Фундаментальні дослідження. Зворотний маятник Огляд методів управління об'єкти типу Зворотній маятник

Схематичне зображення перевернутого маятника на візку. Стрижень не має маси. Масу візка та масу кулі на кінці стрижня позначимо через Мі m. Стрижень має довжину l.

Перевернутий маятник є маятником , який має центр мас вище своєї точки опори, закріплений на кінці жорсткого стрижня. Часто точка опори закріплюється на візку, який може переміщатися горизонталлю. У той час як нормальний маятник стійко висить вниз, зворотний маятник за своєю природою нестійкий і повинен постійно балансуватися щоб залишатися у вертикальному положенні, за допомогою застосування моменту, що крутить, до опорної точки або при переміщенні точки опори по горизонталі, як частини зворотного зв'язку системи. Найпростішим демонстраційним прикладомможе бути балансування олівця на кінці пальця.

Огляд

Перевернутий маятник є класичною проблемою динаміки та теорії управління і широко використовується як еталон для тестування алгоритмів управління (ПІД-регуляторів, нейронних мереж, нечіткого управління і т. д.).

Проблема зворотного маятника пов'язані з наведенням ракет, оскільки двигун ракети розташований нижче центру тяжкості, викликаючи нестабільність. Ця ж проблема вирішена, наприклад, у сегвеї, що самобалансується транспортному пристрої.

Іншим способом стабілізації зворотного маятника є швидке коливання основи у вертикальній площині. І тут можна уникнути зворотного зв'язку. Якщо коливання досить сильні (у сенсі величини прискорення та амплітуди), зворотний маятник може стабілізуватися. Якщо точка , що рухається , коливається відповідно до простих гармонійних коливань , то рух маятника описується функцією Матьє .

Рівняння руху

З нерухомою точкою опори

Рівняння руху аналогічно прямому маятнику за винятком того, що знак кутового положення вимірюється від вертикальної позиції нестійкої рівноваги :

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\ddot (\theta))-(g \over \ell )\sin \theta =0)

При переносі, він матиме той самий знак кутового прискорення:

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ (\displaystyle (\ddot (\theta))=(g \over \ell )\sin \theta )

Таким чином, зворотний маятник прискорюватиметься від вертикальної нестійкої рівноваги в протилежний бік, а прискорення буде обернено пропорційно до довжини. Високий маятник падає повільніше, ніж короткий.

Маятник на візку

Рівняння руху можна отримати з допомогою рівнянь Лагранжа . Йдеться про наведений вище малюнок, де θ (t) (\displaystyle \theta (t))кут маятника завдовжки l (\displaystyle l)по відношенню до вертикалі та чинної сили гравітації та зовнішніх сил F (\displaystyle F)в напрямку x (\displaystyle x). Визначимо x(t) (\displaystyle x(t))становище візка. Лагранжіан L = T − V (\displaystyle L=T-V)системи:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − mg ℓ cos ⁡ θ (\displaystyle L=(\frac(1)(2))Mv_(1)^(2)+(\frac (1) (2))mv_(2)^(2)-mg\ell \cos \theta )

де є швидкістю візка, а - швидкість матеріальної точки m (\displaystyle m). v 1 (\displaystyle v_(1))і v 2 (\displaystyle v_(2))може бути виражена через x (\displaystyle x)і θ (\displaystyle \theta)шляхом запису швидкості як першої похідної становища.

v 1 2 = x 2 (\displaystyle v_(1)^(2)=(\dot (x))^(2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (d d t (ℓ cos ⁡ θ)) 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=\left((\frac(d)(dt) ))(\left(x-\ell \sin \theta \right))\right)^(2)+\left((\frac (d)(dt))(\left(\ell \cos \theta \) right))\right)^(2))

Спрощення виразу v 2 (\displaystyle v_(2))призводить до:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 (\dot (x))(\dot (\theta))\cos \theta +\ell ^(2)(\dot (\theta))^(2))

Лагранжіан тепер визначається за такою формулою:

L = 1 2 (M + m) x 2 − m ℓ x ? ))\left(M+m\right)(\dot (x))^(2)-m\ell (\dot (x))(\dot (\theta))\cos \theta +(\frac ( 1)(2))m\ell ^(2)(\dot (\theta))^(2)-mg\ell \cos \theta )

та рівняння руху:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) ))(\mathrm (d) t))(\partial (L) \over \partial (\dot (x )))-(\partial (L) \over \partial x)=F) d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) ))(\mathrm (d) t))(\partial (L) \over \partial (\dot (\ theta)))-(\partial (L) \over \partial \theta )=0)

Підстановка L (\displaystyle L)у ці висловлювання з наступним спрощенням призводить до рівнянь, що описують рух зворотного маятника:

(M + m) x − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F (\displaystyle \left(M+m\right)(\ddot (x))-m\ell ( \ddot (\theta))\cos \theta +m\ell (\dot (\theta))^(2)\sin \theta = F) ℓ θ ¨ − g sin ?

Ці рівняння є нелінійними, але оскільки мета системи управління - утримувати маятник вертикально, то рівняння можна лінеаризувати, прийнявши θ ≈ 0 (\displaystyle \theta \approx 0).

Маятник з основою, що вагається.

Рівняння руху для такого маятника пов'язане з безмасовою базою, що осцилює, і отримано так само, як для маятника на візку. Положення матеріальної точки визначається за такою формулою:

(− ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right))

та швидкість знайдена через першу похідну позиції:

v 2 = y 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . (\displaystyle v^(2)=(\dot(y))^(2)-2\ell (\dot(y))(\dot(\theta))\sin \theta +\ell ^(2) (\dot (\theta)) ^ (2).)

Лагранжіан для цієї системи можна записати у вигляді:

L = 1 2 m (y 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − mg (y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle L=(\frac (1)(2) )m\left((\dot (y))^(2)-2\ell (\dot (y))(\dot (\theta))\sin \theta +\ell ^(2)(\dot ( \theta))^(2)\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right))

рівняння руху випливають з:

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\mathrm (d) \over \mathrm (d) t)(\partial (L) \over \partial (\dot (\theta))) -(\partial (L) \over \partial \theta )=0)

Перевернутий маятник є маятником , який має центр мас вище своєї точки опори, закріплений на кінці жорсткого стрижня. Часто точка опори закріплюється на візку, який може переміщатися горизонталлю. У той час як нормальний маятник стійко висить вниз, зворотний маятник за своєю природою нестійкий і повинен постійно балансуватися щоб залишатися у вертикальному положенні, за допомогою застосування моменту, що крутить, до опорної точки або при переміщенні точки опори по горизонталі, як частини зворотного зв'язку системи. Найпростішим демонстраційним прикладом може бути балансування олівця на кінці пальця.

Огляд

Перевернутий маятник є класичною проблемою динаміки та теорії управління і широко використовується як еталон для тестування алгоритмів управління (ПІД-регуляторів, нейронних мереж, нечіткого управління і т. д.).

Проблема зворотного маятника пов'язані з наведенням ракет, оскільки двигун ракети розташований нижче центру тяжкості, викликаючи нестабільність. Ця ж проблема вирішена, наприклад, у сегвеї, що самобалансується транспортному пристрої.

Іншим способом стабілізації зворотного маятника є швидке коливання основи у вертикальній площині. І тут можна уникнути зворотного зв'язку. Якщо коливання досить сильні (у сенсі величини прискорення та амплітуди), зворотний маятник може стабілізуватися. Якщо точка , що рухається , коливається відповідно до простих гармонійних коливань , то рух маятника описується функцією Матьє .

Рівняння руху

З нерухомою точкою опори

Рівняння руху аналогічно прямому маятнику за винятком того, що знак кутового положення вимірюється від вертикальної позиції нестійкої рівноваги :

texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

При переносі, він матиме той самий знак кутового прискорення:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Таким чином, зворотний маятник прискорюватиметься від вертикальної нестійкої рівноваги в протилежний бік, а прискорення буде обернено пропорційно до довжини. Високий маятник падає повільніше, ніж короткий.

Маятник на візку

Рівняння руху можна отримати з допомогою рівнянь Лагранжа . Йдеться про наведений вище малюнок, де Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \theta(t)кут маятника завдовжки Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): lпо відношенню до вертикалі та чинної сили гравітації та зовнішніх сил Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): Fв напрямку Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc . Визначимо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): x(t)становище візка. Лагранжіан Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): L = T - Vсистеми:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

де Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc є швидкістю візка, а Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc - швидкість матеріальної точки Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): m . Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_1і Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): v_2може бути виражена через Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): xі Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \thetaшляхом запису швидкості як першої похідної становища.

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_1^2=\dot x^2 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2

Спрощення виразу Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): v_2призводить до:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжіан тепер визначається за такою формулою:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

та рівняння руху:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial( L) \ over \ partial x) = F Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L) \ over \ partial \ theta) = 0

Підстановка Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): Lу ці висловлювання з наступним спрощенням призводить до рівнянь, що описують рух зворотного маятника:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Ці рівняння є нелінійними, але оскільки мета системи управління - утримувати маятник вертикально, то рівняння можна лінеаризувати, прийнявши Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \theta \approx 0 .

Маятник з основою, що вагається.

Рівняння руху для такого маятника пов'язане з безмасовою базою, що осцилює, і отримано так само, як для маятника на візку. Положення матеріальної точки визначається за такою формулою:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

та швидкість знайдена через першу похідну позиції:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Це рівняння не має елементарного рішення в замкнутому вигляді, але може бути вивчено у багатьох напрямках. Воно близьке до рівняння Матьє, наприклад, коли амплітуда коливань мала. Аналіз показує, що маятник залишається у вертикальному положенні при швидких коливаннях. Перший графік показує, що при повільно вагається Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc , маятник швидко падає після виходу зі стійкого вертикального положення.
Якщо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): yшвидко коливається, то маятник може бути стабільним біля вертикальної позиції. Другий графік показує, що після виходу зі стійкого вертикального положення маятник тепер починає коливатися навколо вертикальної позиції ( Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): \theta = 0). Відхилення від вертикального положення залишається мало, і маятник не падає.

Застосування

Прикладом є балансування людей та предметів, наприклад, в акробатиці або катання на одноколісному велосипеді. А також сегвей - електричний самокат, що самобалансується, з двома колесами.

Перевернутий маятник був центральним компонентом у розробці кількох ранніх сейсмографів.

Див. також

Посилання

• D. Liberzon Switching in Systems and Control(2003 Springer) pp. 89ff

Подальше читання

• Franklin; та ін. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишіть відгук про статтю "Зворотний маятник"

Посилання

Уривок, що характеризує Зворотній маятник

З ними була заслана також дідусяна сестра Олександра Оболенська (пізніше – Alexis Obolensky) і, добровільно поїхали, Василь та Ганна Серьогини, які пішли за дідусем на власний вибір, оскільки Василь Нікандрович довгі роки був дідусевим повіреним у всіх його справах і одним із самих його близькі друзі.

Олександра (Alexis) Оболенська Василь та Ганна Серьогини

Напевно, треба було бути по-справжньому ДРУГОМ, щоб знайти в собі сили зробити подібний вибір і поїхати за власним бажанням туди, куди їхали, як їдуть лише на власну смерть. І цією «смертю», на жаль, тоді називався Сибір.
Мені завжди було дуже сумно і боляче за нашу, таку горду, але так безжально більшовицькими чоботями розтоптану, красуню Сибір! … І ніякими словами не розповісти, скільки страждань, болю, життів і сліз увібрала в себе ця горда, але до краю змучена, земля... Чи не тому, що колись вона була серцем нашої прабатьківщини, «далекоглядні революціонери» вирішили очорнити і занапастити цю землю, вибравши саме її для своїх диявольських цілей?... Адже для багатьох людей, навіть через багато років, Сибір все ще залишалася «проклятою» землею, де загинув чийсь батько, чийсь брат, чийсь. то син… чи може бути навіть уся чиясь родина.
Моя бабуся, яку я, на мій великий жаль, ніколи не знала, на той час була вагітна татом і дорогу переносила дуже важко. Але, звичайно ж, допомоги чекати нізвідки не доводилося... Так молода княжна Олена, замість тихого шелесту книг у сімейній бібліотеці чи звичних звуків фортепіано, коли вона грала свої улюблені твори, слухала цього разу лише зловісний стукіт коліс, які ніби грізно відраховували решту годинника її, такого крихкого, і справжнього кошмару, життя... Вона сиділа на якихось мішках біля брудного вагонного вікна і невідривно дивилася на останні жалюгідні сліди так добре їй знайомої і звичної «цивілізації», що йдуть все далі й далі.
Дідусевій сестрі, Олександрі, за допомогою друзів, на одній із зупинок вдалося втекти. За загальною згодою, вона мала дістатися (якщо пощастить) до Франції, де на Наразіжила її сім'я. Правда, ніхто з присутніх не уявляв, яким чином вона могла б це зробити, але так як це була їхня єдина, хоч і маленька, але напевно остання надія, то відмовитися від неї було надто великою розкішшю для їхнього абсолютно безвихідного становища. У Франції в той момент перебував також і чоловік Олександри – Дмитро, за допомогою якого вони сподівалися, вже звідти, спробувати допомогти дідусевій сім'ї вибратися з того кошмару, в який їх так безжально шпурнуло життя, підлими руками озвірілих людей.
Після прибуття в Курган їх поселили в холодний підвал, нічого не пояснюючи і не відповідаючи на жодні запитання. Через два дні якісь люди прийшли за дідусем, і заявили, що нібито вони прийшли «ескортувати» його в інший пункт призначення... Його забрали, як злочинця, не дозволивши взяти з собою ніяких речей, і не дозволивши пояснити, куди і скільки його везуть. Більше дідуся не бачив ніхто й ніколи. Через якийсь час невідомий військовий приніс бабусі дідові особисті речі в брудному мішку з-під вугілля... не пояснивши нічого і не залишивши жодної надії побачити його живим. На цьому будь-які відомості про дідусеву долю припинилися, ніби він зник з землі без жодних слідів і доказів.
Знівечене, змучене серце бідної княжни Олени не хотіло змиритися з такою страшною втратою, і вона буквально засинала місцевого штабного офіцера проханнями про з'ясування обставин загибелі свого коханого Миколи. Але «червоні» офіцери були сліпі й глухі до прохань самотньої жінки, як вони її звали – «з благородних», яка була для них лише однією з тисяч і тисяч безіменних «номерних» одиниць, які нічого не значили в їхньому холодному і жорстокому світі. …Це було справжнє пекло, з якого не було виходу назад у той звичний та добрий світ, В якому залишився її будинок, її друзі, і все те, до чого вона змалку була звична, і що так сильно і щиро любила ... І не було нікого, хто міг би допомогти або хоча б дав найменшу надію вижити.
Серьогін намагалися зберігати присутність духу за трьох, і намагалися будь-якими способами підняти настрій княжни Олени, але вона все глибше і глибше входила в майже повне заціпеніння, і іноді сиділа цілими днями в байдуже-замороженому стані, майже не реагуючи на спроби друзів врятувати її серце та розум від остаточної депресії. Були тільки дві речі, які ненадовго повертали її в реальний світ - якщо хтось заводив розмову про її майбутню дитину або, якщо приходили будь-які, хоч найменші, нові подробиці про загибель її гаряче улюбленого Миколи. Вона відчайдушно хотіла дізнатися (поки ще була жива), що ж по-справжньому трапилося, і де був її чоловік або хоча б де було поховано (або покинуто) його тіло.
На жаль, не залишилося майже ніякої інформації про життя цих двох мужніх і світлих людей, Олени та Миколи де Роган-Гессе-Оболенських, але навіть ті кілька рядків з двох листів Олени, що залишилися, до її невістки – Олександри, які якимось чином збереглися в сімейних архівах Олександри у Франції, показують, як глибоко і ніжно любила свого зниклого чоловіка князівна. Збереглося лише кілька рукописних аркушів, деякі рядки яких, на жаль, взагалі неможливо розібрати. Але навіть те, що вдалося – кричить глибоким болем про велику людську біду, яку, не зазнавши, нелегко зрозуміти і неможливо прийняти.

12 квітня 1927 року. З листа княжни Олени до Олександри (Alix) Оболенської:
«Сьогодні дуже втомилася. Повернулась із Синячихи зовсім розбитою. Вагони забиті людьми, навіть везти худобу в них було б соромно………………………….. Зупинялися в лісі – там так смачно пахло грибами та суницями... Важко повірити, що саме там убивали цих нещасних! Бідолашна Еллочка (мається на увазі велика княгиня Єлизавета Федорівна, яка була рідною мого дідуся по лінії Гессе) була вбита тут поряд, у цій моторошній Староселимській шахті... який жах! Моя душа не може прийняти такого. Пам'ятаєш, ми казали: «Хай земля буде пухом»?.. Великий Боже, як же може бути пухом така земля?!
О, Alix, моя мила Alix! Як же можна звикнути до такого страху? ...................... ..................... я так втомилася просити і принижуватися. Все буде марно, якщо ЧК не погодиться надіслати запит в Алапаєвськ.................. Я ніколи не дізнаюся де його шукати, і ніколи не дізнаюся, що вони з ним створили. Не проходить і години, щоб я не думала про таке рідне для мене обличчя... Який це жах уявляти, що він лежить у якійсь занедбаній ямі чи на дні копальні!.. Як можна винести цей щоденний кошмар, знаючи, що вже не побачу його ніколи?!.. Так само, як ніколи не побачить мій бідний Василек (ім'я, яке було дано при народженні мого тата)... Де ж межа жорстокості? І чому вони називають себе людьми?

DOI: 10.14529/mmph170306

СТАБІЛІЗАЦІЯ ЗВОРОТНОГО МАЯТНИКА НА ДВОКОЛІСНОМУ ТРАНСПОРТНОМУ ЗАСОБІ

В.І. Рязьких1, М.Є. Семенов2, А.Г. Рукавіцин3, О.І. Каніщева4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронезький державний технічний університет, м. Воронеж, Російська Федерація

2 Воронезький державний архітектурно-будівельний університет, м. Воронеж, Російська Федерація

3 Воронезький державний університет, м. Воронеж, Російська Федерація

4 Військовий навчально-науковий центр Військово-повітряних сил«Військово-повітряна академія імені професора Н.Є. Жуковського та Ю.А. Гагаріна», м. Воронеж, Російська Федерація

E-mail: [email protected]

Розглядається механічна система, що складається з двоколісного візка, на осі якого розташовується зворотний маятник. Завдання полягає у формуванні такого керуючого впливу, який формується за принципом зворотного зв'язку, який, з одного боку, забезпечував би заданий закон руху механічного засобу, а з іншого, стабілізувало б нестійке становище маятника.

Ключові слова: механічна система; двоколісний транспортний засіб; зворотний маятник; люфт; стабілізація; керування.

Вступ

Можливість управління нестійкими технічними системами теоретично розглядалася вже давно, проте практична значимість такого управління чітко виявилася лише в Останнім часом. Виявилося, що нестійкі об'єкти управління при відповідному управліннімають низку «корисних» якостей. Прикладами таких об'єктів можуть бути космічний корабельна етапі зльоту, термоядерний реактор та багато інших. У той же час при виході з ладу автоматичної системи управління нестійкий об'єкт може бути істотною загрозою, небезпекою і для людини, і для довкілля. Як катастрофічний приклад результатів відключення автоматичного управління можна навести аварію на Чорнобильської АЕС. У міру того, як системи управління стають все більш надійними, все ширше коло технічних нестійких без управління об'єктів застосовується на практиці. Одним із самих простих прикладівнестійких об'єктів є класичний зворотний маятник. З одного боку, завдання про його стабілізацію порівняно просте і наочне, з іншого, воно може знайти практичне застосуванняпри створенні моделей двоногих істот, а також антропоморфних пристроїв (роботів, кіберів та ін), що переміщуються на двох опорах. У Останніми рокамиз'явилися роботи, присвячені проблемам стабілізації зворотного маятника, пов'язаного з двоколісним транспортним засобом, що рухається. Ці дослідження мають потенційні перспективи застосування у багатьох галузях, таких як транспорт та розвідка, у зв'язку з компактною конструкцією, зручністю експлуатації, високою маневреністю та низькою витратою палива таких пристроїв. Проте, завдання, що розглядається, ще далека від остаточного рішення. Відомо, що багато традиційних технічні пристроїмають як стійкі, так і не стійкі стани та режими роботи. Характерний приклад - сегвей, винайдений Діном Кейменом електричний самокат, що самобалансується, з двома колесами, розташованими по обидва боки від водія. Два колеса скутера розташовані співвісно. Сегвей автоматично балансується за зміни положення корпусу водія; для цієї мети використовується система індикаторної стабілізації: сигнали з гіроскопічних та рідинних датчиків нахилу надходять на мікропроцесори, які виробляють електричні сигнали, що впливають на двигуни та керують їх рухами. Кожне колесо сегвея приводиться у обертання своїм електродвигуном, що реагує на зміни рівноваги машини. При нахилі тіла їздця вперед сегвей починає котитися вперед, при збільшенні ж кута нахилу тіла їздця швидкість сегвея збільшується. При відхиленні корпусу назад само-

кат уповільнює рух, зупиняється або котиться заднім ходом. Керування в першій моделі відбувається за допомогою поворотної рукоятки, в нових моделях - хитання колонки вліво-вправо. Завдання управління коливальними механічними системами мають значний теоретичний інтерес та велике практичне значення.

Відомо, що в процесі функціонування механічних систем внаслідок старіння та зношування деталей неминуче виникають люфти, упори, тому для опису динаміки таких систем необхідно брати до уваги вплив гістерезисних ефектів. Математичні моделі таких нелінійностей відповідно до класичних уявлень зводяться до операторів, які розглядаються як перетворювачі на відповідних функціональних просторах. Динаміка таких перетворювачів описується відносинами «вхід-стан» та «стан-вихід».

Постановка задачі

У цій роботі розглядається механічна система, що складається з двоколісного візка, на осі якого розташовується зворотний маятник. Завдання полягає у формуванні такого керуючого впливу, яке, з одного боку, забезпечувало б заданий закон руху механічного засобу, а з іншого, стабілізувало б нестійке положення маятника. При цьому враховуються гістерезисні властивості в керуючому контурі системи, що вивчається. Нижче графічно представлені елементи, що вивчається механічної системи- двоколісного транспортного засобуіз закріпленим на ньому зворотним маятником.

Мал. 1. Основні структурні елементи механічного пристрою, що розглядається

тут / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Hr! / / / / /1 / / /

Мал. 2. Ліве та праве колеса механічного пристрою з керуючим моментом

Параметри та змінні, які описують систему, що розглядається: j - кут повороту транспортного засобу; D - відстань між двома колесами вздовж осі; R – радіус коліс; Jj – момент інерції; Tw - різниця крутних моментів лівого та правого коліс; v -

поздовжня швидкість транспортного засобу; в - кут відхилення маятника від вертикального положення; m – маса перевернутого маятника; l - відстань між центром тяжкості тіла та

віссю колеса; Ти - сума крутних моментів лівого та правого коліс; х - переміщення транспортного засобу за напрямом поздовжньої швидкості; М – маса шасі; М* – маса коліс; І – розчин люфту.

Динаміка системи

Динаміку системи описують такі рівняння:

n = - + - Tn, W á WR n

= - - ml C0S в Tn,

де Т * = Ть - ТЯ; Тп = Ть + ТЯ; Мх = М + т + 2 (М * + ^ *); 1в = т/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 соъ2;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Модель, що описує динаміку зміни параметрів системи, можна у вигляді двох незалежних підсистем. Перша підсистема складається з одного рівняння - р-підсистеми,

визначального кутові рухи транспортного засобу:

Рівняння (5) можна переписати у вигляді системи із двох рівнянь:

де е1 = Р-Рй, е2 = (Р-(Ра).

Друга підсистема, що описує радіальні рухи транспортного засобу, а також коливання встановленого на ній маятника, складається з двох рівнянь - (у, в) підсистеми:

U =-[ Jqml в2 sin в- m2l2 g sin у cos в] + Jq Tu W в S J WR u

в = - - ml С ° * Tv W WR

Систему (7) зручно подати у вигляді системи рівнянь першого порядку:

4 = ТГ" [ Jqml (qd + e6)2 sin (e5 + qd) - m12g sin (e5 + qd) cos (e5 + qd)] + ТЩT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +в)

де W0 = MxJq-П121 2cos2 (qd + e5), e3 = X - Xd, 4 = v - vd, 5 = q-qd, 6 = q-qd

Розглянемо підсистему (6), управляти якою за принципом зворотний зв'язок. Для цього введемо нову змінну та визначимо поверхню перемикання у фазовому просторі системи як ^ = 0 .

5 = в! + с1е1, (9)

де с – позитивний параметр. Безпосередньо з визначення випливає:

■Я = е+с1 е1 -срй + с1 е1. (10)

Для стабілізації обертального руху визначимо момент, що управляє, наступним чином:

Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)

де - позитивно задані параметри.

Аналогічно будуватимемо управління другою підсистемою (8), управляти якою, будемо також за принципом зворотного зв'язку. Для цього введемо нову змінну та визначимо поверхню перемикання у фазовому просторі системи, як ■2 = 0 .

■2 = вз + С2вз, (12)

де с2 – позитивний параметр, тоді

1 . 2 2 2

■2 = е3 + с2 е3 = (в + в6) ^5 + ве) - т 1 § ^5 + вс1) С08 (е5 + ва)] +

7^Т - + с2 ез

Для стабілізації радіального руху визначимо момент, що управляє:

t"2/2 ^ до Т =-Кт/(вй+еб)г^т(еь + вй)+яп^ + вй)е08(е5 + вй)--0- \сг ез - +^п^) +кА ^],(14)

де к3, к4 – позитивно задані параметри.

Для того, щоб одночасно керувати обома підсистемами системи, введемо додатковий вплив, що управляє:

= § Хапв--[ва + с3(в-вй) - к588п(^3) - кб 53], (15)

де § - прискорення вільного

падіння; с3, к5, кб – позитивні параметри; 53 - поверхня перемикання, що визначається співвідношенням:

53 = е6 + с3е5.

Сформулюємо основні результати роботи, які полягають у принциповій можливості стабілізації обох підсистем, у припущеннях щодо керуючих впливів, на околиці нульового положення рівноваги.

Теорема 1. Система (6) з керуючим впливом (11) абсолютно асимптотично стійка:

Нш || е11|® 0,

Нш || е2 ||® 0. t®¥u 2

Доказ: визначимо функцію Ляпунова як

де a = Dj 2 RJр.

Очевидно, що функція V > 0 тоді

V = Ш1 Si = Si. (18)

Підставивши (14) у V, отримаємо

V = -(£Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Очевидно, що V1

Теорема 2. Розглянемо підсистему (8) з керуючим впливом (14). У зроблених припущеннях ця система абсолютно асимптотично стійка, тобто за будь-яких початкових умов виконуються співвідношення:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 е41|® о.

Доказ: визначимо функцію Ляпунова для системи (8) за допомогою співвідношення

де b = Wo R! Je.

Очевидно, що функція V2 > 0,

V2 = М S2 = S2, тому що виникають зони нечутливості по відношенню до керуючого впливу. Наведемо короткий описвикористовуваного надалі гістерезисного перетворювача - люфту, засноване на операторному трактуванні. Вихід перетворювача - люфт на монотонних входах описується співвідношенням:

x(t0) при тих t, за яких x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h при тих t, за яких u(t)< x(t0) - h,

яке ілюструє рис. 3.

За допомогою напівгрупової тотожності дія оператора поширюється на всі шматково-монотонні входи:

Г x (t) = Г [ Г x (t1), h] x (t) (25)

та за допомогою спеціальної граничної конструкції на всі безперервні. Так як вихід цього оператора не диференціюється, то надалі використовується апроксимація люфта моделлю Боука-Відень. Ця відома напівфізична модель широко використовується для феноменологічного опису гістерезисних ефектів. Популярність моделі Боука-Вена обу-

славиться її здатністю охоплювати в аналітичному вигляді різні формигістерезис-них циклів. Формальний опис моделі зводиться до системи наступних рівнянь:

Fbw (х, ^ = акх() + (1-a)Dkz(t), = D"1 (AX-р\х \\z \п-1 z-вусі | z |п). (26)

Fbw(x,t) сприймається як вихід гистерезисного перетворювача, а x(t) - як вхід. Тут п > 1,

D > 0 k > 0 та 0<а< 1.

Мал. 3. Динаміка вхідно-вихідних відповідностей люфту

Розглянемо узагальнення систем (6) і (8), у яких керуючий вплив надходить на вхід гістерезисного перетворювача, а вихід є керуючим впливом на систему:

Fbw(х, t) = akx(t) + (1 - a) Dkz(t), z = D_1(Ax-bx||z\n-1z - gx|z\n).

?4 = W-J mlQd + еб)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed)

b = W -Fbw (x, t) = akx (t) + (1 - a) Dkz (t),

^ z = D_1 (A x-b\x\z\n-1 z-gx \z\n).

Як і раніше у системі, основним було питання стабілізації, т. е. асимптотичному поведінці її фазових змінних. Нижче наводяться графіки при тих самих фізичних параметрах системи з люфтом і без люфта. Ця система досліджувалась за допомогою чисельних експериментів. Це завдання було вирішено серед програмування Wolfram Mathematica.

Значення констант та початкові умови наведені нижче:

m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0; x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )