En muchos casos, la previsión en los negocios y la economía utiliza modelos econométricos basados ​​en series de tiempo. Debido a que los datos recopilados durante un período de tiempo tienden a mostrar tendencias, estacionalidad y otros efectos similares, las observaciones para diferentes períodos de tiempo resultan estar relacionadas o, en otras palabras, autocorrelacionadas. Por tanto, para los datos de series temporales, una muestra extraída de una serie de observaciones disponibles no puede considerarse una muestra aleatoria ordinaria. Por lo tanto, si se aplican métodos de regresión estándar a observaciones que se suceden a lo largo del tiempo, pueden surgir ciertos problemas al interpretar los resultados. La construcción de modelos de regresión para estas series temporales debe realizarse con mucho cuidado.

Dónde β 1 , β 2 ,…,β pag - algunas constantes; ε t - Errores aleatorios que forman "ruido blanco":

. (3)

Este (modelo AR(p)) describe el proceso en estudio en este momento. t dependiendo de sus valores en los momentos anteriores t-1, t-2,…, t- pag.

Construcción de un modelo AR(p) de la forma (1), adecuado a la serie de tiempo real yt, implica resolver dos problemas interrelacionados: determinar el orden racional del modelo (valor p) y estimar los valores de sus coeficientes.

Consideremos primero enfoques generales para estimar los parámetros del modelo AR(p).

Sin pérdida de generalidad, asumiremos que la expectativa matemática de la serie yt, es igual a cero, es decir METRO(yt)=0 . De lo contrario, en lugar de una variable yt, en la expresión (1) podemos considerar una variable centrada , donde , pero entonces , lo que prueba nuestra suposición.

La ecuación (1) implica que los parámetros del modelo β 1 , β 2 ,…, β pag se puede expresar en términos de coeficientes de autocorrelación ρ(τ) . Para hacer esto, multiplicamos la ecuación (1) por yt -τ término por término y encuentre la expectativa matemática de cada término resultante:

Sin embargo, sabiendo que, suponiendo que , porque ε t- una variable aleatoria con las propiedades de "ruido blanco", que no tiene correlación con el momento anterior t valores del proceso considerado yt, dividimos las partes izquierda y derecha de la expresión por la varianza del proceso . Entonces toda la expresión se puede reescribir de la siguiente manera:

Sustituyendo en la ecuación resultante en lugar de los valores verdaderos de los coeficientes de autocorrelación ρ τ sus estimaciones muestrales r τ , obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(6)

en el que se conocen las estimaciones de los coeficientes de autocorrelación r 1 , r 2 ,…, rp, e incógnitas: estimaciones de los coeficientes. β 1 , β 2 ,…, β pag Modelos AR(p): b 1 , segundo 2 ,…,pb .

El sistema de ecuaciones lineales (6) se denomina ecuaciones de Yule-Walker y los valores obtenidos en base a él b 1 , segundo 2 ,…,pb- estimaciones de los coeficientes del modelo de autorregresión AR(p) de Yule-Walker. Estas estimaciones se pueden obtener utilizando determinantes o basándose en la notación matricial vectorial del sistema (6).

A partir de los determinantes, las estimaciones de Yule-Walker se obtienen de la siguiente forma:

, (7)

donde Δ es el determinante del sistema (6).

(8)

Δ τ es el determinante obtenido del determinante Δ reemplazando su τ-ésima columna con una columna que consta de coeficientes de autocorrelación que forman el lado izquierdo del sistema (1.6) - r 1 , r 2 ,…, rp.

En la notación matricial vectorial, el sistema (6) se puede reescribir de la siguiente forma:

(9)

Dónde r - vector de columna de estimaciones conocidas de coeficientes de autocorrelación del primero al pag- e inclusivo, r=(r 1 , r 2 ,…, rp)" ; a- vector de columna de estimaciones desconocidas de los parámetros del modelo, a = (a 1, a 2,..., apag)" ; R- matriz compuesta por estimaciones de coeficientes de autocorrelación, cuyo determinante se expresa mediante la fórmula (8).

Se deduce directamente de la expresión (9) que las estimaciones desconocidas de los coeficientes del modelo autorregresivo se definen como

. (10)

Teóricamente, los estimadores de Yule-Walker deberían tener las propiedades de insesgación y eficiencia. Sin embargo, en la práctica, en modelos autorregresivos de orden grande, es posible que estas propiedades no se confirmen. Esto es especialmente cierto para la propiedad de imparcialidad. Al igual que en los modelos con variables dependientes de rezago, el sesgo en las estimaciones de los coeficientes de los modelos autorregresivos puede deberse a la relación existente entre las series desplazadas de la variable considerada. yt -1 , yt -2 y error ε t. Esta posible dependencia generalmente se ignora al construir el sistema de ecuaciones de Yule-Walker, suponiendo que los errores ε t formar ruido blanco.

La ineficiencia de las estimaciones puede deberse a una mala condicionalidad de la matriz. R, que, por regla general, es evidencia de la dependencia ya entre las filas. yt -1 , yt -2 ,…,yt -τ .

Sin embargo, para pedidos pequeños del modelo. (pag =1,2,3) Las estimaciones de Yule-Walker suelen ser bastante "buenas". En un caso extremo, pueden considerarse como una primera aproximación a las estimaciones "óptimas" que pueden obtenerse refinando las estimaciones de Yule-Walker utilizando métodos de estimación más potentes, como los no lineales.

La calidad de las estimaciones de Yule-Walker se puede comprobar examinando las propiedades de la serie de errores. ε t. Si sus propiedades son cercanas a las del "ruido blanco", entonces las estimaciones de Yule-Walker pueden considerarse "suficientemente buenas". Esto, en particular, puede evidenciarse mediante el criterio de Durbin-Watson, cuyo valor debería estar aproximadamente en el rango de 1 a 3.

Es fácil ver que el sistema Yule-Walker en este caso se reduce a una única ecuación que determina directamente la estimación. b 1 coeficiente β 1 :

1 =r1. (12)

Dado que ε t Y yt independiente

Desde el proceso yt - estacionario, entonces . Así, suponiendo que , tenemos

(14)

, (15)

de donde se sigue que

. (16)

De la igualdad obtenida, teniendo en cuenta que la dispersión es un valor positivo, obtenemos la condición de estacionariedad. - | r 1 |<1 .

Por lo tanto, en | r 1 |>1 la serie resulta no estacionaria.

Encuentra la función de autocorrelación del proceso. yt. Multiplicando (11) por yt -1 y considerando una vez más la independencia ε t Y yt, encontrar

de donde el coeficiente de correlación

(18)

es decir, coeficiente de autorregresión r 1 es el coeficiente de correlación entre perturbaciones vecinas yt Y yt -1 , o coeficiente de autocorrelación ρ 1 .

El sistema de ecuaciones de Yule-Walker en este caso consta de dos ecuaciones:

(20)

expresando a 1 Y un 2 a través de coeficientes de autocorrelación r 1 Y r 2 , obtenemos

(21)

Sin embargo, el sistema de ecuaciones (20) se puede resolver con respecto a r 1 Y r 2

(22)

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación (19) por yt, tomar la expectativa matemática de cada término, teniendo en cuenta el hecho de que en el término METRO(yt , ε t) Nosotros yt reemplazar con el modelo en sí, y sabiendo que METRO(yt, yt -τ )= cov(yt, yt -τ )= r τ D(yt -τ )= r τ σ y 2 , obtenemos:

De esta expresión, se puede obtener fácilmente la relación entre las varianzas del proceso original. yt y error de modelo ε t:

. (24)

De la igualdad obtenida, teniendo en cuenta que la dispersión es un valor positivo, obtenemos las condiciones necesarias y suficientes para la estacionariedad:

(25)

o puede reescribirse como

(26)

La empresa X se especializa en administrar una cartera de valores. Consideremos la tarea de desarrollar una metodología más precisa para pronosticar el índice Dow Jones (índice de tráfico), utilizando la metodología Box-Jenkins. La Tabla 1 presenta los últimos 65 valores promedio diarios del índice de cierre para los meses de verano.

Tabla 1 Promedios diarios de cierre del índice de tráfico

Comencemos el análisis considerando el gráfico de los datos iniciales presentado en la fig. 1. Se observa claramente una tendencia ascendente en la serie. El siguiente paso para definir un modelo de prueba es considerar la función de autocorrelación de la muestra de los datos que se muestran en la Figura 1. 2. Cabe señalar que los primeros coeficientes de autocorrelación tienen constantemente gran importancia y tienden a cero muy lentamente. Por tanto, las conclusiones iniciales sobre la presencia de una tendencia eran correctas, y que la serie temporal original no es estacionaria, es decir No se puede considerar que sus valores cambien en relación con algún nivel fijo.

Figura 1 - Gráfico de los valores del promedio final diario Dow Jones de transporte

Figura 2: Ejemplo de función de autocorrelación para el índice de tráfico

Calculemos las diferencias de datos para ver si esto nos permitirá eliminar la tendencia y obtener una serie estacionaria. Todos los cambios en los datos de diferencia ocurren cerca de un cierto nivel fijo. Resultó que la media muestral de las diferencias es 1,035. En las Figs. 2 se muestran ejemplos de autocorrelaciones para diferencias. 3, y muestra de autocorrelaciones parciales - en la fig. 4.

Figura 3 - Ejemplo de función de autocorrelación para las primeras diferencias del índice de tráfico

Figura 4 - Ejemplo de función de autocorrelación parcial para las primeras diferencias del índice de tráfico

Obtenemos resultados muy contradictorios. Una comparación de los coeficientes de autocorrelación con su error marginal mostró que sólo la autocorrelación en el primer intervalo de tiempo fue significativa. De manera similar, para los coeficientes de autocorrelación parcial, solo fue significativo el intervalo 1. Los coeficientes de autocorrelación se cortaron después del primer intervalo, lo que indica un comportamiento característico del modelo MA(1). Y al mismo tiempo, los coeficientes de autocorrelación parcial también se cortaron después del mismo intervalo, lo que indica un comportamiento que ya es característico del modelo AR(1).

Ambas muestras no muestran una disminución suave en los valores de los coeficientes. Apliquemos ambos modelos al índice de tráfico: ARIMA(1,1,0) y ARIMA(0,1,1). Además, incluimos un término constante en cada modelo para tener en cuenta el hecho de que los cambios en la serie de diferencias aparecen en las proximidades de un nivel superior a cero. Si el índice de transporte se denota como y t, entonces la serie de diferencias será Δy t = y t - y t -1 y el modelo construido tendrá la siguiente forma:

ARIMA(1,1,0): Δy t = φ 0 + φ 1 Δy t -1 + ε t

ARIMA(0,1,1): ∆y t = ϻ + ε t - ω 1 ε t -1.

Ambos modelos describen los datos igualmente bien. RMS residual (EM) será así.

ARMA (1,1,0): s 2 = 3,536,

ARIMA(0,1,1):s 2 = 3,538.

También cabe señalar que la constante estimada en el modelo ARIMA(0,1,1) es ϻ =1,038 , es decir. es en realidad igual a la media muestral de las diferencias.

En la fig. 6, se puede ver que no existen coeficientes de autocorrelación residuales significativos para el modelo ARIMA(1,1,0). Aunque la función de autocorrelación residual para el modelo ARIMA(0,1,1) no se muestra aquí, el resultado es el mismo.

Q m - Estadísticas de Lewing-Box calculadas para grupos de intervalos t = 12, 24, 36 y 48 no es significativo, como lo indica un valor grande R para ambos modelos. Por tanto, podemos concluir que ambos modelos son adecuados. Además, las previsiones para un período próximo hechas por estos dos modelos son casi las mismas.

Figura 6 - Autocorrelaciones residuales; Modelo ARIMA(1,1,0) que describe el índice de tráfico

Para resolver el dilema que ha surgido, preferimos el modelo ARIMA(1,1,0), debido a su ligera ventaja en precisión. Los resultados de probar este modelo para el período 66 serán los siguientes:

y t - y t -1 = φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

y t \u003d y t -1 + φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

de modo que en φ 0 = 0,741 y φ 1 = 0,284 la ecuación de pronóstico tomará la siguiente forma:

ŷ 66 = y 65 + 0741 + 0,284 (y 65 - y 64) = 288, 57 + 0,741 + 0,284 (288,57-286,33) = 289,947

El intervalo calculado para predecir el valor real para un período de 66 es (286,3; 293,6).

4. Modelo de media móvil (MA)

En los modelos de media móvil, el valor actual de un proceso aleatorio estacionario de segundo orden yt, se representa como una combinación lineal de los valores de error actuales y pasados. ε t, ε t -1 ,.., ε t - q, correspondiente al "ruido blanco" en sus propiedades. Tal representación se puede expresar siguiente ecuación(modelo de orden de media móvil q- MA(q)):

Dónde γ 1 , γ 2 ,…, γ q - parámetros del modelo.

Según la definición de error de "ruido blanco" ε t, se caracteriza por las siguientes propiedades:

METRO(ε t)=0 (28)

. (29)

Como resultado, la función de autocorrelación del "ruido blanco" tiene una forma muy simple:

. (30)

Dadas las propiedades del error. ε t, es fácil construir la función de autocorrelación del modelo MA(q). Su coeficiente de covarianza q- El orden se define de la siguiente manera:

En τ=0 la expresión (31) es la varianza del proceso yt, que, debido a las propiedades (28) y (29), se expresa en términos de los coeficientes del modelo MA(q): γ 1 , γ 2 ,…, γ q; y variación de error de la siguiente manera:

Por un arbitrario τ de (32) obtenemos que el coeficiente de covarianza está determinado por la expresión

(33)

La función de autocorrelación del modelo MA(q) se obtiene directamente de (7):

(34)

Sistema de q las ecuaciones (8), pueden servir como base para obtener estimaciones gramo 1 , gramo 2 ,…, g q parámetros desconocidos del modelo MA(q) - γ 1 , γ 2 ,…, γ q. Para hacer esto, es necesario sustituir en cada una de sus ecuaciones los valores de los coeficientes de autocorrelación. ρ τ el proceso bajo consideración yt sus puntuaciones calculadas r τ .

Sin embargo, a diferencia de las ecuaciones de Yule-Walker, este sistema es no lineal y su solución requiere el uso de procedimientos de cálculo iterativos especiales, con la excepción del modelo MA(1) más simple.

Modelo de media móvil (MA) de primer orden

Está representado por la siguiente expresión:

t= ε t - γ 1 ε t -1 . (35)

De (34) se deduce que las dispersiones del proceso y los errores de este modelo están relacionados por la siguiente relación:

. (36)

Su único primer coeficiente de autocorrelación distinto de cero se expresa en términos del coeficiente del modelo como

. (37)

De la relación (37) es fácil obtener una ecuación cuadrática con respecto a la estimación gramo 1 parámetro desconocido γ 1

, (38)

Dónde r 1 - estimación del coeficiente de autocorrelación de primer orden, es decir ρ 1 .

A su vez, de (38) se deduce que existen dos soluciones a esta ecuación, interconectadas por la siguiente relación:

. (39)

La condición de estacionariedad del proceso se satisface únicamente con la solución. gramo 1 , que es menor que uno en valor absoluto:

(40)

siempre que

. (41)

De (41) se deduce que los modelos de media móvil de primer orden sólo pueden usarse para describir procesos con una función de autocorrelación que termina después del primer retraso y un coeficiente de autocorrelación que no excede 0,5 en valor absoluto.

En conclusión, presentamos los principales resultados del modelo de media móvil de segundo orden - MA(2).

Modelo de media móvil de segundo orden MA(2)

El modelo de media móvil de segundo orden MA(2) se escribe en forma general de la siguiente manera:

t= ε t - γ 1 ε t -1 - γ 2 ε t -2. (42)

De (39) se sigue directamente que las dispersiones del proceso y los errores están relacionados por la siguiente relación:

Su función de autocorrelación está determinada por los valores de los coeficientes de autocorrelación asociados con los parámetros del modelo mediante las siguientes relaciones

(44)

A partir de estas relaciones, se pueden encontrar estimaciones de los coeficientes del modelo. gramo 1 Y gramo 2 con estimaciones conocidas de los coeficientes de autocorrelación r 1 Y r 2 .

Dónde β 1 , β 2 ,…, β pag ,γ 1 , γ 2 ,…, γ q - coeficientes del modelo; R - orden de autorregresión; q - orden de media móvil.

Tenga en cuenta que el modelo (45) se puede transformar en un modelo autorregresivo AR(p)

donde esta el error ξ t, satisface las propiedades del proceso de orden de media móvil q, o en un modelo de media móvil - MA(q): expresando variables yt -τ , a través de combinaciones lineales de errores

y una mayor reducción de miembros similares después de abrir los paréntesis.

Para estas modificaciones del modelo (45), consideremos las propiedades de su función de autocorrelación y posibles enfoques para estimar sus parámetros. Tenga en cuenta que para cambios que exceden el orden de la media móvil q, es decir. en τ> q, los coeficientes de autocovarianza del modelo ARMA(p,q) definido por la expresión (45) no dependen de los errores del modelo. En efecto,

Si τ> q, entonces, debido a las propiedades del "ruido blanco", todas las expectativas matemáticas de los productos de errores ε t Y ε t -τ- j, j< q resulta ser igual a cero, es decir

METRO(ε t - j , ε t - τ - j)=0, τ= q+1, q+2,…; j=1,…, q.

En este caso, es decir en τ> q, los valores de los coeficientes de autocovarianza del modelo ARMA(p,q) satisfacen las propiedades de estos coeficientes características del modelo autorregresivo R- orden AR(p):

La expresión (49) implica directamente que valores desconocidos coeficientes β 1 , β 2 ,…, β pag en este caso se puede estimar a partir de la modificación del sistema de ecuaciones de Yule-Walker, que en este caso tiene la siguiente forma:

(50)

Usando los valores de las estimaciones de coeficientes encontrados en el sistema (50) β 1 , β 2 ,…, β pag Con base en la expresión (46), formaremos un proceso de media móvil. q- ésimo orden - MA(q):

Dónde tu t es el error real, que es una estimación del error ξ t. Valores de error tu t, obtenido mediante sustitución en la expresión (46) en lugar de parámetros desconocidos β 1 , β 2 ,…, β pag sus calificaciones b 1 , b 2 ,…, pb determinado a partir del sistema (50). y t - el error real cuyo valor se utiliza en lugar del error verdadero ε t, al evaluar los coeficientes de la media móvil. Para determinar las calificaciones gramo 1 , gramo 2 ,…, g q Para los coeficientes de media móvil se utilizan métodos de estimación no lineales, que implican resolver un sistema de ecuaciones no lineales del tipo (48).

Consideremos la modificación más "popular" de los modelos de media móvil autorregresiva ARMA(1,1). Este modelo, ampliamente utilizado en la práctica de la investigación econométrica, puede expresarse mediante la siguiente fórmula:

yt= β 1 yt -1 + ε t- γ 1 ε t -1 . (52)

Para determinar la varianza de este modelo, multiplicamos las partes izquierda y derecha de la expresión (52) bajo el signo de expectativa matemática por yt. Como resultado, obtenemos

Al derivar la expresión (53), se tuvo en cuenta que METRO(yt, ε t)= METRO(β 1 yt -1 + ε t - γ 1 ε t -1 )=σ 0 2 debido a las propiedades del proceso de "ruido blanco" ε t.

porque el .

De manera similar, obtenemos el primer coeficiente de autocovarianza del proceso. yt, multiplicando las partes izquierda y derecha de la ecuación (52) bajo el signo de expectativa por yt -1 . Teniendo en cuenta el hecho de que yt -1 = β 1 yt -2 + ε t -1 - γ 1 ε t -2 y debido a las propiedades del "ruido blanco" ε t entendemos eso

De las expresiones (53)-(55) se deduce directamente que la dispersión del proceso yt, descrito por el modelo ARMA(1,1), su primer coeficiente de autocovarianza y la varianza del error ε t, están relacionados por las siguientes relaciones:

(56)

y los coeficientes de autocovarianza de órdenes superiores (como se desprende de las expresiones (45) y (46)) - por relaciones de la forma:

De la relación (54) es fácil obtener una expresión que determina el valor del primer coeficiente de autocorrelación del proceso ARMA(1,1):

. (58)

Los valores de los coeficientes de autocorrelación de órdenes superiores están relacionados por una relación similar a (13) ρ τ = β 1 ρ τ-1 , τ≥2.

Así, los valores de los coeficientes de autocorrelación del modelo ARMA(1,1) obedecen a la ley exponencial.

, (59)

Dónde .

En realidad, es posible que los procesos en estudio no tengan la propiedad de estacionariedad; luego, con la ayuda de transformaciones bastante simples, la serie observada se puede reducir a un proceso estacionario.

Una de esas formas de transformación es tomar diferencias finitas

¿Dónde está la primera diferencia? Es aconsejable utilizar esta transformación cuando la ley de cambio en y sea cercana a lineal.

¿Dónde está la segunda diferencia? La transformación se aplica cuando la ley del cambio. yt, está cerca de una dependencia cuadrática.

Es posible aplicar el modelo autorregresivo y de media móvil a las series anteriores, pero el proceso de construcción del modelo no puede considerarse completo en este momento. Para completarlo, es necesario continuar el proceso de construcción de un modelo del proceso original realizando transformaciones inversas, pasando de los valores transformados. x t, a los valores originales yt.

deja que el proceso x t, corresponde al modelo de media móvil autorregresiva. Escribimos la transformación usando el operador de turnos. EN por un numero x t.

Obtenemos en consecuencia

, (62)

¿Dónde están los polinomios de grado? pag Y q respectivamente del operador de turno utilizado para obtener la notación equivalente para el modelo ARMA(p,q).

Tenga en cuenta que la transformación (62) no afecta el error. ε t. Considere el procedimiento descrito utilizando el modelo ARMA(1,1) como ejemplo.

, (67)

lo que equivale a escribir

. (68)

Combinando estas dos ecuaciones en una, obtenemos un modelo con respecto a la serie temporal original. yt en la siguiente forma:

(69)

Tenga en cuenta que la transformación (61) con la ayuda del operador B se escribe de la siguiente forma:

. (70)

En este caso, para un modelo ARMA(p, q) arbitrario, obtenemos

En particular, para el modelo ARMA(1,1) creado para la serie z t, expresión (71) para el proceso inicial yt toma la siguiente forma:

. (72)

En el caso de traer la serie original y t , t=1,2,…,T al estacionario usando la diferencia d-ésima, su modelo resultante viene dado por:

En estudios prácticos, al realizar convertidores inversos, en lugar de parámetros β Y γ , en las expresiones correspondientes para los modelos de la serie temporal original yt, es necesario sustituir los valores de sus estimaciones. a Y b obtenidos para modelos del proceso estacionario transformado yt.

Así, de las expresiones (67) y (70) se deduce que el uso de la serie temporal inicial para la transformación yt en un proceso estacionario x t , t=1,2,…,T, el operador de diferencias no conduce a un cambio en el tipo de modelo que describe el proceso yt. Al igual que el modelo ARMA(p,q) que describe el proceso estacionario xt, es de forma lineal.

Prestemos también atención a la necesidad de analizar las propiedades y evaluar las principales características del error inicial, es decir, modelo restaurado. Esto debería hacerse, entre otras cosas, para justificar la evaluación de la calidad del propio modelo. Para algunas transformaciones, sus valores de varianza del error real se pueden determinar a partir de los valores correspondientes de la varianza del error rms del modelo transformado, utilizando las propiedades de las varianzas de dependencias lineales, logarítmicas y otras correspondientes al transformación. En este sentido, observamos que una serie de valores del error real del modelo se determina en este caso después de la formación de la ecuación principal del modelo y el cálculo de los valores basados ​​en ella. Además, las propiedades del error real se pueden determinar mediante pruebas especiales.

9. Identificación del modelo ARMA

Del material considerado se desprende que un proceso estacionario real arbitrario de segundo orden puede expresarse mediante diferentes versiones de modelos de series temporales. Para mostrar esto, escribamos, por ejemplo, el modelo AR(1) en una forma más compacta usando el operador de desplazamiento hacia atrás B. Su efecto sobre cualquier variable dependiente del tiempo está determinado por las siguientes relaciones:

Teniendo en cuenta (1), el modelo AR(1) se puede representar en siguiente formulario registros:

. (75)

Porque el |β 1 |<1 , entonces es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente

(76)

Teniendo en cuenta (2), escribimos el modelo (3) de la siguiente forma:

donde en este caso.

De la expresión (74) se deduce que el modelo autorregresivo de primer orden es equivalente al modelo de media móvil de orden infinito. De manera similar, se puede mostrar la relación inversa entre los órdenes de estos modelos. Así, para el modelo MA(1), tenemos

. (78)

Porque el |γ 1 |<1 (de la condición de estacionariedad del proceso yt), entonces de la expresión (75) obtenemos

(79)

En este caso son los coeficientes del modelo autorregresivo de orden infinito.

, (80)

donde el polinomio de qésimo grado es el resultado de dividir uno por el polinomio de qésimo grado.

De las relaciones consideradas se desprende una conclusión importante: en la práctica, es posible elegir un modelo con un número mínimo de parámetros que describa la serie temporal. yt, que es un proceso estacionario, no es "peor" que otras variantes de modelos con una gran cantidad de parámetros. Habitualmente el concepto de “no peor” se asocia con la varianza mínima del modelo y la ausencia de autocorrelación en la serie de sus errores.

El valor práctico de esta conclusión es el siguiente. Al construir modelos de series de tiempo, uno debe esforzarse por minimizar el número de sus parámetros y, en consecuencia, el orden del modelo en sí. La cuestión es que los parámetros de dichos modelos se estiman sobre la base de los coeficientes de autocorrelación del proceso inicial. yt. Con un aumento en el orden del modelo, para determinar los valores de sus parámetros, es necesario utilizar una mayor cantidad de coeficientes de autocorrelación muestrales (con números grandes) como datos iniciales. La precisión de su estimación disminuye a medida que aumenta el cambio, y sus valores absolutos tienden a cero o caen en la región de mayor incertidumbre. Debido a esto, la confiabilidad de las estimaciones de coeficientes para los modelos de series temporales de alto orden disminuye, al igual que la calidad de los propios modelos. Todo ello nos hace buscar modelos de series temporales con un mínimo de parámetros para describir procesos reales.

El proceso de elegir el modelo que mejor se ajuste al proceso real bajo consideración se llama identificación del modelo. En nuestro caso, la identificación consiste en determinar la forma general de un modelo de la clase de modelos ARMA(p,q), que se caracteriza por el menor número de parámetros en comparación con otras opciones posibles, sin pérdida de precisión en la descripción de el proceso original.

En términos generales, la identificación es un procedimiento bastante aproximado (secuencia de procedimientos), cuyo propósito es determinar un cierto rango de valores aceptables de las características de orden p y q del modelo ARMA(p,q), que en el curso de futuras investigaciones deberían reducirse a sus valores específicos.

Habitualmente, en esta parte, la identificación va acompañada de procedimientos para estimar los parámetros de modelos alternativos y elegir el mejor en función del uso de criterios de calidad.

Así, en el caso general, la formación de un modelo que sea más adecuado para describir el proceso real, por así decirlo, consta de tres etapas que se cruzan y se complementan: identificación, evaluación y diagnóstico (coordinación del modelo con los datos iniciales para para identificar sus carencias y su posterior mejora)

La idea general de la identificación del modelo ARMA (p, q) es que las propiedades del proceso real y las propiedades del mejor modelo deben estar cercanas entre sí.

Esta cercanía, como se mostró anteriormente, se determina casi en su totalidad comparando el comportamiento de sus funciones de autocorrelación: teórica - para el modelo y empírica - para el proceso real, cuyos coeficientes de autocorrelación muestral se estimaron sobre la base de los datos observados. Dado que los coeficientes de autocorrelación muestral pueden caracterizarse por errores bastante grandes y, además, por fuertes relaciones de correlación entre sí, en la práctica no se debe esperar una similitud exacta entre las funciones de autocorrelación "teórica" ​​y "empírica", especialmente para grandes cambios. Por ejemplo, debido a la relación estadística entre los coeficientes de autocorrelación de un proceso, también pueden ocurrir niveles relativamente significativos de coeficientes de autocorrelación de muestra (ráfagas) en regiones de corte donde sus contrapartes teóricas son cercanas a cero. Por lo tanto, al comparar funciones de autocorrelación teóricas y muestrales, generalmente solo se tienen en cuenta sus propiedades principales. Es su coincidencia la que permite reducir significativamente la gama de variantes de modelos aceptables para describir el proceso real. La elección final a favor de uno de ellos suele realizarse en función de los resultados de las etapas de evaluación y diagnóstico de los modelos.

Observemos las propiedades más características de las funciones de autocorrelación de los modelos ARMA(p,q) típicos.

La función de autocorrelación del modelo de autorregresión de primer orden - AR(1) cae estrictamente exponencialmente (más precisamente, esta conclusión es cierta para los valores absolutos de los coeficientes de autocorrelación). La suave disminución de los coeficientes de autocorrelación también es característica de los modelos de autorregresión de orden superior. En un caso, la caída se produce un poco más rápido que estrictamente exponencial, o un poco más lento, y en el otro, según un patrón correspondiente a una sinusoide amortiguada.

La llamada función de autocorrelación parcial contiene información extremadamente importante sobre el orden del modelo autorregresivo.

Para el proceso descrito por el modelo AP(p), sus valores son los últimos valores de los coeficientes de los modelos autorregresivos de órdenes que no exceden p, es decir modelos con pedidos τ=1,2,…, p. Denotemos los valores de la función de autocorrelación parcial del modelo AR(p) como π p1, π p2,…, π páginas. Entonces para el modelo AP(p) el valor π p1 es igual ρ 1 y en la práctica se define como una estimación del coeficiente β 1 Modelo AR(1) por la fórmula:

(81)

donde valor (ver expresión (21)) - como el coeficiente del modelo AR(2). En la práctica, el valor π p2, por tanto, está determinado por la fórmula:

. (82)

y la estimación de cualquier coeficiente se define como la estimación del coeficiente β τ , modela AR(τ) mediante la fórmula:

(83)

Se puede demostrar que para el modelo AP(p), los valores de la función de autocorrelación parcial son significativos (distintos de cero) hasta el retraso k inclusive, es decir π p1>0, i≤p e igual a cero para cambios que exceden el orden del modelo, es decir π p1=0, i>p. En la práctica, este resultado debe entenderse en un "sentido estadístico", ya que las estimaciones de los valores de los coeficientes de la función de autocorrelación parcial se determinan sobre la base de valores muestrales de los coeficientes de autocorrelación y, por lo tanto, son en sí mismos aleatorios. variables caracterizadas por un cierto error. Para estimaciones de coeficientes de funciones de autocorrelación parcial cuyo orden es mayor que el orden del modelo, la varianza del error se puede aproximar mediante la siguiente fórmula:

, (84)

Dónde yo>p; t- el volumen de la serie dinámica del indicador yt.

Así, el comportamiento de la función de autocorrelación parcial de los modelos autorregresivos es similar al comportamiento de las funciones de autocorrelación de los modelos de media móvil. Para el modelo AR(p), su función de autocorrelación parcial "se corta" después del retraso p, como sería el caso de la función de autocorrelación del modelo MA(q). Esta propiedad de la función de autocorrelación parcial es útil para identificar modelos autorregresivos. Si los valores de dicha función, calculados para un proceso real, se rompen (se vuelven cero) a partir del desplazamiento p + 1, esto indica que el modelo autorregresivo de orden p corresponde a las propiedades del proceso considerado.

Como se desprende de la expresión (34), la función de autocorrelación teórica del modelo MA(q) termina después de un retraso q. Por tanto, si la función de autocorrelación de un proceso real tiene propiedades similares, esto indica que es aconsejable utilizar un modelo de media móvil del orden correspondiente para describirlo. En otras palabras, si el proceso yt, sólo el primer coeficiente de autocorrelación resultó significativo r1 y al mismo tiempo, de acuerdo con la expresión (41) r1<0,5, то данный факт указывает на целесообразность выбора для его описания модели MA(1). Если «обрыв» имеет место после второго сдвига - то модель MA(2) и т.д.

De la misma manera que para los modelos autorregresivos, se pueden construir funciones de autocorrelación parcial para modelos de media móvil de cualquier orden. Se utilizan las expresiones (81)-(83) para estimar sus coeficientes. Al mismo tiempo, teniendo en cuenta que para el modelo MA(1), el primer coeficiente de autocorrelación ρ 1 y parámetro del modelo γ 1 relacionado por la relación , entonces para τ=2, 3,..., teniendo en cuenta que ρ 2 = ρ 3 =…=0, Se puede demostrar que los valores de los coeficientes de autocorrelación parcial de este modelo están determinados por la siguiente fórmula:

De (11) se sigue inmediatamente que

de donde se deduce que la función de autocorrelación parcial del modelo MA(1) (es decir, los valores absolutos de sus coeficientes de autocorrelación parcial) decae según una ley cercana a la exponencial. En otras palabras, su comportamiento es similar a la función de autocorrelación del modelo AR(1).

Se puede demostrar que una correspondencia similar de propiedades es característica de la función de autocorrelación parcial del modelo MA(2) y de la función de autocorrelación del modelo AR(2). Son dependencias de tipo exponencial que disminuyen suavemente al aumentar el desplazamiento o sinusoides amortiguadas. Esta correspondencia entre la autocorrelación y funciones de autocorrelación particulares también es típica de los modelos autorregresivos y de media móvil de órdenes superiores.

Para los modelos ARMA(p,q), el comportamiento de la función de autocorrelación después del retraso q es similar al comportamiento de la función de autocorrelación del modelo AR(p). Sin embargo, en la práctica, se suele utilizar el modelo ARMA(1,1), es decir Sólo primer orden. Como se muestra arriba (ver expresiones (75)-(80)), esto se debe a que el componente del modelo relacionado con la autorregresión de primer orden absorbe todos los procesos de la media móvil de órdenes superiores y, a la inversa, el El componente de la media móvil de primer orden absorbe procesos autorregresivos de alto orden. Como resultado, el comportamiento de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial del modelo ARMA(1,1) se caracteriza, por así decirlo, por una combinación de las propiedades de estas funciones que tuvieron lugar para los modelos AR(1) y MA( 1) modelos.

En otras palabras, el componente AR(1) contribuye al hecho de que la función de autocorrelación del modelo ARMA(1,1) (los valores absolutos de los coeficientes de autocorrelación) decae exponencialmente, pero después del primer retraso (el primer cambio ). Esto se deduce directamente de las expresiones (36) y (38). A su vez, el componente MA(1) determina los patrones de comportamiento de la función de autocorrelación parcial del modelo ARMA(1,1), que también decae aproximadamente exponencialmente de acuerdo con las expresiones (85) y (86).

Los enfoques de identificación considerados se basan en una comparación de las propiedades de la autocorrelación muestral y las funciones de autocorrelación parcial de un proceso estacionario real y el modelo que se supone que lo describe. En la práctica, la coincidencia ideal de las propiedades de estas funciones no se encuentra a menudo, ya que los procesos reales generalmente no se corresponden demasiado con sus homólogos teóricos, los modelos, y las estimaciones de sus coeficientes de autocorrelación se caracterizan por la presencia de errores. Como resultado, el procedimiento de identificación sirve para justificar la elección de algún modelo de prueba del grupo general de modelos del tipo ARMA(p,q), que es. Como punto de partida en el camino hacia la construcción de un análogo (modelo) teórico "óptimo" del proceso en consideración basado en el uso de procedimientos y métodos de diagnóstico más precisos para estimar los parámetros del modelo.

Generalmente, mediante procedimientos de diagnóstico, se examinan las propiedades del error del modelo real. y t, lo que a menudo se denomina error residual. En este caso, es recomendable guiarse por la siguiente lógica de análisis de series temporales y t, cuyos valores se definen como la diferencia entre los valores reales y calculados del proceso en el momento t, es decir , donde se calculan los valores del proceso según el modelo correspondiente.

Para un modelo "exitoso", podemos esperar que la serie de errores e t , t=1,2,…,T en sus propiedades será bastante cercano al "ruido blanco", un proceso aleatorio caracterizado por la ausencia total de patrones en sus valores, con la excepción de la conocida ley de su distribución, que generalmente se supone que es normal. Para nuestro caso, esto significa que la expectativa matemática del error real debe ser igual a cero ( M(et)=0), y la dispersión es constante en cualquier área de su medición ( ) y entre filas y t , y t-1 , y t-2 ,... no existe dependencia de la autocorrelación, es decir el primer coeficiente de autocorrelación muestral y los siguientes de la serie e t , t=1,2,…,T cerca de cero.

En otras palabras, el error real del modelo y t, debe ser "tan aleatorio" que no pueda ser refinado por ningún otro modelo.

Además, como se muestra arriba, es deseable que la varianza del error sea significativamente menor que la varianza del proceso. En este caso, el modelo que describe el proceso. yt De alguna manera elimina una parte importante de la incertidumbre en su variabilidad, lo que permite predecir sus valores con mayor validez.

Presencia de cualquier patrón en la serie de errores. y t, indica que el modelo construido es inadecuado para el proceso bajo consideración yt. Las razones de esta insuficiencia pueden ser errores en las estimaciones de los parámetros o la llamada incertidumbre del modelo. Ejemplos de tal incertidumbre son el uso del modelo AR(1) en lugar del modelo ARMA(1,1) adecuado para el proceso. En este caso, el error del modelo AR(1) caracterizado por las propiedades del modelo MA(1). Esto estará indicado por su primer coeficiente de autocorrelación distinto de cero.

Tenga en cuenta que incluso los valores de los parámetros determinados incorrectamente dan lugar a la aparición de "no aleatoriedad" en la serie de errores reales.

Como resultado, en la práctica, es inequívoco indicar cualquier forma de refinar el modelo basándose en un análisis de las propiedades del error. y t, propiedades distintas al "ruido blanco" normalmente no es posible. En tal situación, se puede recomendar refinar primero los valores de los parámetros del modelo utilizando procedimientos más eficientes para su estimación y luego, si resulta necesario, redefinir el modelo.

Para ello, se pueden utilizar otros métodos de estimación más precisos (por ejemplo, no lineales), en los que las estimaciones encontradas se utilizan como aproximaciones iniciales a los valores "óptimos" de los parámetros del ARMA(p,q) modelo.

Del razonamiento anterior se desprende que el diagnóstico de un modelo se reduce al estudio de las propiedades de su error para identificar el grado de correspondencia de sus propiedades con las propiedades del "ruido blanco". Estos estudios, en el caso de un modelo de procesos estacionarios, suelen reducirse a comprobar la importancia de los coeficientes de autocorrelación del error real. y t .

Para probar la hipótesis sobre la correspondencia de las propiedades del error del modelo con las propiedades del ruido blanco, procedimientos para probar hipótesis sobre la constancia e igualdad a cero de su expectativa matemática, la constancia de la varianza y la igualdad de sus coeficientes de autocorrelación. a cero se puede utilizar.

El enfoque de Box-Jenkins para el análisis de series de tiempo es una herramienta muy poderosa para realizar pronósticos precisos a corto plazo. Los modelos ARIMA son bastante flexibles y pueden describir una amplia gama de características de series temporales que se encuentran en la práctica. El procedimiento formal para comprobar la adecuación del modelo es sencillo y accesible. Además, las predicciones y los intervalos de predicción se derivan directamente del modelo ajustado.

Sin embargo, el uso de modelos ARIMA también tiene varias desventajas.

1. Se requiere una cantidad relativamente grande de datos iniciales. Debe entenderse que si los datos son periódicos con, digamos, un período estacional de 5=12, entonces las observaciones de un año completo serán en realidad un valor de datos estacionales (una mirada a la estructura estacional), y no doce valores. En términos generales, cuando se utiliza un modelo ARIMA para datos no estacionales, se necesitan alrededor de 40 o más observaciones. Al construir un modelo ARIMA para datos estacionales, se necesitan observaciones durante aproximadamente 6 a 10 años, dependiendo de la duración del período de estacionalidad.

2. No existe una forma sencilla de ajustar los parámetros de los modelos ARIMA, como en algunos métodos de suavizado, cuando se introducen nuevos datos. De vez en cuando hay que reconstruir completamente el modelo y, en ocasiones, hay que elegir un modelo completamente nuevo.

3. Construir un modelo ARIMA satisfactorio a menudo requiere mucho tiempo y recursos. Para los modelos ARIMA, los costos de creación de modelos, el tiempo de cálculo y los requisitos de la base de datos pueden ser significativamente más altos que para los métodos de pronóstico más tradicionales, como el suavizado.

Según Bernstein (Bernstein, 1996), la previsión es uno de los componentes más importantes de la gestión, que proporciona una ayuda significativa en el proceso de toma de decisiones. De hecho, cualquier decisión de gestión importante depende en cierta medida de las previsiones. El almacenamiento está relacionado Con previsiones de demanda esperada; el departamento de producción debe planificar las necesidades de mano de obra y materias primas para los próximos uno o dos meses; el departamento de finanzas debe producir financiación a corto plazo para el próximo trimestre; El departamento de personal debe anticipar la necesidad de contratar o despedir empleados. La lista de diversas aplicaciones de la previsión puede ser muy larga.

Los gerentes son muy conscientes de la necesidad de realizar pronósticos. Sin duda, se dedica mucho tiempo a estudiar las tendencias actuales en economía y política, así como cómo los acontecimientos futuros pueden afectar la demanda de los productos y/o servicios ofrecidos. Los altos funcionarios están interesados ​​en un pronóstico cuantitativo para compararlo con su propia opinión. El interés por la previsión se agrava especialmente cuando ocurren eventos que pueden tener un impacto grave en el nivel de demanda. La desventaja de los métodos de pronóstico cuantitativo es su dependencia de observaciones pasadas. Por esta razón, son naturalmente menos eficaces a la hora de predecir cambios inesperados que provoquen un fuerte aumento o caída de la demanda.

A menudo, los gerentes necesitan hacer pronósticos a corto plazo para una gran cantidad de productos. Un ejemplo típico es una situación en la que un gerente se enfrenta a la tarea de establecer la producción basándose en la previsión de la demanda de varios cientos de artículos que forman una línea. En este caso, el más justificado es el uso de métodos de suavizado.

La principal ventaja de los métodos de suavizado exponencial es su bajo costo y simplicidad. No proporcionan la misma precisión que métodos complejos como ARIMA. Pero cuando se hacen pronósticos para miles de productos, los métodos de suavización suelen ser el único enfoque razonable.

Los pronósticos de perspectivas basados ​​​​en series de tiempo se basan en el supuesto de que el desarrollo de eventos futuros será similar al pasado y que la estructura de los eventos pasados ​​se puede describir adecuadamente. La técnica de series de tiempo es una de las variables más utilizadas para la predicción, con una estructura de cambios constante y estable.

La metodología Box-Jenkins es una herramienta muy poderosa para realizar pronósticos precisos a corto plazo. Los gerentes deben ser conscientes de que construir un modelo ARIMA de Box-Jenkins satisfactorio requiere una gran cantidad de datos históricos y una inversión significativa de tiempo de los analistas.

Existen muchas aplicaciones prácticas de la técnica Box-Jenkins. De hecho, los modelos ARIMA se han aplicado para los siguientes fines:

1 evaluación de los cambios en la estructura de precios en la industria telefónica estadounidense;

2 estudio de la relación entre la concentración de amonio, el caudal y la temperatura del agua en los ríos;

3 previsión de reservas anuales;

4 pronosticar el número de pozos petroleros en operación;

5 análisis del número de viviendas privadas construidas;

6 análisis de observaciones diarias del aumento porcentual en el número de unidades vendidas;

7 análisis de la competencia entre el transporte aéreo y ferroviario;

8 previsión del nivel de empleo;

9 análisis de un gran número de series temporales de consumo de energía para servicios públicos;

10análisis de los efectos de estimular las ventas de productos de consumo;

11 pronosticar varias categorías de garantía de calidad del producto.

Ejemplo 2. Un analista de la empresa Y preparó una serie temporal de datos para un proceso de producción que debe predecirse. Los datos que recopiló se presentan en la Tabla 2 y el gráfico correspondiente se muestra en la Fig. 7. Parece que el método Box-Jenkins será el más adecuado para procesar los datos recopilados.

Tabla 2 Valores de lanzamiento del producto Atron

Figura 7- Gráfico de datos del proceso productivo de interés para Atron

Comencemos la búsqueda de un modelo de prueba analizando el gráfico de datos y el gráfico de la función de autocorrelación de muestra que se muestra en la figura. 8. La serie temporal inicial de datos se caracteriza por la variación de valores en las proximidades de un nivel fijo aproximadamente igual a 80, y los valores de los coeficientes de autocorrelación disminuyen rápidamente hasta cero. Con base en esto, podemos concluir que esta serie temporal es estacionaria.

Figura 8: Ejemplo de función de autocorrelación para datos de Atron

El coeficiente de autocorrelación de la primera muestra (-0,53) es significativamente diferente de cero para el nivel del 5% porque está fuera de rango.

La autocorrelación para un retraso de 2 períodos está más cerca del valor umbral para el nivel del 5% y es opuesta en el signo de autocorrelación r 1 en el intervalo 1. Las autocorrelaciones restantes son pequeñas y están dentro de los límites de error especificados. Se puede suponer que dicha estructura de coeficientes de autocorrelación corresponde al modelo AR(1) o, lo que también es aceptable, al modelo MA(2), si asumimos que las autocorrelaciones se cortan (indistinguibles de cero) ya después el segundo intervalo. Como resultado, decidimos analizar la gráfica de la función de autocorrelación parcial selectiva que se muestra en la Fig. 9.

Figura 9: Ejemplo de función de autocorrelación parcial para datos de la empresa

Tenga en cuenta que el primer coeficiente de autocorrelación parcial (-0,53) es significativamente diferente de cero, pero ninguno de los otros coeficientes de autocorrelación parcial se acerca al nivel de un valor significativo. . Como resultado, concluimos que el comportamiento de las funciones de autocorrelación muestral y autocorrelación parcial muestral corresponde al modelo AR(1) (o, lo que es lo mismo, ARIMA(1,0,0)), pero para poder completamente Para eliminar el riesgo, también modelamos los datos utilizando el modelo MA(2) (o ARIMA(0,0,2)). Si ambos modelos son adecuados, es posible elegir el mejor modelo, basándose en el principio de economía ( Principio de economía consiste en preferir un modelo simple a uno complejo).

En ambos modelos se incluye un término constante para tener en cuenta el hecho de que los datos cambian alrededor de un nivel distinto de cero (si los datos se expresaran como una desviación de la media muestral, entonces el término constante sería innecesario en ambos modelos).

Ambos modelos mostraron un buen ajuste a los datos. Los coeficientes estimados son significativamente diferentes de cero. Los errores cuadráticos medios son similares.

MA (2): s 2 \u003d 135,1

AR(1):s2 =137,9.

Los pronósticos para uno y dos períodos venideros para estos dos modelos difieren en algunos detalles, pero los pronósticos para tres períodos venideros (período 78) son muy similares. Con una fuente fija para las predicciones, las predicciones para procesos estacionarios eventualmente llegan a ser iguales al nivel promedio supuesto. En este caso, el nivel medio estimado es aproximadamente igual a ϻ = 75 para ambos modelos. m - Las estadísticas de Lewing-Box (estadísticas de Box-Pierce modificadas) son insignificantes para los coeficientes de correlación en los intervalos t = 12, 24, 36 y 48 para ambos modelos. Los coeficientes de autocorrelación residual individuales son pequeños y están dentro de sus errores marginales. La función de autocorrelación residual para el modelo MA(2) es similar. No hay duda de que los errores son aleatorios en ambos modelos.

Dado que el modelo AR(1) tiene dos parámetros (incluido el término constante) y el modelo MA(2) tiene tres (incluido el término constante), entonces, de acuerdo con el principio de economía, decidí utilizar el AR más simple. (1) modelo para predecir valores de datos futuros).

La ecuación de pronóstico AR(1) se verá así

t = 115,842 + (-0,538) y t -1 = 115,842 - 0,538 y t -1, entonces para el período 76

ŷ t = 115,842 - 0,538 y 75 = 115,842 - 0,538(72) = 77,11.

Además, la previsión para los próximos dos periodos será la siguiente.

ŷ 77 = 115,842-0,538 y 76 = 115,842-0,538(77,11) = 74,3.

Ejemplo 3. Un analista de Atron decidió utilizar el método Box-Jenkins para predecir errores (desviaciones de los volúmenes de producción objetivo de la empresa) encontrados en el control de calidad del proceso de producción bajo su control. Los datos correspondientes se muestran en la Tabla 3, y la gráfica de esta serie temporal de errores se muestra en la Fig. 10.

Tabla 3 Errores encontrados durante el control de calidad en Atron (fabricante 1)

Periodo (P)

Figura 10: Errores (desviaciones de los volúmenes objetivo) detectados durante el control de calidad en Atron

Comencemos el proceso de definición del modelo examinando el gráfico de la serie de tiempo de error, así como verificando las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial que se muestran en la Fig. 11 y 12.

Figura 11: Ejemplo de función de autocorrelación para datos de control de calidad de Atron

Figura 12: Ejemplo de función de autocorrelación para datos de control de calidad

Los gráficos de las series de tiempo y las funciones de autocorrelación indican la estacionariedad de esta serie. Dado que sólo hay un coeficiente de autocorrelación significativo (para el intervalo 1, valor -0,50), y todos los demás coeficientes son pequeños y están dentro del rango aceptado de insignificancia, se puede considerar que los coeficientes de autocorrelación de la muestra se cortan después del primer intervalo.

El gráfico de autocorrelación parcial comienza en un valor significativo para el contenedor 1, donde los primeros tres coeficientes de autocorrelación parcial de la muestra son negativos y se desvanecen cerca de cero. Se puede concluir que el comportamiento de los coeficientes de autocorrelación muestral y de la autocorrelación parcial es muy similar a los indicadores teóricos del proceso MA(1) (o ARIMA(0,0,1)). . Llegamos a la conclusión de que la serie temporal objeto de estudio puede describirse mediante el modelo MA(1).

Los parámetros en el modelo MA(1) se estiman como ϻ \u003d 0,1513 y ω 1 \u003d 0,5875. Cada uno de ellos es significativamente diferente de cero. La función de autocorrelación residual se muestra en la fig. 13, y el estadístico ᵡ 2 de Lewing-Box (estadístico de Box-Pearce modificado) indica la aleatoriedad de los errores.

Figura 13 - Función de autocorrelación para los residuos del modelo MA(1)

La ecuación de pronóstico para el modelo MA(1) será la siguiente:

ŷ t = ϻ - ω 1 ε t -1 ,

donde ε t-1 se evalúa utilizando el resto correspondiente e t-1. Para predecir el error (desviación de las cifras objetivo) para el período 91, se necesita el resto del período 90, e 90 = -0,4804. Calculamos lo siguiente:

ŷ 91 = 0,1513 - 0,5875 (-0,4804) = 0,4335.

El pronóstico del error de control de calidad en el período 92 es simplemente el promedio supuesto de la serie, ya que, al inicio del pronóstico, t = 90, la mejor estimación del orden de error en el período 91, ε 91, es cero. De este modo,

ŷ 92 = 0,1513 -0,5875(0) = 0,1513.

Ejemplo 4. Es interesante predecir errores en el control de calidad del volumen de producción de otra productora, Atron. Intentemos aplicar el método Box-Jenkins con estos datos (tabla 4), y el gráfico de esta serie temporal se muestra en la fig. 14.

Tabla 4. Errores encontrados durante el control de calidad en la Empresa Y (Prod. 2)

Figura 14 - Errores (desviaciones de las cifras objetivo) del control de calidad

La vista general de los gráficos de la serie de tiempo original y la función de autocorrelación de la muestra (Fig. 15) sugiere que la serie original de errores de control de calidad es estacionaria. Los valores de error fluctúan alrededor de un nivel fijo: cero, y las autocorrelaciones decaen rápida y suavemente.

Figura 15 - Muestras de autocorrelaciones para datos de control de calidad

Tenga en cuenta que los dos primeros coeficientes de autocorrelación son significativamente diferentes de cero y, ceteris paribus, lo que es más importante, los coeficientes de autocorrelación para los primeros intervalos decaen de manera similar a como se define en la descripción teórica de procesos como AR(1) . Analicemos también la gráfica de la función de autocorrelación parcial selectiva, que se muestra en la Fig. 16. Todos los coeficientes de autocorrelación parcial, excepto el primero, son prácticamente insignificantes. En conjunto, la estructura de las funciones de autocorrelación de muestra y de autocorrelación de frecuencia de muestra correspondía exactamente a procesos del tipo AR(p). Por tanto, parece que los datos de una serie de errores (desviaciones de los valores objetivo de las emisiones) pueden modelarse adecuadamente como un proceso AR(1) o ARIMA(1,0,0).

Figura 16 - Muestras de autocorrelaciones parciales para datos de control de calidad

Debido a que la media muestral de la serie de errores es extremadamente pequeña (del orden de cero) en comparación con la desviación estándar, no se incluirá ningún término constante en el modelo.

El parámetro del modelo AR(1) se estima como φ 1 =0,501 y es significativamente diferente de cero (t = 5,11). Error cuadrático medio de raíz residual s 2 = 1.0998. ᵡ 2 -Las estadísticas de Lewing-Box y el gráfico de la función de autocorrelación residual (Fig. 17) sugieren que el modelo encontrado es adecuado. No hay razón para dudar de que se cumpla el requisito básico de valores de error.

Figura 17 - Función de autocorrelación para el modelo AR(1)

La ecuación de predicción tiene la siguiente forma:

ŷt = 0.501y t-1 .

Así, las previsiones para los periodos 81 y 82 serán las siguientes:

ŷ81 = 0,501y 80 = 0,501(1,06) = 0,531

ŷ 82 = 0,501y 81 = 0,501(0,531) = 0,266.

Probemos un modelo un poco más complejo para obtener resultados que confirmen la elección a favor del modelo AR(1). Usamos un parámetro adicional para analizar errores de control de calidad y probar el modelo ARMA(1,1) (o ARIMA(1,0,1)). Esto último puede justificarse por el hecho de que si el modelo elegido previamente es correcto, entonces el parámetro adicional de la media móvil en el nuevo modelo hará una contribución muy pequeña.

Los resultados del modelado de la serie de datos inicial basada en el modelo ARIMA(1,0,1) mostraron que el parámetro MA(1) no es muy diferente de cero. (t = 1.04), lo que significa que no es necesario en el modelo. Por supuesto, dado que este es un modelo más general que el modelo AR(1), su representación de datos es al menos tan buena como lo demuestra el valor s 2 = 1,0958 y comportamiento aleatorio de los residuales.

Ejemplo 4 Considere el pronóstico de ventas de Keytron. Los datos de ventas están disponibles para 115 meses. Estos datos, que abarcan el período comprendido entre enero de 1987 y agosto de 1996, se presentan en el Cuadro 5.

Tabla 5 Ventas mensuales de Keytron

Habiendo estudiado cuidadosamente la serie de tiempo, cuyo gráfico se muestra en la Fig. 18, se puede encontrar en él, junto con una tendencia creciente, una estructura estacional claramente manifestada. Llegamos a la conclusión de que esta serie no es estacionaria, por lo que es necesario aplicarle el modelo ARIMA estacional.

Figura 18 - Gráfico de los volúmenes de ventas de la empresa.

Comencemos a definir el modelo de datos examinando la función de autocorrelación de muestra, cuyo gráfico se muestra en la fig. 19. Los coeficientes de autocorrelación en intervalos pequeños prácticamente se reducen ya después del intervalo 1, aunque también hay un ligero aumento en el intervalo 3. También cabe señalar que los coeficientes de autocorrelación en intervalos de estacionalidad, es decir, 12, 24 y 36 (este último no se muestra) son importantes pero se desvanecen rápidamente. Esto indica la no estacionariedad de la serie y confirma los resultados del estudio del gráfico de la serie temporal original.

Figura 19: Ejemplo de función de autocorrelación para datos de volumen de empresas

Antes de continuar con la búsqueda de un modelo adecuado, calculamos las series de diferencias de acuerdo con la estructura estacional para comprobar si es posible transformar la serie de datos original en una estacionaria.

Diferencia estacional durante un período S= 12 se define de la siguiente manera:

Δ 12 y t \u003d y t - y t -12.

La primera diferencia estacional calculada para los datos de ventas de Keytron sería:

y 13 - y 1 \u003d 1757,6 - 1736,8 \u003d 20,8.

En la fig. 20 es un gráfico de la serie calculada de diferencias estacionales.

Figura 20 - Diferencias estacionales de los datos de ventas de las empresas

En la fig. 21 y 22 muestran, respectivamente, las funciones de autocorrelación muestral y autocorrelación parcial muestral para las series de diferencias. De la fig. 19 se deduce que los datos de diferencias estacionales pueden considerarse bastante estacionarios y fluctúan alrededor de un valor del orden de 100. Los coeficientes de autocorrelación tienen un pico significativo en un intervalo de 12 (recortado), y los coeficientes de autocorrelación parcial de la muestra tienen picos significativos en los intervalos de 12 y 24, que disminuyen gradualmente » (se desvanecen). Este comportamiento indica un elemento MA(1) en el intervalo 12.

Figura 21 - Gráfico de la muestra de autocorrelación de diferencias estacionales en los datos de ventas de la empresa

Figura 22 - Gráfico de la correlación parcial de la muestra de diferencias estacionales en los datos de ventas de la empresa

Elijamos un modelo de la forma ARIMA(0,0,0)(0,1,1) para los datos. Tal notación implica lo siguiente.

d=0 - diferencias ordinarias

q=0 - los términos habituales de la media móvil

D= 1- diferencias estacionales en el intervalo 5-12

q= 1 - términos de la media móvil estacional.

Dado que la serie de diferencias estacionales cambia alrededor de un nivel distinto de cero, se tuvo que agregar un término constante a la ecuación. El modelo final se ve así.

y t - y t -12 = ϻ + ε t + ψ 1 ε t -12, (87)

Dónde ϻ - el nivel medio del proceso de diferencia estacional y el valor ψ - es un parámetro de media móvil estacional.

La gráfica de la función de autocorrelación de los residuos se muestra en la Fig. 23, y la previsión para los próximos 12 meses continúa con el gráfico de volúmenes de ventas de la empresa (Fig. 24).

Figura 24 - Volúmenes de ventas de la empresa y previsiones de ventas

Obtenemos que el modelo original describe bien la estructura de datos. ᵡ 2 - Estadísticas de Lewing-Box para grupos de intervalos t = 12, 24, 36 y 48 no es significativo, lo que indica un valor grande de p. Las autocorrelaciones de los residuos son todas igualmente pequeñas sin ninguna estructura aparente.

Los valores estimados de los parámetros fueron ϻ = 85,457 y ψ = 0,818. Con base en los valores de estas cantidades, se obtiene la ecuación (87), que se puede resolver con respecto a y t , se verá así:

y t = y t -12 + 85,457 + 0,818ε t -12.

Al pronosticar las ventas para el período 116, equiparamos t = 116 y vemos que para los periodos para los que se realiza el pronóstico, el mejor valor estimado de ε 116 (error para el siguiente periodo) será cero. Entonces la ecuación de predicción será

ŷ 116 \u003d y 114 + 85,147 - 0,818e 104,

donde e 104 es el resto (estimación de error) para el período 104.

ŷ 116 = 2275 + 85,457 - 0,818(-72,418) = 2419,7. De la misma manera

ŷ 117 = y 105 + 85.457-0.8186.05e 105

ŷ 117 = 2581,8 + 85,457 - 0,818(119,214) = 2504,3.

Las predicciones son totalmente coherentes con el comportamiento de la serie. Se puede suponer que la descripción de la estructura estacional es correcta y que la empresa pronto verá un aumento en los volúmenes de ventas.

Literatura

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Chetyrkin E.N. Métodos de previsión estadística. -M.: "Estadísticas", 1975.

El modelo de autorregresión y orden de media móvil también se puede utilizar para describir procesos estacionarios ( R, q), o modelo ARMA(p, q), que incluye tanto términos que describen los componentes autorregresivos como términos que modelan el residual como un proceso de media móvil.

Modelo ARMA(p,q) tiene la forma

Dónde calle- Ruido blanco.

Generalmente el número de parámetros. R o q nunca más de 2.

Para procesos ARMA(p, q) Se formulan las siguientes recomendaciones prácticas para su identificación:

• ARMA( 1, 0): ACF disminuye exponencialmente, FACF tiene un valor atípico en el rezago 1, no hay correlación en otros rezagos;
• ARMA( 2, 0): ACF tiene la forma de una sinusoide o disminuye exponencialmente, FACF tiene picos en los rezagos 1 y 2, no hay correlación en otros rezagos;
• ARMA( 0, 1): ACF tiene un valor atípico en el rezago 1, no hay correlación en otros rezagos, FACF disminuye exponencialmente;

• ARMA( 0, 2): ACF tiene picos en los rezagos 1 y 2, no hay correlación en otros rezagos, AFCF tiene una forma sinusoidal o decae exponencialmente;
• ARMA( 1, 1): ACF disminuye exponencialmente desde el retraso 1, FACF disminuye exponencialmente desde el retraso 1.

ARIMA-oj nu. Algunas series de tiempo no estacionarias se pueden reducir a estacionarias mediante la operación de diferencia. Tal procedimiento se llama integración.

Generalmente es necesario tomar las diferencias de la serie hasta que se vuelva estacionaria (a menudo también se utiliza una transformación logarítmica para estabilizar la varianza). El número de diferencias que se tomaron para alcanzar la estacionariedad está dado por el parámetro d.

Deja que la serie de tiempo y, después de tomar la diferencia d una vez se volvió estacionario, satisfactorio ARMA(p,#)-modelos. En este caso, la fila y, comúnmente conocida como serie de media móvil autorregresiva integrada (ARPRS) o ARlMA(p, re, q). En la literatura especializada también se le conoce como modelo de Box-Jenkins.

Metodología del boxeo - Jenkins selección ARIMA-uojuzrk para describir y pronosticar una serie temporal incluye los siguientes pasos:

• identificación del modelo;
• evaluación del modelo y verificación de su adecuación;
• pronóstico.

El trabajo describe en detalle los procedimientos de procesamiento de datos aplicados en el paquete. ESTADÍSTICA A, incluyendo la selección ARIMA-uojyzsm.

Ejemplo 11.12. seleccionaremos ARIMA-uojxQsm según el tamaño de las reservas de oro y divisas (y t) Rusia del 31.12.05 al 12.10.07 y hacer una previsión de 5 pasos por delante.

T Los datos iniciales y los indicadores calculados se dan en la tabla. 24.11.

1. Identificación del modelo. El primer paso de la identificación es obtener una serie estacionaria. Fila de origen y, no es estacionario porque tiene una tendencia creciente (figura 11.9).

Para que una serie se vuelva estacionaria es necesario tomar diferencias sucesivas hasta llegar a ser estacionaria.

Tabla de cálculo por ejemplo 11.12

Arroz. 11.9.

Para determinar el orden de la diferencia, es necesario estudiar el autocorrelograma. Si hay una disminución lenta en los coeficientes de autocorrelación muestral dependiendo del rezago, generalmente se toma la diferencia de primer orden.

En la fig. 11.10 muestra el ACF de la variable y, donde los coeficientes del ACF muestral se calculan mediante la fórmula

Arroz. 11.10. Autocorrelograma variable y, por ejemplo 11.12

De la fig. 11.10 se puede observar que las autocorrelaciones dependiendo del rezago disminuyen lentamente, lo que indica que para identificar el modelo ARIMAip, d,q) podemos tomar diferencias de primer orden (d= 1).

Encontremos la primera diferencia. zt - A yt, Dónde Ay t =yt-y t -i y construye su gráfica en función del número de observaciones (Fig. 11.11), de la cual se desprende que la serie se ha vuelto estacionaria, ya que no hay tendencia.

Para fila estacionaria z, Se estudia la naturaleza del comportamiento de las muestras ACF y FACF, lo que permite formular varias hipótesis sobre posibles órdenes de autorregresión. (R) y media móvil ( q).

Ejemplo de coeficientes ACF para la serie. z t calculado por la fórmula

Arroz. 11.11. Gráfica de la dinámica de la primera diferencia. z t por ejemplo 11.12

Para fila estacionaria z t el valor del FACF muestral se calcula como la estimación de mínimos cuadrados del último coeficiente |3* en la ecuación de regresión z t = Po + Pi^-i + + (3* zt ~k + ?/.

En la fig. 11.12 muestra las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de la variable. zt.

En la fig. 11.12 El ACF tiene un pequeño valor atípico en el primer rezago y una notable tendencia a decaer; en el FACF solo el valor de correlación para el primer rezago difiere significativamente de cero.

En línea con las mejores prácticas anteriores para la identificación de modelos. ARMA Escoge un modelo AR1MA( 1, 1, 0), pero también puedes usar el modelo ASMA( 0, 1,1).

2. Estimación de modelos ARMA producido por varios métodos (mínimos cuadrados lineales y no lineales, método de máxima verosimilitud total o condicional).

Considere el modelo AR1MA( 1, 1, 0). Estimemos el modelo autorregresivo de primer orden con el término libre z t= 5 + az M + s, por el método de mínimos cuadrados.

En mesa. 11.24 muestra los indicadores calculados necesarios para estimar los parámetros de la ecuación en Sobresalir.

El modelo estimado estadísticamente significativo es

donde 5 = 3,793; a = 0,324 y la varianza residual (residual) es 39,8.

Arroz. 11.12. Autocorrelación (A) y funciones de autocorrelación parcial (b) de la variable z, por ejemplo 11.12

Los coeficientes del modelo son estadísticamente significativos. Escribamos el modelo transformado en la forma

donde 5.615 \u003d p \u003d 8 / (1 - a).

Si hay varios modelos que han pasado con éxito la prueba de adecuación, entonces elegimos el modelo para el cual la varianza de los residuos es mínima.

Para comprobar la adecuación ARMA-modelos existen diferentes criterios:

• 1) las estimaciones de los coeficientes del modelo deben ser estadísticamente significativamente diferentes de cero;
• 2) los residuos del modelo e, deben ser similares al ruido blanco, es decir, tener autocorrelación cero.

Comprobemos la adecuación del modelo. ARIMA(, 1, 0).

Los coeficientes p = 5,615 y a = 0,324 son estadísticamente significativos (se cumple la primera condición para comprobar la adecuación del modelo).

Al comprobar la importancia de los coeficientes de residuos ACF, se utilizan dos enfoques:

• comprobar la importancia de cada coeficiente de autocorrelación por separado;
• comprobar la importancia de un grupo de coeficientes de autocorrelación mediante la prueba de Box-Ljung.

Para comprobar el cumplimiento de la segunda condición, considere la Tabla. 11.25, que se puede obtener mediante cálculo basado en los saldos mi, modelos AR1MA(, 1, 0) de la tabla. 24.11.

Tabla 11.25

Tabla de resultados de la función de autocorrelación de residuos del modelo. ARIMA( 1,1, 0) por ejemplo 11.12 (errores estándar - errores de ruido blanco)

	Coeficiente de autocorrelación	Error estándar	Estadísticas de Boxeo - Lewitt (0	Nivel significativo ( R)

La autocorrelación es la correlación de la serie original consigo misma, desplazada por un cierto retraso. A. Los coeficientes de la función de autocorrelación muestral de los residuos están determinados por la fórmula

Suponiendo que el proceso es ruido blanco (en este proceso todos los coeficientes de autocorrelación son cero), los errores estándar g a definido como

Error estándar ( GRAMO k) = ^/(1 / PAG) ? (n-k) / (n + 2), donde PAG- el número de observaciones de la serie.

A partir de una comparación de los valores obtenidos presentados en la tabla. 11.25, se deduce que los coeficientes de autocorrelación son insignificantes en los 15 rezagos.

Para probar nulo A de los primeros valores de la función de autocorrelación de los residuos, se utiliza el estadístico ^ de Box-Ljung.

En este retraso A Estadísticas de boxeo - Ljung q definido como

Bajo la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación, el estadístico ^ tiene una distribución X(k-r - q).

Niveles de significancia Rk, estadísticas relevantes qk, se puede determinar usando la función sobresalir= DISTR.CH2(?>*, A). Si rk mayor que un nivel de significancia dado, entonces A

De la consideración de los valores recibidos de la última columna de la pestaña. 11.25 se deduce que todos A los primeros valores de la función de autocorrelación de los residuos son estadísticamente insignificantes.

En mesa. 11.26 muestra un ejemplo de cálculo de los valores. Qk, Pk para retrasos k = 1, 2, 3 según las fórmulas anteriores, PAG = 46.

Tabla 11.26

Cálculo de valores estadísticos de Box-Lewitt y niveles de significancia correspondientes

		P, =46-48-0,03 9 2 / 45 = 0,075	DISTR.CH2(0.075;1) = = 0.785
		Q 2 \u003d Q x + 46 48 (-0,189) 2 / 44 = 1,875	distchi2(1.875;2) = = 0.392
		0 s = 0 2 + 46-48-0,113 2/43 = 2,535	DISTR.CH2(2.535;3) = = 0.469

Por tanto, se cumple la segunda condición para comprobar la adecuación del modelo.

3. Previsión en el modelo AR1MA(1, 1, 0). Considere una serie de tiempo no estacionaria yt, cuyas primeras diferencias z, son procesos A/?(1):

La aplicación repetida de estas expresiones da la siguiente fórmula de predicción recursiva:

Hagamos un pronóstico de cinco pasos. Para las dos últimas observaciones tenemos a los 46= 424,8 y a los 47 = 434,0.

Predicción de un paso:

Y 48 = Y 47+ p + a(y 47 Y 4 6 P) = 434,0 + 5,615 + 0,324 (434,0 - -424,8-5,615) = 440,8.

Previsión de dos pasos:

y49 = a los 48+ R + un(a los 48 -y 41- p) = 440,8 + 5,615 + 0,324 (440,8 - -434,0-5,615) = 446,8.

Predicción de tres pasos:

En50 = 49+ R+ Oi(y 49 - y 4S- p) = 446,8 + 5,615 + 0,324 (446,8 - -440,8-5,615) = 452,5.

Predicción de cuatro pasos:

Yy \u003d Y50 + ^ + a (Y50.U 4 9 M 1) = 452,5 + 5,615 + 0,324 (452,5 - -446,8-5,615) = 458,2.

Predicción de cinco pasos:

En52 \u003d J 51 + p + a (.y 51 -y 5 0 -v)= 458,2 + 5,615 + 0,324 (458,2 - - 452,5-5,615) = 463,8. ?

Modelos estacionales ARIMA. El modelo estacional se presenta como: ARlMA(p, d, q)(P, D, Q) s , dónde modelar los parámetros p, d, q parámetros estacionales añadidos P, D, Q Y s- autorregresión estacional, diferencia estacional, media móvil estacional y período estacional, respectivamente.

El modelo estacional se identifica de la misma forma que se identifica el modelo no estacional. El comportamiento de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial en los rezagos iniciales permite identificar de forma estándar el componente no estacional, y en rezagos múltiplos del estacional, el componente estacional.

En presencia de un componente estacional pronunciado, es aconsejable incluir la diferenciación estacional en el modelo, pero es deseable que d+D2.

Facilitar significativamente la solución de problemas de análisis y previsión de los estados financieros y indicadores económicos Será útil el uso de modernos paquetes estadísticos informáticos. En algunos paquetes informáticos se implementan procedimientos para la selección automática de la estructura del modelo Box-Jenkins (ARPSS).

El procedimiento para construir modelos de series de tiempo en el programa. SPSS incluye herramienta Experto en construcción de modelos, que identifica y evalúa automáticamente el modelo Box-Jenkins o de suavizado exponencial más apropiado, eliminando la necesidad de determinar el modelo apropiado mediante prueba y error.

Ejemplo 11.13. Usando el paquete SPSS, seleccionaremos ARIMA-uojuzsm según el ejemplo 11.6 sobre el volumen de transporte aéreo de pasajeros durante seis años y haga una previsión para el próximo año.

• ? Indicamos la secuencia de acciones.
• Ingresamos los datos del ejemplo en la tabla en una columna con el nombre "Transporte aéreo" (Fig. 11.13).

Arroz. 11.13. Introducir datos iniciales en SPSS por ejemplo 11.13

Datos -> Establecer fechas. Se abrirá un cuadro de diálogo (Fig. 11.14).

Establezca la fecha asociada con la primera observación (por ejemplo, enero de 2010) y el intervalo de tiempo entre observaciones sucesivas. Esto da como resultado un conjunto de variables que marcan

Arroz. 11.14. Ventana de diálogo Establecer fechas(ejemplo 11.13)

fechas asociadas a cada observación. Esto también establece la periodicidad esperada de los datos, por ejemplo, la periodicidad 12 si el intervalo de tiempo entre observaciones sucesivas es igual a un mes. Esta periodicidad es necesaria si desea crear modelos estacionales. Si no se necesitan patrones estacionales y no se requieren etiquetas de datos en la salida, entonces el cuadro de diálogo Establecer fechas se puede omitir. En este caso, la etiqueta asociada a cada observación será simplemente el número de observación.

Al hacer clic en el botón DE ACUERDO, pasemos a la tabla de datos, en la que se han agregado nuevas variables AÑO, MES, FECHA (Fig. 11.15).

Arroz. 11.15.

Seleccione comandos del menú superior Análisis -> Previsión -» Crea modelos. Se abrirá un cuadro de diálogo (Figura 11.16 , A).

Arroz. 11.16. Pestaña variables caja de diálogo Asistente de modelo de serie temporal (A) y establecimiento de criterios para el método. Experto en construcción de modelos (b)

• Seleccione la variable "Transporte aéreo" y use el botón para transferirla a la lista variables dependientes. Como método en grupo. Método instalar Experto en construcción de maquetas. y presione el botón Criterios. Se abrirá un cuadro de diálogo Asistente de modelos de series temporales: criterios de construcción expertos...(Figura 11.16, b).
• Marque las casillas como se muestra en la Fig. 11.16, b, y haga clic en el botón Continuar para volver al diálogo Asistente de modelo de serie temporal(Figura 11.16, A).
• Haga clic secuencialmente en las pestañas. Estadísticas, Gráficos, Ahorro, Opciones y establezca los valores que se muestran en la Fig. 11.17.
• Pulsamos el botón DE ACUERDO en el cuadro de diálogo Asistente de modelo de serie temporal y obtenemos resultados.

En mesa. 11.27 muestra los resultados de estimar los parámetros del modelo por el método. Experto en construcción de maquetas.

Identificación del modelo: ASHMA( 1,1,0)(0,1,1)12 (sin parámetro libre). Se realizó una transformación logarítmica de la variable original, diferenciación de la serie original con un rezago de 1 y diferenciación estacional con un rezago de 12.

Tabla 11.27

Los resultados de estimar los parámetros del modelo mediante el método. Experto en construcción de maquetas. por ejemplo 11.13

Parámetro		Estándar		Significado

Este modelo contiene el coeficiente de autorregresión /?(1) para tener en cuenta la tendencia lineal en la dinámica del tráfico aéreo. yt y coeficiente de media móvil estacional Preguntas ( 1). Los parámetros del modelo que figuran en la tabla son muy significativos. Error de ajuste mi = 4,09 %.

En mesa. 11.28 muestra los resultados del pronóstico del volumen de tráfico aéreo para los próximos 12 meses y los límites de confianza de los valores pronosticados.

Arroz. 11.17. Pestañas Estadísticas (a), Gráficos (b) caja de diálogo Asistente de modelo de serie temporal

Arroz. 11.17. Pestañas Guardando (a), Opciones(d) cuadro de diálogo Asistente de modelo de serie temporal

Tabla 11.28

Resultados de pronóstico para los próximos 12 meses y límites de confianza de los valores de pronóstico, por ejemplo 11.13

En la fig. 11.18 muestra una gráfica de la dinámica de la variable. yt(volumen de tráfico aéreo) y una previsión con un intervalo de confianza a 12 meses vista.

Arroz. 11.18. Gráfica de la dinámica de una variable. y, y pronosticar con un intervalo de confianza para 12 meses adelante, por ejemplo 11.13

No existe diferencia estadística entre los valores de pronóstico del ejemplo 11.6 (modelo Theil-Wage) y los obtenidos por este método, pero para este ejemplo es preferible el modelo Theil-Wage, ya que tiene un error de ajuste. ~yo- Un 3,65% menos. ?

El 13 de septiembre, la Asociación para el Desarrollo de la Construcción en Acero invitó a periodistas y expertos a discutir el tema "Construcción en acero: ¿hay futuro?". Basándonos en los resultados de una discusión de tres horas, podemos afirmar que hay futuro. Pero difícil. Fuente: http://ancb.ru

Al evento asistieron Alexander Danilov, director general de ARSS, Grigory Vaulin, director general de CJSC Ferro-Stroy, Petr Chayrev, director de marketing de Astron Buildigs en Rusia y la CEI, Leonid Zborovsky, director de Thornton Tomasetti, y otros.

ARSS existe desde 2014 y reúne a las mayores empresas metalúrgicas rusas: EVRAZ, Mechel, OMK, Severstal, NLMK, institutos de investigación y diseño, oficinas de arquitectura, Instituciones educacionales y organizaciones de construcción. En total hoy son 78 participantes.

El metal como forma de ahorrar en la construcción

Alejandro Danilov habló sobre la construcción de dos edificios emblemáticos para los metalúrgicos: el Empire State Building en EE. UU. y el de Moscú Universidad Estatal a ellos. Lomonósov en Rusia. El primero fue construido en 1931 en sólo 410 días, el segundo, más complejo, en 1953 en un período récord para la época soviética: en 5 años. Ambos edificios fueron construidos durante una época económica bastante difícil para cada país: en Estados Unidos fue el período posterior a la Gran Depresión, y en la URSS fue la recuperación de la posguerra. E incluso entonces, se encontraron recursos para tecnologías nuevas y progresivas relacionadas con las estructuras metálicas. Fueron ellos quienes permitieron desarrollar la construcción en una nueva etapa, aumentando así el número de puestos de trabajo, elevando la calidad a nuevas alturas y acelerando la construcción. Pero, desafortunadamente, en la URSS en ese momento se tomó una decisión gubernamental que prohibía el uso de acero en todos los proyectos, excepto en los industriales, lo que ralentizó significativamente el desarrollo de la dirección del acero.

Hoy en día, la proporción de edificios de gran altura con estructura de acero en el mundo es más del 60%, y en los países líderes llega incluso al 80%, mientras que en Rusia es sólo el 17%, con un gran tramo. De acuerdo a agencia de noticias Según INFOLine, en 2017 el volumen de producción de productos de acero para la industria de la construcción ascendió a unos 3,5 millones de toneladas, un 4% más que en 2016. La proporción del consumo de Rusia estructuras de acero representó 1,9 millones de toneladas, la dinámica positiva continúa en el presente año, lo que permite hacer una previsión de 2 millones de toneladas de estructuras de acero. Además, en el primer semestre de 2018 el número de contratos de construcción celebrados en la Federación de Rusia aumentó un 6,5% en comparación con el mismo período de 2017, hasta 2,85 billones de rublos.

Según Alexander Danilov, la demanda de construcciones de acero está creciendo y cada vez hay más proyectos terminados. Esta tecnología es especialmente interesante en segmentos como las instalaciones de infraestructura: guarderías, estacionamientos, instalaciones deportivas y edificios de gran altura únicos: el Centro Lakhta en San Petersburgo, la Torre Akhmad en Grozny.

Si hablamos de las ventajas de construir con una estructura de metal, entonces, como ejemplo, el director general de ARSS citó un objeto en Novosibirsk: una caja de un edificio de 10 pisos con un área de 23 mil metros cuadrados. m se construyó en el menor tiempo posible: 4 meses, tiempo durante el cual la construcción monolítica habitual alcanzó solo el nivel de 4-5 pisos, y la casa de paneles alcanzó los 7-8 pisos. Velocidad, casi cualquier forma arquitectónica, construcción en cualquier zonas climáticas, nueva calidad de construcción, nuevas tolerancias y preparación en las fábricas de estructuras metálicas: estas son las principales ventajas del acero. Además de todo - nivel alto respeto al medio ambiente de la construcción y cumplimiento de las normas.

El principal ejemplo del uso de estructuras metálicas son, sin duda, las torres de la ciudad de Moscú, dos de las cuales se construyeron no sólo con las últimas tecnologías, sino también con estructuras metálicas. Además, este es el edificio de la Universidad Estatal de Moscú y los rascacielos de Stalin, la casa comercial Zinger en San Petersburgo, erigida en 1904 y que se convirtió en el primer edificio en Rusia con estructura de metal. Habría sido más alto, pero los edificios en el centro de San Petersburgo no podían superar los 23,5 m hasta el alero.

Habló sobre las ventajas de las estructuras de acero y Petr Chayrev: se trata de una construcción rápida en cualquier lugar, en cualquier momento, independientemente de las condiciones climáticas, lo que repercute tanto en la calidad como en el coste.

Normalmente, al diseñar un edificio metálico, el paso de la estructura de soporte es de 6 m, pero, como ha demostrado la práctica, este no es el enfoque más eficaz. Si haces el mismo edificio en incrementos de 10 m, obtendrás menos columnas y más espacio libre, ¿no? menos movimiento de tierras y un 36 % menos de trabajo con grúas, lo que es más rápido, más barato y más cómodo. El ahorro en el coste de un conjunto de materiales de construcción alcanza el 18%.

Además, hoy en día la estructura metálica tradicional, la llamada "granja", que, a pesar de su aparente ligereza, ocupa mucho espacio, ha sido reemplazada por una solución moderna: una estructura de marco. Se trata de marcos soldados de sección variable y su altura es significativamente menor, por lo que el edificio requiere menos volumen para calefacción y ventilación, hasta un 17%. “Las modernas estructuras de acero permiten ahorrar dinero tanto durante la construcción como durante el funcionamiento del edificio”, destacó Petr Chayrev.

Para coches modernos y aparcamientos modernos
En su discurso, Grigory Vaulin abordó el candente tema del aparcamiento, especialmente en las grandes ciudades. Según sus palabras, antes el promotor podía construir casas y abandonar el lugar, pero ahora se necesita aparcamiento ya en la fase de aprobación del lugar y la casa no se pondrá en servicio sin él. Al mismo tiempo, existen estándares estrictos sobre cuántas plazas de coche debe haber por metro de vivienda nueva: antes era 1 plaza por 1 apartamento, pero ahora Moscú ha cambiado la norma debido a la renovación: 1 plaza por 2,5 apartamentos. "Para un desarrollador, esto es un gran dolor de cabeza, porque aparcar es una carga que no genera dinero”, subrayó Vaulin. En total, en la renovación están involucrados 350 mil apartamentos, es decir, en 7 años será necesario introducir 140 mil plazas de aparcamiento, es decir, 200 plazas de aparcamiento.

Sólo hay 3 tipos de aparcamiento. El metro es caro, especialmente en Moscú o San Petersburgo, donde el coste de una plaza de aparcamiento alcanza los 1,5 millones de rublos. Y elevado, en la gente común "todo eso": hormigón y metal. El precio de una estructura de hormigón es de unos 500 millones de rublos, de una estructura metálica, de 450 millones de rublos. Sin embargo, el estacionamiento con el uso de estructuras metálicas permite construir estacionamientos con un área de 26 m2. m, a diferencia del hormigón - 32 metros cuadrados. m, en otras palabras, en el mismo territorio puedes colocar gran cantidad máquinas y a una mayor velocidad de construcción. Según Grigory Vaulin, hoy en día esto es especialmente importante en relación con la introducción de cuentas de depósito en garantía en la construcción de viviendas. Y cuanto antes el promotor pueda construir un aparcamiento, antes estarán a su disposición los fondos de los accionistas.

Además, el director general de CJSC Ferro-Stroy anunció que su empresa había ganado el concurso para la construcción de la primera escuela metalúrgica de Rusia en Kolomna. El diseño estará terminado a finales de este año y en 2020 la escuela estará construida y puesta en servicio.

El metal y el hormigón son aliados, no rivales
Leonid Zborowski, a su vez, habló sobre los criterios para elegir una construcción a partir de un material determinado: depende de la ubicación del objeto y de su finalidad. Si el edificio es comercial, las estructuras de acero son más flexibles en términos de inmovilidad. Por ejemplo, en el edificio del World Financial Center de Nueva York desde 1989, con cada cambio de inquilinos, de los que ya son 6, se reconstruían los pisos, lo que, en principio, no se puede hacer con un edificio de hormigón. Fortalecer pisos, abrir aberturas adicionales para ascensores: este acero es muy popular para edificios comerciales.

Hoy en día se utilizan a menudo estructuras compuestas. Bajo la acción de las cargas de viento, los edificios de gran altura necesitan la rigidez del hormigón armado, mientras que en zonas sísmicas, por el contrario, se requiere la flexibilidad de las estructuras de acero. Por ejemplo, la Torre Eurasia en la ciudad de Moscú, la Torre Shanghai en China, la Torre Kuala Lumpur en Malasia: aquí el núcleo central es de hormigón, todas las demás estructuras son de metal. Además, en el caso de estructuras mixtas, el hormigón cumple la función de protección contra incendios.

Por supuesto, en estructuras de grandes luces, el metal supera al hormigón armado. Por ejemplo, en Skolkovo se construyó un cruce de 375 m de largo, donde las estructuras principales son de metal. Además, en Skolkovo se está diseñando un teatro para el Cirque du Soleil; todos los suelos serán metálicos; es más ligero, más pequeño y más barato. Y la conexión entre suelos de hormigón armado y vigas de acero mediante pernos prisioneros permite reducir el volumen y el consumo de metal.

Edificios - hay estándares - ¡no!
A principios de la década de 2000, en Rusia no existía un marco regulatorio para el diseño de edificios a partir de estructuras metálicas, aunque se desarrollaron estructuras de acero y existían SNIP, pero no existían requisitos bajo los cuales se pudieran construir edificios de manera efectiva. Por lo tanto, para la Torre Naberezhnaya, la Torre Federación y la Torre Eurasia en la ciudad de Moscú, se decidió crear su propia torre especial. especificaciones. Esta opción requiere la aprobación del Ministerio de Construcción y de las instituciones, y esto retrasa el proceso de diseño, por lo que muchos promotores no se atreven con la construcción de acero, a pesar de las evidentes ventajas. “La principal tarea de Rusia es crear un buen marco regulatorio. Para los edificios de acero de gran altura, el marco normativo existente no es adecuado y los encarece”, subrayó Leonid Zborowski.

Por ejemplo, requieren una revisión de los requisitos para la aceleración de los pisos superiores (este es el balanceo del edificio bajo la influencia del viento), cuando las personas se sienten incómodas durante una cierta aceleración del balanceo. Rusia tiene estándares de aceleración muy estrictos: 8 miligramos, mientras que en Estados Unidos, China e Indonesia alcanza los 15 miligramos. En Rusia, esto significa un edificio más rígido y caro. Y si la rigidez se puede lograr más fácilmente con estructuras de hormigón armado, entonces un edificio de acero costará más.

La segunda cuestión es la protección contra incendios de las estructuras, ya que las estructuras de acero bajo la influencia del fuego pierden sus propiedades de textura y, a 500 grados, se producen cambios irreversibles en las propiedades del metal. En Rusia, la protección contra incendios de las estructuras de acero debe resistir 4 horas hasta que el acero alcance los 500 grados, mientras que en EE. UU. es de 2 horas, y esto se debe a la rapidez con la que los bomberos pueden llegar al lugar del incendio y extinguirlo. Resulta que en Rusia el revestimiento ignífugo debería ser más grueso y, por tanto, más caro, y en Rusia se utilizan con mayor frecuencia materiales extranjeros.
Leonid Zborowski cree que si se revisan estas normas se reducirán los costes de la construcción de acero.

En general, los principales esfuerzos de la ARSS en materia de normalización se dirigen al campo de las estructuras ligeras de acero de paredes delgadas basadas en productos laminados galvanizados de hasta 4 mm de espesor, y a todas las cuestiones relacionadas con la resistencia al fuego de las estructuras de acero. El 10 de septiembre se presentaron una serie de documentos desarrollados, además, continúa el desarrollo de soluciones técnicas ya preparadas para mejorar la resistencia al fuego. La asociación también tiene previsto revisar los documentos sobre la protección del metal contra la corrosión. Por tanto, 2019 estará dedicado a eliminar los problemas y restricciones de las estructuras de acero. Además, todos los documentos elaborados están confirmados por investigaciones; por ejemplo, los estándares de resistencia al fuego están confirmados por pruebas del Ministerio de Emergencias de Rusia.

La Asociación tiene previsto crear el estándar de calidad ARCC, que deberán cumplir todas las empresas involucradas en el proceso desde la producción hasta la instalación del producto final.
En cuanto al futuro de la construcción de acero, la asociación lo ve también en el segmento de las viviendas prefabricadas de poca altura. Por ejemplo, una filial de la empresa Knauf, Novy Dom LLC, construyó una cabaña en Krasnogorsk utilizando estructuras metálicas. Es ecológico, adaptado al ruso. condiciones climáticas, y lo más importante, se montó en 48 horas, ya se pintaron las paredes, se instalaron la cocina y el dormitorio.

En China, se ha desarrollado toda una serie de edificios de poca altura: son prefabricados, fabricados completamente en fábrica, las estructuras están conectadas mediante "clics" y todas las comunicaciones ya están instaladas en ellos en la fábrica, gracias a lo cual el El edificio se puede construir en cuestión de horas.

La principal ventaja de las estructuras de acero es la posibilidad de entrega a regiones remotas, lo que hizo popular la construcción de acero de poca altura. En Rusia, en el territorio de Vologda, Arkhangelsk y otras regiones, ya hay muchas casas de acero de poca altura.

Además, se espera un gran auge en la construcción de pequeños almacenes urbanos que proporcionen la logística de producción, que seguramente serán de acero, porque el mayor consumo de estructuras metálicas se observa en la construcción de fábricas e instalaciones industriales.

Además, en un futuro próximo, se planea construir alrededor de 512 objetos más allá del Círculo Polar Ártico para Ejército ruso, y el Departamento de Defensa puede actuar como impulsor tecnologías innovadoras que se utilizará con éxito en el futuro.

Actualmente en Rusia se produce acero al nivel del acero extranjero, con una resistencia de hasta 445 MPa, lo que cubre hasta el 100% de toda la construcción en el país. Por supuesto, hay edificios individuales que, debido a cargas de viento o sísmicas, requieren acero de mayor resistencia. Por ejemplo, para las columnas de la Torre Ahmad se utiliza acero extranjero con una resistencia de 690 MPa. Severstal produce acero de grado 390, adecuado para estructuras flexibles de gran altura. Y hoy en día, casi todos los edificios de hasta 220 m de altura se pueden construir con acero ruso. Anteriormente, Rusia no tenía suficiente variedad de materiales, pero ahora, gracias a EVRAZ, se está considerando la posibilidad de cambiar las secciones seleccionadas de la Torre Ahmad al surtido ruso.

“Las soluciones de acero o compuestas son el futuro de nuestro país”, concluyó Alexander Danilov en el evento.

Galina Krupen

Para una serie temporal determinada, no siempre es posible elegir un modelo adecuado para el cual una serie de perturbaciones mi, satisfará los requisitos previos básicos del análisis de regresión. Hasta ahora hemos considerado modelos de la forma (6.7), en los que la variable t-"tiempo". En econometría también se utilizan ampliamente otros modelos de regresión, en los que los regresores son variables de retraso, es decir, variables, cuya influencia en el modelo econométrico se caracteriza por cierto retraso. Otra diferencia entre los modelos de regresión considerados en esta sección es que las variables explicativas que se presentan en ellos son cantidades aleatorio.(Consulte el Capítulo 8 para obtener más información sobre estos modelos).

donde p 0 , p,..., p i son algunas constantes.

Describe el proceso en estudio en este momento. t dependiendo de sus valores en los momentos anteriores /- 1, t- 2,..., t-p.

Si el proceso en estudio yt en el momento t determinado por sus valores sólo en el período anterior t- 1, entonces considere modelo autorregresivo 1 -ésimo orden(o modelo AR (1) - Proceso aleatorio de Markov):

Ejemplo 6.5. La tabla contiene datos que reflejan la dinámica del precio de las acciones de una determinada empresa (unidades monetarias):

Tabla 6.2

Solución. Un intento de seleccionar un modelo adecuado de la forma (6.7) con una tendencia lineal o polinómica para una serie de tiempo determinada resulta inútil.

La ecuación de regresión encontrada es significativa al nivel del 5% según el criterio /', ya que el valor realmente observado del estadístico F= 24,32 > /o.05; 1; 19 = 4,35. Se puede demostrar (por ejemplo, utilizando el criterio de Durbin-Watson) (ver más abajo, § 7.7)) que las perturbaciones (errores) zf en este modelo, satisfacen las condiciones del modelo clásico y los métodos que ya hemos estudiado se pueden utilizar para hacer un pronóstico.

Cálculos similares al ejemplo 6.3 dan un pronóstico puntual según la ecuación (6.13):

e intervalo en un nivel de significancia de 0,05 para los valores promedio e individual -

Entonces, con una confiabilidad de 0,95, el valor promedio del precio de las acciones de esta empresa en este momento t= 23 se concluirá en el rango de 1046,6 a 1341,6 (unidades den.), y su valor individual, de 879,1 a 1509,1 (unidades den.). ?

Junto con los modelos de series de tiempo autorregresivos, la econometría también considera modelos de media móvil*, en el que el valor simulado viene dado por una función lineal de perturbaciones (errores) en momentos anteriores.

Modelo de orden q-vo de media móvil(o modelo MAMÁ()), tiene la forma:

La econometría también utiliza modelos combinados de series temporales. Arkansas Y MAMÁ.

Como conclusión de este capítulo, observamos que el uso de modelos autorregresivos apropiados para pronosticar indicadores económicos, es decir, pronóstico automático sobre la base de los modelos considerados, puede resultar muy eficaz (por regla general, a corto plazo).

Ejercicios

Los ejemplos 6.6-6.8 tienen los siguientes datos de rendimiento para el trigo de invierno y,(c/ha) durante 10 años:

• 6.6. Encuentre el valor medio, la desviación estándar y los coeficientes de autocorrelación (para rezagos m = 1; 2) de la serie de tiempo.
• 6.7. Encuentre la ecuación de tendencia de la serie temporal y h suponiendo que es lineal y pruebe su significancia en el nivel 0,05.
• 6.8. Realizar suavizado de series temporales y, Método de media móvil que utiliza una media aritmética simple con un intervalo de suavizado: a)t= 3; b)t= 5.
• 6.9. El cuadro presenta datos que reflejan la dinámica del crecimiento del ingreso per cápita. yt(unidades den.) por un período de ocho años:

Uso de modelos autorregresivos: media móvil integrada (modelos ARIMA)

Modelos de series temporales estacionarias

Un lugar importante en los estudios analíticos se otorga a los modelos de series temporales estacionarias. Esto se explica por el hecho de que con la ayuda de ciertas transformaciones (tomar la diferencia, extraer una tendencia, etc.), muchas series de tiempo se pueden reducir a una forma estacionaria; además, los residuos obtenidos después del modelado a menudo contienen dependencias estadísticas que se puede describir utilizando estos modelos.

hay conceptos estacionariedad en el sentido estricto y amplio.

La fila se llama estrictamente estacionario (estrictamente estacionario) o estacionario en sentido estricto si la distribución conjunta t las observaciones son las mismas que para GP observaciones, para cualquier

De esta definición se deduce que las propiedades de una serie temporal estrictamente estacionaria no dependen del origen del tiempo.

Los estudios prácticos a menudo se basan en el concepto. débil estacionario), o estacionariedad en un sentido amplio, lo cual está relacionado con el requisito de que las series de tiempo tengan una media, varianza y covarianza que no dependan de un punto en el tiempo. t

Por tanto, la autocovarianza y(t) depende sólo del valor del rezago m, pero no depende de t.

Estrechamente relacionado con el concepto de autocovarianza está el concepto función de autocorrelación, ACF ( función de autocorrelación, ACF). Los valores de los coeficientes ACF caracterizan el grado de relación estadística entre los niveles de la serie temporal, separados por m períodos temporales, y se determinan de la siguiente manera:

Es obvio que . Al analizar el comportamiento de la función de autocorrelación solo se consideran valores positivos de los rezagos, ya que de la condición de estacionariedad se desprende que .

En estudios prácticos, los valores muestrales de los coeficientes de autocorrelación se estiman en función de los niveles disponibles de la serie temporal:

Dónde PAG– duración de la serie temporal – cambio de tiempo; .

Un gráfico que refleja el cambio en los coeficientes de autocorrelación para varios valores de rezago se llama correlograma (correlograni).

Para una serie de tiempo estacionaria, a medida que aumenta el retraso, los valores de los coeficientes de autocorrelación deberían demostrar una rápida disminución monótona en valor absoluto.

En la fig. La Figura 8.19 muestra un ejemplo de una función de autocorrelación calculada para una serie temporal de dinámica de producción mensual de petróleo.

Arroz. 8.19.

Un análisis gráfico preliminar de la serie inicial indicó la presencia de una tendencia y una periodicidad, lo cual es consistente con la Fig. 8.19. Los valores de los coeficientes de autocorrelación no muestran una caída rápida, lo que indica la naturaleza no estacionaria de la serie temporal, mientras que se observa un aumento en el desfase estacional número 12.

Junto con el ACF, en el análisis de series temporales, se utiliza mucho función de autocorrelación privada. CHAKF (función de autocorrelación parcial, PACF), cuyos coeficientes miden la correlación entre los niveles de una serie separados por m ciclos de tiempo, excluyendo la influencia de todos los niveles intermedios en esta relación. En los paquetes analíticos, es posible construir, junto con el gráfico LCF, el gráfico CHLCF, que muestra el cambio en las estimaciones muestrales de los coeficientes de autocorrelación parcial dependiendo de los valores de rezago. Evidentemente, para los rezagos los coeficientes de autocorrelación y la autocorrelación parcial coincidirán, pero con los rezagos posteriores aparecerán diferencias en sus valores.

Un ejemplo de estacionariedad es ruido blanco), cuyas propiedades se pueden representar como

Dónde

Por lo tanto, en , la constante de dispersión no depende de

Un ejemplo de ruido blanco son los residuos en un modelo de regresión lineal clásico, que, si se distribuyen normalmente, forman ruido blanco gaussiano.

En la fig. La Figura 8.20 muestra un ejemplo de una serie de tiempo correspondiente a una implementación de un proceso gaussiano de ruido blanco. Se debe prestar atención a la naturaleza irregular de las fluctuaciones en los niveles de esta serie temporal alrededor de cero, así como a la proximidad de los coeficientes de autocorrelación a cero, lo que se debe a las propiedades (8.25).

El análisis de la naturaleza del comportamiento de ACF y FACF es un paso importante en la elección de modelos.

En la práctica, generalizado modelos autorregresivos Y modelos de media móvil Se utiliza para series de tiempo estacionarias.

Los modelos autorregresivos se abrevian como AR (R) o en versión inglesa AR(p) (modelos autorregresivos de orden p), donde parámetro pag especifica el orden de autorregresión. En general, el proceso autorregresivo de orden. R tiene la forma

Dónde EN es el operador de turno, es decir transformación de la serie temporal, desplazándola en un ciclo temporal; F(V) es el operador de autorregresión.

La condición de estacionariedad se cumple si todas las raíces del polinomio Ф(В) se encuentran fuera del círculo unitario, es decir, todas las raíces de la ecuación característica exceden uno en valor absoluto y son diferentes.

la ecuación característica toma la forma , o , mientras que sus raíces y son mayores que la unidad en valor absoluto, por lo tanto, tenemos un proceso estacionario.

Arroz. 8.20. La dinámica de la serie temporal simulada correspondiente a la implementación del proceso gaussiano de ruido blanco ( a ), y su función de autocorrelación (b)

donde es un coeficiente numérico que satisface la condición de una secuencia de variables aleatorias que forman ruido blanco.

Para el proceso de Markov (8.26), la expectativa matemática y la varianza, respectivamente, son

Se puede demostrar que AR(1) satisface la igualdad, por lo tanto, i, por lo tanto, la cercanía de la correlación entre los miembros de la secuencia disminuye exponencialmente a medida que aumenta el valor del rezago.

En este caso, es el coeficiente de autocorrelación de primer orden, ya que

Al ajustar un modelo, es útil analizar el comportamiento de la función de autocorrelación parcial. Los valores FACF para el proceso А/?(1) son iguales a cero para todos los rezagos. Sin embargo, esta propiedad es válida para la función teórica de autocorrelación parcial. Al analizar los coeficientes de la función de autocorrelación parcial muestral, se debe partir del hecho de que el uso del modelo LD(1) no contradice los datos originales si los valores de los coeficientes difieren ligeramente de cero en .

Limitar los valores del coeficiente a (|a|< 1) определяет условие стационарности для ARKANSAS( 1).

Ejemplos de funciones de autocorrelación muestral, con características para ARKANSAS( 1) el comportamiento de los coeficientes se muestra en la fig. 8.21, 8.22. Estas cifras muestran claramente picos en el retraso nervioso en el FACF, mientras que se observa una caída exponencial de los valores de los coeficientes LCF (con un valor positivo - caída monótona (ver Fig. 8.21), con un valor negativo - signo alterno ( ver figura 8.22)).

El modelo correspondiente al valor describe proceso de paseo aleatorio. En este caso, cada valor actual está determinado por una desviación aleatoria del anterior:

Sin embargo, como se muestra en la fig. 8.23, las propiedades del proceso de paseo aleatorio difieren significativamente de las ARKANSAS( 1) en. El proceso de caminata aleatoria no es estacionario, lo que es consistente con la lenta caída de los coeficientes de autocorrelación en la Fig. 8.23.

En la investigación económica, también existen los llamados procesos de navidad, o procesos autorregresivos de segundo orden - ARKANSAS( 2):

¿Dónde está el ruido blanco?

Para el proceso de Yule, puede obtener una expresión que le permita calcular los valores de autocorrelación para diferentes rezagos ():

Después de sustituir los valores en la expresión (8.27), teniendo en cuenta que , podemos obtener el llamado Sistema Yule-Walker (Yule-Requisitos del andador) Para Arkansas(2):

Arroz. 8.21. Un ejemplo de funciones de autocorrelación para una serie temporal generada con un modelo AR( 1) en a = 0,8 (la raíz es 1,25):

A - ACF: b - CHAKF

Arroz. 8.22.

A - ACF; b - CHAKF

Arroz. 8.23. Series de tiempo generadas con un modelo de paseo aleatorio.(A), y su función de autocorrelación (b)

Este sistema permite expresar los coeficientes del modelo a través de los valores de los coeficientes de autocorrelación.

En este caso, las condiciones de estacionariedad para el proceso. RA(2) se puede presentar de la siguiente forma:

En el caso general, para el proceso, la expresión que permite calcular los valores de autocorrelación para diferentes rezagos () tomará la forma

Sustitución secuencial en la fórmula (8.28) de valores de rezago k = 1, 2. .... R lleva a R ecuaciones del sistema Yule-Walker. Este sistema permite obtener estimaciones de los coeficientes del modelo después de sustituir en él los valores de los coeficientes de autocorrelación muestrales.

Así, el estudio del comportamiento de los coeficientes de autocorrelación y las funciones de autocorrelación parcial ayuda significativamente a identificar modelos autorregresivos.

Sobre la viabilidad de utilizar el modelo. RA(p) puede indicar los valores de los coeficientes LCF, lo que demuestra una caída exponencial (ya sea monótona o con un cambio de signo alterno), mientras que en los valores de los coeficientes FACF debe haber valores atípicos (picos) en los primeros rezagos, y los valores restantes de los coeficientes son estadísticamente insignificantes.

También se utilizan ampliamente en el modelado de series temporales estacionarias. modelos de media móvil, denotado por СС(q) o en la versión inglesa MA(q) (modelos de media móvil). Modelo MA(q) tiene la forma

¿Dónde está el ruido blanco?

En la práctica, los modelos de media móvil de órdenes bajos se utilizan con mayor frecuencia:

Es posible transformar la relación (8.29) para MA(1) en la siguiente forma, expresando sucesivamente, etc.:

La transformación realizada muestra que la serie presentada en forma de modelo MAMÁ( 1) (8.29) también se puede representar como un modelo autorregresivo de orden infinito (8.30).

Si en el modelo MAMÁ( 1) el parámetro θ será mayor que uno en valor absoluto, entonces según la expresión (8.30) el valor actual y, dependerá de los niveles pasados, tomados con pesos que aumentan indefinidamente a medida que retrocedes hacia el pasado. La antigüedad de la información no se tendrá en cuenta incluso si el valor del parámetro es igual a uno. Por tanto, se requiere una condición para que los pesos de la expresión (8.30) formen una serie convergente.

Tenga en cuenta que también es posible representar AR (1) en forma de ML (<=°). На коэффициенты процесса AR(pag.) no se imponen condiciones de reversibilidad, pero para que se cumpla la condición de estacionariedad del proceso, las raíces de su ecuación característica deben estar fuera del círculo unitario. Al mismo tiempo, por la reversibilidad del proceso. MA(q) las raíces de su ecuación característica

debe estar fuera del círculo unitario; al mismo tiempo, no se imponen restricciones a los coeficientes del modelo para satisfacer la condición de estacionariedad.

Se puede representar una expresión para los coeficientes de autocorrelación del proceso. MA(q) como

Esta representación implica un rasgo característico del comportamiento del ACF para el proceso. MA(q): para todos los valores de rezagos τ que exceden el orden del modelo q, los coeficientes de autocorrelación son cero.

Los valores de ACF para un caso particular (el modelo ML(1)) se determinan de la siguiente manera:

El comportamiento del FACF se asemeja a un exponente decreciente y viene dado por la expresión

Ejemplos de funciones de autocorrelación muestral con características para MAMÁ( 1) el comportamiento de los coeficientes se muestra en la Fig. 8.24, 8.25. En la fig. 8.24 correspondiente a la serie de tiempo generada por el modelo MAMÁ( 1) en el valor del parámetro, hay un pico positivo en el ACF, mientras que los coeficientes en el FACF demuestran una atenuación con un signo variable. A su vez, en la Fig. 8.25, que ilustra la naturaleza del comportamiento de la ACF y la FACF para la implementación del proceso MAMÁ( 1 ) en el valor del parámetro, hay un exceso en el ACF en la región negativa, así como una atenuación de los coeficientes correspondientes en el CLCF.

Las propiedades de los modelos de media móvil nos permiten formular las siguientes recomendaciones prácticas. Sobre la viabilidad de utilizar el modelo. MA(q) puede indicar la presencia de valores atípicos (picos) en la primera q rezagos de la función de autocorrelación, mientras que la función de autocorrelación parcial debe exhibir una caída exponencial (signo monótono o alterno).

El modelo también se puede utilizar para describir procesos estacionarios. autorregresión – media móvil - ARSS (p,q), o, como es habitual en la versión inglesa, ARMA(p, q) (modelo de media móvil autorregresiva), que incluye tanto términos autorregresivos como términos que modelan el residual como un proceso de media móvil.

Arroz. 8.24.

a– LKF: d-CHAKF

Arroz. 8.25.

A– ACF; b– CHAKF

Modelo ARMA(p, q),V cual parametro R determina el orden del componente autorregresivo, un q- El orden de las medias móviles tiene la forma.

En este modelo, los valores pasados ​​de la propia variable dependiente se consideran variables explicativas y los promedios móviles de los elementos de ruido blanco se consideran residuos de regresión.

La estacionariedad del proceso (8.31) requiere que todas las raíces de la ecuación característica estén fuera del círculo unitario. AR(pag.) proceso. De manera similar, para que el proceso (8.31) sea reversible, se requiere que todas las raíces de la ecuación característica del proceso estén fuera del círculo unitario. MA(q).

Por ejemplo, la versión más simple del modelo mixto. ARMA( 1, 1) se puede representar como

En este caso, la estacionariedad del proceso está asegurada por la condición y la reversibilidad está asegurada por el cumplimiento de la restricción.

Para proceso ARMA( 1, 1) los valores de los coeficientes de autocorrelación se determinan de la siguiente manera:

De estas expresiones se deduce que los valores de los coeficientes de autocorrelación disminuirán exponencialmente a partir del valor. En el caso de un valor positivo del coeficiente a, la disminución será monótona, con un valor negativo de a, la disminución de los coeficientes de autocorrelación será de signos alternos.

El comportamiento de la FACF también se caracteriza por una disminución exponencial, con un valor positivo de Θ - monótono, con un valor negativo - signo alterno.

Las características consideradas del comportamiento de ACF y FACF juegan un papel importante en la elección de los modelos.