U mnogim slučajevima, predviđanje u poslovanju i ekonomiji koristi ekonometrijske modele zasnovane na vremenskim serijama. Budući da podaci prikupljeni tokom određenog vremenskog perioda imaju tendenciju da pokažu trend, sezonalnost i druge slične efekte, zapažanja za različite vremenske periode ispadaju povezana ili, drugim riječima, autokoreliraju. Dakle, za podatke vremenske serije, uzorak izvučen iz niza dostupnih opservacija ne može se smatrati običnim slučajnim uzorkom. Stoga, ako se standardne metode regresije primjenjuju na opažanja koja slijede jedno drugo tokom vremena, mogu se pojaviti određeni problemi u tumačenju rezultata. Konstrukciju regresijskih modela za ove vremenske serije treba provoditi s velikom pažnjom.

Gdje β 1 , β 2 ,…,β str - neke konstante; ε t - nasumične greške koje formiraju "bijeli šum":

. (3)

On (AR(p)-model) opisuje proces koji se trenutno proučava t ovisno o njegovim vrijednostima u prethodnim trenucima t-1, t-2,…, t- str.

Konstrukcija AR(p) modela oblika (1), adekvatnog realnom vremenskom nizu yt, uključuje rješavanje dva međusobno povezana problema: određivanje racionalnog reda modela (p vrijednost) i procjenu vrijednosti njegovih koeficijenata.

Razmotrimo prvo opšte pristupe procjeni parametara AR(p) modela.

Bez gubitka općenitosti, pretpostavit ćemo da je matematičko očekivanje serije yt, jednako nuli, tj. M(gt)=0 . Inače, umjesto varijable yt, u izrazu (1) možemo razmotriti centriranu varijablu , gdje , ali onda , što dokazuje našu pretpostavku.

Jednačina (1) implicira da su parametri modela β 1 , β 2 ,…, β str može se izraziti u vidu koeficijenata autokorelacije ρ(τ) . Da bismo to učinili, pomnožimo jednačinu (1) sa yt -τ pojam po član i pronađite matematičko očekivanje svakog rezultirajućeg člana:

Međutim, znajući to, pod pretpostavkom , jer ε t- slučajna varijabla sa svojstvima "bijelog šuma", koja nema korelaciju s prethodnim trenutkom t vrijednosti procesa koji se razmatra yt, dijelimo lijevi i desni dio izraza varijansom procesa . Tada se cijeli izraz može prepisati na sljedeći način:

Zamjena u rezultirajuću jednadžbu umjesto pravih vrijednosti koeficijenata autokorelacije ρ τ njihove procjene uzorka r τ , dobijamo sledeći sistem linearnih jednačina:

(6)

u kojima su poznate procjene koeficijenata autokorelacije r 1 , r 2 ,…, rp, a nepoznanice - procjene koeficijenata β 1 , β 2 ,…, β str AR(p) modeli: b 1 , b 2 ,…,bp .

Sistem linearnih jednadžbi (6) naziva se Yule-Walkerova jednačina, a vrijednosti koje se dobijaju na osnovu njega b 1 , b 2 ,…,bp- procjene koeficijenata Yule-Walker AR(p) modela autoregresije. Ove procjene se mogu dobiti korištenjem determinanti, ili na osnovu vektorsko-matrične notacije sistema (6).

Na osnovu determinanti, Yule-Walkerove procjene dobijaju se u sljedećem obliku:

, (7)

gdje je Δ determinanta sistema (6).

(8)

Δ τ je determinanta dobijena iz determinante Δ zamjenom njenog τ-tog stupca stupcem koji se sastoji od koeficijenata autokorelacije koji čine lijevu stranu sistema (1.6) - r 1 , r 2 ,…, rp.

U vektorsko-matričnoj notaciji, sistem (6) se može prepisati u sljedećem obliku:

(9)

Gdje r - vektor kolone poznatih procjena koeficijenata autokorelacije od prvog do str- i uključivo, r=(r 1 , r 2 ,…, rp)" ; a- vektor kolone nepoznatih procjena parametara modela, a \u003d (a 1, a 2,..., astr)" ; R- matrica sastavljena od procjena koeficijenata autokorelacije, čija je determinanta izražena formulom (8).

Iz izraza (9) direktno slijedi da su nepoznate procjene koeficijenata autoregresivnog modela definirane kao

. (10)

Teoretski, Yule-Walker estimatori treba da imaju svojstva nepristrasnosti i efikasnosti. Međutim, u praksi, u autoregresivnim modelima velikog reda, ova svojstva možda neće biti potvrđena. Ovo posebno važi za svojstvo nepristrasnosti. Kao iu modelima sa varijablama zavisnim od kašnjenja, pristrasnost u procjenama koeficijenata autoregresivnih modela može biti posljedica postojeće veze između pomjerenih serija varijable koja se razmatra. yt -1 , yt -2 i greška ε t. Ova moguća zavisnost se obično zanemaruje pri konstruisanju sistema Yule-Walkerovih jednačina, pod pretpostavkom da su greške ε t formiraju bijeli šum.

Neefikasnost procjena može biti uzrokovana lošom uslovljenošću matrice R, što je, po pravilu, dokaz zavisnosti već između redova yt -1 , yt -2 ,…,yt -τ .

Međutim, za male narudžbe modela (str =1,2,3) Procene Yule-Walkera su obično prilično „dobre“. U ekstremnom slučaju, one se mogu smatrati prvom aproksimacijom „optimalnim“ procjenama koje se mogu dobiti prečišćavanjem Yule-Walkerovih procjena korištenjem moćnijih metoda procjene, kao što su one nelinearne.

Kvalitet Yule-Walkerovih procjena može se testirati ispitivanjem svojstava serije grešaka ε t. Ako su njegova svojstva bliska svojstvima "bijele buke", tada se procjene Yule-Walkera mogu smatrati "dovoljno dobrim". To se, posebno, može dokazati Durbin-Watsonovim kriterijem, čija bi vrijednost trebala biti približno u rasponu od 1 do 3.

Lako je vidjeti da se Yule-Walkerov sistem u ovom slučaju svodi na jednu jednačinu koja direktno određuje procjenu b 1 koeficijent β 1 :

1 = r1. (12)

S obzirom na to ε t I yt nezavisni

Od procesa yt - stacionarni, dakle . Dakle, pod pretpostavkom da , imamo

(14)

, (15)

odakle to sledi

. (16)

Iz dobijene jednakosti, uzimajući u obzir da je disperzija pozitivna vrijednost, dobijamo uslov stacionarnosti - | r 1 |<1 .

Stoga, na | r 1 |>1 ispada da je serija nestacionarna.

Naći autokorelacijske funkcije procesa yt. Množenje (11) sa yt -1 i još jednom s obzirom na nezavisnost ε t I yt, nađi

odakle koeficijent korelacije

(18)

tj. koeficijent autoregresije r 1 je koeficijent korelacije između susjednih perturbacija yt I yt -1 , ili koeficijent autokorelacije ρ 1 .

Sistem Yule-Walkerovih jednačina u ovom slučaju se sastoji od dvije jednačine:

(20)

Izražavanje a 1 I a 2 preko koeficijenata autokorelacije r 1 I r 2 , dobijamo

(21)

Međutim, sistem jednačina (20) se može riješiti s obzirom na r 1 I r 2

(22)

Ako obje strane jednačine (19) pomnožimo sa yt, uzeti matematičko očekivanje svakog člana, uzimajući u obzir činjenicu da u terminu M(yt , ε t) Mi yt zamijenite samim modelom, znajući to M(gt,yt -τ )= cov(gt,yt -τ )= r τ D(gt -τ )= r τ σ y 2 , dobijamo:

Iz ovog izraza se lako može dobiti omjer između varijansi originalnog procesa yt i greška modela ε t:

. (24)

Iz dobivene jednakosti, uzimajući u obzir da je disperzija pozitivna vrijednost, dobijamo potrebne i dovoljne uslove za stacionarnost:

(25)

ili se može prepisati kao

(26)

Kompanija X je specijalizovana za servisiranje portfelja hartija od vrednosti. Razmotrimo zadatak razvoja preciznije metodologije za predviđanje Dow Jones indeksa (indeksa prometa), koristeći Box-Jenkins metodologiju. Tabela 1 predstavlja zadnjih 65 dnevnih prosječnih vrijednosti indeksa zatvaranja za ljetne mjesece.

Tabela 1. Dnevni završni prosjek indeksa prometa

Započnimo analizu razmatranjem grafikona početnih podataka prikazanih na sl. 1. Jasno je da postoji uzlazni trend u seriji. Sljedeći korak u definiranju probnog modela je razmatranje uzorka autokorelacijske funkcije podataka prikazanih na slici 1. 2. Treba napomenuti da prvih nekoliko koeficijenata autokorelacije stalno ima veliki značaj i vrlo sporo teže nuli. Dakle, početni zaključci o prisustvu trenda bili su tačni, te da je originalna vremenska serija nestacionarna, tj. njegove vrijednosti se ne mogu smatrati promjenjivim u odnosu na neki fiksni nivo.

Slika 1 - Grafikon vrijednosti dnevnog konačnog prosjeka Dow Jonesa za transport

Slika 2 – Primjer autokorelacijske funkcije za prometni indeks

Hajde da izračunamo razlike u podacima da vidimo da li će nam to omogućiti da eliminišemo trend i dobijemo stacionarnu seriju. Sve promjene u podacima o razlici se dešavaju u blizini određenog fiksnog nivoa. Pokazalo se da je srednja vrijednost uzorka za razlike 1,035. Uzorci autokorelacije za razlike prikazani su na Sl. 3, i selektivne parcijalne autokorelacije - na sl. 4.

Slika 3 - Uzorak autokorelacijske funkcije za prve razlike indeksa prometa

Slika 4 - Primjer parcijalne autokorelacijske funkcije za prve razlike indeksa prometa

Dobijamo veoma oprečne rezultate. Poređenje koeficijenata autokorelacije sa njihovom marginalnom greškom pokazalo je da je značajna samo autokorelacija u prvom vremenskom intervalu. Slično, za parcijalne koeficijente autokorelacije značajan je bio samo interval 1. Koeficijenti autokorelacije su odsječeni nakon prvog intervala, što ukazuje na ponašanje karakteristično za MA(1) model. U isto vrijeme, parcijalni koeficijenti autokorelacije su također odsječeni nakon istog intervala, što ukazuje na ponašanje koje je već karakteristično za AR(1) model.

Oba uzorka ne pokazuju glatki pad vrijednosti koeficijenata. Primijenimo oba modela na prometni indeks - ARIMA(1,1,0) i ARIMA(0,1,1). Osim toga, u svaki model uključujemo konstantan termin kako bismo uzeli u obzir činjenicu da se promjene u nizu razlika pojavljuju u blizini nivoa iznad nule. Ako je transportni indeks označen kao y t , tada će serija razlika biti Δy t = y t - y t -1 i konstruirani model će imati sljedeći oblik:

ARIMA(1,1,0): Δy t = φ 0 + φ 1 Δy t -1 + ε t

ARIMA(0,1,1): ∆y t = ϻ + ε t - ω 1 ε t -1.

Oba modela podjednako dobro opisuju podatke. RMS rezidual (GOSPOĐA) će biti ovako.

ARMA (1,1,0): s 2 = 3.536,

ARIMA(0,1,1):s 2 = 3.538.

Također treba napomenuti da je konstanta procijenjena u ARIMA(0,1,1) modelu iznosi ϻ =1,038 , tj. je zapravo jednaka uzorku srednje vrijednosti razlika.

Na sl. 6, može se vidjeti da ne postoje značajni rezidualni koeficijenti autokorelacije za ARIMA(1,1,0) model. Iako rezidualna autokorelacija funkcija za model ARIMA(0,1,1) nije prikazana ovdje, rezultat za nju je isti.

Q m - Lewing-Box statistika izračunata za grupe intervala t = 12, 24, 36 i 48 nije značajno, na šta ukazuje velika vrijednost R za oba modela. Stoga možemo zaključiti da su oba modela adekvatna. Osim toga, prognoze za jedan period naprijed ova dva modela su gotovo iste.

Slika 6 - Preostale autokorelacije; ARIMA(1,1,0) model koji opisuje prometni indeks

Rješavajući nastalu dilemu, preferiramo model ARIMA(1,1,0) na osnovu njegove male prednosti u tačnosti. Rezultati testiranja ovog modela za period 66 će biti sljedeći:

y t - y t -1 = φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

y t \u003d y t -1 + φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

tako da će pri φ 0 = 0,741 i φ 1 = 0,284 jednadžba prognoze imati sljedeći oblik:

ŷ 66 \u003d y 65 + 0741 + 0,284 (y 65 - y 64) \u003d 288, 57 + 0,741 + 0,284 (288,57-286,33) \u003d 289.9

Izračunati interval za predviđanje stvarne vrijednosti za period od 66 je (286,3; 293,6).

4. Model pokretnog prosjeka (MA).

U modelima pokretnog prosjeka, trenutna vrijednost stacionarnog slučajnog procesa drugog reda yt, je predstavljen kao linearna kombinacija trenutnih i prošlih vrijednosti greške ε t, ε t -1 ,.., ε t - q, što u svojim svojstvima odgovara "bijelom šumu". Takva reprezentacija se može izraziti sljedeća jednačina(model pomične prosječne narudžbe q- MA(q):

Gdje γ 1 , γ 2 ,…, γ q - parametri modela.

Prema definiciji greške "bijelog šuma". ε t, karakteriziraju slijedeća svojstva:

M(ε t)=0 (28)

. (29)

Kao rezultat toga, funkcija autokorelacije "bijelog šuma" ima vrlo jednostavan oblik:

. (30)

S obzirom na svojstva greške ε t, lako je konstruisati autokorelacione funkcije MA(q) modela. Njegov koeficijent kovarijanse q- red je definisan na sledeći način:

At τ=0 izraz (31) je varijansa procesa yt, koji se, zbog svojstava (28) i (29), izražava kroz koeficijente MA(q) modela: γ 1 , γ 2 ,…, γ q; i varijansu greške kako slijedi:

Za proizvoljno τ iz (32) dobijamo da je koeficijent kovarijanse određen izrazom

(33)

Autokorelaciona funkcija MA(q) modela se dobija direktno iz (7):

(34)

Sistem od q jednačine (8), mogu poslužiti kao osnova za dobijanje procjena g 1 , g 2 ,…, g q nepoznati parametri modela MA(q) - γ 1 , γ 2 ,…, γ q. Da biste to učinili, potrebno je zamijeniti svaku od njegovih jednadžbi umjesto vrijednosti koeficijenata autokorelacije ρ τ proces koji se razmatra yt njihove izračunate rezultate r τ .

Međutim, za razliku od Yule-Walkerovih jednačina, ovaj sistem je nelinearan i njegovo rješenje zahtijeva upotrebu posebnih iterativnih proračunskih procedura, sa izuzetkom najjednostavnijeg MA(1) modela.

Model pokretnog prosjeka prvog reda (MA).

Predstavljen je sljedećim izrazom:

t= ε t - γ 1 ε t -1 . (35)

Iz (34) proizilazi da su disperzije procesa i greške ovog modela povezane sljedećom relacijom:

. (36)

Njegov jedini prvi koeficijent autokorelacije različit od nule izražen je u smislu koeficijenta modela kao

. (37)

Iz relacije (37) lako je dobiti kvadratnu jednačinu u odnosu na procjenu g 1 nepoznat parametar γ 1

, (38)

Gdje r 1 - procjena koeficijenta autokorelacije prvog reda, tj. ρ 1 .

Zauzvrat, iz (38) proizilazi da postoje dva rješenja ove jednačine, međusobno povezana sljedećom relacijom:

. (39)

Uslov stacionarnosti procesa zadovoljava samo rješenje g 1 , što je manje od jedan u apsolutnoj vrijednosti:

(40)

pod uslovom da

. (41)

Iz (41) slijedi da se modeli pokretnog prosjeka prvog reda mogu koristiti samo za opisivanje procesa s autokorelacijskom funkcijom koja se završava nakon prvog kašnjenja i koeficijentom autokorelacije koji ne prelazi 0,5 u apsolutnoj vrijednosti.

U zaključku, predstavljamo glavne rezultate za model pokretnog prosjeka drugog reda - MA(2).

Model pokretnog prosjeka drugog reda MA(2)

Model pokretnog proseka drugog reda MA(2) je napisan u opštem obliku na sledeći način:

t= ε t - γ 1 ε t -1 - γ 2 ε t -2. (42)

Iz (39) direktno slijedi da su disperzije procesa i greške povezane sljedećom relacijom:

Njegova funkcija autokorelacije određena je vrijednostima koeficijenata autokorelacije povezanih s parametrima modela sljedećim relacijama

(44)

Iz ovih relacija se mogu naći procjene koeficijenata modela g 1 I g 2 sa poznatim procjenama koeficijenata autokorelacije r 1 I r 2 .

Gdje β 1 , β 2 ,…, β str ,γ 1 , γ 2 ,…, γ q - koeficijenti modela; R - redosled autoregresije; q - narudžba pokretnog prosjeka.

Imajte na umu da se model (45) može transformirati ili u autoregresivni model AR(p)

gdje je greška ξ t, zadovoljava svojstva procesa narudžbe pokretnog prosjeka q, ili u model pokretnog prosjeka - MA(q): izražavanjem varijabli yt -τ , kroz linearne kombinacije grešaka

i dalje smanjenje sličnih članova nakon otvaranja zagrada.

Za ove modifikacije modela (45) razmotrimo svojstva njegove autokorelacione funkcije i moguće pristupe procjeni njegovih parametara. Imajte na umu da za smjene koje prelaze redoslijed pokretnog prosjeka q, tj. at τ> q, koeficijenti autokovarijance ARMA(p,q) modela definisanog izrazom (45) ne zavise od grešaka modela. Zaista,

Ako τ> q, zatim zbog svojstava "bijelog šuma" sva matematička očekivanja proizvoda grešaka ε t I ε t -τ- j, j< q ispostavi da je jednako nuli, tj.

M(ε t - j , ε t - τ - j)=0, τ= q+1, q+2,…; j=1,…, q.

U ovom slučaju, tj. at τ> q, vrijednosti koeficijenata autokovarijance ARMA(p,q) modela zadovoljavaju svojstva ovih koeficijenata karakterističnih za autoregresivni model R- red AR(p):

Izraz (49) to direktno implicira nepoznate vrijednosti koeficijenti β 1 , β 2 ,…, β str u ovom slučaju može se proceniti iz modifikacije sistema Yule-Walkerovih jednačina, koji u ovom slučaju ima sledeći oblik:

(50)

Koristeći vrijednosti procjena koeficijenata pronađenih iz sistema (50) β 1 , β 2 ,…, β str na osnovu izraza (46), formiraćemo proces pokretnog proseka q- red - MA(q):

Gdje u t je stvarna greška, koja je procjena greške ξ t. Vrijednosti greške u t, dobijeno supstitucijom u izraz (46) umjesto nepoznatih parametara β 1 , β 2 ,…, β str njihove ocjene b 1 , b 2 ,…, bp određeno iz sistema (50). e t - stvarna greška čija se vrijednost koristi umjesto prave greške ε t, prilikom procjene koeficijenata pokretnog prosjeka. Za utvrđivanje ocjena g 1 , g 2 ,…, g q koeficijenti pokretnih proseka, koriste se metode nelinearne estimacije koje podrazumevaju rešavanje sistema nelinearnih jednačina tipa (48).

Razmotrimo najpopularniju modifikaciju ARMA(1,1) autoregresivnih modela pokretnog prosjeka. Ovaj model, koji se široko koristi u praksi ekonometrijskih istraživanja, može se izraziti sljedećom formulom:

y t= β 1 y t -1 + ε t- γ 1 ε t -1 . (52)

Da bismo odredili varijansu ovog modela, pomnožimo lijevi i desni dio izraza (52) pod predznakom matematičkog očekivanja sa yt. Kao rezultat, dobijamo

Prilikom izvođenja izraza (53) uzeto je u obzir da M(y t, ε t)= M(β 1 y t -1 + ε t - γ 1 ε t -1 )=σ 0 2 zbog svojstava procesa "bijelog šuma". ε t.

zbog .

Slično, dobijamo prvi koeficijent autokovarijance procesa yt, množeći lijevi i desni dio jednačine (52) pod predznakom očekivanja sa yt -1 . Uzimajući u obzir činjenicu da y t -1 = β 1 y t -2 + ε t -1 - γ 1 ε t -2 i zbog svojstava "bijele buke" ε t mi to shvatamo

Iz izraza (53)-(55) direktno slijedi da je disperzija procesa yt, opisan ARMA(1,1) modelom, njegov prvi koeficijent autokovarijance i varijansa greške ε t, povezani su sljedećim relacijama:

(56)

a koeficijenti autokovarijance višeg reda (kako slijedi iz izraza (45) i (46)) - relacijama oblika:

Iz relacije (54) lako je dobiti izraz koji određuje vrijednost prvog koeficijenta autokorelacije ARMA(1,1) procesa:

. (58)

Vrijednosti koeficijenata autokorelacije višeg reda povezane su relacijom sličnom (13) ρ τ = β 1 ρ τ-1 , τ≥2.

Dakle, vrijednosti koeficijenata autokorelacije ARMA(1,1) modela poštuju eksponencijalni zakon

, (59)

Gdje .

U stvarnosti, procesi koji se proučavaju možda nemaju svojstvo stacionarnosti, tada se uz pomoć prilično jednostavnih transformacija posmatrani niz može svesti na stacionarni proces.

Jedan takav način transformacije je uzimanje konačnih razlika

gdje je prva razlika. Preporučljivo je koristiti ovu transformaciju kada je zakon promjene y blizu linearnog.

gdje je druga razlika. Transformacija se primjenjuje kada je zakon promjene yt, je blizu kvadratne zavisnosti.

Moguće je primijeniti model autoregresije i pokretnog prosjeka na gore navedene serije, ali se proces izgradnje modela u ovom trenutku ne može smatrati završenim. Da bi se to završilo, potrebno je nastaviti proces izgradnje modela originalnog procesa izvođenjem inverznih transformacija, prelazeći sa transformiranih vrijednosti x t, na originalne vrijednosti yt.

Pustite proces x t, odgovara modelu autoregresivnog pokretnog prosjeka. Zapisujemo transformaciju koristeći operator pomaka IN za broj x t.

Dobijamo shodno tome

, (62)

gdje su polinomi stepena str I q odnosno iz operatora pomaka koji se koristi za dobijanje ekvivalentne notacije za ARMA(p,q) model.

Imajte na umu da transformacija (62) ne utječe na grešku ε t. Razmotrimo opisanu proceduru koristeći ARMA(1,1) model kao primjer.

, (67)

što je ekvivalentno pisanju

. (68)

Kombinirajući ove dvije jednačine u jednu, dobijamo model u odnosu na originalnu vremensku seriju y t u sljedećem obliku:

(69)

Imajte na umu da je transformacija (61) uz pomoć operatora B zapisana u sljedećem obliku:

. (70)

U ovom slučaju, za proizvoljni ARMA(p, q) model, dobijamo

Konkretno, za model ARMA(1,1) napravljen za seriju z t, izraz (71) za početni proces y t ima sljedeći oblik:

. (72)

U slučaju donošenja originalne serije y t , t=1,2,…,T stacionarnom koristeći d-tu razliku, njegov rezultujući model je dat sa:

U praktičnim studijama, pri izvođenju inverznih pretvarača, umjesto parametara β I γ , u odgovarajuće izraze za modele originalne vremenske serije y t, potrebno je zamijeniti vrijednosti njihovih procjena a I b dobijene za modele transformisanog stacionarnog procesa y t.

Dakle, iz izraza (67) i (70) proizilazi da je upotreba početne vremenske serije za transformaciju y t u stacionarni proces x t , t=1,2,…,T, operator razlike ne dovodi do promjene tipa modela koji opisuje proces y t. On, kao i ARMA(p,q) model koji opisuje stacionarni proces x t , je linearnog oblika.

Obratimo pažnju i na potrebu da se analiziraju svojstva i procijene glavne karakteristike početne greške, tj. restaurirani model. To bi, između ostalog, trebalo učiniti kako bi se opravdala procjena kvaliteta samog modela. Za neke transformacije, njihove vrijednosti varijanse stvarne greške mogu se odrediti iz odgovarajućih vrijednosti varijanse rms greške transformiranog modela, koristeći svojstva varijanse linearnih, logaritamskih i drugih ovisnosti koje odgovaraju transformacija. S tim u vezi, napominjemo da se određeni broj vrijednosti stvarne greške modela u ovom slučaju utvrđuje nakon formiranja glavne jednadžbe modela i izračunavanja vrijednosti na temelju nje. Dalje, svojstva stvarne greške mogu se odrediti pomoću posebnih testova.

9. Identifikacija ARMA modela

Iz razmatranog materijala proizilazi da se proizvoljni realni stacionarni proces drugog reda može izraziti različitim verzijama modela vremenskih serija. Da bismo to pokazali, napišimo, na primjer, AR(1) model u kompaktnijem obliku koristeći operator pomaka unatrag B. Njegov učinak na bilo koju vremenski zavisnu varijablu određen je sljedećim relacijama:

Uzimajući u obzir (1), AR(1) model se može predstaviti u sljedeći obrazac zapisi:

. (75)

Zbog |β 1 |<1 , tada je zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije

(76)

Uzimajući u obzir (2), model (3) pišemo u sljedećem obliku:

gde u ovom slučaju.

Iz izraza (74) slijedi da je autoregresivni model prvog reda ekvivalentan modelu pokretnog prosjeka beskonačnog reda. Slično, može se pokazati inverzni odnos između redova ovih modela. Dakle, za model MA(1) imamo

. (78)

Zbog |γ 1 |<1 (iz uslova stacionarnosti procesa y t), onda iz izraza (75) dobijamo

(79)

U ovom slučaju su koeficijenti autoregresivnog modela beskonačnog reda.

, (80)

gdje je polinom q-tog ​​stepena rezultat dijeljenja jedan sa polinomom q-tog ​​stepena.

Iz razmotrenih relacija proizlazi važan zaključak: u praksi je moguće izabrati model sa minimalnim brojem parametara koji opisuje vremensku seriju y t, koji je stacionarni proces, nije "gori" od ostalih varijanti modela sa velikim brojem parametara. Obično se koncept „ne gore“ povezuje s minimalnom varijansom modela i odsustvom autokorelacije u nizu njegovih grešaka.

Praktična vrijednost ovog zaključka je sljedeća. Prilikom konstruisanja modela vremenskih serija, treba nastojati da se minimizira broj njihovih parametara, a samim tim i poredak samog modela. Poenta je da se parametri ovakvih modela procjenjuju na osnovu koeficijenata autokorelacije početnog procesa. y t. Sa povećanjem redoslijeda modela, za određivanje vrijednosti njegovih parametara, potrebno je koristiti veći broj koeficijenata autokorelacije uzorka (sa velikim brojevima) kao početne podatke. Točnost njihove procjene opada sa povećanjem pomaka, a njihove apsolutne vrijednosti ili teže nuli ili padaju u područje povećane nesigurnosti. Zbog toga se smanjuje pouzdanost procjena koeficijenata za modele vremenskih serija visokog reda, kao i kvaliteta samih modela. Sve to nas tjera da tražimo modele vremenskih serija s minimalnim brojem parametara za opisivanje stvarnih procesa.

Proces odabira modela koji najbolje odgovara stvarnom procesu koji se razmatra naziva se identifikacija modela. U našem slučaju identifikacija se sastoji u određivanju opšte forme modela iz klase ARMA(p,q) modela, koji se odlikuje najmanjim brojem parametara u poređenju sa drugim mogućim opcijama, bez gubitka u tačnosti opisa originalni proces.

Uopšteno govoreći, identifikacija je prilično gruba procedura (slijed postupaka), čija je svrha da se odredi određeni raspon prihvatljivih vrijednosti karakteristika reda p i q ARMA(p,q) modela, koji u toku daljih istraživanja treba svesti na njihove specifične vrednosti.

Obično je u ovom dijelu identifikacija praćena postupcima za procjenu parametara alternativnih modela i izbor najboljeg na osnovu korištenja kriterija kvaliteta.

Dakle, u opštem slučaju, formiranje modela koji je najprikladniji da opiše stvarni proces, takoreći, sastoji se od tri ukrštajuće i komplementarne faze – identifikacije, evaluacije i dijagnostike (koordinacija modela sa početnim podacima kako bi se identificirati njegove nedostatke i naknadno poboljšati)

Opća ideja identifikacije ARMA(p,q) modela je da svojstva stvarnog procesa i svojstva najboljeg modela trebaju biti bliski jedno drugom.

Ova bliskost, kao što je ranije pokazano, gotovo je u potpunosti određena poređenjem ponašanja njihovih autokorelacionih funkcija: teorijske - za model i empirijske - za stvarni proces, čiji su koeficijenti autokorelacije uzorka procijenjeni na osnovu promatranih podataka. Budući da se koeficijenti autokorelacije uzorka mogu karakterizirati prilično velikim greškama i, osim toga, jakim međusobnim korelacijskim odnosima, u praksi ne treba očekivati ​​tačnu sličnost između "teorijske" i "empirijske" autokorelacijske funkcije, posebno za velike pomake. Na primjer, zbog statističke veze između koeficijenata autokorelacije procesa, relativno značajni nivoi koeficijenata autokorelacije uzorka (rafala) također se mogu pojaviti u područjima smicanja gdje su njihovi teoretski ekvivalenti blizu nule. Stoga, kada se uspoređuju teorijske i autokorelacijske funkcije uzorka, obično se uzimaju u obzir samo njihova glavna svojstva. Njihova koincidencija omogućava značajno sužavanje raspona varijanti modela prihvatljivih za opisivanje stvarnog procesa. Konačni izbor u korist jednog od njih obično se donosi na osnovu rezultata evaluacije i dijagnostičkih faza modela.

Zabilježimo najkarakterističnija svojstva autokorelacionih funkcija tipičnih ARMA(p,q) modela.

Funkcija autokorelacije modela autoregresije prvog reda - AR(1) pada striktno eksponencijalno (tačnije, ovaj zaključak vrijedi za apsolutne vrijednosti koeficijenata autokorelacije). Glatka priroda smanjenja koeficijenata autokorelacije također je karakteristična za modele autoregresije višeg reda. U jednom slučaju, pad se dešava ili malo brže od strogo eksponencijalnog, ili malo sporije, au drugom, prema obrascu koji odgovara prigušenoj sinusoidi.

Izuzetno važne informacije o redu autoregresivnog modela sadržane su u takozvanoj parcijalnoj autokorelacionoj funkciji.

Za proces opisan AP(p) modelom, njegove vrijednosti su posljednje vrijednosti koeficijenata autoregresivnih modela naloga koji ne prelaze p, tj. modeli sa narudžbama τ=1,2,…, str. Označimo vrijednosti parcijalne autokorelacijske funkcije AR(p) modela kao π p1, π p2,…, π pp. Zatim za model AP(p) vrijednost π p1 jednaki ρ 1 a u praksi se definiše kao procjena koeficijenta β 1 AR(1) model po formuli:

(81)

gdje vrijednost (vidi izraz (21)) - kao koeficijent AR(2) modela. U praksi, vrijednost π p2, dakle, određuje se formulom:

. (82)

a procjena bilo kojeg koeficijenta je definirana kao procjena koeficijenta β τ , modeli AR(τ) po formuli:

(83)

Može se pokazati da su za model AP(p) vrijednosti parcijalne autokorelacijske funkcije značajne (ne nula) do i uključujući kašnjenje k, tj. π p1>0, i≤p i jednak nuli za pomake koji prelaze red modela, tj. π p1=0, i>p. U praksi, ovaj rezultat treba shvatiti u „statističkom smislu“, budući da se procjene vrijednosti koeficijenata djelomične autokorelacijske funkcije određuju na osnovu vrijednosti uzorka koeficijenata autokorelacije i stoga su same po sebi nasumične. varijable koje karakteriše određena greška. Za procjene koeficijenta djelomične autokorelacijske funkcije čiji je red veći od reda modela, varijansa greške može se aproksimirati sljedećom formulom:

, (84)

Gdje i>p; T- volumen dinamičke serije indikatora y t .

Dakle, ponašanje parcijalne autokorelacione funkcije autoregresivnih modela je slično ponašanju autokorelacionih funkcija modela pokretnog proseka. Za AR(p) model, njegova parcijalna autokorelacija funkcija "prekida" nakon kašnjenja p, kao što bi bio slučaj sa autokorelacionom funkcijom MA(q) modela. Ovo svojstvo funkcije djelomične autokorelacije korisno je za identifikaciju autoregresivnih modela. Ako se vrijednosti takve funkcije, izračunate za stvarni proces, prekinu (postaju nula) počevši od pomaka p + 1, to ukazuje da autoregresivni model p-tog reda odgovara svojstvima procesa koji se razmatra.

Kao što slijedi iz izraza (34), teorijska autokorelacija modela MA(q) završava se nakon kašnjenja q. Stoga, ako funkcija autokorelacije realnog procesa ima slična svojstva, to ukazuje da je preporučljivo koristiti model pokretnog prosjeka odgovarajućeg reda za njegovo opisivanje. Drugim riječima, ako je proces y t, samo prvi koeficijent autokorelacije pokazao se značajnim r1 a istovremeno, u skladu sa izrazom (41) r1<0,5, то данный факт указывает на целесообразность выбора для его описания модели MA(1). Если «обрыв» имеет место после второго сдвига - то модель MA(2) и т.д.

Na isti način kao i za autoregresivne modele, parcijalne autokorelacione funkcije se mogu konstruisati za modele pokretnog prosjeka bilo kojeg reda. Za procjenu njihovih koeficijenata koriste se izrazi (81)-(83). Istovremeno, uzimajući u obzir činjenicu da je za model MA(1) prvi koeficijent autokorelacije ρ 1 i parametar modela γ 1 povezane omjerom , tada za τ=2, 3,..., uzimajući u obzir činjenicu da ρ 2 = ρ 3 =…=0, može se pokazati da su vrijednosti parcijalnih koeficijenata autokorelacije ovog modela određene sljedećom formulom:

Iz (11) odmah slijedi da

iz čega proizlazi da funkcija parcijalne autokorelacije MA(1) modela (tj. apsolutne vrijednosti njegovih parcijalnih koeficijenata autokorelacije) opada po zakonu bliskom eksponencijalnom. Drugim riječima, njegovo ponašanje je slično autokorelacijskoj funkciji AR(1) modela.

Može se pokazati da je slična korelacija svojstava karakteristična za parcijalnu autokorelaciju modela MA(2) i autokorelacijske funkcije AR(2) modela. To su ili zavisnosti eksponencijalnog tipa koje se glatko smanjuju sa povećanjem pomaka, ili prigušene sinusoide. Takva korespondencija između autokorelacije i određenih autokorelacionih funkcija je također tipična za modele autoregresije i pokretnih prosjeka višeg reda.

Za ARMA(p,q) modele, ponašanje autokorelacijske funkcije nakon kašnjenja q je slično ponašanju autokorelacijske funkcije AR(p) modela. Međutim, u praksi se obično koristi ARMA(1,1) model, tj. samo prva narudžba. Kao što je gore prikazano (vidi izraze (75)-(80)), to je zbog činjenice da komponenta modela koja se odnosi na autoregresiju prvog reda apsorbuje sve procese pokretnog prosjeka viših redova, i obrnuto, komponenta pokretnog proseka prvog reda apsorbuje autoregresivne procese visokog reda. Kao rezultat toga, ponašanje autokorelacionih i parcijalnih autokorelacionih funkcija modela ARMA(1,1) karakterizira, takoreći, kombinacija svojstava ovih funkcija koja se odigrala za AR(1) i MA( 1) modeli.

Drugim riječima, AR(1) komponenta doprinosi činjenici da autokorelacija ARMA(1,1) modela (apsolutne vrijednosti koeficijenata autokorelacije) opada eksponencijalno, ali nakon prvog kašnjenja (prvog pomaka). ). To direktno slijedi iz izraza (36) i (38). Zauzvrat, MA(1) komponenta određuje obrasce ponašanja parcijalne autokorelacijske funkcije ARMA(1,1) modela, koji također propada približno eksponencijalno u skladu s izrazima (85) i (86).

Razmatrani pristupi identifikaciji zasnivaju se na poređenju svojstava autokorelacije uzorka i parcijalne autokorelacione funkcije realnog stacionarnog procesa i modela koji treba da ga opiše. U praksi se ne sreće često idealna koincidencija svojstava ovih funkcija, budući da stvarni procesi obično ne odgovaraju previše blisko svojim teorijskim parnjacima-modelima, a procjene njihovih koeficijenata autokorelacije karakteriziraju prisustvo grešaka. Kao rezultat, postupak identifikacije služi da se opravda izbor nekog probnog modela iz opšte grupe modela tipa ARMA(p,q), tj. Kao polazna tačka na putu ka konstruisanju „optimalnog“ teoretskog analoga (modela) procesa koji se razmatra na osnovu korišćenja preciznijih dijagnostičkih procedura i metoda za procenu parametara modela.

Obično se pomoću dijagnostičkih procedura ispituju svojstva stvarne greške modela. e t ,što se često naziva zaostala greška. U ovom slučaju, preporučljivo je voditi se sljedećom logikom analize vremenskih serija e t, čije su vrijednosti definirane kao razlika između stvarnih i izračunatih vrijednosti procesa u trenutku t, tj. , gdje su vrijednosti procesa izračunate prema odgovarajućem modelu.

Za "uspješan" model možemo očekivati ​​da će niz grešaka e t , t=1,2,…,T po svojim će svojstvima biti prilično blizak "bijelom šumu" - nasumičnom procesu karakteriziranom potpunim odsustvom bilo kakvih obrazaca u njegovim vrijednostima, s izuzetkom poznatog zakona njihove distribucije, za koji se obično pretpostavlja da je normalan. Za naš slučaj, to znači da matematičko očekivanje stvarne greške mora biti jednako nuli ( M(e t)=0), a disperzija je konstantna u bilo kojoj oblasti njenog mjerenja ( ) i između redova e t , e t-1 , e t-2 ,... nema autokorelacione zavisnosti, tj. koeficijenti autokorelacije prvog i slijedećih uzoraka serije e t , t=1,2,…,T blizu nule.

Drugim riječima, stvarna greška modela e t , mora biti "toliko nasumičan" da se ne može poboljšati ni jednim drugim modelom.

Osim toga, kao što je gore prikazano, poželjno je da varijansa greške bude znatno manja od varijanse procesa. U ovom slučaju, model koji opisuje proces y t na neki način otklanja značajan dio neizvjesnosti u njegovoj varijabilnosti, što omogućava predviđanje njegovih vrijednosti s većom valjanošću.

Prisustvo bilo kakvih obrazaca u seriji grešaka e t , ukazuje da je konstruisani model neadekvatan procesu koji se razmatra y t . Razlozi za neadekvatnost mogu biti greške u procjenama parametara ili tzv. nesigurnost modela. Primjeri takve nesigurnosti su korištenje AR(1) modela umjesto procesa adekvatnog ARMA(1,1) modela. U ovom slučaju, greška modela AR(1). karakteriziraju svojstva MA(1) modela. To će biti naznačeno njegovim prvim koeficijentom autokorelacije koji nije nula.

Imajte na umu da čak i pogrešno određene vrijednosti parametara dovode do pojave "nesumične" u stvarnom nizu grešaka.

Kao rezultat toga, u praksi je nedvosmisleno naznačiti bilo koji način da se precizira model na osnovu analize svojstava greške. e t , svojstva koja nisu "bijeli šum" obično nije moguća. U takvoj situaciji može se preporučiti da se prvo preciziraju vrijednosti parametara modela korištenjem efikasnijih procedura za njihovu procjenu, a zatim, ako se pokaže da je potrebno, redefinirati model.

U tu svrhu mogu se koristiti druge preciznije metode procjene (na primjer, nelinearne), u kojima se pronađene procjene koriste kao početne aproksimacije "optimalnim" vrijednostima parametara ARMA(p,q) model.

Iz gornjeg obrazloženja proizilazi da se dijagnostika modela svodi na proučavanje svojstava njegove greške kako bi se identificirao stupanj usklađenosti njegovih svojstava sa svojstvima "bijelog šuma". Takve studije u slučaju modela stacionarnih procesa obično se svode na provjeru značaja koeficijenata autokorelacije stvarne greške. e t .

Za testiranje hipoteze o korespondenciji svojstava greške modela sa svojstvima bijelog šuma, postupci za testiranje hipoteza o konstantnosti i jednakosti na nulu njegovog matematičkog očekivanja, konstantnosti varijanse i jednakosti njegovih koeficijenata autokorelacije na nulu se može koristiti.

Box-Jenkinsov pristup analizi vremenskih serija je veoma moćan alat za pravljenje tačnih prognoza kratkog dometa. ARIMA modeli su prilično fleksibilni i mogu opisati širok raspon karakteristika vremenskih serija koje se susreću u praksi. Formalna procedura za provjeru adekvatnosti modela je jednostavna i pristupačna. Osim toga, predviđanja i intervali predviđanja slijede direktno iz ugrađenog modela.

Međutim, korištenje ARIMA modela također ima nekoliko nedostataka.

1. Potrebna je relativno velika količina početnih podataka. Treba shvatiti da ako su podaci periodični sa, recimo, sezonskim periodom od 5=12, onda će zapažanja za jednu punu godinu zapravo biti jedna sezonska vrijednost podataka (jedan pogled na sezonsku strukturu), a ne dvanaest vrijednosti. Uopšteno govoreći, kada se koristi ARIMA model za nesezonske podatke, potrebno je oko 40 ili više opservacija. Prilikom izgradnje ARIMA modela za sezonske podatke, potrebna su promatranja otprilike 6-10 godina, ovisno o dužini sezonskog perioda.

2. Ne postoji jednostavan način za podešavanje parametara ARIMA modela, kao što je to u nekim metodama izravnavanja, kada se uvedu novi podaci. Model se s vremena na vrijeme mora potpuno rekonstruirati, a ponekad se mora izabrati potpuno novi model.

3. Izgradnja zadovoljavajućeg ARIMA modela često zahtijeva mnogo vremena i resursa. Za ARIMA modele, troškovi izgradnje modela, vrijeme izračunavanja i zahtjevi baze podataka mogu biti znatno veći nego za tradicionalnije metode predviđanja kao što je izglađivanje.

Prema Bernsteinu (Bernstein, 1996), predviđanje je jedna od najvažnijih komponenti menadžmenta, koja pruža značajnu pomoć u procesu donošenja odluka. Zapravo, svaka važna odluka menadžmenta u određenoj mjeri ovisi o prognozama. Skupljanje zaliha je povezano With prognoze očekivane potražnje; odjel proizvodnje mora planirati potrebe za radnom snagom i sirovinama za narednih mjesec-dva; odjel za finansije mora proizvesti kratkoročno finansiranje za naredni kvartal; kadrovska služba mora predvidjeti potrebu za zapošljavanjem ili otpuštanjem radnika. Lista različitih primena predviđanja može biti veoma duga.

Menadžeri su svjesni potrebe za predviđanjem. Nesumnjivo je da se dosta vremena posvećuje proučavanju aktuelnih trendova u ekonomiji i politici, kao i kako budući događaji mogu uticati na potražnju za ponuđenim proizvodima i/ili uslugama. Visoki zvaničnici su zainteresovani za kvantitativnu prognozu kako bi je uporedili sa svojim mišljenjem. Interes za predviđanje je posebno pojačan kada se dogode događaji koji mogu ozbiljno uticati na nivo potražnje. Nedostatak metoda kvantitativnog predviđanja je njihova ovisnost o prošlim zapažanjima. Iz tog razloga, oni su prirodno manje efikasni u predviđanju neočekivanih promjena koje dovode do naglog rasta ili pada potražnje.

Često menadžeri moraju da naprave kratkoročnu prognozu za veliki broj proizvoda. Tipičan primjer je situacija u kojoj se menadžer suočava sa zadatkom da uspostavi proizvodnju na osnovu predviđanja potražnje za nekoliko stotina artikala proizvoda koji čine jednu liniju. U ovom slučaju, upotreba metoda zaglađivanja je najopravdanija.

Glavna prednost metoda eksponencijalnog izglađivanja je njihova niska cijena i jednostavnost. Oni ne pružaju istu preciznost kao složene metode kao što je ARIMA. Ali kada se pravite prognoze za hiljade proizvoda, metode izglađivanja su često jedini razuman pristup.

Prognoze perspektiva zasnovane na vremenskim serijama zasnivaju se na pretpostavci da će razvoj budućih događaja biti sličan prošlim, a struktura prošlih događaja se može adekvatno opisati. Tehnika vremenske serije jedna je od najčešće korištenih varijabli za predviđanje, sa konstantnom i stabilnom strukturom promjena.

Box-Jenkinsova metodologija je veoma moćan alat za precizno kratkoročno predviđanje. Menadžeri bi trebali biti svjesni da izgradnja zadovoljavajućeg Box-Jenkins ARIMA modela zahtijeva dosta istorijskih podataka i značajno ulaganje vremena analitičara.

Postoje mnoge praktične primjene Box-Jenkinsove tehnike. ARIMA modeli su zapravo primijenjeni u sljedeće svrhe:

1 procjena promjena u strukturi cijena u telefonskoj industriji SAD;

2 proučavanje odnosa između koncentracije amonijaka, protoka i temperature vode u rijekama;

3 predviđanje godišnjih rezervi;

4 predviđanje broja operativnih naftnih bušotina;

5 analiza broja izgrađenih privatnih stambenih jedinica;

6 analiza dnevnih zapažanja procentualnog povećanja broja prodatih jedinica;

7 analiza konkurencije između vazdušnog i železničkog saobraćaja;

8 predviđanje nivoa zaposlenosti;

9 analiza velikog broja vremenskih serija potrošnje energije za komunalije;

10 analiza efekata stimulisanja prodaje proizvoda široke potrošnje;

11 predviđanje različitih kategorija osiguranja kvaliteta proizvoda.

Primjer 2. Analitičar kompanije Y pripremio je vremensku seriju podataka za proizvodni proces koji treba predvidjeti. Podaci koje je prikupio prikazani su u tabeli 2, a odgovarajući grafikon je prikazan na slici 7. Čini se da će Box-Jenkins metoda biti najpogodnija za obradu prikupljenih podataka.

Tabela 2 Vrijednosti oslobađanja proizvoda Atron

Slika 7- Grafikon podataka za proizvodni proces od interesa za Atron

Započnimo potragu za probnim modelom analizom grafikona podataka i dijagrama autokorelacijske funkcije uzorka prikazanog na Sl. 8. Početnu vremensku seriju podataka karakteriše varijacija vrijednosti u blizini fiksnog nivoa približno jednakog 80, a vrijednosti koeficijenata autokorelacije brzo se smanjuju na nulu. Na osnovu ovoga možemo zaključiti da je ova vremenska serija stacionarna.

Slika 8 – Funkcija autokorelacije uzorka za Atron podatke

Koeficijent autokorelacije prvog uzorka (-0,53) značajno se razlikuje od nule za nivo od 5% jer je izvan opsega

Autokorelacija za kašnjenje od 2 perioda je bliža graničnoj vrijednosti za nivo od 5% i suprotno u znaku autokorelacije r 1 na intervalu 1. Preostale autokorelacije su male i su unutar navedenih granica greške. Može se pretpostaviti da takva struktura koeficijenata autokorelacije odgovara ili modelu AR(1) ili, što je također prihvatljivo, modelu MA(2), ako pretpostavimo da su autokorelacije odsječene (ne razlikuju se od nule) već nakon drugi interval. Kao rezultat toga, odlučili smo analizirati dijagram selektivne parcijalne autokorelacijske funkcije prikazane na Sl. 9.

Slika 9 - Primjer djelomične autokorelacijske funkcije za podatke o kompaniji

Imajte na umu da se prvi parcijalni koeficijent autokorelacije (-0,53) značajno razlikuje od nule, ali nijedan od ostalih parcijalnih koeficijenata autokorelacije ne približava se nivou značajne vrijednosti. . Kao rezultat toga, zaključujemo da ponašanje funkcija autokorelacije uzorka i djelomične autokorelacije uzorka odgovara modelu AR(1) (ili, što je isto, ARIMA(1,0,0)), ali da bi se potpuno eliminišemo rizik, takođe modeliramo podatke koristeći MA(2) model (ili ARIMA(0,0,2)). Ako su oba modela adekvatna, moguće je izabrati najbolji model, po principu ekonomičnosti ( Princip ekonomičnosti sastoji se u preferiranju jednostavnog modela nad složenim).

Konstantni termin je uključen u oba modela kako bi se uzela u obzir činjenica da se podaci mijenjaju oko nivoa različitog od nule (ako su podaci izraženi kao odstupanje od srednje vrijednosti uzorka, tada bi konstantni termin bio nepotreban u oba modela).

Oba modela su se dobro uklapala u podatke. Procijenjeni koeficijenti se značajno razlikuju od nule. Srednje kvadratne greške su slične.

MA (2): s 2 = 135.1

AR(1):s 2 =137,9.

Prognoze za jedan i dva naredna perioda za ova dva modela se razlikuju u pojedinim detaljima, ali su prognoze za tri naredna perioda (period 78) vrlo bliske. Sa fiksnim izvorom za predviđanja, predviđanja za stacionarne procese na kraju postaju jednaka pretpostavljenom prosječnom nivou. U ovom slučaju, procijenjeni prosječni nivo je približno jednak ϻ = 75 za oba modela. m - Lewing-Box statistika (modificirana Box-Pierce statistika) je beznačajna za koeficijente korelacije na intervalima t = 12, 24, 36 i 48 za oba modela. Pojedinačni rezidualni koeficijenti autokorelacije su mali i unutar svojih graničnih grešaka. Funkcija rezidualne autokorelacije za model MA(2) je slična. Nema sumnje da su greške slučajne u oba ova modela.

Budući da AR(1) model ima dva parametra (uključujući i konstantni član), a MA(2) model tri (uključujući i konstantni član), onda sam, u skladu sa principom ekonomičnosti, odlučio da koristim jednostavniji AR (1) model za predviđanje budućih vrijednosti podataka. ).

AR(1) jednačina prognoze će izgledati ovako

ŷ t = 115.842 + (-0.538) y t -1 = 115.842 - 0.538 y t -1 , dakle za period 76

ŷ t = 115,842 - 0,538 y 75 = 115,842 - 0,538(72) = 77,11.

Osim toga, prognoza za dva perioda pred nama će biti sljedeća.

ŷ 77 = 115,842-0,538 y 76 = 115,842-0,538 (77,11) = 74,3.

Primjer 3. Analitičar u Atronu odlučio je da koristi Box-Jenkinsov metod za predviđanje grešaka (odstupanja od ciljanog obima proizvodnje kompanije) pronađenih u kontroli kvaliteta proizvodnog procesa pod njegovom kontrolom. Odgovarajući podaci su prikazani u tabeli 3, a dijagram ovog vremenskog niza grešaka prikazan je na Sl. 10.

Tabela 3. Greške pronađene tokom kontrole kvaliteta u Atronu (proizvođač 1)

Razdoblje (P)

Slika 10 – Greške (odstupanja od ciljnih zapremina) otkrivene tokom kontrole kvaliteta u Atronu

Započnimo proces definicije modela ispitivanjem dijagrama vremenske serije greške, kao i provjerom autokorelacije i djelomične autokorelacijske funkcije prikazane na Sl. 11 i 12.

Slika 11 – Funkcija autokorelacije uzorka za Atron QC podatke

Slika 12 – Funkcija autokorelacije uzorka za podatke kontrole kvaliteta

Grafikoni vremenskih serija i autokorelacionih funkcija ukazuju na stacionarnost ove serije. Budući da postoji samo jedan značajan koeficijent autokorelacije (za interval 1, vrijednost -0,50), a svi ostali koeficijenti su mali i unutar prihvaćenog raspona beznačajnosti, može se smatrati da su koeficijenti autokorelacije uzorka prekinuti nakon prvog intervala.

Dijagram djelomične autokorelacije počinje sa značajnom vrijednošću za bin 1, pri čemu su prva tri uzorka parcijalna koeficijenta autokorelacije negativna i nestaju blizu nule. Može se zaključiti da je ponašanje koeficijenata autokorelacije uzorka i parcijalne autokorelacije vrlo slično teorijskim pokazateljima za MA(1) (ili ARIMA(0,0,1)) proces . Dolazimo do zaključka da se vremenska serija koja se proučava može opisati korištenjem MA(1) modela.

Parametri u MA(1) modelu su procijenjeni kao ϻ \u003d 0,1513 i ω 1 \u003d 0,5875. Svaki od njih se značajno razlikuje od nule. Rezidualna autokorelacija funkcija je prikazana na sl. 13, a ᵡ 2 Lewing-Box statistika (modificirana Box-Pearceova statistika) ukazuje na slučajnost grešaka.

Slika 13 - Funkcija autokorelacije za ostatke MA(1) modela

Jednačina prognoze za MA(1) model će biti sljedeća:

ŷ t = ϻ - ω 1 ε t -1 ,

gdje se ε t-1 procjenjuje korištenjem odgovarajućeg ostatka e t-1 . Za predviđanje greške (odstupanja od ciljnih brojki) za period 91, potreban je ostatak za period 90, e 90 = -0,4804. Računamo sljedeće:

ŷ 91 \u003d 0,1513 - 0,5875 (-0,4804) \u003d 0,4335.

Prognoza za QC grešku u periodu 92 je jednostavno pretpostavljeni prosjek serije, budući da je na početku prognoze, t = 90, najbolja procjena reda greške u periodu 91, ε 91, je nula. dakle,

ŷ 92 = 0,1513 -0,5875(0) = 0,1513.

Primer 4. Interesantno je predvideti greške u kontroli kvaliteta obima proizvodnje druge proizvodne kompanije Atron. Pokušajmo sa ovim podacima primijeniti Box-Jenkinsovu metodu (tabela 4), a graf ove vremenske serije je prikazan na sl. 14.

Tabela 4. Greške pronađene tokom kontrole kvaliteta u kompaniji Y (Proizvod 2)

Slika 14 – Greške (odstupanja od ciljnih brojki) kontrole kvaliteta

Opšti prikaz grafova originalne vremenske serije i autokorelacione funkcije uzorka (slika 15) sugeriše da je originalna serija grešaka kontrole kvaliteta stacionarna. Vrijednosti grešaka fluktuiraju oko fiksnog nivoa - nula, a autokorelacije opadaju brzo i glatko.

Slika 15 - Uzorak autokorelacija za podatke kontrole kvaliteta

Imajte na umu da se prva dva koeficijenta autokorelacije značajno razlikuju od nule i, ceteris paribus, što je još važnije, koeficijenti autokorelacije za prvih nekoliko intervala opadaju slično kao što je definirano u teorijskom opisu procesa poput AR(1) . Analizirajmo i graf funkcije selektivne parcijalne autokorelacije, prikazan na Sl. 16. Svi parcijalni koeficijenti autokorelacije, osim prvog, praktično su beznačajni. Zajedno, struktura autokorelacije uzorka i autokorelacije frekvencije uzorka tačno je odgovarala procesima tipa AR(p). Stoga se čini da se podaci o nizu grešaka (odstupanja od ciljnih vrijednosti izdanja) mogu adekvatno modelirati kao AR(1) ili ARIMA(1,0,0) proces.

Slika 16 - Uzorak parcijalnih autokorelacija za podatke kontrole kvaliteta

Budući da je srednja vrijednost uzorka serije grešaka izuzetno mala (reda nule) u poređenju sa standardnom devijacijom, u model neće biti uključen nijedan konstantni član.

Parametar modela AR(1) procijenjen je kao φ 1 =0,501 i značajno se razlikuje od nule (t = 5,11). Preostala srednja kvadratna greška s 2 = 1.0998. ᵡ 2 -Lewing-Box statistika i dijagram rezidualne autokorelacione funkcije (slika 17) sugeriraju da je pronađeni model adekvatan. Nema razloga za sumnju da je osnovni zahtjev za vrijednosti greške zadovoljen.

Slika 17 – Funkcija autokorelacije za AR(1) model

Jednačina predviđanja ima sljedeći oblik:

ŷ t = 0,501y t-1 .

Dakle, prognoze za periode 81 i 82 će biti sljedeće:

ŷ 81 = 0,501y 80 = 0,501(1,06) = 0,531

ŷ 82 = 0,501y 81 = 0,501(0,531) = 0,266.

Pokušajmo sa malo složenijim modelom da dobijemo rezultate koji bi potvrdili izbor u korist AR(1) modela. Koristimo dodatni parametar da analiziramo greške kontrole kvaliteta i isprobamo ARMA(1,1) (ili ARIMA(1,0,1)) model. Ovo posljednje se može opravdati činjenicom da ako je prethodno odabrani model ispravan, onda će dodatni parametar pokretnog prosjeka u novom modelu dati vrlo mali doprinos.

Rezultati modeliranja početnih serija podataka na osnovu ARIMA(1,0,1) modela pokazali su da se parametar MA(1) ne razlikuje previše od nule (t = 1.04), što znači da nije potrebno u modelu. Naravno, budući da je ovo opštiji model od AR(1) modela, njegova reprezentacija podataka je barem onoliko dobra koliko dokazuje vrijednost s 2 = 1,0958 i nasumično ponašanje reziduala.

Primjer 4. Razmotrite Keytronovo predviđanje prodaje. Podaci o prodaji dostupni su za 115 mjeseci. Ovi podaci, koji pokrivaju period od januara 1987. do avgusta 1996. godine, prikazani su u tabeli 5.

Tabela 5 Keytron mjesečna prodaja

Nakon pažljivog proučavanja vremenske serije, čiji je grafikon prikazan na Sl. 18, u njemu se, uz trend rasta, može pronaći jasno izražena sezonska struktura. Dolazimo do zaključka da je ova serija nestacionarna, te je stoga na nju potrebno primijeniti sezonski ARIMA model.

Slika 18 - Grafikon obima prodaje kompanije

Započnimo definiranje modela podataka ispitivanjem uzorka autokorelacijske funkcije, čiji je graf prikazan na sl. 19. Koeficijenti autokorelacije u malim intervalima su praktično odsječeni već nakon intervala 1, iako postoji i blagi skok u intervalu 3. Također treba napomenuti da koeficijenti autokorelacije u intervalima sezonske, tj. 12, 24 i 36 (posljednji nije prikazan) su značajni, ali brzo nestaju. Ovo ukazuje na nestacionarnost serije i potvrđuje rezultate proučavanja grafa originalne vremenske serije.

Slika 19 – Primjer autokorelacijske funkcije za podatke o volumenu kompanije

Prije nego što nastavimo s potragom za adekvatnim modelom, izračunavamo seriju razlika u skladu sa sezonskom strukturom kako bismo provjerili da li je moguće transformirati originalni niz podataka u stacionarni.

Sezonska razlika za jedan period S= 12 definira se na sljedeći način:

Δ 12 y t \u003d y t - y t -12.

Prva sezonska razlika izračunata za Keytron podatke o prodaji bila bi:

y 13 - y 1 = 1757,6 - 1736,8 = 20,8.

Na sl. 20 je dijagram izračunate serije sezonskih razlika.

Slika 20 - Sezonske razlike za podatke o prodaji kompanije

Na sl. Na slikama 21 i 22 prikazane su, redom, funkcije autokorelacije uzorka i parcijalne autokorelacije uzorka za seriju razlika. Od sl. 19 proizlazi da se podaci o sezonskim razlikama mogu smatrati prilično stacionarnim i fluktuiraju oko vrijednosti reda 100. Koeficijenti autokorelacije imaju jedan značajan vrh u intervalu od 12 (odrezan), a koeficijenti parcijalne autokorelacije uzorka imaju značajne vrhove u intervalima od 12 i 24, koji se postepeno smanjuju » (fade out). Ovo ponašanje ukazuje na MA(1) element u intervalu 12.

Slika 21 - Grafikon uzorka autokorelacije sezonskih razlika u podacima o prodaji kompanije

Slika 22 – Grafikon uzorka parcijalne korelacije sezonskih razlika u podacima o prodaji kompanije

Odaberimo model oblika ARIMA(0,0,0)(0,1,1) za podatke. Takva notacija implicira sljedeće.

d=0 - obične razlike

q=0 - uobičajeni uslovi pokretnog proseka

D= 1- sezonske razlike u intervalu 5-12

Q= 1 - uslovi sezonskog pokretnog prosjeka.

Pošto se serija sezonskih razlika mijenja oko nivoa različitog od nule, u jednačinu je morao biti dodat konstantan član. Konačni model izgleda ovako

y t - y t -12 = ϻ + ε t + ψ 1 ε t -12, (87)

Gdje ϻ - prosječni nivo procesa sezonske razlike i vrijednost ψ - to je parametar sezonskog pokretnog prosjeka.

Grafikon autokorelacione funkcije reziduala prikazan je na Sl. 23, a prognoza za narednih 12 mjeseci nastavlja grafikon obima prodaje kompanije (Sl. 24).

Slika 24 - Obim prodaje kompanije i prognoze prodaje

Dobijamo da originalni model dobro opisuje strukturu podataka. ᵡ 2 - Lewing-Box statistika za grupe intervala t = 12, 24, 36 i 48 nije značajno, što ukazuje na veliku vrijednost p. Autokorelacije reziduala su sve podjednako male bez ikakve vidljive strukture.

Procijenjene vrijednosti parametara su bile ϻ = 85,457 i ψ = 0,818. Na osnovu vrijednosti ovih veličina, jednadžba (87) se može riješiti s obzirom na y t , izgledat će ovako:

y t \u003d y t -12 + 85,457 + 0,818ε t -12.

Predviđanje prodaje za period 116, izjednačavamo t = 116 i vidimo da će za periode za koje je napravljena prognoza, najbolja procijenjena vrijednost ε 116 (greška za naredni period) biti nula. Dakle, jednadžba predviđanja će biti

ŷ 116 \u003d y 114 + 85,147 - 0,818e 104,

gdje je e 104 ostatak (procjena greške) za period 104.

ŷ 116 = 2275 + 85,457 - 0,818(-72,418) = 2419,7. Isti put

ŷ 117 = y 105 + 85.457-0.8186.05e 105

ŷ 117 = 2581,8 + 85,457 - 0,818(119,214) = 2504,3.

Predviđanja su u potpunosti u skladu s ponašanjem serije. Može se pretpostaviti da je opis sezonske strukture tačan, te da će kompanija uskoro vidjeti povećanje obima prodaje.

Književnost

1. Kendal M. Vremenska serija. - M.: "Finansije i statistika", 1981.

2. Runova L.P., Runov I.L. Analiza i predviđanje vremenskih serija. Edukativni i metodički materijali iz discipline "Metode socio-ekonomskog predviđanja" za studente

sa specijalnosti “Matematičke metode u ekonomiji”. Rostov na Donu, Ruski državni univerzitet, 2006.

2. Skuchalina L. N., Krutova T. A. Organizacija i održavanje baze podataka vremenskih serija. Sistem indikatora, metode za određivanje, vrednovanje predviđanja informacionih procesa. GKS RF. M., 1995.

Statističko modeliranje i predviđanje. Udžbenik / Ed. A. G. Granberg. - M.: "Finansije i statistika", 1990.

Chetyrkin E.N. Metode statističkog predviđanja. -M.: "Statistika", 1975.

Model autoregresije i poretka pokretnog prosjeka također se može koristiti za opisivanje stacionarnih procesa ( R, q), ili model ARMA(p, q), koji uključuje i termine koji opisuju autoregresivne komponente i termine koji modeliraju rezidual kao proces pokretnog prosjeka.

Model ARMA(p, q) ima oblik

Gdje s t- Bijela buka.

Obično broj parametara R ili q nikad više od 2.

Za procese ARMA(str, q) formulirane su sljedeće praktične preporuke za njihovu identifikaciju:

• ARMA( 1, 0): ACF opada eksponencijalno, FACF ima odstupnicu na kašnjenju 1, nema korelacije na drugim kašnjenjima;
• ARMA( 2, 0): ACF ima oblik sinusoida ili se smanjuje eksponencijalno, FACF ima šiljke na lagovima 1 i 2, nema korelacije na drugim lagovima;
• ARMA( 0, 1): ACF ima odstupnicu na kašnjenju 1, nema korelacije na drugim kašnjenjima, FACF opada eksponencijalno;

• ARMA( 0, 2): ACF ima šiljke na lagovima 1 i 2, nema korelacije na drugim kašnjenjima, AFCF ima sinusni oblik ili opada eksponencijalno;
• ARMA( 1, 1): ACF se eksponencijalno smanjuje od kašnjenja 1, FACF se smanjuje eksponencijalno od kašnjenja 1.

ARIMA-oj nu. Neke nestacionarne vremenske serije mogu se svesti na stacionarne koristeći operaciju razlike. Takav postupak se zove integracija.

Obično je potrebno uzeti razlike u nizu dok ne postane stacionaran (često se koristi i logaritamska transformacija za stabilizaciju varijanse). Broj razlika koje su uzete za postizanje stacionarnosti je zadan parametrom d.

Neka vremenska serija y, nakon preuzimanja razlike d jednom postao stacionar, zadovoljavajući ARMA(p,#)-modeli. U ovom slučaju, red y, obično se nazivaju integrisani autoregresivni pokretni prosjek serije (ARPRS) ili ARlMA(str, d, q). U stručnoj literaturi poznat je i kao Box-Jenkinsov model.

Metodologija boksa - Jenkins izbor ARIMA-uojuzrk za opisivanje i predviđanje vremenske serije uključuje sljedeće korake:

• identifikacija modela;
• evaluacija modela i provjera njegove adekvatnosti;
• prognoziranje.

U radu su detaljno opisane primijenjene procedure obrade podataka u paketu STATISTIKA A, uključujući i selekciju ARIMA-uojyzsm.

Primjer 11.12. Mi ćemo izabrati ARIMA-uojxQsm prema veličini zlatnih i deviznih rezervi (g t) Rusija od 31.12.05. do 12.10.07. i napraviti prognozu za 5 koraka unaprijed.

T Početni podaci i izračunati pokazatelji dati su u tabeli. 11.24.

1. Identifikacija modela. Prvi korak identifikacije je dobivanje stacionarne serije. Izvorni red y, nije stacionarna, jer ima trend rasta (slika 11.9).

Da bi serija postala stacionarna, potrebno je uzeti uzastopne razlike dok ne postane stacionarna.

Tablica proračuna na primjer 11.12

Rice. 11.9.

Da bi se odredio redoslijed razlike, potrebno je proučiti autokorelogram. Ako postoji sporo smanjenje koeficijenata autokorelacije uzorka ovisno o kašnjenju, obično se uzima razlika prvog reda.

Na sl. 11.10 prikazuje ACF varijable y, gdje su koeficijenti uzorka ACF izračunati po formuli

Rice. 11.10. Varijabilni autokorelogram y, na primjer 11.12

Od sl. 11.10 može se vidjeti da se autokorelacije u zavisnosti od kašnjenja sporo smanjuju, što ukazuje da u cilju identifikacije modela ARIMAip, d, q) možemo uzeti razlike prvog reda (d= 1).

Nađimo prvu razliku z t - A y t , Gdje Ay t =y t-y t -i i izgraditi njegov grafik u zavisnosti od broja posmatranja (slika 11.11), iz čega se vidi da je serija postala stacionarna, jer nema trenda.

Za stacionarni red z, proučava se priroda ponašanja uzorka ACF i FACF, što nam omogućava da formulišemo nekoliko hipoteza o mogućim redosledima autoregresije (R) i pokretni prosek ( q).

Uzorak ACF koeficijenata za seriju z t izračunato po formuli

Rice. 11.11. Grafikon dinamike prve razlike z t na primjer 11.12

Za stacionarni red z t vrijednost uzorka FACF izračunava se kao procjena najmanjih kvadrata posljednjeg koeficijenta |3* u jednadžbi regresije z t = Po + Pi^-i + + (3* z t ~k + ?/.

Na sl. 11.12 prikazuje autokorelacione i parcijalne autokorelacione funkcije varijable z t .

Na sl. 11.12 ACF ima mali odstupnik na prvom kašnjenju i primjetnu tendenciju opadanja, u FACF-u samo se vrijednost korelacije za prvo kašnjenje značajno razlikuje od nule.

U skladu sa prethodnim najboljim praksama za identifikaciju modela ARMA izaberite model AR1MA( 1, 1, 0), ali možete koristiti i model ASHMA( 0, 1,1).

2. Procjena ARMA modela proizvedeni različitim metodama (linearni i nelinearni najmanji kvadrati, metoda pune ili uslovne maksimalne vjerovatnoće).

Razmotrite model AR1MA( 1, 1, 0). Procijenimo autoregresivni model prvog reda sa slobodnim članom z t= 5 + az M + s, metodom najmanjih kvadrata.

U tabeli. 11.24 prikazani su izračunati pokazatelji potrebni za procjenu parametara jednačine u Excel.

Procijenjeni statistički značajan model je

gdje je 5 = 3,793; a = 0,324, a rezidualna varijansa (rezidualna) je 39,8.

Rice. 11.12. Autokorelacija (A) i parcijalne autokorelacione (b) funkcije varijable z, na primjer 11.12

Koeficijenti modela su statistički značajni. Zapišimo transformirani model u obliku

gdje je 5,615 \u003d p \u003d 8 / (1 - a).

Ako postoji nekoliko modela koji su uspješno prošli test adekvatnosti, onda biramo model za koji je varijansa reziduala minimalna.

Za provjeru adekvatnosti ARMA-modeli postoje različiti kriterijumi:

• 1) procjene koeficijenata modela treba da se statistički značajno razlikuju od nule;
• 2) reziduali modela e, moraju biti slični bijelom šumu, odnosno imati nultu autokorelaciju.

Provjerimo adekvatnost modela ARIMA(, 1, 0).

Koeficijenti p = 5,615 i a = 0,324 su statistički značajni (prvi uslov za provjeru adekvatnosti modela je ispunjen).

Prilikom provjere značajnosti ACF koeficijenata reziduala koriste se dva pristupa:

• provjeravanje značaja svakog koeficijenta autokorelacije posebno;
• provjera značajnosti grupe koeficijenata autokorelacije korištenjem Box-Ljung testa.

Da biste provjerili ispunjenost drugog uvjeta, razmotrite tabelu. 11.25, koji se može dobiti obračunom na osnovu stanja e, modeli AR1MA(, 1, 0) iz tabele. 11.24.

Tabela 11.25

Tabela rezultata autokorelacione funkcije reziduala modela ARIMA( 1,1, 0) na primjer 11.12 (standardne greške - greške bijelog šuma)

	Koeficijent autokorelacije	standardna greška	Statistika boksa - Lewitt (0	Nivo značaja ( R)

Autokorelacija je korelacija originalnog niza sa samim sobom, pomjerena za određeno kašnjenje To. Koeficijenti autokorelacione funkcije uzoraka reziduala određuju se formulom

Uz pretpostavku da je proces bijeli šum (u ovom procesu svi koeficijenti autokorelacije su nula), standardne greške g to definisano kao

standardna greška ( G k) = ^/(1 / P) ? (n - k) / (n + 2), gdje P- broj posmatranja serije.

Iz poređenja dobijenih vrijednosti prikazanih u tabeli. 11.25, proizilazi da su koeficijenti autokorelacije beznačajni na svih 15 kašnjenja.

Za testiranje nule To od prvih vrijednosti autokorelacijske funkcije reziduala, koristi se Box-Ljung ^-statistika.

Na ovom zaostatku To Bokserska statistika - Ljung Q definisano kao

Pod nultom hipotezom odsustva autokorelacije, ^-statistika ima distribuciju X(k-r - q).

Nivoi značaja Rk, relevantne statistike qk, može se odrediti pomoću funkcije excel= CH2DIST(?>*, Za). Ako Rk veći od datog nivoa značaja, dakle To

Iz razmatranja primljenih vrijednosti posljednje kolone tab. 11.25 slijedi da sve To prve vrijednosti autokorelacijske funkcije reziduala su statistički beznačajne.

U tabeli. 11.26 prikazuje primjer izračunavanja vrijednosti Qk, Pk za zaostajanje k = 1, 2, 3 prema gornjim formulama, P = 46.

Tabela 11.26

Izračunavanje Box-Lewitt statističkih vrijednosti i odgovarajućih nivoa značajnosti

		Q, =46-48-0,03 9 2 / 45 = 0,075	CH2DIST(0,075;1) = = 0,785
		Q 2 \u003d Q x + 46 48 (-0,189) 2 / 44 = 1,875	chi2dist(1.875;2) = = 0.392
		0 s = 0 2 + 46-48-0,113 2 / 43 = 2,535	CH2DIST(2.535;3) = = 0.469

Dakle, drugi uslov za provjeru adekvatnosti modela je zadovoljen.

3. Predviđanje u modelu AR1MA(1, 1, 0). Razmotrimo nestacionarnu vremensku seriju y t ,čije prve razlike z, su A/?(1)-procesi:

Ponovljena primjena ovih izraza daje sljedeću formulu za rekurzivno predviđanje:

Hajde da napravimo prognozu za pet koraka. Za posljednja dva zapažanja imamo u 46= 424,8 i u 47 = 434,0.

Predviđanje u jednom koraku:

Y 48 = Y 47+ p + a(y 47 Y 4 6 P) \u003d 434,0 + 5,615 + 0,324 (434,0 - -424,8-5,615) = 440,8.

Predviđanje u dva koraka:

y49 = u 48+ R + a(u 48 -y 41- p) \u003d 440,8 + 5,615 + 0,324 (440,8 - -434,0-5,615) = 446,8.

Predviđanje u tri koraka:

At50 = 49+ R+ Oi(y 49 - y 4S- p) \u003d 446,8 + 5,615 + 0,324 (446,8 - -440,8-5,615) = 452,5.

Predviđanje u četiri koraka:

Yy \u003d Y50 + ^ + a (Y50.U 4 9 M 1) \u003d 452,5 + 5,615 + 0,324 (452,5 - -446,8-5,615) = 458,2.

Predviđanje u pet koraka:

At52 \u003d J 51 + p + a (.y 51 -y 5 0 -v)= 458,2 + 5,615 + 0,324 (458,2 - - 452,5-5,615) = 463,8. ?

Sezonski modeli ARIMA. Sezonski model je predstavljen kao: ARlMA(p, d, q)(P, D, Q) s , gdje modelirati parametre p, d, q dodani sezonski parametri P, D, Q I s- sezonska autoregresija, sezonska razlika, sezonski pokretni prosjek i sezonski period, respektivno.

Sezonski model se identifikuje na isti način kao i nesezonski model. Ponašanje funkcija autokorelacije i parcijalne autokorelacije na početnim kašnjenjima omogućava identifikaciju nesezonske komponente na standardni način, a na kašnjenjima koja su višekratna sezonskog kašnjenja, sezonske komponente.

U prisustvu izražene sezonske komponente, preporučljivo je uključiti sezonsku diferencijaciju u model, ali je poželjno da d+D2.

Značajno olakšava rješavanje problema analize i predviđanja finansijskih i ekonomski pokazatelji upotreba savremenih kompjuterskih statističkih paketa će pomoći. U nekim računarskim paketima implementirane su procedure za automatski odabir strukture Box-Jenkins modela (ARPSS).

Postupak konstruisanja modela vremenskih serija u programu SPSS uključuje alat stručnjak za pravljenje modela, koji automatski identifikuje i procenjuje najprikladniji Box-Jenkins ili model eksponencijalnog izglađivanja, eliminišući potrebu za određivanjem odgovarajućeg modela metodom pokušaja i grešaka.

Primjer 11.13. Korišćenje paketa SPSS, mi ćemo izabrati ARIMA-uojuzsm prema primjeru 11.6 o obimu avio prevoza putnika za šest godina i napraviti prognozu za narednu godinu.

• ? Naznačavamo redoslijed radnji.
• Podatke primjera unosimo u tabelu u jednu kolonu sa nazivom "Avio transport" (Sl. 11.13).

Rice. 11.13. Unošenje početnih podataka u SPSS na primjer 11.13

Podaci -> Odredite datume. Otvoriće se dijaloški okvir (slika 11.14).

Postavite datum povezan s prvim opažanjem (na primjer, januar 2010.) i vremenski interval između uzastopnih opažanja. Ovo rezultira označavanjem skupa varijabli

Rice. 11.14. Prozor dijaloga Odredite datume(primjer 11.13)

datumi povezani sa svakim zapažanjem. Ovo takođe postavlja očekivanu periodičnost podataka, na primer, periodičnost 12 ako je vremenski interval između uzastopnih posmatranja jednak jednom mesecu. Ova periodičnost je neophodna ako želite da kreirate sezonske modele. Ako sezonski obrasci nisu potrebni i oznake podataka nisu potrebne u izlazu, tada se otvara dijaloški okvir Odredite datume može se preskočiti. U ovom slučaju, oznaka povezana sa svakim zapažanjem će jednostavno biti broj zapažanja.

Klikom na dugme UREDU, idemo na tabelu podataka u koju su dodate nove varijable GODINA, MJESEC, DATUM (Sl. 11.15).

Rice. 11.15.

Izaberite komande iz gornjeg menija Analiza -> Predviđanje -» Kreirajte modele. Otvoriće se dijaloški okvir (Sl. 11.16 , A).

Rice. 11.16. tab Varijable dijaloški okvir Čarobnjak modela vremenske serije (A) i postavljanje kriterija za metodu Stručnjak za izgradnju modela (b)

• Odaberite varijablu "Zračni prijevoz" i pomoću gumba je prebacite na listu zavisne varijable. Kao metod u grupi Metoda instalirati Stručnjak za pravljenje modela i pritisnite dugme Kriterijumi. Otvoriće se dijaloški okvir Čarobnjak modela vremenske serije: Stručni kriteriji konstrukcije...(Sl. 11.16, b).
• Označite kućice kao što je prikazano na sl. 11.16, b, i kliknite na dugme Nastavi za povratak u dijalog Čarobnjak modela vremenske serije(Sl. 11.16, A).
• Uzastopno kliknite na kartice Statistika, Grafikoni, Pohranjivanje, Opcije i postavite vrijednosti prikazane na sl. 11.17.
• Pritisnemo dugme uredu u dijaloškom okviru Čarobnjak modela vremenske serije i dobijamo rezultate.

U tabeli. 11.27 prikazani su rezultati procjene parametara modela metodom Stručnjak za pravljenje modela.

Identifikacija modela: ASHMA( 1,1,0)(0,1,1)12 (bez slobodnog parametra). Došlo je do logaritamske transformacije originalne varijable, diferencijacije originalne serije sa zaostatkom od 1 i sezonske diferencijacije sa kašnjenjem od 12.

Tabela 11.27

Rezultati procjene parametara modela metodom Stručnjak za pravljenje modela na primjer 11.13

Parametar		Standard		Značenje

Ovaj model sadrži koeficijent autoregresije /?(1) za uzimanje u obzir linearnog trenda u dinamici vazdušnog saobraćaja y t i koeficijent sezonskog pokretnog prosjeka Qs( 1). Parametri modela dati u tabeli su veoma značajni. Greška uklapanja e = 4,09 %.

U tabeli. 11.28 prikazani su rezultati prognoze obima vazdušnog saobraćaja za 12 mjeseci unaprijed i granice pouzdanosti prognoziranih vrijednosti.

Rice. 11.17. Tabs Statistika (a), Grafikoni (b) dijaloški okvir Čarobnjak modela vremenske serije

Rice. 11.17. Tabs Čuvanje (u), Opcije(d) okvir za dijalog Čarobnjak modela vremenske serije

Tabela 11.28

Rezultati prognoze za 12 mjeseci unaprijed i granice povjerenja vrijednosti prognoze na primjer 11.13.

Na sl. 11.18 prikazuje grafik dinamike varijable y t(obim vazdušnog saobraćaja) i prognozu sa intervalom poverenja za 12 meseci unapred.

Rice. 11.18. Grafikon dinamike varijable y, i prognoza sa intervalom povjerenja za 12 mjeseci unaprijed na primjer 11.13

Nema statističke razlike u vrijednostima prognoze primjera 11.6 (Theil-Wage model) i onih dobijenih ovom metodom, ali za ovaj primjer je poželjniji Theil-Wage model, jer ima grešku uklapanja ~yo - 3,65% manje. ?

Udruženje za razvoj čeličnih konstrukcija pozvalo je 13. septembra novinare i stručnjake da razgovaraju na temu "Čelična konstrukcija: postoji li budućnost?". Na osnovu rezultata tročasovne rasprave možemo konstatovati da budućnost postoji. Ali teško. Izvor: http://ancb.ru

Događaju su prisustvovali Aleksandar Danilov, generalni direktor ARSS-a, Grigorij Vaulin, generalni direktor CJSC Ferro-Stroy, Petr Chayrev, direktor marketinga Astron Buildigs u Rusiji i ZND, Leonid Zborovski, direktor Thornton Tomasetti, i drugi.

ARSS postoji od 2014. godine i objedinjuje najveće ruske metalurške kompanije - EVRAZ, Mechel, OMK, Severstal, NLMK, istraživačke i projektantske institute, arhitektonske biroe, obrazovne institucije i građevinske organizacije. Danas je ukupno 78 učesnika.

Metal kao način uštede na izgradnji

Aleksandar Danilov govorio je o izgradnji dvije značajne zgrade za metalurge - Empire State Buildinga u SAD-u i Moskve državni univerzitet njima. Lomonosov u Rusiji. Prvi je izgrađen 1931. godine za samo 410 dana, drugi - složeniji - 1953. godine u rekordno kratkom periodu za sovjetsko vrijeme - za 5 godina. Obje zgrade izgrađene su u prilično teškom ekonomskom vremenu za svaku zemlju: u SAD-u je to bio period nakon Velike depresije, a u SSSR-u poslijeratni oporavak. Čak i tada su pronađeni resursi za nove i progresivne tehnologije vezane za metalne okvire. Upravo su oni omogućili razvoj gradnje u novoj fazi, čime su povećali broj radnih mjesta, podigli kvalitet na nove visine i ubrzali gradnju. Ali, nažalost, u SSSR-u je u to vrijeme donesena odluka vlade o zabrani korištenja čelika u svim projektima, osim u industrijskim, što je značajno usporilo razvoj smjera čelika.

Danas je udio visokih zgrada na čeličnom okviru u svijetu više od 60%, au vodećim zemljama čak i do 80%, dok je u Rusiji samo 17%, uz veliku natezanje. Prema novinska agencija INFOLine, u 2017. godini obim proizvodnje čeličnih proizvoda za građevinsku industriju iznosio je oko 3,5 miliona tona, što je za 4% više nego u 2016. Udio potrošnje ruske čelične konstrukcije iznosila 1,9 miliona tona Pozitivna dinamika se nastavlja iu tekućoj godini, što nam omogućava da prognoziramo 2 miliona tona čeličnih konstrukcija. Štaviše, u prvoj polovini 2018. godine, broj građevinskih ugovora zaključenih u Ruskoj Federaciji porastao je za 6,5% u odnosu na isti period 2017. godine, na 2,85 triliona rubalja.

Prema rečima Aleksandra Danilova, potražnja za čeličnom konstrukcijom raste, sve je više završenih projekata. Ova tehnologija je posebno interesantna u segmentima kao što su infrastrukturni objekti: vrtići, parkingi, sportski objekti i jedinstvena visokogradnja - Lakhta centar u Sankt Peterburgu, Akhmad Tower u Groznom.

Ako govorimo o prednostima izgradnje metalnog okvira, onda je kao primjer, generalni direktor ARSS-a naveo objekat u Novosibirsku - kutiju 10-spratne zgrade površine 23 hiljade kvadratnih metara. m izgrađena je u najkraćem mogućem roku - 4 mjeseca, za koje vrijeme je uobičajena monolitna konstrukcija dostigla samo nivo od 4-5 spratova, a panelna kuća 7-8 spratova. Brzina, gotovo sve arhitektonske forme, gradnja u bilo kojoj klimatskim zonama, novi kvalitet gradnje, nove tolerancije i priprema u fabrikama metalnih konstrukcija - to su glavne prednosti čelika. Plus svemu - visoki nivo ekološka prihvatljivost gradnje i usklađenost sa standardima.

Glavni primjer upotrebe metalnih konstrukcija nesumnjivo su tornjevi Moscow City, od kojih su dvije izgrađene ne samo uz korištenje najnovijih tehnologija, već i pomoću metalnih okvira. Osim toga, ovo je zgrada Moskovskog državnog univerziteta i Staljinovih nebodera, trgovačka kuća Zinger u Sankt Peterburgu, podignuta 1904. godine i koja je postala prva zgrada u Rusiji na metalnom okviru. Bio bi i veći, ali zgrade u centru Sankt Peterburga nisu mogle biti veće od 23,5 m do strehe.

Govorio je o prednostima čeličnih konstrukcija i Petr Chayrev: ovo je brza gradnja bilo gdje, u bilo koje vrijeme, bez obzira na klimatske uvjete, što utiče i na kvalitetu i na cijenu.

Obično, prilikom projektovanja metalne zgrade, korak noseće konstrukcije je 6 m. Ali, kao što je praksa pokazala, ovo nije najefikasniji pristup. Ako napravite istu zgradu sa korakom od 10 m, onda ćete dobiti manje stubova i više slobodnog prostora, nar? manje zemljanih radova i 36% manje radova kranom – što je brže, jeftinije i praktičnije. Uštede na cijeni kompleta građevinskog materijala dostižu 18%.

Osim toga, danas je tradicionalna metalna konstrukcija - takozvana "farma", koja, unatoč prividnoj prozračnosti, zauzima puno prostora, zamijenjena modernim rješenjem - okvirnom konstrukcijom. Radi se o zavarenim okvirima promjenjivog presjeka, znatno su niže visine, zbog čega zgrada zahtijeva manji volumen za grijanje i ventilaciju - do 17%. „Savremene čelične konstrukcije omogućavaju uštedu novca kako u fazi izgradnje tako i tokom rada zgrade“, naglasio je Petr Čajrev.

Za moderne automobile - i moderan parking
Grigorij Vaulin se u svom govoru dotakao goruće teme parkinga, posebno za velike gradove. Prema njegovim riječima, ranije je investitor mogao graditi kuće i napuštati lokaciju, ali sada je parking potreban već u fazi odobrenja lokacije, a kuća neće biti puštena u rad bez njega. Istovremeno, postoje strogi standardi koliko prostora za automobile treba da bude po metru novog stambenog prostora - ranije je bilo 1 mesto po 1 stanu, ali sada je Moskva promenila standard zbog renoviranja - 1 mesto na 2,5 stana. “Za programera, ovo je velika stvar glavobolja, jer parking je teret koji ne donosi zaradu”, naglasio je Vaulin. Ukupno je u renoviranju uključeno 350 hiljada stanova, odnosno za 7 godina potrebno je uvesti 140 hiljada parking mesta - a to je 200 parking mesta.

Postoje samo 3 vrste parkinga. Podzemlje - skupo, posebno u Moskvi ili Sankt Peterburgu, gdje cijena 1 parking mjesta doseže 1,5 miliona rubalja. I uzdignuto, u običnom narodu "šta sve" - ​​beton i metal. Cijena betonske konstrukcije je oko 500 miliona rubalja, metalne konstrukcije - 450 miliona rubalja. Međutim, parkiranje uz korištenje metalnih konstrukcija omogućava vam izgradnju parkinga površine 26 kvadratnih metara. m, za razliku od betona - 32 m². m, drugim riječima, na istoj teritoriji koju možete smjestiti velika količina mašine i pri većoj brzini izgradnje. Prema riječima Grigorija Vaulina, danas je to posebno važno u vezi sa uvođenjem escrow računa u stambenu izgradnju. I što prije investitor može izgraditi parking, prije će mu sredstva vlasnika kapitala postati dostupna.

Osim toga, generalni direktor CJSC Ferro-Stroy objavio je da je njegova kompanija pobijedila na tenderu za izgradnju prve ruske metalske škole u Kolomni. Projektovanje će biti završeno do kraja ove godine, a 2020. škola će biti izgrađena i puštena u rad.

Metal i beton su saveznici, a ne rivali
Leonid Zborowski je zauzvrat govorio o kriterijima za odabir konstrukcije od određenog materijala - to ovisi o lokaciji objekta i njegovoj namjeni. Ako je zgrada komercijalna, onda su čelične konstrukcije fleksibilnije u pogledu nepokretnosti. Recimo, u zgradi Svjetskog finansijskog centra u Njujorku od 1989. godine, sa svakom promjenom stanara, kojih već ima 6, rekonstruisali su se spratovi - što se u principu ne može uraditi sa betonskom zgradom. Jačanje podova, otvaranje dodatnih otvora za liftove - ovaj čelik je vrlo popularan za poslovne zgrade.

Kompozitne strukture se danas često koriste. Pod djelovanjem opterećenja vjetrom, visokim zgradama potrebna je krutost armiranog betona, dok je u seizmičkim područjima, naprotiv, potrebna fleksibilnost čeličnih konstrukcija. Na primjer, toranj Eurasia u Moskvi, Šangajski toranj u Kini, kula Kuala Lumpur u Maleziji - ovdje je centralno jezgro napravljeno od betona, sve ostale strukture su napravljene od metala. Osim toga, u slučaju kompozitnih konstrukcija, beton obavlja funkciju zaštite od požara.

Naravno, u konstrukcijama dugih raspona, metal je bolji od armiranog betona. Na primjer, u Skolkovu je izgrađen prelaz dužine 375 m, gdje su glavne konstrukcije napravljene od metala. Takođe, u Skolkovu se projektuje pozorište za Cirque du Soleil - svi podovi će biti metalni - lakše je, manje i jeftinije. A veza između armirano-betonskih podova i čeličnih greda pomoću vijaka omogućava vam da smanjite volumen i potrošnju metala.

Zgrade - postoje standardi - ne!
Početkom 2000-ih u Rusiji nije postojao regulatorni okvir za projektovanje zgrada od metalnih konstrukcija, iako su čelične konstrukcije razvijene i postojali su SNIP-ovi, ali nije bilo zahtjeva pod kojima bi se zgrade mogle efikasno graditi. Stoga je za kulu Naberežnaja, kulu Federacije i kulu Evroazija u gradu Moskvi odlučeno da se stvore vlastiti posebni specifikacije. Za ovu opciju potrebna su odobrenja Ministarstva građevinarstva i institucija, a to odlaže proces projektovanja, pa se mnogi investitori ne usuđuju na čeličnu konstrukciju, uprkos očiglednim prednostima. „Glavni zadatak Rusije je stvaranje dobrog regulatornog okvira. Za visoke čelične zgrade, regulatorni okvir koji već postoji nije prikladan, čini ih skupim”, naglasio je Leonid Zborowski.

Na primjer, zahtijevaju reviziju zahtjeva za ubrzanje gornjih spratova (to je ljuljanje zgrade pod utjecajem vjetra), kada se ljudi osjećaju neugodno prilikom određenog ubrzanja ljuljanja. Rusija ima veoma stroge standarde ubrzanja - 8 milli-g, dok u SAD, Kini, Indoneziji dostiže 15 milli-g. U Rusiji to znači čvršću i skuplju zgradu. A ako se krutost može lakše postići armiranobetonskim konstrukcijama, onda će čelična zgrada koštati više.

Drugo pitanje je zaštita konstrukcija od požara, jer čelične konstrukcije gube teksturna svojstva pod utjecajem vatre, a na 500 stupnjeva dolazi do nepovratnih promjena u svojstvima metala. U Rusiji protivpožarna zaštita čeličnih konstrukcija mora izdržati 4 sata prije nego što čelik dostigne 500 stupnjeva, dok je u SAD 2 sata, a to je zbog toga koliko brzo vatrogasna brigada može doći do požara i ugasiti ga. Ispada da bi u Rusiji vatrootporni premaz trebao biti deblji, a time i skuplji, au Rusiji se najčešće koriste strani materijali.
Leonid Zborowski smatra da će, ako se ovi standardi revidiraju, troškovi čelične konstrukcije biti smanjeni.

Općenito, glavni napori ARSS-a u postavljanju standarda usmjereni su na oblast lakih čeličnih tankozidnih konstrukcija na bazi pocinkovanih valjanih proizvoda debljine do 4 mm, te na sva pitanja koja se odnose na otpornost čeličnih konstrukcija na vatru. Dana 10. septembra predstavljen je niz razvijenih dokumenata, pored toga, nastavlja se razvoj gotovih tehničkih rješenja za poboljšanje otpornosti na požar. Udruženje planira i reviziju dokumenata o zaštiti metala od korozije. Stoga će 2019. godina biti posvećena otklanjanju problema i ograničenja na čeličnim konstrukcijama. Istovremeno, svi razvijeni dokumenti su potvrđeni istraživanjem, na primjer, standardi otpornosti na vatru potvrđeni su testovima ruskog Ministarstva za vanredne situacije.

Udruženje planira kreiranje ARCC standarda kvaliteta kojeg će morati da poštuju sve kompanije uključene u proces od proizvodnje do ugradnje finalnog proizvoda.
Što se tiče budućnosti čelične konstrukcije, Udruženje je vidi i u segmentu niskogradnje montažnih kuća. Na primjer, podružnica kompanije Knauf, Novy Dom LLC, izgradila je vikendicu u Krasnogorsku koristeći metalne konstrukcije. Ekološki je prihvatljiv, prilagođen ruskom jeziku klimatskim uslovima, a što je najvažnije, montiran je za 48 sati, zidovi su u njemu već okrečeni, kuhinja i spavaća soba su postavljene.

U Kini je razvijen čitav niz niskogradnje - montažne su, kompletno tvornički napravljene, konstrukcije su povezane "klikovima", a sve komunikacije su u njih već instalirane u fabrici, zahvaljujući čemu zgrada može biti podignuta za nekoliko sati.

Glavna prednost čeličnih konstrukcija je dostupnost isporuke u udaljene regije, što je učinilo nisku čeličnu konstrukciju popularnom. U Rusiji, na području Vologde, Arkhangelska i drugih regija, već postoji mnogo niskih čeličnih kuća.

Osim toga, očekuje se veliki procvat izgradnje malih urbanih skladišta koja obezbjeđuju logistiku proizvodnje, koja će svakako biti od čelika, jer se glavna potrošnja metalnih konstrukcija uočava u izgradnji fabrika i industrijskih objekata.

Takođe, u bliskoj budućnosti planirana je izgradnja oko 512 objekata izvan Arktičkog kruga ruska vojska, a Ministarstvo odbrane može djelovati kao pokretač inovativnih tehnologija koje će se uspješno primjenjivati ​​u budućnosti.

U Rusiji se čelik sada proizvodi na nivou stranog čelika, jačine do 445 MPa, što pokriva do 100% svih građevinskih radova u zemlji. Naravno, postoje pojedinačni objekti koji zbog vjetra ili seizmičkih opterećenja zahtijevaju čelik veće čvrstoće. Na primjer, strani čelik snage 690 MPa koristi se za stupove Ahmadove kule. Severstal proizvodi čelik marke 390, koji je pogodan za visoke fleksibilne konstrukcije. I danas se od ruskog čelika mogu graditi gotovo sve zgrade do 220 m visine. Ranije Rusija nije imala dovoljan izbor materijala, ali sada se, zahvaljujući EVRAZ-u, razmatra mogućnost promjene odabranih dijelova Ahmadove kule u ruski asortiman.

„Rešenja od čelika ili kompozita su budućnost naše zemlje“, zaključio je događaj Aleksandar Danilov.

Galina Krupen

Za datu vremensku seriju, daleko je od uvijek moguće izabrati adekvatan model za koji postoji niz perturbacija e, će zadovoljiti osnovne preduslove regresione analize. Do sada smo razmatrali modele oblika (6.7), u kojima je varijabla t-"vreme". U ekonometriji se široko koriste i drugi regresijski modeli u kojima su regresori varijable zaostajanja, tj. varijable, čiji uticaj u ekonometrijskom modelu karakteriše izvesno kašnjenje. Još jedna razlika između regresionih modela razmatranih u ovom odjeljku je u tome što su varijable koje objašnjavaju predstavljene u njima količine nasumično.(Pogledajte Poglavlje 8 za više o ovim modelima.)

gdje su p 0 , p,..., p i neke konstante.

Opisuje proces koji se trenutno proučava t u zavisnosti od njegovih vrednosti u prethodnim trenucima /- 1, t- 2,..., t - str.

Ako proces koji se proučava y t u momentu t određen svojim vrijednostima samo u prethodnom periodu t- 1, onda razmotrite autoregresivni model 1 -th red(ili AR model (1) - Markov slučajni proces):

Primjer 6.5. Tabela sadrži podatke koji odražavaju dinamiku cijene dionica određene kompanije (novčane jedinice):

Tabela 6.2

Rješenje. Pokušaj odabira adekvatnog modela oblika (6.7) sa linearnim ili polinomskim trendom za datu vremensku seriju pokazuje se beskorisnim.

Pronađena jednačina regresije je značajna na nivou od 5% prema /'-kriterijumu, budući da je stvarno posmatrana vrijednost statistike F= 24,32 > /o.05; 1; 19 = 4,35. Može se pokazati (na primjer, koristeći Durbin-Watsonov kriterijum) (vidi dolje, § 7.7)) da perturbacije (greške) z f u ovom modelu oni zadovoljavaju uslove klasičnog modela, a metode koje smo već proučavali mogu se koristiti za izradu prognoze.

Proračuni slični primjeru 6.3 daju prognozu bodova prema jednačini (6.13):

i interval na nivou značajnosti od 0,05 za prosječne i pojedinačne vrijednosti -

Dakle, sa pouzdanošću od 0,95, prosečna vrednost cene akcija ove kompanije u ovom trenutku t= 23 će biti u rasponu od 1046,6 do 1341,6 (den. jedinica), a njegova pojedinačna vrednost - od 879,1 do 1509,1 (den. jedinica). ?

Uz modele autoregresivnih vremenskih serija, ekonometrija takođe razmatra modeli pokretnog proseka*, u kojem je simulirana vrijednost data linearnom funkcijom smetnji (greške) u prethodnim vremenima.

Model pokretnog prosjeka q-vo naloga(ili model MA()), ima oblik:

Ekonometrija takođe koristi kombinovane modele vremenskih serija AR I MA.

U zaključku ovog poglavlja napominjemo da je korištenje odgovarajućih autoregresivnih modela za predviđanje ekonomskih pokazatelja, tj. auto prognoza na osnovu razmatranih modela, može biti veoma efikasna (po pravilu, kratkoročno).

Vježbe

Primeri 6.6-6.8 imaju sledeće podatke o prinosu za ozimu pšenicu y,(c/ha) za 10 godina:

• 6.6. Pronađite srednju vrijednost, standardnu ​​devijaciju i koeficijente autokorelacije (za kašnjenja m = 1; 2) vremenske serije.
• 6.7. Pronađite jednadžbu trenda vremenske serije y h uz pretpostavku da je linearan i testirati njegovu značajnost na nivou od 0,05.
• 6.8. Izvršite izravnavanje vremenskih serija y, metoda pokretnog prosjeka, koristeći jednostavnu aritmetičku sredinu sa intervalom izravnavanja: a) t= 3; b) t= 5.
• 6.9. U tabeli su prikazani podaci koji odražavaju dinamiku rasta dohotka po glavi stanovnika y t(den. jedinica) za period od osam godina:

Korištenje autoregresivnih modela - integrirani pokretni prosjek (ARIMA modeli)

Stacionarni modeli vremenskih serija

Važno mjesto u analitičkim studijama zauzimaju modeli stacionarnih vremenskih serija. Ovo se objašnjava činjenicom da se uz pomoć određenih transformacija (uzimanje razlike, izdvajanje trenda itd.) mnoge vremenske serije mogu svesti na stacionarni oblik, osim toga, reziduali dobijeni nakon modeliranja često sadrže statističke zavisnosti koje mogu se opisati pomoću ovih modela.

Postoje koncepti stacionarnost u užem i širem smislu.

Red se zove strogo stacionarni (strogo stacionarni) ili stacionarni u užem smislu ako je zajednička distribucija T zapažanja su ista kao za gp zapažanja, za bilo koje

Iz ove definicije slijedi da svojstva striktno stacionarne vremenske serije ne zavise od porijekla vremena.

Praktične studije se često oslanjaju na koncept slab stacionarni), ili stacionarnost u širem smislu,što je povezano sa zahtjevom da vremenske serije imaju srednju vrijednost, varijansu i kovarijansu koje ne zavise od trenutka u vremenu t

Dakle, autokovarijanca y(t) zavisi samo od vrednosti kašnjenja m, ali ne zavisi od t.

Koncept je blisko povezan sa konceptom autokovarijance autokorelacione funkcije, ACF ( autokorelacione funkcije, ACF). Vrijednosti ACF koeficijenata karakteriziraju stepen statističke povezanosti između nivoa vremenske serije, razdvojenih sa m vremenskih perioda, a određuju se na sljedeći način:

Očigledno je da . Prilikom analize ponašanja autokorelacijske funkcije uzimaju se u obzir samo pozitivne vrijednosti zaostajanja, jer iz uvjeta stacionarnosti slijedi da je .

U praktičnim studijama vrijednosti uzorka koeficijenata autokorelacije se procjenjuju na osnovu dostupnih nivoa vremenske serije:

Gdje P– dužina vremenske serije – vremenski pomak; .

Poziva se graf koji odražava promjenu koeficijenata autokorelacije za različite vrijednosti kašnjenja korelogram (korelograni).

Za stacionarnu vremensku seriju, kako se kašnjenje povećava, vrijednosti koeficijenata autokorelacije trebale bi pokazati brzo monotono smanjenje apsolutne vrijednosti.

Na sl. Slika 8.19 prikazuje primjer autokorelacijske funkcije izračunate za vremensku seriju mjesečne dinamike proizvodnje nafte.

Rice. 8.19.

Preliminarna grafička analiza početne serije pokazala je prisustvo trenda i periodičnosti, što je u skladu sa sl. 8.19. Vrijednosti koeficijenata autokorelacije ne pokazuju brzi pad, što ukazuje na nestacionarnost vremenske serije, dok je skok vidljiv na 12. sezonskom kašnjenju.

Uz ACF, u analizi vremenskih serija ima široku primjenu privatna autokorelacija funkcija. CHAKF (parcijalna autokorelacija funkcija, PACF),čiji koeficijenti mjere korelaciju između nivoa serije razdvojenih sa m vremenskih ciklusa, isključujući utjecaj svih srednjih nivoa na ovaj odnos. U analitičkim paketima moguće je, uz LCF graf, konstruisati i CHLCF graf, koji prikazuje promenu u uzorku procene parcijalnih koeficijenata autokorelacije u zavisnosti od vrednosti kašnjenja. Očigledno je da će se koeficijenti zaostajanja autokorelacije i parcijalne autokorelacije poklopiti, ali s kasnijim kašnjenjima će se pojaviti razlike u njihovim vrijednostima.

Primjer stacionarnosti je bijeli šum), čija se svojstva mogu predstaviti kao

Gdje

Dakle, pri , konstanta disperzije ne zavisi od

Primjer bijelog šuma su reziduali u klasičnom modelu linearne regresije, koji, ako su normalno raspoređeni, formiraju Gausov bijeli šum.

Na sl. Slika 8.20 prikazuje primjer vremenske serije koja odgovara implementaciji Gausovog procesa bijelog šuma. Treba obratiti pažnju na nepravilnu prirodu fluktuacija nivoa ovog vremenskog niza oko nule, kao i na bliskost koeficijenata autokorelacije nuli, što je posledica osobina (8.25).

Analiza prirode ponašanja ACF-a i FACF-a važan je korak u odabiru modela.

U praksi, široko rasprostranjeno autoregresivni modeli I modeli pokretnog proseka koristi se za stacionarne vremenske serije.

Autoregresivni modeli su skraćeni kao AR (R) ili u engleskoj verziji AR(p) (autoregresivni modeli reda p), gdje parametar str specificira redoslijed autoregresije. Općenito, autoregresivni proces poretka R ima oblik

Gdje IN je operator smjene, tj. transformacija vremenske serije, pomeranje za jedan vremenski ciklus; F(V) je operator autoregresije.

Uslov stacionarnosti je zadovoljen ako svi korijeni polinoma F(V) leže izvan jediničnog kruga, drugim riječima, svi korijeni karakteristične jednačine premašuju jedan po apsolutnoj vrijednosti i različiti su.

karakteristična jednadžba ima oblik , ili , dok su njeni korijeni i veći od jedinice u apsolutnoj vrijednosti, dakle, imamo stacionarni proces.

Rice. 8.20. Dinamika simulirane vremenske serije koja odgovara implementaciji Gaussovog procesa bijelog šuma ( a ), i njegova autokorelacija (b)

gdje je numerički koeficijent koji zadovoljava uvjet niza slučajnih varijabli koje formiraju bijeli šum.

Za Markovljev proces (8.26), matematičko očekivanje i varijansa su

Može se pokazati da AR(1) zadovoljava jednakost , dakle, i, dakle, bliskost korelacije između članova niza opada eksponencijalno kako se vrijednost kašnjenja povećava.

U ovom slučaju, je koeficijent autokorelacije prvog reda, jer

Prilikom prilagođavanja modela, korisno je analizirati ponašanje djelomične autokorelacijske funkcije. Vrijednosti FACF-a za proces A/?(1) jednake su nuli za sve kašnjenja. Međutim, ovo svojstvo vrijedi za teorijsku djelomičnu autokorelaciju. Prilikom analize koeficijenata uzorka parcijalne autokorelacijske funkcije treba poći od činjenice da upotreba LD(1) modela nije u suprotnosti s izvornim podacima ako se vrijednosti koeficijenata neznatno razlikuju od nule na .

Ograničavanje vrijednosti koeficijenta a (|a|< 1) определяет условие стационарности для AR( 1).

Primjeri autokorelacijskih funkcija uzorka, sa karakteristikom za AR( 1) ponašanje koeficijenata prikazano je na sl. 8.21, 8.22. Ove brojke jasno pokazuju skokove na nervnom zaostajanju u FACF-u, dok se uočava eksponencijalno opadanje vrijednosti LCF koeficijenata (sa pozitivnom vrijednošću - monotono raspadanje (vidi sliku 8.21), sa negativnom vrijednošću - naizmjenični predznak ( vidi sliku 8.22)).

Opisuje model koji odgovara vrijednosti proces slučajnog hoda. U ovom slučaju, svaka trenutna vrijednost određena je slučajnim odstupanjem od prethodne:

Međutim, kao što je prikazano na sl. 8.23, svojstva procesa slučajnog hoda značajno se razlikuju od AR( 1) at. Proces slučajnog hoda je nestacionaran, što je u skladu sa sporim raspadanjem koeficijenata autokorelacije na Sl. 8.23.

U ekonomskim istraživanjima postoje i tzv Božićni procesi, ili autoregresivni procesi drugog reda - AR( 2):

gdje je bijeli šum.

Za Yule proces možete dobiti izraz koji vam omogućava da izračunate vrijednosti autokorelacije za različite kašnjenja ():

Nakon zamjene vrijednosti u izraz (8.27), uzimajući u obzir činjenicu da , možemo dobiti tzv. Yule-Walker sistem (Yule-Walker zahtjevi) Za AR(2):

Rice. 8.21. Primjer autokorelacijskih funkcija za vremensku seriju generiranu AR modelom( 1) na a = 0,8 (korijen je 1,25):

A - ACF: b - CHAKF

Rice. 8.22.

A - ACF; b - CHAKF

Rice. 8.23. Vremenske serije generirane pomoću modela slučajnog hoda(A), i njegova autokorelacija (b)

Ovaj sistem vam omogućava da izrazite koeficijente modela kroz vrijednosti koeficijenata autokorelacije.

U ovom slučaju, uslovi stacionarnosti procesa AR(2) može se predstaviti u sljedećem obliku:

U općenitom slučaju, za proces, izraz koji vam omogućava da izračunate vrijednosti autokorelacije za različite kašnjenja () imat će oblik

Sekvencijalna zamjena u formuli (8.28) vrijednosti kašnjenja k = 1, 2. .... R vodi do R jednačine Yule-Walkerovog sistema. Ovaj sistem omogućava da se dobiju procjene koeficijenata modela nakon zamjene vrijednosti koeficijenata autokorelacije uzorka u njega.

Dakle, proučavanje ponašanja koeficijenata autokorelacije i parcijalne autokorelacione funkcije značajno pomaže u identifikaciji autoregresivnih modela.

O izvodljivosti korištenja modela AR(p) može ukazivati ​​na vrijednosti LCF koeficijenata, pokazujući eksponencijalno opadanje (bilo monotono ili sa naizmjeničnom promjenom predznaka), dok bi u vrijednostima koeficijenata FACF-a trebali postojati odstupnici (pikovi) na prvim zaostajanjima, i preostale vrijednosti koeficijenata su statistički beznačajne.

Također se široko koriste u modeliranju stacionarnih vremenskih serija modeli pokretnog prosjeka, označeno sa SS(q) ili u engleskoj verziji MA(q) (modeli pokretnog prosjeka). MA(q) model ima oblik

gdje je bijeli šum.

U praksi se najčešće koriste modeli pokretnog prosjeka niskih narudžbi:

Moguće je transformisati relaciju (8.29) za MA(1) u sledeći oblik, sukcesivno izražavajući, itd.:

Izvršena transformacija pokazuje da je serija predstavljena u obliku modela MA( 1) (8.29) se također može predstaviti kao autoregresivni model beskonačnog reda (8.30).

Ako je u modelu MA( 1) parametar θ će biti veći od jedan u apsolutnoj vrijednosti, tada prema izrazu (8.30) trenutna vrijednost y, zavisiće od prošlih nivoa, uzetih sa težinama koje se neograničeno povećavaju kako se vraćate u prošlost. Starenje informacija neće biti uzeto u obzir čak i ako je vrijednost parametra jednaka jedan. Dakle, potreban je uslov da ponderi u izrazu (8.30) formiraju konvergentni niz.

Imajte na umu da je također moguće predstaviti AR (1) u obliku ML(<=°). На коэффициенты процесса AR(str) nisu nametnuti uslovi za reverzibilnost, ali da bi uslov stacionarnosti procesa bio zadovoljen, koreni njegove karakteristične jednačine moraju ležati izvan jediničnog kruga. Istovremeno, za reverzibilnost procesa MA(q) korijene njegove karakteristične jednadžbe

mora ležati izvan jediničnog kruga, u isto vrijeme, nisu nametnuta ograničenja na koeficijente modela da bi se zadovoljio uvjet stacionarnosti.

Može se predstaviti izraz za koeficijente autokorelacije procesa MA(q) as

Ova reprezentacija implicira karakterističnu osobinu ponašanja ACF-a za proces MA(q): za sve vrijednosti kašnjenja τ koje prelaze redoslijed modela q, koeficijenti autokorelacije su nula.

ACF vrijednosti za određeni slučaj - ML(1) model - određuju se na sljedeći način:

Ponašanje FACF-a liči na opadajući eksponent i dato je izrazom

Primjeri autokorelacijskih funkcija uzorka s karakteristikom za MA( 1) ponašanje koeficijenata je prikazano na sl. 8.24, 8.25. Na sl. 8.24 koji odgovara vremenskoj seriji koju generiše model MA( 1) kod vrednosti parametra postoji pozitivan skok u ACF, dok koeficijenti u FACF pokazuju slabljenje sa promenljivim predznakom. Zauzvrat, na sl. 8.25, koji ilustruje prirodu ponašanja ACF-a i FACF-a za implementaciju procesa MA( 1 ) kod vrijednosti parametra dolazi do prekoračenja u ACF u negativnom području, kao i do slabljenja odgovarajućih koeficijenata u CLCF.

Svojstva modela pokretnih proseka omogućavaju nam da formulišemo sledeće praktične preporuke. O izvodljivosti korištenja modela MA(q) može ukazivati ​​na prisustvo odstupanja (vrhova) na početku q zaostaje autokorelacione funkcije, dok funkcija parcijalne autokorelacije mora pokazivati ​​eksponencijalno opadanje (monotonsko ili naizmjenično).

Model se također može koristiti za opisivanje stacionarnih procesa autoregresija – pokretni prosek - ARSS (p, q), ili, kako je uobičajeno u engleskoj verziji, ARMA(str, q) (model autoregresivnog pokretnog prosjeka), koji uključuje i autoregresivne termine i termine koji modeliraju ostatak kao proces pokretnog prosjeka.

Rice. 8.24.

a– LKF: d- CHAKF

Rice. 8.25.

A– ACF; b– CHAKF

Model ARMA(p, q),V koji parametar R određuje red autoregresivne komponente, a q- poredak pokretnih proseka ima oblik

U ovom modelu, prošle vrijednosti same zavisne varijable se smatraju eksplanatornim varijablama, a pokretni prosjeci elemenata bijelog šuma smatraju se rezidualima regresije.

Stacionarnost procesa (8.31) zahtijeva da svi korijeni karakteristične jednadžbe leže izvan jediničnog kruga AR(str) proces. Slično, da bi proces (8.31) bio reverzibilan, potrebno je da svi korijeni karakteristične jednadžbe procesa budu izvan jediničnog kruga MA(q).

Na primjer, najjednostavnija verzija mješovitog modela ARMA( 1, 1) može se predstaviti kao

U ovom slučaju, stacionarnost procesa je osigurana uslovom, a reverzibilnost ispunjenjem ograničenja

Za proces ARMA( 1, 1) vrijednosti koeficijenata autokorelacije određuju se na sljedeći način:

Iz ovih izraza slijedi da će se vrijednosti koeficijenata autokorelacije eksponencijalno smanjivati ​​od vrijednosti!. U slučaju pozitivne vrijednosti koeficijenta a, smanjenje će biti monotono, a kod negativne vrijednosti a smanjenje koeficijenata autokorelacije će biti naizmjenično.

Ponašanje FACF-a također karakterizira eksponencijalno smanjenje, sa pozitivnom vrijednošću Θ - monotono, sa negativnom vrijednošću - naizmjeničnim predznakom.

Razmatrane karakteristike ponašanja ACF i FACF igraju važnu ulogu u izboru modela.