Projekt teemal: "Ebatavalised korrutamisviisid". Uurimistöö "Ebatavalised korrutamisviisid Mitmekohaliste arvude korrutamise jagamise meetod

teine ​​korrutamismeetod:

Venemaal ei kasutanud talupojad korrutustabeleid, kuid pidasid suurepäraselt mitmekohaliste arvude korrutist.

Venemaal iidsetest aegadest peaaegu kaheksateistkümnendanisajandeid tegid vene inimesed oma arvutustes ilma korrutamiseta jajaotus. Nad kasutasid ainult kahte aritmeetilisi tehteid – liitmist jalahutamine. Veelgi enam, nn "kahekordistamine" ja "kahekordistamine". Agakaubanduse ja muude tootmiseks vajalike tegevuste vajadusedpiisavalt suurte, nii kahe- kui ka kolmekohaliste arvude korrutamine.Selleks oli spetsiaalne viis selliste arvude korrutamiseks.

Vana vene korrutamismeetodi olemus seisneb sellesmis tahes kahe arvu korrutamine taandati järjestikusteks jagamisteksüks arv pooleks (järjestikune bifurkatsioon) samal ajalteise numbri kahekordistamine.

Näiteks kui korrutis 24 ∙ 5 vähendatakse korrutist 24 kahegakorda (double) ja kordaja kahekordistub (double), s.o. võtatoode 12 ∙ 10, siis toode jääb alles võrdne arvuga 120. Seeteose omadust märkasid meie kauged esivanemad ja õppisidrakenda seda arvude korrutamisel oma erilise vana vene keelegakorrutamise viis.

Korrutame sel viisil 32 ∙ 17 ..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙ 544 Vastus: 32 ∙ 17 = 544.

Analüüsitud näites toimub jagamine kahega - "bifurkatsioon".jäljetult. Aga mis siis, kui tegur ei jagu kahega ilma jäägita? JAsee tundus olevat iidsete kalkulaatorite käeulatuses. Sel juhul tegid nad seda järgmiselt:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Vastus: 357.

Näide näitab, et kui korrutis ei jagu kahega, siis sellestkõigepealt lahutasid nad ühe, seejärel jagati tulemus kaheks, ”ja nii5 lõpuni. Seejärel kustutati kõik paariskordajatega read (2., 4.,6. jne) ning ülejäänud ridade kõik õiged osad lisati ja saadisoovitud tööd.

Kuidas muistsed kalkulaatorid oma meetodit põhjendasidarvutused? Niimoodi: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Arv 17 jäetakse meelde ja korrutis 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (kahekordistades -topelt) ja kirjuta. Toode 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (kahekordistades -topelt) ja kriipsutage läbi lisatoode 10∙34. Alates 5 * 34= 4 ∙ 68 + 68, siis jäetakse meelde number 68, s.t. kolmas rida pole läbi kriipsutatud, vaid4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (kahekordistamine - kahekordistamine), samas kui neljasrida, mis sisaldab justkui lisatoodet 2 ∙ 136, tõmmatakse läbi janumber 272 on meeles. Nii selgub, et 21 korrutamiseks 17-ga,peate lisama numbrid 17, 68 ja 272 - see on täpselt ridade võrdsed osadpaaritute kordajatega.
Vene korrutamisviis on ühtaegu elegantne ja ekstravagantne

Juhin teie tähelepanu kolmele näitele värvilistel piltidel (paremas ülanurgas test postitus).

Näide nr 1: 12 × 321 = 3852
Me joonistame esimene numberülalt alla, vasakult paremale: üks roheline pulk ( 1 ); kaks apelsinipulka ( 2 ). 12 joonistas.
Me joonistame teine ​​number alt üles, vasakult paremale: kolm sinist pulka ( 3 ); kaks punast 2 ); üks sirel ( 1 ). 321 joonistas.

Nüüd kõnnime lihtsa pliiatsiga mööda joonist, jagame pulganumbrite ristumispunktid osadeks ja jätkame punktide loendamisega. Liikumine paremalt vasakule (päripäeva): 2 , 5 , 8 , 3 . arv-tulemus me “kogume” vasakult paremale (vastupäeva) ja ... voilaa, saime 3852

Näide nr 2: 24 × 34 = 816
Sellel näitel on nüansid. Esimeses osas punkte kokku lugedes selgus 16 . Saadame ühe ja lisame selle teise osa punktidesse ( 20 + 1 )…

Näide nr 3: 215 × 741 = 159315
Kommentaarid puuduvad

Alguses tundus see mulle kuidagi pretensioonikas, aga samas intrigeeriv ja üllatavalt harmooniline. Viiendas näites tabasin end mõttelt, et korrutis lendab ja töötab autopiloodi režiimis: joonista, loe punkte, me ei mäleta korrutustabelit, tundub, et me ei tea seda üldse.

Ausalt öeldes kontrollides korrutamise joonistamise meetod ja liikudes veeruga korrutamisele ja rohkem kui üks või kaks korda, märkasin oma häbiks mõningaid aeglustusi, mis näitasid, et mu korrutustabel oli mõnes kohas roostetanud ja te ei tohiks seda unustada. Kui töötate "tõsisemate" numbritega korrutamise joonistamise meetod muutus liiga tülikaks ja veeruga korrutamine läks rõõmuks.

P.S.: Au ja kiitus põlissambale!
Konstruktsiooni poolest on meetod tagasihoidlik ja kompaktne, väga kiire, mälurongid – korrutustabel ei lase end unustada.

Ja seetõttu soovitan tungivalt teil ja endal võimalusel unustada kalkulaatorid telefonides ja arvutites; ja tegelege perioodiliselt veeruga korrutamisega. Muidu pole tund ühtlane ja filmi "Rise of the Machines" süžee rullub lahti mitte kinolinal, vaid meie köögis või maja kõrval muruplatsil ...


Kolm korda üle vasaku õla ... koputage puidule ... ... ja mis kõige tähtsam Ärge unustage vaimuvõimlemist!

ÕPI KORRUTAbelit!!!

Pedagoogikateaduste kandidaat Natalia Karpushina.

Mitmekohaliste arvude korrutamise valdamiseks peate lihtsalt teadma korrutustabelit ja oskama numbreid liita. Sisuliselt seisneb kogu raskus selles, kuidas korrutamise vahetulemusi (osakorrutisi) õigesti paigutada. Püüdes arvutusi lihtsamaks muuta, on inimesed arvude korrutamiseks välja mõelnud mitmeid viise. Sajanditepikkuse matemaatika ajaloo jooksul on neid olnud mitukümmend.

Korrutamine võremeetodiga. Illustratsioon esimesest trükitud aritmeetikaraamatust. 1487.

Napier pulgad. Seda lihtsat loendusseadet kirjeldati esmakordselt John Napieri teoses "Rabdology". 1617.

John Napier (1550-1617).

Schikardi arvutusmasina mudel. Selle arvutusseadme, mis meieni pole jõudnud, valmistas leiutaja 1623. aastal ja kirjeldas seda aasta hiljem kirjas Johannes Keplerile.

Wilhelm Schickard (1592-1635).

Hindu pärand – riivimisviis

Hindud, kes on kümnendarvusüsteemi tundnud iidsetest aegadest, eelistasid suulist arvestust kirjalikule. Nad leiutasid mitmeid viise kiireks paljunemiseks. Hiljem laenasid need araablased ja neilt läksid need meetodid üle eurooplastele. Need aga ei piirdunud nendega ja töötasid välja uued, eriti selle, mida koolis õpitakse - veeruga korrutamist. See meetod on tuntud 15. sajandi algusest, järgmisel sajandil kinnistus see matemaatikute seas kindlalt ja tänapäeval kasutatakse seda kõikjal. Aga kas korrutamine on veerg? parim viis selle aritmeetilise tehte sooritamisel? Tegelikult on meie ajal ka teisi, unustatud korrutamismeetodeid, mitte halvem, näiteks võremeetod.

Seda meetodit kasutati antiikajal, keskajal oli see laialt levinud idas ja renessansiajal Euroopas. Võremeetodit nimetati ka india, moslemi või "rakus paljunemiseks". Ja Itaalias nimetati seda "gelosia" või "võre korrutis" (gelosia itaalia keelest tõlgituna - "rulood", "võrestiku luugid"). Tõepoolest, arvude korrutamisel saadud arvud meenutasid aknaluuke-ruloosid, mis sulgesid päikese eest Veneetsia majade aknad.

Selgitame selle lihtsa korrutamismeetodi olemust näitega: arvutame korrutise 296 × 73. Alustuseks joonistame numbrite arvu järgi ruudukujuliste lahtritega tabeli, milles on kolm veergu ja kaks rida. kordajad. Jagage rakud diagonaalselt pooleks. Tabeli kohale kirjutame arvu 296 ja paremale poole vertikaalselt numbri 73. Korrutame esimese numbri iga numbri teise numbriga ja kirjutame korrutised vastavatesse lahtritesse, asetades diagonaali kohale kümned ja ühikud. selle all. Soovitud toote numbrid saadakse kaldribades olevate numbrite liitmisel. Sel juhul liigume päripäeva, alustades alumisest paremast lahtrist: 8, 2 + 1 + 7 jne. Tulemused kirjutame tabeli alla, samuti sellest vasakule. (Kui liitmisel saadakse kahekohaline summa, märgime ainult ühikud ja lisame järgmise riba numbrite summale kümned.) Vastus: 21 608. Seega 296 x 73 = 21 608.

Võre meetod ei ole kuidagi madalam kui veeru korrutamine. See on veelgi lihtsam ja usaldusväärsem, hoolimata asjaolust, et mõlemal juhul sooritatavate toimingute arv on sama. Esiteks peate töötama ainult ühe- ja kahekohaliste numbritega ning neid on lihtne meeles pidada. Teiseks pole vaja vahetulemusi pähe õppida ja jälgida nende üleskirjutamise järjekorda. Mälu tühjeneb ja tähelepanu säilib, seega väheneb vea tõenäosus. Lisaks võimaldab võremeetod kiiresti saada tulemuse. Olles selle omandanud, näete ise.

Miks annab võremeetod õige vastuse? Mis on selle "mehhanism"? Selgitame selle välja tabeli abil, mis on koostatud sarnaselt esimesega, ainult sel juhul esitatakse tegurid summadena 200 + 90 + 6 ja 70 + 3.

Nagu näete, on esimeses kaldus ribas ühikud, teises kümned, kolmandas sadu jne. Lisamisel annavad nad vastuses vastavalt ühikute arvu, kümneid, sadu jne. See on ilmne:

Teisisõnu, vastavalt aritmeetikaseadustele arvutatakse arvude 296 ja 73 korrutis järgmiselt:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 60) + (720) + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Napieri pulgad

Võremeetodiga korrutamise aluseks on lihtne ja originaalne loendusseade - Napieri pulgad. Selle leiutaja John Napier, Šoti parun ja matemaatika armastaja, tegeles koos professionaalidega arvutusvahendite ja -meetodite täiustamisega. Teadusajaloos on ta tuntud eelkõige ühe logaritmide loojana.

Seade koosneb kümnest joonlauast, millele asetatakse korrutustabel. Igas diagonaaliga eraldatud lahtris kirjutatakse kahe ühekohalise arvu korrutis 1 kuni 9: kümnete arv on näidatud ülemises osas, ühtede arv alumises osas. Üks joonlaud (vasakul) on fikseeritud, ülejäänuid saab ühest kohast teise ümber paigutada, paigutades soovitud numbrikombinatsiooni. Napieri pulkade abil on lihtne mitmekohalisi arve korrutada, vähendades selle toimingu liitmiseks.

Näiteks arvude 296 ja 73 korrutise arvutamiseks peate 296 korrutama 3-ga ja 70-ga (kõigepealt 7-ga, seejärel 10-ga) ning liitma saadud arvud. Fikseeritud joonlaua külge kinnitame veel kolm - numbritega 2, 9 ja 6 üleval (need peaksid moodustama numbri 296). Nüüd vaatame kolmandat rida (reanumbrid on näidatud äärmisel joonlaual). Selles olevad numbrid moodustavad meile juba tuttava komplekti.

Neid liites, nagu võremeetodi puhul, saame 296 x 3 = 888. Samamoodi, arvestades seitsmendat rida, leiame, et 296 x 7 = 2072, siis 296 x 70 = 20 720. Seega,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Napieri pulgakesi kasutati ka keerukamate operatsioonide tegemiseks – jagamiseks ja ruutjuure ekstraheerimiseks. Seda loendusseadet on korduvalt üritatud täiustada ja muuta töös mugavamaks ja tõhusamaks. Tõepoolest, paljudel juhtudel oli arvude korrutamiseks, näiteks korduvate numbritega, vaja mitut pulgakomplekti. Kuid selline probleem lahendati, asendades joonlauad pöörlevate silindritega ja nende pinnale kanti korrutustabel samal kujul, nagu Napier seda esitas. Ühe pulgakomplekti asemel saadi korraga üheksa.

Sellised nipid tegelikult kiirendasid ja hõlbustasid arvutusi, kuid ei mõjutanud peamine põhimõte Napier seadme töö. Nii sai võremeetod teise elu, mis kestis veel mitu sajandit.

Shikkard masin

Teadlased on pikka aega mõelnud, kuidas viia raske arvutustöö mehaanilistele seadmetele. Esimesed edukad sammud arvutusmasinate loomisel tehti alles 17. sajandil. Arvatakse, et saksa matemaatik ja astronoom Wilhelm Schickard tegi sarnase mehhanismi varem kui teised. Kuid iroonilisel kombel teadis sellest vaid kitsas ring inimesi ja sellist kasulikku leiutist ei teadnud maailm enam kui 300 aastat. Seetõttu ei mõjutanud see arvutusseadmete edasist arendamist. Schikardi masina kirjeldus ja eskiisid avastati alles pool sajandit tagasi Johannes Kepleri arhiivist ning veidi hiljem loodi säilinud dokumentide järgi ka selle töömudel.

Sisuliselt on Schickardi masin kuuekohaline mehaaniline kalkulaator, mis teostab arvude liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist. Sellel on kolm osa: korrutusseade, liitmisseade ja mehhanism vahetulemuste salvestamiseks. Esimese aluseks olid, nagu võite arvata, silindriteks rullitud Napieri pulgad. Need paigaldati kuuele vertikaalsele teljele ja pöörati masina peal asuvate spetsiaalsete käepidemete abil. Silindrite ees oli paneel üheksa rea ​​akendega, igas kuus, mida avati ja suleti küljeriividega, kui oli vaja näha vajalikke numbreid ja peita ülejäänu.

Shikkard loendusmasinat on väga lihtne kasutada. Et teada saada, mis on 296 x 73 korrutis, tuleb silindrid seada asendisse, kus akende ülemisse rida ilmub esimene kordaja: 000296. Korrutise 296 x 3 saame avades aknad. kolmas rida ja nähtud arvude summeerimine, nagu võremeetodil. Samamoodi saame seitsmenda rea ​​aknaid avades korrutise 296 x 7, millele paremale liidame 0. Jääb vaid liita liitjalt leitud numbrid.

Kunagi indiaanlaste leiutatud kiire ja töökindel meetod mitmekohaliste arvude korrutamiseks, mida on arvutustes kasutatud sajandeid, on nüüd paraku unustatud. Aga ta oleks võinud meid tänagi hädast välja aidata, kui mitte kõigile nii tuttav kalkulaator.

Matemaatikamaailm on väga suur, aga korrutamise viisid on mind alati huvitanud. Selle teema kallal töötades õppisin palju huvitavat, õppisin valima loetu hulgast vajalikku materjali. Õppis lahendama üksikuid meelelahutuslikke ülesandeid, mõistatusi ja korrutamisnäiteid erinevatel viisidel, samuti millistel aritmeetilised nipid ja intensiivsed arvutusmeetodid põhinevad.

KORRUTAMISE KOHTA

Mis jääb enamiku inimeste pähe sellest, mida nad kunagi koolis õppisid? Muidugi, erinevad inimesed- erinevad, kuid kindlasti on kõigil korrutustabel. Lisaks selle "purustamise" pingutustele tuletagem meelde sadu (kui mitte tuhandeid) ülesandeid, mida selle abil lahendasime. Kolmsada aastat tagasi Inglismaal peeti korrutustabelit tundvat inimest juba õppinud inimeseks.

Korrutamiseks on palju võimalusi. Itaalia 15. sajandi lõpu - 16. sajandi alguse matemaatik Luca Pacioli esitab oma aritmeetika traktaadis 8 erinevat korrutamisviisi. Esimeses, mida nimetatakse "väikeseks lossiks", korrutatakse ülemise arvu numbrid, alustades suurimast, kordamööda alumise arvuga ja kirjutatakse veergu koos vajaliku arvu nullidega. Seejärel liidetakse tulemused kokku. Selle meetodi eeliseks tavapärase ees on see, et kõige kõrgemate numbrite arvud määratakse algusest peale ja see võib olla oluline arvutuste tegemisel.

Teine meetod kannab mitte vähem romantilist nime "armukadedus" (või võrekorrutis). Joonistatakse ruudustik, kuhu seejärel sisestatakse vahearvutuste tulemused, täpsemalt numbrid korrutustabelist. Ruudustik on ristkülik, mis on jagatud ruudukujulisteks lahtriteks, mis omakorda on jagatud pooleks diagonaalidega. Vasakul (ülalt alla) kirjutati esimene kordaja ja ülaosas - teine. Vastava rea ​​ja veeru ristumiskohta kirjutati neis olevate arvude korrutis. Seejärel liideti saadud numbrid mööda tõmmatud diagonaale ja tulemus registreeriti sellise veeru lõppu. Tulemust loeti mööda ristküliku alumist ja paremat külge. "Selline võre," kirjutab Luca Pacioli, "meenutab Veneetsia akendele riputatud võre-ruloosid, mis ei lase möödujatel näha akende juures istuvaid daame ja nunnasid."

Kõik Luca Pacioli raamatus kirjeldatud korrutamismeetodid kasutasid korrutustabelit. Vene talupojad oskasid aga ilma lauata paljuneda. Nende korrutamismeetodis kasutati ainult korrutamist ja jagamist 2-ga. Kahe arvu korrutamiseks kirjutati need kõrvuti ja seejärel jagati vasakpoolne arv 2-ga ja parempoolne arv korrutati 2-ga. Kui jagamise tulemuseks oli jääk , siis visati see ära. Seejärel kriipsutati läbi need read vasakpoolses veerus, milles on paarisarvud. Ülejäänud numbrid parempoolses veerus liideti. Tulemuseks oli algsete numbrite korrutis. Kontrollige mitme numbripaari pealt, kas see on tõesti nii. Selle meetodi tõestust näidatakse kahendarvusüsteemi abil.

Vanavene korrutamisviis.

Alates iidsetest aegadest ja peaaegu kuni XVIII sajandini loobusid vene inimesed oma arvutustes korrutamisest ja jagamisest: nad kasutasid ainult kahte aritmeetilist toimingut - liitmist ja lahutamist ning isegi niinimetatud "kahekordistamist" ja "kahekordistamist". Vene vana korrutamismeetodi olemus seisneb selles, et mis tahes kahe arvu korrutamine taandatakse ühe arvu järjestikusteks jagamisteks pooleks (jada, hargnemine), kahekordistades samal ajal teist arvu. Kui tootes, näiteks 24 x 5, vähendatakse kordajat 2 korda ("topelt") ja kordajat suurendatakse 2 korda

("topelt"), siis toode ei muutu: 24 x 5 \u003d 12 X 10 \u003d 120. Näide:

Korrutisosa jagamine pooleks jätkub, kuni jagatis on 1, kahekordistades samal ajal tegurit. Viimane kahekordistatud arv i- annab soovitud tulemuse. Seega 32 x 17 = 1 x 544 = 544.

Neil iidsetel aegadel kasutati kahekordistamist ja bifurkatsiooni isegi spetsiaalsete aritmeetiliste tehete jaoks. Kui erilised nad on? toimingud? Pole ju näiteks numbri kahekordistamine mingi eriline tegevus, vaid ainult etteantud arvu enda juurde liitmine.

Pange tähele, et arvud jaguvad 2-ga kogu aeg ilma jäägita. Aga mis siis, kui korrutis jagub 2-ga jäägiga? Näide:

Kui korrutis ei jagu 2-ga, siis lahutatakse sellest esmalt üks ja seejärel tehakse juba jagamine 2-ga. Paariskordajatega read kustutatakse ja paaritute kordajatega ridade õiged osad liidetakse.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17 + 17.

Pidagem meeles numbrit 17 (esimene rida ei ole läbi kriipsutatud!) ja asendage korrutis 20 X 17 selle samaväärse korrutisega 10 X 34. Korrutise 10 X 34 saab aga omakorda asendada samaväärse korrutisega 5 X 68; nii et teine ​​rida on läbi kriipsutatud:

5 × 68 = (4 + 1) × 68 = 4 × 68 + 68.

Pidagem meeles numbrit 68 (kolmas rida ei ole läbi kriipsutatud!) ja asendame korrutise 4 X 68 samaväärse korrutisega 2 X 136. Korrutise 2 X 136 saab aga asendada samaväärse korrutisega 1 X 272; seega on neljas rida läbi kriipsutatud. Niisiis, korrutise 21 X 17 arvutamiseks peate liitma numbrid 17, 68, 272 - paaritute kordajatega ridade õiged osad. Korrutised paariskordajatega saab alati asendada korrutis jagades ja kahekordistades teguri nendega võrdsete korrutistega; seetõttu jäetakse sellised stringid lõpptoote arvutamisel välja.

Proovisin ise vanaviisi korrutada. Võtsin numbrid 39 ja 247, sain selle

Veerud osutuvad minu omast isegi pikemaks, kui võtame kordaja rohkem kui 39. Siis otsustasin, et sama näide kaasaegses võtmes:

Selgub, et meie kooliviisiline arvude korrutamine on palju lihtsam ja säästlikum kui vana vene viis!

Ainult meie peame ennekõike teadma korrutustabelit ja meie esivanemad seda ei teadnud. Lisaks peaksime hästi teadma korrutamise reeglit, nad teadsid ainult, kuidas numbreid kahekordistada ja jagada. Nagu näete, saate palju paremini ja kiiremini korrutada kui maailma kuulsaim kalkulaator. iidne Venemaa. Muide, mitu tuhat aastat tagasi tegid egiptlased korrutamist peaaegu täpselt samamoodi nagu vanasti vene rahvas.

Tore, et inimesed erinevatest riikidest samamoodi paljunesid.

Mitte väga kaua aega tagasi, alles umbes sada aastat tagasi, oli korrutustabeli päheõppimine õpilastele väga raske ülesanne. Matemaatiliste raamatute autorid on pikka aega kasutanud õpilaste veenmist tabelite peast tundmise vajaduses. värsside juurde.

Siin on paar rida meile võõrast raamatust: "Aga korrutamiseks peab teil olema järgmine tabel, hoidke see lihtsalt kindlalt mälus, selline ja selline arv, korrutades igaga, ilma viivituseta kõnes, öelge , või kirjutage, ka 2 korda 2 on 4 või 2 korda 3 on 6 ja 3 korda 3 on 9 ja nii edasi.

Kui keegi ei korda Ja kogu tabeliteaduses on uhke, pole piinadest vaba,

Ei tea, Koliko ei õpeta numbrite järgi, et viiside korrutamine on masendav

Tõsi, selles lõigus ja värssides pole kõik selge: see on kirjutatud kuidagi mitte päris vene keeles, sest selle kõik kirjutas rohkem kui 250 aastat tagasi, 1703. aastal, suurepärane vene keele õpetaja Leonti Filippovitš Magnitski ja sellest ajast peale on ka vene keel. keel on märgatavalt muutunud.

L. F. Magnitski kirjutas ja avaldas Venemaal esimese trükitud aritmeetikaõpiku; enne teda olid ainult käsitsi kirjutatud matemaatilised raamatud. Suur vene teadlane M. V. Lomonosov, nagu ka paljud teised XVIII sajandi silmapaistvad vene teadlased, õppisid L. F. Magnitski aritmeetika järgi.

Ja kuidas nad neil päevil, Lomonossovi ajal, paljunesid? Vaatame näidet.

Nagu aru saime, kirjutati siis korrutustehe peaaegu samamoodi nagu meie ajal. Ainult kordajat nimetati "echelichestvo" ja korrutist "tooteks" ja pealegi ei kirjutanud nad korrutusmärki.

Kuidas siis korrutamist seletati?

On teada, et M. V. Lomonosov teadis peast kogu Magnitski “aritmeetikat”. Selle õpiku järgi selgitaks väike Miša Lomonosov 48 korrutamist 8-ga järgmiselt: "8 on 8 on 64, ma kirjutan rea alla 4, 8 vastu ja mul on meeles 6 kümnendkohta. Ja siis 8 korda 4 on 32 ja ma hoian meeles 3 ja lisan 2-le 6 kümnendkohta ja see on 8. Ja ma kirjutan selle 8 4 kõrvale, järjest vasakusse käesse ja 3 kui olemus on meeles, kirjutan ma järjest 8 lähedale, vasakule käele. Ja 48 korrutamisel 8-ga saadakse 384 korrutis.

Jah, ja me selgitame peaaegu sama, ainult räägime kaasaegsel viisil, mitte vanal viisil, ja lisaks nimetame heitmeid. Näiteks 3 tuleks kirjutada kolmandale kohale, sest see on sadu, mitte ainult "8 kõrval, vasakul käel".

Lugu "Maša - "mustkunstnik"".

Ma ei oska arvata mitte ainult sünnipäeva, nagu Pavlik viimati, vaid ka sünniaastat, - alustas Maša.

Korrutage sünnikuu arv 100-ga ja lisage oma sünnipäev. , korrutage tulemus 2-ga. , lisage saadud arvule 2; korrutage tulemus 5-ga, lisage saadud arvule 1, lisage tulemusele null. , lisage saadud arvule veel 1. ja lõpuks lisage oma aastate arv.

Valmis, sain 20721. - Ma ütlen.

*Just nii, kinnitasin.

Ja ma sain 81321, - ütleb Vitya, kolmanda klassi õpilane.

Sina, Maša, eksid kindlasti, - kahtles Petya. - Kuidas see juhtub: Vitya on pärit kolmandast klassist ja ta on samuti sündinud 1949. aastal, nagu Sasha.

Ei, Masha arvas õigesti, - kinnitab Vitya. Ainult mina olin pikalt ühe aasta haige ja läksin seetõttu kaks korda teise klassi.

* Ja ma sain 111521, - ütleb Pavlik.

Kuidas on, - küsib Vasya, - Pavlik on samuti 10-aastane, nagu Sasha, ja ta sündis 1948. Miks mitte aastal 1949?

Aga sellepärast, et tulemas on september ja Pavlik on sündinud novembris ning ta on endiselt kõigest 10-aastane, kuigi ta on sündinud 1948. aastal, selgitas Maša.

Ta arvas ära veel kolme või nelja õpilase sünnikuupäeva ja selgitas siis, kuidas ta seda tegi. Selgub, et ta lahutab viimasest numbrist 111 ja jätab seejärel paremalt vasakule kolm kohta kaks numbrit. Kaks keskmist numbrit on sünnipäev, kaks esimest või üks on kuu ja kaks viimast numbrit on aastad. Teades, kui vana inimene on, pole sünniaastat raske määrata. Näiteks sain ma numbri 20721. Kui sellest lahutada 111, siis saad 20610. Seega olen nüüd 10-aastane ja sündisin 6. veebruaril. Kuna praegu on september 1959, siis see tähendab, et olen sündinud 1949. aastal.

Ja miks on vaja lahutada täpselt 111, mitte mõni muu arv? me küsisime. -Ja miks sünnipäev, kuu number ja aastate arv niimoodi jaotatakse?

Aga vaata, - selgitas Masha. - Näiteks Pavlik, täites minu nõudeid, lahendas järgmised näited:

1) 11 x 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Nagu näete, korrutas ta kuu arvu (11) 100-ga, seejärel 2-ga, seejärel veel 5-ga ja lõpuks veel 10-ga (määratud kott) ja ainult 100 X 2 X 5 X 10-ga, see tähendab 10 000 võrra. Nii et 11-st sai kümneid tuhandeid, see tähendab, et nad moodustavad kolmanda näo, kui lugeda paremalt vasakule, siis kumbki kaks numbrit. See näitab teile sündimise kuu numbrit. Sünnipäev (14) korrutas ta 2-ga, siis 5-ga ja lõpuks 10-ga ja ainult 2 X 5 X 10-ga, see tähendab 100-ga. Seega tuleb sünnipäeva otsida sadade seast, teisest näost, aga siin on kõrvalisi sadu. Vaata: ta lisas arvu 2, mille ta korrutas 5-ga ja 10-ga. Nii sai ta lisa 2x5x10=100 - 1 sada. Ma lahutan selle 1 saja 15 sajast arvus 111521, selgub 14 sadu. Nii ma tean oma sünnipäeva. Aastate arvu (10) ei korrutatud millegagi. See tähendab, et seda numbrit tuleb otsida üksuste hulgast, esimesest näost, kuid siin on kõrvalisi üksusi. Vaata: ta lisas arvu 1, mille ta korrutas 10-ga, ja lisas siis veel ühe. Seega sai ta kokku 1 x TO + 1 = 11 ühikut. Ma lahutan need 11 ühikut 21 ühikust arvus 111521, selgub 10. Nii saan teada aastate arvu. Ja kokku, nagu näete, lahutasin arvust 111521 100+ 11 = 111. Kui ma lahutas arvust 111521 111, siis selgus PNU. Tähendab,

Pavlik on sündinud 14. novembril ja on 10-aastane. Nüüd on aasta 1959, aga ma lahutasin 10 mitte 1959. aastast, vaid 1958. aastast, kuna Pavlik sai eelmisel aastal, novembris, 10-aastaseks.

Muidugi ei meenu teile selline seletus kohe, kuid püüdsin seda oma näitega mõista:

1) 2 x 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 \u003d 2 "Obto; 1959 - 10 \u003d 1949;

Pusle.

Esimene ülesanne: Keskpäeval lahkub reisiaurik Stalingradist Kuibõševi poole. Tund hiljem väljub kauba-reisijate aurik Kuibõševist Stalingradi, liikudes aeglasemalt kui esimene aurik. Kui laevad kohtuvad, kumb on Stalingradist kaugemal?

See pole tavaline aritmeetiline ülesanne, vaid nali! Aurulaevad asuvad samal kaugusel nii Stalingradist kui ka Kuibõševist.

Ja siin on teine ​​ülesanne. Eelmisel pühapäeval istutasid meie salk ja viienda klassi salk Bolšaja Pionerskaja tänava äärde puid. Üksused pidid istutama võrdse arvu puid, võrdne arv mõlemale poole tänavat. Nagu mäletate, tuli meie meeskond varakult tööle ja enne viienda klassi õpilaste tulekut jõudsime istutada 8 puud, kuid nagu selgus, mitte meie poole tänavat: saime indu ja asusime tööle. vale koht. Seejärel töötasime oma tänavapoolel. Viienda klassi õpilased lõpetasid töö varakult. Kuid nad ei jäänud meile võlgu: nad läksid meie poolele ja istutasid kõigepealt 8 puud ("tasusid oma võlga") ja seejärel veel 5 puud ning töö saigi meie poolt valmis.

Küsimus on selles, kui palju rohkem puid istutasid viienda klassi õpilased kui meie?

: Muidugi istutasid viienda klassi õpilased ainult 5 puud rohkem kui meie: kui nad istutasid meie poole 8 puud, maksid nad võla tagasi; ja kui nad istutasid veel 5 puud, laenasid nad meile 5 puud. Nii selgub, et nad istutasid ainult 5 puud rohkem kui meie.

Ei, argument on vale. Tõsi, 5. klassi õpilased tegid meile teene, istutades meile 5 puud. Aga õige vastuse saamiseks tuleb arutleda nii: meie täitsime oma ülesande 5 puu võrra vähem, viienda klassi õpilased aga 5 puu võrra. Nii selgub, et viienda klassi õpilaste istutatud puude ja meie istutatud puude arvu vahe pole mitte 5, vaid 10 puud!

Ja siin on viimane nuputamisülesanne, Palli mängimine, 16 õpilast paigutati väljakuala külgedele nii, et mõlemal küljel oli 4 inimest. Siis lahkus 2 õpilast.Ülejäänud liikusid nii, et mõlemal pool platsi oli jälle 4 inimest. Lõpuks lahkus veel 2 õpilast, aga ülejäänud sättisid end nii, et mõlemal pool platsi oli ikka 4 inimest. Kuidas see juhtuda sai?Otsustage.

Kaks kiiret korrutamisnippi

Ühel päeval tõi õpetaja oma õpilastele järgmise näite: 84 X 84. Üks poiss vastas kiiresti: 7056. "Mida sa lugesid?" küsis õpetaja õpilaselt. - "Võtsin 50 X 144 ja viskasin välja 144," vastas ta. Noh, selgitame, kuidas õpilane arvas.

84 x 84 \u003d 7 x 12 x 7 x 12 \u003d 7 x 7 x 12 x 12 \u003d 49 x 144 \u003d (50 - 1) X 144 \u003d 50 x 14 14,4 sada ja 4 14,4 14,4 mis tähendab 84 X 84 = 7200 - 144 =

Ja nüüd loendame samamoodi, kui palju on 56 x 56.

56 X 56 \u003d 7 X 8 X 7 X 8 \u003d 49 X 64 \u003d 50 X 64 - 64, see tähendab 64 viiskümmend või 32 saja (3200), ilma 64ta, st arvu korrutamiseks 4-ga peate selle arvu korrutama 50-ga (viiekümnega) ja lahutama selle arvu saadud korrutisest.

Ja siin on näited erineva arvutusmeetodi kohta, 92 X 96, 94 X 98.

Vastused: 8832 ja 9212. Näide, 93 X 95. Vastus: 8835. Meie arvutused andsid sama arvu.

Nii kiiresti saab arvutada ainult siis, kui arvud on 100 lähedal. Leiame nendele arvudele liitmised 100-le: 93 puhul on see 7 ja 95 puhul 5, lahutame esimesest antud arvust teise liitmise. arv: 93 - 5 \u003d 88 - nii palju on tootes sadu, korrutame liited: 7 X 5 \u003d 3 5 - nii palju on ühikute korrutis. Niisiis, 93 X 95 = 8835. Ja miks seda on vaja teha, pole raske seletada.

Näiteks 93 on 100 miinus 7 ja 95 on 100 miinus 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

5 korda 93 lahutamiseks saab lahutada 5 korda 100, aga liita 5 korda 7. Siis selgub:

95 x 93 \u003d 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 \u003d 93 lahtrit. - 5 sada. + 5 x 7 \u003d (93–5) lahtrit. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 × 94 = (97–6) X 100 + 3 × 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 × 95 = (91–5) × 100 + 9 × 5 = 8600 + 45 = 8645.

Sisse korrutamine. doomino.

Doomino luude abil on lihtne kujutada mõningaid mitmekohaliste arvude korrutamise juhtumeid ühekohaline. Näiteks:

402 x 3 ja 2663 x 4

Võidab see, kes suudab teatud aja jooksul kasutada kõige rohkem doominoklotse, luues näiteid kolme- ja neljakohaliste arvude korrutamiseks ühekohalise arvuga.

Näited neljakohaliste arvude korrutamiseks ühekohalisega.

2234 x 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 x 6.

Nagu näete, kasutati ainult 20 doominot. On koostatud näiteid mitte ainult neljakohaliste arvude korrutamiseks ühekohalise arvuga, vaid ka kolme-, viie- ja kuuekohaliste arvude korrutamiseks ühekohalise arvuga. Kasutati 25 luud ja koostati järgmised näited:

Kõik 28 luud on aga endiselt kasutatavad.

Lood sellest, kui hästi vana Hottabych teadis aritmeetikat.

Lugu "Ma saan aritmeetika järgi "5".

Niipea kui järgmisel päeval Miša juurde läksin, küsis ta kohe: "Mis oli ringitunnis uut, huvitavat?" Näitasin Mišale ja tema sõpradele, kui targad vene inimesed vanasti olid. Seejärel palusin neil peast välja arvutada, kui palju oleks 97 X 95, 42 X 42 ja 98 X 93. Loomulikult ei saanud nad seda ilma pliiatsi ja paberita teha ning olid väga üllatunud, kui ma peaaegu kohe õiged vastused andsin need näited. Lõpuks lahendasime kõik koos selle kodutöö probleemi. Selgub, et väga oluline on see, kuidas täpid paberilehel asetsevad. Sõltuvalt sellest on võimalik läbi nelja punkti tõmmata üks, neli ja kuus sirget, kuid mitte rohkem.

Siis soovitasin lastel teha doominoluudest korrutusnäiteid nagu seda ringi peal tehti. Meil õnnestus kasutada 20, 24 ja isegi 27 luud, kuid kõigist 28-st me ei suutnud näiteid tuua, kuigi istusime selle tunni juures kaua.

Miša meenutas, et täna näidati kinos filmi "Old Man Hottabych". Lõpetasime ruttu aritmeetika ja jooksime kinno.

Siin on pilt! Kuigi muinasjutt, on see siiski huvitav: see räägib meist, poistest, koolielust, aga ka ekstsentrilisest targast - džinnist Hottabychist. Ja Hottabych tegi suure vea, ajendades Volkat geograafiat tundma! Nagu näha, teadsid ammustel aegadel isegi India targad – džinnid – geograafiat väga-väga halvasti. Tõenäoliselt ei osanud Hottabych ka aritmeetikat korralikult.

India korrutamise viis.

Oletame, et peate korrutama 468 7-ga. Vasakul kirjutame kordaja, paremale kordaja:

Indiaanlastel polnud korrutusmärki.

Nüüd korrutan 4 7-ga, selgub 28. Kirjutame selle arvu arvu 4 kohale.

Nüüd korrutame 8 7-ga, saame 56. Liidame 5 kuni 28, saame 33; Kustutage 28 ja kirjutage üles 33, kirjutage 6 numbri 8 kohale:

See osutus väga huvitavaks.

Nüüd korrutame 6 7-ga, saame 42, liidame 4 kuni 36, saame 40; Kustutame 36 ja kirjutame üles 40; Arvu 6 kohale kirjutame 2. Seega, korrutades 486 7-ga, saame 3402:

Õigesti otsustatud, aga mitte väga kiiresti ja mugavalt!Täpselt nii korrutasid tolleaegsed tuntumad kalkulaatorid.

Nagu näha, oskas vana Hottabych päris hästi aritmeetikat. Tema aga salvestas tegevusi teisiti kui meie.

Kaua, kaua aega tagasi, rohkem kui 1300 aastat tagasi, olid indiaanlased parimad kalkulaatorid. Paberit neil aga veel ei olnud ja kõik arvutused tehti väikesele mustale tahvlile, tehes sellele pilliroo pliiatsiga märkmeid ja kasutades väga vedelat valget värvi, millest jäid kergesti kustuvad jäljed.

Kui kirjutame kriidiga tahvlile, sarnaneb see veidi India kirjutamisviisiga: mustal taustal ilmuvad valged märgid, mida on lihtne kustutada ja parandada.

Indiaanlased tegid arvutusi ka punase pulbriga üle puistatud valgel tahvlil, millele kirjutasid väikese pulgaga silte, nii et punasele väljale ilmusid valged märgid. Ligikaudu sama pilt saadakse, kui kirjutame kriidiga punasele või pruunile tahvlile - linoleumile.

Korrutamise märki sel ajal veel ei eksisteerinud ning kordaja ja kordaja vahele jäi vaid teatud vahe. India moodi võiks korrutada ühikutest alustades. Indiaanlased tegid aga ise korrutamist alustades kõrgeimast numbrist ja kirjutasid mittetäielikud korrutised üles korrutisosa kohal. Samas oli kohe näha ka terviktoote vanem number ja lisaks oli välistatud ühegi numbri ärajätmine.

India korrutamise näide.

Araabia korrutamine.

Noh, kuidas kuupäeval endal teha korrutamist India viisil, kui see on paberile kirjutatud?

Araablased kohandasid seda korrutustehnikat paberile kirjutamiseks.Usbeki kuulus teadlane Muhammad ibn Musa Alkhvariz-mi (Mohammed Musa poeg Horezmist, linnast, mis asus tänapäeva Usbekistani NSV territooriumil) esines rohkem kui tuhat aastat tagasi. korrutamine pärgamendil järgmiselt:

Nagu näete, ei kustutanud ta mittevajalikke numbreid (paberil on seda juba ebamugav teha), vaid kriipsutas need läbi; uued numbrid pani ta maha kriipsutatud numbrite kohale, muidugi, tükkhaaval.

Näide samamoodi korrutamisest, märkmete tegemisest vihikusse.

Niisiis, 7264 X 8 \u003d 58112. Aga kuidas korrutada kahekohalise arvuga, mitmekohalise arvuga?

Korrutamistehnika jääb samaks, kuid salvestamine muutub palju keerulisemaks. Näiteks peate korrutama 746 64-ga. Esiteks korrutasid nad 3 kümnega, selgus

Seega 746 X 34 = 25364.

Nagu näete, põhjustab ebavajalike numbrite kustutamine ja uute numbritega asendamine isegi kahekohalise arvuga korrutamisel liiga tülika märgistamise. Ja mis juhtub, kui korrutate kolme- või neljakohalise arvuga ?!

Jah, araabia korrutamisviis pole eriti mugav.

Seda korrutamismeetodit kasutati Euroopas kuni kaheksateistkümnenda sajandini, terve tuhat aastat. Seda nimetati ristiteedeks või kiasmiks, kuna korrutatud numbrite vahele pandi kreeka täht X (chi), mis järk-järgult asendati kaldus ristiga. Nüüd näeme selgelt, et meie kaasaegne korrutamismeetod on kõige lihtsam ja mugavam, tõenäoliselt parim kõigist võimalikest korrutamismeetoditest.

Jah, meie kooli viis mitmekohaliste arvude korrutamiseks on väga hea. Korrutamist saab aga kirjutada ka teistmoodi. Võib-olla oleks kõige parem seda teha näiteks järgmiselt:

See meetod on tõesti hea: korrutamine algab kordaja kõrgeimast numbrist, mittetäielike korrutiste madalaim number kirjutatakse kordaja vastava numbri alla, mis välistab vea võimaluse, kui kordaja mis tahes numbris on null. Nii kirjutavad Tšehhoslovakkia koolilapsed mitmekohaliste arvude korrutamist. See on huvitav. Ja me arvasime, et aritmeetilisi tehteid saab kirjutada ainult nii, nagu meil on kombeks.

Veel paar mõistatust.

Siin on teile esimene lihtne ülesanne: turist suudab tunnis kõndida 5 km. Mitu miili ta 100 tunniga läbib?

Vastus: 500 kilomeetrit.

Ja see on suur küsimus! Peate täpsemalt teadma, kuidas turist need 100 tundi kõndis: puhkamata või hingetõmbega. Teisisõnu peate teadma: 100 tundi on turisti liikumisaeg või lihtsalt tema teel viibimise aeg. Tõenäoliselt ei suuda inimene 100 tundi järjest liikvel olla: see on rohkem kui neli päeva; ja liikumiskiirus väheneks kogu aeg. Teine asi on see, kui turist läks lõunapausidega, magama vms. Siis saab 100 tunniga liikumist läbida kõik 500 km; ainult teel ei tohiks see olla enam neli päeva, vaid umbes kaksteist päeva (kui see läbib keskmiselt 40 km päevas). Kui ta oli teel 100 tundi, siis kõndida suutis ta vaid umbes 160-180 km.

Erinevad vastused. See tähendab, et probleemi seisundile tuleb midagi lisada, vastasel juhul on võimatu vastust anda.

Nüüd lahendame järgmise ülesande: 10 kana söövad 10 päeva jooksul 1 kg teravilja. Mitu kilogrammi teravilja sööb 100 kana 100 päeva jooksul?

Lahendus: 10 kana söövad 10 päeva jooksul 1 kg teravilja, mis tähendab, et 1 kana sööb sama 10 päeva jooksul 10 korda vähem, see tähendab 1000 g: 10 \u003d 100 g.

Ühe päeva jooksul sööb kana veel 10 korda vähem, see tähendab 100 g: 10 \u003d 10 g Nüüd teame, et 1 kana sööb 1 päevaga 10 g teravilja. Seega sööb 100 kana päevas 100 korda rohkem, see tähendab

10 g x 100 = 1000 g = 1 kg. 100 päeva jooksul söövad nad 100 korda rohkem, st 1 kg x 100 = 100 kg = 1 sentner. See tähendab, et 100 kana söövad 100 päevaga ära terve senti tera.

On olemas kiirem lahendus: kanu on 10 korda rohkem ja neid tuleb toita 10 korda kauem, mis tähendab, et vajate 100 korda rohkem teravilja ehk 100 kg. Kõigis neis argumentides on aga üks puudus. Mõelgem ja leiame arutlusvea.

: - Pöörame tähelepanu viimasele arutlusele: “100 kana söövad ühe päevaga 1 kg teravilja ja 100 päeva pärast söövad nad 100 korda rohkem. »

Tõepoolest, 100 päevaga (see on rohkem kui kolm kuud!) Kanad kasvavad märgatavalt suureks ja söövad mitte 10 g teravilja päevas, vaid igaüks 40–50 grammi, kuna tavaline kana sööb päevas umbes 100 g teravilja. See tähendab, et 100 päeva jooksul söövad 100 kana mitte 1 senti tera, vaid palju rohkem: kaks või kolm senti.

Ja siin on teile viimane pusle sõlme sidumise kohta: „Laual on köiejupp, mis on sirgjooneliselt välja sirutatud. Vaja on võtta ühe käega ühe, teise käega teise otsa jaoks ja köieotsi kätest vabastamata siduda sõlm. » On üldteada tõsiasi, et mõnda probleemi on lihtne sõeluda, liikudes andmete juurest probleemi küsimuseni ja teisi, vastupidi, liikudes probleemi küsimusest andmeteni.

Noh, siin proovisime seda probleemi analüüsida, liikudes küsimuse juurest andmeteni. Olgu köiel sõlm juba olemas ja selle otsad on käes ega vabastata. Proovime naasta lahendatud ülesande juurest selle andmete juurde, algasendisse: köis lebab laual väljavenitult ja selle otsad ei lase kätest lahti.

Selgub, et kui sirutada köit ilma selle otstest lahti laskmata, siis vasak käsi, minnes pikendatud köie alt ja parema käe kohal, hoiab köie paremat otsa; ja parem käsi, minnes üle köie ja vasaku käe all, hoiab köie vasakut otsa

Arvan, et pärast sellist probleemi analüüsi sai kõigile selgeks, kuidas köiele sõlm siduda, peate tegema kõike vastupidises järjekorras.

Veel kaks kiiret korrutamisnippi.

Näitan teile, kuidas kiiresti korrutada selliseid numbreid nagu 24 ja 26, 63 ja 67, 84 ja 86 jne. n., st kui kümnete "s" tegurid on võrdsed ja ühikud moodustavad koos täpselt 10. Too näiteid.

* 34 ja 36, ​​53 ja 57, 72 ja 78,

* Hankige 1224, 3021, 5616.

Näiteks peate korrutama 53-ga 57. Ma korrutan 5-ga 6 (1 rohkem kui 5), selgub 30 - tootes on nii palju sadu; Korrutan 3 7-ga, selgub 21 - tootes on nii palju ühikuid. Seega 53 x 57 = 3021.

* Kuidas ma seda seletan?

(50 + 3) X 57 = 50 × 57 + 3 × 57 = 50 × (50 + 7) + 3 × (50 + 7) = 50 × 50 + 7 × 50 + 3 × 50 + 3 × 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 lahtrit. + 5 sada. +3 x 7 = 30 lahtrit. + 3 x 7 = 5 x 6 lahtrit. + 21.

Vaatame, kuidas saate kiiresti korrutada kahekohalisi numbreid 20 piires. Näiteks 14 korrutamiseks 17-ga peate liitma ühikud 4 ja 7, saate 11 - tootes on kümneid (see tähendab 10 ühikut) . Siis peate korrutama 4 7-ga, saate 28 - tootes on nii palju ühikuid. Lisaks tuleb saadud numbritele 110 ja 28 lisada täpselt 100. Seega 14 X 17 \u003d 100 + 110 + 28 \u003d 238. Tõepoolest:

14 × 17 = 14 × (10 + 7) = 14 × 10 + 14 × 7 = (10 + + 4) × 10 + (10 + 4) × 7 = 10 × 10 + 4 × 10 + 10 × 7 + 4 X 7 \u003d 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100 + 110 + + 28.

Pärast seda lahendasime veel selliseid näiteid: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 \u003d 100 + 90 + + 18 \u003d 208; 14 x 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Korrutamine kontodel

Siin on mõned nipid, mille abil igaüks, kes suudab aabitsale kiiresti liita, saab kiiresti sooritada praktikas esinevaid korrutamisnäiteid.

2-ga ja 3-ga korrutamine asendatakse kahe- ja kolmekordse liitmisega.

4-ga korrutamisel korrutage esmalt 2-ga ja lisage see tulemus iseendale.

Arvu korrutamine 5-ga toimub aabitsa peal järgmiselt: nad viivad kogu numbri ühe juhtme kõrgemale, st korrutavad selle 10-ga ja jagavad selle 10-kordse arvu pooleks (kuidas jagada 2-ga aabitsa abil.

6-ga korrutamise asemel korrutage 5-ga ja lisage korrutis.

7-ga korrutamise asemel korrutage 10-ga ja lahutage korrutis kolm korda.

8-ga korrutamine asendatakse 10-ga korrutamisega, millest on lahutatud kaks.

Samamoodi korrutage 9-ga: asendage korrutamisega 10-ga miinus üks korrutatud.

10-ga korrutamisel, nagu me juba ütlesime, kantakse kõik numbrid ühe juhtme võrra kõrgemale.

Tõenäoliselt saab lugeja juba ise aru, kuidas 10-st suuremate arvudega korrutamisel edasi toimida ja millised asendused on siin kõige mugavamad. Tegur 11 tuleb loomulikult asendada 10 + 1-ga. Koefitsient 12 asendatakse 10 + 2-ga ehk praktiliselt 2 + 10-ga, see tähendab, et esmalt jäetakse kõrvale topeltarv ja seejärel lisatakse kümnekordne. Tegur 13 asendatakse 10 + 3-ga jne.

Mõelge mõnele esimese saja tegurite erijuhtudele:

Muide, on hästi näha, et kontode abil on väga mugav korrutada selliste arvudega nagu 22, 33, 44, 55 jne; seetõttu peame püüdma tegurid jagada, et kasutada samade numbritega sarnaseid numbreid.

Sarnaseid nippe kasutatakse ka arvudega, mis on suuremad kui 100, korrutamisel. Kui sellised kunstlikud nipid on tüütud, siis saame alati loomulikult korrutada kontode abil vastavalt üldreeglile, korrutades iga kordaja numbri ja kirjutades üles osakorrutised - see vähendab siiski aega.

"Vene" korrutamise viis

Te ei saa korrutada mitmekohalisi arve - isegi kahekohalisi -, kui te ei mäleta pähe kõiki ühekohaliste arvude korrutamise tulemusi, see tähendab seda, mida nimetatakse korrutustabeliks. Magnitski vanas "aritmeetikas", mida me juba mainisime, lauldakse vajadust korrutustabeli tugevate teadmiste järele sellistes salmides (kaasaegsele kuulmisele võõras):

Kui keegi tabeleid ei korda ja on uhke, ei saa ta arvu järgi teada, mida korrutada

Ja kõigis teadustes, mis pole piinadest vaba, ei õpeta Koliko tuunikala depressiooni

Ja see ei ole kasuks, kui ma unustan.

Nende salmide autor ilmselgelt ei teadnud või jätnud kahe silma vahele, et on olemas võimalus arve korrutada ka ilma korrutustabelit tundmata. Seda meetodit, mis sarnaneb meie koolimeetoditega, kasutasid vene talupojad igapäevaelus ja pärandasid nad iidsetest aegadest.

Selle olemus seisneb selles, et mis tahes kahe arvu korrutamine taandatakse ühe arvu järjestikusteks jagamisteks pooleks, kahekordistades samal ajal teist arvu. Siin on näide:

Pooleks jagamine jätkub seni), jagatis ei osutu sammuks 1, samal ajal kahekordistades paralleelselt veel ühe arvu. Viimane kahekordistatud number annab soovitud tulemuse. Pole raske mõista, millel see meetod põhineb: toode ei muutu, kui üks tegur poole võrra ja teine ​​kahekordistub. Seetõttu on selge, et selle toimingu korduva kordamise tulemusena saadakse soovitud produkt.

Samas, mida teha, kui samal ajal nrikh. Kas paaritu arv on õige jagada pooleks?

Rahvalik viis pääseb sellest raskusest kergesti välja. Reegel ütleb, et paaritu arvu puhul on vaja visata üks ja ülejäänud osa pooleks jagada; aga teisest küljest, parempoolse veeru viimasele numbrile on vaja lisada kõik selle veeru numbrid, mis on vasakpoolse veeru paaritute vastu - otsitakse summat? ma töötan. Praktikas tehakse seda nii, et kõik paaris vasakpoolsete numbritega read kriipsutatakse maha; alles jäävad vaid need, mille vasakpoolne arv on paaritu.

Siin on näide (tärnid näitavad, et see rida tuleks läbi kriipsutada):

Kui liita läbi kriipsutamata numbrid, saame täiesti õige tulemuse: 17 + 34 + 272 = 32 Millel see tehnika põhineb?

Vastuvõtu õigsus selgub siis, kui sellega arvestada

19X 17 \u003d (18 + 1) X 17 = 18X17 + 17, 9X34 \u003d (8 + 1) X34 \u003d; 8X34 + 34 jne.

Selge on see, et paaritu arvu pooleks jagamisel kaotatud arvud 17, 34 jne tuleb korrutise saamiseks liita viimase korrutamise tulemusele.

Kiirendatud korrutamise näited

Mainisime varem, et on ka mugavaid viise nende üksikute korrutustehtete sooritamiseks, milleks kõik ülaltoodud nipid lagunevad. Mõned neist on väga lihtsad ja mugavalt rakendatavad, hõlbustavad arvutusi niivõrd, et ei sega tavalistes arvutustes kasutamiseks üldse pähe õppida.

Selline on näiteks ristkorrutamise tehnika, mis on kahekohaliste arvudega töötamisel väga mugav. Meetod ei ole uus; see ulatub tagasi kreeklaste ja hindude juurde ning vanasti nimetati seda "välgumeetodiks" või "ristiga korrutamiseks". Nüüd on ta unustatud ja pole valus teda meenutada.

Olgu nõutav 24X32 korrutamine. Korraldage number vaimselt järgmise skeemi järgi üksteise alla:

Nüüd teostame järjestikku järgmised sammud:

1)4X2 = 8 on tulemuse viimane number.

2) 2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - tulemuse eelviimane number; 1 mäletan.

3) 2X3 \u003d 6 ja isegi seadet, mida meeles pidada, on meil olemas

7 on tulemuse esimene number.

Saame kõik toote numbrid: 7, 6, 8 - 768.

Pärast lühikest treeningut imendub see tehnika väga kergesti.

Teist meetodit, mis seisneb niinimetatud "liitmiste" kasutamises, kasutatakse mugavalt juhtudel, kui korrutatud arvud on 100 lähedal.

Oletame, et tahame korrutada 92x96. "Liitmine" 92-le 100-le on 8, 96-le - 4. Toiming viiakse läbi vastavalt järgmisele skeemile: kordajad: 92 ja 96 "liitmised": 8 ja 4.

Tulemuse kaks esimest numbrit saadakse, lahutades lihtsalt kordajast korrutise "täiendi" või vastupidi; st lahutada 92-st 4 või lahutades 96-st 8.

Mõlemal juhul on meil 88; sellele numbrile omistatakse lisade korrutis: 8X4 \u003d 32. Saame tulemuseks 8832.

Et saadud tulemus peab olema õige, on selgelt näha järgmistest teisendustest:

92x9b = 88x96 = 88(100-4) = 88x100-88x4

1 4x96 = 4 (88 + 8) = 4x 8 + 88x4 92x96 8832+0

Veel üks näide. 78 tuleb korrutada 77-ga: tegurid: 78 ja 77 "liitmised": 22 ja 23.

78 - 23 \u003d 55, 22 X 23 \u003d 506, 5500 + 506 \u003d 6006.

Kolmas näide. Korrutage 99 x 9.

kordajad: 99 ja 98 "liitmised": 1 ja 2.

99-2 = 97, 1X2 = 2.

Sel juhul peame meeles pidama, et 97 tähendab siin sadade arvu. Nii et me liidame.

Neli tuhat aastat tagasi leiutasid babüloonlased korrutamise. Ja selle aasta märtsis parandasid matemaatikud seda.

18. märtsil 2019 kirjeldasid kaks teadlast kiireimat teadaolevat meetodit kahe väga suure arvu korrutamiseks. Teos tähistab pikaajaliste otsingute kulminatsiooni matemaatika ühe põhitehte täitmiseks kõige tõhusama protseduuri järele.

"Kõik arvavad, et koolis õpitud korrutamismeetod on parim, kuid tegelikult on selles valdkonnas käimas palju uuringuid," ütleb prantsuse matemaatik Joris van der Hoeven. rahvuslik keskus teaduslikud uuringud, üks teose kaasautoritest.

Paljude arvutusprobleemide keerukus alates π uute numbrite loendamisest kuni suurte algarvude leidmiseni taandub korrutamise kiirusele. Van der Hoeven kirjeldab nende tulemust kui matemaatilise kiiruspiirangu määramist paljudele teistele probleemidele.

"Füüsikas on olulised konstandid, nagu valguse kiirus, mis võimaldavad teil asju kirjeldada, " ütles van der Hoeven. "Kui soovite teada, kui kiiresti suudavad arvutid teatud matemaatilisi probleeme lahendada, siis täisarvude korrutamine on omamoodi põhiline ehitusplokk, millega saate sellist kiirust väljendada."

Peaaegu kõik õpivad numbreid korrutama ühtemoodi. Kirjutame numbrid veergu, korrutame ülemise numbri iga alumise numbriga (arvestades numbreid) ja lisame tulemuse. Kahe kahekohalise arvu korrutamisel tuleb lõpptulemuse saamiseks teha neli väiksemat korrutamist.

Kooli meetod "ülekandmine" nõuab n 2 sammu, kus n on numbrite arv igas korrutatud arvus. Kolmekohaliste arvudega arvutamiseks on vaja üheksa korrutamist ja sajakohaliste arvudega - 10 000.

Kandmismeetod töötab hästi mõnekohaliste numbritega, kuid see takerdub miljonite või miljardite numbritega arvude korrutamisel (mida arvutid teevad, kui loendavad pii-d täpselt või otsivad maailmas suuri algarvusid). Kahe miljardi numbriga arvu korrutamiseks oleks vaja miljard ruudus ehk 10 18 korrutamist, mis võtaks kaasaegse arvuti puhul aega umbes 30 aastat.

Mitu aastatuhandet usuti, et numbreid on võimatu kiiremini korrutada. Seejärel, 1960. aastal, osales 23-aastane Nõukogude ja Vene matemaatik Anatoli Aleksejevitš Karatsuba seminaril, mida juhtis nõukogude matemaatik, 20. sajandi üks suurimaid matemaatikuid Andrei Nikolajevitš Kolmogorov. Kolmogorov väitis, et ei ole olemas üldistatud korrutamisviisi, mis nõuaks vähem kui n 2 tehteid. Karatsuba otsustas, et selline viis on olemas – ja pärast nädalast otsimist ta selle avastas.

Anatoli Aleksejevitš Karatsuba

Karatsuba korrutamine seisneb arvu numbrite tükeldamises ja nende uuesti kombineerimises uuel viisil, mis võimaldab suur hulk korrutamine teostab vähem liitmisi ja lahutamisi. Meetod säästab aega, sest liitmine võtab n 2 asemel vaid 2n sammu.

Traditsiooniline 25x63 korrutamismeetod nõuab nelja ühekohalist korrutamist ja paari liitmist.

25x63 Karatsuba korrutamine nõuab kolme ühekohalist korrutamist ning mõnda liitmist ja lahutamist.
a) numbrite poolitamine
b) korrutada kümnetega
c) korrutage ühikuid
d) liida numbrid kokku
e) korrutage need summad
f) e – b – c loendamine
g) koguda lõppsumma punktidest b, c ja f

Märkide arvu suurenemisega numbrites saab Karatsuba meetodit kasutada rekursiivselt.

Traditsiooniline 2531x1467 korrutamismeetod nõuab 16 ühekohalist korrutamist.

Karatsuba 2531x1467 korrutamiseks on vaja 9 korrutamist.

"Lisamine toimub koolis aasta varem, sest see on palju lihtsam, seda tehakse lineaarselt, numbrite vasakult paremale lugemise kiirusega," ütles Pennsylvania matemaatik Martin Führer. riigiülikool, kes lõi 2007. aastal tolle aja kiireima korrutamisalgoritmi.

Suurte arvude käsitlemisel saab Karatsuba korrutamist korrata rekursiivselt, jagades algsed arvud peaaegu nii paljudeks osadeks, kui palju on neis märke. Ja iga jagamisega muudate korrutamist, mis nõuab palju samme, liitmiseks ja lahutamiseks, mis nõuab palju vähem samme.

"Mõned korrutused saab muuta liitmisteks, kuna arvutid saavad seda kiiremini teha," ütles David Harvey, New South Walesi ülikooli matemaatik ja uue töö kaasautor.

Karatsuba meetod võimaldas arve korrutada, kasutades ainult n 1,58 ühekohalist korrutamist. Seejärel avaldasid Arnold Schönhage ja Volker Strassen 1971. aastal meetodi suurte arvude korrutamiseks n × log n × log (log n) väikeste korrutustega. Kahe miljardikohalise arvu korrutamiseks vajaks Karatsuba meetod 165 triljonit sammu.

Joris van der Hoeven, Prantsuse riikliku teadusuuringute keskuse matemaatik

Schönhage-Strasseni meetodit kasutavad arvutid suurte arvude korrutamiseks ja see on toonud kaasa veel kaks olulist tagajärge. Esiteks tutvustas ta signaalitöötlustehnikat, mida nimetatakse kiireks Fourier' teisenduseks. Sellest ajast peale on see tehnika olnud kõigi kiirete korrutamisalgoritmide aluseks.

Teiseks soovitasid Schönhage ja Strassen samas artiklis veelgi kiirema algoritmi võimalust – meetodit, mis nõuab ainult n × log n korrutamist sama märgiga – ja et selline algoritm oleks võimalikult kiire. See eeldus põhines tundel, et sellise põhitehte nagu korrutamine puhul tuleks tehtete piirang kirjutada kuidagi elegantsemalt kui n × log n × log (log n).

"Enamasti nõustutakse, et korrutamine on nii oluline põhioperatsioon, et puhtalt esteetilisest vaatenurgast vajab see keerukuse piiranguid," ütles Fuhrer. "Kogemusest teame, et põhitõdede taga olev matemaatika on alati elegantne."

Ebamugav Schönhage'i ja Strasseni piirang, n × log n × log (log n), kehtis 36 aastat. 2007. aastal purustas Fuhrer selle rekordi ja kõik hakkas keerlema. Viimase kümnendi jooksul on matemaatikud leidnud üha kiiremaid korrutamisalgoritme, millest igaüks on järk-järgult hiilinud n × log n märgini, mitte päris selleni jõudnud. Siis selle aasta märtsis jõudsid Harvey ja van der Hoeven selleni.

Nende meetod on suure hulga enne neid tehtud töö täiustamine. See jagab numbrid märkideks, kasutab kiire Fourier' teisenduse täiustatud versiooni ja kasutab ära muid viimase 40 aasta jooksul tehtud läbimurdeid. "Me kasutame FFT-d palju toorasemalt, kasutades seda mitu korda, mitte ainult ühte, ja asendame veelgi rohkem korrutamisi liitmise ja lahutamisega," ütles van der Hoeven.

Harvey ja van der Hoeveni algoritm tõestab, et korrutamist saab teha n × log n sammuga. See aga ei tõenda kiirema meetodi puudumist. Palju keerulisem on kindlaks teha, et nende lähenemine on võimalikult kiire. Veebruari lõpus avaldas Århusi ülikooli arvutiteadlaste meeskond töö, milles väideti, et kui üks tõestamata teoreemidest osutub tõeks, on see meetod tõepoolest kiireim viis korrutamiseks.

Ja kuigi see uus algoritm on teoreetiliselt väga oluline, ei muutu see praktikas palju, kuna see ületab juba kasutatavaid algoritme vaid veidi. "Me võime loota vaid kolmekordset kiirust," ütles van der Hoeven. "Mitte midagi ennekuulmatut."

Lisaks on muutunud arvutiseadmete skeemid. Kakskümmend aastat tagasi tegid arvutid liitmise palju kiiremini kui korrutamist. Kiirusevahe korrutamise ja liitmise vahel on sellest ajast alates märkimisväärselt vähenenud, mistõttu võib korrutamine mõnel kiibil isegi liitmisest mööduda. Kasutades teatud tüübid"saate liitmist kiirendada, kui arvuti korrutab numbreid ja see on omamoodi hull," ütles Harvey.

Riistvara muutub aja jooksul, kuid oma klassi parimad algoritmid kestavad igavesti. Olenemata sellest, millised arvutid tulevikus välja näevad, on Harvey ja van der Hoeveni algoritm endiselt kõige olulisem tõhus viis arvude korrutamine.

Agafurov Maxim

Õpilase uurimistöö ülevaade.

1. Uurimistöö teostas MBOU "Keskkool nr 2" 7. "A" klassi õpilane Maxim Agafurov.
2. Õppejuht: matemaatikaõpetaja – Lukyanova O.A.
3. Tööteema: " Ebatavalised viisid korrutamine." Töö liik: abstraktne. See töö on tänapäeval aktuaalne, sest. suuliste arvutuste lihtsustatud meetodite tundmine on endiselt vajalik isegi kõigi kõige töömahukamate arvutusprotsesside täieliku mehhaniseerimise korral. Suulised arvutused võimaldavad mitte ainult peas kiiresti arvutusi teha, vaid ka kontrollida, hinnata, leida ja parandada kalkulaatori abil tehtud arvutuste tulemuste vigu. Lisaks arendab arvutusoskuste arendamine mälu ja aitab koolilastel täielikult omandada füüsilise ja matemaatilise tsükli aineid.
4. Töö uurimuslik osa on valminud. Antakse nende näidete selgitused ja tehakse asjakohased järeldused.
5. Teaduse eesmärgid ja eesmärgid uurimistöö Hästi sõnastatud ja teemaga seotud.
6. Erikirjandust on uuritud kvalitatiivselt piisava sügavusega.
7. Uurimistöö järeldused on loogilised, teoreetiliselt põhjendatud.
8. Töö esitab uurimusliku osa piisaval tasemel. Tema kirjeldus vastab järeldustele. Suurem osa tööst tehti enamasti üksinda, vähese juhendava nõu ja järelevalvega.

Lae alla:

Eelvaade:

Sissejuhatus
Mitmekohaliste arvude korrutamise viisid
1.1. „Armukadedus ehk võre korrutis”………………………………..4
1.2. „Vene talupojaviis”……………………………………………5 1.3. "Hiina korrutamisviis"……………………………………………6
Uurimistöö osa.
2.1. Suvalise kahekohalise arvu kvadratuur………………………6 2.2. Arvu ruut, mis on lähedane „ümmarguseks”…………………………………7
2.4. Uus viis arvude ruutudeks 40 kuni 60…………………7 2.5. Numbriga 5 lõppeva arvu ruudustamiseks …………………8 2.6 Numbriga 1 lõppeva arvu ruutudesse panemine……………………8 2.7. Numbriga 6 lõppeva arvu kvadratuur…………………8 2.8. Numbriga 9 lõppeva arvu ruudustamiseks …………………8 2.9. Numbriga 4 lõppeva arvu kvadratuur…………………8 Järeldus. Bibliograafia.

Sissejuhatus « Loendamine ja arvutused -

Korra põhialused peas.

Johann Heinrich Pestalozzi (1746-1827)

Igaüks, kes on lapsepõlvest matemaatikaga tegelenud, arendab tähelepanu, treenib oma aju, tahet, kasvatab visadust ja visadust eesmärgi saavutamisel.

Asjakohasus: Matemaatika on üks tähtsamaid teadusi maa peal ja sellega kohtub inimene oma elus iga päev. Vaimne loendamine on vanim ja lihtsaim viis arvutamiseks. Suuliste arvutuste lihtsustatud meetodite tundmine on endiselt vajalik isegi kõigi kõige töömahukamate arvutusprotsesside täieliku mehhaniseerimise korral. Suulised arvutused võimaldavad mitte ainult peas kiiresti arvutusi teha, vaid ka kontrollida, hinnata, leida ja parandada kalkulaatori abil tehtud arvutuste tulemuste vigu. Lisaks arendab arvutusoskuste arendamine mälu ja aitab koolilastel täielikult omandada füüsilise ja matemaatilise tsükli aineid.

Mees sisse Igapäevane elu ilma arvutusteta võimatu. Seetõttu õpetatakse meid matemaatikatundides ennekõike arvudega tehteid sooritama ehk loendama. Korrutame, jagame, liidame ja lahutame kõigile koolis õpitavatele tavapärastel viisidel.

Tahtsin küsida, kas on veel mingeid võimalusi arvutamiseks? Selgus, et korrutada on võimalik mitte ainult nii, nagu nad meile matemaatikaõpikutes pakuvad, vaid ka teistmoodi. Internetiressursse kasutades õppisin palju ebatavalisi korrutamisviise. Lõppude lõpuks on kiire arvutuste tegemise võimalus ausalt öeldes üllatav.

Uuringu eesmärk :

• Leidke võimalikult palju ebatavalisi arvutusviise.
• Õppige neid rakendama.
• Valige enda jaoks koolis pakutavatest huvitavamad ja kasutage neid loendamisel.

Uurimise eesmärgid:

1. Tutvuge vanade korrutamismeetoditega, nagu: "Armukadedus ehk võrekorrutis", "Väike loss", "Vene talupojameetod", "Lineaarne meetod".

2. Tutvuge arvude suulise kvadratuurimise tehnikatega ja rakendage neid praktikas.

Natuke ajalugu.

Praegu kasutatavad arvutusmeetodid ei olnud alati nii lihtsad ja mugavad. Vanasti kasutati tülikamaid ja aeglasemaid meetodeid. Ja kui 21. sajandi koolipoiss saaks reisida viis sajandit tagasi, avaldaks ta meie esivanematele muljet oma arvutuste kiiruse ja täpsusega. Kuulujutt temast oleks levinud ümberkaudsetes koolides ja kloostrites, varjutades tolle ajastu osavamate lettide hiilguse ja uue suure meistri juurde oleks tulnud kõikjalt õppima.

Eriti rasked olid vanasti korrutamise ja jagamise toimingud. Sel ajal ei olnud iga tegevuse jaoks välja töötatud ühte tehnikat.Vastupidi, korraga oli kasutusel ligi kümmekond erinevat korrutamis- ja jagamismeetodit – üks keerulisem kui teine, mida keskmise võimekusega inimene ei mäletanudki. Iga arvutamise õpetaja hoidis oma lemmiktehnikat, iga "jagamismeister" (oli selliseid spetsialiste) kiitis omal moel selle toimingu sooritamisel.Matemaatika arengu aastatuhandete jooksul on leiutatud palju korrutamismeetodeid. Välja arvatud korrutustabel, on need kõik mahukad, keerulised ja raskesti meeldejäävad. Usuti, et kiire korrutamise kunsti valdamiseks on vaja erilist loomulikku annet. Tavalistele inimestele, kellel polnud erilist matemaatilist annet, oli see kunst kättesaamatu.

Ja kõik need korrutamistehnikad - "male või orel", "painutamine", "rist", "võre", "tagasi ette", "teemant" ja teised võistlesid omavahel ja assimileeriti suurte raskustega.

Vaatame kõige huvitavamaid ja lihtsaid viise korrutamine.

1.1. "Armukadedus ehk võre korrutamine"

15. sajandi itaalia matemaatik Luca Pacioli annab 8 võimalust korrutamiseks. Minu meelest on neist huvitavamad “armukadedus ehk võrekorrutis” ja “väike loss”.

Korrutame 347 29-ga.

Joonistame ristküliku, jagame selle ruutudeks, jagame ruudud diagonaalselt. Tulemuseks on pilt, mis sarnaneb Veneetsia majade võre aknaluugidega. Siit tuleneb ka meetodi nimi.

Tabeli ülaossa kirjutame numbri 347 ja paremalt ülalt alla - 29

Igasse ruutu kirjutame selle ruuduga samas reas asuvate arvude ja ühe veeru korrutise. Kümned asuvad ülemises kolmnurgas ja ühed alumises. Numbrid liidetakse piki iga diagonaali. Tulemused on kirjutatud tabelist vasakule ja paremale.

Vastus on 10063.

Selle meetodi ebamugavus seisneb ristkülikukujulise tabeli ehitamise töömahukuses ning korrutamisprotsess ise on huvitav ja tabeli täitmine meenutab mängu.

1.2. "Vene talurahva viis"

Venemaal oli talupoegade seas levinud meetod, mis ei nõudnud kogu korrutustabeli tundmist. Kõik, mida vajate, on võime arvud 2-ga korrutada ja jagada.

Ühele reale kirjutame ühe numbri vasakule ja teise paremale.Jagame vasakpoolse arvu 2-ga, parema arvu korrutame 2-ga ja kirjutame tulemused veergu. Kui jagamisel tekib jääk, siis see visatakse ära. Korrutamist ja 2-ga jagamist jätkake, kuni vasakule jääb 1.

Seejärel kriipsutame veerust välja need read, milles vasakul on paarisarvud. Nüüd lisame parempoolsesse veergu ülejäänud numbrid.

Vastus on 1972026.

1.3 Hiina korrutamisviis.

Kujutagem nüüd ette Internetis hoogsalt arutatud korrutamismeetodit, mida nimetatakse hiina keeleks. Arvude korrutamisel võetakse arvesse joonte lõikepunkte, mis vastavad mõlema teguri iga numbri numbrite arvule.

Joonistage paberilehele vaheldumisi jooni, mille arv määratakse selle näite põhjal.

Esimesed 32: 3 punast joont ja veidi allapoole - 2 sinist. Seejärel 21: risti juba joonistatud värviga, kõigepealt tõmmake 2 rohelist, seejärel 1 vaarikas. TÄHTIS: esimese numbri jooned tõmmatakse vasakust ülanurgast paremale, teine ​​number - alumisest vasakust paremasse ülaossa. Seejärel loendame ristumispunktide arvu igas kolmes piirkonnas (joonisel on piirkonnad tähistatud ringidena). Niisiis, esimesel alal (sadade pindala) - 6 punkti, teisel (kümnete ala) - 7 punkti, kolmandal (pindalaühikud) - 2 punkti. Seetõttu on vastus: 672.

2. Uurimistöö osa

Kiirloendustehnikad arendavad mälu. See ei puuduta ainult matemaatikat, vaid ka teisi aineid, mida koolis õpitakse.

Töömeetoditele tahan lisada ka arvude verbaalse ruudustamise ilma kalkulaatorit kasutamata ja mis on vajalik GIA ja ühtse riigieksami ülesannete lahendamisel ning on ka heaks vaimseks treeninguks.

A Liigume nüüd mõne huvitava juurde ja mulle meeldisid viisid arvude verbaalseks ruuduks muutmiseks,kasutatakse algebra ja geomeetria tundides.

2.1. Suvalise kahekohalise arvu kvadratuur.

Kui mäletate kõigi arvude ruutusid vahemikus 1 kuni 25, on lihtne leida iga kahekohalise arvu ruutu, mis on suurem kui 25.

Mis tahes kahekohalise arvu ruudu leidmiseks peate selle arvu ja 25 vahe korrutama 100-ga ja lisama saadud korrutisele selle arvu 50-le liitmise ruut või selle arvu ülejäägi ruudu. 50.

Kaaluge näidet:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(M–25) * 100+ (50–M) 2 = 100–2500 + 2500–100 M + M 2 = M 2.

2.2. "Ümarale" lähedase arvu ruut.

Ruudude arvutamine analüüsitud näidetes toimub valemi alusel

A ² \u003d (a + c) (a - c) + c ²,

Milles hea numbrivalik V hõlbustab oluliselt arvutusi: esiteks peab üheks teguriks osutuma "ümmargune" arv (soovitav on, et ainult esimene number oleks selle nullist erinev number) ja teiseks number ise V peaks olema kergesti ruudukujuline, st olema väike. Need tingimused realiseeruvad ainult numbrite põhjal A "ümmarguse" lähedal.

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. Arvude ruutudeks 40 kuni 50.

2.4. Arvude ruutudeks 50 kuni 60.

Kuuenda kümnenda arvu (51,52,53,54,55,56,57,58,59) ruudustamiseks
lisage ühikute arvule 25 ja lisage sellele summale ühikute arvu ruut.
Näiteks:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. 5-ga lõppeva arvu ruudustamiseks.

Korrutage kümnete arv järgmise kümnenditega ja lisage 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 või (1*2 ja määrake 25 paremal)

35*35 =30*40 +25=1225 (3*4 ja määrake 25 paremal)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 ja määrake 25 paremal)

2.6. Numbriga 1 lõppeva arvu ruut.

Numbriga 1 lõppeva arvu ruudustamisel tuleb see ühik asendada 0-ga, panna uus arv ruutu ja lisada sellele ruudule algne arv ja arv, mis saadi, kui 1 asendatakse 0-ga.

Näide nr 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. 6-ga lõppeva arvu ruut.

6-ga lõppeva arvu ruudustamisel peate asendama arvu 6 5-ga, panema uue arvu ruutudesse (nagu varem kirjeldatud) ja lisama sellele ruudule algse arvu ja arvu, mis saadi 6 asendamisel 5-ga.

Näide number 7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8. Numbriga 9 lõppeva arvu ruut.

Numbriga 9 lõppeva arvu ruudustamisel peate selle numbri 9 asendama 0-ga (saame järgmise naturaalarv), lahutage uus arv ruudust ja lahutage sellest ruudust algne arv ja arv, mis on saadud, kui asendate 9 0-ga.

Näide number 8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9. Numbriga 4 lõppeva arvu ruut.

Numbriga 4 lõppeva arvu ruudustamisel peate asendama arvu 4 5-ga, panema uue arvu ruutudesse ning lahutama sellest ruudust algse arvu ja arvu, mis saadi, kui asendad 4 5-ga.

Näide #9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. Ruudustamisel on sageli mugav kasutada valemit (ja b) 2 \u003d a 2 + b 2 2ab.

Näide nr 10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Järeldus

Uurimistöö tegemisel vajasin lisaks teadmistele, mis mul on, ka vajalikku tööd lisakirjandusega.

1. Töö käigus leidsin ja meisterdasin erinevaid viise mitmekohaliste arvude korrutamine ja võin väita järgmist - enamus mitmekohaliste arvude korrutamise viise põhinevad korrutustabeli tundmisel

"Võrekorrutamise" meetod pole tavapärasest halvem. See on veelgi lihtsam, kuna arvud sisestatakse tabeli lahtritesse otse korrutustabelist ilma samaaegse liitmiseta, mis on standardmeetodil olemas;

- "Vene talupoja" korrutamismeetod on palju lihtsam kui varem käsitletud meetodid. Kuid see on ka väga mahukas.

Kõigist leitud ebatavalistest loendusmeetoditest tundus kõige huvitavam meetod „võrekorrutamine või armukadedus”. Näitasin seda oma klassikaaslastele ja ka neile meeldis see väga.

Mulle tundus see kõige lihtsam Hiina viis korrutamine, mida hiinlased kasutasid, kuna see ei nõua korrutustabeli tundmist. Olles õppinud loendama kõigil esitatud viisidel, jõudsin järeldusele, et kõige lihtsamad on need, mida me koolis õpime, võib-olla on need meile tuttavamad.

2. Õppisin mõned peast loendamise nipid, mis mind elus aitavad. Minu jaoks oli projekti kallal väga huvitav töötada. Õppisin enda jaoks uusi korrutamismeetodeid, kaalusin erinevaid arvude ruutudeks panemise tehnikaid. Paljud arvutused on seotud taandatud korrutusvalemitega, mida õppisin algebra tunnis. Kasutades peastarvutuste lihtsustatud meetodeid, saan nüüd teha kõige aeganõudvamaid aritmeetilisi tehteid ilma kalkulaatorit ja arvutit kasutamata. Mitte ainult mina, vaid ka mu vanemad ei tundnud huvi. Näitasin sõpradele ja klassikaaslastele vaimse korrutamise tehnikaid. Suuliste arvutuste lihtsustatud meetodite tundmine on eriti oluline juhtudel, kui teie käsutuses pole tabeleid ega kalkulaatorit. Mul oli soov seda tööd jätkata ja õppida juurde peast loendamise meetodeid. Arvan, et minu töö ei lähe minu jaoks asjata, saan kasutada kõiki GIA ja ühtse riigieksami sooritamisel omandatud teadmisi.

Donskoi, 2013

Eelvaade:

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale konto ( konto) Google'i ja logige sisse: