Головна » Техніка » Математики виявили ідеальний спосіб перемноження чисел. Нетрадиційні способи множення багатозначних чисел Способи множення чисел у різних країнах

Математики виявили ідеальний спосіб перемноження чисел. Нетрадиційні способи множення багатозначних чисел Способи множення чисел у різних країнах

Агафурів Максим

Рецензія на науково-дослідну роботу учня.

Дослідницьку роботу виконано учнем 7 «А» класу МБОУ «ЗОШ № 2» Агафуровим Максимом.
Керівник дослідження: учитель математики – Лук'янова О.А.
Тема роботи: "Незвичайні способи множення". Вид роботи: реферативна. Ця робота є актуальною нині, т.к. знання спрощених прийомів усних обчислень залишається необхідним навіть за повної механізації всіх найбільш трудомістких обчислювальних процесів. Усні обчислення дають можливість не тільки швидко проводити розрахунки в умі, але й контролювати, оцінювати, знаходити та виправляти помилки у результатах обчислень, виконаних за допомогою калькулятора. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять та допомагає школярам повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.
Виконано дослідницьку частину роботи. Викладено пояснення даних прикладів та зроблено відповідні висновки.
Цілі та завдання науково-дослідної роботи сформульовані грамотно, відповідають заявленій темі.
Спеціальну літературу вивчено якісно з достатньою глибиною.
Висновки науково-дослідної роботи є логічними, теоретично обґрунтованими.
У роботі представлено дослідницьку частину на достатньому рівні. Її опис відповідає висновкам. Більшість роботи виконувалася переважно самостійно, з невеликими напрямними порадами і діями керівника.

Завантажити:

Попередній перегляд:


Вступ
Способи множення багатозначних чисел
1.1.«Ревність, або гратчасте множення»……………………………..4


1.2.«Російський селянський спосіб»………………………………………5 1.3. «Китайський спосіб множення»……………………………………...6
Дослідницька частина.
2.1. Зведення квадрат будь-якого двозначного числа…………………...6 2.2. Квадрат числа, близького до «круглого»………………………………7
2.4. Новий спосіб зведення в квадрат чисел від 40 до 60………………7 2.5. Зведення квадрат квадрат числа, що закінчується на 5…………………8 2.6 Зведення в квадрат числа, що закінчується на 1…………………8 2.7. Зведення в квадрат числа, що закінчується на 6…………………8 2.8. Зведення в квадрат числа, що закінчується на 9…………………8 2.9. Зведення в квадрат числа, що закінчується на 4…………………8 Висновок. Список літератури.

Вступ " Рахунок та обчислення –

Основи порядку у голові».

Йоган Генріх Песталоцці (1746 - 1827)

Хто з дитинства займається математикою, той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю, виховує наполегливість і завзятість у досягненні мети.

Актуальність: Математика є однією з найважливіших наук на землі і саме з нею людина зустрічається щодня у своєму житті. Рахунок в умі є найдавнішим і найпростішим способом обчислення. Знання спрощених прийомів усних обчислень залишається необхідним навіть за повної механізації всіх найбільш трудомістких обчислювальних процесів. Усні обчислення дають можливість не тільки швидко проводити розрахунки в умі, але й контролювати, оцінювати, знаходити та виправляти помилки у результатах обчислень, виконаних за допомогою калькулятора. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять та допомагає школярам повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Людині у повсякденному житті неможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики, нас у першу чергу вчать виконувати дії над числами, тобто рахувати. Примножуємо, ділимо, складаємо та віднімаємо ми звичними для всіх способами, що вивчаються у школі.

Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень? Виявилося, що можна множити як так, як пропонують нам у підручниках математики, а й інакше. Використовуючи інтернет-ресурси, я дізнався багато незвичайних способів множення. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте подив.

Мета дослідження :

Знайти якнайбільше незвичайних способів обчислень.
Навчитися застосовувати.
Вибрати для себе найцікавіші, ніж ті, що пропонуються у школі, та використовувати їх за рахунку.

Завдання дослідження:

1. Познайомитись із старовинними способами множення, такими як: «Рівність, або решітчасте множення», «Маленький замок», «Російський селянський спосіб», «Лінійний спосіб».

2. Дослідити прийоми усного зведення чисел у квадрат та застосовувати їх на практиці.

Трохи історії.

Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такими простими і зручними. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби школяр 21 століття міг перенестися на п'ять століть тому, він вразив би наших предків швидкістю та безпомилковістю своїх обчислень. Поголос про нього облетів би навколишні школи та монастирі, затьмаривши славу найвибагливіших лічильників тієї епохи, і з усіх боків приїжджали б вчитися у нового великого майстра.

Особливо важкі за старих часів були дії множення та поділу. Тоді існувало одного виробленого практикою прийому кожному за дії.Навпаки, у ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і поділу - прийоми один одного заплутаніші, запам'ятати які не в змозі була людина середніх здібностей. Кожен вчитель рахункової справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр поділу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.За тисячоліття розвитку математики було винайдено багато способів множення. Крім таблиці множення, всі вони громіздкі, складні та важко запам'ятовуються. Вважалося, що з оволодіння мистецтвом швидкого множення потрібне особливе природне обдарування. Простим людям, які не володіють особливим математичним даром, це мистецтво було недоступне.

І всі ці прийоми множення - «шаховим або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «решіткою», «задом наперед», «алмазом» та інші суперничали один з одним і засвоювалися насилу.

Давайте розглянемо найцікавіші та найпростіші способи множення.

1.1. «Рівність, або гратчасте множення»

Італійський математик 15 століття Лука Пачолі наводить 8 способів множення. На мій погляд, найцікавіші з них – «ревнощі або ґратчасте множення» та «маленький замок».

Помножимо 347 на 29.

Малюємо прямокутник, ділимо його на квадрати, ділимо квадрати по діагоналі. Виходить картинка, схожа на ґратчасті віконниці венеціанських будинків. Від цього й походить назва методу.

Вгорі таблиці запишемо число 347, а праворуч зверху вниз – 29

У кожен квадрат впишемо добуток цифр, розташованих в одному рядку та одному стовпці з цим квадратом. Десятки розташовуються у верхньому трикутнику, а одиниці – у нижньому. Цифри складаються вздовж кожної діагоналі. Результати записуються ліворуч та праворуч від таблиці.

Відповідь - 10063.

Незручності цього полягають у трудомісткості побудови прямокутної таблиці, а сам процес множення цікавий і заповнення таблиці нагадує гру.

1.2. «Російський селянський спосіб»

У Росії серед селян був поширений спосіб, який не вимагав знання всієї таблиці множення. Тут необхідно лише вміння множити та ділити числа на 2.

Напишемо одне число ліворуч, а інше справа на одному рядку Ліве число ділитимемо на 2, а праве – множити на 2 і результати записувати в стовпчик. Якщо при розподілі виник залишок, його відкидають. Множення та розподіл на 2 продовжують доти, доки ліворуч не залишиться 1.

Потім викреслюємо ті рядки зі стовпчика, у яких ліворуч стоять парні числа. Тепер складемо числа, що залишилися в правому стовпці.

Відповідь - 1972026.

1.3.Китайський спосіб множення.

А тепер представимо метод множення, що бурхливо обговорюється в Інтернеті, який називають китайським. При множенні чисел вважаються точки перетину прямих, які відповідають кількості цифр кожного розряду обох множників.

На аркуші паперу почергово малюємо лінії, кількість яких визначається даного прикладу.

Спочатку 32: 3 червоні лінії та трохи нижче - 2 сині. Потім 21: перпендикулярно вже намальованим, малюємо спочатку 2 зелені, потім – 1 малинову. ВАЖЛИВО: лінії першого числа малюються в напрямку з верхнього лівого кута до нижнього правого, другого числа - з нижнього лівого, до верхнього правого. Потім рахуємо кількість точок перетину в кожній із трьох областей (на малюнку області позначені у вигляді кіл). Отже, у першій області (область сотень) – 6 точок, у другій (область десятків) – 7 точок, у третій (область одиниць) – 2 точки. Отже, відповідь: 672.

2. Дослідницька частина

Прийоми швидкого рахунку розвивають пам'ять. Це стосується не лише математики, а й інших предметів, що вивчаються у школі.

Також хочеться додати в роботу способи усного зведення чисел у квадрат без використання калькулятора і, що є необхідним при вирішенні задач ГІА та ЄДІ, а також є хорошим тренуванням розуму.

А тепер перейдемо до деяких цікавих і мені сподобалися способів усного зведення чисел у квадрат,що застосовуються на уроках алгебри та геометрії.

2.1. Зведення квадрат будь-якого двозначного числа.

Якщо запам'ятати квадрати всіх чисел від 1 до 25, то легко знайти квадрат будь-якого двозначного числа, що перевищує 25.

Для того щоб знайти квадрат будь-якого двозначного числа, треба різницю між цим числом і 25 помножити на 100 і до добутку додати квадрат доповнення даного числа до 50 або квадрат надлишку його над 50-ю.

Розглянемо приклад:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(М-25) * 100 + (50-M) 2 = 100M-2500 +2500 - 100M + M2 = M2.

2.2.Квадрат числа, близького до "круглого".

Обчислення квадратів у розібраних прикладах ґрунтується на формулі

А ² = (а + в) (а - в) + в ²,

У якій вдалий підбір числав сильно полегшує викладки: по-перше, один із співмножників повинен виявитися «круглим» числом (бажано, щоб ненульовою його цифрою була лише перша), по-друге, саме числов має легко зводитися у квадрат, тобто має бути невеликим. Ці умови реалізуються якраз на числаха близьких до «круглих».

192 ² = 200 * 184 + 8 ² = 36864, / (192 +8) (192-8) + 8 ² /

412 ² = 400 * 424 + 12 ² = 169744, / (412-12) (412 +12) + 12 ² /

2.3. Зведення квадрат чисел від 40 до50.

2.4. Зведення квадрат чисел від 50 до60.

Щоб звести у квадрат число шостого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
треба до одиниць додати 25 і до цієї суми приписати квадрат числа одиниць.
Наприклад:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Зведення квадрат квадрат числа, що закінчується на 5.

Число десятків множимо на таку кількість десятків і додаємо 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 або (1*2 та приписуємо праворуч 25)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 та приписуємо праворуч 25)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 та приписуємо праворуч 25)

2.6. Квадрат числа, що закінчується на 1.

При зведенні квадрат квадрат числа, що закінчується на 1, потрібно замінити цю одиницю на 0, звести нове число квадрат і додати до цього квадрату вихідне число і число, отримане заміною 1 на 0.

Приклад № 6. 71 2 =?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. Квадрат числа, що закінчується на 6.

При зведенні квадрат квадрат числа, що закінчується на 6, потрібно замінити цифру 6 на 5, звести нове число квадрат (описаним раніше способом) і додати до цього квадрату вихідне число і число, отримане заміною 6 на 5.

Приклад №7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8.Квадрат числа, що закінчується на 9.

При зведенні в квадрат числа, що закінчується на 9, необхідно замінити цю цифру 9 на 0 (отримаємо наступне натуральне число), звести нове число в квадрат і від цього квадрата відняти вихідне число і число, отримане заміною 9 на 0.

Приклад №8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9.Квадрат числа, що закінчується на 4.

При зведенні в квадрат числа, що закінчується на 4, потрібно замінити цифру 4 на 5, звести нове число квадрат і від цього квадрата відняти вихідне число і число, отримане заміною 4 на 5.

Приклад № 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. При зведенні в квадрат часто буває зручно скористатися формулою b) 2 = а 2 + b 2 2аb.

Приклад №10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Висновок

За виконання дослідницької роботи мені знадобилися як знання, які є в мене, а й необхідна робота з додаткової літературою.

1. У ході моєї роботи я знайшов і освоїв різні способи множення багатозначних чисел і можу констатувати таке - більшість способів множення багатозначних чисел засновані на знанні таблиці множення

Спосіб «гратчасте множення» анітрохи не гірше, ніж загальноприйнятий. Він навіть простіше, оскільки клітини таблиці заносяться числа прямо з таблиці множення без одночасного складання, що у стандартному методі;

-«Російський селянський» спосіб множення набагато простіше розглянутих раніше методів. Але він також дуже громіздкий.

З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку цікавішим здався спосіб «решітчастого множення або ревнощі». Я показав його своїм однокласникам і він їм теж дуже сподобався.

Найпростішим мені здався китайський спосіб множення, який використовували китайці, оскільки не вимагає знань таблиці множення. Навчившись вважати всіма представленими способами, я дійшов висновку: що найпростіші способи це ті, які ми вивчаємо в школі, можливо, вони для нас більш звичні.

2. Я дізнався про деякі прийоми усного рахунку, які допоможуть мені в житті. Мені було дуже цікаво працювати над проектом. Я вивчив нові способи множення, розглянув різні прийоми зведення чисел у квадрат. Багато обчислень пов'язані з формулами скороченого множення, які я вивчив під час уроків алгебри. Використовуючи спрощені прийоми усних обчислень, я можу робити найбільш трудомісткі арифметичні дії без застосування калькулятора та комп'ютера. Зацікавився не лише я, а й мої батьки. Я показав прийоми усного множення своїм друзям та однокласникам. Знання спрощених прийомів усних обчислень особливо важливо у випадках, коли маєш у своєму розпорядженні таблиць чи калькулятора. У мене виникло бажання продовжити цю роботу і дізнатися ще прийоми усного рахунку. Я думаю, що моя робота не пройде для мене дарма, всі отримані знання я зможу використати при здачі ГІА та ЄДІ.

Донський, 2013 р.

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього:

МБОУ «ЗОШ с. Вільне» Харабалінський район Астраханська область

Проект на тему:

« Незвичайні способи помноженоі я»

Роботу виконали:

учні 5 класу :

Тулешева Аміна,

Султанов Самат,

Куянгузова Расіта.

Р керівник проекту:

учитель математики

Фатєєва Т.В.

Вільне 201 6 рік .

«Все є число» Піфагор

Вступ

У 21 столітті неможливо уявити життя людини, не виробляє обчислень: і продавці, і бухгалтера, і прості школярі.

Вивчення майже будь-якого предмета у шкільництві передбачає хороші знання математики, і неї не можна освоїти ці предмети. Дві стихії панують у математиці - числа і постаті зі своїми нескінченним різноманіттям властивостей і з ними.

Нам захотілося дізнатися більше про історію виникнення математичних дій. Зараз, коли стрімко розвивається обчислювальна техніка, багато хто не хоче турбувати себе рахунок в умі. Тому ми вирішили показати не тільки те, що сам процес виконання дій може бути цікавим, а й що, добре засвоївши прийоми швидкого рахунку, можна посперечатися з ЕОМ.

Актуальність цієї теми у тому, що використання нестандартних прийомів у формуванні обчислювальних навичок посилює інтерес учнів до математики та сприяє розвитку математичних здібностей.

Мета роботи:

Івивчити деякі нестандартні прийоми множення та показати, що їх застосування робить процес обчислення раціональним та цікавимі для обчислення якими, достатньо усного рахунку або застосування олівця, ручки та паперу.

Гіпотеза:

Еякщо наші предки вміли множити старовинними способами, то якщо вивчивши з цієї проблеми літературу, чи зможе сучасний школяр цьому навчитися, чи потрібні якісь надприродні здібності.

Завдання:

1. Знайти незвичайні методи множення.

2. Навчитися застосовувати.

3. Вибрати для себе найцікавіші або легші, ніж ті, що пропонуються в школі, і використовувати їх за рахунку.

4. Навчити однокласників застосовувати новіеспосібымноження.

Об'єкт дослідження: математична дія множення

Предмет дослідження: способи множення

Методи дослідження:

Пошуковий метод з використанням наукової та навчальної літератури, інтернету;

Дослідницький метод щодо способів множення;

Практичний метод під час вирішення прикладів;

- - анкетування респондентів знання нестандартних способів множення.

Історична довідка

Зустрічаються люди з незвичайними здібностями, які за швидкістю усних обчислень можуть змагатися з ЕОМ. Їх називають «диво – лічильниками». І таких людей чимало.

Розповідають, що батько Гауса, розраховуючись зі своїми робітниками наприкінці тижня, додавав оплату до кожного денного заробітку за понаднормовий годинник. Одного разу після того, як Гаусс-батько закінчив розрахунки, що стежив за операціями батька, дитина, якому було 3 роки, вигукнула: «Тато, підрахунок не вірний! Ось така має бути сума!» Обчислення повторили і з подивом переконалися, що хлопчик вказав правильну суму.

У Росії на початку XX століття вирізнявся своїми вміннями «чарівник обчислень» Роман Семенович Левітан, відомий під псевдонімом Арраго. Унікальні здібності стали виявлятися у хлопчика вже у ранньому віці. За кілька секунд він зводив у квадрат і куб десятизначні числа, витягував коріння різного ступеня. Здавалося, все це він робив із надзвичайною легкістю. Але ця легкість була оманливою і вимагала великої роботи мозку.

2007 року Марк Вишня, якому тоді було 2,5 роки, вразив усю країну своїми інтелектуальними здібностями. Юний учасник шоу «Хвилина слави» легко вважав у думці багатозначні числа, випереджаючи при обчисленнях батьків та журі, які користувалися калькуляторами. Вже два роки він освоїв таблицю косінусів і синусів, і навіть деякі логарифмы.

В інституті кібернетики Української академії наук проводились змагання ЕОМ та людини. У змаганні взяв участь молодий лічильник-феномен Ігор Шелушков та ЗВМ «Мир». Машина за кілька секунд зробила багато складних операцій, але переможцем виявився Ігор Шелушков.

У Сіднейському університеті в Індії також проходили змагання людини та машини. Шакунтала Деві теж випередила ЕОМ.

Більшість таких людей має чудову пам'ять і мають дарування. Але деякі з них ніякими особливими здібностями до математики не мають. Вони знають секрет! А секрет цей у тому, що вони засвоїли прийоми швидкого рахунку, запам'ятали кілька спеціальних формул. Значить, і ми теж можемо, користуючись цими прийомами, швидко і точно рахувати.

Особливо важкі за старих часів були дії множення та поділу. Тоді існувало одного виробленого практикою прийому кожному за дії.

Навпаки, у ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і поділу - прийоми один одного заплутаніші, запам'ятати які не в змозі була людина середніх здібностей. Кожен вчитель рахункової справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр поділу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.

У книзі В. Беллюстина «Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики» викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «дуже можливо, що є ще способи, приховані в схованках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках».

Давайте розглянемо найцікавіші та найпростіші способи множення.

Давньоруський спосіб множення на пальцях

Це один із найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці.

Принцип цього способу: множення на пальцях однозначних чисел від 6 до 9. Пальці рук служили тут допоміжним обчислювальним пристроєм.

Для цього на одній руці витягували стільки пальців, на скільки перший множник перевершує число 5, а на другій робили те саме для другого множника. Інші пальці загинали. Потім бралося число (сумарне) витягнутих пальців і множилося на 10, далі перемножувалися числа, що показували, скільки загнуто пальців на руках, а результати складалися.

Наприклад, помножимо 7 на 8. У розглянутому прикладі буде загнуто 2 та 3 пальці. Якщо скласти кількості загнутих пальців (2+3=5) та перемножити кількості не загнутих (2 3=6), то вийдуть відповідно числа десятків та одиниць шуканого твору 56 . Так можна обчислювати добуток будь-яких однозначних чисел більше ніж 5.

Дуже легко відтворюється "на пальцях" множення для числа 9

Разведитіпальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки привласніть пальцям послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки. Допустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, рівним числу, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців ліворуч від загнутого пальця показує кількість десятків у відповіді, кількість пальців праворуч - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуто, праворуч – 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 = 54.

Розмноження на 9 за допомогою клітин зошита

Візьмемо, наприклад, 10 клітинок у зошити. Закреслюємо 8 клітинку. Зліва залишилося 7 клітин, справа - 2 клітини. Значить, 9 · 8 = 72. Все дуже просто!

7 2

Спосіб множення "Маленький замок"

Перевага способу множення "Маленький замок" в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, послідовно множаться на нижнє число і записуються в стовпчик з додаванням потрібного числа нулів. Потім результати складаються.

«Гратові множення»

Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множника та множника.

Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «…виходить картинка, схожа на решітчасті віконниці-жалюзі. Такі віконниці вішали на вікна венеціанських будинків ... »

«Російський селянський спосіб»

Напишемо одне число зліва, а інше справа на одному рядку. Ліве число ділитимемо на 2, а праве – множити на 2 і результати записувати в стовпчик.

Якщо при розподілі виник залишок, його відкидають. Множення та розподіл на 2 продовжують доти, доки ліворуч не залишиться 1.

Цей спосіб множення набагато простіше розглянутих раніше способів множення. Але він також дуже громіздкий.

«Умноження хрестиком»

Стародавні греки та індуси за старих часів називали прийом перехресного множення «способом блискавки» або «множення хрестиком».

24 та 32

2 4

3 2

4x2=8 – остання цифра результату;

2x2 = 4; 4x3=12; 4+12=16; 6 - передостання цифра результату, що одиницю запам'ятовуємо;

2x3=6 та ще утримана в умі цифра, маємо 7 це перша цифра результату.

Отримуємо усі цифри твору: 7,6,8. Відповідь:768.

Індійський спосіб множення

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

Основа цього способу полягає в ідеї, що та сама цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, у разі відсутності якихось розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.

Умноження починаємо зі старшого розряду, і записуємо неповні твори якраз над множиною, порозрядно. При цьому відразу видно старший розряд повного твору і, крім того, виключається пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще не був відомий, тому між множниками залишали невелику відстань

Китайський (малювальний) спосіб множення

Приклад №1: 12 × 321 = 3852
Малюємоперше число зверху вниз, зліва направо: одна зелененька паличка (1 ); дві оранжеві палички (2 ). 12 намалювали
Малюємодруге число знизу вгору, зліва направо: три голубенькі палички (3 ); дві червоні (2 ); одну бузкову (1 ). 321 намалювали

Тепер простим олівцем на малюнку прогуляємося, точки перетину чисел-паличок на частини розділимо і приступимо до підрахунку точок. Рухаємось праворуч наліво (за годинниковою стрілкою):2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будемо «збирати» зліва направо (проти годинникової стрілки) отримали3852

Приклад №2: 24 × 34 = 816
У цьому прикладі є нюанси;-) При підрахунку точок у першій частині вийшло16 . Одиничку відправляємо-додаємо до точок другої частини (20 + 1 )…

Приклад №3: 215 × 741 = 159315

Під час роботи над проектом ми провели анкетування. Учні відповіли такі питання.

1. Чи необхідно сучасній людині усний рахунок?

ТакНі

2. Чи знаєте ви інші способи множення, крім множення в стовпчик?

ТакНі

3. Чи користуєтеся ви ними?

ТакНі

4. Чи хотіли б ви дізнатися інші способи множення?

Та ні

Нами було опитано учнів 5-10 класів.

Це опитування показало, що сучасні школярі не знають інших способів виконання дій, тому що рідко звертаються до матеріалу, що знаходиться за межами шкільної програми.

Висновок:

В історії математики є багато цікавих подій та відкриттів, на жаль, не вся ця інформація доходить до нас, сучасних учнів.

Цією роботою ми хотіли хоч трохи - трохи заповнити цю прогалину і донести до наших однолітків інформацію про старовинні способи множення.

У ході роботи ми дізналися про походження дії множення. За старих часів було нелегкою справою володіти цією дією, тоді не існувало ще, як тепер, одного виробленого практикою прийому. Навпаки, у ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення - прийоми один одного заплутаніші, твердіше, запам'ятати які не в змозі була людина середніх здібностей. Кожен вчитель рахункової справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії. Визнавалося навіть, що з оволодіння мистецтвом швидкого і безпомилкового множення багатозначних чисел потрібне особливе природне обдарування, виняткові здібності; звичайним людям премудрість ця недоступна.

Своєю роботою ми довели, що наша гіпотеза вірна, не потрібно мати надприродні здібності, щоб вміти користуватися старовинними способами множення. А ще ми навчилися підбирати матеріал, обробляти його, тобто виділяти головне та систематизувати.

Навчившись вважати всіма представленими способами, ми дійшли висновку: що найпростіші способи це ті, які ми вивчаємо в школі, а можливо, ми просто до них звикли.

Сучасний спосіб множення простий і доступний для всіх.

Але, думаємо, що і наш спосіб множення в стовпчик не є досконалим і можна придумати ще швидші та надійніші способи.

Можливо, що з першого разу у багатьох не вийде швидко, з ходу виконувати ці або інші підрахунки.

Не біда. Потрібне постійне обчислювальне тренування. Вона допоможе набути корисних навичок усного рахунку!

Список літератури

1. Глейзер, Г. І. Історія математики у школі ⁄ Г. І. Глейзер ⁄⁄ Історія математики у школі: посібник для вчителів ⁄ за редакцією В. Н. Молодшого. - М.: Просвітництво, 1964. - С. 376 .

Перельман Я. І. Цікава арифметика: Загадки та дива у світі чисел. - М.: Видавництво Русанова, 1994. - С. 142.

Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика/Голов. ред. М. Д. Аксьонова. - М.: Авата +, 2003. - С. 130.

Журнал "Математика" №15 2011р.

Інтернет ресурси.

Світ математики дуже великий, але завжди цікавилася способами множення. Працюючи над цією темою, я дізналася багато цікавого, навчилася підбирати потрібний мені матеріал із прочитаного. Засвоїла, як вирішуються окремі цікаві завдання, головоломки та приклади множення різними способами, а так само і те, на чому ґрунтуються арифметичні фокуси та інтенсивні прийоми обчислень.

ПРО ПОМНОЖЕННЯ

Що залишається у більшості людей у голові з того, що вони колись вивчали у школі? Звичайно, у різних людей – різне, але у всіх, напевно, таблиця множення. Крім зусиль, докладених на її «задовблювання» пригадаємо сотні (якщо не тисячі) завдань, вирішених нами з її допомогою. Триста років тому в Англії людина, яка знає таблицю множення, вже вважалася вченою людиною.

Способів множення було винайдено багато. Італійський математик кінця XV – початку XVI століття Лука Пачіолі у трактаті про арифметику наводить 8 різних способів множення. У першому, що зветься «маленький замок», цифри верхнього числа, починаючи зі старшої, по черзі множаться на нижнє число і записуються в стовпчик з додаванням потрібного числа нулів. Потім результати складаються. Перевага цього методу перед звичайним у тому, що з початку визначаються цифри старших розрядів, але це буває важливо при прикидочных розрахунках.

Другий спосіб носить не менш романтичну назву «ревнощі» (або решітчасте множення). Малюється решітка, яку потім вписують результати проміжних обчислень, точніше, числа з таблиці множення. Грати є прямокутником, розділеним на квадратні клітини, які, у свою чергу, розділені навпіл діагоналями. Зліва (згори донизу) писався перший множник, а зверху - другий. На перетині відповідного рядка і стовпця писалося твір цифр, що стоять у них. Потім отримані числа складалися вздовж проведених діагоналей, результат записувався в кінці такого стовпчика. Результат прочитувався вздовж нижньої та правої сторін прямокутника. «Такі грати, - пише Лука Пачіолі, - нагадує гратчасті віконниці-жалюзі, які вішалися на венеціанські вікна, заважаючи перехожим бачити дам і черниць, що сиділи біля вікон».

Усі способи множення, описані у книзі Луки Пачіолі, використовували таблицю множення. Проте російські селяни вміли множити і таблиці. Їх спосіб множення використовував лише множення та розподіл на 2. Щоб перемножити два числа, їх записували поруч, а потім ліве число ділили на 2, а праве множили на 2. Якщо при розподілі виходив залишок, його відкидали. Потім викреслювалися ті рядки в лівій колонці, в яких стоять парні числа. Що залишилися в правій колонці складалися. В результаті виходив добуток початкових чисел. Перевірте на кількох парах чисел, що це справді так. Доказ справедливості цього методу показується за допомогою бінарної системи числення.

Старовинний російський спосіб множення.

З давнини і майже до вісімнадцятого століття російські люди у своїх обчисленнях обходилися без множення і поділу: вони застосовували лише дві арифметичні дії - додавання та віднімання, та ще так звані «подвоєння» і «роздвоєння». Сутність російського старовинного способу множення у тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до низки послідовних поділів однієї кількості навпіл (послідовне, роздвоєння) при одночасному подвоєнні іншого числа. Якщо у творі, наприклад 24 X 5, зменшити множину в 2 рази («роздвоити»), а множник збільшити в 2 рази

(«подвоїти»), то твір не зміниться: 24 х 5 = 12 х 10 = 120. Приклад:

Розподіл множимого навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, одночасно подвоюючи множник. Останнє подвоєне число дає шуканий результат. Отже, 32 х 17 = 1 х 544 = 544.

У ті давні часи подвоєння та роздвоєння приймалися навіть за особливі арифметичні дії. Тільки які це особливі. дії? Адже, наприклад, подвоєння числа - це не особлива дія, а лише складання цього числа з самим собою.

Зауважимо числа діляться на 2 постійно без залишку. А як же бути, якщо множина ділиться на 2 із залишком? Приклад:

Якщо множимое не ділиться на 2, то від нього спочатку віднімається одиниця, а потім вже проводиться розподіл на 2. Рядки з парними множимими викреслюються, а праві частини рядків з непарними множимими складаються.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17 +17.

Число 17 запам'ятаємо (перший рядок не викреслюється!), А добуток 20 X 17 замінимо рівним йому твором 10 X 34. Але добуток 10 X 34, у свою чергу, можна замінити рівним йому твором 5 X 68; тому другий рядок викреслюється:

5 X 68 = (4+1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Число 68 запам'ятаємо (третій рядок не викреслюється!), А добуток 4 X 68 замінимо рівним йому твором 2 X 136. Але добуток 2 X 136 можна замінити рівним йому твором 1 X 272; тому четвертий рядок викреслюється. Значить, щоб обчислити добуток 21 X 17, потрібно скласти числа 17, 68, 272 - праві частини рядків саме з непарними множинними. Твори ж з парними множиною завжди можна замінити за допомогою роздвоєння множини і подвоєння множника рівними їм творами; тому такі рядки виключаються з обчислення остаточного твору.

Я спробувала сама множити старовинним способом. Я взяла числа 39 та 247, у мене вийшов такий

Стовпчиків вийдуть ще довші, ніж у мене якщо брати множне більше, ніж 39. Тоді я вирішив, той же приклад по-сучасному:

Виявляється, наш шкільний спосіб множення чисел значно простіше та економніше, ніж старовинний російський спосіб!

Тільки ми повинні знати перш за все таблицю множення, а наші пращури її не знали. Крім того, ми повинні добре знати і саме правило множення, вони ж знали лише, як подвоювати та роздвоювати числа. Як бачите, ви вмієте множити значно краще і швидше, ніж найзнаменитіший обчислювач у Стародавній Русі. Між іншим, кілька тисяч років тому єгиптяни виконували множення майже так само, як і російські люди за старих часів.

Ось чудово, що люди з різних країн, множили тим самим способом.

Нещодавно, всього близько ста років тому, заучити таблицю множення було справою дуже складною для учнів. Щоб переконати учнів у необхідності знання напам'ять таблиці, автори математичних книг здавна вдавалися. до віршів.

Ось кілька рядків з незнайомої нам книги: «Але до множення потрібно є наступну таблицю, але твердо в пам'яті мати, так і дещо число, з яким помноживши, без будь-якого повільність мовою сказати, або написати, також 2-й раз 2 є 4 , або двічі 3 є 6, і тричі три є 9 та інша ».

Аще хто не твердить І у всій науці таблиці і гордить, несвобод від муки,

Не може пізнати Коліко не вчить числом що множити туні ся пригнічить

Правда, в цьому уривку і віршах не все зрозуміло: написано якось не зовсім по-російськи, адже все це написано понад 250 років тому, в 1703 році, Леонтієм Пилиповичем Магницьким, чудовим російським педагогом, а відтоді російська мова помітно змінилася. .

Л. Ф. Магницький написав та видав перший у Росії друкований підручник арифметики; до нього ж були лише рукописні математичні книжки. По «Арифметиці» Л. Ф. Магніцького навчався великий російський учений М. У. Ломоносов, і навіть інші видні російські вчені вісімнадцятого століття.

А як множили в ті часи, за часів Ломоносова? Подивимося приклад.

Як ми зрозуміли, дію множення записували тоді майже так, як і в наш час. Тільки множинне називали «єличество», а твір - «продукт» і, ще, не писали знак множення.

А як тоді пояснювали множення?

Відомо, що М. В. Ломоносов знав напам'ять усю «Арифметику» Магніцького. Відповідно до цього підручником маленький Михайло Ломоносов множення 48 на 8 пояснив би так: «8-раз 8 є 64, я 4 пишу під межею, проти 8, а 6 десятиць в умі маю. І далі 8 разів 4 є 32, і я 3 в умі тримаю, а до 2 докладу 6 десятиць, і буде 8. І це 8 напишу біля 4, в ряд до лівої руки, а 3 поки в розумі суть, напишу в ряд біля 8, до лівої ж руці. І буде з множення 48 з 8 твір 384».

Та й ми майже так само пояснюємо, тільки ми говоримо по-сучасному, а не по-старому і, крім того, називаємо розряди. Наприклад, 3 треба писати на третьому місці тому, що це будуть сотні, а не просто «у рядку біля 8, до лівої руки».

Розповідь «Маша – «фокусниця»».

Я можу вгадувати не лише день народження, як це робив минулого разу Павлик, а й рік народження, – почала Маша.

Номер місяця, в якому ви народилися, помножте на 100. Потім додайте день народження. , результат помножте на 2. до отриманого числа додайте 2; результат помножте на 5, до отриманого числа додайте 1, до результату припишіть нуль. до отриманого числа додайте ще 1. і, нарешті, додайте число ваших років.

Готово, у мене вийшло 20721. - Кажу я.

* Правильно, - підтвердив я.

А у мене вийшло 81321, – повідомляє Вітя, учень третього класу.

Ти, Маша, мабуть, помилилася, - засумнівався Петя. - Як же так виходить: Вітя з третього класу, а народився також у 1949 році, як і Сашко.

Ні, Маша вірно вгадала, – підтверджує Вітя. Тільки я один рік довго хворів і тому двічі ходив до другого класу.

* А у мене вийшло 111521, – повідомляє Павлик.

Як же так, – питає Вася, – Павлику теж 10 років, як і Сашка, а народився він у 1948 році. Чому ж не у 1949 році?

А тому, що зараз іде вересень, а Павлик народився у листопаді, і йому ще лише 10 років, хоч він і народився у 1948 році, – пояснила Маша.

Вона вгадала дату народження ще трьох-чотирьох учнів, а потім пояснила, як вона це робить. Виявляється, від останнього числа вона забирає 111, а потім залишок на три грані справа наліво по дві цифри. Середні дві цифри позначають день народження, перші дві плі одна – номер місяця, а останні дві цифри число років. Знаючи, скільки людині років, неважко визначити і рік народження. Наприклад, у мене вийшло число 20721. Якщо від нього відібрати 111, то вийде 20610. Отже, зараз мені 10 років, а народився я 6 лютого. Оскільки зараз йде вересень 1959 року, то, отже, я народився 1949 року.

А чому треба забирати саме 111, а не якесь інше число? - Запитали ми. -І чому саме так розподіляються день народження, номер місяця та кількість років?

А ось дивіться, – пояснила Маша. – Наприклад, Павлик, виконуючи мої вимоги, вирішив такі приклади:

1) 11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228+2=2230; 57 2230 X5 = 11150; 6) 11 150 1 = 11 151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Як видно, номер місяця (11) він множив на 100, потім на 2, потім ще на 5 і нарешті ще на 10 (приписував куль), а всього на 100 X 2 X 5 X 10, тобто на 10000. , 11 стали десятками тисяч, тобто становлять третю грань, якщо рахувати праворуч наліво по дві цифри. Так дізнаються номер місяця, коли ви народилися. День народження (14) він множив на 2, потім на 5 і, нарешті, ще на 10, а лише на 2 X 5 X 10, тобто на 100. Отже, день народження треба шукати серед сотень, у другій грані, але тут є сторонні сотні. Дивіться: він додав число 2, яке множив на 5 і 10. Отже, в нього вийшло зайвого 2x5x10=100 - 1 сотня. Цю 1 сотню я і забираю від 15 сотень у числі 111521, виходить 14 сотень. Так я дізнаюся про день народження. Число років (10) ні на що не множилося. Отже, це число потрібно шукати серед одиниць, у першій грані, але є сторонні одиниці. Дивіться: він додав число 1, яке множив на 10, а потім додавав ще 1. Отже, у нього вийшло лише зайвих 1 х ТО + 1 = 11 одиниць. Ці 11 одиниць я і віднімаю від 21 одиниці в числі 111521, виходить 10. Так я дізнаюся число років. А всього, як бачите, від числа 111521 я забирала 100 + 11 = 111. вийшло ПНЮ. Значить,

Павлик народився 14 листопада і йому 10 років. Зараз триває 1959-й рік, але я 10 забирала не від 1959, а від 1958, тому що 10 років Павлику виповнилося торік, у листопаді.

Звичайно, таке пояснення одразу не запам'ятаєш, але я постарався зрозуміти його на своєму прикладі:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200+6=206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412+2=414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070+1=2071; 7) 2071 X 10 = 20 710; 8) 20710+1=20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2" ОБТО; 1959 - 10 = 1949;

Головоломка.

Перше завдання: Опівдні зі Сталінграда до Куйбишева виходить пасажирський пароплав. Годиною пізніше з Куйбишева до Сталінграда виходить товарно-пасажирський пароплав, який рухається повільніше за перший пароплав. Коли пароплави зустрінуться, то який буде далі від Сталінграда?

Це не звичайне арифметичне завдання, а жарт! Пароплави будуть на однаковій відстані від Сталінграда, а також від Куйбишева.

А ось друге завдання, Минулої неділі наш загін і загін п'ятого класу садили дерева вздовж Великої Піонерської вулиці. Загони мали посадити порівну дерев, за кількістю на кожній стороні вулиці. Як ви пам'ятаєте, наш загін прийшов на роботу раніше, і до приходу п'ятикласників ми встигли посадити 8 дерев, але, як виявилося, не на своєму боці вулиці: ми погарячки і почали роботу не там, де було потрібно. Потім ми вже працювали на своєму боці вулиці. П'ятикласники закінчили роботу раніше. Однак вони не залишилися в боргу перед нами: перейшли на наш бік і посадили спочатку 8 дерев («віддали борг»), а потім ще 5 дерев, і робота була закінчена.

Постає питання, на скільки дерев більше посадили п'ятикласники, ніж ми?

: Звичайно, п'ятикласники посадили тільки на 5 дерев більше, ніж ми: коли вони посадили на нашому боці 8 дерев, то цим віддали борг; а коли вони посадили ще 5 дерев, то як би дали нам у позику 5 дерев. Ось і виходить, що вони посадили лише на 5 дерев більше, ніж ми.

Ні міркування неправильне. Правильно, що п'ятикласники зробили нам ласку, посадивши за нас 5 дерев. Але далі, щоб отримати правильну відповідь, треба міркувати так: ми недовиконали своє завдання на 5 дерев, п'ятикласники перевиконали своє на 5 дерев. Ось і виходить, що різниця між числом дерев, посаджених п'ятикласниками, та кількістю дерев, посаджених нами, становить не 5, а 10 дерев!

А ось останнє завдання-головоломка, граючи в м'яч, 16 учнів розмістилися по сторонах квадратного майданчика так, що на кожній стороні було по 4 особи. Потім 2 учні пішли Інші перемістилися так, що на кожній стороні квадрата знову виявилося по 4 особи. Нарешті, пішли ще 2 учні, але решта розмістилися так, що на кожній стороні квадрата, як і раніше, було по 4 особи. Як це могло вийти? Вирішіть.

Два прийоми швидкого множення

Якось учитель запропонував своїм учням такий приклад: 84 X 84. Один хлопчик швидко відповів: 7056. «Як ти вважав?» - спитав учня вчитель. – «Я взяв 50 X 144 і викинув 144», – відповів той. Ану, пояснимо як вважав учень.

84 х 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, а 144 півсотні - це 72 сотні, отже, 84 X 84 = 7200 – 144 =

А тепер порахуємо тим самим способом, скільки буде 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, тобто 64 півсотні, або 32 сотні (3200), без 64 т. е. щоб помножити число на 49, потрібно дане число помножити на 50 (півсотні), і з отриманого твору відняти це число.

А ось приклади на інший спосіб обчислення, 92 х 96, 94 х 98.

Відповіді: 8832 і 9212. Приклад, 93 X 95. Відповідь: 8835. Наші обчислення дали це число.

Так швидко можна рахувати тільки тоді, коли числа близькі до 100. Знаходимо доповнення до 100 до цих чисел: для 93 буде 7, а для 95 буде 5, від першого даного числа забираємо доповнення другого: 93 - 5 = 88 - стільки буде у творі сотень, перемножуємо доповнення: 7 X 5 = 3 5 - стільки буде у творі одиниць. Значить, 93 X 95 = 8835. А чому саме так треба робити, не важко пояснити.

Наприклад, 93 – це 100 без 7, а 95 – це 100 без 5. 95 X 93 = (100 – 5) х 93 = 93 X 100 – 93 х 5.

Щоб відібрати 5 разів по 93, можна 5 разів відібрати по 100, зате додати 5 разів по 7. Тоді виходить:

95 х 93 = 93 х 100 – 5 х 100 + 5 х 7 = 93 сот. - 5 сотів. + 5 X 7 = (93 – 5) сот. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 X 94 = (97 – 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 – 5) х 100 + 9 х 5 = 8600 + 45 = 8645.

Множення ст. доміно.

За допомогою кісток доміно легко зобразити деякі випадки множення чисел на однозначне число. Наприклад:

402 Х 3 та 2663 Х 4

Переможцем буде визнано той, хто за певний час зуміє використовувати найбільшу кількість кісток доміно, становлячи приклади на множення трьох-чотиризначних чисел на однозначне число.

Приклади на множення чотиризначних чисел однозначне.

2234 Х6; 2425 Х6; 2336 Х1; 526 Х 6.

Як видно, використано лише 20 кісток доміно. Складено приклади на множення як чотиризначних чисел на однозначне число, а й трьох-, і п'яти-, і шестизначних чисел на однозначне число. Використано 25 кісток та складено такі приклади:

Однак усі 28 кісток все-таки можна використати.

Оповідання про те, чи добре знав арифметику старий Хоттабич.

Розповідь «Я отримую за арифметикою «5»».

Як тільки наступного дня я зайшов до Миші, він відразу ж спитав: «Що нового, цікавого було на заняття гуртка?» Я показав Миші та його друзям, як розумно жали за старих часів російські люди. Потім я запропонував їм у розумі порахувати, скільки буде 97 X 95, 42 X 42 і 98 X 93. Вони, звичайно, без олівця та паперу не змогли цього зробити і дуже здивувалися, коли я майже миттєво дав на ці приклади правильні відповіді. Нарешті, ми всі разом вирішили це завдання. Виявляється, дуже важливо, як розташовані крапки на аркуші паперу. Залежно від цього, можна через чотири точки провести і одну, і чотири, і шість прямих ліній, але не більше.

Потім я запропонував хлопцям скласти приклади на множення кісток доміно так, як це робилося на гуртку. Нам вдалося використати по 20, по 24 і навіть по 27 кісток, але з усіх 28 ми так і не змогли скласти приклади, хоча просиділи за цим заняттям довго.

Мишко згадав, що сьогодні у кінотеатрі демонструється фільм «Старий Хоттабич». Ми швидше перестали займатися арифметикою і побігли в кіно.

Оце картина! Хоч і казка, а все одно цікаво: розповідається про нас, хлопчиків, про шкільне життя, а також про дивакуватий мудрець - джин Хоттабич. А здорово наплутав Хоттабич, підказуючи Вольке з географії! Як видно, у давно минулі часи навіть мудреці індійські – джини – дуже-дуже погано знали географію, i Цікаво, а як став би підказувати старий Хоттабич, якби Волька складав іспит з арифметики? Мабуть, Хоттабич і арифметику як слід не знав.

Індійський метод множення.

Нехай треба подумати 468 на 7. Зліва пишемо множимое, праворуч множник:

Індійці не мали знака множення.

Тепер 4 множимо на 7, вийде 28. Це число записуємо надцифрою 4.

Тепер 8 множимо на 7, вийде 56. 5 додамо до 28, вийде 33; 28 зітремо, а 33 запишемо, 6 запишемо над цифрою 8:

Виходило дуже цікаво.

Тепер 6 множимо на 7, вийде 42, 4 додамо до 36, вийде 40; 36 зітремо, а 40 запишемо; 2 запишемо над цифрою 6. Отже, 486 помножити на 7, вийде 3402:

Правильно вирішено, але тільки не дуже швидко і зручно! Так саме множили найвідоміші на той час обчислювачі.

Як бачите, старий Хоттабич арифметику знав зовсім непогано. Однак запис дій він робив не так, як це робимо ми.

Давно-давно, понад тисячу триста років тому, індійці були найкращими обчислювачами. Однак вони не мали ще паперу, і всі обчислення робили на невеликій чорній дошці, роблячи на ній записи очеретяним пером і застосовуючи дуже рідку білу фарбу, яка залишала знаки, що легко стиралися.

Коли ми пишемо крейдою на дошці, це трохи нагадує індійський спосіб запису: на чорному тлі з'являються білі знаки, які легко прати і виправляти.

Індійці робили обчислення також і на білій дощечці, посипаній червоним порошком, де вони писали знаки маленькою паличкою, отже з'являлися білі знаки на червоному полі. Приблизно така ж картина виходить коли ми пишемо крейдою на червоній або коричневій дошці - лінолеумі.

Знака множення на той час ще не існувало, і між множим і множником залишався лише деякий проміжок. Індійським способом можна було б множити, починаючи з одиниць. Проте самі індійці множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множинним, порозрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твору і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри.

Приклад множення індійським способом.

Арабський спосіб множення.

Ну, а як же, в самій даті, виконувати множення індійським способом, якщо записувати на папері?

Цей прийом множення для запису на папері пристосували араби.

Як видно, він не стирав непотрібні цифри (на папері це робити незручно), а викреслював їх; нові цифри він записував над закресленими, зрозуміло, порозрядно.

Приклад множення у такий же спосіб, роблячи записи в зошиті.

Значить, 7264 X 8 = 58112. А як же множити на двозначне число, на багатозначне?

Прийом множення залишається той самий, проте запис при цьому значно ускладнюється. Наприклад, потрібно помножити 746 на 64. Спочатку множили на 3 десятки, виходило

Отже, 746 X 34 = 25 364.

Як бачите, викреслювання непотрібних цифр і заміна їх новими цифрами при множенні навіть на двоцифрове число призводить до занадто громіздкого запису. А що буде, якщо множити на трьох-чотиризначне число?!

Так, арабський спосіб множення не дуже зручний.

Цей спосіб множення тримався у Європі до вісімнадцятого століття, цілих тисячу років. Він називався способами хрестика, або хіазмом, оскільки між числами, що перемножуються, ставилася грецька буква X (хі), поступово замінена косим хрестом. Ось тепер ми добре бачимо, що наш сучасний спосіб множення є найпростішим і найзручнішим, напевно найкращим з усіх можливих способів множення.

Так, сам наш шкільний спосіб множення багатозначних чисел дуже хороший. Проте запис множення можна робити по-іншому. Мабуть, найкраще було б це робити, наприклад:

Такий спосіб і справді хороший: множення починається зі старшого розряду множника, нижчий розряд неповних творів записується під відповідним розрядом множника, чим усувається можливість помилки у разі, як у якому-небудь розряді множника зустрічається нуль. Приблизно так записують множення багатозначних чисел чехословацькі школярі. Ось цікаво. А ми думали, що арифметичні дії можна записувати тільки так, як це прийнято у нас.

Ще кілька головоломок.

Ось вам перше, просте завдання: Турист може пройти за годину 5 км. Скільки кілометрів він пройде за 100 годин?

Відповідь: 500 кілометрів.

А це ще велике питання! Треба знати точніше, як турист йшов ці 100 годин: без відпочинку чи з перепочинками. Інакше кажучи, треба знати: 100 годин – це час руху туриста або просто час його перебування в дорозі. Бути в русі поспіль 100 годин людина, напевно, не в змозі: це більше за чотири доби; та й швидкість руху при цьому весь час зменшувалася б. Інша річ, якщо турист йшов із перепочинками на обід, на сон і т. д. Тоді він за 100 годин руху може пройти і всі 500 км; тільки в дорозі він повинен бути вже не чотири доби, а приблизно добу дванадцять (якщо проходитиме за день у середньому 40 км). Якщо ж він у дорозі був 100 годин, то міг пройти приблизно 160-180 км.

Різні відповіді Отже, за умови завдання треба щось додати, інакше відповідь дати неможливо.

Вирішимо тепер таке завдання: 10 курчат у 10 днів з'їдають 1 кг зерна. Скільки кілограмів зерна з'їдять 100 курчат у 100 днів?

Рішення: 10 курчат у 10 днів з'їдають 1 кг зерна, значить, 1 курча за ті ж 10 днів з'їдаєте 10 разів менше, тобто 1000 г: 10 = 100 г.

В один день курча з'їдає ще в 10 разів менше, тобто 100 г: 10 = 10 г. Тепер ми знаємо, що 1 курча в 1 день з'їдає 10 г зерна. Значить, 100 курчат на день з'їдають у 100 разів більше, тобто

10 г X 100 = 1000 г = 1 кг. У 100 днів вони з'їдять ще в 100 разів більше, тобто 1 кг X 100 = 100 кг = 1 ц. Отже, 100 курчат за 100 днів з'їдають цілий центнер зерна.

Є рішення швидше: курчат більше в 10 разів і годувати треба довше в 10 разів, значить, всього зерна треба більше в 100 разів, тобто 100 кг. Однак у всіх цих міркуваннях є один недогляд. Подумаємо та знайдемо помилку у міркуваннях.

: -Звернімо увагу на останнє міркування: «100 курчат в один день з'їдають 1 кг зерна, а за 100 днів вони з'їдять у 100 разів більше. »

Адже за 100 днів (це ж більше трьох місяців!) курчата помітно підростуть і в день з'їдатимуть вже не по 10 г зерна, а грамів по 40 - 50, тому що звичайна курка на день з'їдає приблизно 100 г зерна. Значить, за 100 днів 100 курчат з'їдять не 1 ц зерна, а значно більше: центнера два-три.

А ось вам останнє завдання-головоломка про зав'язування вузла: На столі лежить шматок мотузки, витягнутий по прямій. Треба взяти його однією рукою за один, другою рукою за інший кінець і, не випускаючи кінців мотузки з рук, зав'язати вузол. » Звичайно, одні завдання легко розбирати, йдучи від даних до питання завдання, а інші, навпаки, йдучи від питання завдання до даних.

Ну, ось ми спробували розібрати це завдання, йдучи від питання до даних. Нехай вузол на мотузку вже є, а кінці його знаходяться в руках і не випускаються. Спробуємо від вирішеного завдання повернутись до її даних, до вихідного положення: мотузка лежить, витягнута на столі, і кінці її не випускаються з рук.

Виявляється, якщо виправити мотузку, не випускаючи кінців її з рук, то ліва рука, йдучи під витягнутою мотузкою і над правою рукою, тримає правий кінець мотузки; а права рука, йдучи над мотузкою і під лівою рукою, тримає лівий кінець мотузки

Думаю після такого розбору завдання всім стало ясно, як зав'язати вузол на мотузку, треба зробити все у зворотному порядку.

Ще два прийоми швидкого множення.

Я покажу вам, як швидко множити такі числа, як, наприклад, 24 і 26, 63 і 67, 84 і 86 іт. п. , тобто коли в співмножниках десятків порівну, а одиниці складають разом рівно 10. Задавайте приклади.

* 34 і 36, 53 і 57, 72 та 78,

* Вийде 1224, 3021, 5616.

Наприклад, треба 53 помножити на 57. Я 5 множу на 6 (на 1 більше, ніж 5), виходить 30 – стільки сотень у творі; 3 множу на 7, виходить 21 – стільки одиниць у творі. Отже, 53 х 57 = 3021.

* А як це пояснити?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 х 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 сот. + 5 сотів. +3 X7 = 30 сот. + 3 X 7 = 5 X 6 сотів. + 21.

Подивимося, як можна швидко перемножувати двозначні числа в межах 20. Наприклад, щоб помножити 14 на 17, треба скласти одиниці 4 і 7, вийде 11 стільки буде десятків у творі (тобто 10 одиниць). Потім треба 4 помножити на 7, вийде 28 – стільки буде одиниць у творі. Крім того, до отриманих чисел 110 і 28 треба додати ще рівно 100. Отже, 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238.

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100 + 110 + + 28.

Після цього ми вирішили такі приклади: 13 х 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 х 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Розмноження на рахунках

Ось кілька прийомів, користуючись якими будь-який вміє швидко складати на рахунках зможе швидко виконувати зустрічаються на практиці приклади у множіння.

Множення на 2 і 3 замінюється двократним і триразовим складанням.

При множенні на 4 множать спочатку на 2 і складають цей результат із собою.

Множення числа на 5 виконується на рахунках так: переносять усе число одним дротом вище, тобто множать його на 10, а потім ділять це 10-кратне число навпіл (як поділяти на 2 за допомогою рахунків).

Замість множення на 6 множать на 5 і додають множення.

Замість множення на 7, множать на 10 і віднімають множиться три рази.

Множення на 8 замінюють множенням на 10 мінус два множені.

Так само множать на 9: замінюють множенням на 10 мінус одне множиться.

При множенні на 10 переносять всі числа одним дротом вище.

Читач, мабуть, вже сам зрозуміє, як треба чинити при множенні на числа, більші 10, і які заміни тут виявляться найзручнішими. Множник 11 треба, звичайно, замінити на 10 + 1. Множник 12 замінюють на 10 + 2 або практично-на 2 +10, тобто спочатку відкладають подвоєне число, а потім додають удесятерене. Множник 13 замінюється на 10 + 3 тощо.

Розглянемо кілька особливих випадків для множників першої сотні:

Легко бачити, між іншим, що за допомогою рахунків дуже зручно множити на такі числа, як на 22, 33, 44, 55 тощо; тому треба прагнути при розбивці множників користуватись подібними числами з однаковими цифрами.

До подібних прийомів вдаються і при множенні на числа, великі 100. Якщо подібні штучні прийоми стомлюючі, то ми завжди, звичайно, можемо помножити за допомогою рахунків за загальним правилом, помножуючи кожну цифру множника і записуючи приватні твори - це все ж таки дає деяке скорочення часу .

"Російський" спосіб множення

Ви не можете виконати множення багатозначних чисел, хоча б навіть двозначних, якщо не пам'ятаєте напам'ять всіх результатів множення однозначних чисел, тобто того, що називається таблицею множення. У старовинній «Арифметиці» Магніцького, про яку ми вже згадували, необхідність твердого знання таблиці множення оспівання у таких (чужих для сучасного слуху) віршах:

Якщо хтось не твердить таблиці і гордить, Не може пізнати числом що множити

І по всі науки невільний від муки, Коліко не вчить туні ся пригнічить

І на користь не буде ще забуде.

Автор цих віршів, вочевидь, не знав чи змарнував, що існує спосіб перемножувати числа і без знання таблиці множення. Спосіб цей, схожий на наші шкільні прийоми, був вжитий в побуті російських селян і успадкований ними від давнини.

Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл за одночасного подвоєння іншого числа. Ось приклад:

Розподіл навпіл продовжують доти), пека в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвоєне число і дає результат. Неважко зрозуміти, на чому цей спосіб заснований: твір не змінюється, якщо один множник зменшити вдвічі, а інший - вдвічі ж збільшити. Зрозуміло тому, що в результаті багатократного повторення цієї операції виходить шуканий твір.

Однак як вчинити, якщо при цьому нрих. Чи варто ділити навпіл число непарне?

Народний спосіб легко виходить із цієї скрути. Треба, говорить правило, у разі непарного числа кинути одиницю і ділити залишок навпіл; зате до поел еднему числу правого стовпця треба буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти нечетних чисел лівого стовпця-сума і буде шукані? л твором. Практично це роблять так, що всі рядки з парними лівими числами закреслюють; залишаються лише ті, які містять ліворуч непарне число.

Наведемо приклад (зірочки вказують, що цей рядок треба закреслити):

Склавши не закреслені числа, отримуємо цілком правильний результат: 17 + 34 + 272 = 32 На чому ґрунтується цей прийом?

Правильність прийому стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що

19Х 17 = (18 + 1) Х 17 = 18X17 +17, 9Х34 = (8 + 1) Х34 =; 8Х34 + 34 і т.д.

Ясно, що числа 17, 34 і т. п. , Втрачені при розподілі непарного числа навпіл, необхідно додати до результату останнього множення, щоб отримати добуток.

Приклади прискореного множення

Ми згадували раніше, що для виконання окремих дій множення, на які розпадається кожен із зазначених вище прийомів, існують також зручні способи. Деякі їх дуже нескладні і зручно застосовні вони настільки полегшують обчислення, що взагалі запам'ятати їх, щоб користуватися при звичайних розрахунках.

Такий, наприклад, прийом перехресного множення дуже зручний при дії з двозначними числами. Спосіб не новий; він сходить до греків та індусів і за старих часів називався «способом блискавки», або «множенням хрестиком». Тепер він забутий, і про нього не заважає нагадати1.

Нехай потрібно перемножити 24х32. Уявно маємо число за наступною схемою, одне під іншим:

Тепер послідовно робимо такі дії:

1)4X2 = 8 – це остання цифра результату.

2) 2X2 = 4; 4X3 = 12; 4+12=16; 6 – передостання цифра результату; 1 запам'ятовуємо.

3)2X3 = 6, та ще утримана в умі одиниця, маємо

7- це перша цифра результату.

Отримуємо всі цифри твору: 7, 6, 8 - 768.

Після нетривалої вправи цей прийом засвоюється дуже легко.

Інший спосіб, що полягає у вживанні так званих "доповнень", зручно застосовується в тих випадках, коли числа, що перемножуються, близькі до 100.

Припустимо, що необхідно перемножити 92X96. „Додаток" для 92 до 100 буде 8, для 96 - 4. Дія проводять за наступною схемою: множники: 92 та 96 „доповнення": 8 та 4.

Перші дві цифри результату виходять простим відніманням з множника „доповнення" множимого або навпаки; тобто з 92 віднімають 4 або з 96 віднімають 8.

8тому та іншому випадку маємо 88; до цього числа приписують твір „додатків": 8X4 = 32. Отримуємо результат 8832.

Що отриманий результат має бути вірним, наочно видно з наступних перетворень:

92х9б = 88X96 = 88 (100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96 = 4 (88 + 8) = 4Х 8 + 88X4 92х96 8832 +0

Ще приклад. Потрібно перемножити 78 на 77: множники: 78 та 77 „доповнення”: 22 та 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Третій приклад. Перемножити 99 х 9.

множники: 99 та 98 „доповнення”: 1 та 2.

99-2 = 97, 1X2 = 2.

У разі треба пам'ятати, що 97 означає тут кількість сотень. Тому складаємо.

Кандидат педагогічних наук Наталія Карпушіна.

Щоб освоїти множення багатозначних чисел, потрібно лише знати таблицю множення і вміти складати числа. По суті, вся складність у тому, як правильно розмістити проміжні результати множення (часткові твори). Прагнучи полегшити обчислення, люди вигадали безліч способів множення чисел. За багатовікову історію математики їх набралося кількадесят.

Множення способом ґрат. Ілюстрація з першої друкованої книги з арифметики. 1487 рік.

Палички Непера. Цей простий лічильник уперше був описаний у творі Джона Непера «Рабдологія». 1617 рік.

Джон Непер (1550–1617).

Модель лічильної машини Шиккарда. Це обчислювальний пристрій, що не дійшов до нас, виготовлено винахідником в 1623 році і описано ним роком пізніше в листі Йоганну Кеплеру.

Вільгельм Шіккард (1592-1635).

Спадщина індусів - спосіб ґрат

Індуси, з давніх-давен знали десяткову систему числення, воліли усний рахунок письмовому. Вони винайшли кілька способів швидкого множення. Пізніше їх запозичили араби, а ці способи перейшли до європейцям. Ті, однак, ними не обмежилися і розробили нові, зокрема, той, що вивчається в школі, - множення стовпчиком. Цей спосіб відомий з початку XV століття, у наступному столітті він міцно увійшов у вжиток у математиків, а сьогодні ним користуються повсюдно. Але чи є множення стовпчиком найкращим способом здійснення цієї арифметичної дії? Насправді існують інші, у наш час забуті способи множення, анітрохи не гірше, наприклад спосіб ґрат.

Цим способом користувалися ще в давнину, в Середньовіччі він широко поширився на Сході, а в епоху Відродження - у Європі. Метод грати називали також індійським, мусульманським або «множенням у клітинку». На Італії його називали «джелозия», чи «решітчасте множення» (gelosia у перекладі з італійської - «жалюзі», «решітчасті віконниці»). Справді, фігури з чисел, що виходили при множенні, мали схожість зі віконницями-жалюзі, які закривали від сонця вікна венеціанських будинків.

Суть цього нехитрого способу множення пояснимо на прикладі: обчислимо твір 296 × 73. Почнемо з того, що намалюємо таблицю з квадратними клітинами, в якій буде три стовпці та два рядки, - за кількістю цифр у множниках. Розділимо клітини навпіл по діагоналі. Над таблицею запишемо число 296, а праворуч вертикально - число 73. Перемножимо кожну цифру першого числа з кожною цифрою другого і запишемо твори у відповідні клітини, розташовуючи десятки над діагоналлю, а одиниці під нею. Цифри шуканого твору отримаємо складання цифр у косих смугах. При цьому рухатимемося за годинниковою стрілкою, починаючи з правої нижньої клітини: 8, 2+1+7 і т.д. Запишемо результати під таблицею, а також ліворуч від неї. (Якщо при додаванні вийде двозначна сума, вкажемо тільки одиниці, а десятки додамо до суми цифр з наступної смуги.) Відповідь: 21608. Отже, 296 x 73 = 21 608.

Спосіб ґрат ні в чому не поступається множенню стовпчиком. Він навіть простіше і надійніше, при тому, що кількість дій, що виконуються, в обох випадках однакова. По-перше, працювати доводиться лише з однозначними та двозначними числами, а ними легко оперувати в умі. По-друге, не потрібно запам'ятовувати проміжні результати та стежити за тим, як їх записувати. Пам'ять розвантажується, а увага зберігається, тому можливість помилки зменшується. До того ж спосіб ґрат дозволяє швидше отримати результат. Освоївши його, ви зможете переконатись у цьому самі.

Чому спосіб ґрат призводить до правильної відповіді? У чому полягає його "механізм"? Розберемося у цьому з допомогою таблиці, побудованої аналогічно першої, лише цьому випадку множники представлені як суми 200 + 90 + 6 і 70 + 3.

Як бачимо, у першій косій смузі стоять одиниці, у другій – десятки, у третій – сотні тощо. При додаванні вони відповідають відповідно число одиниць, десятків, сотень тощо. Подальше очевидно:

Інакше висловлюючись, відповідно до законами арифметики добуток чисел 296 і 73 обчислюється так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 0) (70 + 20 + 10) + 8 = 21608.

Палички Непера

Множення способом ґрат лежить в основі простого та оригінального лічильного приладу - паличок Непера. Його винахідник Джон Непер, шотландський барон і аматор математики, поряд із професіоналами займався удосконаленням засобів та методів обчислення. В історії науки він відомий насамперед як один із творців логарифмів.

Прилад складається із десяти лінійок, на яких розміщена таблиця множення. У кожній клітині, розділеній діагоналлю, записано добуток двох однозначних чисел від 1 до 9: у верхній частині вказано число десятків, у нижній – число одиниць. Одна лінійка (ліва) нерухома, решта можна переставляти з місця на місце, викладаючи потрібну числову комбінацію. За допомогою паличок Непера легко множити багатозначні числа, зводячи цю операцію до складання.

Наприклад, щоб обчислити добуток чисел 296 та 73, потрібно помножити 296 на 3 та на 70 (спочатку на 7, потім на 10) та скласти отримані числа. Докладемо до нерухомої лінійки три інші - з цифрами 2, 9 та 6 нагорі (вони мають утворити число 296). Тепер заглянемо до третього рядка (номери рядків вказані на крайній лінійці). Цифри у ній утворюють вже знайомий нам набір.

Складаючи їх, як у способі ґрат, отримаємо 296 x 3 = 888. Аналогічно, розглянувши сьомий рядок, знайдемо, що 296 x 7 = 2072, тоді 296 x 70 = 20 720. Таким чином,
296 x 73 = 20720 + 888 = 21608.

Палички Непера застосовувалися і для складніших операцій - поділу та вилучення квадратного кореня. Цей лічильний прилад не раз намагалися вдосконалити і зробити зручнішим та ефективнішим у роботі. Адже в ряді випадків для множення чисел, наприклад з цифрами, що повторюються, потрібні були кілька комплектів паличок. Але така проблема вирішувалася заміною лінійок циліндрами, що обертаються, з нанесеною на поверхню кожного з них таблицею множення в тому ж вигляді, як її представив Непер. Замість одного набору паличок виходило одразу дев'ять.

Подібні хитрощі справді прискорювали та полегшували розрахунки, проте не торкалися головного принципу роботи приладу Непера. Так спосіб ґрат знайшов друге життя, що тривало ще кілька століть.

Машина Шиккарда

Вчені давно замислювалися над тим, як перекласти непросту обчислювальну роботу на механічні пристрої. Перші успішні кроки у створенні рахункових машин вдалося здійснити лише XVII столітті. Вважається, що раніше за інших подібний механізм виготовив німецький математик і астроном Вільгельм Шіккард. Але за іронією долі про це знав лише вузьке коло осіб, і такий корисний винахід понад 300 років не був відомий світові. Тому воно ніяк не вплинуло на подальший розвиток обчислювальних засобів. Опис та ескізи машини Шиккарда були виявлені всього півстоліття тому в архіві Йоганна Кеплера, а трохи пізніше за документами, що збереглися, була створена її діюча модель.

По суті, машина Шиккарда є шестирозрядним механічним калькулятором, що виконує складання, віднімання, множення і розподіл чисел. У ній три частини: розмножувальний пристрій, сумирний пристрій та механізм для збереження проміжних результатів. Основою для першого послужили, як неважко здогадатися, палички Непера, згорнуті в циліндри. Вони кріпилися на шістьох вертикальних осях і поверталися за допомогою спеціальних ручок, розташованих нагорі машини. Перед циліндрами розташовувалася панель з дев'ятьма рядами вікон по шість штук у кожному, які відкривалися і закривалися бічними засувками, коли потрібно було побачити потрібні цифри і приховати решту.

У роботі лічильна машина Шиккарда дуже проста. Щоб дізнатися, чому добуток 296 x 73, потрібно встановити циліндри в положення, при якому у верхньому ряду вікон з'явиться перший множник: 000296. Твір 296 x 3 отримаємо, відкривши віконця третього ряду і підсумувавши побачені цифри, як у способі ґрат. Так само, відкривши віконця сьомого ряду, отримаємо твір 296 x 7, до якого припишемо праворуч 0. Залишається тільки скласти знайдені числа на суміжному пристрої.

Вигаданий колись індусами швидкий і надійний спосіб множення багатозначних чисел, що багато століть застосовувався при розрахунках, нині, на жаль, забутий. Адже він міг би виручити нас і сьогодні, якби під рукою не виявилося настільки звичного для всіх калькулятора.

проблема: розібратися видах множення

Ціль: ознайомлення з різними способами множення натуральних чисел, що не використовуються на уроках, та їх застосування при обчисленні числових виразів.
Завдання:
1. Знайти та розібрати різні способи множення.
2. Навчитися демонструвати деякі способи множення.
3. Розповісти про нові способи множення та навчити ними користуватися учнів.
4. Розвинути навички самостійної роботи: пошук інформації, відбір та оформлення знайденого матеріалу.
5. Експеримент «який спосіб швидше»
Гіпотеза: Чи потрібно знати таблицю множення?
Актуальність: Останнім часом учні довіряють гаджетам більше, ніж собі. І тому вважають лише на калькуляторах. Ми хотіли показати що є різні способи множення, щоб учням було легше вважати, і цікаво вчити.
ВСТУП
Ви не зможете виконати множення багатозначних чисел - хоча б навіть двозначних - якщо не пам'ятаєте напам'ять всіх результатів множення однозначних чисел, тобто того, що називається таблицею множення.
У різні часи різні народи володіли різними способами множення натуральних чисел.
Чому ж зараз усі народи застосовують один спосіб множення «стовпчиком»?
Чому люди відмовилися від старих способів множення на користь сучасного?
Чи мають забуті способи множення право існування у наш час?
Щоб відповісти на ці запитання, я проробив таку роботу:
1. За допомогою мережі Інтернет знайшов інформацію про деякі способи множення, які використовувалися раніше.;
2. Вивчив літературу, запропоновану учителем;
3. Вирішив пару прикладів усіма вивченими способами, щоб дізнатися про їхні недоліки;
4) виявив серед них найбільш ефективні;
5. Провів експеримент;
6. Зробив висновки.
1. Знайти та розібрати різні способи множення.
Множення на пальцях.

Давньоруський спосіб множення на пальцях є одним із найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці. Вони навчилися множити на пальцях однозначні числа від 6 до 9. При цьому достатньо було володіти початковими навичками пальцевого рахунку "одиницями", "парами", "трійками", "четвірками", "п'ятірками" та "десятками". Пальці рук тут були допоміжним обчислювальним пристроєм.

Способи множення чисел у різних країнах

Розмноження на 9.

Множення для числа 9 – 9 · 1, 9 · 2 … 9 · 10 – легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється «на пальцях». Розчепірте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки привласніть пальцям послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено малюнку).

Хто вигадав множення на пальцях

Допустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, рівним числу, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців ліворуч від загнутого пальця показує кількість десятків у відповіді, кількість пальців праворуч - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуто, праворуч – 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 = 54. Нижче малюнку детально показаний весь принцип «обчислення».

Множення незвичайним способом

Ще приклад: необхідно обчислити 9 · 8 =?. По ходу справи скажемо, що як «лічильна машинка» не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок у зошити. Закреслюємо 8 клітинку. Зліва залишилося 7 клітин, справа - 2 клітини. Значить 9 · 8 = 72. Все дуже просто.

7 клітин 2 клітини.

Індійський метод множення.

Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань було здійснено Індії. Індуси запропонували вживаний нами метод запису чисел з допомогою десяти символів: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Індуси чудово рахували. Вони вигадали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множиною, порозрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твору і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

6
Розмноження методом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

Множення чисел зараз вивчають у першому класі школи. А ось у Середні віки мало хто володів мистецтвом множення. Рідкісний аристократ міг похвалитися знанням таблиці множення, навіть якщо він закінчив європейський університет.

За тисячоліття розвитку математики було винайдено безліч способів множення чисел. Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносин і пропорційності» (1494) наводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок», а другий не менш романтична назва «Ревність чи ґратчасте множення».

Перевага способу множення "Маленький замок" в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.

Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, послідовно множаться на нижнє число і записуються в стовпчик з додаванням потрібного числа нулів. Потім результати складаються.

Способи множення чисел у різних країнах

Множення чисел методом «ревнощі».

«Методи множення Другий спосіб носить романтичну назву ревнощі», або «решітчасте множення».

Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множника та множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «…виходить картинка, схожа на решітчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. – Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити, що сидять біля вікон жінок і черниць».

Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.

У кожен рядок запишемо твір цифр, що стоять над цією клітиною і праворуч від неї, при цьому цифру десятків твору напишемо над косою межею, а цифру одиниць – під нею. Тепер складаємо числа у кожній косій смузі, виконуючи цю операцію, праворуч наліво. Якщо сума виявиться меншою за 10, то її пишемо під нижньою цифрою смуги. Якщо вона виявиться більше, ніж 10, то пишемо лише цифру одиниць суми, а цифру десятків додаємо до наступної суми. В результаті одержуємо шуканий твір 10063.

Селянський спосіб множення.

Найбільш, на мою думку, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який вживали російські селяни. Цей прийом взагалі вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність їх у цьому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до низки послідовних поділів однієї кількості навпіл за одночасного подвоєння іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до того часу, поки у приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвоєне число і дає результат.

У разі непарного числа треба відкинути одиницю та ділити залишок навпіл; зате до останнього числа правого стовпця треба буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором

Добуток усіх пар відповідних чисел однаковий, тому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

У випадку, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Новий спосіб множення.

Цікавим є новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне – як розмістити цю інформацію. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є дев'ятерічна система - всі дані просто розташовують у дев'яти осередках, розташованих як кнопочки на калькуляторі.

Вважати за такою таблицею дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, що відповідає п'ятірці, вибираємо числа, відповідні цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці та сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35

Ліву цифру (у нашому прикладі – нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль із двійкою, нуль із трійкою. Остання цифра також без змін.

У результаті отримуємо: 078235. Число 78235 є результат множення.

Якщо ж при додаванні двох цифр виходить число, що перевищує дев'ять, його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.

Укладання.

Працюючи над цією темою, я дізнався, що існує близько 30 різних, кумедних та цікавих способів множення. Деякі в різних країнах користуються досі. Я вибрав собі деякі цікаві способи. Але не всі засоби зручні у використанні, особливо при множенні багатозначних чисел.

Способи множення

Завантажити:

Попередній перегляд:

Попередній перегляд:

Схожі статті