Визначте гострий кут між прямими. Кут між прямими на площині. Перпендикулярно даній прямій

Стаття розповідає про знаходження кута між площинами. Після наведення визначення поставимо графічну ілюстрацію, розглянемо докладний спосіб знаходження методом координат. Отримаємо формулу для площин, що перетинаються, в яку входять координати нормальних векторів.

У матеріалі будуть використані дані та поняття, які раніше були вивчені у статтях про площину та пряму у просторі. Для початку необхідно перейти до міркувань, що дозволяють мати певний підхід до визначення кута між двома площинами, що перетинаються.

Задані дві площини, що перетинаються γ 1 і γ 2 . Їх перетин прийме позначення c. Побудова площини пов'язана з перетином цих площин. Площина проходить через точку М в якості прямої c . Проводитиметься перетин площин γ 1 і γ 2 за допомогою площини χ . Приймаємо позначення прямої, що перетинає γ 1 і за пряму a , а перетинає 2 і за пряму b . Виходить, що перетин прямих a і b дає точку M .

Розташування точки M не впливає на кут між прямими a і b, що перетинаються, а точка M розташовується на прямій c, через яку проходить площину χ.

Необхідно побудувати площину 1 з перпендикулярністю до прямої c і відмінну від площини . Перетин площин 1 і 2 за допомогою 1 прийме позначення прямих а 1 і b 1 .

Видно, що при побудові χ і χ 1 прямі a і b перпендикулярні до прямої c , тоді і а 1 , b 1 розташовуються перпендикулярно до прямої c . Знаходження прямих a і а 1 у площині γ 1 з перпендикулярністю до прямої c тоді їх можна вважати паралельними. Так само розташування b і b 1 в площині γ 2 з перпендикулярністю прямої c говорить про їх паралельність. Отже, необхідно зробити паралельне перенесення площини χ 1 на χ де отримаємо дві збігаються прямі a і а 1 , b і b 1 . Отримуємо, що кут між прямими a і b 1, що перетинаються, дорівнює куту перетинаються прямих a і b .

Розглянемо на малюнку, наведеному нижче.

Дане судження доводиться тим, що між прямими, що перетинаються, a і b є кут, який не залежить від розташування точки M , тобто точки перетину. Ці прямі розташовуються в площинах 1 і 2 . Фактично, що вийшов кут можна вважати кутом між двома площинами, що перетинаються.

Перейдемо до визначення кута між наявними площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 .

Визначення 1

Кутом між двома площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2називають кут, що утворився шляхом перетину прямих a і b , де площини 1 і 2 мають перетин з площиною , перпендикулярної прямої c .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Визначення може бути подане в іншій формі. При перетині площин γ 1 і γ 2 , де c - пряма, на якій вони перетнулися, відзначити точку M , через яку провести прямі a і b перпендикулярні прямий c і лежать у площинах γ 1 і γ 2 тоді кут між прямими a і b буде кутом між площинами. Практично це можна застосувати для побудови кута між площинами.

При перетині утворюється кут, який за значенням менше 90 градусів, тобто градусна міра кута дійсна на проміжку такого виду (0 , 90 ).

Звичайний спосіб для знаходження кута між площинами, що перетинаються, - це виконання додаткових побудов. Це сприяє визначати його з точністю, причому робити це можна за допомогою ознак рівності або подоби трикутника, синусів, косинусів кута.

Розглянемо розв'язання задач на прикладі з завдань ЄДІблоку C 2 .

Приклад 1

Заданий прямокутний паралелепіпед АВС D A 1 B 1 C 1 D 1 , де сторона АВ = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7, точка E поділяє сторону А А 1 щодо 4: 3 . Знайти кут між площинами АВС і ED 1 .

Рішення

Для наочності необхідно виконати креслення. Отримаємо, що

Наочне уявлення необхідне для того, щоб було зручніше працювати з кутом між площинами.

Виробляємо визначення прямої лінії, по якій відбувається перетин площин А В С і В E D 1 . Точка B є загальною точкою. Слід знайти ще одну загальну точку перетину. Розглянемо прямі DA і D 1 E , які розташовуються в одній площині A D D 1 . Їхнє розташування не говорить про паралельність, отже, вони мають загальну точку перетину.

Однак, пряма D A розташована в площині АВС, а D 1 E в B E D 1 . Звідси отримуємо, що прямі D Aі D 1 Eмають загальну точку перетину, яка є загальною і для площин АВС і BED 1 . Позначає точку перетину прямих D Aта D 1 E літерою F. Звідси отримуємо, що B F є прямою, по якій перетинаються площини АВ і В E D 1 .

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Для отримання відповіді необхідно зробити побудову прямих, розташованих у площинах АВ і В E D 1 з проходженням через точку, що знаходиться на прямій B F і перпендикулярній їй. Тоді кут, що вийшов, між цими прямими вважається шуканим кутом між площинами А В С і В E D 1 .

Звідси видно, що точка A – проекція точки E на площину АВС. Необхідно провести пряму, що перетинає під прямим кутом пряму BF у точці М. Видно, що пряма АМ – проекція прямої ЕМ на площину АВС, виходячи з теореми про ті перпендикуляри A M ⊥ B F . Розглянемо рисунок, зображений нижче.

∠ A M E - це кут, що утворюється, утворений площинами А В С і В E D 1 . З трикутника А Е М, що вийшов, можемо знайти синус, косинус або тангенс кута, після чого і сам кут, тільки при відомих двох сторонах його. За умовою маємо, що довжина А Е знаходиться таким чином: пряма А А 1 розділена точкою E щодо 4: 3, тобто повну довжину прямої – 7 частин, тоді А Е = 4 частин. Знаходимо А М.

Необхідно розглянути прямокутний трикутникА В F. Маємо прямий кут A з висотою А М. З умови АВ = 2 тоді можемо знайти довжину A F подобою трикутників D D 1 F і A E F . Отримуємо, що A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Необхідно знайти довжину сторони B F із трикутника A B F , використовуючи теорему Піфагора. Отримуємо, що B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Довжина сторони АМ знаходиться через площу трикутника AB F . Маємо, що площа може дорівнювати як S A B C = 1 2 · A B · A F , так і S A B C = 1 2 · B F · A M .

Отримуємо, що A M = A B · A F B F = 2 · 4 2 5 = 4 5 5

Тоді можемо знайти значення тангенса кута трикутника А Е М. Отримаємо:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Шуканий кут, що отримується перетином площин А В С і B E D 1 дорівнює a r c t g 5 тоді при спрощенні отримаємо a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Відповідь: a r c t g 5 = r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Деякі випадки знаходження кута між прямими, що перетинаються, задаються за допомогою координатної площини О х у z і методом координат. Розглянемо докладніше.

Якщо дана задача, де необхідно знайти кут між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 , шуканий кут позначимо за α .

Тоді задана система координат показує, що маємо координати нормальних векторів площин, що перетинаються γ 1 і γ 2 . Тоді позначимо, що n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z є нормальним вектором площини γ 1, а n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - для площини γ 2 . Розглянемо докладне знаходження кута, розташованого між цими площинами координатами векторів.

Необхідно позначити пряму, по якій відбувається перетин площин 1 і 2 буквою c . На прямій маємо точку M , через яку проводимо площину , перпендикулярну c . Площина χ по прямих a і b виробляє перетин площин 1 і 2 в точці M . з визначення слід, що кут між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 дорівнює куту перетинаються прямих a і b , що належать цим площинам відповідно.

У площині відкладаємо від точки M нормальні вектори і позначаємо їх n 1 → і n 2 → . Вектор n 1 → розташовується на прямій, перпендикулярній до прямої a , а вектор n 2 → на прямій, перпендикулярній до прямої b . Звідси отримуємо, що задана площина має нормальний вектор прямий a , рівний n 1 → і для прямої b , рівний n 2 → . Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Звідси отримуємо формулу, за якою можемо обчислити синус кута прямих, що перетинаються, за допомогою координат векторів. Отримали, що косинусом кута між прямими a і b те ж, що і косинус між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 виводиться з формули cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , де маємо, що n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) і n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) є координатами векторів представлених площин.

Обчислення кута між прямими, що перетинаються, проводиться за формулою

α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Приклад 2

За умовою дано паралелепіпед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , де АВ = 2 , A D = 3 , АВ 1 = 7 , а точка E поділяє сторону АВ 1 4: 3 . Знайти кут між площинами АВС і BED1.

Рішення

З умови видно, що сторони його попарно перпендикулярні. Це означає, що необхідно ввести систему координат О х у z з вершиною в точці З координатними осями О х, О у, О z . Необхідно поставити напрямок з відповідних сторін. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Пересічні площини А В Сі B E D 1утворюють кут, який можна знайти за формулою α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , в якій n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) і n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) є нормальними векторами цих площин. Потрібно визначити координати. На малюнку бачимо, що координатна вісь О х у збігається в площині АВС, це означає, що координати нормального вектора k → дорівнюють значенню n 1 ​​→ = k → = (0 , 0 , 1) .

За нормальний вектор площини B E D 1 приймається векторний добуток B E → і B D 1 → , де їх координати знаходяться шляхом координат крайніх точок, Е, D 1 які визначаються, виходячи з умови завдання.

Отримуємо, що B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Тому що A E E A 1 = 4 3 з координат точок A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 знайдемо E 2 , 3 , 4 . Отримуємо, що B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 · j → - 6 · k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Необхідно зробити підстановку знайдених координат формулу обчислення кута через арккосинус. Отримуємо

α = a r c cos 0 · 12 + 0 · (- 6) + 1 · (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 · 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Метод координат дає аналогічний результат.

Відповідь: a r c cos 6 6 .

Завершальна задача розглядається з метою знаходження кута між площинами, що перетинаються, при наявних відомих рівняннях площин.

Приклад 3

Обчислити синус, косинус кута і значення кута, утвореного двома прямими, що перетинаються, які визначені в системі координат О х у z і задані рівняннями 2 x - 4 y + z + 1 = 0 і 3 y - z - 1 = 0 .

Рішення

При вивченні теми загального рівняння прямої виду A x + B y + C z + D = 0 виявили, що А, В є коефіцієнтами, рівними координатам нормального вектора. Отже, n 1 → = 2, - 4, 1 і n 2 → = 0, 3, - 1 є нормальним векторами заданих прямих.

Необхідно підставити координати нормальних векторів площин у формулу обчислення шуканого кута площин, що перетинаються. Тоді отримуємо, що

α = a r c cos 2 · 0 + - 4 · 3 + 1 · (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Звідси маємо, що косинус кута набуває вигляду cos α = 13 210 . Тоді кут прямих, що перетинаються, не є тупим. Підставивши в тригонометричну тотожність, отримуємо, що значення синуса кута дорівнює виразу. Обчислимо та отримаємо, що

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Відповідь: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Так як , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих рівносильні умовам паралельності та перпендикулярності їх напрямних векторів та :

Дві прямі паралельнітоді й лише тоді, коли відповідні коефіцієнти пропорційні, тобто. l 1 паралельна l 2 тоді і тільки тоді, коли паралельний .

Дві прямі перпендикулярніі тоді, коли сума творів відповідних коефіцієнтів дорівнює нулю: .

У гол між прямою та площиною

Нехай пряма d- не перпендикулярна площині θ;
d′− проекція прямий dна площину θ;
Найменший із кутів між прямими dі d′ ми назвемо кутом між прямою та площиною.
Позначимо його як φ=( d,θ)
Якщо d⊥θ , то ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→ − прямокутна система координат.
Рівняння площини:

θ: Ax+By+Cz+D=0

Вважаємо, що пряма задана точкою та напрямним вектором: d[M 0,p→]
Вектор n→(A,B,C)⊥θ
Тоді залишається з'ясувати кут між векторами n→ і p→, позначимо його як γ=( n→,p→).

Якщо кут γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Якщо кут γ>π/2 , то кут, що шукається φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тоді, кут між прямою та площиноюможна вважати за формулою:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Вопрос29. Концепція квадратичні форми. Знаковизначеність квадратичних форм.

Квадратичною формою j (х 1, х 2, …, x n) n дійсних змінних х 1, х 2, …, x nназивається сума виду
, (1)

де a ij - Деякі числа, звані коефіцієнтами. Не обмежуючи спільності, можна вважати, що a ij = a ji.

Квадратична форма називається дійсною,якщо a ij Î ГR. Матрицею квадратичної форминазивається матриця, складена з її коефіцієнтів. Квадратичній формі (1) відповідає єдина симетрична матриця
Т. е. А Т = А. Отже, квадратична форма (1) може бути записана матричному вигляді j ( х) = х Т Ах, де х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

І, навпаки, будь-якій симетричній матриці (2) відповідає єдина квадратична форма з точністю до позначення змінних.

Рангом квадратичної форминазивають ранг її матриці. Квадратична форма називається невиродженою,якщо невиродженою є її матриця А. (нагадаємо, що матриця Аназивається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю). У інакшеквадратична форма є виродженою.

позитивно визначеною(або суворо позитивною), якщо

j ( х) > 0 для будь-якого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Матриця Апозитивно визначеної квадратичної форми j ( х) також називається позитивно визначеною. Отже, позитивно визначеної квадратичної форми відповідає єдина позитивно визначена матриця і навпаки.

Квадратична форма (1) називається негативно визначеною(або суворо негативною), якщо

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Аналогічно як і вище, матриця негативно визначеної квадратичної форми також називається негативно визначеною.

Отже, позитивно (негативно) певна квадра-тична форма j ( х) досягає мінімального (максимального) значення j ( х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Зазначимо, що більшість квадратичних форм перестав бути знаковизначеними, тобто вони є ні позитивними, ні негативними. Такі квадратичні форми звертаються до 0 як початку системи координат, а й у інших точках.

Коли n> 2 потрібні спеціальні критерії перевірки знаковизначеності квадратичної форми. Розглянемо їх.

Головними мінорамиквадратичної форми називаються мінори:

тобто це мінори порядку 1, 2, …, nматриці А, розташовані у лівому верхньому куті, останній з них збігається з визначником матриці А.

Критерій позитивної визначеності (Критерій Сільвестра)

х) = х Т Ахбула позитивно визначеною, необхідно і достатньо, що всі головні мінори матриці Абули позитивні, тобто: М 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Критерій негативної визначеності Для того щоб квадратична форма j ( х) = х Т Ахбула негативно визначеною, необхідно і достатньо, щоб її головні мінори парного порядку були позитивні, а непарного – негативні, тобто: М 1 < 0, M 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)n

Кут φ загальними рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 обчислюється за формулою:

Кут φ між двома прямими, заданими канонічними рівняннями(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 і (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2 обчислюється за формулою:

Відстань від точки до прямої

Кожну площину у просторі можна як лінійне рівняння, зване загальним рівняннямплощині

Приватні випадки.

o Якщо у рівнянні (8) , то площина проходить через початок координат.

o При (,) площина паралельна осі(осі, осі) відповідно.

o При (,) площина паралельна площині (площині, площині).

Рішення: використовуємо (7)

Відповідь: загальне рівняння площини.

приклад.

Площина у прямокутній системі координат Oxyz задана загальним рівнянням площини. . Запишіть координати всіх звичайних векторів цієї площини.

Нам відомо, що коефіцієнти при змінних x, y та z у загальному рівнянні площини є відповідними координатами нормального вектора цієї площини. Отже, нормальний вектор заданої площини має координати. Безліч всіх нормальних векторів можна поставити як.

Напишіть рівняння площини, якщо у прямокутній системі координат Oxyz у просторі вона проходить через точку , а - Нормальний вектор цієї площини.

Наведемо два розв'язки цього завдання.

З умови маємо. Підставляємо ці дані до загального рівняння площини, що проходить через точку:

Напишіть загальне рівняння площини паралельної координатної площини Oyz і проходить через точку .

Площина, яка паралельна координатній площині Oyz може бути задана загальним неповним рівнянням площини виду . Бо точка належить площині за умовою, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння площини, тобто має бути справедлива рівність. Звідси знаходимо. Таким чином, шукане рівняння має вигляд.

Рішення. Векторний твір за визначенням 10.26 ортогонально векторам p і q. Отже, воно ортогонально шуканої площини і вектор можна взяти її нормального вектора. Знайдемо координати вектора n:

тобто . Використовуючи формулу (11.1), отримаємо

Розкривши в цьому рівнянні дужки, приходимо до остаточної відповіді.

Відповідь: .

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

У паралельних площин той самий вектор нормалі. 1) З рівняння знайдемо вектор нормалі площини:.

2) Рівняння площини складемо по точці вектору нормалі:

Відповідь:

Векторні рівняння площини в просторі

Параметричне рівняння площини у просторі

Рівняння площини, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору

Нехай у тривимірному просторі задана прямокутна декартова система координат. Сформулюємо таке завдання:

Скласти рівняння площини, що проходить через цю точку M(x 0, y 0, z 0) перпендикулярно даному вектору n = ( A, B, C} .

Рішення. Нехай P(x, y, z) - довільна точка простору. Крапка Pналежить площині тоді і лише тоді, коли вектор MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ортогональний вектор n = {A, B, C) (рис.1).

Написавши умову ортогональності цих векторів (n, MP) = 0 у координатній формі, отримаємо:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Рівняння площини за трьома точками

У векторному вигляді

у координатах

Взаємне розташування площин у просторі

– загальні рівняннядвох площин. Тоді:

1) якщо то площині збігаються;

2) якщо то площини паралельні;

3) якщо або , то площини перетинаються і система рівнянь

(6)

є рівняннями прямої перетину даних площин.

Рішення: Канонічні рівняння прямої складемо за формулою: Відповідь:

Беремо отримані рівняння і подумки «відщипуємо», наприклад, лівий шматочок: . Тепер цей шматочок прирівнюємо до будь-якого числа(Пам'ятаємо, що нуль вже був), наприклад, до одиниці: . Так як , то і два інших «шматки» теж повинні дорівнювати одиниці. По суті, потрібно вирішити систему:

Скласти параметричні рівняння наступних прямих:

Рішення: Прямі задані канонічними рівняннями і першому етапі слід знайти якусь точку, що належить прямої, і її напрямний вектор.

а) З рівнянь знімаємо точку та напрямний вектор: . Крапку можна вибрати й іншу (як це зробити – розказано вище), але краще взяти саму очевидну. До речі, щоб уникнути помилок, завжди підставляйте її координати на рівняння.

Складемо параметричні рівняння даної прямої:

Зручність параметричних рівнянь у тому, що з допомогою дуже легко знаходити інші точки прямий. Наприклад, знайдемо точку , координати якої, скажімо, відповідають значенню параметра:

Таким чином: б) Розглянемо канонічні рівняння . Вибір точки тут нескладний, але підступний: (будьте уважні, не переплутайте координати!). Як витягнути напрямний вектор? Можна поміркувати, чому паралельна дана пряма, а можна використовувати простий формальний прийом: у пропорції знаходяться «гравець» і «зет», тому запишемо напрямний вектор, а на місце поставимо нуль: .

Складемо параметричні рівняння прямої:

в) Перепишемо рівняння у вигляді, тобто «зет» може бути будь-яким. А якщо будь-яким, то нехай, наприклад, . Таким чином, точка належить даній прямій. Для знаходження напрямного вектора використовуємо наступний формальний прийом: у вихідних рівняннях знаходяться «ікс» та «гравець», і в напрямному векторі на даних місцях записуємо нулі: . На місце, що залишилося, ставимо одиницю: . Замість одиниці підійде будь-яке число, крім нуля.

Запишемо параметричні рівняння прямої:

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

Перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) у цьому напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1), яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямий, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то кут між ними визначається за формулою

Слід звернути увагу на те, що в чисельнику дробу з кутового коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт першої прямої.

Якщо рівняння прямої задані у загальному вигляді

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

кут між ними визначається за формулою

4. Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

5. Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координати точки перетину двох прямих знаходять, розв'язуючи систему рівнянь (6). Прямі (6) перетинаються в тому і лише в тому випадку, коли

1. Напишіть рівняння прямих, що проходять через точку M, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна заданій прямій l.

а. Нехай дані дві прямі Ці прямі як було зазначено в розділі 1, утворюють різні позитивні та негативні кути, які при цьому можуть бути як гострими, так і тупими. Знаючи один із цих кутів ми легко знайдемо якийсь інший.

Між іншим, у всіх цих кутів чисельна величина тангенсу одна й та сама, відмінність може бути лише у знаку

Рівняння прямих. Числа суть проекції напрямних векторів першої та другої прямої Кут між цими векторами дорівнює одному з кутів, що утворюються прямими лініями. Тому завдання зводиться до визначення кута між векторами.

Для простоти можна умовитися під кутом між двома прямими розуміти гострий позитивний кут (як, наприклад, рис. 53).

Тоді тангенс цього кута завжди буде позитивним. Таким чином, якщо в правій частині формули (1) вийде знак мінус, ми його повинні відкинути, тобто зберегти тільки абсолютну величину.

приклад. Визначити кут між прямими

За формулою (1) маємо

с. Якщо буде зазначено, яка зі сторін кута є його початком і яка кінцем, то, відраховуючи завжди напрям кута проти годинникової стрілки, ми можемо формули (1) витягти щось більше. Як неважко переконатися із рис. 53 знак, що виходить у правій частині формули (1), буде вказувати, який саме - гострий або тупий - кут утворює друга пряма з першою.

(Дійсно, з рис, 53 ми вбачаємо, що кут між першим і другим напрямними векторами або дорівнює шуканому куту між прямими, або відрізняється від нього на ±180 °.)

d. Якщо прямі паралельні, то паралельні та їх напрямні вектори Застосовуючи умову паралельності двох векторів отримаємо!

Це умова необхідна і достатня для паралельності двох прямих.

приклад. Прямі

паралельні, оскільки

e. Якщо прямі перпендикулярні, то їх напрямні вектори теж перпендикулярні. Застосовуючи умову перпендикулярності двох векторів ми отримаємо умову перпендикулярності двох прямих, а саме

приклад. Прямі

перпендикулярні через те, що

У зв'язку з умовами паралельності та перпендикулярності вирішимо наступні два завдання.

f. Через точку провести пряму паралельно даній прямій

Рішення проводиться так. Оскільки пряма паралельна даної, то за її напрямний вектор можна взяти той же самий, що і у даної прямої, тобто вектор з проекціями А і В. А тоді рівняння шуканої прямої напишеться у формі (§ 1)

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (1; 3) паралельно прямий

буде наступне!

g. Через точку провести пряму перпендикулярно даній прямій

Тут за напрямний вектор не годиться брати вектор з проекціями А і , а треба віяти вектор, йому перпендикулярний. Проекції цього вектора мають бути обрані таким чином, згідно з умовою перпендикулярності обох векторів, тобто згідно з умовою

Виконати ж цю умову можна незліченною безліччю способів, тому що тут одне рівняння з двома невідомими. Але найпростіше взяти йди ж. Тоді рівняння шуканої прямої напишеться у формі

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (-7; 2) перпендикулярної прямої

буде наступне (за другою формулою)!

h. У тому випадку, коли прямі задані рівняннями виду

переписуючи ці рівняння інакше, маємо