Три рівняння знайти невідоме доданок. Загальні відомості про рівняння. Спільне використання правил
Рівняння - одна зі складних тем для засвоєння, але при цьому вони є досить потужним інструментом для вирішення більшості завдань.
За допомогою рівнянь описуються різні процеси, що протікають в природі. Рівняння широко застосовуються в інших науках: в економіці, фізиці, біології та хімії.
В даному уроці ми спробуємо зрозуміти суть найпростіших рівнянь, навчимося виражати невідомі і вирішимо кілька рівнянь. У міру засвоєння нових матеріалів, рівняння будуть ускладнюватися, тому зрозуміти основи дуже важливо.
попередні навички зміст урокуЩо таке рівняння?
Рівняння - це рівність, що містить в собі змінну, значення якої потрібно знайти. Це значення має бути таким, щоб при його підстановці в вихідне рівняння виходило вірну числову рівність.
Наприклад вираз 3 + 2 \u003d 5 є рівністю. При обчисленні лівій частині виходить правильне числове рівність 5 \u003d \u200b\u200b5.
А ось рівність 3 + x \u003d 5 є рівнянням, оскільки містить в собі змінну x , Значення якої можна знайти. Значення має бути таким, щоб при підстановці цього значення в вихідне рівняння, вийшло вірне числове рівність.
Іншими словами, ми повинні знайти таке значення, при якому знак рівності виправдав би своє місце розташування - ліва частина повинна бути дорівнює правій частині.
Рівняння 3 + x \u003d 5 є елементарним. значення змінної x дорівнює числу 2. При будь-якому іншому значенні рівність соблюдáться НЕ буде
Кажуть, що число 2 є коренем або рішенням рівняння3 + x = 5
корінь або вирішення рівняння - це значення змінної, при якому рівняння звертається в правильне числове рівність.
Корній може бути кілька чи не бути зовсім. Розв'язати рівняння означає знайти його коріння або довести, що коренів немає.
Змінну, що входить в рівняння, інакше називають невідомим. Ви маєте право називати як вам зручніше. Це синоніми.
Примітка. словосполучення "розв'язати рівняння" каже самó за себе. Вирішити рівняння означає «зрівняти» рівність - зробити його збалансованим, щоб ліва частина дорівнювала правій частині.
Висловити одне через інше
Вивчення рівнянь за традицією починається з того, щоб навчитися виражати одне число, що входить в рівність, через ряд інших. Давайте не будемо порушувати цю традицію і вчинимо також.
Розглянемо такий вираз:
8 + 2
Цей вираз є сумою чисел 8 і 2. Значення цього виразу дорівнює 10
8 + 2 = 10
Отримали рівність. Тепер можна виразити будь-яке число з цієї рівності через інші числа, що входять в цей же рівність. Наприклад, висловимо число 2.
Щоб висловити число 2, потрібно поставити запитання: «що потрібно зробити з числами 10 і 8, щоб отримати число 2». Зрозуміло, що для отримання числа 2, потрібно з числа 10 відняти число 8.
Так і робимо. Записуємо число 2 і через знак рівності говоримо, що для отримання цього числа 2 ми з числа 10 відняли число 8:
2 = 10 − 8
Ми висловили число 2 з рівності 8 + 2 \u003d 10. Як видно з прикладу, нічого складного в цьому немає.
При вирішенні рівнянь, зокрема при вираженні одного числа через інші, знак рівності зручно замінювати на слово « є » . Робити це потрібно подумки, а не в самому вираженні.
Так, висловлюючи число 2 з рівності 8 + 2 \u003d 10 ми отримали рівність 2 \u003d 10 - 8. Дане рівність можна прочитати так:
2 є 10 − 8
Тобто знак = замінений на слово «є». Більш того, рівність 2 \u003d 10 - 8 можна перевести з математичної мови на повноцінний людську мову. Тоді егоможно буде прочитати таким чином:
число 2 є різницю числа 10 і числа 8
число 2 є різниця між числом 10 і числом 8.
Але ми обмежимося лише заміною знака рівності на слово «є», і то будемо робити це не завжди. Елементарні висловлювання можна розуміти і без перекладу математичної мови на мову людський.
Повернемо вийшло рівність 2 \u003d 10 - 8 в первісний стан:
8 + 2 = 10
Висловимо в цей раз число 8. Що потрібно зробити з іншими числами, щоб отримати число 8? Вірно, потрібно з числа 10 відняти число 2
8 = 10 − 2
Повернемо вийшло рівність 8 \u003d 10 - 2 в первісний стан:
8 + 2 = 10
Цього разу висловимо число 10. Але виявляється, що десятку висловлювати не потрібно, оскільки вона вже виражена. Досить поміняти місцями ліву і праву частину, тоді вийде те, що нам потрібно:
10 = 8 + 2
приклад 2. Розглянемо рівність 8 - 2 \u003d 6
Висловимо з цього рівності число 8. Щоб висловити число 8 інші два числа потрібно скласти:
8 = 6 + 2
Повернемо вийшло рівність 8 \u003d 6 + 2 в первісний стан:
8 − 2 = 6
Висловимо з цього рівності число 2. Щоб висловити число 2, потрібно з 8 відняти 6
2 = 8 − 6
приклад 3. Розглянемо рівність 3 × 2 \u003d 6
Висловимо число 3. Щоб висловити число 3, потрібно 6 розділити 2
Повернемо вийшло рівність в первісний стан:
3 × 2 \u003d 6
Висловимо з цього рівності число 2. Щоб висловити число 2, потрібно 6 розділити 3
приклад 4. Розглянемо рівність
Висловимо з цього рівності число 15. Щоб висловити число 15, потрібно перемножити числа 3 і 5
15 \u003d 3 × 5
Повернемо вийшло рівність 15 \u003d 3 × 5 в первісний стан:
Висловимо з цього рівності число 5. Щоб висловити число 5, потрібно 15 розділити 3
Правила знаходження невідомих
Розглянемо кілька правил знаходження невідомих. Можливо, вони вам знайомі, але не заважає повторити їх ще раз. Надалі їх можна буде забути, оскільки ми навчимося вирішувати рівняння, не застосовуючи ці правила.
Повернемося до першого прикладу, який ми розглядали в попередній темі, де в рівність 8 + 2 \u003d 10 потрібно висловити число 2.
У рівності 8 + 2 \u003d 10 числа 8 і 2 є складовою частиною, а число 10 - сумою.
Щоб висловити число 2, ми надійшли в такий спосіб:
2 = 10 − 8
Тобто із суми 10 відняли доданок 8.
Тепер уявімо, що в рівність 8 + 2 \u003d 10 замість числа 2 розташовується змінна x
8 + x = 10
У цьому випадку рівність 8 + 2 \u003d 10 перетворюється в рівняння 8 + x\u003d 10, а змінна x невідомого доданка
Наше завдання знайти це невідоме доданок, тобто вирішити рівняння 8 + x\u003d 10. Для знаходження невідомого доданка передбачено наступне правило:
Щоб знайти невідоме доданок, потрібно з суми відняти відомий доданок.
Що ми в принципі і зробили, коли висловлювали двійку в рівність 8 + 2 \u003d 10. Щоб висловити доданок 2, ми з суми 10 відняли інше доданок 8
2 = 10 − 8
А зараз, щоб знайти невідоме доданок x , Ми повинні з суми 10 відняти відоме складова 8:
x = 10 − 8
Якщо обчислити праву частину отриманого рівності, то можна дізнатися чому дорівнює змінна x
x = 2
Ми вирішили рівняння. значення змінної x дорівнює 2. Для перевірки значення змінної x відправляють у вихідне рівняння 8 + x\u003d 10 і підставляють замість x.Так бажано робити з будь-яким вирішеним рівнянням, оскільки не можна бути точно впевненим, що рівняння вирішено правильно:
В результаті
Це ж правило діяло б в разі, якщо невідомим доданком було б перше число 8.
x + 2 = 10
У цьому рівнянні x - це невідоме доданок, 2 - відоме доданок, 10 - сума. Щоб знайти невідоме доданок x , Потрібно з суми 10 відняти відоме складова 2
x = 10 − 2
x = 8
Повернемося до другого наприклад з попередньої теми, де в рівність 8 - 2 \u003d 6 потрібно висловити число 8.
У рівності 8 - 2 \u003d 6 число 8 це зменшуване, число 2 - від'ємник, число 6 - різниця
Щоб висловити число 8, ми надійшли в такий спосіб:
8 = 6 + 2
Тобто склали різницю 6 і від'ємник 2.
Тепер уявімо, що в рівність 8 - 2 \u003d 6 замість числа 8 розташовується змінна x
x − 2 = 6
У цьому випадку змінна x бере на себе роль так званого невідомого зменшуваного
Для знаходження невідомого зменшуваного передбачено наступне правило:
Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник.
Що ми і зробили, коли висловлювали число 8 в рівність 8 - 2 \u003d 6. Щоб висловити уменьшаемое 8, ми до різниці 6 додали від'ємник 2.
А зараз, щоб знайти невідоме зменшуване x , Ми повинні до різниці 6 додати від'ємник 2
x = 6 + 2
Якщо обчислити праву частину, то можна дізнатися чому дорівнює змінна x
x = 8
Тепер уявімо, що в рівність 8 - 2 \u003d 6 замість числа 2 розташовується змінна x
8 − x = 6
У цьому випадку змінна x бере на себе роль невідомого від'ємника
Для знаходження невідомого від'ємника передбачено наступне правило:
Щоб знайти невідоме від'ємник, потрібно від зменшуваного відняти різницю.
Що ми і зробили, коли висловлювали число 2 в рівність 8 - 2 \u003d 6. Щоб висловити число 2, ми з зменшуваного 8 відняли різниця 6.
А зараз, щоб знайти невідоме від'ємник x, Потрібно знову ж з зменшуваного 8 відняти різницю 6
x = 8 − 6
Обчислюємо праву частину і знаходимо значення x
x = 2
Повернемося до третього наприклад з попередньої теми, де в рівність 3 × 2 \u003d 6 ми пробували висловити число 3.
У рівності 3 × 2 \u003d 6 число 3 - це множимое, число 2 - множник, число 6 - твір
Щоб висловити число 3 ми надійшли в такий спосіб:
Тобто розділили твір 6 на множник 2.
Тепер уявімо, що в рівність 3 × 2 \u003d 6 замість числа 3 розташовується змінна x
x × 2 \u003d 6
У цьому випадку змінна x бере на себе роль невідомого множимо.
Для знаходження невідомого множимо передбачено наступне правило:
Щоб знайти невідоме множимое, потрібно твір розділити на множник.
Що ми і зробили, коли висловлювали число 3 з рівності 3 × 2 \u003d 6. Твір 6 ми розділили на множник 2.
А зараз для знаходження невідомого множимо x , Потрібно твір 6 розділити на множник 2.
Обчислення правій частині дозволяє нам знайти значення змінної x
x = 3
Це ж правило застосовується в разі, якщо змінна x розташовується замість множника, а не множимо. Уявімо, що в рівність 3 × 2 \u003d 6 замість числа 2 розташовується змінна x.
У цьому випадку змінна x бере на себе роль невідомого множника. Для знаходження невідомого множника передбачено таке ж, що і для знаходження невідомого множимо, а саме поділ праці на відомий множник:
Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на множимое.
Що ми і зробили, коли висловлювали число 2 з рівності 3 × 2 \u003d 6. Тоді для отримання числа 2 ми розділили твір 6 на множимое 3.
А зараз для знаходження невідомого множника x ми розділили твір 6 на множимое 3.
Обчислення правій частині рівності дозволяє дізнатися чому дорівнює x
x = 2
Множимо і множник разом називають співмножники. Оскільки правила перебування множимо і множника збігаються, ми можемо сформулювати загальне правило знаходження невідомого сомножителя:
Щоб знайти невідомий співмножник, потрібно твір розділити на відомий співмножник.
Наприклад, вирішимо рівняння 9 × x \u003d 18. Мінлива x є невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий співмножник, потрібно твір 18 розділити на відомий співмножник 9
вирішимо рівняння x× 3 \u003d 27. Мінлива x є невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий співмножник, потрібно твір 27 розділити на відомий співмножник 3
Повернемося до четвертого наприклад з попередньої теми, де в рівність потрібно висловити число 15. У цій рівності число 15 - це ділене, число 5 - дільник, число 3 - приватна.
Щоб висловити число 15 ми надійшли в такий спосіб:
15 \u003d 3 × 5
Тобто помножили приватне 3 на дільник 5.
Тепер уявімо, що в рівність замість числа 15 розташовується змінна x
У цьому випадку змінна x бере на себе роль невідомого діленого.
Для знаходження невідомого діленого передбачено наступне правило:
Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.
Що ми і зробили, коли висловлювали число 15 з рівності. Щоб висловити число 15, ми помножили приватне 3 на дільник 5.
А зараз, щоб знайти невідоме ділене x , Потрібно приватна 3 помножити на дільник 5
x \u003d 3 × 5
x .
x = 15
Тепер уявімо, що в рівність замість числа 5 розташовується змінна x .
У цьому випадку змінна x бере на себе роль невідомого дільника.
Для знаходження невідомого дільника передбачено наступне правило:
Що ми і зробили, коли висловлювали число 5 з рівності. Щоб висловити число 5, ми розділили ділене 15 на приватне 3.
А зараз, щоб знайти невідомий дільник x , Потрібно ділене 15 розділити на приватне 3
Обчислимо праву частину отриманого рівності. Так ми дізнаємося чому дорівнює змінна x .
x = 5
Отже, для знаходження невідомих ми вивчили такі правила:
- Щоб знайти невідоме доданок, потрібно з суми відняти відомий доданок;
- Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник;
- Щоб знайти невідоме від'ємник, потрібно від зменшуваного відняти різницю;
- Щоб знайти невідоме множимое, потрібно твір розділити на множник;
- Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на множимое;
- Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник;
- Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на приватне.
компоненти
Компонентами ми будемо називати числа і змінні, що входять в рівність
Так, компонентами складання є складові і сума
Компонентами вирахування є зменшуване, від'ємник і різницю
Компонентами множення є множимое, множник і твір
Компонентами ділення є ділене, дільник і приватне
Залежно від того, з якими компонентами ми будемо мати справу, будуть застосовуватися відповідні правила знаходження невідомих. Ці правила ми вивчили в попередній темі. При вирішенні рівнянь бажано знати ці правило напам'ять.
приклад 1. Знайти корінь рівняння 45 + x = 60
45 - доданок, x - невідоме доданок, 60 - сума. Маємо справу з компонентами складання. Згадуємо, що для знаходження невідомого доданка, потрібно з суми відняти відомий доданок:
x = 60 − 45
Обчислимо праву частину, отримаємо значення x рівне 15
x = 15
Значить корінь рівняння 45 + x \u003d 60 дорівнює 15.
Найчастіше невідоме доданок необхідно привести до виду при якому його можна було б виразити.
приклад 2. Розв'язати рівняння
Тут на відміну від попереднього прикладу, невідоме доданок можна висловити відразу, оскільки воно містить коефіцієнт 2. Наше завдання привести це рівняння до виду при якому можна було б висловити x
В даному прикладі ми маємо справу з компонентами додавання - складовими і сумою. 2 x - це перший доданок, 4 - другий доданок, 8 - сума.
При цьому доданок 2 x містить змінну x . Після знаходження значення змінної x доданок 2 x прийме інший вигляд. Тому доданок 2 x можна повністю прийняти за невідоме доданок:
Тепер застосовуємо правило знаходження невідомого доданка. Віднімаємо з суми відоме доданок:
Обчислимо праву частину отриманого рівняння:
Ми отримали нове рівняння. Тепер ми маємо справу з компонентами множення: множимо, множником і твором. 2 - множимое, x - множник, 4 - твір
При цьому змінна x є не просто множником, а невідомим множником
Щоб знайти цей невідомий множник, потрібно твір розділити на множимое:
Обчислимо праву частину, отримаємо значення змінної x
Для перевірки знайдений корінь відправимо в вихідне рівняння і підставимо замість x
приклад 3. Розв'язати рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56
Відразу висловити невідоме x не можна. Спочатку потрібно привести дане рівняння до виду при якому його можна було б виразити.
Наведемо в лівій частині даного рівняння:
Маємо справу з компонентами множення. 28 - множимое, x - множник, 56 - твір. При цьому x є невідомим множником. Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на множимое:
Звідси x дорівнює 2
рівносильні рівняння
У попередньому прикладі при вирішенні рівняння 3x + 9x + 16x = 56 , Ми привели подібні доданки в лівій частині рівняння. В результаті отримали нове рівняння 28 x \u003d 56. старе рівняння 3x + 9x + 16x = 56 і вийшло нове рівняння 28 x \u003d 56 називають рівносильними рівняннями, Оскільки їх коріння збігаються.
Рівняння називають рівносильними, якщо їх коріння збігаються.
Перевіримо це. для рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми знайшли корінь рівний 2. Підставами цей корінь спочатку в рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 , А потім в рівняння 28 x\u003d 56, яке вийшло в результаті приведення подібних доданків в лівій частині попереднього рівняння. Ми повинні отримати вірні числові рівності
Згідно з порядком дій, в першу чергу виконується множення:
Підставами корінь 2 в друге рівняння 28 x= 56
Бачимо, що у обох рівнянь коріння збігаються. значить рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 і 28 x\u003d 56 дійсно є рівносильними.
Для вирішення рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми скористалися одним з - приведенням подібних доданків. Правильне тотожне перетворення рівняння дозволило нам отримати рівносильне рівняння 28 x\u003d 56, яке простіше вирішувати.
З тотожних перетворень на даний момент ми вміємо тільки скорочувати дроби, приводити подібні доданки, виносити загальний множник за дужки, а також розкривати дужки. Існують і інші перетворення, які слід знати. Але для загального уявлення про тотожних перетвореннях рівнянь, вивчених нами тим цілком вистачає.
Розглянемо деякі перетворення, які дозволяють отримати рівносильне рівняння
Якщо до обох частин рівняння додати одне і те ж число, то вийде рівняння рівносильне даному.
і аналогічно:
Якщо з обох частин рівняння відняти одне й те саме число, то вийде рівняння рівносильне даному.
Іншими словами, корінь рівняння не зміниться, якщо до обох частин даного рівняння додати (або відняти від обох частин) одне і те ж число.
приклад 1. Розв'язати рівняння 
Віднімемо з обох частин рівняння число 10
Отримали рівняння 5 x\u003d 10. Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий співмножник x , Потрібно твір 10 розділити на відомий співмножник 5.
і підставимо замість x знайдене значення 2
Отримали вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно.
вирішуючи рівняння ми відняли з обох частин рівняння число 10. В результаті отримали рівносильне рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 2
приклад 2. Вирішити рівняння 4 ( x+ 3) = 16
Віднімемо з обох частин рівняння число 12
У лівій частині залишиться 4 x , А в правій частині число 4
Отримали рівняння 4 x\u003d 4. Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий співмножник x , Потрібно твір 4 розділити на відомий співмножник 4
Повернемося до вихідного рівняння 4 ( x+ 3) \u003d 16 і підставимо замість x знайдене значення 1
Отримали вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно.
Вирішуючи рівняння 4 ( x+ 3) \u003d 16 ми відняли з обох частин рівняння число 12. В результаті отримали рівносильне рівняння 4 x\u003d 4. Корінь цього рівняння, як і рівняння 4 ( x+ 3) \u003d 16 так само дорівнює 1
приклад 3. Розв'язати рівняння 
Розкриємо дужки в лівій частині рівності:
Додамо до обох частин рівняння число 8
Наведемо подібні доданки в обох частинах рівняння:
У лівій частині залишиться 2 x , А в правій частині число 9
В отриманому рівнянні 2 x\u003d 9 висловимо невідоме доданок x
Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість x знайдене значення 4,5
Отримали вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно.
вирішуючи рівняння ми додали до обох частин рівняння число 8. У результаті отримали рівносильне рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 4,5
Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає наступним чином
Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.
Тобто корінь рівняння не зміниться, якщо ми перенесемо доданок з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак. Ця властивість є одним з важливих і одним з найчастіше використовуваних при вирішенні рівнянь.
Розглянемо наступне рівняння:
Корінь даного рівняння дорівнює 2. Підставами замість x цей корінь і перевіримо чи виходить правильне числове рівність
Виходить вірне рівність. Значить число 2 дійсно є коренем рівняння.
Тепер спробуємо поекспериментувати зі складовими цього рівняння, переносячи їх з однієї частини в іншу, змінюючи знаки.
Наприклад, доданок 3 x розташовується в лівій частині рівності. Перенесемо його в праву частину, змінивши знак на протилежний:
вийшло рівняння 12 = 9x − 3x . в правій частині даного рівняння:
x є невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:
Звідси x\u003d 2. Як бачимо, корінь рівняння не змінився. Значить рівняння 12 + 3 x = 9x і 12 = 9x − 3x є рівносильними.
Насправді дане перетворення є спрощеним методом попереднього перетворення, де до обох частин рівняння додавалося (або віднімалося) одне і те ж число.
Ми сказали, що в рівнянні 12 + 3 x = 9x доданок 3 x було перенесено в праву частину, змінивши знак. В реальності ж відбувалося наступне: з обох частин рівняння відняли доданок 3 x
Потім в лівій частині були наведені подібні доданки і отримано рівняння 12 = 9x − 3x. Потім знову були приведені подібні доданки, але вже в правій частині, і отримано рівняння 12 \u003d 6 x.
Але так званий «перенесення» більш зручний для подібних рівнянь, тому він і отримав таке широке поширення. Вирішуючи рівняння, ми часто будемо користуватися саме цим перетворенням.
Рівносильними також є рівняння 12 + 3 x= 9x і 3x -9x= −12 . Цього разу в рівнянні 12 + 3 x= 9x доданок 12 було перенесено в праву частину, а доданок 9 x в ліву. Не слід забувати, що знаки цих доданків були змінені під час перенесення
Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає наступним чином:
Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному.
Іншими словами, корені рівняння не зміняться, якщо обидві його частини помножити або розділити на одне й те саме число. Ця дія часто застосовується тоді, коли потрібно вирішити рівняння містить дробові вирази.
Спочатку розглянемо приклади, в яких обидві частини рівняння будуть множитися на одне і те ж число.
приклад 1. Розв'язати рівняння
При вирішенні рівнянь, що містять дробові вирази, спочатку прийнято спростити це рівняння.
В даному випадку ми маємо справу саме з таким рівнянням. З метою спрощення даного рівняння обидві його частини можна помножити на 8:
Ми пам'ятаємо, що для, потрібно чисельник даної дробу помножити на це число. У нас є дві дробу і кожна з них множиться на число 8. Наше завдання помножити числители дробів на це число 8
Тепер відбувається найцікавіше. У чисельнику і знаменниках обох дробів міститься множник 8, який можна скоротити на 8. Це дозволить нам позбутися від дрібного вираження:
В результаті залишиться найпростіше рівняння
Ну і неважко здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює 4
x знайдене значення 4
Виходить вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно.
При вирішенні даного рівняння ми помножили обидві його частини на 8. У результаті маємо рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 4. Отже ці рівняння рівносильні.
Множник на який множаться обидві частини рівняння прийнято записувати перед частиною рівняння, а не після неї. Так, вирішуючи рівняння, ми помножили обидві частини на множник 8 і отримали такий запис:
Від цього корінь рівняння не змінився, але якби ми зробили це перебуваючи в школі, то нам зробили б зауваження, оскільки в алгебрі множник прийнято записувати перед тим виразом, з яким він перемножується. Тому множення обох частин рівняння на множник 8 бажано переписати таким чином:
приклад 2. Розв'язати рівняння 
У лівій частині множники 15 можна скоротити на 15, а в правій частині множники 15 і 5 можна скоротити на 5
Розкриємо дужки в правій частині рівняння:
перенесемо доданок x з лівої частини рівняння в праву частину, змінивши знак. А доданок 15 з правої частини рівняння перенесемо в ліву частину, знову ж змінивши знак:
Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо
Маємо справу з компонентами множення. Мінлива x
Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість x знайдене значення 5
Виходить вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно. При вирішенні даного рівняння ми помножили обидві го частини на 15. Далі виконуючи тотожні перетворення, ми отримали рівняння 10 \u003d 2 x . Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5. Значить ці рівняння рівносильні.
приклад 3. Розв'язати рівняння
У лівій частині можна скоротити дві трійки, а права частина буде дорівнює 18
Чи залишиться найпростіше рівняння. Маємо справу з компонентами множення. Мінлива x є невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:
Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість x знайдене значення 9
Виходить вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно.
приклад 4. Розв'язати рівняння 
Умнóжім обидві частини рівняння на 6
У лівій частині рівняння розкриємо дужки. У правій частині множник 6 можна підняти в чисельник:
Скоротимо в обох частинах рівняння то, що можна скоротити:
Перепишемо те, що у нас залишилося:
Скористаємося перенесенням доданків. Складові, що містять невідоме x , Згрупуємо в лівій частині рівняння, а складові вільні від невідомих - в правій:
Наведемо подібні доданки в обох частинах:
Тепер знайдемо значення змінної x . Для цього розділимо твір 28 на відомий співмножник 7
Звідси x= 4.
Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість x знайдене значення 4
Вийшло вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно.
приклад 5. Розв'язати рівняння 
Розкриємо дужки в обох частинах рівняння там, де це можна:
Умнóжім обидві частини рівняння на 15
Розкриємо дужки в обох частинах рівняння:
Скоротимо в обох частинах рівняння, то що можна скоротити:
Перепишемо те, що у нас залишилося:
Розкриємо дужки там, де це можна:
Скористаємося перенесенням доданків. Складові, що містять невідоме, згрупуємо в лівій частині рівняння, а складові, вільні від невідомих - в правій. Не забуваємо, що під час перенесення, складові змінюють свої знаки на протилежні:
Наведемо подібні доданки в обох частинах рівняння:
знайдемо значення x
В отриманому відповіді можна виділити цілу частину:
Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість x знайдене значення
Виходить досить громіздке вираження. Скористаємося змінними. Ліву частину рівності занесемо в змінну A , А праву частину рівності в змінну B
Наше завдання полягає в тому, щоб переконатися дорівнює чи ліва частина правої. Іншими словами, довести рівність A \u003d B
Знайдемо значення виразу, що знаходиться в змінній А.
значення змінної А одно. Тепер знайдемо значення змінної B . Тобто значення правої частини нашого рівності. Якщо і воно дорівнює, то рівняння буде вирішено вірно
Бачимо, що значення змінної B , Як і значення змінної A одно. Це означає, що ліва частина дорівнює правій частині. Звідси робимо висновок, що рівняння вирішено правильно.
Тепер спробуємо не говоріть обидві частини рівняння на одне і те ж число, а ділити.
Розглянемо рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Вирішимо його звичайним методом: складові, що містять невідомі, згрупуємо в лівій частині рівняння, а складові, вільні від невідомих - в правій. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення x
Підставами знайдене значення 2 замість x в вихідне рівняння:
Тепер спробуємо розділити всі складові рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 на яке-небудь чісло.Замечаем, що всі складові цього рівняння мають спільний множник 2. На нього і розділимо кожний доданок:
Виконаємо скорочення в кожному доданку:
Перепишемо те, що у нас залишилося:
Вирішимо це рівняння, користуючись відомими тотожними перетвореннями:
Отримали корінь 2. значить рівняння 15x+ 7x+ 7 = 35x -20x+ 21 і 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 рівносильні.
Розподіл обох частин рівняння на одне і те ж число дозволяє звільняти невідоме від коефіцієнта. У попередньому прикладі коли ми отримали рівняння 7 x\u003d 14, нам треба було розділити твір 14 на відомий співмножник 7. Але якби ми в лівій частині звільнили невідоме від коефіцієнта 7, корінь знайшовся б відразу. Для цього достатньо було розділити обидві частини на 7
Цим методом ми теж будемо користуватися часто.
Множення на мінус одиницю
Якщо обидві частини рівняння помножити на мінус одиницю, то вийде рівняння рівносильне даному.
Це правило випливає з того, що від множення (або поділу) обох частин рівняння на одне і те ж число, корінь даного рівняння не змінюється. А значить корінь не поміняється якщо обидві його частини помножити на -1.
Дане правило дозволяє поміняти знаки всіх компонентів, що входять в рівняння. Для чого це потрібно? Знову ж таки, щоб отримати рівносильне рівняння, яке простіше вирішувати.
Розглянемо рівняння. Чому дорівнює корінь цього рівняння?
Додамо до обох частин рівняння число 5
Наведемо подібні доданки:
А тепер згадаємо про. Що ж являє собою ліва частина рівняння. Це є твір мінус одиниці і змінної x
Тобто мінус, що стоїть перед змінної x, відноситься не до самої змінної x , А до одиниці, яку ми не бачимо, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати. Це означає, що рівняння насправді виглядає наступним чином:
Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти х , Потрібно твір -5 розділити на відомий співмножник -1.
або розділити обидві частини рівняння на -1, що ще простіше
Отже, корінь рівняння дорівнює 5. Для перевірки підставимо його у вихідне рівняння. Не забуваємо, що в початковому рівнянні мінус стоїть перед змінної x відноситься до невидимої одиниці
Вийшло вірну числову рівність. Значить рівняння вирішено правильно.
Тепер спробуємо помножити обидві частини рівняння на мінус одиницю:
Після розкриття дужок в лівій частині утворюється вираз, а права частина буде дорівнює 10
Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5
Значить рівняння і рівносильні.
приклад 2. Розв'язати рівняння
В даному рівнянні всі компоненти є негативними. З позитивними компонентами працювати зручніше, ніж з негативними, тому поміняємо знаки всіх компонентів, що входять в рівняння. Для цього умнóжім обидві частини даного рівняння на -1.
Зрозуміло, що від множення на -1 будь-яке число поміняє свій знак на протилежний. Тому саму процедуру множення на -1 і розкриття дужок докладно не розписують, а відразу записують компоненти рівняння з протилежними знаками.
Так, множення рівняння на -1 можна записати докладно наступним чином:
або можна просто поміняти знаки всіх компонентів:
Вийде те ж саме, але різниця буде в тому, що ми заощадимо собі час.
Отже, помноживши обидві частини рівняння на -1, ми отримали рівняння. Вирішимо дане рівняння. З обох частин віднімемо число 4 і розділимо обидві частини на 3
Коли корінь знайдений, змінну зазвичай записують в лівій частині, а її значення в правій, що ми і зробили.
приклад 3. Розв'язати рівняння
Умнóжім обидві частини рівняння на -1. Тоді всі компоненти поміняють свої знаки на протилежні:
З обох частин отриманого рівняння віднімемо 2 x і наведемо подібні доданки:
Додамо до обох частин рівняння одиницю і наведемо подібні доданки: 
Прирівнювання до нуля
Нещодавно ми дізналися, що якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.
А що буде якщо перенести з однієї частини в іншу не один доданок, а всі складові? Вірно, в тій частині звідки забрали всі складові залишиться нуль. Іншими словами, не залишиться нічого.
Як приклад розглянемо рівняння. Вирішимо дане рівняння, як зазвичай - складові, що містять невідомі згрупуємо в одній частині, а числові доданки, вільні від невідомих залишимо в інший. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення змінної x
Тепер спробуємо вирішити це ж рівняння, прирівнявши всі його компоненти до нуля. Для цього перенесемо всі складові з правої частини в ліву, змінивши знаки:
Наведемо подібні доданки в лівій частині:
Додамо до обох частин 77, і розділимо обидві частини на 7
Альтернатива правилами знаходження невідомих
Очевидно, що знаючи про тотожних перетвореннях рівнянь, можна не заучувати напам'ять правила знаходження невідомих.
Наприклад, для знаходження невідомого в рівнянні ми твір 10 ділили на відомий співмножник 2
Але якщо в рівнянні обидві частини розділити на 2 корінь знайдеться відразу. У лівій частині рівняння в чисельнику множник 2 і в знаменнику множник 2 скоротяться на 2. А права частина буде дорівнює 5
Рівняння виду ми вирішували висловлюючи невідоме доданок:
Але можна скористатися тотожними перетвореннями, які ми сьогодні вивчили. У рівнянні доданок 4 можна перенести в праву частину, змінивши знак:
У лівій частині рівняння скоротяться дві двійки. Права частина буде дорівнює 2. Звідси.
Або можна було з обох частин рівняння відняти 4. Тоді вийшло б таке:
У випадку з рівняннями виду зручніше ділити твір на відомий співмножник. Порівняємо обидва рішення:
Перше рішення набагато коротше і акуратніше. Друге рішення можна значно скоротити, якщо виконати поділ в розумі.
Проте, необхідно знати обидва методи, і тільки потім використовувати той, який більше подобається.
Коли коріння кілька
Рівняння може мати кілька коренів. наприклад рівняння x(x +9) \u003d 0 має два корені: 0 і -9.
У рівнянні x(x +9) \u003d 0 потрібно було знайти таке значення x при якому ліва частина була б дорівнює нулю. У лівій частині цього рівняння містяться вирази x і (X + 9) , Які є співмножники. Із законів множення ми знаємо, що добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю (або перший співмножник або другий).
Тобто в рівнянні x(x +9) \u003d 0 рівність буде досягатися, якщо x буде дорівнює нулю або (X + 9) дорівнюватиме нулю.
x \u003d 0 або x + 9 = 0
Прирівнявши до нуля обидва цих вираження, ми зможемо знайти корені рівняння x(x +9) \u003d 0. Перший корінь, як видно з прикладу, знайшовся одразу. Для знаходження другого кореня потрібно вирішити елементарне рівняння x+ 9 \u003d 0. Нескладно здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює -9. Перевірка показує, що корінь вірний:
−9 + 9 = 0
приклад 2. Розв'язати рівняння
Дане рівняння має два кореня: 1 і 2. Ліва частина рівняння є твір виразів ( x - 1) і ( x - 2). А добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю (або множене ( x - 1) або співмножник ( x − 2) ).
знайдемо таке x при якому вираження ( x - 1) або ( x - 2) звертаються в нулі:
Підставляємо по-черзі знайдені значення у вихідне рівняння і переконуємося, що при цих значеннях ліва частина дорівнює нулю:
Коли коріння нескінченно багато
Рівняння може мати нескінченно багато коренів. Тобто підставивши в таке рівняння будь-яке число, ми отримаємо вірну числову рівність.
приклад 1. Розв'язати рівняння 
Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння і привести подібні доданки, то вийде рівність 14 \u003d 14. Це рівність буде виходити при будь-якому x
приклад 2. Розв'язати рівняння
Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння, то вийде рівність 10x + 12 = 10x + 12. Це рівність буде виходити при будь-якому x
Коли коріння немає
Трапляється і так, що рівняння зовсім не має рішень, тобто не має коренів. Наприклад рівняння не має коренів, оскільки при будь-якому значенні x , Ліва частина рівняння не дорівнюватиме правій частині. Наприклад, нехай. Тоді рівняння прийме наступний вигляд
приклад 2. Розв'язати рівняння
Розкриємо дужки в лівій частині рівності:
Наведемо подібні доданки:
Бачимо, що ліва частина не дорівнює правій частині. І так буде при будь-якому значенні y . Наприклад, нехай y = 3 .
літерні рівняння
Рівняння може містити не тільки числа зі змінними, а й букви.
Наприклад, формула знаходження швидкості є буквеним рівнянням:
Дане рівняння описує швидкість руху тіла при рівноприскореному русі.
Корисним досвідом є вміння висловити будь-який компонент, що входить в буквене рівняння. Наприклад, щоб з рівняння визначити відстань, потрібно висловити змінну s .
Умнóжім обидві частини рівняння на t
У правій частині змінні t скоротимо на t
В отриманому рівнянні ліву і праву частину поміняємо місцями:
У нас вийшла формула знаходження відстані, яку ми вивчали раніше.
Спробуємо з рівняння визначити час. Для цього потрібно висловити змінну t .
Умнóжім обидві частини рівняння на t
У правій частині змінні t скоротимо на t і перепишемо те, що у нас залишилося:
В отриманому рівнянні v × t \u003d s обидві частини розділимо на v
У лівій частині змінні v скоротимо на v і перепишемо те, що у нас залишилося:
У нас вийшла формула визначення часу, яку ми вивчали раніше.
Припустимо, що швидкість поїзда дорівнює 50 км / год
v \u003d 50 км / год
А відстань між ними дорівнюватиме 100 км
s \u003d 100 км
Тоді буквене рівняння прийме наступний вигляд
З цього рівняння можна знайти час. Для цього потрібно зуміти висловити змінну t . Можна скористатися правилом знаходження невідомого дільника, розділивши ділене на приватне і таким чином визначити значення змінної t
або можна скористатися тотожними перетвореннями. Спочатку помножити обидві частини рівняння на t
Потім розділити обидві частини на 50
приклад 2 x
Віднімемо з обох частин рівняння a
Розділимо обидві частини рівняння на b
a + bx \u003d c , То у нас буде готове рішення. Досить буде підставити в нього потрібні значення. Ті значення, які будуть підставлятися замість букв a, b, c прийнято називати параметрами. А рівняння виду a + bx \u003d c називають рівнянням з параметрами. Залежно від параметрів, корінь буде змінюватися.
Вирішимо рівняння 2 + 4 x \u003d 10. Воно схоже на буквене рівняння a + bx \u003d c . Замість того, щоб виконувати тотожні перетворення, ми можемо скористатися готовим рішенням. Порівняємо обидва рішення:
Бачимо, що друге рішення набагато простіше і коротше.
Для готового рішення необхідно зробити невелике зауваження. параметр b не повинен бути рівним нулю (B ≠ 0) , Оскільки розподіл на нуль на допускається.
приклад 3. Дано буквене рівняння. Висловіть з даного рівняння x
Розкриємо дужки в обох частинах рівняння
Скористаємося перенесенням доданків. Параметри, що містять змінну x , Згрупуємо в лівій частині рівняння, а параметри вільні від цієї змінної - в правій.
У лівій частині винесемо за дужки множник x
Розділимо обидві частини на вираз a - b
У лівій частині чисельник і знаменник можна скоротити на a - b . Так остаточно виразиться змінна x
Тепер, якщо нам попадеться рівняння виду a (x - c) \u003d b (x + d) , То у нас буде готове рішення. Досить буде підставити в нього потрібні значення.
Припустимо нам дано рівняння 4(x -3) = 2(x+ 4) . Воно схоже на рівняння a (x - c) \u003d b (x + d) . Вирішимо його двома способами: за допомогою тотожних перетворень і за допомогою готового рішення:
Для зручності витягнемо з рівняння 4(x -3) = 2(x+ 4) значення параметрів a, b, c, d . Це дозволить нам не помилитися при підстановці:
Як і в попередньому випадку знаменник тут не повинен бути рівним нулю ( a - b ≠0). Якщо нам зустрінеться рівняння виду a (x - c) \u003d b (x + d) в якому параметри a і b будуть однаковими, ми зможемо не вирішуючи його сказати, що у даного рівняння коренів немає, оскільки різниця однакових чисел дорівнює нулю.
Наприклад, рівняння 2 (x - 3) \u003d 2 (x + 4) є рівнянням виду a (x - c) \u003d b (x + d) . У рівнянні 2 (x - 3) \u003d 2 (x + 4) параметри a і b однакові. Якщо ми почнемо його вирішувати, то прийдемо до того, що ліва частина не буде дорівнює правій частині:
приклад 4. Дано буквене рівняння. Висловіть з даного рівняння x
Наведемо ліву частину рівняння до спільного знаменника:
Умнóжім обидві частини на a
У лівій частині x винесемо за дужки
Розділимо обидві частини на вираз (1 - a)
Лінійні рівняння з одним невідомим
Розглянуті в даному уроці рівняння називають лінійними рівняннями першого ступеня з одним невідомим.
Якщо рівняння дано в першого ступеня, не містить ділення на невідоме, а також не містить коренів з невідомого, то його можна назвати лінійним. Ми ще не вивчали ступеня і коріння, тому щоб не ускладнювати собі життя, слово «лінійний» будемо розуміти як «простий».
Більшість рівнянь, розв'язаних в даному уроці, в кінцевому підсумку зводилися до простого рівняння, в якому потрібно було твір розділити на відомий співмножник. Таким наприклад є рівняння 2 ( x + 3) \u003d 16. Давайте вирішимо його.
Розкриємо дужки в лівій частині рівняння, отримаємо 2 x+ 6 \u003d 16. Перенесемо доданок 6 в праву частину, змінивши знак. Тоді отримаємо 2 x\u003d 16 - 6. Обчислимо праву частину, отримаємо 2 x\u003d 10. Щоб знайти x , Розділимо твір 10 на відомий співмножник 2. Звідси x = 5.
Рівняння 2 ( x + 3) \u003d 16 є лінійним. Воно звелося до рівняння 2 x\u003d 10, для знаходження кореня якого треба було розділити твір на відомий співмножник. Таке просте рівняння називають лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим в канонічному вигляді. Слово «канонічний» є синонімом слів «найпростіший» або «нормальний».
Лінійне рівняння першого ступеня з одним невідомим в канонічному вигляді називають рівняння виду ax \u003d b.
Отримане нами рівняння 2 x\u003d 10 є лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим в канонічному вигляді. У цього рівняння перша ступінь, одне невідоме, воно не містить ділення на невідоме і не містить коренів з невідомого, і представлено воно в канонічному вигляді, тобто в найпростішому вигляді при якому легко можна визначити значення x . замість параметрів a і b в нашому рівнянні містяться числа 2 і 10. Але подібне рівняння може містити й інші числа: позитивні, негативні або рівні нулю.
Якщо в лінійному рівнянні a \u003d 0 і b \u003d 0, то рівняння має нескінченно багато коренів. Дійсно, якщо a дорівнює нулю і b дорівнює нулю, то лінійне рівняння ax= b набуде вигляду 0 x\u003d 0. При будь-якому значенні x ліва частина буде дорівнює правій частині.
Якщо в лінійному рівнянні a \u003d 0 і b ≠ 0, то рівняння коренів не має. Дійсно, якщо a дорівнює нулю і b одно якомусь числу, не рівній нулю, скажімо числу 5, то рівняння ax \u003d b набуде вигляду 0 x\u003d 5. Ліва частина буде дорівнює нулю, а права частина п'яти. А нуль НЕ дорівнює п'яти.
Якщо в лінійному рівнянні a ≠ 0, і b одно будь-якого числа, то рівняння має один корінь. Він визначається діленням параметра b на параметр a
Дійсно, якщо a одно якомусь числу, не рівній нулю, скажімо числу 3, і b одно якомусь числу, скажімо числу 6, то рівняння набуде вигляду.
Звідси.
Існує і інша форма запису лінійного рівняння першого ступеня з одним невідомим. Виглядає вона наступним чином: ax - b\u003d 0. Це те ж саме рівняння, що і ax \u003d b
Сподобався урок?
Вступай в нашу нову групу Вконтакте і почни отримувати повідомлення про нові уроках
Довгий шлях напрацювання навичок рішення рівнянь починається з рішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різниця, добуток або приватне двох чисел, одне з яких невідомо, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, зменшуване, від'ємник, множник, ділене або дільник. Про рішення таких рівнянь і піде мова в цій статті.
Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідоме доданок, множник і т.п. Причому будемо відразу розглядати застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.
Навігація по сторінці.
Отже, підставляємо у вихідне рівняння 3 + x \u003d 8 замість x число 5, отримуємо 3 + 5 \u003d 8 - це рівність вірне, отже, ми правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми отримали невірне числове рівність, то це вказало б нам на те, що ми невірно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути або застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.
Як знайти невідоме зменшуване, від'ємник?
Зв'язок між складанням і відніманням чисел, про яку ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме від'ємник і різницю, а також правило знаходження невідомого від'ємника через відоме зменшуване і різниця. Будемо формулювати їх по черзі, і відразу приводити рішення відповідних рівнянь.
Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник.
Для прикладу розглянемо рівняння x-2 \u003d 5. Воно містить невідоме зменшуване. Наведене правило нам вказує, що для його відшукання ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме від'ємник 2, маємо 5 + 2 \u003d 7. Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.
Якщо опустити пояснення, то рішення записується так:
x-2 \u003d 5,
x \u003d 5 + 2,
x \u003d 7.
Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо у вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числове рівність 7-2 \u003d 5. Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми вірно визначили значення невідомого зменшуваного.
Можна переходити до знаходження невідомого від'ємника. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме від'ємник, треба від зменшуваного відняти різницю.
Вирішимо рівняння виду 9-x \u003d 4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є від'ємник. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відняти відому різницю 4, маємо 9-4 \u003d 5. Таким чином, шукане від'ємник дорівнює п'яти.
Наведемо короткий варіант вирішення цього рівняння:
9-x \u003d 4,
x \u003d 9-4,
x \u003d 5.
Залишається лише перевірити правильність знайденого від'ємника. Зробимо перевірку, для чого підставимо в вихідне рівняння замість x знайдене значення 5, при цьому отримуємо числове рівність 9-5 \u003d 4. Воно вірне, тому що знайшли ми значення від'ємника правильне.
І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило рішення рівнянь, яке дозволяє виконувати перенос будь-якого доданка з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком. Так ось всі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданка, зменшуваного та від'ємника з ним повністю узгоджені.
Щоб знайти невідомий множник, треба ...
Давайте поглянемо на рівняння x · 3 \u003d 12 і 2 · y \u003d 6. У них невідоме число є множником в лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба добуток розділити на відомий множник.
В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, зворотний змістом множення. Тобто, між множенням і діленням існує зв'язок: з рівності a · b \u003d c, в якому a ≠ 0 і b ≠ 0 слід, що c: a \u003d b і c: b \u003d c, і назад.
Для прикладу знайдемо невідомий множник рівняння x · 3 \u003d 12. Згідно з правилом нам треба розділити відомий твір 12 на відомий множник 3. Проведемо: 12: 3 \u003d 4. Таким чином, невідомий множник дорівнює 4.
Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівності:
x · 3 \u003d 12,
x \u003d 12: 3,
x \u003d 4.
Бажано ще зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість букви знайдене значення, отримуємо 4 · 3 \u003d 12 - правильне числове рівність, тому ми вірно знайшли значення невідомого множника.
І ще один момент: діючи з вивченого правилом, ми фактично виконуємо ділення обох частин рівняння на відмінний від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на одне і те ж відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.
Як знайти невідоме ділене, дільник?
В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому делителе і приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому подільному і приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згадана в попередньому пункті зв'язок між множенням і діленням.
Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.
Розглянемо його застосування на прикладі. Вирішимо рівняння x: 5 \u003d 9. Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5, тобто, виконуємо множення натуральних чисел: 9 · 5 \u003d 45. Таким чином, шукане ділене одно 45.
Покажемо коротку запис рішення:
x: 5 \u003d 9,
x \u003d 9 · 5,
x \u003d 45.
Перевірка підтверджує, що значення невідомого діленого знайдено вірно. Дійсно, при підстановці в вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається в правильне числове рівність 45: 5 \u003d 9.
Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння на відомий дільник. Таке перетворення не впливає на корені рівняння.
Переходимо до правилом знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на приватне.
Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник з рівняння 18: x \u003d 3. Для цього нам потрібно відоме ділене 18 розділити на відоме приватне 3, маємо 18: 3 \u003d 6. Таким чином, шуканий дільник дорівнює шести.
Рішення можна оформити і так:
18: x \u003d 3,
x \u003d 18: 3,
x \u003d 6.
Перевіримо цей результат для надійності: 18: 6 \u003d 3 - правильне числове рівність, отже, корінь рівняння знайдено вірно.
Зрозуміло, що дане правило можна застосовувати тільки тоді, коли приватна відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватна дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто, рівняння має вигляд 0: x \u003d 0, то цього рівняння задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Іншими словами, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж при рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні при яких значеннях подільника вихідне рівняння не звертається в правильне числове рівність, тобто, рівняння не має коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5: x \u003d 0, воно не має рішень.
Спільне використання правил
Послідовне застосування правил перебування невідомого доданка, зменшуваного, від'ємника, множника, діленого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною більш складного виду. Розберемося з цим на прикладі.
Розглянемо рівняння 3 · x + 1 \u003d 7. Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 · x, для цього треба від суми 7 відняти відоме складова 1, отримуємо 3 · x \u003d 7-1 і далі 3 · x \u003d 6. Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3, маємо x \u003d 6: 3, звідки x \u003d 2. Так знайдений корінь вихідного рівняння.
Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 · x-7): 3-5 \u003d 2.
(2 · x-7): 3-5 \u003d 2,
(2 · x-7): 3 \u003d 2 + 5,
(2 · x-7): 3 \u003d 7,
2 · x-7 \u003d 7 · 3,
2 · x-7 \u003d 21,
2 · x \u003d 21 + 7,
2 · x \u003d 28,
x \u003d 28: 2,
x \u003d 14.
Список літератури.
- Математика.. 4 клас. Учеб. для загальноосвіт. установ. У 2 ч. Ч. 1 / [М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін.] .- 8-е изд. - М .: Просвещение, 2011. - 112 с .: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Математика: Навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2007. - 280 с .: іл. ISBN 5-346-00699-0.
Щоб навчитися швидко і успішно розв'язувати рівняння, потрібно почати з найпростіших правил і прикладів. В першу чергу треба навчитися розв'язувати рівняння, зліва у яких варто різниця, сума, приватне або твір деяких чисел з одним невідомим, а праворуч інше число. Іншими словами, в цих рівняннях є одне невідоме доданок і або зменшуване з від'ємником, або ділене з подільником і т.д. Саме про рівняння такого типу ми з вами поговоримо.
Ця стаття присвячена основним правилам, що дозволяє знайти множники, невідомі доданки і ін. Всі теоретичні положення будемо відразу пояснювати на конкретних прикладах.
Знаходження невідомого доданка
Припустимо, у нас є деяка кількість кульок в двох вазах, наприклад, 9. Ми знаємо, що в другій вазі 4 кульки. Як знайти кількість в другій? Запишемо цю задачу в математичному вигляді, позначивши число, яке потрібно знайти, як x. Відповідно до початкового умові, це число разом з 4 утворюють 9, значить, можна записати рівняння 4 + x \u003d 9. Зліва у нас вийшла сума з одним невідомим доданком, праворуч - значення цієї суми. Як знайти x? Для цього треба використовувати правило:
визначення 1
Для знаходження невідомого доданка треба відняти відоме з суми.
В даному випадку ми надаємо віднімання сенс, який є зворотним змістом складання. Інакше кажучи, є певний зв'язок між діями додавання і віднімання, яку можна в буквеному вигляді висловити так: якщо a + b \u003d c, то c - a \u003d b і c - b \u003d a, і навпаки, з виразів c - a \u003d b і c - b \u003d a можна вивести, що a + b \u003d c.
Знаючи це правило, ми можемо знайти одне невідоме доданок, використовуючи відоме і суму. Яке саме доданок ми знаємо, перше чи друге, в даному випадку неважливо. Подивимося, як застосувати це правило на практиці.
приклад 1
Візьмемо то рівняння, що у нас вийшло вище: 4 + x \u003d 9. Згідно з правилом, нам потрібно відняти від відомої суми, що дорівнює 9, відоме доданок, рівне 4. Віднімемо одне натуральне число з іншого: 9 - 4 \u003d 5. Ми отримали потрібне нам доданок, рівне 5.
Зазвичай рішення подібних рівнянь записують наступним чином:
- Першим пишеться початкове рівняння.
- Далі ми записуємо рівняння, яке вийшло після того, як ми застосували правило обчислення невідомого доданка.
- Після цього пишемо рівняння, яке вийшло після всіх дій з числами.
Така форма запису потрібна для того, щоб проілюструвати послідовну заміну вихідного рівняння рівносильними і відобразити процес знаходження кореня. Рішення нашого простого рівняння, наведеного вище, правильно буде записати так:
4 + x \u003d 9, x \u003d 9 - 4, x \u003d 5.
Ми можемо перевірити правильність отриманої відповіді. Підставами те, що у нас вийшло, в вихідне рівняння і подивимося, чи вийде з нього правильну числову рівність. Підставами 5 в 4 + x \u003d 9 і отримаємо: 4 + 5 \u003d 9. Рівність 9 \u003d 9 вірне, значить, невідоме доданок було знайдено правильно. Якби рівність виявилося невірним, то нам слід було б повернутися до вирішення і перевірити ще раз його, оскільки це знак допущеної помилки. Як правило, найчастіше це буває обчислювальна помилка або застосування неправильного правила.
Знаходження невідомого від'ємника або зменшуваного
Як ми вже згадували в першому пункті, між процесами додавання і віднімання існує певний зв'язок. З її допомогою можна сформулювати правило, яке допоможе знайти невідоме зменшуване, коли ми знаємо різницю і від'ємник, або ж невідоме від'ємник через зменшуване або різницю. Запишемо ці два правила по черзі і покажемо, як застосовувати їх при вирішенні завдань.
визначення 2
Для знаходження невідомого зменшуваного треба додати від'ємник до різниці.
приклад 2
Наприклад, у нас є рівняння x - 6 \u003d 10. Невідомо зменшуване. Згідно з правилом, нам треба додати до різниці 10 від'ємник 6, отримаємо 16. Тобто вихідне зменшуване одно шістнадцяти. Запишемо всі рішення цілком:
x - 6 \u003d 10, x \u003d 10 + 6, x \u003d 16.
Перевіримо отриманий результат, додавши, що вийшло число в вихідне рівняння: 16 - 6 \u003d 10. Рівність 16 - 16 буде вірним, значить, ми все підрахували правильно.
визначення 3
Для знаходження невідомого від'ємника треба відняти різницю з зменшуваного.
приклад 3
Скористаємося правилом для вирішення рівняння 10 - x \u003d 8. Ми не знаємо від'ємника, тому нам треба з 10 відняти різницю, тобто 10 - 8 \u003d 2. Значить, шукане від'ємник дорівнює двом. Ось вся запис рішення:
10 - x \u003d 8, x \u003d 10 - 8, x \u003d 2.
Зробимо перевірку на правильність, підставивши двійку в вихідне рівняння. Отримаємо вірне рівність 10 - 2 \u003d 8 і переконаємося, що знайдене нами значення буде правильним.
Перед тим, як перейти до інших правил, відзначимо, що існує правило перенесення будь-яких доданків з однієї частини рівняння в іншу з заміною знака на протилежний. Всі наведені вище правила йому повністю відповідають.
Знаходження невідомого множника
Подивимося на два рівняння: x · 2 \u003d 20 і 3 · x \u003d 12. В обох нам відомо значення твору і один з множників, необхідно знайти другий. Для цього нам треба скористатися іншим правилом.
визначення 4
Для знаходження невідомого множника потрібно виконати поділ праці на відомий множник.
Дане правило базується на розумінні, що є зворотним змістом множення. Між множенням і діленням є наступна зв'язок: a · b \u003d c при a і b, що не рівних 0, c: a \u003d b, c: b \u003d c і навпаки.
приклад 4
Обчислимо невідомий множник в першому рівнянні, розділивши відоме приватне 20 на відомий множник 2. Проводимо ділення натуральних чисел і отримуємо 10. Запишемо послідовність рівностей:
x · 2 \u003d 20 x \u003d 20: 2 x \u003d 10.
Підставляємо десятку в вихідне рівність і отримуємо, що 2 · 10 \u003d 20. Значення невідомого множника було виконано правильно.
Уточнимо, що в разі, якщо один з множників нульовий, дане правило застосовувати не можна. Так, рівняння x · 0 \u003d 11 з його допомогою вирішити ми не можемо. Цей запис не має сенсу, оскільки для вирішення треба розділити 11 на 0, а розподіл на нуль не визначене. Детальніше про подібні випадки ми розповіли в статті, присвяченій лінійним рівнянням.
Коли ми застосовуємо це правило, ми, по суті, ділимо обидві частини рівняння на інший множник, відмінний від 0. Існує окреме правило, згідно з яким можна проводити такий розподіл, і вона не вплине на корені рівняння, і те, про що ми писали в цьому пункті, з ним повністю узгоджено.
Знаходження невідомого діленого або дільника
Ще один випадок, який нам потрібно розглянути, - це знаходження невідомого діленого, якщо ми знаємо дільник і приватне, а також знаходження дільника при відомому приватному і подільному. Сформулювати це правило ми можемо за допомогою вже згаданої тут зв'язку між множенням і діленням.
визначення 5
Для знаходження невідомого діленого потрібно помножити дільник на приватне.
Подивимося, як застосовується дане правило.
приклад 5
Вирішимо з його допомогою рівняння x: 3 \u003d 5. Перемножуємо між собою відоме приватне і відомий дільник і отримуємо 15, яке і буде потрібним нам діленим.
Ось короткий запис всього рішення:
x: 3 \u003d 5, x \u003d 3 · 5, x \u003d 15.
Перевірка показує, що ми все підрахували вірно, адже при розподілі 15 на 3 дійсно виходить 5. Вірну числову рівність - свідоцтво правильного рішення.
Зазначене правило можна інтерпретувати як множення правої та лівої частини рівняння на однакове відмінне від 0 число. Це перетворення ніяк не впливає на корені рівняння.
Переходимо до наступного правила.
визначення 6
Для знаходження невідомого дільника потрібно розділити ділене на приватне.
приклад 6
Візьмемо простий приклад - рівняння 21: x \u003d 3. Для його вирішення розділимо відоме ділене 21 на приватне 3 і отримаємо 7. Це і буде шуканий дільник. Тепер оформляємо рішення правильно:
21: x \u003d 3, x \u003d 21: 3, x \u003d 7.
Переконався у вірності результату, підставивши сімку в вихідне рівняння. 21: 7 \u003d 3, так що корінь рівняння був обчислений вірно.
Важливо відзначити, що це правило може бути застосовано тільки для випадків, коли приватна не дорівнює нулю, адже в іншому випадку нам знову ж доведеться ділити на 0. Якщо ж приватним буде нуль, можливі два варіанти. Якщо ділене також дорівнює нулю і рівняння виглядає як 0: x \u003d 0, то значення змінної буде будь-яким, тобто дане рівняння має нескінченну кількість коренів. А ось рівняння з приватним, рівним 0, з діленим, відмінним від 0, рішень не матиме, оскільки таких значень подільника не існує. Прикладом може бути рівняння 5: x \u003d 0, яке не має жодного кореня.
Послідовне застосування правил
Найчастіше на практиці зустрічаються більш складні завдання, в яких правила знаходження доданків, зменшується, що віднімаються, множників, подільних і приватних потрібно застосовувати послідовно. Наведемо приклад.
приклад 7
У нас є рівняння виду 3 · x + 1 \u003d 7. Обчислюємо невідоме доданок 3 · x, віднявши від 7 одиницю. Отримаємо в результаті 3 · x \u003d 7 - 1, потім 3 · x \u003d 6. Це рівняння вирішити дуже просто: ділимо 6 на 3 і отримуємо корінь вихідного рівняння.
Ось короткий запис вирішення ще одного рівняння (2 · x - 7): 3 - 5 \u003d 2:
(2 · x - 7): 3 - 5 \u003d 2, (2 · x - 7): 3 \u003d 2 + 5, (2 · x - 7): 3 \u003d 7, 2 · x - 7 \u003d 7 · 3, 2 · x - 7 \u003d 21, 2 · x \u003d 21 + 7, 2 · x \u003d 28, x \u003d 28: 2, x \u003d 14.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter
Урок 80-81. Тема: «Рішення рівнянь»
цілі:вчити розв'язувати рівняння з невідомим доданком; повторити співвідношення одиниць довжини; закріплювати навички ви-чисельний в стовпчик; розвивати вміння міркувати і логічно мислити.
Плановані результати: учні навчаться вирішувати рівнян-вати на знаходження невідомого доданка; виконувати пись-менниє обчислення, використовуючи вивчені прийоми; розуміти причини успіху / неуспіху навчальної діяльності.
Хід уроку
I . організаційний момент
II . Актуалізаціязнаній
математичний диктант
1. На скільки 67 менше 89? (На 22.)
2. З 7 десятків відняти 4 десятки. (30.)
3. Збільшити 23 на 32. (55.)
4. Яке число я зменшила на 27 і отримала 23? (50.)
5. На скільки потрібно збільшити 43, щоб вийшло 70? (На 27.)
6. Із суми чисел 9 і 6 відняти 10. (5.)
7. Яке число треба відняти з 64, щоб вийшло 37? (27.)
8. До якого числа додали 0 і отримали 44? (44.)
9. До 21 додати різницю чисел 14 і 6. (29.) 10. Сума чисел 33, 16,4 та 27. (80.)
(Проверка.Самооценка.)
III . Самовизначення до діяльності
Складіть ще три приклади, використовуючи даний приклад. 6 + 4 \u003d 10
(Учитель записує приклади на дошці.) 4 + 6 \u003d 10 10-4 \u003d 6 10-6 \u003d 4
Яке правило ви застосували при складанні прикладу насложеніе? (Від перестановки доданків сума не мене-ється.)
Яке правило ви застосували при складанні прикладу на віднімання? (Якщо з суми відняти один доданок, то по-ллється інше доданок.)
- Щоб дізнатися тему уроку, розгадати кросворд.
1. Вони бувають числові і літерні. (Вирази.)
2. Числа, які складають, називають. (Складові.)
3. Число, з якого віднімають. (Зменшуване.)
4. Математичний знак віднімання. (Мінус.)
5. Рівність, яке містить невідоме число. (Рівняння.)
6. Сума довжин сторін фігури. (Периметр.)
7. Вираз зі знаком «плюс». (Сума.)
8. Запис, в якій є знак «дорівнює». (Рівність.)
9. Найменша двозначне число. (Десять.)10. Латинська буква. (Ікс.)
Що вийшло в виділеному рядку? (Рішення рівнянь.)
Тема уроку: «Рішення рівнянь з невідомим доданків-мим». Які завдання ми поставимо перед собою?
IV . Робота по темі уроку
1. Робота за підручником
Розгляньте фішки доміно на с. 7 підручника і приклади, записані поруч. Як отримані приклади на віднімання? Яким правилом скористалися при їх складанні? За-закінчите висновок. ( Щоб знайти невідоме доданок, треба від суми відняти відомий доданок.)
№ 1 (с. 7).(Усне виконання.)
№2 (С. 7).(Колективне виконання з докладним поясненням.)
2. Самостійне виправлення рівнянь
Варіант 1 Варіант 2
х + 45 \u003d 92 75 + х \u003d 81
26 + х \u003d 50 х + 22 \u003d 70
(Два учні записують рішення на відкидний дошці. Про-верка. Самооцінка.)
Рішення:
х + 45 \u003d 92 75 + х \u003d 81
х \u003d 92-45 х \u003d 81-75
х \u003d47 х= 6
26 + х \u003d 50 х + 22 \u003d 70
х \u003d50 – 26 х \u003d70 - 22
3. Робота за підручником
№3 (с. 7).(Усне виконання.)
№4 (с. 7). (Самостійне виполненіе.Тем, хто відчуває утруднення-ня, учитель дає картку-помічницю з програмою рішення.) 1) Скільки склянок малини зібрала сестра?
2) Скільки склянок малини зібрали разом? (Проверка.Самооценка.)
V . Физкультминутка
Я йду, і ти йдеш - раз, два, три. (Кроки на місці.)
Я співаю, і ти співаєш - раз, два, три. (Удари в долоні.)
Ми йдемо і співаємо - раз, два, три. (Стрибки на місці.)
Дуже дружно ми живемо - раз, два, три. (Кроки на місці.)
VI . Закріплення вивченого матеріалу
Робота за підручником№ 1 (с. 14).
Які одиниці довжини ви знаєте?
Скільки міліметрів в 1 см? (Самостійне виполненіе.Проверка.) Рішення:
5 см 3 мм = 53 мм
3 см 8 мм \u003d 38 мм№2 (с. 14).
(Самостійне виполненіе.Проверка.)
1) Рішення:
АВ \u003d 3 см 5мм, CD \u003d 5 см 5 мм;
5 см 5 мм - 3 см 5 мм \u003d 2 см.
відповідь:довжина відрізка CD на 2 см більше довжини відрізка АВ.
2) Рішення: ЕКМО\u003d 2 см + 4 см + 1 см 5 мм \u003d 7 см 5 мм. №3 (с. 14).
(Самостійне виконання. Перевірка. Самооцінка.)
Рішення:
2 см = 20 мм
4 см 2 мм > 40 мм 30 мм = 3 см
4 см 5 мм < 5 см
VII . рефлексія
( «Перевір себе» (підручник, с. 7). Самостійне виконан-ня. Перевірка.)
Рішення:15 + х \u003d 35 х \u003d 35-15 х \u003d 20
VIII . Підведення підсумків уроку
Який вид рівнянь згадали сьогодні?
Як знайти невідоме доданок?
Кому потрібна допомога?
Домашнє завдання:Робочий зошит: № 10, 11 (с. 6).
Конспект уроку математики 2 клас
Мета уроку: створити необхідні умови для виведення учнями правила знаходження невідомого доданка.Завдання уроку:
формувати поняття «рівняння», «корінь рівняння»;
складати алгоритм вирішення рівняння;
закріплювати вміння складати рівняння, знаходити корінь рівняння і виконувати перевірку правильності обчислення;
удосконалювати обчислювальні навички, математичну мову, розвивати логічне мислення;
формувати навички самоконтролю, вміння працювати в парі;
формувати вміння працювати за планом, алгоритму.
Плановані результати:
Предметні:
знати і застосовувати правило знаходження невідомого доданка при вирішенні простих рівнянь;
вміти записувати і вирішувати прості рівняння на знаходження невідомого доданка.
правильно вживати в мові математичні терміни.
метапредметние:
пізнавальні : Пошук і виділення необхідної інформації; усвідомлене і довільне побудова мовного висловлювання; встановлення причинно-наслідкових зв'язків.
регулятивні : Виділення і усвідомлення учнями того, що вже засвоєно і що ще підлягає засвоєнню, звірення способу дії і його результату з заданим еталоном.
комунікативні : Емоційно позитивне ставлення до процесу співпраці, вміння слухати співрозмовника, облік різних думок і вміння обґрунтувати власне, повагу іншої точки зору.
особистісні : Формування адекватної позитивної усвідомленої самооцінки, розвиток пізнавальних інтересів, навчальних мотивів.
методи:
частково-пошуковий; словесний;
Технологічна карта уроку
I .Організація класу. Мотивація навчальної діяльності.
Сьогодні у нас відкритий урок. До нас на урок прийшли гості, поверніться до них, привітаємо їх.Тихо сідайте.
Я рада, що знову бачу ваші милі особи на нашому черговому уроці математики. Урок сьогодні - хвилюючий, ви стривожені. Давайте спробуємо підняти свій настрій, поверніться один одному, посміхніться, підтримайте один одного:
Ти сьогодні не сумуй,
Разом будемо ми в дорозі!
Молодці! Чи змінилося ваше настрій? Яке воно стало?
Подивіться на дошку і виберіть собі установку на урок:
Я буду:
уважним
старанним
працьовитим
допитливим
В кінці уроку скажете, виконали її або це не вдалося. Приступаємо до роботи.
Запис числа. Класна робота.
Уявімо число 16 у вигляді суми двох чисел, різниці двох чисел, у вигляді твору двох чисел, у вигляді різниці і твори чисел.
Так. Спокійне, радісне, зникли страх і хвилювання.
II .
Актуалізація опорних знань
Мета: вдосконалення обчислювальних навичок, повторення складу чисел
1. Поставте знаки «+» або «-»
2. Заповнимо таблицю:
висновок:3. Завдання
Від шматка тканини довжиною 24 м відрізали спочатку 6 м, а потім ще 4 м. Скільки метрів тканини залишилося в шматку?
4 . Розгадати ребус.
На які групи можна розбити ці математичні записи?
Доповни ...Рівняння - це рівність, що містить ...невідоме число
Невідоме число в рівнянні називається ...коренем рівняння
Корінь рівняння перетворює рівняння в вірне ...рівність
Числові рівності, числові нерівності, рівняння, коріння рівнянь
Рівняння.
Рівність, що містить невідоме, називається рівнянням.
Корінь рівняння - це число, при підстановці якого в рівняння замість х виходить правильне числове рівність.
III .
Виявлення місця і причини труднощі
Мета: Створення умов для виділення рівняння з невідомим від'ємником;
Виявити місце труднощі;
Зафіксувати у зовнішній промови причину утруднення
IV. Формулювання теми і мети уроку
Кожен з вас повинен згадати, як вирішуються рівняння.
– Розгляньте схеми на дошці.
Як ви думаєте, відкриття, якою закономірністю буде присвячений урок?
Відкрийте підручник (с.77), відзначте закладкою сторінку підручника і прочитайте тему уроку.
Визначте мета уроку.
Ми, поки погано можемо пояснити, як знайти невідоме доданок
Навчитися розв'язувати рівняння з невідомим доданком.
Рішення рівнянь з невідомим доданком
V . Відкриття нових знань.
Мета: виділення правила знаходження невідомого від'ємника.
Робота в групах
Знайдіть рівняння, в якому потрібно знайти невідоме перший доданок, придумайте алгоритм його рішення.Алгоритм на слайді .
Назвіть компоненти при додаванні.
Який компонент невідомий? (- Як його знайти, використовуючи «Ціле» і «Частина».
Замініть «Ціле» і «Частина» на назву компонентів дій при додаванні.
Як знайти невідоме доданок?
Де ми можемо знайти підтвердження нашим припущенням?
Порівняйте ваші висновки з тим, що пропонують автори підручника с.79
Сформулювати правило знаходження невідомого доданка.
Щоб знайти невідому частину, треба з цілого відняти відому частину.
VI .Фізкультмінутка
VII . Первинне закріплення з промовляння у зовнішній промови.
Мета: застосування правила при вирішенні рівнянь
Робота біля дошки
Сторінка 79 №6,7
Виконують завдання, промовляють нове поняття.
VIII . Самостійна робота в парах з самопроверкой в \u200b\u200bкласі.
Мета: формування вміння працювати в парах, проявляти відповідальність за власний вибір і результати своєї діяльності.
Сторінка 79. № 8
Уміння працювати в парі, використовуючи алгоритм
Правило знаходження невідомого доданка.
{!LANG-e699bfea8b0fb63feeb81ce30ec55c6f!} {!LANG-83bd5d151b3c2e37b7d294d18ad0b79f!}
{!LANG-99e28c15865847a94b4c2aef9b41e207!}
{!LANG-4798790c70f90c2df4e42676fcbb1586!}
{!LANG-4f714525e5a62da587967ead4b6fd5c0!}
{!LANG-307f3013f5243f2ce63cc3a1fbf2813e!}
{!LANG-5abb886517237f00c8576961d2fe6dff!}
{!LANG-d99058e98a6add1f5a38a83d7cbc828b!}
{!LANG-1e801cbec8a6f07145b64ce47b771c1d!}
{!LANG-e78a499381e6610d0005481a88c21f6b!}
{!LANG-dfa34c0ebca838dd66db7978643cac07!}
{!LANG-98e8b6d76594f1b33406a6d7ba399b9d!}
{!LANG-a03849179dee241548e20a22b3b466e2!}
{!LANG-fec5cf2abde9b97922ae98b21536d90b!}
{!LANG-4797f1c1f240861c92dbdad6416a76ac!}
{!LANG-5211040f279efe267b0349b0cb56dd19!}
{!LANG-f3d4a4fcc1efae9a701c9c26f1b6480a!}
{!LANG-3f76bfa86d0928a6d6e57ac4d8bcae66!}
{!LANG-c03fc0ca8c8571a6e8ec15481fe58735!}
{!LANG-0c672a9124fc530b46ec3febc7c0ab74!} «+».
{!LANG-5e66299b383d42deb5326c5e11914b3b!}{!LANG-887ac502811bdd56a9e7e01d276eb65f!}
{!LANG-d35501d914a687103db7264861090788!}
{!LANG-d1d636e8622537e862f906ec0ba11a5d!}
{!LANG-b57524fdd97f350f24e7946b2d8ca422!}
{!LANG-981e8df3deef2db26bce3f98fb0fcb6d!}
{!LANG-043f565ada1d86cd7b035f5cf9233dfb!}
{!LANG-6992b3b0ca303b224ca44a10196d87d9!}
{!LANG-68ea792ddb426c19cf21f8cec35d2d35!}
{!LANG-927234683945478a920a20566bf11250!}
{!LANG-5a0a539314b4c01c525356bef14b5623!}
{!LANG-1c574e596fb033d8073a458a70b06995!}
{!LANG-0701515c690b7eaf0db87007c8438f84!}
{!LANG-f7c136b367ceb63e38d92b94bf41fb9a!}
{!LANG-40539bf53f91f9e9c2402f974f09a267!}
{!LANG-d3932d46a030e2ff854a5d3437b4de80!}
{!LANG-76cc085b0c8da1efdb28a803408c0ba9!}
{!LANG-aa6a2de9311715e8d6da01c73d5542d8!}
{!LANG-ce1a7021ca8fdbb95aa406253e53aeeb!}
{!LANG-e8d92297ceab232b8b832545d1832e56!}
{!LANG-8b81dabaa2c271b7f58074dbfbc83f05!}
{!LANG-d315b112b7ec8c9806fec67a3f776c1b!}
{!LANG-e2871a41c429691089523f2f2d64af40!}
{!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!} + 120 = 220{!LANG-48e139d1eb6194f16d0ffeb068286414!}
