Määrake joonte vaheline teravnurk. Tasapinna sirgjoonte vaheline nurk. Antud sirgega risti

Artiklis räägitakse tasapindadevahelise nurga leidmisest. Pärast definitsiooni andmist anname graafilise illustratsiooni ja kaalume üksikasjalikku meetodit koordinaatide leidmiseks meetodi abil. Saame ristumistasandite valemi, mis sisaldab normaalvektorite koordinaate.

Materjalis kasutatakse andmeid ja mõisteid, mida on varem uuritud artiklites, mis käsitlevad tasapinda ja joont ruumis. Esiteks on vaja liikuda edasi arutluskäigu juurde, mis võimaldab meil teatud lähenemisviisi kahe risuva tasandi vahelise nurga määramiseks.

Antud on kaks lõikuvat tasandit γ 1 ja γ 2. Nende ristmik saab tähise c. χ tasandi ehitus on seotud nende tasandite lõikepunktiga. Tasand χ läbib punkti M sirgjoonena c. Tasapindade γ 1 ja γ 2 lõikepunkt tehakse tasapinna χ abil. γ 1 ja χ lõikuvat sirget võtame sirgeks a ning joont, mis ristub γ 2 ja χ, sirgeks b. Leiame, et sirgete a ja b lõikepunkt annab punkti M.

Punkti M asukoht ei mõjuta nurka ristuvate sirgete a ja b vahel ning punkt M asub sirgel c, mida läbib tasapind χ.

Vaja on konstrueerida tasapind χ 1, mis on risti sirgega c ja erineb tasapinnast χ. Tasapindade γ 1 ja γ 2 lõikepunkt χ 1 abil saab sirgeid a 1 ja b 1.

Näha on, et χ ja χ 1 konstrueerimisel on sirged a ja b risti sirgega c, siis a 1, b 1 paiknevad risti sirgega c. Leides tasapinnal γ 1 sirgjooned a ja a 1, mis on risti sirgega c, siis võib neid lugeda paralleelseks. Samamoodi näitab b ja b 1 asukoht γ 2 tasapinnal risti sirgjoonega c nende paralleelsust. See tähendab, et on vaja teha tasapinna χ 1 paralleelne ülekanne χ-le, kus saame kaks kokkulangevat sirget a ja a 1, b ja b 1. Leiame, et nurk ristuvate sirgete a ja b vahel on 1 võrdne nurgaga ristuvad sirged a ja b.

Vaatame allolevat joonist.

Seda väidet tõestab asjaolu, et lõikuvate sirgete a ja b vahel on nurk, mis ei sõltu punkti M asukohast, see tähendab lõikepunktist. Need jooned asuvad tasapindadel γ 1 ja γ 2. Tegelikult võib saadud nurka pidada kahe lõikuva tasandi vaheliseks nurgaks.

Liigume edasi olemasolevate ristuvate tasandite γ 1 ja γ 2 vahelise nurga määramise juurde.

Definitsioon 1

Nurk kahe lõikuva tasandi γ 1 ja γ 2 vahel nimetatakse nurka, mille moodustab sirgete a ja b lõikepunkt, kus tasapinnad γ 1 ja γ 2 lõikuvad sirgega c risti oleva tasandiga χ.

Mõelge allolevale joonisele.

Otsuse võib esitada muus vormis. Kui tasapinnad γ 1 ja γ 2 lõikuvad, kus c on sirge, millel need lõikuvad, märkige punkt M, mille kaudu tõmmatakse sirge c risti olevad jooned a ja b, mis asuvad tasapindadel γ 1 ja γ 2, siis nurk nende vahel. sirged a ja b on tasapindade vaheline nurk. Praktikas on see rakendatav tasapindadevahelise nurga konstrueerimiseks.

Lõikumisel moodustub nurk, mille väärtus on väiksem kui 90 kraadi ehk nurga kraadimõõt kehtib seda tüüpi intervallil (0, 90]. Samas nimetatakse neid tasapindu risti, kui ristumiskohas moodustub täisnurk Paralleelsete tasandite vaheline nurk loetakse võrdseks nulliga.

Tavaline viis ristuvate tasandite vahelise nurga leidmiseks on teha lisakonstruktsioone. See aitab seda täpselt määrata ja seda saab teha kolmnurga võrdsuse või sarnasuse märkide, siinuste ja nurga koosinuste abil.

Vaatleme probleemide lahendamist näite abil Ühtse riigieksami probleemid plokk C 2.

Näide 1

Antud on ristkülikukujuline rööptahukas A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kus külg A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, punkt E jagab külje A A 1 suhtega 4:3. Leidke nurk tasapindade A B C ja B E D 1 vahel.

Lahendus

Selguse huvides on vaja teha joonis. Me saame sellest aru

Visuaalne esitus on vajalik, et muuta tasapindadevahelise nurgaga töötamine mugavamaks.

Määrame sirge, mida mööda toimub tasandite A B C ja B E D 1 ristumiskoht. Punkt B on ühine punkt. Tuleks leida veel üks ühine ristumispunkt. Vaatleme sirgeid D A ja D 1 E, mis asuvad samal tasapinnal A D D 1. Nende asukoht ei näita paralleelsust, see tähendab, et neil on ühine lõikepunkt.

Kuid sirge D A asub tasapinnal A B C ja D 1 E tasapinnal B E D 1. Sellest saame, et sirged jooned D A Ja D 1 E neil on ühine lõikepunkt, mis on ühine tasapindadele A B C ja B E D 1. Näitab joonte lõikepunkti D A ja D 1 E täht F. Sellest saame, et B F on sirge, mida mööda tasandid A B C ja B E D 1 lõikuvad.

Vaatame allolevat joonist.

Vastuse saamiseks on vaja konstrueerida sirgjooned, mis asuvad tasanditel A B C ja B E D 1, mis läbivad punkti, mis asub sirgel B F ja on sellega risti. Seejärel peetakse nende sirgjoonte vahelist nurka soovitud nurgaks tasapindade A B C ja B E D 1 vahel.

Sellest näeme, et punkt A on punkti E projektsioon tasapinnale A B C. Vajalik on tõmmata sirge, mis lõikub sirge B F täisnurga all punktis M. On näha, et sirge A M on projektsioon. sirge E M tasapinnale A B C, tuginedes teoreemile nende ristide A M ⊥ B F kohta. Mõelge allolevale pildile.

∠ A M E on soovitud nurk, mille moodustavad tasapinnad A B C ja B E D 1. Saadud kolmnurgast A E M leiame nurga siinuse, koosinuse või puutuja ja seejärel nurga enda, kui on teada selle kaks külge. Tingimusel saame, et pikkus A E leitakse nii: sirge A A 1 jagatakse punktiga E vahekorras 4:3, mis tähendab, et sirge kogupikkus on 7 osa, siis A E = 4 osa. Leiame A M.

Tuleb arvestada täisnurkse kolmnurgaga A B F. Meil on täisnurk A kõrgusega A M. Tingimusest A B = 2, siis leiame pikkuse A F kolmnurkade D D 1 F ja A E F sarnasuse järgi. Saame, et A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Kolmnurga A B F külje B F pikkus on vaja leida Pythagorase teoreemi abil. Saame, et B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Külje A M pikkus leitakse läbi kolmnurga A B F ala. Meil on, et pindala võib olla võrdne nii S A B C = 1 2 · A B · A F kui ka S A B C = 1 2 · B F · A M .

Saame, et A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Siis leiame kolmnurga A E M nurga puutuja väärtuse. Saame:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Tasapindade A B C ja B E D 1 lõikel saadud soovitud nurk võrdub a r c t g 5, siis saame lihtsustamisel a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Vastus: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Mõned lõikuvate sirgete vahelise nurga leidmise juhtumid on täpsustatud koordinaattasandi O x y z ja koordinaatmeetodi abil. Vaatame lähemalt.

Kui on antud ülesanne, kus on vaja leida nurk lõikuvate tasapindade γ 1 ja γ 2 vahel, tähistame soovitud nurga α-ga.

Siis näitab antud koordinaatsüsteem, et meil on ristuvate tasandite γ 1 ja γ 2 normaalvektorite koordinaadid. Seejärel märgime, et n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z on tasandi γ 1 normaalvektor ja n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - tasapind γ 2. Vaatleme nende tasandite vahelise nurga üksikasjalikku määramist vastavalt vektorite koordinaatidele.

On vaja määrata sirgjoon, mida mööda tasapinnad γ 1 ja γ 2 lõikuvad tähega c. Sirgel c on punkt M, mille kaudu joonistame tasandi χ, mis on risti c-ga. Tasapind χ piki sirgeid a ja b lõikub tasapindadega γ 1 ja γ 2 punktis M. definitsioonist järeldub, et nurk lõikuvate tasandite γ 1 ja γ 2 vahel on võrdne nendele tasapindadele kuuluvate vastavalt ristuvate sirgete a ja b nurgaga.

Tasapinnale χ joonistame normaalvektorid punktist M ja tähistame neid n 1 → ja n 2 → . Vektor n 1 → asub sirgega a risti asetseval sirgel ja vektor n 2 → paikneb sirgega b. Siit saame, et antud tasapinnal χ on sirge a normaalvektor, mis on võrdne n 1 → ja sirge b jaoks n 2 →. Mõelge allolevale joonisele.

Siit saame valemi, mille abil saame vektorite koordinaatide abil arvutada ristuvate sirgete nurga siinuse. Leidsime, et sirgete a ja b vahelise nurga koosinus on sama mis koosinus lõikuvate tasandite γ 1 ja γ 2 vahel on tuletatud valemist cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kus meil on see n 1 → = ( n 1 x, n 1 y, n 1 z) ja n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) on kujutatud tasandite vektorite koordinaadid.

Ristumisjoonte vaheline nurk arvutatakse valemi abil

α = a rc cos n 1 x n 2 x + n 1 a n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Näide 2

Tingimuse järgi on antud rööptahukas A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , kus A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7 ja punkt E jagab külje A A 1 4:3. Leidke nurk tasapindade A B C ja B E D 1 vahel.

Lahendus

Tingimusest on selge, et selle küljed on paarikaupa risti. See tähendab, et on vaja kasutusele võtta koordinaatsüsteem O x y z, mille tipp on punktis C ja koordinaatteljed O x, O y, O z. Vajalik on määrata suund vastavatele külgedele. Mõelge allolevale joonisele.

Lõikuvad lennukid A B C Ja B E D 1 moodustavad nurga, mille saab leida valemiga α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, milles n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ja n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) on normaalvektorid need lennukid. On vaja määrata koordinaadid. Jooniselt näeme, et koordinaatide telg O x y langeb kokku tasapinnaga A B C, see tähendab, et normaalvektori k → koordinaadid on võrdsed väärtusega n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Tasapinna B E D 1 normaalvektoriks võetakse vektorkorrutis B E → ja B D 1 →, kus nende koordinaadid leitakse äärmuslike punktide B, E, D 1 koordinaatide järgi, mis määratakse kindlaks, lähtudes maapinna tingimustest. probleem.

Saame, et B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Kuna A E E A 1 = 4 3, siis punktide A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 koordinaatidest leiame E 2, 3, 4. Leiame, et B E → = (2, 0, 4), B D 1 → = 2, - 3, 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Leitud koordinaadid on vaja asendada kaarekoosinuse läbiva nurga arvutamise valemiga. Saame

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinaatide meetod annab sarnase tulemuse.

Vastus: a r c cos 6 6 .

Lõpuülesannet käsitletakse eesmärgiga leida nurk ristuvate tasandite vahel olemasolevate teadaolevate tasandite võrranditega.

Näide 3

Arvutage nurga siinus, koosinus ja nurga väärtus, mille moodustavad kaks ristuvat sirget, mis on defineeritud koordinaatsüsteemis O x y z ja antud võrranditega 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ja 3 y - z - 1 = 0.

Lahendus

Kuju A x + B y + C z + D = 0 üldise sirge võrrandi teema uurimisel selgus, et A, B, C on normaalvektori koordinaatidega võrdsed koefitsiendid. See tähendab, et n 1 → = 2, - 4, 1 ja n 2 → = 0, 3, - 1 on antud sirgete normaalvektorid.

Tasapindade normaalvektorite koordinaadid on vaja asendada ristuvate tasandite soovitud nurga arvutamise valemis. Siis me saame selle

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Siit saame, et nurga koosinus on kujul cos α = 13 210. Siis ei ole ristuvate sirgete nurk nüri. Asendades trigonomeetrilise identiteedi, leiame, et nurga siinuse väärtus on võrdne avaldisega. Arvutame ja leiame selle

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Vastus: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Nurk ruumisirgete vahel nimetame mis tahes külgnevaid nurki, mille moodustavad kaks sirget, mis on tõmmatud läbi andmetega paralleelse suvalise punkti.

Olgu ruumis antud kaks rida:

Ilmselgelt võib sirgjoonte vahelist nurka φ võtta nende suunavektorite ja vahelise nurgana. Kuna , siis vektoritevahelise nurga koosinuse valemit kasutades saame

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on samaväärsed nende suunavektorite paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega ja:

Kaks otse paralleelselt siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, s.t. l 1 paralleel l 2 siis ja ainult paralleelselt .

Kaks otse risti siis ja ainult siis, kui vastavate koefitsientide korrutiste summa on võrdne nulliga: .

U eesmärk joone ja tasapinna vahel

Las see olla sirge d- mitte θ tasapinnaga risti;
d′− sirge projektsioon dθ tasapinnale;
Väikseim nurk sirgjoonte vahel d Ja d"me helistame nurk sirge ja tasapinna vahel.
Tähistame seda kui φ=( d,θ)
Kui d⊥θ, siis ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− ristkülikukujuline koordinaatsüsteem.
Tasapinnaline võrrand:

θ: Ax+Kõrval+Cz+D=0

Eeldame, et sirge on määratletud punkti ja suunavektoriga: d[M 0,lk→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Siis jääb üle välja selgitada vektorite vaheline nurk n→ ja lk→ tähistame seda kui γ=( n→,lk→).

Kui nurk γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Kui nurk on γ>π/2, siis on soovitud nurk φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Siis nurk sirgjoone ja tasapinna vahel saab arvutada järgmise valemi abil:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lk 21+lk 22+lk 23

Küsimus 29. Ruutvormi mõiste. Ruutvormide märgimääratlus.

Ruutvorm j (x 1, x 2, …, x n) n reaalset muutujat x 1, x 2, …, x n nimetatakse vormi summaks
, (1)

Kus a ij – mõned arvud, mida nimetatakse koefitsientideks. Ilma üldistust kaotamata võime seda eeldada a ij = a ji.

Ruutvormi nimetatakse kehtiv, Kui a ij Î GR. Ruutkujuline maatriks nimetatakse maatriksiks, mis koosneb selle koefitsientidest. Ruutvorm (1) vastab ainsale sümmeetrilisele maatriksile
See on A T = A. Järelikult saab ruutvormi (1) kirjutada maatriksi kujul j ( X) = x T Ah, Kus x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ja vastupidi, iga sümmeetriline maatriks (2) vastab ainulaadsele ruutvormile kuni muutujate tähistuseni.

Ruutvormi aste nimetatakse selle maatriksi auastmeks. Ruutvormi nimetatakse mitte-degenereerunud, kui selle maatriks ei ole ainsuses A. (tuletage meelde, et maatriks A nimetatakse mittedegeneratiivseks, kui selle determinant ei ole võrdne nulliga). IN muidu ruutvorm on degenereerunud.

positiivne kindel(või rangelt positiivne), kui

j ( X) > 0 , kellelegi X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Maatriks A positiivne kindel ruutvorm j ( X) nimetatakse ka positiivseks kindlaks. Seetõttu vastab positiivne kindel ruutvorm ainulaadsele positiivsele kindlale maatriksile ja vastupidi.

Ruutkuju (1) nimetatakse negatiivselt määratletud(või rangelt negatiivne), kui

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Sarnaselt ülaltoodule nimetatakse negatiivse kindla ruutkujuga maatriksit ka negatiivseks kindlaks.

Järelikult positiivne (negatiivne) kindel ruutvorm j ( X) jõuab minimaalse (maksimaalse) väärtuseni j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Pange tähele, et enamik ruutvorme ei ole märgikindlad, st nad ei ole positiivsed ega negatiivsed. Sellised ruutvormid kaovad mitte ainult koordinaatsüsteemi alguspunktis, vaid ka teistes punktides.

Millal n> 2, ruutvormi märgi kontrollimiseks on vaja erikriteeriume. Vaatame neid.

Suuremad alaealised ruutvorme nimetatakse alaealisteks:

see tähendab, et need on alaealised suurusjärgus 1, 2, ..., n maatriksid A, mis asub vasakus ülanurgas, viimane neist ühtib maatriksi determinandiga A.

Positiivse määratluse kriteerium (Sylvesteri kriteerium)

X) = x T Ah oli positiivne kindel, on vajalik ja piisav, et kõik maatriksi suuremad alaealised A olid positiivsed, see tähendab: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivse kindluse kriteerium Selleks, et ruutvorm j ( X) = x T Ah oli negatiivne kindel, on vajalik ja piisav, et selle paarisjärjekorras põhimollid oleksid positiivsed ja paaritu järjekorraga - negatiivsed, st: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Nurk φ üldvõrrandid A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, arvutatakse järgmise valemiga:

Nurk φ kahe antud rea vahel kanoonilised võrrandid(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 ja (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, arvutatakse järgmise valemiga:

Kaugus punktist jooneni

Iga ruumi tasapinda saab esitada lineaarvõrrandina, mida nimetatakse üldvõrrand lennuk

Erijuhtumid.

o Kui võrrandis (8) , siis tasand läbib alguspunkti.

o Kui (,) tasapind on paralleelne teljega (telg, telg).

o Kui (,) tasapind on paralleelne tasapinnaga (tasand, tasapind).

Lahendus: kasutage (7)

Vastus: üldtasandi võrrand.

Näide.

Tasapind ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz on antud tasandi üldvõrrandiga . Kirjutage üles selle tasandi kõigi normaalvektorite koordinaadid.

Teame, et tasandi üldvõrrandis olevate muutujate x, y ja z koefitsiendid on selle tasandi normaalvektori vastavad koordinaadid. Seetõttu antud tasandi normaalvektor on koordinaadid. Kõikide normaalvektorite komplekti saab määratleda järgmiselt:

Kirjutage tasapinna võrrand, kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz ruumis läbib punkti , A on selle tasandi normaalvektor.

Pakume sellele probleemile kaks lahendust.

Sellest olukorrast, mis meil on. Asendame need andmed punkti läbiva tasapinna üldvõrrandisse:

Kirjutage koordinaattasandiga Oyz paralleelse ja punkti läbiva tasandi üldvõrrand .

Tasapinna, mis on paralleelne koordinaattasandiga Oyz, saab esitada üldise mittetäieliku tasapinna võrrandiga kujul . Alates punktist kuulub tingimuse järgi tasapinnale, siis peavad selle punkti koordinaadid rahuldama tasandi võrrandit ehk võrdus peab olema tõene. Siit leiame. Seega on nõutaval võrrandil vorm.

Lahendus. Ristkorrutis on definitsiooni 10.26 järgi ortogonaalne vektoritega p ja q. Järelikult on see soovitud tasapinnaga ortogonaalne ja vektori võib võtta selle normaalvektoriks. Leiame vektori n koordinaadid:

see on . Kasutades valemit (11.1), saame

Avades selles võrrandis sulgud, jõuame lõpliku vastuseni.

Vastus: .

Kirjutame normaalvektori vormi ümber ja leiame selle pikkuse:

Vastavalt ülaltoodule:

Vastus:

Paralleeltasanditel on sama normaalvektor. 1) Võrrandist leiame tasapinna normaalvektori:.

2) Koostame punkti ja normaalvektori abil tasapinna võrrandi:

Vastus:

Ruumi tasapinna vektorvõrrand

Tasapinna parameetriline võrrand ruumis

Antud punkti läbiva tasandi võrrand, mis on risti antud vektoriga

Olgu kolmemõõtmelises ruumis antud ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem. Sõnastame järgmise probleemi:

Kirjutage võrrand antud punkti läbivale tasapinnale M(x 0, y 0, z 0) antud vektoriga risti n = ( A, B, C} .

Lahendus. Lase P(x, y, z) on suvaline punkt ruumis. Punkt P kuulub tasapinnale siis ja ainult siis, kui vektor MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) vektori suhtes ortogonaalne n = {A, B, C) (joonis 1).

Olles kirjutanud nende vektorite ortogonaalsuse tingimuse (n, MP) = 0 koordinaatide kujul, saame:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Tasapinna võrrand kolme punkti abil

Vektorkujul

Koordinaatides

Tasapindade vastastikune paigutus ruumis

– üldvõrrandid kaks lennukit. Seejärel:

1) kui , siis tasapinnad langevad kokku;

2) kui , siis on tasapinnad paralleelsed;

3) kui või , siis tasandid lõikuvad ja võrrandisüsteem

(6)

on nende tasandite lõikesirgete võrrandid.

Lahendus: Koostame sirge kanoonilised võrrandid, kasutades valemit: Vastus:

Võtame saadud võrrandid ja “näpime mõttes ära”, näiteks vasakpoolse tüki: . Võrdleme nüüd selle tükiga mis tahes numbrile(pidage meeles, et seal oli juba null), näiteks ühele: . Kuna , siis peaksid ka ülejäänud kaks “tükki” olema võrdsed ühega. Põhimõtteliselt peate süsteemi lahendama:

Koostage järgmiste sirgjoonte parameetrilised võrrandid:

Lahendus: Sirged on antud kanooniliste võrranditega ja esimeses etapis tuleks leida mõni joonele kuuluv punkt ja selle suuna vektor.

a) võrranditest eemalda punkt ja suunavektor: . Võite valida mõne muu punkti (kuidas seda teha, on kirjeldatud ülal), kuid parem on võtta kõige ilmsem. Muide, vigade vältimiseks asendage võrrandites alati selle koordinaadid.

Loome selle rea jaoks parameetrilised võrrandid:

Parameetriliste võrrandite mugavus seisneb selles, et nende abil on sirgel teiste punktide leidmine väga lihtne. Näiteks leiame punkti, mille koordinaadid vastavad näiteks parameetri väärtusele:

Seega: b) Vaatleme kanoonilisi võrrandeid . Punkti valimine siin pole keeruline, kuid reeturlik: (olge ettevaatlik, et koordinaate mitte segamini ajada!!!). Kuidas eemaldada juhtvektorit? Võite spekuleerida, millega see sirge on paralleelne, või kasutada lihtsat formaalset tehnikat: proportsioon sisaldab "Y" ja "Z", nii et kirjutame üles suunavektori ja paneme ülejäänud ruumi nulli: .

Koostame sirge parameetrilised võrrandid:

c) Kirjutame võrrandid ümber kujul , see tähendab, et “zet” võib olla ükskõik milline. Ja kui mõne, siis olgu näiteks . Seega kuulub punkt sellele reale. Suunavektori leidmiseks kasutame järgmist formaalset tehnikat: algsetes võrrandites on “x” ja “y” ning suunavektorisse nendesse kohtadesse kirjutame nullid: . Ülejäänud ruumi paneme üksus: . Ühe asemel sobib iga number peale nulli.

Kirjutame üles sirge parameetrilised võrrandid:

Definitsioon. Kui kahele sirgele on antud y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2.

Teoreem. Sirged Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 = λA, B 1 = λB on võrdelised. Kui ka C 1 = λC, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand

Antud sirgega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv sirgjoon, mis on risti sirgega y = kx + b, on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis määratakse kaugus sirgeni Ax + Bу + C = 0

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Koordinaadid x 1 ja y 1 saab leida võrrandisüsteemi lahendamisega:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirge võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on antud sirgega risti. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, seega on sirged risti.

Näide. Antud on kolmnurga tipud A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 a – 6;

2 x – 3 a + 3 = 0;

Nõutav kõrgusvõrrand on kujul: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3 x + 2 a – 34 = 0.

Antud punkti kindlas suunas läbiva sirge võrrand. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe sirge vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kaht punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge nurgakoefitsient määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaks sirget on antud kaldega võrranditega

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

siis määratakse nendevaheline nurk valemiga

Tuleb märkida, et murdosa lugejas lahutatakse esimese rea kalle teise rea tõusust.

Kui sirge võrrandid on antud üldkujul

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

nendevaheline nurk määratakse valemiga

4. Kahe joone paralleelsuse tingimused:

a) Kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, siis on nende paralleelsuse vajalikuks ja piisavaks tingimuseks nende nurkkoefitsientide võrdsus:

k 1 = k 2 . (8)

b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende võrrandites olevate vastavate voolukoordinaatide koefitsiendid on võrdelised, s.t.

5. Kahe sirge perpendikulaarsuse tingimused:

a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende nurkkoefitsiendid on suuruselt pöördvõrdelised ja märgilt vastupidised, s.t.

Selle tingimuse võib kirjutada ka vormile

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis nende perpendikulaarsuse tingimuseks (vajalik ja piisav) on võrdsuse rahuldamine

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi (6) lahendamisel. Sirged (6) lõikuvad siis ja ainult siis

1. Kirjutage punkti M läbivate sirgete võrrandid, millest üks on paralleelne ja teine ​​risti antud sirgega l.

A. Olgu antud kaks sirget, mis, nagu näidatud peatükis 1, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis võivad olla nii teravad kui ka nüri. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.

Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis

Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektori projektsioonid, mille nurk nende vektorite vahel on võrdne ühe sirge moodustatud nurgaga. Seetõttu taandub probleem vektorite vahelise nurga määramisele

Lihtsuse huvides võime nõustuda, et kahe sirge vaheline nurk on terav positiivne nurk (nagu näiteks joonisel 53).

Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel on miinusmärk, siis tuleb see kõrvale jätta, st salvestada ainult absoluutväärtus.

Näide. Määrake sirgjoonte vaheline nurk

Vastavalt valemile (1) on meil

Koos. Kui on näidatud, milline nurga külgedest on selle algus ja milline on selle lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemist (1) midagi enamat välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53, näitab valemi (1) paremal küljel saadud märk, millise nurga - terava või nüri - moodustab teine ​​sirge esimesega.

(Jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud sirge nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)

d. Kui sirged on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende suunavektorid Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!

See on kahe sirge paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus.

Näide. Otsene

on paralleelsed, sest

e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge risti asetsemise tingimuse, nimelt

Näide. Otsene

on risti, kuna

Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.

f. Joonistage joon läbi antud sirgega paralleelse punkti

Lahendus viiakse läbi nii. Kuna soovitud sirge on sellega paralleelne, siis saame selle suunavektoriks võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Ja siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand sisse vorm (§ 1)

Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirge võrrand

tuleb järgmine!

g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega

Siin ei sobi enam võtta projektsioonidega A vektorit ja suunavaks vektoriks, vaid on vaja võtta vektor, mis on sellega risti. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt mõlema vektori perpendikulaarsuse tingimusele, st vastavalt tingimusele

Seda tingimust saab täita lugematul hulgal, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga.Kuid kõige lihtsam on võtta või Siis kirjutatakse soovitud rea võrrand kujul

Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand

tuleb järgmine (teise valemi järgi)!

h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega

kirjutades need võrrandid erinevalt ümber, on meil