Võrdhaarne kolmnurk on alati terav. Kolmnurga omadused. Sealhulgas võrdsus ja sarnasus, võrdsed kolmnurgad, kolmnurga küljed, kolmnurga nurgad, kolmnurga pindala - arvutusvalemid, täisnurkne kolmnurk, võrdhaarne

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

Kolmnurga tüübid

Vaatleme kolme punkti, mis ei asu samal sirgel, ja kolme neid punkte ühendavat segmenti (joonis 1).

Kolmnurgaks nimetatakse tasandi osa, mida need lõigud piiravad, lõike nimetatakse kolmnurga külgedeks ja lõikude otste (kolm punkti, mis ei asu ühel sirgel) nimetatakse kolmnurga tippudeks.

Tabelis 1 on loetletud kõik võimalikud kolmnurkade tüübid sõltuvalt nende nurkade suurusest .

Tabel 1 – Kolmnurkade tüübid olenevalt nurkade suurusest

Joonistamine	kolmnurga tüüp	Definitsioon
	Äge kolmnurk	Kolmnurk, millel on kõik nurgad on teravad , nimetatakse ägedaks
	Täisnurkne kolmnurk	Kolmnurk, millel on üks õigetest nurkadest , nimetatakse ristkülikukujuliseks
	nüri kolmnurk	Kolmnurk, millel on üks nurk on nüri , nimetatakse nüriks

Äge kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurk, millel on kõik nurgad on teravad , nimetatakse ägedaks

Täisnurkne kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurk, millel on üks õigetest nurkadest , nimetatakse ristkülikukujuliseks

nüri kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurk, millel on üks nurk on nüri , nimetatakse nüriks

Olenevalt külgede pikkusest Kolmnurki on kahte olulist tüüpi.

Tabel 2 – Võrdhaarsed ja võrdkülgsed kolmnurgad

Joonistamine	kolmnurga tüüp	Definitsioon
	Võrdhaarne kolmnurk	küljed, ja kolmandat külge nimetatakse võrdhaarse kolmnurga aluseks
	Võrdkülgne (õige) kolmnurk	Kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdsed, nimetatakse võrdkülgseks või täisnurkseks kolmnurgaks.

Võrdhaarne kolmnurk

Definitsioon: Kahe võrdse küljega kolmnurka nimetatakse võrdhaarseks kolmnurgaks. Sel juhul nimetatakse kahte võrdset külge küljed, ja kolmandat külge nimetatakse võrdhaarse kolmnurga aluseks

Võrdkülgne (korrapärane) kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdsed, nimetatakse võrdkülgseks või täisnurkseks kolmnurgaks.

Kolmnurkade võrdsuse märgid

Kolmnurki nimetatakse võrdseteks, kui need saab kombineerida ülekattega .

Tabel 3 näitab kolmnurkade võrdsuse märgid.

Tabel 3 – Kolmnurkade võrdsuse märgid

Joonistamine	Funktsiooni nimi	Funktsioonide formuleerimine
	Kõrval kaks külge ja nendevaheline nurk
	Kolmnurkade võrdsuse märk Kõrval külg ja kaks külgnevat nurka
	Kolmnurkade võrdsuse märk Kõrval kolm pidu

Kolmnurkade võrdsuse märk kahel küljel ja nendevahelise nurga all

Funktsioonide formuleerimine. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed

Kolmnurkade võrdsuse märk mööda külge ja kahte sellega külgnevat nurka

Funktsioonide formuleerimine. Kui ühe kolmnurga külg ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külg- ja kahe külgneva nurgaga, siis on sellised kolmnurgad võrdsed

Kolmnurkade võrdsuse märk kolmest küljest

Funktsioonide formuleerimine. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

Täisnurksete kolmnurkade külgede puhul on tavaks kasutada järgmisi nimetusi.

Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis asub täisnurga vastas (joonis 2), ülejäänud kahte külge nimetatakse jalgadeks.

Tabel 4 – Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

Joonistamine	Funktsiooni nimi	Funktsioonide formuleerimine
	Kõrval kaks jalga
	Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märk Kõrval jalg ja sellega külgnev teravnurk
	Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märk Kõrval jalg ja vastupidine teravnurk	Kui ühe täisnurkse kolmnurga haru ja vastassuunaline teravnurk on vastavalt võrdsed teise täisnurkse kolmnurga haru ja vastassuunalise teravnurgaga, siis on sellised täisnurksed kolmnurgad võrdsed
	Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märk Kõrval hüpotenuus ja teravnurk	Kui ühe täisnurkse kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on vastavalt võrdsed teise täisnurkse kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk, siis on sellised täisnurksed kolmnurgad võrdsed
	Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märk Kõrval jalg ja hüpotenuus	Kui ühe täisnurkse kolmnurga jalg ja hüpotenuus on vastavalt võrdsed teise täisnurkse kolmnurga jala ja hüpotenuusiga, siis on sellised täisnurksed kolmnurgad võrdsed

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märk kahel jalal

Funktsioonide formuleerimine. Kui ühe täisnurkse kolmnurga kaks jalga on vastavalt võrdsed teise täisnurkse kolmnurga kahe jalaga, siis on sellised täisnurksed kolmnurgad võrdsed

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märk piki jalga ja sellega külgnevat teravnurka

Funktsioonide formuleerimine. Kui ühe täisnurkse kolmnurga jalg ja sellega külgnev teravnurk on vastavalt võrdsed teise täisnurkse kolmnurga jala ja sellega külgneva teravnurgaga, siis on sellised täisnurksed kolmnurgad võrdsed

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märk piki jalga ja vastassuunas teravnurka

Kolmnurk on 3 küljega (või 3 nurgaga) hulknurk. Kolmnurga külgi tähistatakse sageli väikeste tähtedega, mis vastavad vastastippu tähistavatele suurtele tähtedele.

Terav kolmnurk Kolmnurka nimetatakse siis, kui kõik kolm nurka on teravnurksed.

nüri kolmnurk Nimetatakse kolmnurka, mille üks nurkadest on nürinurkne.

täisnurkne kolmnurk nimetatakse kolmnurka, mille üks nurkadest on täisnurk, teisisõnu võrdub 90 °; nimetatakse täisnurga moodustavaid külgi a, b jalad; külg c, tagurpidi täisnurk, kutsutakse hüpotenuus.

Võrdhaarne kolmnurk nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed (a \u003d c); neid võrdseid külgi nimetatakse külgmine, nimetatakse 3. külge kolmnurga alus.

Võrdkülgne kolmnurk nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed (a \u003d b \u003d c). Sel juhul ei ole ükski selle külg (abc) kolmnurgas võrdne, siis see on nii ebavõrdne kolmnurk.

Kolmnurkade peamised omadused

Mis tahes kolmnurgas:

Suurem nurk asub suurema külje vastas ja vastupidi.

Võrdsed nurgad asetsevad võrdsete külgede vastas ja vastupidi. Nimelt on võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad võrdsed.

Kolmnurga nurkade summa on 180°.

Jätkates ühte kolmnurga külgedest, saame välisnurga. Kolmnurga välisnurk on võrdne sellega mitte külgnevate sisenurkade summaga.

Pole tähtis, kumb kolmnurga külg on väiksem kui kahe teise külje summa ja suurem kui nende erinevus (a b - c; b a - c; c a - b).

Kolmnurkade võrdsuse märgid

Kolmnurgad on kongruentsed, sel juhul on need vastavalt võrdsed:

kaks külge ja nendevaheline nurk;

kaks nurka ja nendega külgnev külg;

kolm külge.

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, sel juhul saadakse üks järgmistest kriteeriumidest:

nende jalad on võrdsed;

1. kolmnurga jalg ja hüpotenuus on võrdsed teise jala ja hüpotenuusiga;

1. kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on võrdsed teise hüpotenuusiga ja teravnurk;

1. kolmnurga jalg ja sellega külgnev teravnurk on võrdsed teise jalaga ja sellega külgnev teravnurk;

1. kolmnurga säär ja vastassuunaline teravnurk on võrdsed jalaga ja teise vastassuunaline teravnurk.

Kõrguskolmnurk on rist, mis on langetatud mis tahes tipust tagakülg(või selle jätk). Seda külge nimetatakse kolmnurga alus. Kolmnurga kolm kõrgust lõikuvad alati ühes punktis, mida nimetatakse kolmnurga ortotsenter.

Teravkolmnurga ortotsenter asetatakse kolmnurga sisse ja nüri kolmnurga ortotsenter väljapoole; Täisnurga kolmnurga ortotsenter langeb kokku täisnurga tipuga.

Mediaan on sirglõik, mis ühendab kolmnurga mis tahes tippu tagumise külje keskpunktiga. Kolmnurga kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mis asub alati kolmnurga sees ja on selle massikese. See punkt jagab iga mediaani ülevalt 2:1.

Poolitaja on tipust ja lõikepunktini ulatuva nurga poolitaja segment tagakülg. Kolmnurga kolm poolitajat lõikuvad ühes punktis, mis asub alati kolmnurga sees ja on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Poolitaja jagab tagakülje osadeks, mis on proportsionaalsed külgnevate külgedega.

Keskmine risti on lõigu (külje) keskpunktist tõmmatud risti. Kolmnurga kolm keskristi ristuvad ühes punktis, mis on piiritletud ringi keskpunkt.

IN terav kolmnurk see punkt asub kolmnurga sees, nüri kolmnurgas - väljaspool, ristkülikukujulises - hüpotenuusi keskel. Ortotsenter, massikese, piiritletud ringi keskpunkt ja sissekirjutatud ringi keskpunkt langevad eranditult kokku võrdkülgse kolmnurgaga.

Pythagorase aksioom

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi pikkuse ruut võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga.

Pythagorase aksioomi kinnitus

Ehitage ruut AKMB, kasutades küljena hüpotenuusi AB. Seejärel jätkame täisnurkse kolmnurga ABC külgi, et saada ruut CDEF, mille külg on a + b. Nüüd on selge, et ruudu CDEF pindala on (a + b) 2. Teisest küljest on see pindala võrdne nelja täisnurkse kolmnurga ja ruudu AKMB pindalade summaga, teisisõnu,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

ja meil on:

c2 = a2 + b2.

Kuvasuhe juhuslikus kolmnurgas

Üldjuhul (juhusliku kolmnurga jaoks) on meil:

c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

kus C on külgede a ja b vaheline nurk.

school-club.ru - mis on kolmnurgad?

math.ru - kolmnurkade tüübid;

raduga.rkc-74.ru – kõik kolmnurkade kohta kõige väiksematele.

Lisaks saidile:

Kuidas kolmnurki klassifitseeritakse?

Kuidas leida kolmnurga pindala?

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala?

Kuidas leida kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiust?

Kuidas leida ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius?

Kuidas tõestada koosinuste aksioomi?

Täna läheme Geomeetria riiki, kus teeme tutvust erinevat tüüpi kolmnurkadega.

Kaaluge geomeetrilised kujundid ja leida nende hulgast "lisa" (joon. 1).

Riis. 1. Illustratsioon näiteks

Näeme, et joonised nr 1, 2, 3, 5 on nelinurgad. Igal neist on oma nimi (joon. 2).

Riis. 2. Nelinurgad

See tähendab, et "lisa" kujund on kolmnurk (joon. 3).

Riis. 3. Illustratsioon näiteks

Kolmnurk on kujund, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel, ja kolmest lõigust, mis ühendavad neid punkte paarikaupa.

Punkte nimetatakse kolmnurga tipud, segmendid - tema peod. Kolmnurga küljed moodustuvad Kolmnurga tippudes on kolm nurka.

Kolmnurga peamised omadused on kolm külge ja kolm nurka. Kolmnurgad klassifitseeritakse nurga järgi äge, ristkülikukujuline ja nüri.

Kolmnurka nimetatakse teravnurkseks, kui selle kõik kolm nurka on teravnurgad, st alla 90 ° (joonis 4).

Riis. 4. Terav kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse täisnurkseks, kui selle üks nurk on 90° (joonis 5).

Riis. 5. Täisnurkne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse nüriks, kui üks selle nurkadest on nürinurkne, s.t suurem kui 90° (joonis 6).

Riis. 6. Nürinurkne kolmnurk

Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad võrdkülgsed, võrdhaarsed, skaala.

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed (joonis 7).

Riis. 7. Võrdhaarne kolmnurk

Neid külgi nimetatakse külgmine, kolmas külg - alus. Võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluse juures võrdsed.

Võrdhaarsed kolmnurgad on äge ja nüri(Joonis 8) .

Riis. 8. Teravad ja nürid võrdhaarsed kolmnurgad

Nimetatakse võrdkülgset kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdsed (joon. 9).

Riis. 9. Võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgses kolmnurgas kõik nurgad on võrdsed. Võrdkülgsed kolmnurgad Alati teravnurkne.

Mitmekülgseks nimetatakse kolmnurka, mille kõik kolm külge on erineva pikkusega (joon. 10).

Riis. 10. Skaleeni kolmnurk

Täitke ülesanne. Jaga need kolmnurgad kolme rühma (joonis 11).

Riis. 11. Ülesande illustratsioon

Esiteks jaotame nurkade suuruse järgi.

Teravad kolmnurgad: nr 1, nr 3.

Täisnurksed kolmnurgad: #2, #6.

Nürikujulised kolmnurgad: #4, #5.

Need kolmnurgad jagatakse võrdsete külgede arvu järgi rühmadesse.

Skaleeni kolmnurgad: nr 4, nr 6.

Võrdhaarsed kolmnurgad: nr 2, nr 3, nr 5.

Võrdkülgne kolmnurk: nr 1.

Vaadake joonised üle.

Mõelge, millisest traaditükist on iga kolmnurk tehtud (joonis 12).

Riis. 12. Ülesande illustratsioon

Saate niimoodi vaielda.

Esimene traadijupp on jagatud kolmeks võrdseks osaks, nii et saate sellest teha võrdkülgse kolmnurga. See on näidatud joonisel kolmandana.

Teine traadijupp on jagatud kolmeks erinevaks osaks, nii et sellest saab teha skaleeni kolmnurga. See on näidatud pildil esimesena.

Kolmas traadijupp on jagatud kolmeks osaks, kus kaks osa on ühepikkused, nii et sellest saab teha võrdhaarse kolmnurga. See on näidatud joonisel teisel kohal.

Tänases tunnis tutvusime erinevate kolmnurkade tüüpidega.

Bibliograafia

1. M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
3. M.I. Moreau. Matemaatika tunnid: Juhisedõpetaja jaoks. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
4. Regulatiivne dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M.: "Valgustus", 2011.
5. "Venemaa kool": programmid algkool. - M.: "Valgustus", 2011.
6. S.I. Volkov. Matemaatika: Kontrollimistööd. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: "Eksam", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Kodutöö

1. Lõpeta fraasid.

a) Kolmnurk on kujund, mis koosneb ..., mis ei asu samal sirgel, ja ..., mis ühendab neid punkte paarikaupa.

b) Punkte nimetatakse … , segmendid - tema … . Kolmnurga küljed moodustuvad kolmnurga tippudes ….

c) Vastavalt nurga suurusele on kolmnurgad ..., ..., ....

d) Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad ..., ..., ....

2. Joonista

a) täisnurkne kolmnurk

b) terav kolmnurk;

c) nürinurkne kolmnurk;

d) võrdkülgne kolmnurk;

e) skaleeni kolmnurk;

e) võrdhaarne kolmnurk.

3. Tee tunni teemal ülesanne oma kaaslastele.

Täna läheme Geomeetria riiki, kus teeme tutvust erinevat tüüpi kolmnurkadega.

Uurige geomeetrilisi kujundeid ja leidke nende hulgast "lisa" (joonis 1).

Riis. 1. Illustratsioon näiteks

Näeme, et joonised nr 1, 2, 3, 5 on nelinurgad. Igal neist on oma nimi (joon. 2).

Riis. 2. Nelinurgad

See tähendab, et "lisa" kujund on kolmnurk (joon. 3).

Riis. 3. Illustratsioon näiteks

Kolmnurk on kujund, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel, ja kolmest lõigust, mis ühendavad neid punkte paarikaupa.

Punkte nimetatakse kolmnurga tipud, segmendid - tema peod. Kolmnurga küljed moodustuvad Kolmnurga tippudes on kolm nurka.

Kolmnurga peamised omadused on kolm külge ja kolm nurka. Kolmnurgad klassifitseeritakse nurga järgi äge, ristkülikukujuline ja nüri.

Kolmnurka nimetatakse teravnurkseks, kui selle kõik kolm nurka on teravnurgad, st alla 90 ° (joonis 4).

Riis. 4. Terav kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse täisnurkseks, kui selle üks nurk on 90° (joonis 5).

Riis. 5. Täisnurkne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse nüriks, kui üks selle nurkadest on nürinurkne, s.t suurem kui 90° (joonis 6).

Riis. 6. Nürinurkne kolmnurk

Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad võrdkülgsed, võrdhaarsed, skaala.

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed (joonis 7).

Riis. 7. Võrdhaarne kolmnurk

Neid külgi nimetatakse külgmine, kolmas külg - alus. Võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluse juures võrdsed.

Võrdhaarsed kolmnurgad on äge ja nüri(Joonis 8) .

Riis. 8. Teravad ja nürid võrdhaarsed kolmnurgad

Nimetatakse võrdkülgset kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdsed (joon. 9).

Riis. 9. Võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgses kolmnurgas kõik nurgad on võrdsed. Võrdkülgsed kolmnurgad Alati teravnurkne.

Mitmekülgseks nimetatakse kolmnurka, mille kõik kolm külge on erineva pikkusega (joon. 10).

Riis. 10. Skaleeni kolmnurk

Täitke ülesanne. Jaga need kolmnurgad kolme rühma (joonis 11).

Riis. 11. Ülesande illustratsioon

Esiteks jaotame nurkade suuruse järgi.

Teravad kolmnurgad: nr 1, nr 3.

Täisnurksed kolmnurgad: #2, #6.

Nürikujulised kolmnurgad: #4, #5.

Need kolmnurgad jagatakse võrdsete külgede arvu järgi rühmadesse.

Skaleeni kolmnurgad: nr 4, nr 6.

Võrdhaarsed kolmnurgad: nr 2, nr 3, nr 5.

Võrdkülgne kolmnurk: nr 1.

Vaadake joonised üle.

Mõelge, millisest traaditükist on iga kolmnurk tehtud (joonis 12).

Riis. 12. Ülesande illustratsioon

Saate niimoodi vaielda.

Esimene traadijupp on jagatud kolmeks võrdseks osaks, nii et saate sellest teha võrdkülgse kolmnurga. See on näidatud joonisel kolmandana.

Teine traadijupp on jagatud kolmeks erinevaks osaks, nii et sellest saab teha skaleeni kolmnurga. See on näidatud pildil esimesena.

Kolmas traadijupp on jagatud kolmeks osaks, kus kaks osa on ühepikkused, nii et sellest saab teha võrdhaarse kolmnurga. See on näidatud joonisel teisel kohal.

Tänases tunnis tutvusime erinevate kolmnurkade tüüpidega.

Bibliograafia

1. M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
3. M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: juhendid õpetajatele. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
4. Regulatiivne dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M.: "Valgustus", 2011.
5. "Venemaa kool": programmid põhikoolile. - M.: "Valgustus", 2011.
6. S.I. Volkov. Matemaatika: kontrolltöö. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: "Eksam", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Kodutöö

1. Lõpeta fraasid.

a) Kolmnurk on kujund, mis koosneb ..., mis ei asu samal sirgel, ja ..., mis ühendab neid punkte paarikaupa.

b) Punkte nimetatakse … , segmendid - tema … . Kolmnurga küljed moodustuvad kolmnurga tippudes ….

c) Vastavalt nurga suurusele on kolmnurgad ..., ..., ....

d) Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad ..., ..., ....

2. Joonista

a) täisnurkne kolmnurk

b) terav kolmnurk;

c) nürinurkne kolmnurk;

d) võrdkülgne kolmnurk;

e) skaleeni kolmnurk;

e) võrdhaarne kolmnurk.

3. Tee tunni teemal ülesanne oma kaaslastele.

Lihtsaim hulknurk, mida koolis õpitakse, on kolmnurk. See on õpilastele arusaadavam ja sellega kaasneb vähem raskusi. Vaatamata sellele, et neid on erinevat tüüpi kolmnurgad, millel on erilised omadused.

Millist kuju nimetatakse kolmnurgaks?

Moodustatud kolmest punktist ja sirglõikest. Esimesi nimetatakse tippudeks, viimaseid külgedeks. Lisaks peavad kõik kolm segmenti olema ühendatud nii, et nende vahele tekiks nurgad. Sellest ka kujundi nimi "kolmnurk".

Nimede erinevused nurkades

Kuna need võivad olla teravad, nürid ja sirged, määratakse kolmnurkade tüübid nende nimede järgi. Seega on selliseid kujundeid kolm rühma.

• Esiteks. Kui kolmnurga kõik nurgad on teravnurgad, nimetatakse seda teravaks kolmnurgaks. Kõik on loogiline.

• Teiseks. Üks nurkadest on nüri, seega on kolmnurk nüri. Lihtsam mitte kuskil.

• Kolmandaks. Seal on nurk, mis võrdub 90 kraadiga, mida nimetatakse täisnurgaks. Kolmnurk muutub ristkülikukujuliseks.

Nimede erinevused külgedel

Sõltuvalt külgede omadustest eristatakse järgmist tüüpi kolmnurki:

üldjuhtum on mitmekülgne, kus kõik küljed on suvalise pikkusega;

võrdhaarsed, mille kahel küljel on samad arvväärtused;

võrdkülgsed, on selle kõigi külgede pikkused ühesugused.

Kui ülesanne ei määra kindlat tüüpi kolmnurka, peate joonistama suvalise kolmnurga. Milles kõik nurgad on teravad ja küljed erineva pikkusega.

Kõikide kolmnurkade ühised omadused

1. Kui liidate kolmnurga kõik nurgad kokku, saate arvu, mis on võrdne 180º. Ja pole vahet, mis tüüpi see on. See reegel kehtib alati.
2. Kolmnurga mis tahes külje arvväärtus on väiksem kui ülejäänud kaks kokku liites. Pealegi on see suurem kui nende erinevus.
3. Igal välisnurgal on väärtus, mis saadakse kahe sisemise nurga lisamisel, mis ei külgne sellega. Pealegi on see alati suurem kui külgnev sisemine.
4. Kolmnurga väikseim külg on alati väikseima nurga vastas. Ja vastupidi, kui külg on suur, on nurk suurim.

Need omadused kehtivad alati, olenemata sellest, millist tüüpi kolmnurki ülesannetes käsitletakse. Kõik ülejäänud tulenevad konkreetsetest funktsioonidest.

Võrdhaarse kolmnurga omadused

• Alusega külgnevad nurgad on võrdsed.
• Aluse külge tõmmatud kõrgus on ka mediaan ja poolitaja.
• Kolmnurga külgedele ehitatud kõrgused, mediaanid ja poolitajad on vastavalt üksteisega võrdsed.

Võrdkülgse kolmnurga omadused

Kui selline arv on olemas, vastavad kõik veidi ülalkirjeldatud omadused. Sest võrdkülgne on alati võrdhaarne. Kuid mitte vastupidi, võrdhaarne kolmnurk ei pruugi olla võrdkülgne.

• Kõik selle nurgad on üksteisega võrdsed ja nende väärtus on 60º.
• Võrdkülgse kolmnurga mis tahes mediaan on selle kõrgus ja poolitaja. Ja nad on kõik üksteisega võrdsed. Nende väärtuste määramiseks on valem, mis koosneb külje ja ruutjuure korrutisest 3 jagatuna 2-ga.

Täisnurkse kolmnurga omadused

• Kaks teravnurka annavad kokku 90º.
• Hüpotenuusi pikkus on alati suurem kui ühegi jala pikkus.
• Hüpotenuusile tõmmatud mediaani arvväärtus on võrdne poolega sellest.
• Jalg on võrdne sama väärtusega, kui see asub 30º nurga vastas.
• Ülaosast tõmmatud kõrgusel väärtusega 90º on teatav matemaatiline sõltuvus jalgadest: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / 2. Siin: a, c - jalad, n - kõrgus.

Probleemid erinevat tüüpi kolmnurkadega

nr 1. Antud võrdhaarne kolmnurk. Selle ümbermõõt on teada ja on võrdne 90 cm. Selle külgede tundmine on vajalik. Lisatingimusena: külgmine pool on 1,2 korda väiksem kui alus.

Perimeetri väärtus sõltub otseselt leiduvatest kogustest. Kõigi kolme külje summa annab 90 cm Nüüd peate meeles pidama kolmnurga märki, mille järgi see on võrdhaarne. See tähendab, et kaks poolt on võrdsed. Saate koostada võrrandi kahe tundmatuga: 2a + b \u003d 90. Siin a on külg, b on alus.

On aeg lisatingimuseks. Pärast seda saadakse teine ​​võrrand: b \u003d 1,2a. Selle väljendi saate asendada esimesega. Selgub: 2a + 1,2a \u003d 90. Pärast teisendusi: 3,2a \u003d 90. Seega a \u003d 28,125 (cm). Nüüd on põhjust lihtne välja selgitada. Parim on seda teha teisest tingimusest: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Kontrollimiseks saate lisada kolm väärtust: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Hästi.

Vastus: kolmnurga küljed on 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

nr 2. Võrdkülgse kolmnurga külg on 12 cm, peate arvutama selle kõrguse.

Lahendus. Vastuse otsimiseks piisab, kui naasta hetkeni, kus kirjeldati kolmnurga omadusi. See on valem võrdkülgse kolmnurga kõrguse, mediaani ja poolitaja leidmiseks.

n \u003d a * √3 / 2, kus n on kõrgus, a on külg.

Asendamine ja arvutus annavad järgmise tulemuse: n = 6 √3 (cm).

Seda valemit pole vaja pähe õppida. Piisab, kui meenutada, et kõrgus jagab kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Veelgi enam, see osutub jalaks ja selles olev hüpotenuus on algse külg, teine ​​jalg on pool teadaolevast küljest. Nüüd tuleb üles kirjutada Pythagorase teoreem ja tuletada kõrguse valem.

Vastus: kõrgus on 6√3 cm.

nr 3. MKR on antud - kolmnurk, 90 kraadi, milles moodustab nurga K. Küljed MP ja KR on teada, need on vastavalt 30 ja 15 cm. Tuleb välja selgitada nurga P väärtus.

Lahendus. Kui teete joonise, saab selgeks, et MP on hüpotenuus. Pealegi on see kaks korda suurem kui CD jalg. Jällegi peate pöörduma omaduste poole. Üks neist on lihtsalt seotud nurkadega. Sellest on selge, et KMR-i nurk on 30º. Seega on soovitud nurk P 60º. See tuleneb teisest omadusest, mis väidab, et kahe teravnurga summa peab võrduma 90º.

Vastus: nurk R on 60º.

nr 4. Peate leidma kõik võrdhaarse kolmnurga nurgad. Tema kohta on teada, et aluse nurga välisnurk on 110º.

Lahendus. Kuna antud on ainult välimine nurk, tuleks seda kasutada. See moodustub välja töötatud sisenurgaga. Nii et need annavad kokku 180º. See tähendab, et kolmnurga aluse nurk on 70º. Kuna see on võrdhaarne, on teisel nurgal sama väärtus. Jääb välja arvutada kolmas nurk. Kõigi kolmnurkade ühise omaduse järgi on nurkade summa 180º. Seega kolmas on määratletud kui 180º - 70º - 70º = 40º.

Vastus: nurgad on 70º, 70º, 40º.

nr 5. On teada, et võrdkülgse kolmnurga nurga vastas on 90º. Alusele on märgitud punkt. Seda täisnurgaga ühendav segment jagab selle suhtega 1:4. Peate teadma väiksema kolmnurga kõiki nurki.

Lahendus. Ühe nurga saab kohe määrata. Kuna kolmnurk on täisnurkne ja võrdhaarne, on selle põhjas asuvad kolmnurk 45º, see tähendab 90º / 2.

Teine neist aitab leida tingimuses tuntud seost. Kuna see on võrdne 1 kuni 4, on osad, milleks see on jagatud, ainult 5. Kolmnurga väiksema nurga väljaselgitamiseks vajate 90º / 5 = 18º. Jääb välja selgitada kolmas. Selleks peate 180º-st (kolmnurga kõigi nurkade summast) lahutama 45º ja 18º. Arvutused on lihtsad ja selgub: 117º.