикладемо до нерухомої лінійки три інші - з цифрами 2, 9 та 6 нагорі (вони мають утворити число 296). Тепер заглянемо до третього рядка (номери рядків вказані на крайній лінійці). Цифри у ній утворюють вже знайомий нам набір.

Складаючи їх, як у способі ґрат, отримаємо 296 x 3 = 888. Аналогічно, розглянувши сьомий рядок, знайдемо, що 296 x 7 = 2072, тоді 296 x 70 = 20 720. Таким чином,
296 x 73 = 20720 + 888 = 21608.

Палички Непера застосовувалися й у складніших операцій - розподілу і вилучення квадратного кореня. Цей прилад не раз намагалися вдосконалити і зробити більш зручним і ефективним у роботі. Адже в ряді випадків для множення чисел, наприклад з цифрами, що повторюються, потрібні були кілька комплектів паличок. Але така проблема вирішувалася заміною лінійок циліндрами, що обертаються, з нанесеною на поверхню кожного з них таблицею множення в тому ж вигляді, як її представив Непер. Замість одного набору паличок виходило одразу дев'ять.

Подібні хитрощі справді прискорювали та полегшували розрахунки, проте не торкалися головний принципроботи приладу Непера. Так спосіб ґрат знайшов друге життя, що тривало ще кілька століть.

Машина Шиккарду

Вчені давно замислювалися над тим, як перекласти непросту обчислювальну роботу на механічні пристрої. Перші успішні кроки у створенні рахункових машин вдалося здійснити лише XVII столітті. Вважається, що раніше за інших подібний механізм виготовив німецький математик і астроном Вільгельм Шиккард. Але за іронією долі про це знав лише вузьке коло осіб, і такий корисний винахід понад 300 років не був відомий світові. Тому воно ніяк не вплинуло на подальший розвиток обчислювальних засобів. Опис і ескізи машини Шиккарда були виявлені всього півстоліття тому в архіві Йоганна Кеплера, а трохи пізніше за документами, що збереглися, була створена її діюча модель.

По суті, машина Шиккарда є шестирозрядним механічним калькулятором, що виконує додавання, віднімання, множення і розподіл чисел. У ній три частини: розмножувальний пристрій, сумирний пристрій та механізм для збереження проміжних результатів. Основою для першого послужили, як неважко здогадатися, палички Непера, згорнуті в циліндри. Вони кріпилися на шести вертикальних осях і поверталися за допомогою спеціальних ручок, що розташовані нагорі машини. Перед циліндрами розташовувалася панель з дев'ятьма рядами вікон по шість штук у кожному, які відкривалися і закривалися бічними засувками, коли потрібно побачити потрібні цифри і приховати інші.

У роботі лічильна машина Шиккарда дуже проста. Щоб дізнатися, чому дорівнює добуток 296 x 73, потрібно встановити циліндри в положення, при якому у верхньому ряду вікон з'явиться перший множник: 000296. Твір 296 x 3 отримаємо, відкривши віконця третього ряду і підсумувавши побачені цифри, як у способі ґрат. Так само, відкривши віконця сьомого ряду, отримаємо твір 296 x 7, до якого припишемо праворуч 0. Залишається тільки скласти знайдені числа на пристрої, що підсумовує.

Вигаданий колись індусами швидкий і надійний спосіб множення багатозначних чисел, що багато століть застосовувався при розрахунках, нині, на жаль, забутий. Адже він міг би виручити нас і сьогодні, якби під рукою не виявилося настільки звичного для всіх калькуляторів.

Світ математики дуже великий, але завжди цікавилася способами множення. Працюючи над цією темою, я дізналася багато цікавого, навчилася підбирати потрібний мені матеріал із прочитаного. Засвоїла, як вирішуються окремі цікаві завдання, головоломки та приклади множення різними способами, а також і те, на чому засновані арифметичні фокуси та інтенсивні прийоми обчислень.

ПРО ПОМНОЖЕННЯ

Що залишається у більшості людей у ​​голові з того, що вони колись вивчали у школі? Звичайно, у різних людей- Різне, але у всіх, напевно, таблиця множення. Крім зусиль, докладених для її «задовблювання», пригадаємо сотні (якщо не тисячі) завдань, вирішених нами з її допомогою. Триста років тому в Англії людина, яка знає таблицю множення, вже вважалася вченою людиною.

Способів множення було винайдено багато. Італійський математик кінця XV – початку XVI століття Лука Пачіолі у трактаті про арифметику наводить 8 різних способів множення. У першому, що зветься «маленький замок», цифри верхнього числа, починаючи зі старшої, по черзі множаться на нижнє число і записуються в стовпчик з додаванням потрібного числа нулів. Потім результати складаються. Перевага цього перед звичайним полягає в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо при прикидкових розрахунках.

Другий спосіб носить не менш романтичну назву «ревнощі» (або ґратчасте множення). Малюється решітка, яку потім вписують результати проміжних обчислень, точніше, числа з таблиці множення. Грати є прямокутником, розділеним на квадратні клітини, які, своєю чергою, розділені навпіл діагоналями. Зліва (згори донизу) писався перший множник, а зверху - другий. На перетині відповідного рядка і стовпця писалося твір цифр, що стоять у них. Потім отримані числа складалися вздовж проведених діагоналей, результат записувався в кінці такого стовпчика. Результат прочитувався вздовж нижньої та правої сторін прямокутника. «Такі грати, - пише Лука Пачіолі, - нагадує гратчасті віконниці-жалюзі, які вішалися на венеціанські вікна, заважаючи перехожим бачити дам і черниць, що сидять біля вікон».

Усі способи множення, описані у книзі Луки Пачіолі, використовували таблицю множення. Проте російські селяни вміли множити і таблиці. Їх спосіб множення використовував лише множення та розподіл на 2. Щоб перемножити два числа, їх записували поруч, а потім ліве число ділили на 2, а праве множили на 2. Якщо при розподілі виходив залишок, його відкидали. Потім викреслювалися ті рядки в лівій колонці, в яких стоять парні числа. Решта числа в правій колонці складалися. В результаті виходив добуток початкових чисел. Перевірте на кількох парах чисел, що це справді так. p align="justify"> Доказ справедливості цього методу показується за допомогою двійкової системи числення.

Старовинний російський спосіб множення.

З давніх-давен і майже до вісімнадцятого століття російські люди у своїх обчисленнях обходилися без множення і поділу: вони застосовували лише дві арифметичні дії - додавання і віднімання, та ще так звані «подвоєння» і «роздвоєння». Сутність російського старовинного способу множення полягає в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл (послідовне роздвоєння) при одночасному подвоєнні іншого числа. Якщо у творі, наприклад 24 X 5, зменшити множину в 2 рази («роздвоити»), а множник збільшити в 2 рази

(«подвоїти»), твір не зміниться: 24 х 5 = 12 X 10 =120. Приклад:

Розподіл множимого навпіл продовжують доти, поки в приватному не вийде 1, одночасно подвоюючи множник. Останнє подвоєне число дає шуканий результат. Отже, 32 х 17 = 1 х 544 = 544.

У ті давні часи подвоєння та роздвоєння бралися навіть за особливі арифметичні дії. Тільки які це особливі. дії? Адже, наприклад, подвоєння числа - це не особлива дія, а лише додавання числа з самим собою.

Зауважимо числа діляться на 2 постійно без залишку. А як же бути, якщо множина ділиться на 2 із залишком? Приклад:

Якщо множинне не ділиться на 2, то від нього спочатку віднімається одиниця, а потім вже проводиться розподіл на 2. Рядки з парними множинами викреслюються, а праві частини рядків з непарними множинними складаються.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17 +17.

Число 17 запам'ятаємо (перший рядок не викреслюється!), А добуток 20 X 17 замінимо рівним йому твором 10 X 34. Але добуток 10 X 34, у свою чергу, можна замінити рівним йому твором 5 X 68; тому другий рядок викреслюється:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Число 68 запам'ятаємо (третій рядок не викреслюється!), А добуток 4 X 68 замінимо рівним йому твором 2 X 136. Але добуток 2 X 136 можна замінити рівним йому твором 1 X 272; тому четвертий рядок викреслюється. Значить, щоб обчислити добуток 21 X 17, потрібно скласти числа 17, 68, 272 - праві частини рядків саме з непарними множинними. Твори з парними множинними завжди можна замінити за допомогою роздвоєння множиного і подвоєння множника рівними їм творами; тому такі рядки виключаються із обчислення остаточного твору.

Я спробувала сама множити старовинним способом. Я взяла числа 39 та 247, у мене вийшов такий

Стовпчиків вийдуть ще довші, ніж у мене якщо брати множне більше, ніж 39. Тоді я вирішив, той же приклад по-сучасному:

Виявляється, наш шкільний спосіб множення чисел значно простіше та економніше, ніж старовинний російський спосіб!

Тільки ми маємо знати передусім таблицю множення, а наші предки її знали. Крім того, ми повинні добре знати і саме правило множення, вони ж знали лише, як подвоювати та роздвоювати числа. Як бачите, ви вмієте множити значно краще і швидше, ніж найзнаменитіший обчислювач у давньої Русі. Між іншим, кілька тисяч років тому єгиптяни виконували множення майже так само, як і російські люди за старих часів.

Ось чудово, що люди з різних країн, множили тим самим способом.

Нещодавно, всього близько ста років тому, завчити таблицю множення було справою дуже складною для учнів. Щоб переконати учнів у необхідності знання таблиці напам'ять, автори математичних книг здавна вдавалися. до віршів.

Ось кілька рядків з незнайомої нам книги: «Але до множення потрібно є наступну таблицю, але твердо в пам'яті мати, так і дещо число, з яким помноживши, без будь-якого часу говорити сказати, або написати, також двічі 2 є 4 , або 2-ї 3 є 6, і 3-ї 3 є 9 та інша».

Аще хто не твердить І в усій наукі таблиці і гордить, несвобод від муки,

Не може пізнати Коліко не вчить числом що множити туні ся пригнічить

Щоправда, у цьому уривку і віршах не все зрозуміло: написано якось не зовсім по-російськи, адже все це написано понад 250 років тому, 1703 року, Леонтій Пилипович Магніцький, чудовий російський педагог, а з того часу російська мова помітно змінилася. .

Л. Ф. Магніцький написав та видав перший у Росії друкований підручник арифметики; до нього були лише рукописні математичні книги. По «Арифметиці» Л. Ф. Магніцького навчався великий російський учений М. В. Ломоносов, а також багато інших російських вчених вісімнадцятого століття.

А як множили в ті часи, за часів Ломоносова? Подивимося приклад.

Як ми зрозуміли, дію множення записували тоді майже так, як і в наш час. Тільки множинне називали «ялицтво», а твір - «продукт» і, крім того, не писали знак множення.

А як тоді пояснювали множення?

Відомо, що М. У. Ломоносов знав напам'ять всю «Арифметику» Магніцького. Відповідно до цього підручником маленький Михайло Ломоносов множення 48 на 8 пояснив би так: «8-разів 8 є 64, я 4 пишу під межею, проти 8, а 6 десятиць в умі маю. І далі 8 разів 4 є 32, і я 3 в умі тримаю, а до 2 докладу 6 десятиць, і буде 8. І це 8 напишу біля 4, в ряд до лівої руки, а 3 поки в розумі суть, напишу в ряд біля 8, до лівої руки. І буде з множення 48 з 8 твір 384».

Та й ми майже так само пояснюємо, тільки ми говоримо по-сучасному, а не по-старому і, крім того, називаємо розряди. Наприклад, 3 треба писати на третьому місці тому, що це будуть сотні, а не просто «у рядок біля 8, до лівої руки».

Розповідь «Маша – «фокусниця»».

Я можу вгадувати не лише день народження, як це робив минулого разу Павлик, а й рік народження, – почала Маша.

Номер місяця, в якому ви народилися, помножте на 100. Потім додайте день народження. результат помножте на 2. , до отриманого числа додайте 2; результат помножте на 5, до одержаного числа додайте 1, до результату припишіть нуль. до отриманого числа додайте ще 1. і, нарешті, додайте число ваших років.

Готово, у мене вийшло 20721. - Кажу я.

* Правильно, - підтвердив я.

А у мене вийшло 81 321, - повідомляє Вітя, учень третього класу.

Ти, Маша, мабуть, помилилася, - засумнівався Петя. - Як же так виходить: Вітя з третього класу, а народився також 1949 року, як і Сашко.

Ні, Маша вірно вгадала, – підтверджує Вітя. Тільки один рік довго хворів і тому двічі ходив у другий клас.

* А у мене вийшло 111521, – повідомляє Павлик.

Як же так, – питає Вася, – Павлику теж 10 років, як і Сашкові, а народився він у 1948 році. Чому ж не 1949 року?

А тому, що зараз іде вересень, а Павлик народився у листопаді, і йому ще лише 10 років, хоч він і народився 1948 року, - пояснила Маша.

Вона вгадала дату народження ще трьох-чотирьох учнів, а потім пояснила, як вона це робить. Виявляється, від останнього числа вона забирає 111, а потім залишок на три грані праворуч наліво по дві цифри. Середні дві цифри позначають день народження, перші дві пли одна - номер місяця, а останні дві цифри число років. Знаючи, скільки людині років, неважко визначити і рік народження. Наприклад, у мене вийшло число 20721. Якщо від нього відібрати 111, то вийде 20610. Отже, зараз мені 10 років, а народився я 6 лютого. Оскільки зараз йде вересень 1959 року, то, отже, я народився 1949 року.

А чому треба забирати саме 111, а не якесь інше число? - Запитали ми. -І чому саме так розподіляються день народження, номер місяця та кількість років?

А ось дивіться, – пояснила Маша. – Наприклад, Павлик, виконуючи мої вимоги, вирішив такі приклади:

1) 11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Як видно, номер місяця (11) він множив на 100, потім на 2, потім ще на 5 і, нарешті, ще на 10 (приписував куль), а всього на 100 X 2 X 5 X 10, тобто на 10000. , 11 стали десятками тисяч, тобто становлять третю грань, якщо рахувати праворуч наліво по дві цифри. Так дізнаються номер місяця, коли ви народилися. День народження (14) він множив на 2, потім на 5 і, нарешті, ще на 10, а всього на 2 X 5 X 10, тобто на 100. Значить, день народження треба шукати серед сотень у другій грані, але тут є сторонні сотні. Дивіться: він додав число 2, яке множив на 5 і 10. Значить, у нього вийшло зайвого 2x5x10=100 - 1 сотня. Цю 1 сотню я і забираю від 15 сотень у числі 111521, виходить 14 сотень. Так я впізнаю день народження. Число років (10) ні на що не множилося. Отже, це число потрібно шукати серед одиниць, у першій грані, але є сторонні одиниці. Дивіться: він додав число 1, яке множив на 10, а потім додавав ще 1. Отже, у нього вийшло всього зайвих 1 х ТО + 1 = 11 одиниць. Ці 11 одиниць я і віднімаю від 21 одиниці в числі 111521, виходить 10. Так я дізнаюся число років. А всього, як бачите, від числа 111521 я забирала 100 + 11 = 111. вийшло ПНЮ. Значить,

Павлик народився 14 листопада і йому 10 років. Зараз триває 1959-й рік, але я 10 забирала не від 1959, а від 1958, тому що 10 років Павлику виповнилося торік, у листопаді.

Звичайно, таке пояснення одразу не запам'ятаєш, але я постарався зрозуміти його на своєму прикладі:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070+1=2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710+1=20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2" ОБТО; 1959 - 10 = 1949;

Головоломка.

Перше завдання: Опівдні зі Сталінграда до Куйбишева виходить пасажирський пароплав. Годиною пізніше з Куйбишева до Сталінграда виходить товарно-пасажирський пароплав, який рухається повільніше за перший пароплав. Коли пароплави зустрінуться, то який буде далі від Сталінграда?

Це не звичайне арифметичне завдання, а жарт! Пароплави будуть на однаковій відстані від Сталінграда, а також від Куйбишева.

А ось друге завдання, Минулої неділі наш загін і загін п'ятого класу садили дерева вздовж Великої Піонерської вулиці. Загони мали посадити порівну дерев, за кількістю на кожній стороні вулиці. Як ви пам'ятаєте, наш загін прийшов на роботу раніше, і до приходу п'ятикласників ми встигли посадити 8 дерев, але, як виявилося, не на своєму боці вулиці: ми погарячкували і почали роботу не там, де було потрібно. Потім ми вже працювали на своєму боці вулиці. П'ятикласники закінчили роботу раніше. Однак вони не залишилися у боргу перед нами: перейшли на наш бік і посадили спочатку 8 дерев («віддали борг»), а потім ще 5 дерев, і робота нами була закінчена.

Постає питання, на скільки дерев більше посадили п'ятикласники, ніж ми?

: Звичайно, п'ятикласники посадили тільки на 5 дерев більше, ніж ми: коли вони посадили на нашому боці 8 дерев, то цим віддали борг; а коли вони посадили ще 5 дерев, то як би дали нам у позику 5 дерев. Ось і виходить, що вони посадили лише на 5 дерев більше, ніж ми.

Ні міркування неправильне. Правильно, що п'ятикласники зробили нам ласку, посадивши за нас 5 дерев. Але далі, щоб отримати правильну відповідь, треба міркувати так: ми недовиконали своє завдання на 5 дерев, п'ятикласники перевиконали своє на 5 дерев. Ось і виходить, що різниця між числом дерев, посаджених п'ятикласниками, та кількістю дерев, посаджених нами, становить не 5, а 10 дерев!

А ось останнє завдання-головоломка, граючи в м'яч, 16 учнів розмістилися по сторонах квадратного майданчика так, що на кожній стороні було по 4 особи. Потім 2 учні пішли Інші перемістилися так, що на кожній стороні квадрата знову виявилося по 4 особи. Нарешті, пішли ще 2 учні, але інші розмістилися так, що на кожній стороні квадрата, як і раніше, було по 4 особи. Як це могло вийти? Вирішіть.

Два прийоми швидкого множення

Якось вчитель запропонував своїм учням такий приклад: 84 X 84. Один хлопчик швидко відповів: 7056. «Як ти рахував?» - Запитав учня вчитель. – «Я взяв 50 X 144 і викинув 144», – відповів той. Ану, пояснимо як вважав учень.

84 х 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, а 144 півсотні - це 72 сотні, отже, 84 X 84 = 7200 – 144 =

А тепер порахуємо тим самим способом, скільки буде 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, тобто 64 півсотні, або 32 сотні (3200), без 64 ​​т. е. щоб помножити число на 49, потрібно дане число помножити на 50 (півсотні), і з отриманого твору відняти цю кількість.

А ось приклади на інший спосіб обчислення, 92 х 96, 94 х 98.

Відповіді: 8832 і 9212. Приклад, 93 X 95. Відповідь: 8835. Наші обчислення дали це число.

Так швидко можна вважати тільки тоді, коли числа близькі до 100. Знаходимо доповнення до 100 до цих чисел: для 93 буде 7, а для 95 буде 5, від першого даного числа забираємо додаток другого: 93 - 5 = 88 - стільки буде у творі сотень, перемножуємо доповнення: 7 X 5 = 3 5 - стільки буде у творі одиниць. Значить, 93 X 95 = 8835. А чому саме так треба робити, не важко пояснити.

Наприклад, 93 – це 100 без 7, а 95 – це 100 без 5. 95 X 93 = (100 – 5) х 93 = 93 X 100 – 93 х 5.

Щоб відібрати 5 разів по 93, можна 5 разів відібрати по 100, зате додати 5 разів по 7. Тоді виходить:

95 х 93 = 93 х 100 – 5 х 100 + 5 х 7 = 93 сот. - 5 сотів. + 5 X7 = (93 - 5) сот. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) х 100 + 9 х 5 = 8600 + 45 = 8645.

Множення ст. доміно.

За допомогою кісток доміно легко зобразити деякі випадки множення багатозначних чисел однозначне число. Наприклад:

402 Х 3 та 2663 Х 4

Переможцем буде визнано той, хто за певний час зуміє використовувати найбільшу кількість кісток доміно, становлячи приклади на множення трьох-чотиризначних чисел на однозначне число.

Приклади на множення чотиризначних чисел однозначне.

2234 Х 6; 2425 Х 6; 2336 Х1; 526 Х 6.

Як видно, використано лише 20 кісток доміно. Складено приклади на множення як чотиризначних чисел на однозначне число, а й трьох-, і п'яти-, і шестизначних чисел на однозначне число. Використано 25 кісток та складено такі приклади:

Однак усі 28 кісток все-таки можна використати.

Оповідання про те, чи добре знав арифметику старий Хоттабич.

Розповідь «Я отримую з арифметики «5»».

Як тільки наступного дня я зайшов до Миші, він відразу ж спитав: «Що нового, цікавого було на заняття гуртка?» Я показав Мишкові та його друзям, як розумно жали за старих часів російські люди. Потім я запропонував їм продумати, скільки буде 97 X 95, 42 X 42 і 98 X 93. Вони, звичайно, без олівця і паперу не змогли цього зробити і дуже здивувалися, коли я майже миттєво дав на ці приклади правильні відповіді. Нарешті, ми всі разом вирішили це додому завдання. Виявляється, дуже важливо, як розташовані крапки на аркуші паперу. Залежно від цього, можна через чотири точки провести і одну, і чотири, і шість прямих ліній, але не більше.

Потім я запропонував хлопцям скласти приклади на множення кісток доміно так, як це робилося на гуртку. Нам вдалося використати по 20, по 24 і навіть по 27 кісток, але з усіх 28 ми так і не змогли скласти приклади, хоча просиділи за цим заняттям довго.

Мишко згадав, що сьогодні в кінотеатрі демонструється фільм «Старий Хоттабич». Ми швидше перестали займатися арифметикою і побігли в кіно.

Оце картина! Хоч і казка, а все одно цікаво: розповідається про нас, хлопчиків, про шкільне життя, а також про дивакуватий мудрець - джин Хоттабич. А добряче наплутав Хоттабич, підказуючи Вольці з географії! Як видно, у давно минулі часи навіть мудреці індійські – джини – дуже-дуже погано знали географію, i Цікаво, а як став би підказувати старий Хоттабич, якби Волька складав іспит з арифметики? Мабуть, Хоттабич і арифметику як слід не знав.

Індійський спосіб множення.

Нехай треба подумати 468 на 7. Зліва пишемо множинне, праворуч множник:

Індійці не мали знака множення.

Тепер 4 множимо на 7, вийде 28. Це число записуємо надцифрою 4.

Тепер 8 множимо на 7, вийде 56. 5 додамо до 28, вийде 33; 28 зітремо, а 33 запишемо, 6 запишемо над цифрою 8:

Виходило дуже цікаво.

Тепер 6 множимо на 7, вийде 42, 4 додамо до 36, вийде 40; 36 зітремо, а 40 запишемо; 2 запишемо над цифрою 6. Отже, 486 помножити на 7, вийде 3402:

Правильно вирішено, але тільки не дуже швидко і зручно! Так саме множили найвідоміші на той час обчислювачі.

Як бачите, старий Хоттабич арифметику знав зовсім непогано. Однак запис дій він робив не так, як це робимо ми.

Давно-давно, понад тисячу триста років тому, індійці були найкращими обчислювачами. Однак вони не мали ще паперу, і всі обчислення проводили на невеликій чорній дошці, роблячи на ній записи очеретяним пером і застосовуючи дуже рідку білу фарбу, яка залишала знаки, що легко стиралися.

Коли ми пишемо крейдою на дошці, це трохи нагадує індійський спосіб запису: на чорному тлі з'являються білі знаки, які легко прати і виправляти.

Індійці робили обчислення також і на білій дощечці, посипаній червоним порошком, на якій вони писали знаки маленькою паличкою, тому з'являлися білі знаки на червоному полі. Приблизно така ж картина виходить коли ми пишемо крейдою на червоній або коричневій дошці - лінолеумі.

Знаку множення на той час ще не існувало, і між множиною та множником залишався лише Деякий проміжок. Індійським способом можна було б множити, починаючи з одиниць. Однак самі індійці множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множиною, порозрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твору і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри.

Приклад множення індійським способом.

Арабський спосіб множення.

Ну, а як же, в самій даті, виконувати множення індійським способом, якщо записувати на папері?

Цей прийом множення для запису на папері пристосували араби, відомий вчений давнини узбек Мухаммед ібн Муса Альхваріз-мі (Мухаммед син Муси з Хорезма-міста, який був розташований на території сучасної Узбецької РСР) більше тисячі років тому виконував множення на пергаменті

Як видно, він не стирав непотрібні цифри (на папері це робити незручно), а викреслював їх; нові цифри він записував над закресленими, зрозуміло, порозрядно.

Приклад множення у такий самий спосіб, роблячи записи в зошиті.

Значить, 7264 X 8 = 58112. А як же множити на двозначне число, на багатозначне?

Прийом множення залишається той самий, проте запис при цьому значно ускладнюється. Наприклад, потрібно помножити 746 на 64. Спочатку множили на 3 десятки, виходило

Отже, 746 X 34 = 25 364.

Як бачите, викреслювання непотрібних цифр та заміна їх новими цифрами при множенні навіть на двоцифрове число призводить до занадто громіздкого запису. А що буде, якщо множити на три-, чотиризначне число?!

Так, арабський спосіб множення не дуже зручний.

Цей спосіб множення тримався в Європі аж до вісімнадцятого століття, тисячу років. Він називався способами хрестика, або хіазмом, оскільки між числами, що перемножуються, ставилася грецька буква X (хі), поступово замінена косим хрестом. Ось тепер ми добре бачимо, що наш сучасний спосіб множення є найпростішим і найзручнішим, напевно найкращим з усіх можливих способів множення.

Так, сам наш шкільний спосіб множення багатозначних чисел дуже хороший. Проте запис множення можна робити й інакше. Мабуть, найкраще було б це робити, наприклад, так:

Такий спосіб і справді хороший: множення починається зі старшого розряду множника, нижчий розряд неповних творів записується під відповідним розрядом множника, чим усувається можливість помилки у разі, як у якому-небудь розряді множника зустрічається нуль. Приблизно записують множення багатозначних чисел чехословацькі школярі. Ось цікаво. А ми думали, що арифметичні дії можна записувати тільки так, як це прийнято у нас.

Ще кілька головоломок.

Ось вам перше, просте завдання: Турист може пройти за годину 5 км. Скільки кілометрів він пройде за 100 годин?

Відповідь: 500 кілометрів.

А це ще велике питання! Треба знати точніше, як турист йшов ці 100 годин: без відпочинку чи з перепочинками. Інакше кажучи, треба знати: 100 годин - це час руху туриста або просто час його перебування в дорозі. Бути в русі поспіль 100 годин людина, напевно, не в змозі: це більше чотирьох діб; та й швидкість руху при цьому весь час зменшувалася б. Інша річ, якщо турист йшов із перепочинками на обід, на сон і т. д. Тоді він за 100 годин руху може пройти і всі 500 км; тільки в дорозі він має бути вже не чотири доби, а приблизно добу дванадцять (якщо проходитиме за день у середньому 40 км). Якщо ж він у дорозі був 100 годин, то міг пройти приблизно 160-180 км.

Різні відповіді. Значить за умови завдання треба щось додати, інакше відповідь дати неможливо.

Вирішимо тепер таке завдання: 10 курчат у 10 днів з'їдають 1 кг зерна. Скільки кілограмів зерна з'їдять 100 курчат у 100 днів?

Рішення: 10 курчат у 10 днів з'їдають 1 кг зерна, значить, 1 курча за ті ж 10 днів з'їдаєте 10 разів менше, тобто 1000 г: 10 = 100 г.

В один день курча з'їдає ще в 10 разів менше, тобто 100 г: 10 = 10 г. Тепер ми знаємо, що 1 курча в 1 день з'їдає 10 г зерна. Значить, 100 курчат на день з'їдають у 100 разів більше, тобто

10 г X 100 = 1000 г = 1 кг. У 100 днів вони з'їдять ще в 100 разів більше, тобто 1 кг X 100 = 100 кг = 1 ц. Отже, 100 курчат за 100 днів з'їдають цілий центнер зерна.

Є рішення швидше: курчат більше в 10 разів і годувати треба довше в 10 разів, отже, всього зерна треба більше в 100 разів, тобто 100 кг. Однак у всіх цих міркуваннях є один недогляд. Подумаємо та знайдемо помилку у міркуваннях.

: -Звернімо увагу на останнє міркування: «100 курчат в один день з'їдають 1 кг зерна, а за 100 днів вони з'їдять у 100 разів більше. »

Адже за 100 днів (це ж більше трьох місяців!) курчата помітно підростуть і в день з'їдати вже не по 10 г зерна, а грамів по 40 - 50, так як звичайна курка в день з'їдає приблизно 100 г зерна. Отже, за 100 днів 100 курчат з'їдять не 1 ц зерна, а значно більше: центнера два-три.

А ось вам останнє завдання-головоломка про зав'язування вузла: На столі лежить шматок мотузки, витягнутий по прямій. Треба взяти його однією рукою за один, другою рукою за інший кінець і, не випускаючи кінців мотузки з рук, зав'язати вузол. » Звичайно, одні завдання легко розбирати, йдучи від даних до питання завдання, а інші, навпаки, йдучи від питання завдання до даних.

Ну, ось ми і спробували розібрати це завдання, йдучи від запитання до даних. Нехай вузол на мотузці вже є, а кінці його знаходяться в руках і не випускаються. Спробуємо від вирішеного завдання повернутися до її даних, до вихідного положення: мотузка лежить, витягнута на столі, і кінці її не випускаються з рук.

Виявляється, якщо виправити мотузку, не випускаючи кінців її з рук, то ліва рука, йдучи під витягнутою мотузкою і над правою рукою, тримає правий кінець мотузки; а права рука, ідучи над мотузкою і під лівою рукою, тримає лівий кінець мотузки

Думаю після такого розбору завдання всім стало ясно, як зав'язати вузол на мотузці, треба зробити все у зворотному порядку.

Ще два прийоми швидкого множення.

Я покажу вам, як швидко множити такі числа, як, наприклад, 24 і 26, 63 і 67, 84 і 86 іт. п. , тобто коли в співмножниках десятків порівну, а одиниці складають разом рівно 10. Задавайте приклади.

* 34 і 36, 53 і 57, 72 та 78,

* Вийде 1224, 3021, 5616.

Наприклад, треба 53 помножити на 57. Я 5 множу на 6 (на 1 більше, ніж 5), виходить 30 – стільки сотень у творі; 3 множу на 7, виходить 21 – стільки одиниць у творі. Отже, 53 X 57 = 3021.

* А як це пояснити?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 х 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 сот. + 5 сотів. +3 X7 = 30 сот. + 3 X 7 = 5 X 6 сот. + 21.

Подивимося, як можна швидко перемножувати двоцифрові числа в межах 20. Наприклад, щоб помножити 14 на 17, треба скласти одиниці 4 і 7, вийде 11 - стільки буде десятків у творі (тобто 10 одиниць). Потім треба 4 помножити на 7, вийде 28 – стільки буде одиниць у творі. Крім того, до отриманих чисел 110 і 28 треба додати ще рівно 100. Отже, 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238.

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100 + 110 + + 28.

Після цього ми вирішили такі приклади: 13 х 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 х 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Розмноження на рахунках

Ось кілька прийомів, користуючись якими кожен уміє швидко складати на рахунках зможе швидко виконувати зустрічаються на практиці приклади у множіння.

Множення на 2 і 3 замінюється двократним і триразовим складанням.

При множенні на 4 множать спочатку на 2 і складають цей результат із собою.

Множення числа на 5 виконується на рахунках так: переносять усе число одним дротом вище, тобто множать його на 10, а потім ділять це 10-кратне число навпіл (як поділяти на 2 за допомогою рахунків).

Замість множення на 6 множать на 5 і додають множення.

Замість множення на 7, множать на 10 і забирають три рази.

Множення на 8 замінюють множенням на 10 мінус два множені.

Так само множать на 9: замінюють множенням на 10 мінус одне множиться.

При множенні на 10 переносять, усі числа одним дротом вище.

Читач, мабуть, вже сам зрозуміє, як треба чинити при множенні на числа, більші 10, і які заміни тут виявляться найзручнішими. Множник 11 треба, звичайно, замінити на 10 + 1. Множник 12 замінюють на 10 + 2 або практично - на 2 +10, тобто спочатку відкладають подвоєне число, а потім додають удесятерене. Множник 13 замінюється на 10 + 3 і т.д.

Розглянемо кілька особливих випадків для множників першої сотні:

Легко бачити, між іншим, що з допомогою рахунків дуже зручно множити такі числа, як у 22, 33, 44, 55 тощо. п. ; тому треба прагнути при розбивці множників користуватись подібними числами з однаковими цифрами.

До подібних прийомів вдаються і при множенні на числа, великі 100. Якщо подібні штучні прийоми стомлюючі, то ми завжди, звичайно, можемо помножити за допомогою рахунків за загальним правилом, помножуючи кожну цифру множника і записуючи приватні твори - це все ж таки дає деяке скорочення часу .

„Російський” спосіб множення

Ви не можете виконати множення багатозначних чисел, хоча навіть двозначних, якщо не пам'ятаєте напам'ять усіх результатів множення однозначних чисел, тобто того, що називається таблицею множення. У старовинній «Арифметиці» Магницького, про яку ми вже згадували, необхідність твердого знання таблиці множення оспівання у таких (чужих для сучасного слуху) віршах:

Якщо хтось не твердить таблиці і гордить, Не може пізнати числом що множити

І по всі науки невільний від муки, Коліко не вчить туні ся пригнічить

І на користь не буде якщо її забуде.

Автор цих віршів, вочевидь, не знав чи змарнував, що є спосіб перемножувати числа і знання таблиці множення. Спосіб цей, схожий на наші шкільні прийоми, був вжитий в побуті російських селян і успадкований ними від давнини.

Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Ось приклад:

Розподіл навпіл продовжують доти), пеку в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвоєне число і дає результат. Неважко зрозуміти, на чому цей спосіб заснований: твір не змінюється, якщо один множник зменшити вдвічі, а інший - вдвічі ж збільшити. Зрозуміло тому, що в результаті багаторазового повторення цієї операції виходить шуканий твір.

Однак як вчинити, якщо при цьому нрих. Чи ділити навпіл число непарне?

Народний спосіб легко виходить із цієї скрути. Треба, говорить правило, у разі непарного числа кинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до поїдного числа правого стовпця потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти нечетних чисел лівого стовпця-сума і буде шукані? л твором. Практично це роблять так, що всі рядки з парними лівими числами закреслюють; залишаються лише ті, які містять ліворуч непарне число.

Наведемо приклад (зірочки вказують, що цей рядок треба закреслити):

Склавши не закреслені числа, отримуємо цілком правильний результат: 17 + 34 + 272 = 32 На чому ґрунтується цей прийом?

Правильність прийому стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що

19Х 17 = (18 + 1) Х 17 = 18X17 +17, 9Х34 = (8 + 1) Х34 =; 8Х34 + 34 і т.д.

Зрозуміло, що числа 17, 34 і т. п., що втрачаються при розподілі непарного числа навпіл, необхідно додати до результату останнього множення, щоб отримати добуток.

Приклади прискореного множення

Ми згадували раніше, що для виконання окремих дій множення, на які розпадається кожен із зазначених вище прийомів, існують також зручні способи. Деякі з них дуже нескладні і зручно застосовні вони настільки полегшують обчислення, що взагалі не заважає запам'ятати їх, щоб користуватися при звичайних розрахунках.

Такий, наприклад, прийом перехресного множення дуже зручний при дії з двозначними числами. Спосіб не новий; він сходить до греків та індусів і за старих часів називався «спосібом блискавки», або «множенням хрестиком». Тепер він забутий, і про нього не заважає нагадати1.

Нехай потрібно перемножити 24х32. Подумки маємо число за наступною схемою, одне під іншим:

Тепер послідовно робимо такі дії:

1)4X2 = 8 – це остання цифра результату.

2) 2X2 = 4; 4X3 = 12; 4+12=16; 6 – передостання цифра результату; 1 запам'ятовуємо.

3)2X3 = 6, та ще утримана в умі одиниця, маємо

7- це перша цифра результату.

Отримуємо всі цифри твору: 7, 6, 8 - 768.

Після нетривалої вправи цей прийом засвоюється дуже легко.

Інший спосіб, що полягає у вживанні так званих „доповнень", зручно застосовується в тих випадках, коли числа, що перемножуються, близькі до 100.

Припустимо, що потрібно перемножити 92X96. „Додаток" для 92 до 100 буде 8, для 96 - 4. Дія здійснюють за такою схемою: множники: 92 та 96 „доповнення": 8 та 4.

Перші дві цифри результату виходять простим відніманням з множника „доповнення" множимого або навпаки; тобто з 92 віднімають 4 або з 96 віднімають 8.

8тому та іншому випадку маємо 88; до цього числа приписують твір „доповнень": 8X4 = 32. Отримуємо результат 8832.

Що отриманий результат має бути вірним, наочно видно з таких перетворень:

92х9б = 88X96 = 88 (100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96 = 4 (88 + 8) = 4Х 8 + 88X4 92х96 8832 +0

Ще приклад. Потрібно перемножити 78 на 77: множники: 78 та 77 „доповнення”: 22 та 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Третій приклад. Перемножити 99 х 9.

множники: 99 та 98 „доповнення": 1 і 2.

99-2 = 97, 1X2 = 2.

У разі треба пам'ятати, що 97 означає тут кількість сотень. Тому складаємо.

Чотири тисячі років тому мешканці Вавилонії винайшли множення. А у березні цього року математики вдосконалили його.

18 березня 2019 року два дослідники описали найшвидший з відомих методів перемноження двох дуже великих чисел. Робота наголошує на кульмінації давнього пошуку найбільш ефективної процедури виконання однієї з базових операцій математики.

«Всі думають, що метод множення, який вони вчили в школі, найкращий, але насправді в цій галузі йдуть активні дослідження», - каже Йоріс ван дер Хувен, математик із Французького національного центру наукових досліджень, один із співавторів роботи.

Складність безлічі обчислювальних завдань від підрахунку нових цифр числа π до виявлення великих простих чисел зводиться до швидкості перемноження. Ван дер Хувен описує їх результат як призначення свого роду математичного обмеження швидкості розв'язання багатьох інших завдань.

«У фізиці є важливі константи типу швидкості світла, що дозволяють вам описувати будь-які явища, – сказав Ван дер Хувен. – Якщо ви хочете знати, наскільки швидко комп'ютери можуть вирішувати певні математичні завдання, тоді перемноження цілих чисел виникає у вигляді якогось базового будівельного блоку щодо якого можна висловити таку швидкість».

Багато вчаться перемножувати числа однаково. Записуємо числа до стовпчика, перемножуємо верхнє число на кожну цифру нижнього (з урахуванням розрядів) і складаємо результат. При перемноженні двох двоцифрових чисел доводиться виконати чотири дрібніші перемноження для отримання підсумкового результату.

Шкільний метод "перенесення" вимагає виконання n 2 ​​кроків, де n - кількість цифр у кожному з чисел, що перемножуються. Обчислення з трицифровими числами вимагають дев'яти перемножень, а зі стозначними - 10 000.

Метод перенесення нормально працює з числами, що складаються з кількох цифр, проте починає буксувати при перемноженні чисел, що складаються з мільйонів або мільярдів цифр (чим і займаються комп'ютери при точному підрахунку π або при всесвітньому пошуку великих простих чисел). Щоб перемножити два числа з мільярдом цифр, потрібно буде зробити мільярд у квадраті, або 10 18 множин – на це у сучасного комп'ютера піде близько 30 років.

Декілька тисячоліть вважалося, що швидше перемножувати числа не можна. Потім у 1960 році 23-річний радянський та російський математик Анатолій Олексійович Карацуба відвідав семінар, який вів Андрій Миколайович Колмогоров, радянський математик, один із найбільших математиків XX століття. Колмогоров заявив, що немає узагальненого способу множення, що вимагає менше, ніж n 2 операцій. Карацуба вирішив, що такий спосіб є – і після тижня пошуків він його виявив.

Анатолій Олексійович Карацуба

Розмноження Карацуби полягає в розбиття цифр числа та повторної їх комбінації новим способом, який дозволяє замість великої кількостімножень провести меншу кількість додавань та віднімань. Метод економить час, оскільки на додавання йде всього 2n кроків замість n2.

Традиційний метод множення 25х63 вимагає чотири множення на однозначне число та кілька додавань

Розмноження Карацуби 25х63 вимагає трьох множень на однозначне число і кілька додавань і віднімань.
a) розбиваємо числа
b) перемножуємо десятки
c) перемножуємо одиниці
d) складаємо цифри
e) перемножуємо ці суми
f) вважаємо e – b – c
g) збираємо підсумкову суму з b, c та f

У разі зростання кількості знаків у числах метод Карацуби можна використовувати рекурсивно.

Традиційний метод множення 2531х1467 потребує 16 множень на однозначне число.

Розмноження Карацуби 2531х1467 вимагає 9 множень.

«Додаток у школі проходять на рік раніше, тому що це набагато простіше, воно виконується за лінійний час, зі швидкістю читання цифр зліва направо», - сказав Мартін Фюрер, математик з Пенсільванського державного університету, що створив у 2007 швидкий на той час алгоритм множення.

Маючи справу з великими числами, множення Карацуби можна повторювати рекурсивно, розбиваючи початкові числа майже стільки частин, скільки знаків. І з кожним розбиттям ви змінюєте множення, що вимагає виконання багатьох кроків, на додавання і віднімання, які вимагають значно менше кроків.

«Кілька множень можна перетворити на додавання, враховуючи, що з цим комп'ютери справлятимуться швидше», - сказав Девід Харві, математик з Університету Нового Південного Уельсу та співавтор нової роботи.

Метод Карацуби уможливив множити числа з використанням лише n 1,58 множень на однозначне число. Потім у 1971 році Арнольд Шенхаге і Фолькер Штрассен опублікували метод, що дозволяє множити великі числа за n log n log (log n) невеликих множень. Для множення двох чисел із мільярда знаків кожне метод Карацуби вимагатиме 165 трлн кроків.

Йоріс ван дер Хувен, математик із Французького національного центру наукових досліджень

Метод Шенхаге-Штрассена використовується комп'ютерами для множення великих чисел, і призвів до двох інших важливих наслідків. По-перше, він ввів у використання техніку в галузі обробки сигналів під назвою швидке перетворення Фур'є. З того часу ця техніка була основою всіх швидких алгоритмів множення.

По-друге, в тій же роботі Шенхаге і Штрассен припустили можливість існування ще більш швидкого алгоритму - методу, що вимагає всього множення n × log n на один знак - і що такий алгоритм буде найшвидшим з можливих. Це припущення було засноване на відчутті, що в такій фундаментальній операції, як множення, обмеження операцій має записуватися якось елегантніше, ніж n log n log (log n).

«Більшість загалом зійшлося на тому, що множення – це така важлива базова операція, що з суто естетичної точки зору їй потрібне гарне обмеження за складністю, - сказав Фюрер. – З досвіду ми знаємо, що математика базових речей у результаті завжди виявляється елегантною».

Нескладне обмеження Шенхаге і Штрассена, n log n log (log n), трималося 36 років. 2007 року Фюрер побив цей рекорд, і все закрутилося. За останнє десятиліття математики знаходили дедалі швидші алгоритми множення, кожен із яких поступово підповзав до позначки в n × log n, зовсім досягаючи її. Потім у березні цього року Харві та ван дер Хувен досягли її.

Їх метод є покращенням великої роботи, виконаної до них. Він розбиває числа на знаки, використовує покращену версію швидкого перетворення Фур'є та користується іншими проривами, зробленими протягом останніх 40 років. «Ми використовуємо швидке перетворення Фур'є набагато грубіше, використовуємо його кілька разів, а не один, і замінюємо ще більше множень додаванням і відніманням», - сказав ван дер Хувен.

Алгоритм Харві та ван дер Хувена доводить, що множення можна провести за n×log n кроків. Однак він не доводить відсутність швидшого методу. Набагато складніше буде встановити, що їхній підхід максимально швидкий. Наприкінці лютого команда фахівців з інформатики з Орхуського університету опублікувала роботу , де стверджує, що й одна з недоведених теорем виявиться правильною, цей спосіб справді буде якнайшвидшим із способів множення.

І хоча в теорії цей новий алгоритм дуже важливий, на практиці він мало що змінює, оскільки лише трохи виграє у алгоритмів, що вже використовуються. «Все, на що ми можемо сподіватися, це на триразове прискорення, – сказав Ван дер Хувен. – Нічого позамежного».

З іншого боку, змінилися схеми комп'ютерного устаткування. Двадцять років тому комп'ютери виконували складання набагато швидше за множення. Розрив у швидкостях множення та додавання з тих пір серйозно зменшився, внаслідок чого на деяких чіпах множення може навіть обганяти складання. Використовуючи певні видиобладнання, «можна прискорити додавання, змушуючи комп'ютер множити числа, і це якесь божевілля», - сказав Харві.

Устаткування змінюється згодом, але найкращі алгоритми свого класу вічні. Незалежно від того, як комп'ютери виглядатимуть у майбутньому, алгоритм Харві та ван дер Хувена все ще буде найбільшим. ефективним способоммножити числа.

Агафуров Максим

Рецензія на науково-дослідну роботу учня.

1. Дослідницьку роботу виконано учнем 7 «А» класу МБОУ «ЗОШ № 2» Агафуровим Максимом.
2. Керівник дослідження: учитель математики – Лук'янова О.А.
3. Тема роботи: " Незвичайні способимноження». Вид роботи: реферативна. Ця робота є актуальною нині, т.к. знання спрощених прийомів усних обчислень залишається необхідним навіть за повної механізації всіх найбільш трудомістких обчислювальних процесів. Усні обчислення дають можливість не тільки швидко проводити розрахунки в розумі, але й контролювати, оцінювати, знаходити та виправляти помилки у результатах обчислень, виконаних за допомогою калькулятора. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять та допомагає школярам повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.
4. Виконано дослідницьку частину роботи. Викладено пояснення даних прикладів та зроблено відповідні висновки.
5. Цілі та завдання науково- дослідницької роботисформульовані грамотно, відповідають заявленій темі.
6. Спеціальну літературу вивчено якісно з достатньою глибиною.
7. Висновки науково-дослідної роботи є логічними, теоретично обґрунтованими.
8. У роботі представлено дослідницьку частину на достатньому рівні. Її опис відповідає висновкам. Більшість роботи виконувалася переважно самостійно, з невеликими напрямними порадами і діями керівника.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Вступ
Способи множення багатозначних чисел
1.1.«Ревність, або гратчасте множення»……………………………..4
1.2.«Російський селянський спосіб»………………………………………5 1.3. «Китайський спосіб множення»……………………………………...6
Дослідницька частина.
2.1. Зведення квадрат будь-якого двозначного числа…………………...6 2.2. Квадрат числа, близького до «круглого»………………………………7
2.4. Новий спосібзведення в квадрат чисел від 40 до 60………………7 2.5. Зведення квадрат квадрат числа, що закінчується на 5…………………8 2.6 Зведення в квадрат числа, що закінчується на 1…………………8 2.7. Зведення в квадрат числа, що закінчується на 6…………………8 2.8. Зведення в квадрат числа, що закінчується на 9…………………8 2.9. Зведення квадрат квадрат числа, що закінчується на 4…………………8 Висновок. Список літератури.

Вступ " Рахунок та обчислення –

Основи порядку у голові».

Йоган Генріх Песталоцці (1746 - 1827)

Хто з дитинства займається математикою, той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю, виховує наполегливість і завзятість у досягненні мети.

Актуальність: Математика є однією з найважливіших наук на землі і саме з нею людина зустрічається щодня у своєму житті. Рахунок в умі є найдавнішим і найпростішим способом обчислення. Знання спрощених прийомів усних обчислень залишається необхідним навіть за повної механізації всіх найбільш трудомістких обчислювальних процесів. Усні обчислення дають можливість не тільки швидко проводити розрахунки в розумі, але й контролювати, оцінювати, знаходити та виправляти помилки у результатах обчислень, виконаних за допомогою калькулятора. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять та допомагає школярам повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Людині в повсякденному життінеможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики нас в першу чергу вчать виконувати дії над числами, тобто вважати. Примножуємо, ділимо, складаємо та віднімаємо ми звичними для всіх способами, які вивчаються у школі.

Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень? Виявилося, що можна множити як так, як пропонують нам у підручниках математики, а й інакше. Використовуючи інтернет-ресурси, я дізнався багато незвичайних способів множення. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте здивування.

Мета дослідження :

• Знайти якнайбільше незвичайних способів обчислень.
• Навчитися їх застосовувати.
• Вибрати для себе найцікавіші, ніж ті, що пропонуються в школі, та використовувати їх за рахунку.

Завдання дослідження:

1. Познайомитись із старовинними способами множення, такими як: «Рівність, або гратчасте множення», «Маленький замок», «Російський селянський спосіб», «Лінійний спосіб».

2. Дослідити прийоми усного зведення чисел у квадрат та застосовувати їх на практиці.

Трохи історії.

Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такі прості та зручні. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби школяр 21 століття міг перенестися на п'ять століть тому, він вразив би наших предків швидкістю та безпомилковістю своїх обчислень. Поголос про нього облетів би навколишні школи та монастирі, затьмаривши славу найвибагливіших лічильників тієї епохи, і з усіх боків приїжджали б вчитися у нового великого майстра.

Особливо важкі за старих часів були дії множення та поділу. Тоді не існувало одного виробленого практикою прийому кожної дії.Навпаки, у ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і поділу - прийоми один одного заплутаніше, запам'ятати які не в змозі була людина середніх здібностей. Кожен вчитель рахункової справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр поділу» (були такі спеціалісти) вихваляв власний спосібвиконання цієї дії.За тисячоліття розвитку математики було винайдено багато способів множення. Крім таблиці множення, всі вони громіздкі, складні та важко запам'ятовуються. Вважалося, що для оволодіння мистецтвом швидкого множення потрібне особливе природне обдарування. Простим людям, Що не володіє особливим математичним даром, це мистецтво було недоступне.

І всі ці прийоми множення - «шаховим або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «решіткою», «задом наперед», «алмазом» та інші суперничали один з одним і засвоювалися насилу.

Давайте розглянемо найцікавіші та прості способимноження.

1.1. «Ревність, або гратчасте множення»

Італійський математик 15 століття Лука Пачолі наводить 8 способів множення. На мій погляд, найцікавіші з них – «ревнощі чи ґратчасте множення» та «маленький замок».

Помножимо 347 на 29.

Малюємо прямокутник, ділимо його на квадрати, ділимо квадрати по діагоналі. Виходить картинка, схожа на ґратчасті віконниці венеціанських будинків. Від цього і походить назва методу.

Вгорі таблиці запишемо число 347, а праворуч зверху вниз – 29

У кожен квадрат впишемо добуток цифр, розташованих в одному рядку та одному стовпці з цим квадратом. Десятки розташовуються у верхньому трикутнику, а одиниці – у нижньому. Цифри складаються вздовж кожної діагоналі. Результати записуються зліва та праворуч від таблиці.

Відповідь - 10063.

Незручності цього полягають у трудомісткості побудови прямокутної таблиці, а сам процес множення цікавий і заповнення таблиці нагадує гру.

1.2. «Російський селянський спосіб»

У Росії серед селян був поширений спосіб, який не вимагав знання всієї таблиці множення. Тут необхідно лише вміння множити та ділити числа на 2.

Напишемо одне число ліворуч, а інше справа на одному рядку Ліве число ділитимемо на 2, а праве – множити на 2 і результати записувати в стовпчик. Якщо при розподілі виник залишок, його відкидають. Множення та розподіл на 2 продовжують доти, доки зліва не залишиться 1.

Потім викреслюємо ті рядки зі стовпчика, у яких ліворуч стоять парні числа. Тепер складемо залишки в правому стовпці.

Відповідь - 1972026.

1.3.Китайський спосіб множення.

А тепер представимо метод множення, що бурхливо обговорюється в Інтернеті, який називають китайським. При множенні чисел вважаються точки перетину прямих, які відповідають кількості цифр кожного розряду обох множників.

На аркуші паперу почергово малюємо лінії, кількість яких з даного прикладу.

Спочатку 32: 3 червоні лінії і трохи нижче – 2 сині. Потім 21: перпендикулярно вже намальованим, малюємо спочатку 2 зелені, потім – 1 малинову. ВАЖЛИВО: лінії першого числа малюються в напрямку з верхнього лівого кута до нижнього правого, другого числа - з нижнього лівого, до верхнього правого. Потім вважаємо кількість точок перетину в кожній із трьох областей (на малюнку області позначені у вигляді кіл). Отже, у першій області (область сотень) – 6 точок, у другій (область десятків) – 7 крапок, у третій (область одиниць) – 2 точки. Отже, відповідь: 672.

2. Дослідницька частина

Прийоми швидкого рахунку розвивають пам'ять. Це стосується не лише математики, а й інших предметів, що вивчаються у школі.

Також хочеться додати в роботу способи усного зведення чисел у квадрат без використання калькулятора і, що є необхідним при вирішенні задач ГІА та ЄДІ, а також є хорошим тренуванням розуму.

А тепер перейдемо до деяких цікавих і мені вподобаних способів усного зведення чисел у квадрат,застосовуваних під час уроків алгебри та геометрії.

2.1. Зведення квадрат будь-якого двозначного числа.

Якщо запам'ятати квадрати всіх чисел від 1 до 25, то легко знайти квадрат будь-якого двозначного числа, що перевищує 25.

Для того щоб знайти квадрат будь-якого двозначного числа, треба різницю між цим числом і 25 помножити на 100 і до добутку додати квадрат доповнення даного числа до 50 або квадрат надлишку його над 50-ю.

Розглянемо приклад:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) 2 =100M-2500+2500–100M+M 2 =M 2 .

2.2.Квадрат числа, близького до «круглого».

Обчислення квадратів у розібраних прикладах ґрунтується на формулі

А ² = (а + в) (а - в) + в ²,

У якій вдалий підбір числав сильно полегшує викладки: по-перше, один із співмножників має виявитися «круглим» числом (бажано, щоб ненульовою його цифрою була лише перша), по-друге, саме числов має легко зводитися у квадрат, тобто має бути невеликим. Ці умови реалізуються якраз на числаха близьких до «круглих».

192 ² = 200 * 184 + 8 ² = 36864, / (192 +8) (192-8) + 8 ² /

412 ² = 400 * 424 + 12 ² = 169744, / (412-12) (412 +12) + 12 ² /

2.3. Зведення квадрат чисел від 40 до50.

2.4. Зведення квадрат чисел від 50 до60.

Щоб звести у квадрат число шостого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
треба до одиниць додати 25 і до цієї суми приписати квадрат числа одиниць.
Наприклад:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Зведення до квадрата числа, що закінчується на 5.

Число десятків множимо на таке число десятків і додаємо 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 або (1*2 і приписуємо праворуч 25)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 і приписуємо праворуч 25)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 та приписуємо праворуч 25)

2.6. Квадрат числа, що закінчується на 1.

При зведенні квадрат квадрат числа, що закінчується на 1, потрібно замінити цю одиницю на 0, звести нове число квадрат і додати до цього квадрату вихідне число і число, отримане заміною 1 на 0.

Приклад № 6. 71 2 =?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. Квадрат числа, що закінчується на 6.

При зведенні квадрат квадрат числа, що закінчується на 6, потрібно замінити цифру 6 на 5, звести нове число квадрат (описаним раніше способом) і додати до цього квадрату вихідне число і число, отримане заміною 6 на 5.

Приклад №7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8.Квадрат числа, що закінчується на 9.

При зведенні до квадрата числа, що закінчується на 9, потрібно замінити цю цифру 9 на 0 (отримаємо наступне натуральне число), звести нове число квадрат і від цього квадрата відняти вихідне число і число, отримане заміною 9 на 0.

Приклад №8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9.Квадрат числа, що закінчується на 4.

При зведенні в квадрат числа, що закінчується на 4, потрібно замінити цифру 4 на 5, звести нове число в квадрат і від цього квадрата відняти вихідне число та число, отримане заміною 4 на 5.

Приклад № 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. При зведенні квадрат часто буває зручно скористатися формулою (а b) 2 = а 2 + b 2 2аb.

Приклад №10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Висновок

За виконання дослідницької роботи мені знадобилися як знання, які є в мене, а й необхідна робота з додаткової літературою.

1. Під час моєї роботи я знайшов і освоїв різні способимноження багатозначних чисел і можу констатувати таке - більшість способів множення багатозначних чисел ґрунтуються на знанні таблиці множення

Спосіб «гратчасте множення» анітрохи не гірший, ніж загальноприйнятий. Він навіть простіше, оскільки клітини таблиці заносяться числа прямо з таблиці множення без одночасного складання, що у стандартному методі;

-«Російський селянський» спосіб множення набагато простіше розглянутих раніше методів. Але він також дуже громіздкий.

З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку цікавішим здався спосіб «решітчастого множення чи ревнощі». Я показав його своїм однокласникам і він їм теж дуже сподобався.

Найпростішим мені здався китайський спосібмноження, який використовували китайці, оскільки він вимагає знань таблиці множення. Навчившись вважати всіма представленими способами, я дійшов висновку: що найпростіші способи це ті, які ми вивчаємо в школі, можливо, вони для нас більш звичні.

2. Я дізнався про деякі прийоми усного рахунку, які допоможуть мені в житті. Мені було дуже цікаво працювати над проектом. Я вивчив нові способи множення, розглянув різні прийоми зведення чисел у квадрат. Багато обчислень пов'язані з формулами скороченого множення, які я вивчив під час уроків алгебри. Використовуючи спрощені прийоми усних обчислень, тепер можу робити найбільш трудомісткі арифметичні дії без застосування калькулятора і комп'ютера. Зацікавився не лише я, а й мої батьки. Я показав прийоми усного множення своїм друзям та однокласникам. Знання спрощених прийомів усних обчислень особливо важливо у випадках, коли маєш у своєму розпорядженні таблиць чи калькулятора. У мене з'явилося бажання продовжити цю роботу та дізнатися ще прийоми усного рахунку. Я думаю, що моя робота не пройде для мене дарма, всі отримані знання я зможу використати при здачі ГІА та ЄДІ.

Донський, 2013 р.

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: