Рівнобедрений трикутник завжди гострокутний. Властивості трикутника. У тому числі рівність і подібність, рівні трикутники, сторони трикутника, кути трикутника, площа трикутника - формули обчислення, прямокутний трикутник, рівнобедрений

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Типи трикутників

Розглянемо три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що з'єднують ці точки (рис. 1).

Трикутником називають частину площини, обмежену цими відрізками, відрізки називають сторонами трикутника, а кінці відрізків (три точки, що не лежать на одній прямій) – вершинами трикутника.

У таблиці 1 перелічені всі можливі типи трикутників залежно від величини їх кутів .

Таблиця 1 – Типи трикутників залежно від величини кутів

Малюнок	Тип трикутника	Визначення
	Гострокутний трикутник	Трикутник, у якого всі кути гострі , називають гострокутним
	Прямокутний трикутник	Трикутник, у якого один з кутів прямий називають прямокутним
	Тупокутний трикутник	Трикутник, у якого один з кутів тупий називають тупокутним

Гострокутний трикутник

Визначення: Трикутник, у якого всі кути гострі , називають гострокутним

Прямокутний трикутник

Визначення: Трикутник, у якого один з кутів прямий називають прямокутним

Тупокутний трикутник

Визначення: Трикутник, у якого один з кутів тупий називають тупокутним

Залежно від довжин сторін виділяють два важливі типи трикутників.

Таблиця 2 – Рівностегновий та рівносторонній трикутники

Малюнок	Тип трикутника	Визначення
	Рівнобедрений трикутник	бічними сторонами, а третю сторону називають основою рівнобедреного трикутника
	Рівносторонній (правильний)трикутник	Трикутник, у якого всі три сторони рівні, називають рівностороннім чи правильним трикутником

Рівнобедрений трикутник

Визначення: Трикутник, у якого дві сторони рівні, називають рівнобедреним трикутником. У цьому випадку дві рівні сторони називають бічними сторонами, а третю сторону називають основою рівнобедреного трикутника

Рівносторонній (правильний) трикутник

Визначення: Трикутник, у якого всі три сторони рівні, називають рівностороннім чи правильним трикутником

Ознаки рівності трикутників

Трикутники називають рівними, якщо їх можна поєднати накладенням .

У таблиці 3 наведено ознаки рівності трикутників.

Таблиця 3 – Ознаки рівності трикутників

Малюнок	Назва ознаки	Формулювання ознаки
	по двом сторонам та кутку між ними
	Ознака рівності трикутників по стороні та двом прилеглим до неї кутам
	Ознака рівності трикутників по трьом сторонам

Ознака рівності трикутників з обох боків і кутку між ними

Формулювання ознаки. Якщо дві сторони одного трикутника та кут між ними відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника та куту між ними, то такі трикутники рівні

Ознака рівності трикутників осторонь і двома прилеглими до неї кутами

Формулювання ознаки. Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двох прилеглих до неї кутів іншого трикутника, то такі трикутники рівні

Ознака рівності трикутників по трьох сторонах

Формулювання ознаки. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Для сторін прямокутних трикутників прийнято використовувати такі назви.

Гіпотенузою називають сторону прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута (рис. 2), дві інші сторони називають катетами.

Таблиця 4 – Ознаки рівності прямокутних трикутників

Малюнок	Назва ознаки	Формулювання ознаки
	по двом катетам
	Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та прилеглого гострого кута
	Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та протилежному гострому куту	Якщо катет і протилежний гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежному гострому куту іншого прямокутного трикутника, такі прямокутні трикутники рівні
	Ознака рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі та гострому кутку	Якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
	Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та гіпотенузі	Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету та гіпотенузі іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні

Ознака рівності прямокутних трикутників за двома катетами

Формулювання ознаки. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні

Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та прилеглому гострому кутку

Формулювання ознаки. Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника, що прилягає до нього, відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні

Ознака рівності прямокутних трикутників по катету та протилежному гострому куту

Трикутник- це багатокутник з трьома сторонами (або трьома кутами). Сторони трикутника часто позначаються маленькими літерами, які відповідають великим літерам, що позначає зворотні вершини.

Гострокутним трикутникомназивається трикутник, у якого всі три кути гострі.

Тупокутним трикутникомназивається трикутник, у якого один з кутів тупий.

Прямокутним трикутникомназивається трикутник, у якого один з кутів прямий, тобто дорівнює 90 °; сторони a, b, що утворюють прямий кут, іменуються катетами; сторона c, зворотна прямому куту, називається гіпотенузою.

Рівностегновим трикутникомназивається трикутник, у якого дві його сторони рівні (a = c); ці рівні сторони називаються бічними, третя сторона називається основою трикутника.

Рівностороннім трикутникомназивається трикутник, у якого всі його сторони рівні (a = b = c). У тому випадку в трикутнику не дорівнює жодна з його сторін (abc), то це нерівносторонній трикутник.

Основні характеристики трикутників

У будь-якому трикутнику:

Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.

Проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки. Зокрема, всі кути в рівносторонньому трикутнику рівні.

Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

Продовжуючи одну із сторін трикутника, отримуємо зовнішній кут. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

Будь-яка сторона трикутника менше суми двох інших сторін і більше їх різниці (a b - c; b a - c; c a - b).

Ознаки рівності трикутників

Трикутники рівні, тоді вони відповідно рівні:

дві сторони та кут між ними;

два кути та прилегла до них сторона;

три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Два прямокутні трикутники рівні, у тому випадку виробляється один з наступних критеріїв:

рівні їх катети;

катет та гіпотенуза 1-го трикутника рівні катету та гіпотенузі іншого;

гіпотенуза та гострий кут 1-го трикутника рівні гіпотенузі та гострому куту іншого;

катет і прилеглий гострий кут 1-го трикутника дорівнюють катету і прилеглого гострого кута іншого;

катет і протилежний гострий кут 1-го трикутника рівні катету і гострому протилежному куту іншого.

Висотатрикутника- це перпендикуляр, опущений з будь-якої вершини на зворотний бік(чи її продовження). Ця сторона називається основою трикутника. Три висоти трикутника завжди перетинаються в одній точці, що називається ортоцентром трикутника.

Ортоцентр гострокутного трикутника розташований усередині трикутника, а ортоцентр тупокутного трикутника - зовні; Ортоцентр прямокутного трикутника збігається з верхівкою прямого кута.

Медіана- Це відрізок, що з'єднує будь-яку верхівку трикутника із серединою зворотного боку. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, що завжди лежить усередині трикутника і є його центром мас. Ця точка поділяє кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини.

Бісектриса- це відрізок бісектриси кута від вершини до точки схрещення з зворотним боком. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, що завжди лежить усередині трикутника і є центром вписаного кола. Бісектриса поділяє зворотний бік на частини, пропорційні прилеглим сторонам.

Середній перпендикуляр- Це перпендикуляр, проведений із середньої точки відрізка (сторони). Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці, що є центром описаного кола.

У гострокутному трикутникуця точка лежить усередині трикутника, у тупокутному - зовні, у прямокутному - серед гіпотенузи. Ортоцентр, центр мас, описаний центр і центр вписаного кола збігаються виключно в рівносторонньому трикутнику.

Аксіома Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Підтвердження аксіоми Піфагора

Побудуємо квадрат AKMB, використовуючи гіпотенузу AB як бік. Потім продовжимо сторони прямокутного трикутника ABC те щоб отримати квадрат CDEF, сторона якого дорівнює a + b. Тепер ясно, що площа квадрата CDEF дорівнює (a + b) 2. З іншого боку, ця площа дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і квадрата AKMB, іншими словами,

c 2 + 4 (ab/2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

і маємо:

c 2 = a 2 + b 2.

Співвідношення сторін у випадковому трикутнику

У випадку (для випадкового трикутника) маємо:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

де З - кут між сторонами а та b.

school-club.ru – які бувають трикутники?

math.ru - види трикутників;

raduga.rkc-74.ru - все про трикутники для найменших.

Додатково на сайт:

Як класифікуються трикутники?

Як знайти площу трикутника?

Як знайти площу прямокутного трикутника?

Як знайти радіус вписаного в трикутник кола?

Як знайти радіус описаного навколо трикутника кола?

Як довести аксіому косінусів?

Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося із різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігуриі знайдіть у тому числі «зайву» (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що фігури № 1, 2, 3, 5 – чотирикутники. Кожна їх має свою назву (рис. 2).

Мал. 2. Чотирикутники

Значить, зайвою фігурою є трикутник (рис. 3).

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки.

Крапки називаються вершинами трикутника, відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони та три кути.За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні та тупокутні.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кути його гострі, тобто менше 90° (рис. 4).

Мал. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90° (рис. 5).

Мал. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупокутним, якщо один із його кутів тупий, тобто більше 90° (рис. 6).

Мал. 6. Тупокутний трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівностегнові, різнобічні.

Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Мал. 7. Рівностегновий трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Рівностегнові трикутники бувають гострокутними та тупокутними(Рис. 8) .

Мал. 8. Гострокутний та тупокутний рівнобедрені трикутники

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Мал. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Рівносторонні трикутникизавжди гострокутні.

Різностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Мал. 10. Різносторонній трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо за величиною кутів.

Гострокутні трикутники: №1, №3.

Прямокутні трикутники: №2, №6.

Тупокутні трикутники: №4, №5.

Ці трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різносторонні трикутники: №4, №6.

Рівностегнові трикутники: №2, №3, №5.

Рівносторонній трикутник: №1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений три частини, де дві частини мають однакову довжину, отже, з нього можна зробити рівнобедрений трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися із різними видами трикутників.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Закінчіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з …, що не лежать на одній прямій, та …, які попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають …, …, ….

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають …, …, ….

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупокутний трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) рівнобедрений трикутник.

3. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.

Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося із різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігури та знайдіть серед них «зайву» (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що фігури № 1, 2, 3, 5 – чотирикутники. Кожна їх має свою назву (рис. 2).

Мал. 2. Чотирикутники

Значить, зайвою фігурою є трикутник (рис. 3).

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки.

Крапки називаються вершинами трикутника, відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони та три кути.За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні та тупокутні.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кути його гострі, тобто менше 90° (рис. 4).

Мал. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90° (рис. 5).

Мал. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупокутним, якщо один із його кутів тупий, тобто більше 90° (рис. 6).

Мал. 6. Тупокутний трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівностегнові, різнобічні.

Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Мал. 7. Рівностегновий трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Рівностегнові трикутники бувають гострокутними та тупокутними(Рис. 8) .

Мал. 8. Гострокутний та тупокутний рівнобедрені трикутники

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Мал. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Рівносторонні трикутникизавжди гострокутні.

Різностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Мал. 10. Різносторонній трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо за величиною кутів.

Гострокутні трикутники: №1, №3.

Прямокутні трикутники: №2, №6.

Тупокутні трикутники: №4, №5.

Ці трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різносторонні трикутники: №4, №6.

Рівностегнові трикутники: №2, №3, №5.

Рівносторонній трикутник: №1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений три частини, де дві частини мають однакову довжину, отже, з нього можна зробити рівнобедрений трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися із різними видами трикутників.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні поради для вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. "Школа Росії": Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Закінчіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з …, що не лежать на одній прямій, та …, які попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають …, …, ….

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають …, …, ….

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупокутний трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) рівнобедрений трикутник.

3. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.

Найпростіший багатокутник, який вивчається у школі – це трикутник. Він зрозуміліший для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те, що існують різні видитрикутників, які мають особливі властивості.

Яка постать називається трикутником?

Утворена трьома точками та відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізки мають бути з'єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури "трикутник".

Відмінності в назвах за кутами

Оскільки вони можуть бути гострими, тупими та прямими, то й види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких постатей три.

• Перший. Якщо всі кути трикутника гострі, то він матиме назву гострокутного. Все логічно.

• Друга. Один із кутів тупий, отже трикутник тупокутний. Простіше нікуди.

• Третій. Є кут, що дорівнює 90 градусам, який називається прямим. Трикутник стає прямокутним.

Відмінності в назвах на всі боки

Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:

загальний випадок - різнобічний, у якому всі сторони мають довільну довжину;

рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;

рівносторонній, довжини всіх сторін однакові.

Якщо задачі не вказано конкретний вид трикутника, потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.

Властивості, загальні всім трикутників

1. Якщо скласти всі кути трикутника, то вийде число 180º. І неважливо, якого він вигляду. Це правило діє завжди.
2. Числове значення будь-якої сторони трикутника менше, ніж складені разом дві інші. При цьому вона ж більша, ніж їхня різниця.
3. Кожен зовнішній кут має значення, яке виходить при складанні двох внутрішніх, не суміжних із ним. Причому він завжди більший, ніж суміжний із ним внутрішній.
4. Навпроти меншої сторони трикутника завжди лежить найменший кут. І навпаки, якщо сторона велика, то й кут буде найбільшим.

Ці властивості справедливі завжди, які види трикутників не розглядалися в задачах. Всі інші випливають із конкретних особливостей.

Властивості рівнобедреного трикутника

• Кути, які прилягають до основи, рівні.
• Висота, яка проведена до основи, є також медіаною та бісектрисою.
• Висоти, медіани та бісектриси, які побудовані до бокових сторін трикутника, відповідно дорівнюють один одному.

Властивості рівностороннього трикутника

Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, рівнобедрений трикутник не обов'язково буде рівностороннім.

• Усі його кути дорівнюють один одному і мають значення 60º.
• Будь-яка медіана рівностороннього трикутника є його висотою та бісектрисою. Причому всі вони рівні один одному. Для визначення їх значень існує формула, що складається з добутку на квадратний корінь із 3, поділеного на 2.

Властивості прямокутного трикутника

• Два гострі кути дають у сумі значення 90º.
• Довжина гіпотенузи завжди більша, ніж у будь-якого з катетів.
• Числове значення медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
• Цьому ж значення дорівнює катет, якщо він лежить навпроти кута в 30º.
• Висота, проведена з вершини зі значенням 90º, має певну математичну залежність від катетів: 1/н ​​2 = 1/а 2 + 1/в 2 . Тут: а, в – катети, н – висота.

Завдання з різними видами трикутників

№1. Дано рівнобедрений трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно впізнати його сторони. Як додаткова умова: бічна сторона менша за основу в 1,2 рази.

Значення периметра безпосередньо залежить від величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер слід згадати ознаку трикутника, за яким він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в = 90. Тут а – бічна сторона, в – основа.

Настала черга додаткової умови. Наслідуючи його, виходить друге рівняння: в = 1,2а. Можна виконати підстановку цього виразу перше. Вийде: 2а + 1,2а = 90. Після перетворень: 3,2а = 90. Звідси а = 28,125 (см). Тепер неважко дізнатися про основу. Найкраще це зробити з другої умови: = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).

Для перевірки можна скласти три значення: 28,125*2+33,75=90 (см). Все вірно.

Відповідь: сторони трикутника дорівнюють 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.

Рішення. Для пошуку відповіді достатньо повернутися на той момент, де були описані властивості трикутника. Так зазначено формулу для знаходження висоти, медіани та бісектриси рівностороннього трикутника.

н = а * √3/2, де н – висота, а – сторона.

Підстановка та обчислення дають такий результат: н = 6 √3 (см).

Цю формулу необов'язково запам'ятовувати. Досить, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому це сторона вихідного, другий катет - половина відомої сторони. Тепер потрібно записати теорему Піфагора та вивести формулу для висоти.

Відповідь: висота дорівнює 6 √3 см.

№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів у якому становить кут К. Відомі сторони МР і КР, вони рівні відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.

Рішення. Якщо зробити креслення, стає ясно, що МР — гіпотенуза. Причому вона вдвічі більша за катет КР. Знову слід звернутися до властивостей. Одне з них пов'язане з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30 º. Значить шуканий кут Р дорівнюватиме 60º. Це випливає з іншої властивості, яка стверджує, що сума двох гострих кутів має дорівнювати 90 º.

Відповідь: кут Р дорівнює 60 º.

№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута на підставі дорівнює 110º.

Рішення. Оскільки даний лише зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює з внутрішнім кутом розгорнутий. Значить у сумі вони дадуть 180 º. Тобто кут при основі трикутника дорівнюватиме 70º. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке саме значення. Залишилося вирахувати третій кут. За якістю, загальною всім трикутників, сума кутів дорівнює 180º. Отже, третій визначиться як 180 º - 70 º - 70 º = 40 º.

Відповідь: кути дорівнюють 70º, 70º, 40º.

№5. Відомо, що в рівнобедреному трикутнику кут, що лежить навпроти основи, дорівнює 90º. На підставі зазначено крапку. Відрізок, що з'єднує її з прямим кутом, ділить його щодо 1 до 4. Потрібно дізнатися про всі кути меншого трикутника.

Рішення. Один із кутів можна визначити відразу. Оскільки трикутник прямокутний та рівнобедрений, то ті, що лежать біля його основи, будуть по 45º, тобто по 90º/2.

Другий із них допоможе знайти відоме в умові ставлення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться, виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90º/5 = 18º. Залишилось дізнатися третій. Для цього від 180º (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45º та 18º. Обчислення нескладні і вийде: 117º.