Kolm võrrandit leiavad tundmatu termini. Üldteave võrrandite kohta. Reeglite jagamine
Võrrandid on keeruline teema, mida õppida, kuid need on enamiku ülesannete jaoks piisavalt võimsad.
Erinevaid looduses toimuvaid protsesse kirjeldatakse võrrandite abil. Võrrandeid kasutatakse laialdaselt teistes teadustes: majanduses, füüsikas, bioloogias ja keemias.
Selles tunnis proovime mõista kõige lihtsamate võrrandite olemust, õppida tundmatute väljendamist ja mitme võrrandi lahendamist. Uute materjalide õppimisel muutuvad võrrandid keerulisemaks, seega on põhitõdede mõistmine väga oluline.
Eelnevad oskused Tunni sisuMis on võrrand?
Võrrand on võrdus, mis sisaldab muutujat, mille väärtuse soovite leida. See väärtus peab olema selline, et kui see asendatakse algvõrrandiga, saadakse õige arvuline võrdsus.
Näiteks on avaldis 3 + 2 \u003d 5 võrdne. Vasaku külje arvutamisel saate õige arvulise võrdsuse 5 \u003d 5.
Kuid võrdsus 3 + x \u003d 5 on võrrand, kuna see sisaldab muutujat x , mille väärtuse leiate. Väärtus peab olema selline, et selle väärtuse asendamisel algvõrrandiga saad õige arvulise võrdsuse.
Teisisõnu peame leidma sellise väärtuse, et võrdusmärk õigustaks selle asukohta - vasak pool peab olema võrdne parema küljega.
Võrrand 3+ x \u003d 5 on elementaarne. Muutuv väärtus x on võrdne 2. Mis tahes muu väärtuse korral võrdsust ei täideta
Arvatakse, et number 2 on juur või võrrandi lahendamisega3 + x = 5
Juur või võrrandi lahendus Kas selle muutuja väärtus, mille korral võrrand muutub kehtivaks arvuliseks võrdsuseks?
Juuri võib olla vähe või üldse mitte. Lahendage võrrand tähendab leida oma juuri või tõestada, et juuri pole.
Samuti kutsutakse võrrandis sisalduvat muutujat teadmata... Teil on õigus helistada mis iganes teile mugavam. Need on sünonüümid.
Märge... Kollokatsioon "Lahendage võrrand" räägib enda eest. Võrrandi lahendamine tähendab võrdsuse „võrdsustamist” - selle tasakaalustamist nii, et vasak pool oleks võrdne parema poolega.
Väljenda ühte läbi teise
Traditsiooniliselt algab võrrandite uurimine õppimisest, kuidas üht numbrit paljude teiste kaudu võrdsena väljendada. Ärgem murdkem seda traditsiooni ja tehkem sama.
Vaatleme järgmist väljendit:
8 + 2
See avaldis on arvude 8 ja 2 summa. Selle avaldise väärtus on 10
8 + 2 = 10
Saime võrdõiguslikkuse. Nüüd saate sellest võrdsusest väljendada mis tahes arvu teiste samasse võrdsusse kuuluvate arvudega. Näiteks väljendame numbrit 2.
Numbri 2 väljendamiseks peate esitama küsimuse: "mida tuleks teha numbritega 10 ja 8, et saada number 2". On selge, et numbri 2 saamiseks peate arvust 10 lahutama numbri 8.
Nii et me teeme seda. Kirjutame numbri 2 üles ja ütleme võrdusmärgi kaudu, et selle numbri 2 saamiseks lahutasime arvu 8 arvust 10:
2 = 10 − 8
Avaldasime numbri 2 võrdsusest 8 + 2 \u003d 10. Nagu näite põhjal näha, pole selles midagi keerulist.
Võrrandite lahendamisel, eriti ühe numbri väljendamisel teistega, on mugav asendada võrdusmärk sõnaga seal on" ... Seda tuleb teha vaimselt, mitte väljendis endas.
Seega, väljendades arvu 2 võrdsusest 8 + 2 \u003d 10, saime võrdsuse 2 \u003d 10 - 8. Seda võrdsust võib lugeda järgmiselt:
2 seal on 10 − 8
See on märk = asendatakse sõnaga "on". Veelgi enam, võrdsuse 2 \u003d 10 - 8 saab matemaatilisest keelest tõlkida täisväärtuslikuks inimkeeleks. Siis saab seda lugeda järgmiselt:
Number 2 seal on numbri 10 ja numbri 8 erinevus
Number 2 seal on numbri 10 ja numbri 8 vahe.
Kuid piirdume võrdusmärgi lihtsalt asendamisega sõnaga "on" ja me ei tee seda alati. Elementaarsetest väljenditest saab aru matemaatilist keelt inimkeelde tõlkimata.
Tagastame saadud võrdsuse 2 \u003d 10 - 8 algsesse olekusse:
8 + 2 = 10
Väljendame seekord numbri 8. Mida on vaja teha ülejäänud numbritega, et saada number 8? Täpselt nii, peate arvust 10 lahutama numbri 2
8 = 10 − 2
Tagastame saadud võrdsuse 8 \u003d 10 - 2 algsesse olekusse:
8 + 2 = 10
Seekord väljendame numbrit 10. Kuid selgub, et kümmet pole vaja väljendada, kuna see on juba väljendatud. Piisab vasaku ja parema külje vahetamisest, siis saame vajaliku:
10 = 8 + 2
Näide 2... Mõelge võrdsusele 8 - 2 \u003d 6
Avaldagem sellest võrdsusest numbrit 8. Numbri 8 väljendamiseks tuleb lisada kaks ülejäänud numbrit:
8 = 6 + 2
Tagastame saadud võrdsuse 8 \u003d 6 + 2 algsesse olekusse:
8 − 2 = 6
Avaldame sellest võrdsusest numbri 2. Numbri 2 väljendamiseks peate 8-st lahutama 6
2 = 8 − 6
Näide 3... Mõelge võrdsusele 3 × 2 \u003d 6
Väljendage number 3. Numbri 3 väljendamiseks vajate 6 jagatuna 2-ga
Tagastame sellest tuleneva võrdsuse algsesse olekusse:
3 × 2 \u003d 6
Avaldagem sellest võrdsusest numbrit 2. Numbri 2 väljendamiseks tuleb 6 jagada 3-ga
Näide 4... Mõelge võrdsusele
Väljendagem sellest võrdsusest numbrit 15. Numbri 15 väljendamiseks peate korrutama arvud 3 ja 5
15 \u003d 3 × 5
Tagastame saadud võrdsuse 15 \u003d 3 × 5 algsesse olekusse:
Avaldame sellest võrdsusest numbrit 5. Numbri 5 väljendamiseks vajate 15 jagatuna 3-ga
Reeglid tundmatute leidmiseks
Vaatleme mitut reeglit tundmatute leidmiseks. Võib-olla on need teile tuttavad, kuid pole valus neid uuesti korrata. Tulevikus võib need unustada, kuna õpime võrrandeid lahendama neid reegleid rakendamata.
Naaseme esimese näite juurde, mida käsitlesime eelmises teemas, kus võrdsuses 8 + 2 \u003d 10 nõuti numbri 2 väljendamist.
Võrdsuses 8 + 2 \u003d 10 on arvud 8 ja 2 mõisted ning arv 10 summa.
Numbri 2 väljendamiseks tegime järgmist:
2 = 10 − 8
See tähendab, et summa 8 lahutati summast 10.
Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 8 + 2 \u003d 10 on numbri 2 asemel muutuja x
8 + x = 10
Sel juhul muutub võrdsus 8 + 2 \u003d 10 võrrandiks 8 + x\u003d 10 ja muutuja x tundmatu termin
Meie ülesandeks on leida see tundmatu termin ehk lahendada võrrand 8 + x\u003d 10. Tundmatu termini leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:
Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama tuntud termini.
Seda me põhimõtteliselt tegime, kui väljendasime kahte võrdsuses 8 + 2 \u003d 10. Termini 2 väljendamiseks lahutasime summast 10 veel ühe termini 8
2 = 10 − 8
Nüüd, et leida tundmatu termin x , peame summast 10 lahutama tuntud termini 8:
x = 10 − 8
Kui arvutate saadud võrdsuse parema külje, saate teada, millega muutuja võrdub x
x = 2
Oleme võrrandi lahendanud. Muutuv väärtus x on võrdne 2-ga. Muutuja väärtuse kontrollimiseks x saada algvõrrandisse 8 + x\u003d 10 ja asenda x.Soovitav on seda teha mis tahes lahendiga võrrandiga, kuna te ei saa olla kindel, et võrrand on õigesti lahendatud:
Tulemusena
Sama reegel kehtiks, kui tundmatu termin oleks esimene number 8.
x + 2 = 10
Selles võrrandis x Kas tundmatu termin, 2 on teada termin, 10 on summa. Tundmatu termini leidmiseks x , on vaja lahutada tuntud termin 2
x = 10 − 2
x = 8
Naaseme eelmise teema teise näite juurde, kus võrdsuses 8 - 2 \u003d 6 nõuti numbri 8 väljendamist.
Võrdsuses 8 - 2 \u003d 6 lahutatakse arv 8, lahutatakse arv 2, erinevus 6 on erinevus
Numbri 8 väljendamiseks tegime järgmist:
8 = 6 + 2
See tähendab, et lisage erinevus 6 ja lahutatud 2.
Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 8 - 2 \u003d 6 on numbri 8 asemel muutuja x
x − 2 = 6
Sel juhul muutuja x võtab endale rolli nn tundmatu vähenes
Tundmatu vähendatud leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:
Tundmatu vähenemise leidmiseks peate lisama lahutatule erinevuse.
Täpselt nii tegime, kui väljendasime arvu 8 võrdsuses 8 - 2 \u003d 6. Lahutatud 8 väljendamiseks lisasime lahutatud 2 vahe 6-sse.
Nüüd, et leida tundmatu väike x , peame lahutatud 2 lisama erinevusele 6
x = 6 + 2
Kui arvutate parema külje, saate teada, millega muutuja võrdub x
x = 8
Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 8 - 2 \u003d 6 on numbri 2 asemel muutuja x
8 − x = 6
Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu omavastutus
Tundmatu omavastutuse leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:
Lahutamatu tundmatu leidmiseks peate lahutatust lahutama erinevuse.
Täpselt nii tegime, kui väljendasime arvu 2 võrdsuses 8 - 2 \u003d 6. Numbri 2 väljendamiseks lahutasime vähendatud 8-st erinevuse 6.
Nüüd leidke tundmatu mahaarvatav xjällegi vähendatud 8-st lahutage erinevus 6
x = 8 − 6
Arvutame parema külje ja leiame väärtuse x
x = 2
Tuleme tagasi eelmise teema kolmanda näite juurde, kus võrdsetes 3 × 2 \u003d 6 proovisime väljendada arvu 3.
Võrdsuses 3 × 2 \u003d 6 on number 3 kordaja, arv 2 on tegur, arv 6 on korrutis
Numbri 3 väljendamiseks tegime järgmist:
See tähendab, et jagasime toote 6 teguriga 2.
Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 3 × 2 \u003d 6 on numbri 3 asemel muutuja x
x × 2 \u003d 6
Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu kordaja.
Tundmatu kordisti leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:
Tundmatu kordaja leidmiseks peate jagama toote teguriga.
Täpselt nii tegime, kui väljendasime arvu 3 võrdsusest 3 × 2 \u003d 6. Jagasime toote 6 teguriga 2.
Nüüd, et leida tundmatu kordaja x , peate jagama korrutise 6 korrutisega 2.
Parema külje arvutamine võimaldab meil leida muutuja väärtuse x
x = 3
Sama reegel kehtib ka muutuja korral x asub kordisti, mitte kordisti asemel. Kujutage ette, et võrdsuses 3 × 2 \u003d 6 on 2 asemel muutuja x.
Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu tegur... Tundmatu teguri leidmiseks on ette nähtud sama, mis tundmatu kordaja leidmiseks, nimelt toote jagamine tuntud teguriga:
Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teguriga.
Täpselt nii tegime, kui väljendasime arvu 2 võrdsusest 3 × 2 \u003d 6. Seejärel jagasime numbri 2 saamiseks korrutise 3 korrutajaga 3.
Nüüd, et leida tundmatu tegur x jagasime korrutise 3 korrutisega 3.
Võrdsuse parempoolse külje arvutamine võimaldab teil teada saada, mis on x
x = 2
Kordajat ja tegurit koos nimetatakse teguriteks. Kuna kordisti ja teguri leidmise reeglid on samad, saame tundmatu teguri leidmiseks sõnastada üldreegli:
Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teadaoleva teguriga.
Näiteks lahendame võrrandi 9 × x \u003d 18. Muutuv x on tundmatu tegur. Selle tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote 18 tuntud teguriga 9
Lahendame võrrandi x× 3 \u003d 27. Muutuv x on tundmatu tegur. Selle tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote 27 teadaoleva teguriga 3
Naaseme eelmise teema neljanda näite juurde, kus nõuti numbri 15 väljendamist. Selles võrdsuses on arv 15 dividend, number 5 jagaja ja number 3 jagatis.
Numbri 15 väljendamiseks tegime järgmist:
15 \u003d 3 × 5
See tähendab, et korrutasime jagatise 3 jagajaga 5.
Kujutage nüüd ette, et võrdsuses on numbri 15 asemel muutuja x
Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu dividend.
Tundmatu dividendi leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:
Tundmatu dividendi leidmiseks peate jagama jagaja jagajaga.
Täpselt nii tegime, kui väljendasime võrdsusest numbrit 15. Numbri 15 väljendamiseks korrutasime jagatise 3 teguriga 5.
Nüüd, et leida tundmatu dividend x , peate jagama 3 jagajaga 5
x \u003d 3 × 5
x .
x = 15
Kujutage nüüd ette, et võrdsuses on numbri 5 asemel muutuja x .
Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu jagaja.
Tundmatu jagaja leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:
Täpselt nii tegime, kui väljendasime võrdsusest numbrit 5. Numbri 5 väljendamiseks jagasime dividendi 15 jagatisega 3.
Nüüd, et leida tundmatu jagaja x , dividend 15 tuleb jagada jagatisega 3
Arvutame välja saadud võrdsuse parema külje. Nii saame teada, millega muutuja võrdub. x .
x = 5
Nii et tundmatute leidmiseks uurisime järgmisi reegleid:
- Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama tuntud termini;
- Tundmatu vähenemise leidmiseks on vaja lahutatule lisada vahe;
- Tundmatu lahutamise leidmiseks peate vähendatud arvust lahutama;
- Tundmatu kordaja leidmiseks peate jagama toote teguriga;
- Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote korrutajaga;
- Tundmatu dividendi leidmiseks peate jagama jagaja jagajaga;
- Tundmatu jagaja leidmiseks peate jagama dividendi jagatisega.
Komponendid
Komponentide all mõtleme võrdsuses sisalduvaid numbreid ja muutujaid
Niisiis, liitmise komponendid on tingimustel ja summa
Lahutamiskomponendid on minuend, alistama ja erinevus
Korrutise komponendid on mitmekordne, faktor ja kompositsioon
Jaotise komponendid on dividend, jagaja ja jagatis
Sõltuvalt sellest, milliste komponentidega me tegeleme, kehtivad vastavad reeglid tundmatute leidmiseks. Uurisime neid reegleid eelmises teemas. Võrrandite lahendamisel on soovitav teada seda reeglit peast.
Näide 1... Leidke võrrandi 45 + juur x = 60
45 - tähtaeg, x - teadmata tähtaeg, 60 - summa. Tegeleme liitkomponentidega. Tuletame meelde, et tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama tuntud termini:
x = 60 − 45
Arvutame parema külje, saame väärtuse x võrdne 15-ga
x = 15
Seega võrrandi 45 + juur x \u003d 60 võrdub 15.
Kõige sagedamini tuleb tundmatu termin taandada vormi, milles seda saaks väljendada.
Näide 2... Lahendage võrrand
Erinevalt eelmisest näitest ei saa siin tundmatut terminit kohe väljendada, kuna see sisaldab koefitsienti 2. Meie ülesanne on viia see võrrand sellisesse vormi, milles oleks võimalik väljendada x
Selles näites käsitleme liitmise komponente - termineid ja summat. 2 x Kas esimene, 4 on teine, 8 on summa.
Veelgi enam, mõiste 2 x sisaldab muutujat x ... Pärast muutuja väärtuse leidmist x tähtaeg 2 x saab erineva kuju. Seetõttu termin 2 x võib täielikult võtta tundmatu mõistena:
Nüüd rakendame reeglit tundmatu termini leidmiseks. Lahutage teadaolev mõiste summast:
Arvutame saadud võrrandi parema külje:
Saime uue võrrandi. Nüüd tegeleme korrutamise komponentidega: korrutamine, kordaja ja korrutis. 2 - korrutatav, x - kordaja, 4 - korrutis
Pealegi muutuja x ei ole lihtsalt tegur, vaid tundmatu tegur
Selle tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote korrutajaga:
Arvutame parema külje, saame muutuja väärtuse x
Kontrollimiseks saadame leitud juur algvõrrandisse ja asendame selle x
Näide 3... Lahendage võrrand 3x+ 9x+ 16x= 56
Väljendage tundmatut kohe x see on võimatu. Esiteks peate selle võrrandi viima vormi, milles seda saaks väljendada.
Anname selle võrrandi vasakul küljel:
Tegeleme korrutamise komponentidega. 28 - korrutatav, x - kordaja, 56 - korrutis. Kusjuures x on tundmatu tegur. Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote korrutajaga:
Siit x võrdub 2
Samaväärsed võrrandid
Eelmises näites võrrandi lahendamisel 3x + 9x + 16x = 56 , oleme võrrandi vasakul küljel andnud sarnased terminid. Selle tulemusena saadi uus võrrand 28 x \u003d 56. Vana võrrand 3x + 9x + 16x = 56 ja sellest tulenev uus võrrand 28 x \u003d 56 helistas samaväärsed võrrandidkuna nende juured on samad.
Võrrandeid nimetatakse samaväärseteks, kui nende juured langevad kokku.
Vaatame üle. Võrrandi jaoks 3x+ 9x+ 16x= 56 leidsime juure võrdse 2-ga. Esiteks asendame selle juure võrrandisse 3x+ 9x+ 16x= 56 ja seejärel võrrandisse 28 x\u003d 56, mis saadi sarnaste terminite eelmise võrrandi vasakule küljele toomise tulemusena. Peame saama õiged arvulised võrdused
Vastavalt protseduurile tehakse kõigepealt korrutamine:
Asendage juur 2 teise võrrandiga 28 x= 56
Näeme, et mõlema võrrandi juured langevad kokku. Siit ka võrrandid 3x+ 9x+ 16x= 56 ja 28 x\u003d 56 on tõepoolest samaväärsed.
Võrrandi lahendamiseks 3x+ 9x+ 16x= 56 kasutasime ühte neist - sarnaste terminite vähendamist. Võrrandi õige identne teisendamine võimaldas meil saada samaväärse võrrandi 28 x\u003d 56, mida on lihtsam lahendada.
Praegu saame identsetest teisendustest vähendada ainult murdosa, tuua sarnaseid termineid, võtta sulgudest välja ühise teguri ja ka sulgud. Teada on ka teisi teisendusi. Kuid võrrandite identsete teisenduste üldise idee jaoks on meie uuritud teemad täiesti piisavad.
Vaatleme mõningaid teisendusi, mis võimaldavad meil saada samaväärse võrrandi
Kui lisate võrrandi mõlemale poolele sama numbri, saate antud võrrandiga samaväärse võrrandi.
ja sarnaselt:
Kui lahutada võrrandi mõlemalt küljelt sama arv, saate antud võrrandiga samaväärse võrrandi.
Teisisõnu, võrrandi juur ei muutu, kui selle võrrandi mõlemale küljele lisatakse (või lahutatakse mõlemalt küljelt) sama number.
Näide 1... Lahendage võrrand 
Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt 10
Sai võrrandi 5 x\u003d 10. Tegeleme korrutamise komponentidega. Tundmatu teguri leidmiseks x , peate jagama toote 10 teadaoleva teguriga 5.
ja selle asemel asendada x leitud väärtus 2
Saime õige arvulise võrdsuse. Nii et võrrand on õigesti lahendatud.
Võrrandi lahendamine lahutame võrrandi mõlemalt küljelt 10. Tulemuseks on samaväärne võrrand. Selle võrrandi juur, nagu võrrandid samuti võrdne 2-ga
Näide 2... Lahendage võrrand 4 ( x+ 3) = 16
Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt 12
Vasakul küljel on 4 x ja paremal pool number 4
Saadud võrrand 4 x\u003d 4. Tegeleme korrutamise komponentidega. Tundmatu teguri leidmiseks x , peate jagama toote 4 teadaoleva teguriga 4
Pöördugem tagasi algse võrrandi 4 juurde ( x+ 3) \u003d 16 ja asendage selle asemel x leitud väärtus 1
Saime õige arvulise võrdsuse. Nii et võrrand on õigesti lahendatud.
Võrrandi 4 lahendamine ( x+ 3) \u003d 16 lahutasime võrrandi mõlemalt küljelt 12. Selle tulemusena saime samaväärse võrrandi 4 x\u003d 4. Selle võrrandi juur, nagu võrrand 4 ( x+ 3) \u003d 16 on samuti võrdne 1-ga
Näide 3... Lahendage võrrand 
Laiendame võrdsuse vasakul küljel olevaid sulgusid:
Lisage võrrandi mõlemale küljele arv 8
Esitame võrrandi mõlemal küljel sarnased terminid:
Vasakul küljel on 2 x ja paremal pool number 9
Saadud võrrandis 2 x\u003d 9 väljendame tundmatut mõistet x
Läheme tagasi algse võrrandi juurde ja selle asemel asendada x leitud väärtus 4.5
Saime õige arvulise võrdsuse. Nii et võrrand on õigesti lahendatud.
Võrrandi lahendamine lisasime võrrandi mõlemale küljele numbri 8. Selle tulemusena saime samaväärse võrrandi. Selle võrrandi juur, nagu võrrandid samuti võrdne 4,5-ga
Järgmine reegel, mis võimaldab teil saada samaväärse võrrandi, on järgmine
Kui kannate võrrandis termini ühest osast teise, muutes selle märki, saate sellega samaväärse võrrandi.
See tähendab, et võrrandi juur ei muutu, kui kanname termini võrrandi ühelt küljelt teisele, muutes selle märki. See omadus on võrrandite lahendamisel üks olulisemaid ja kõige sagedamini kasutatavaid.
Vaatleme järgmist võrrandit:
Selle võrrandi juur on 2. Asendage selle asemel x selle juur ja kontrollige, kas on saavutatud õige arvuline võrdsus
Selgub õige võrdsus. Nii et number 2 on tõesti võrrandi juur.
Proovime nüüd katsetada selle võrrandi tingimustega, viies need ühest osast teise, muutes märke.
Näiteks termin 3 x asub võrdsuse vasakul küljel. Liigutage see paremale küljele, muutes märgi vastupidiseks:
Võrrand osutus 12 = 9x − 3x ... selle võrrandi paremal küljel:
x on tundmatu tegur. Leiame selle teadaoleva teguri:
Siit x\u003d 2. Nagu näete, pole võrrandi juur muutunud. Siit ka võrrandid 12 + 3 x = 9x ja 12 = 9x − 3x on samaväärsed.
Tegelikult on see teisendus eelmise teisenduse lihtsustatud meetod, kus võrrandi mõlemale poolele lisati (või lahutati) sama arv.
Me ütlesime, et võrrandis 12 + 3 x = 9x tähtaeg 3 x viidi silti vahetades paremale küljele. Tegelikkuses juhtus järgmine: võrrandi mõlemalt küljelt termin 3 x
Seejärel anti vasakul küljel sarnased terminid ja võrrand saadi 12 = 9x − 3x. Siis anti jälle sarnased mõisted, kuid juba paremal pool ja võrrand saadi 12 \u003d 6 x.
Kuid nn "ülekandmine" on selliste võrrandite jaoks mugavam, mistõttu on see nii laialt levinud. Võrrandite lahendamisel kasutame sageli seda teisendust.
Võrrandid 12 + 3 on samuti samaväärsed x= 9x ja 3x -9x= −12 ... Seekord võrrandis 12 + 3 x= 9x termin 12 viidi paremale poole ja termin 9 x vasakule. Ei tohiks unustada, et nende terminite märke üleviimise käigus muudeti
Järgmine reegel, mis võimaldab teil saada samaväärse võrrandi, on järgmine:
Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama arvuga, mis pole võrdne nulliga, siis saadakse võrrand, mis on samaväärne antud arvuga.
Teisisõnu, võrrandi juured ei muutu, kui selle mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama arvuga. Seda toimingut kasutatakse sageli siis, kui peate lahendama murdväljendeid sisaldava võrrandi.
Kõigepealt vaatame näiteid, kus võrrandi mõlemad pooled korrutatakse sama arvuga.
Näide 1... Lahendage võrrand
Murdväljendeid sisaldavate võrrandite lahendamisel on tavaks kõigepealt seda võrrandit lihtsustada.
Sel juhul on meil tegemist just sellise võrrandiga. Selle võrrandi lihtsustamiseks võib selle mõlemad pooled korrutada 8-ga:
Mäletame, et selleks peate selle murdosa lugeja korrutama selle arvuga. Meil on kaks murdu ja igaüks neist korrutatakse arvuga 8. Meie ülesanne on korrutada murdude loendurid selle arvuga 8
Nüüd toimub lõbu. Mõlema fraktsiooni lugejad ja nimetajad sisaldavad tegurit 8, mille saab tühistada 8-ga. See võimaldab meil vabaneda murdosast:
Selle tulemusena jääb lihtsaim võrrand
Noh, pole raske arvata, et selle võrrandi juur on 4
x leitud väärtus 4
Selgub õige arvuline võrdsus. Nii et võrrand on õigesti lahendatud.
Selle võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad pooled 8-ga. Selle tulemusena saime võrrandi. Selle võrrandi juur, nagu võrrand, on 4. Nii et need võrrandid on samaväärsed.
Tegur, millega võrrandi mõlemad pooled korrutatakse, on tavaks kirjutada enne võrrandi osa, mitte pärast seda. Niisiis, võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad pooled koefitsiendiga 8 ja saime järgmise kirje:
Sellest lähtuvalt ei muutunud võrrandi juur, kuid kui me oleksime seda teinud koolis olles, siis oleks meile tehtud kommentaar, kuna algebras on tavaks kirjutada faktor enne avaldist, millega see korrutatakse. Seetõttu on soovitatav võrrandi mõlema poole korrutamine koefitsiendiga 8 ümber kirjutada järgmiselt:
Näide 2... Lahendage võrrand 
Vasakul saab tegureid 15 vähendada 15 võrra ja paremal tegureid 15 ja 5 5 võrra
Laiendame võrrandi paremal küljel olevaid sulgusid:
Me kanname selle tähtaja üle x võrrandi vasakult küljelt paremale, muutes märki. Ja liigutame termini 15 võrrandi paremalt vasakult vasakule, muutes jällegi märki:
Esitagem mõlemas osas sarnaseid termineid
Tegeleme korrutamise komponentidega. Muutuv x
Läheme tagasi algse võrrandi juurde ja selle asemel asendada x leitud väärtus 5
Selgub õige arvuline võrdsus. Nii et võrrand on õigesti lahendatud. Selle võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad pooled 15-ga. Edasi, identseid teisendusi sooritades, saime võrrandi 10 \u003d 2 x ... Selle võrrandi juur, nagu võrrandid on võrdne 5-ga. Nii et need võrrandid on samaväärsed.
Näide 3... Lahendage võrrand
Vasakul küljel saab vähendada kahte kolmikut ja parem pool võrdub 18-ga
Jääb kõige lihtsam võrrand. Tegeleme korrutamise komponentidega. Muutuv x on tundmatu tegur. Leiame selle teadaoleva teguri:
Naaseme algse võrrandi juurde ja asendame selle asemel x leitud väärtus 9
Selgub õige arvuline võrdsus. Nii et võrrand on õigesti lahendatud.
Näide 4... Lahendage võrrand 
Korrutame võrrandi mõlemad pooled 6-ga
Laiendage võrrandi vasakul küljel olevaid sulgusid. Paremal küljel saab korrutaja 6 tõsta lugeja juurde:
Vähendage võrrandite mõlemal küljel seda, mida saab tühistada:
Kirjutame üle, mis meil üle jääb:
Kasutame terminite ülekandmist. Tundmatud terminid x , rühmitame võrrandi vasakule poolele ja tundmatutele terminitele - paremale:
Siin on mõlemas osas sarnased mõisted:
Nüüd leiame muutuja väärtuse x ... Selleks jagame toote 28 tuntud teguriga 7
Siit x= 4.
Läheme tagasi algse võrrandi juurde ja selle asemel asendada x leitud väärtus 4
Selgus õige arvuline võrdsus. Nii et võrrand on õigesti lahendatud.
Näide 5... Lahendage võrrand 
Võimaluse korral laiendame võrrandi mõlemal küljel olevaid sulgusid:
Korrutame võrrandi mõlemad pooled 15-ga
Laiendame võrrandi mõlema külje sulgusid:
Vähendage võrrandi mõlemal küljel, mida saab tühistada:
Kirjutame üle, mis meil üle jääb:
Laiendame sulgudes võimaluse korral:
Kasutame terminite ülekandmist. Rühmitame võrrandi vasakul küljel tundmatut sisaldavad mõisted ja paremal tundmatutest vabad terminid. Ärge unustage, et ülekande ajal muudavad tingimused oma märke vastupidiseks:
Esitame võrrandi mõlemal küljel sarnased terminid:
Leidke väärtus x
Saadud vastuses saate esile tuua kogu osa:
Naaseme algse võrrandi juurde ja asendame selle asemel x leitud väärtus
See osutub üsna tülikaks väljendiks. Kasutame muutujaid. Me panime muutusesse võrdsuse vasakpoolse külje A , ja muutuja võrdsuse parem pool B
Meie ülesandeks on veenduda, kas vasak külg on paremaga võrdne. Teisisõnu tõestage võrdsus A \u003d B
Leiame muutuja A avaldise väärtuse.
Muutuv väärtus A võrdsed. Nüüd leiame muutuja väärtuse B ... See tähendab meie võrdsuse parema poole väärtust. Kui see on ka võrdne, siis lahendatakse võrrand õigesti
Näeme, et muutuja väärtus B nagu muutuja väärtus A võrdsed. See tähendab, et vasak pool on võrdne parema küljega. Sellest järeldame, et võrrand on õigesti lahendatud.
Proovime nüüd võrrandi mõlemat külge mitte korrutada sama arvuga, vaid jagada.
Vaatleme võrrandit 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ... Lahendame selle tavapärase meetodi abil: koondame tundmatut sisaldavad mõisted võrrandi vasakule poolele ja tundmatutele terminitele - paremale. Edasi, tehes tuntud identiteeditransformatsioone, leiame väärtuse x
Asendage leitud väärtus 2 asemel x algvalemile:
Proovime nüüd kõik võrrandi tingimused eraldada 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 pange tähele, et selle võrrandi kõigil tingimustel on ühine tegur 2. Jagame iga termini sellega:
Teeme iga termini vähenduse:
Kirjutame üle, mis meil üle jääb:
Lahendame selle võrrandi tuntud identsete teisenduste abil:
Sai juur 2. Siit ka võrrandid 15x+ 7x+ 7 = 35x -20x+ 21 ja 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 on samaväärsed.
Jagades võrrandi mõlemad pooled sama arvuga, eemaldatakse koefitsiendist tundmatu. Eelmises näites, kui saime võrrandi 7 x\u003d 14, peame jagama toote 14 tuntud teguriga 7. Kuid kui me vasakul küljel vabastaksime tundmatu tegurist 7, leitaks juur kohe üles. Selleks piisas mõlema osa jagamisest 7-ga
Kasutame ka seda meetodit sageli.
Korrutamine miinus ühega
Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse miinus ühega, saate selle võrrandiga samaväärse võrrandi.
See reegel tuleneb asjaolust, et korrutades (või jagades) võrrandi mõlemad pooled sama arvuga, ei muutu selle võrrandi juur. See tähendab, et juur ei muutu, kui selle mõlemad osad korrutatakse −1-ga.
See reegel võimaldab teil muuta kõigi võrrandis sisalduvate komponentide märke. Milleks see on mõeldud? Jällegi, et saada samaväärne võrrand, mida on lihtsam lahendada.
Vaatleme võrrandit. Mis on selle võrrandi juur?
Lisage võrrandi mõlemale poolele arv 5
Siin on sarnased terminid:
Meenutame nüüd umbes. Mis on võrrandi vasak pool. See on miinus üks ja muutuja korrutis x
See tähendab, et miinus enne muutujat x, ei viita muutujale endale x , kuid ühele, mida me ei näe, kuna koefitsienti 1 on tavaks mitte kirjutada. See tähendab, et võrrand näeb tegelikult välja selline:
Tegeleme korrutamise komponentidega. Leidma x , peate jagama korrutise −5 teadaoleva teguriga −1.
või jagage võrrandi mõlemad pooled −1-ga, mis on veelgi lihtsam
Niisiis, võrrandi juur on 5. Kontrollimiseks asendame selle algse võrrandiga. Ärge unustage, et algses võrrandis miinus muutuja ees x tähistab nähtamatut üksust
Selgus õige arvuline võrdsus. Nii et võrrand on õigesti lahendatud.
Proovime nüüd võrrandi mõlemad pooled korrutada miinusega üks:
Pärast sulgude laiendamist moodustatakse vasakpoolne avaldis ja parem pool võrdub 10-ga
Selle võrrandi juur, nagu võrrand, on 5
Siit ka võrrandid ja need on samaväärsed.
Näide 2... Lahendage võrrand
Selles võrrandis on kõik komponendid negatiivsed. Positiivsete komponentidega on mugavam töötada kui negatiivsetega, seega muudame kõigi võrrandis sisalduvate komponentide märke. Selleks korrutage selle võrrandi mõlemad pooled −1-ga.
On selge, et korrutamisel −1-ga muudab iga number oma märgi vastupidiseks. Seetõttu pole −1 korrutamise protseduuri ja sulgude avanemist üksikasjalikult kirjeldatud, kuid vastandmärkidega võrrandi komponendid kirjutatakse kohe üles.
Nii saab võrrandi korrutamise −1-ga üksikasjalikult kirjutada järgmiselt:
või saate lihtsalt muuta kõigi komponentide märke:
Tulemus on sama, kuid erinevus seisneb selles, et säästame endale aega.
Niisiis, korrutades võrrandi mõlemad pooled −1-ga, saime võrrandi. Lahendame selle võrrandi. Lahutage mõlemast osast 4 ja jagage mõlemad osad 3-ga
Juure leidmisel kirjutatakse muutuja tavaliselt vasakule küljele ja selle väärtus paremale, mida me ka tegime.
Näide 3... Lahendage võrrand
Korrutame võrrandi mõlemad pooled −1-ga. Siis muudavad kõik komponendid oma märke vastupidiseks:
Saadud võrrandi mõlemalt küljelt lahutage 2 x ja esitame sarnased mõisted:
Lisame võrrandi mõlemale poolele ühtsuse ja anname sarnased mõisted: 
Tasandamine nulliga
Hiljuti saime teada, et kui võrrandis kanname termini ühest osast teise, muutes selle märki, saame antud võrrandiga samaväärse võrrandi.
Ja mis juhtub, kui kandke ühest osast teise üle mitte üks termin, vaid kõik tingimused? Tõsi, selles osas, millest kõik tingimused võeti, jääb null. Teisisõnu ei jää midagi muud üle.
Vaatleme näiteks võrrandit. Lahendame selle võrrandi nagu tavaliselt - ühes osas rühmitame tundmatuid sisaldavad mõisted ja teises jätame tundmatutest arvulised terminid. Edasi, tehes teadaolevaid identiteeditransformatsioone, leiame muutuja väärtuse x
Proovime nüüd lahendada sama võrrand, võrdsustades kõik selle komponendid nulliga. Selleks kanname kõik tingimused paremalt vasakult vasakule, muutes märke:
Siin on sarnased terminid vasakul:
Lisage mõlemale osale 77 ja jagage mõlemad osad 7-ga
Alternatiiv tundmatute leidmise reeglitele
Ilmselt ei pea teadmata võrrandite identsetest teisendustest tundmatute leidmise reegleid pähe õppima.
Näiteks võrrandi tundmatu leidmiseks jagasime toote 10 tuntud teguriga 2
Kuid kui võrrandis jagatakse mõlemad osad 2-ga, leitakse juur korraga. Lugeja teguri 2 ja nimetaja tegurit 2 võrrandi vasakul küljel vähendatakse 2 võrra. Ja paremal pool võrdub 5
Lahendasime vormi võrrandid tundmatu termini väljendamisega:
Kuid võite kasutada identseid teisendusi, mida me täna uurisime. Võrrandis saab termini 4 märgi muutmisega paremale poole nihutada:
Võrrandi vasakul küljel tühistatakse kaks kaks. Parem külg on 2. Seega.
Või võite võrrandi mõlemalt küljelt lahutada 4. Siis saate järgmise:
Vormi võrrandite korral on toote jagamine tuntud teguriga mugavam. Võrdleme mõlemat lahendust:
Esimene lahendus on palju lühem ja puhtam. Teist lahendust saab vaimse jaotuse abil oluliselt lühendada.
Kuid peate teadma mõlemat meetodit ja kasutama alles siis seda, mis teile kõige rohkem meeldib.
Kui juuri on mitu
Võrrandil võib olla mitu juurt. Näiteks võrrand x(x +9) \u003d 0-l on kaks juurt: 0 ja −9.
Võrrandis x(x +9) \u003d 0 oli vaja leida selline väärtus x mille korral vasak pool oleks võrdne nulliga. Selle võrrandi vasakul küljel on avaldised x ja (x + 9) need on tegurid. Korrutusseadustest teame, et korrutis on , kui vähemalt üks teguritest on null (või esimene või teine \u200b\u200btegur).
See on võrrandis x(x +9) \u003d 0 võrdsus saavutatakse, kui x on null või (x + 9) on võrdne nulliga.
x \u003d 0 või x + 9 = 0
Mõlema avaldise võrdsustamisel nulliga võime leida võrrandi juured x(x +9) \u003d 0. Esimene juur, nagu näite põhjal näha, leiti kohe. Teise juure leidmiseks peate lahendama põhivõrrandi x+ 9 \u003d 0. Pole raske arvata, et selle võrrandi juur on −9. Kontroll näitab, et juur on õige:
−9 + 9 = 0
Näide 2... Lahendage võrrand
Sellel võrrandil on kaks juurt: 1 ja 2. Võrrandi vasak pool on avaldiste korrutis ( x - 1) ja ( x - 2). Ja korrutis on , kui vähemalt üks teguritest on null (või tegur ( x - 1) või tegur ( x − 2) ).
Leiame selle üles x kus väljendid ( x - 1) või ( x - 2) kaovad:
Asendame leitud väärtused omakorda algvõrrandisse ja veendume, et nende väärtuste puhul oleks vasak pool võrdne nulliga:
Kui juuri on lõpmata palju
Võrrandil võib olla lõpmata palju juuri. See tähendab, et asendades mis tahes arvu sellisesse võrrandisse, saame õige arvulise võrdsuse.
Näide 1... Lahendage võrrand 
Mis tahes arv on selle võrrandi juur. Kui avate võrrandi vasakul küljel olevad sulgud ja annate sarnased terminid, saate võrdsuse 14 \u003d 14. See võrdsus saavutatakse kõigi jaoks x
Näide 2... Lahendage võrrand
Mis tahes arv on selle võrrandi juur. Kui laiendate võrrandi vasakul küljel olevaid sulgusid, saate võrdsuse 10x + 12 = 10x + 12. See võrdsus saavutatakse kõigi jaoks x
Kui juuri pole
Samuti juhtub, et võrrandil pole üldse lahendusi, see tähendab, et sellel pole juuri. Näiteks pole võrrandil juuri, sest mis tahes väärtuse jaoks x , siis võrrandi vasak pool ei võrdu parema küljega. Näiteks laske. Siis saab võrrand järgmise vormi
Näide 2... Lahendage võrrand
Laiendame võrdsuse vasakul küljel olevaid sulgusid:
Siin on sarnased terminid:
Näeme, et vasak külg ei ole parema küljega võrdne. Ja nii saab see olema mis tahes väärtusega y ... Näiteks laske y = 3 .
Tähevõrrandid
Võrrand võib sisaldada mitte ainult muutujatega numbreid, vaid ka tähti.
Näiteks on kiiruse leidmise valem sõnasõnaline võrrand:
See võrrand kirjeldab keha kiirust ühtlaselt kiirendatud liikumise ajal.
Kasulik oskus on võime väljendada mis tahes komponenti tähevõrrandis. Näiteks võrrandist kauguse määramiseks peate muutuja väljendama s .
Korrutame võrrandi mõlemad pooled t
Paremal küljel muutujad t vähendada t
Saadud võrrandis vahetame vasakut ja paremat külge:
Oleme saanud kauguse leidmiseks valemi, mida varem uurisime.
Proovime võrrandist aega määrata. Selleks peate muutuja väljendama t .
Korrutame võrrandi mõlemad pooled t
Paremal küljel muutujad t vähendada t ja kirjuta üle, mis meil üle jääb:
Saadud võrrandis v × t \u003d s jagame mõlemad osad v
Vasakul muutujad v vähendada v ja kirjuta üle, mis meil üle jääb:
Oleme saanud valemi aja määramiseks, mida me varem õppisime.
Oletame, et rongi kiirus on 50 km / h
v \u003d 50 km / h
Ja vahemaa on 100 km
s \u003d 100 km
Siis saab tähevõrrand järgmise kuju
Aega võib leida sellest võrrandist. Selleks peate suutma muutujat väljendada t ... Reeglit saate kasutada tundmatu jagaja leidmiseks, jagades dividendi jagatisega ja määrates seega muutuja väärtuse t
või võite kasutada identseid teisendusi. Kõigepealt korrutage võrrandi mõlemad pooled t
Seejärel jagage mõlemad osad 50-ga
Näide 2 x
Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt a
Jagage võrrandi mõlemad pooled b
a + bx \u003d c , siis on meil valmis lahendus. Piisab sellest, kui asendada nõutavad väärtused. Need väärtused, mis asendatakse tähtedega a, b, c on kombeks helistada parameetrid... Vormi võrrandid a + bx \u003d c helistas võrrand parameetritega... Sõltuvalt parameetritest muutub juur.
Lahendage võrrand 2 + 4 x \u003d 10. See näeb välja nagu tähevõrrand a + bx \u003d c ... Identsete teisenduste sooritamise asemel võime kasutada valmis lahendust. Võrdleme mõlemat lahendust:
Näeme, et teine \u200b\u200blahendus on palju lihtsam ja lühem.
Terviklahenduse saamiseks peate tegema väikese märkuse. Parameeter b ei tohiks olla null (b ≠ 0) kuna jagamine nulliga on lubatud.
Näide 3... Esitatakse tähevõrrand. Väljendage antud võrrandist x
Laiendage võrrandi mõlemal küljel olevaid sulgusid
Kasutame terminite ülekandmist. Muutujat sisaldavad parameetrid x , rühmitame võrrandi vasakule poolele ja parameetrid sellest muutujast vabale - paremale.
Vasakul küljel võtame teguri välja x
Jagagem mõlemad osad väljenditeks a - b
Vasakul saab lugeja ja nimetaja võrra vähendada a - b ... Nii väljendatakse muutuja viimaks x
Kui nüüd kohtame vormi võrrandit a (x - c) \u003d b (x + d) , siis on meil valmis lahendus. Piisab sellest, kui asendada nõutavad väärtused.
Oletame, et meile on antud võrrand 4(x -3) = 2(x+ 4) ... See näeb välja nagu võrrand a (x - c) \u003d b (x + d) ... Lahendame selle kahel viisil: kasutades ühesuguseid teisendusi ja kasutades valmis lahendust:
Mugavuse huvides võtame võrrandist välja 4(x -3) = 2(x+ 4) parameetri väärtused a, b, c, d ... See võimaldab meil mitte teha vigu asendades:
Nagu eelmises näites, ei tohiks ka siinne nimetaja olla võrdne nulliga ( a - b ≠0). Kui kohtame vormi võrrandit a (x - c) \u003d b (x + d) millistes parameetrites a ja b on sama, võime seda lahendamata öelda, et sellel võrrandil pole juuri, kuna samade arvude erinevus on võrdne nulliga.
Näiteks võrrand 2 (x - 3) \u003d 2 (x + 4) on vormi võrrand a (x - c) \u003d b (x + d) ... Võrrandis 2 (x - 3) \u003d 2 (x + 4) valikud a ja b sama. Kui hakkame seda lahendama, jõuame järeldusele, et vasak pool ei võrdu parema küljega:
Näide 4... Esitatakse tähevõrrand. Väljendage antud võrrandist x
Toome võrrandi vasak pool ühisosaks:
Nutikad mõlemad osad a
Vasakul pool x sulgudes välja pandud
Jagame mõlemad osad avaldiseks (1 - a)
Lineaarvõrrandid ühes tundmatus
Selles tunnis käsitletud võrrandeid nimetatakse esimese astme lineaarvõrrandid ühe tundmatuga.
Kui võrrand on antud esimeses astmes, ei sisalda jagamist tundmatuga ja ei sisalda ka tundmatust pärit juuri, siis võib seda nimetada lineaarseks. Me ei ole veel kraadi ja juuri uurinud, seetõttu mõistetakse sõna "lineaarne" kui "lihtne", et mitte oma elu keerulisemaks muuta.
Enamik selles õppetükis lahendatud võrranditest taandus lõpuks lihtsaimaks võrrandiks, milles peate jagama korrutise tuntud teguriga. Näiteks on võrrand 2 ( x + 3) \u003d 16. Lahendame selle.
Avame võrrandi vasakul küljel olevad sulgud, saame 2 x+ 6 \u003d 16. Liigutage termin 6 paremale, muutes märki. Siis saame 2 x\u003d 16 - 6. Arvutage parem külg, saame 2 x\u003d 10. Et leida x , jagame toote 10 tuntud teguriga 2. Seega x = 5.
Võrrand 2 ( x + 3) \u003d 16 on lineaarne. See taandus võrrandiks 2 x\u003d 10, mille juur leidmiseks oli vaja jagada toode teadaoleva teguriga. Seda lihtsamat võrrandit nimetatakse esimese astme lineaarvõrrand ühe tundmatuga kanoonilises vormis... Sõna "kanooniline" on sünonüüm "lihtne" või "tavaline".
Esimese astme lineaarvõrrandit tundmatuga kanoonilises vormis nimetatakse vormi võrrandiks kirves \u003d b.
Meie võrrand 2 x\u003d 10 on esimese astme lineaarvõrrand ühe tundmatuga kanoonilises vormis. Sellel võrrandil on esimene aste, üks tundmatu, see ei sisalda jagamist tundmatuga ega sisalda juuri tundmatust ning see on esitatud kanoonilises vormis, st kõige lihtsamas vormis, milles saate hõlpsalt määrata väärtuse x ... Parameetrite asemel a ja b meie võrrand sisaldab numbreid 2 ja 10. Kuid sarnane võrrand võib sisaldada muid numbreid: positiivne, negatiivne või null.
Kui lineaarvõrrandis a \u003d 0 ja b \u003d 0, siis on võrrandil lõpmata palju juuri. Tõepoolest, kui a võrdub null ja b on võrdne nulliga, siis lineaarvõrrand kirves= b saab vormi 0 x\u003d 0. Mis tahes väärtuse jaoks x vasak pool võrdub parema küljega.
Kui lineaarvõrrandis a \u003d 0 ja b ≠ 0, siis pole võrrandil juuri. Tõepoolest, kui a võrdub null ja b on võrdne mõne arvuga, mis pole võrdne nulliga, öelge arv 5, siis võrrand kirves \u003d b saab vormi 0 x\u003d 5. Vasak külg on null ja parem pool viis. Ja null ei ole võrdne viiega.
Kui lineaarvõrrandis a ≠ 0 ja b on võrdne mis tahes arvuga, siis on võrrandil üks juur. See määratakse parameetri jagamise teel b parameetri kohta a
Tõepoolest, kui a on võrdne mõne mittenullarvuga, näiteks 3 ja b on võrdne mingi arvuga, öelge arv 6, siis saab võrrand kuju.
Siit.
Esimese astme lineaarvõrrandi kirjutamine ühe tundmatuga on veel üks. See näeb välja selline: kirves - b\u003d 0. See on sama võrrand nagu kirves \u003d b
Kas teile tund meeldis?
Liitu meie uue Vkontakte rühmaga ja hakake uute tundide kohta teateid saama
Pikk tee oskuste arendamiseks võrrandite lahendamine algab kõige esimeste ja suhteliselt lihtsate võrrandite lahendamisest. Selliste võrrandite all mõtleme võrrandeid, mille vasakul küljel on kahe arvu summa, vahe, korrutis või jagatis, millest üks on tundmatu, ja paremal pool on arv. See tähendab, et need võrrandid sisaldavad tundmatut mõistet, lahutatakse, lahutatakse, tegur, dividend või jagaja. Selliste võrrandite lahendust käsitletakse käesolevas artiklis.
Siin anname reeglid tundmatu termini, teguri jms leidmiseks. Veelgi enam, kaalume nende reeglite rakendamist praktikas, lahendades tüüpilised võrrandid.
Lehe navigeerimine.
Niisiis, asendades arvu 5 algvõrrandiga 3 + x \u003d 8 x asemel, saame 3 + 5 \u003d 8 - see võrdsus on tõsi, seetõttu leidsime tundmatu suve õigesti. Kui kontrollimisel saime vale arvulise võrdsuse, siis see näitaks meile, et oleme võrrandi valesti lahendanud. Selle peamisteks põhjusteks võivad olla kas vale reegli kasutamine või arvutusvead.
Kuidas leida tundmatu kahanev, lahutatud?
Arvude liitmise ja lahutamise seos, mida me juba eelmises lõigus mainisime, võimaldab meil saada reegli tundmatu leidmiseks teadaolevalt lahutatust ja erinevusest ning ka reeglist tundmatute leidmiseks lahutatute kaudu teadaoleva vähendamise ja erinevuse kaudu. Koostame need kordamööda ja anname kohe vastavate võrrandite lahendi.
Tundmatu vähenemise leidmiseks on vaja lahutatule lisada vahe.
Vaatleme näiteks võrrandit x - 2 \u003d 5. See sisaldab teadmata üleliigset. Ülaltoodud reegel näitab meile, et selle leidmiseks peame lisama teadaoleva lahutatud 2 teadaolevale erinevusele 5, meil on 5 + 2 \u003d 7. Seega on soovitud kahanenud seitse.
Kui jätame seletused välja, kirjutatakse lahendus järgmiselt:
x - 2 \u003d 5,
x \u003d 5 + 2,
x \u003d 7.
Enesekontrolliks teostame kontrolli. Asendame leitud redutseeritud algvõrrandisse ja saame arvulise võrdsuse 7−2 \u003d 5. See on õige, seega võite olla kindel, et oleme tundmatu vähenenud väärtuse õigesti tuvastanud.
Võite jätkata tundmatu lahutamist. Selle leidmiseks kasutatakse liitmist vastavalt järgmisele reeglile: tundmatu lahutamise leidmiseks on vaja lahutada erinevus vähendatust.
Kirjutatud reegli abil lahendage vormi 9 - x \u003d 4 võrrand. Selles võrrandis lahutatakse tundmatu. Selle leidmiseks peame teadaolevast kahanevast 9 lahutama teadaoleva erinevuse 4, meil on 9−4 \u003d 5. Seega on soovitud lahutamine viis.
Siin on selle võrrandi lahenduse lühike versioon:
9 - x \u003d 4,
x \u003d 9-4,
x \u003d 5.
Jääb ainult lahutatud leitud õigsuse kontrollimine. Kontrollime, mille jaoks asendame leitud väärtuse 5 algse võrrandiga x asemel, ja saame arvulise võrdsuse 9−5 \u003d 4. See on õige, seetõttu on meie leitud lahutatud väärtus õige.
Ja enne järgmise reegli juurde liikumist märkime, et 6. klassis kaalutakse võrrandite lahendamise reeglit, mis võimaldab teil teostada mis tahes termini ülekandmist võrrandi ühest osast teise vastupidise märgiga. Nii et kõik ülaltoodud reeglid tundmatu termini leidmiseks, sellega vähendamiseks ja lahutamiseks on täielikult kooskõlas.
Tundmatu teguri leidmiseks peate ...
Vaatame võrrandeid x 3 \u003d 12 ja 2 y \u003d 6. Nendes on tundmatu arv tegur vasakul küljel ning toode ja teine \u200b\u200btegur on teada. Tundmatu teguri leidmiseks võite kasutada järgmist reeglit: tundmatu teguri leidmiseks tuleb toode jagada tuntud teguriga.
See reegel põhineb asjaolul, et andsime arvude jagamisele korrutamise tähendusele vastupidise tähenduse. See tähendab, et korrutamise ja jagamise vahel on seos: võrdsusest a b \u003d c, kus a ≠ 0 ja b ≠ 0 järeldub, et c: a \u003d b ja c: b \u003d c ja vastupidi.
Näiteks leidke võrrandi tundmatu tegur x · 3 \u003d 12. Reegli kohaselt peame jagama teadaoleva toote 12 tuntud teguriga 3. Kulutame: 12: 3 \u003d 4. Nii et tundmatu tegur on 4.
Lühidalt, võrrandi lahendus kirjutatakse võrduste jadana:
x 3 \u003d 12,
x \u003d 12: 3,
x \u003d 4.
Samuti on soovitatav kontrollida tulemust: asendame leitud väärtuse tähe asemel originaalvõrrandis, saame 4 3 \u003d 12 - õige arvulise võrdsuse, nii et leidsime õigesti tundmatu teguri väärtuse.
Ja veel üks asi: toimides õpitud reegli järgi, jagame võrrandi mõlemad pooled tegelikult teadaoleva muu teguriga kui null. 6. klassis öeldakse, et võrrandi mõlemat külge saab korrutada ja jagada sama nullivälise arvuga, see ei mõjuta võrrandi juuri.
Kuidas leida tundmatu dividend, jagaja?
Meie teema raames jääb välja mõelda, kuidas leida tundmatu dividend teadaoleva jagaja ja jagatisega, samuti kuidas leida tundmatu jagaja teadaoleva dividendi ja jagatisega. Juba eelmises lõigus mainitud korrutamise ja jagamise seos võimaldab teil neile küsimustele vastata.
Tundmatu dividendi leidmiseks peate jagama jagaja jagajaga.
Vaatleme selle rakendamist näitega. Lahendage võrrand x: 5 \u003d 9. Selle võrrandi tundmatu dividendi leidmiseks on vastavalt reeglile vaja korrutada teadaolev jagatis 9 tuntud jagajaga 5, see tähendab, et teostame loodusarvude korrutamise: 9 5 \u003d 45. Seega on nõutav dividend 45.
Näitame lahenduse lühikirjeldust:
x: 5 \u003d 9,
x \u003d 9 5,
x \u003d 45.
Kontroll kinnitab, et tundmatu dividendi väärtus leiti õigesti. Tõepoolest, kui number 45 asendatakse muutuja x asemel algse võrrandiga, muutub see õigeks numbriliseks võrdsuseks 45: 5 \u003d 9.
Pange tähele, et analüüsitud reeglit saab tõlgendada võrrandi mõlema poole korrutamisena tuntud jagajaga. See teisendus ei mõjuta võrrandi juuri.
Läheme tundmatu jagaja leidmise reegli juurde: tundmatu jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.
Vaatame ühte näidet. Leidke võrrandist 18 tundmatu tegur: x \u003d 3. Selleks peame jagama teadaoleva dividendi 18 teadaoleva jagatisega 3, meil on 18: 3 \u003d 6. Seega on soovitav jagaja kuus.
Otsuse saab teha järgmiselt:
18: x \u003d 3,
x \u003d 18: 3,
x \u003d 6.
Kontrollime selle tulemuse usaldusväärsust: 18: 6 \u003d 3 on õige arvuline võrdsus, seetõttu leitakse võrrandi juur õigesti.
On selge, et seda reeglit saab rakendada ainult siis, kui jagatis erineb nullist, et mitte kokku puutuda nulliga jagamisega. Kui jagatis on , on võimalik kaks juhtumit. Kui dividend on võrdne nulliga, see tähendab, et võrrandi kuju on 0: x \u003d 0, siis on see võrrand rahuldatud jagaja mis tahes nulli väärtusega. Teisisõnu, sellise võrrandi juured on kõik arvud, mis ei ole nulliga võrdsed. Kui nulliga võrdse jagatuse korral pole dividend , siis jaguri ühegi väärtuse korral ei muutu algne võrrand tõeliseks arvuliseks võrduseks, st võrrandil pole juuri. Selle illustreerimiseks esitame võrrandi 5: x \u003d 0, sellel pole lahendusi.
Reeglite jagamine
Reeglite järjepidev rakendamine tundmatu termi, vähendatud, lahutatud, teguri, dividendi ja jagaja leidmiseks võimaldab teil võrrandeid lahendada keerukama vormi ühe muutujaga. Vaatame seda näite abil.
Vaatleme võrrandit 3 x + 1 \u003d 7. Esiteks leiame tundmatu termini 3 x, selleks on vaja lahutada summa 7 teadaolev termin 1, saame 3 x \u003d 7−1 ja seejärel 3 x \u003d 6. Nüüd jääb leida tundmatu tegur, jagades korrutise 6 tuntud teguriga 3, on meil x \u003d 6: 3, kust x \u003d 2. Nii leiti algse võrrandi juur.
Materjali konsolideerimiseks esitame veel ühe võrrandi (2 x - 7) lühikese lahendi: 3−5 \u003d 2.
(2 x - 7): 3–5 \u003d 2,
(2 x - 7): 3 \u003d 2 + 5,
(2 x - 7): 3 \u003d 7,
2 x - 7 \u003d 7 3,
2 x - 7 \u003d 21,
2 x \u003d 21 + 7,
2 x \u003d 28,
x \u003d 28: 2,
x \u003d 14.
Bibliograafia.
- Matemaatika.... 4. klass. Õpik. üldhariduse jaoks. institutsioonid. Kell 14 1. osa / [M. I. Moro, MA Bantova, GV Beltyukova jt]. - 8. väljaanne. - M.: Haridus, 2011. - 112 lk: ill. - (Venemaa kool). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Matemaatika: õpik. 5 cl jaoks. Üldharidus. institutsioonid / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosina, 2007. - 280 lk: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Võrrandite kiire ja eduka lahendamise õppimiseks peate alustama kõige lihtsamate reeglite ja näidetega. Kõigepealt peate õppima lahendama võrrandeid, millest vasakul on mõne tundmatu arvu ja paremal teise arvu erinevus, summa, jagatis või korrutis. Teisisõnu, nendel võrranditel on üks tundmatu summa ja nad lahutades vähenevad või jagajaga dividendid jne. Me räägime teiega seda tüüpi võrranditest.
See artikkel on pühendatud põhireeglitele tegurite, tundmatute terminite jms leidmiseks. Kõiki teoreetilisi sätteid selgitatakse kohe konkreetsete näidetega.
Tundmatu termini leidmine
Oletame, et meil on teatud arv kuulikesi kahes vaasis, näiteks 9. Me teame, et teises vaasis on 4 marmorit. Kuidas teises kogust leida? Kirjutame selle ülesande matemaatilises vormis, tähistades leitavat arvu kui x. Esialgse tingimuse kohaselt moodustab see arv koos 4 vormiga 9, mis tähendab, et võite kirjutada võrrandi 4 + x \u003d 9. Vasakult saime ühe tundmatu terminiga summa, paremal - selle summa väärtus. Kuidas leida x? Selleks kasutage reeglit:
1. määratlus
Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva.
Sel juhul anname lahutamisele tähenduse, mis on liitmisele vastupidine. Teisisõnu, liitmise ja lahutamise toimingute vahel on teatud seos, mida saab sõnasõnalises vormis väljendada järgmiselt: kui a + b \u003d c, siis c - a \u003d b ja c - b \u003d a ning vastupidi avaldistest c - a \u003d b ja c - b \u003d a võib järeldada, et a + b \u003d c.
Seda reeglit teades võime teadaoleva ja summa abil leida ühe tundmatu termini. Kumb termin me teame, kas esimene või teine, antud juhul pole oluline. Vaatame, kuidas seda reeglit praktikas rakendada.
Näide 1
Võtame ülaltoodud võrrandi: 4 + x \u003d 9. Reegli järgi peame lahutama teadaolevast summast, mis on võrdne 9, tuntud termin võrdne 4-ga. Lahutame ühe loodusliku arvu teisest: 9 - 4 \u003d 5. Saime vajaliku termini, mis on võrdne 5-ga.
Tavaliselt kirjutatakse selliste võrrandite lahendid järgmiselt:
- Esmalt kirjutatakse algvõrrand.
- Järgmisena kirjutame võrrandi, mis selgus pärast seda, kui tundmatu termini arvutamiseks kasutasime reeglit.
- Pärast seda kirjutame võrrandi, mis osutus pärast kõiki numbritega toiminguid.
Seda märgistusvormi on vaja selleks, et illustreerida algse võrrandi järjestikust asendamist samaväärsetega ja kuvada juure leidmise protsessi. Meie ülaltoodud lihtsa võrrandi lahendi saab õigesti kirjutada järgmiselt:
4 + x \u003d 9, x \u003d 9 - 4, x \u003d 5.
Saame kontrollida saadud vastuse õigsust. Asendame selle, mille saime algvõrrandisse, ja vaatame, kas see osutub õigeks arvuliseks võrdsuseks. Asendage 5 väärtuseks 4 + x \u003d 9 ja saage: 4 + 5 \u003d 9. Võrdsus 9 \u003d 9 on õige, mis tähendab, et tundmatu termin leiti õigesti. Kui võrdsus osutus valeks, peaksime pöörduma tagasi lahenduse juurde ja kontrollima seda uuesti, kuna see on märk eksitusest. Reeglina on see enamasti arvutusviga või vale reegli rakendamine.
Tundmatu leidmine lahutatakse või vähendatakse
Nagu me esimeses lõigus mainisime, on liitmis- ja lahutamisprotsesside vahel teatud seos. Selle abiga on võimalik sõnastada reegel, mis aitab leida tundmatut vähendatut, kui me teame erinevust ja lahutatut või tundmatut lahutatakse vähendatud või erinevuse kaudu. Kirjutame need kaks reeglit kordamööda ja näitame, kuidas neid probleemide lahendamisel rakendada.
Definitsioon 2
Tundmatu vähenenud leidmiseks tuleb vahe lahutada.
Näide 2
Näiteks on meil võrrand x - 6 \u003d 10. Tundmatu pisike. Reegli kohaselt peame lahutatud 6 liitma vahe 10-le, saame 16. See tähendab, et algne vähenemine on kuusteist. Paneme kirja kogu lahenduse:
x - 6 \u003d 10, x \u003d 10 + 6, x \u003d 16.
Kontrollime tulemust, lisades saadud arvu algvõrrandisse: 16 - 6 \u003d 10. Võrdsus 16 - 16 saab olema õige, mis tähendab, et arvutasime kõik õigesti.
3. definitsioon
Lahutamatu tundmatu leidmiseks lahutage lahutatust erinevus.
Näide 3
Kasutame reeglit võrrandi 10 lahendamiseks - x \u003d 8. Me ei tea omavastutust, seega peame lahutama vahe 10-st, st. 10 - 8 \u003d 2. Seega võrdub nõutav lahutamine kahega. Siin on kogu lahenduse kirje:
10 - x \u003d 8, x \u003d 10 - 8, x \u003d 2.
Kontrollime õigsust, asendades kaks algvõrrandisse. Saame õige võrdsuse 10 - 2 \u003d 8 ja veendume, et leitud väärtus on õige.
Enne muude reeglite juurde liikumist märkime, et on olemas reegel mis tahes tingimuste ülekandmiseks võrrandi ühest osast teise, märk asendatakse vastupidisega. Kõik ülaltoodud reeglid vastavad sellele täielikult.
Tundmatu teguri leidmine
Vaatame kahte võrrandit: x 2 \u003d 20 ja 3 x \u003d 12. Mõlemas on teada toote väärtus ja üks teguritest, on vaja leida teine. Selleks peame kasutama teist reeglit.
Definitsioon 4
Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teadaoleva teguriga.
See reegel põhineb mõttes, mis on vastupidine korrutamisele. Korrutamise ja jagamise vahel on järgmine seos: a b \u003d c, kui a ja b ei ole võrdsed 0-ga, c: a \u003d b, c: b \u003d c ja vastupidi.
Näide 4
Esimese võrrandi tundmatu tegur arvutatakse jagades teadaolev jagatis 20 teadaoleva teguriga 2. Jagame loodusarvud ja saame 10. Kirjutame võrduste jada:
x 2 \u003d 20 x \u003d 20: 2 x \u003d 10.
Asendades kümme algses võrdsuses ja saame, et 2 10 \u003d 20. Tundmatu kordistaja väärtus oli õige.
Selgitame, et kui üks teguritest on , ei saa seda reeglit rakendada. Niisiis ei saa me selle abil võrrandit x · 0 \u003d 11 lahendada. Sellel tähistusel pole mõtet, sest lahendus peab jagama 11 0-ga ja jagamine nulliga pole määratletud. Sellistest juhtudest rääkisime lähemalt lineaarvõrranditele pühendatud artiklis.
Selle reegli rakendamisel jagame võrrandi mõlemad pooled sisuliselt teguriga, mis pole 0. On olemas eraldi reegel, mille kohaselt saab sellist jagamist läbi viia ja see ei mõjuta võrrandi juuri ning see, millest me selles lõigus kirjutasime, on sellega täielikult kooskõlas.
Tundmatu dividendi või jagaja leidmine
Teine juhtum, mida peame kaaluma, on tundmatu dividendi leidmine, kui teame jagajat ja jagajat, samuti jagaja leidmine teadaoleva jagatisega ja dividend. Selle reegli saame sõnastada siin juba mainitud korrutamise ja jagamise vahelise seose abil.
Definitsioon 5
Tundmatu dividendi leidmiseks peate jagaja jagama jagatisega.
Vaatame, kuidas seda reeglit rakendatakse.
Näide 5
Kasutame seda võrrandi x lahendamiseks: 3 \u003d 5. Korrutame teadaoleva jagatuse ja teadaoleva jagaja enda vahel ning saame 15, mis on vajalik dividend.
Siin on kogu lahenduse kokkuvõte:
x: 3 \u003d 5, x \u003d 3, x \u003d 15.
Kontroll näitab, et arvutasime kõik õigesti, sest 15 jagamisel 3-ga osutub tõesti 5. Õige arvuline võrdsus on tõend õigest otsusest.
Seda reeglit saab tõlgendada võrrandi parema ja vasaku külje korrutisena sama arvuga kui 0. Sellel teisendusel pole võrrandi juurtele mingit mõju.
Liigume järgmise reegli juurde.
Definitsioon 6
Tundmatu jagaja leidmiseks peate jagama dividendi jagatisega.
Näide 6
Võtame lihtsa näite - võrrand 21: x \u003d 3. Selle lahendamiseks jagame teadaoleva dividendi 21 jagatisega 3 ja saame 7. Sellest saab soovitud jagaja. Nüüd koostame lahenduse õigesti:
21: x \u003d 3, x \u003d 21: 3, x \u003d 7.
Veendume, et tulemus oleks õige, asendades algse võrrandi seitse. 21: 7 \u003d 3, nii et võrrandi juur arvutati õigesti.
Oluline on märkida, et see reegel kehtib ainult juhtudel, kui jagatis ei ole , vastasel juhul peame jälle jagama 0-ga. Kui jagatis on , on kaks võimalust. Kui dividend on samuti null ja võrrand näeb välja nagu 0: x \u003d 0, siis on muutuja väärtus ükskõik milline, see tähendab, et sellel võrrandil on lõpmatu arv juuri. Kuid 0-ga võrdse jagatisega võrrandil, mille jagaja on muu kui 0, ei ole lahendusi, kuna selliseid jaguri väärtusi ei eksisteeri. Näiteks võib olla võrrand 5: x \u003d 0, millel pole juuri.
Eeskirjade järjekindel kohaldamine
Sageli on praktikas keerukamaid probleeme, milles mõistete, kahanevate, lahutatavate, tegurite, jagatavate ja jagatud osade leidmise reegleid tuleb rakendada järjestikku. Toome näite.
Näide 7
Meil on võrrand kujul 3 x + 1 \u003d 7. Arvutage tundmatu termin 3 · x, lahutades ühe 7-st. Selle tulemusena saame 3 x \u003d 7 - 1, siis 3 x \u003d 6. Selle võrrandi lahendamine on väga lihtne: jagage 6 3-ga ja hankige algvõrrandi juur.
Siin on lühike kirje teise võrrandi (2 x - 7) lahendamiseks: 3 - 5 \u003d 2:
(2 x - 7): 3 - 5 \u003d 2, (2 x - 7): 3 \u003d 2 + 5, (2 x - 7): 3 \u003d 7, 2 x - 7 \u003d 7 3, 2 x - 7 \u003d 21, 2 x \u003d 21 + 7, 2 x \u003d 28, x \u003d 28: 2, x \u003d 14.
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage klahvikombinatsiooni Ctrl + Enter
Õppetund 80–81. Teema: "võrrandite lahendamine"
Eesmärgid:õppida lahendama tundmatu terminiga võrrandeid; korrake pikkuse ühikute suhet; arvutuste oskuste konsolideerimiseks veerus; arendada võimet mõelda ja loogiliselt mõelda.
Planeeritud tulemused: õpilased õpivad tundmatu termini leidmiseks võrrandite lahendamist; teha õpitud tehnikaid kasutades kirjalikke arvutusi; mõista haridustegevuse õnnestumise / ebaõnnestumise põhjuseid.
Tundide ajal
Mina ... Aja korraldamine
II ... Teadmiste uuendamine
Matemaatiline dikteerimine
1. Kui palju on 67 vähem kui 89? (Kell 22.)
2. Lahutage 7 kümnest 4 kümmet. (30.)
3. Suurendage 23 32 võrra. (55.)
4. Mis arvu ma vähendasin 27 võrra ja sain 23? (50.)
5. Kui palju peaks 43 suurendama, et saada 70? (Kell 27.)
6. Lahutage arvude 9 ja 6 summast 10. (5.)
7. Millise arvu tuleb 64-st lahutada, et saada 37? (27.)
8. Millisele numbrile lisasid 0 ja said 44? (44.)
9. Lisage 21-le vahe 14 ja 6 vahel. (29.) 10. Numbrite 33, 16.4 ja 27 summa. (80.)
(Kontrollige. Enesehindamine.)
III ... Enesemääramine tegevuseks
Selle näite abil saate luua veel kolm näidet. 6 + 4 \u003d 10
(Õpetaja kirjutab tahvlile näiteid.) 4 + 6 \u003d 10 10-4 \u003d 6 10-6 \u003d 4
Millist reeglit kasutasite näitekatte koostamisel? (Summa ei muutu terminite permutatsioonist.)
Millist reeglit kasutasite lahutamise näite tegemisel? (Kui summast lahutatakse üks termin, saadakse teine \u200b\u200btermin.)
- Tunni teema teada saamiseks lahendage ristsõna.
1. Need on arvulised ja tähestikulised. (Avaldised.)
2. Lisanduvatele numbritele helistatakse. (Tingimused.)
3. Arv, millest lahutada. (Minuend.)
4. Lahutamise matemaatiline märk. (Miinus.)
5. Võrdsus, mis sisaldab teadmata arvu. (Võrrand.)
6. Joonise külgede pikkuste summa. (Perimeeter.)
7. Plussmärgiga väljend. (Summa.)
8. Kirje, mis sisaldab võrdusmärki. (Võrdsus.)
9. Väikseim kahekohaline number. (Kümme.)10. ladina täht. (X.)
Mis juhtus esiletõstetud real? (Võrrandite lahendamine.)
Õppetunni teema: "Tundmatu terminiga võrrandite lahendamine." Millised ülesanded me ise püstitame?
IV ... Töö tunni teemal
1. Töö õpiku kallal
Vaadake doomino üle lk. 7 kõrvuti kirjutatud õpetust ja näidet. Kuidas lahutamise näiteid saadakse? Millist reeglit nende koostamisel kasutati? Lõpeta järeldus. ( Tundmatu termini leidmiseks lahutage summast teadaolev termin.)
№ 1 (lk 7).(Suuline hukkamine.)
№2 (lk 7).(Kollektiivne täitmine koos üksikasjaliku selgitusega.)
2. Võrrandite iseseisev lahendus
1. võimalus 2. võimalus
x + 45 \u003d 92 75 + x \u003d 81
26 + x \u003d 50 x + 22 \u003d 70
(Kaks õpilast kirjutavad lahenduse tahvlile. Test. Enesehindamine.)
Otsus:
x + 45 \u003d 92 75 + x \u003d 81
x \u003d 92-45 x \u003d 81-75
x \u003d47 x= 6
26 + x \u003d 50 x + 22 \u003d 70
x \u003d50 – 26 x \u003d70 - 22
3. Töö õpiku kallal
№3 (lk 7).(Suuline hukkamine.)
№4 (lk 7). (Iseõppimine. Neile, kellel on raskusi, annab õpetaja lahenduste programmiga abikaardi.) 1) Mitu klaasi vaarikaid kogus õde?
2) Mitu klaasi vaarikaid panite kokku? (Kontroll, enesehinnang.)
V ... Kehaline kasvatus
Ma lähen ja sina lähed - üks, kaks, kolm. (Sammud paigas.)
Mina laulan ja sina laulad - üks, kaks, kolm. (Plaksutab käsi.)
Me läheme laulma - üks, kaks, kolm. (Hüppab kohale.)
Elame väga sõbralikult - üks, kaks, kolm. (Sammud paigas.)
VI ... Uuritud materjali konsolideerimine
Õpikute tööNr 1 (lk 14).
Milliseid pikkusühikuid teate?
Mitu millimeetrit on 1 cm? (Eneseteostus. Kontrolli.) Otsus:
5 cm 3 mm = 53 mm
3 cm 8 mm \u003d 38 mmNr 2 (lk 14).
(Eneseteostus. Kontrolli.)
1) Otsus:
AB \u003d 3 cm 5mm, CD \u003d 5 cm 5 mm;
5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm \u003d 2 cm.
Vastus:segmendi pikkus CD 2 cm rohkem kui segmendi pikkus AB.
2) Lahendus: ECMO\u003d 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm \u003d 7 cm 5 mm. Nr 3 (lk 14).
(Eneseteostus. Kontrolli. Enesehindamine.)
Otsus:
2 cm = 20 mm
4 cm 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 cm
4 cm 5 mm < 5 cm
Vii ... Peegeldus
("Kontrolli ennast" (õpik, lk 7). Eneseteostus. Kontrolli.)
Otsus:15 + x \u003d 35 x \u003d 35-15 x \u003d 20
VIII ... Tunni kokkuvõte
Milliseid võrrandeid sa täna mäletasid?
Kuidas leida tundmatu termin?
Kes vajab abi?
Kodutöö:Töövihik: nr 10, 11 (lk 6).
Matemaatikatunni 2. klassi kokkuvõte
Tunni eesmärk: luua õpilastele vajalikud tingimused, et tuletada reegel tundmatu termini leidmiseks.Tunni eesmärgid:
moodustavad mõisted "võrrand", "võrrandi juur";
koostada võrrandi lahendamise algoritm;
tugevdada võrrandite koostamise oskust, leida võrrandi juur ja kontrollida arvutuse õigsust;
parandada arvutusoskusi, matemaatilist kõnet, arendada loogilist mõtlemist;
arendada enesekontrollioskust, oskust töötada kahekesi;
kujundada võime töötada plaani, algoritmi järgi.
Planeeritud tulemused:
Teema:
teadma ja rakendama reeglit tundmatute terminite leidmiseks lihtsate võrrandite lahendamisel;
osata kirjutada üles ja lahendada lihtsaid võrrandeid tundmatu termini leidmiseks.
kasutage kõnes õigesti matemaatilisi termineid.
Metasubjekt:
tunnetuslik : otsige ja tõstke esile vajalik teave; kõnekeele tahtlik ja meelevaldne konstrueerimine; põhjuslike seoste tuvastamine.
regulatiivne : õpilaste valik ja teadlikkus sellest, mis on juba omandatud ja mis veel assimileerub, tegevusmeetodi ja selle tulemuse võrdlus antud standardiga.
suhtlemisaldis : emotsionaalselt positiivne suhtumine koostööprotsessi, oskus vestluspartnerit kuulata, erinevate arvamustega arvestamine ja võime oma arvamust põhjendada, austus teistsuguse vaatenurga vastu.
isiklik : piisava positiivse teadliku enesehinnangu kujunemine, kognitiivsete huvide, haridusmotiivide kujunemine.
Meetodid:
osaline otsing; suuline;
Tehnoloogiline õppetundide kaart
Mina .Tunni korraldus. Motivatsioon õppetegevuseks.
Täna on meil avatud tund. Külalised on tulnud meie õppetundi, pöörduvad nende poole, tervitame neid.Istu vaikselt maha.
Mul on hea meel teie järgmisel matemaatikatunnil jälle teie armasid nägusid näha. Tänane tund on põnev, olete ärevil. Proovime üksteist rõõmustada, ümber pöörata, naeratada, üksteist toetada:
Ära ole täna kurb
Koos oleme teel!
Hästi tehtud! Kas teie meeleolu on muutunud? Mis sellest on saanud?
Vaadake tahvlit ja valige õppetundi jaoks seadistus:
Ma hakkan:
Tähelepanelik
Töökas
Töökas
Uudishimulik
Tunni lõpus öelge, kas olete selle lõpetanud või ebaõnnestus. Asume tööle.
Numbri salvestamine. Klassitöö.
Tähistagem numbrit 16 kahe numbri summana, kahe numbri erinevust, kahe arvu korrutisena, erinevuse ja arvude korrutisena.
Jah. Rahulik, rõõmus, hirm ja põnevus kadusid.
II .
Põhiteadmiste uuendamine
Eesmärk: arvutusoskuste parandamine, numbrite koosseisu kordamine
1. Pange tähised "+" või "-"
2. Täitke tabel:
Järeldus:3. Ülesanne
Kõigepealt lõigati 24 m pikkusest kangatükist 6 m ja siis veel 4 m. Mitu meetrit kangast jäi tükki alles?
4 . Lahenda mõistatus.
Millistesse rühmadesse saab neid matemaatilisi kirjeid jagada?
Lisama ...Võrrand on võrdsus, mis sisaldab ...tundmatu number
Tundmatut arvu võrrandis nimetatakse ...võrrandi juur
Võrrandi juur muudab võrrandi tõeseks ...võrdõiguslikkus
Arvude võrdused, arvude ebavõrdsused, võrrandid, võrrandite juured
Võrrand.
Tundmatut sisaldavat võrdsust nimetatakse võrrandiks.
Võrrandi juur on arv, mis asendatuna x asemel võrrandiks annab tulemuseks õige arvulise võrdsuse.
III .
Raskuse koha ja põhjuse väljaselgitamine
Eesmärk: tingimuste loomine tundmatu lahutamisega võrrandi valimiseks
Tehke kindlaks raskuskoht;
Pange kirja välise kõne raskuste põhjus
IV. Tunni teema ja eesmärgi sõnastamine
Igaüks teist peaks meeles pidama, kuidas võrrandeid lahendatakse.
– Vaadake üle tahvlil olevad skeemid.
Mis sa arvad, avastus, millisele musterile tund pühendatakse?
Avage õpetus (lk 77), lisage õpetuse leht järjehoidjatesse ja lugege tunni teemat.
Määratlege tunni eesmärk.
Kuigi me suudame halvasti selgitada, kuidas leida tundmatu termin
Õppige lahendama tundmatu suurusega võrrandeid.
Võrrandite lahendamine tundmatu kokkuvõttega
V ... Uute teadmiste avastamine.
Eesmärk: reegli esiletõstmine tundmatu lahutamise leidmiseks.
Töötamine rühmades
Leidke võrrand, milles peate tundmatu esimese termini leidma, mõtle välja selle lahendamise algoritm.Algoritm slaidil .
Lisamisel nimetage komponendid.
Milline komponent on teadmata? (- Kuidas seda leida tervete ja osade abil.
Asendage "Terve" ja "Osa" toimingu lisamise komponentide nimega.
Kuidas leida tundmatu termin?
Kust leida kinnitust oma oletustele?
Võrrelge oma leide sellega, mida õpiku autorid soovitavad lk 79
Sõnasta tundmatu termini leidmise reegel.
Tundmatu osa leidmiseks lahutage tuntud osa tervikust.
VI .Füüsiline treening
Vii ... Esmane tugevdamine hääldusega välises kõnes.
Eesmärk: rakendage reeglit võrrandite lahendamisel
Töö tahvli juures
Lk 79 nr 6,7
Nad täidavad ülesande, hääldavad uue kontseptsiooni.
VIII ... Enesetunne klassis enesehindamisega paarides.
Eesmärk: võime töötada kahekesi, näidata vastutust oma valikute ja oma tegevuse tulemuste eest.
Lk 79. nr 8
Oskus töötada algoritmi abil paarikaupa
Tundmatu termini leidmise reegel.
{!LANG-e699bfea8b0fb63feeb81ce30ec55c6f!} {!LANG-83bd5d151b3c2e37b7d294d18ad0b79f!}
{!LANG-99e28c15865847a94b4c2aef9b41e207!}
{!LANG-4798790c70f90c2df4e42676fcbb1586!}
{!LANG-4f714525e5a62da587967ead4b6fd5c0!}
{!LANG-307f3013f5243f2ce63cc3a1fbf2813e!}
{!LANG-5abb886517237f00c8576961d2fe6dff!}
{!LANG-d99058e98a6add1f5a38a83d7cbc828b!}
{!LANG-1e801cbec8a6f07145b64ce47b771c1d!}
{!LANG-e78a499381e6610d0005481a88c21f6b!}
{!LANG-dfa34c0ebca838dd66db7978643cac07!}
{!LANG-98e8b6d76594f1b33406a6d7ba399b9d!}
{!LANG-a03849179dee241548e20a22b3b466e2!}
{!LANG-fec5cf2abde9b97922ae98b21536d90b!}
{!LANG-4797f1c1f240861c92dbdad6416a76ac!}
{!LANG-5211040f279efe267b0349b0cb56dd19!}
{!LANG-f3d4a4fcc1efae9a701c9c26f1b6480a!}
{!LANG-3f76bfa86d0928a6d6e57ac4d8bcae66!}
{!LANG-c03fc0ca8c8571a6e8ec15481fe58735!}
{!LANG-0c672a9124fc530b46ec3febc7c0ab74!} «+».
{!LANG-5e66299b383d42deb5326c5e11914b3b!}{!LANG-887ac502811bdd56a9e7e01d276eb65f!}
{!LANG-d35501d914a687103db7264861090788!}
{!LANG-d1d636e8622537e862f906ec0ba11a5d!}
{!LANG-b57524fdd97f350f24e7946b2d8ca422!}
{!LANG-981e8df3deef2db26bce3f98fb0fcb6d!}
{!LANG-043f565ada1d86cd7b035f5cf9233dfb!}
{!LANG-6992b3b0ca303b224ca44a10196d87d9!}
{!LANG-68ea792ddb426c19cf21f8cec35d2d35!}
{!LANG-927234683945478a920a20566bf11250!}
{!LANG-5a0a539314b4c01c525356bef14b5623!}
{!LANG-1c574e596fb033d8073a458a70b06995!}
{!LANG-0701515c690b7eaf0db87007c8438f84!}
{!LANG-f7c136b367ceb63e38d92b94bf41fb9a!}
{!LANG-40539bf53f91f9e9c2402f974f09a267!}
{!LANG-d3932d46a030e2ff854a5d3437b4de80!}
{!LANG-76cc085b0c8da1efdb28a803408c0ba9!}
{!LANG-aa6a2de9311715e8d6da01c73d5542d8!}
{!LANG-ce1a7021ca8fdbb95aa406253e53aeeb!}
{!LANG-e8d92297ceab232b8b832545d1832e56!}
{!LANG-8b81dabaa2c271b7f58074dbfbc83f05!}
{!LANG-d315b112b7ec8c9806fec67a3f776c1b!}
{!LANG-e2871a41c429691089523f2f2d64af40!}
{!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!} + 120 = 220{!LANG-48e139d1eb6194f16d0ffeb068286414!}
