Cuales rectas están determinadas por las siguientes ecuaciones. Geometría analítica en el plano. Superficies de segundo orden: Libro de texto. condición de perpendicularidad
El concepto más importante de la geometría analítica es ecuación de una recta en un plano.
Definición. Ecuación de una línea (curva) en un plano oxi llamada ecuación que satisface las coordenadas X Y y cada punto de esta línea y no satisfacen las coordenadas de ningún punto que no se encuentre en esta línea (Fig. 1).
En general, la ecuación de línea se puede escribir como F(x,y)=0 o y=f(x).
Ejemplo. Encuentre la ecuación del conjunto de puntos equidistantes de los puntos A(-4;2), B(-2;-6).
Solución. Si M(x;y) es un punto arbitrario de la línea deseada (Fig. 2), entonces tenemos AM = BM o
Después de las transformaciones, obtenemos
Obviamente, esta es la ecuación de una línea recta. Maryland- perpendicular restaurada desde la mitad del segmento AB.
De todas las líneas en el plano, de particular importancia es línea recta. Es un gráfico de una función lineal utilizada en los modelos económicos y matemáticos lineales más comunes en la práctica.
Diferentes tipos ecuaciones de linea recta:
1) con pendiente k y ordenada inicial b:
y = kx + b,
donde es el ángulo entre la recta y la dirección positiva del eje OH(Fig. 3).
Casos especiales:
- la línea pasa a través origen(fig.4):
– bisectrizángulos coordenados primero y tercero, segundo y cuarto:
y=+x, y=-x;
- derecho paralelo al eje x y ella misma eje buey(Fig. 5):
y=b, y=0;
- derecho paralelo al eje OY y ella misma eje OY(Fig. 6):
x=a, x=0;
2) pasando en esta dirección (con pendiente) k a través del punto dado (figura 7) :
.
Si en la ecuación anterior k es un número arbitrario, entonces la ecuación define haz de lineas rectas pasando por el punto , a excepción de una línea recta paralela al eje Oh.
EjemploA(3,-2):
a) formando un ángulo con el eje OH;
b) paralelo al eje OY.
Solución.
A) 
, y-(-2)=-1(x-3) o y=-x+1;
b) x=3.
3) pasando por dos puntos dados (Figura 8) :
.
Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(-5.4), B(3,-2).
Solución. 
,
4) ecuación de una recta en segmentos (fig.9):
Dónde a, b- segmentos cortados en los ejes, respectivamente Buey Y Oh.
Ejemplo. Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto A(2,-1), si esta línea se corta del semieje positivo Oye un segmento dos veces más largo que desde el semieje positivo Buey(Figura 10).
Solución. Por condición b=2a, Entonces . Sustituye las coordenadas del punto A(2,-1):
Dónde a=1.5.
Finalmente obtenemos:
O y=-2x+3.
5) ecuación general de una línea recta:
Hacha+Por+C=0,
Dónde a Y b no es igual a cero al mismo tiempo.
Algunas características importantes de las líneas rectas :
1) distancia d de un punto a una recta:
.
2) el ángulo entre las rectas y respectivamente:
Y 
.
3) condición de líneas paralelas:
o .
4) la condición de perpendicularidad de las líneas:
o 
.
Ejemplo 1. Escribe una ecuación para dos rectas que pasan por un punto A(5.1), uno de los cuales es paralelo a la línea 3x+2y-7=0 y la otra es perpendicular a la misma recta. Encuentra la distancia entre rectas paralelas.
Solución. Figura 11.
1) la ecuación de una recta paralela Ax+By+C=0:
de la condición de paralelismo;
tomando el coeficiente de proporcionalidad igual a 1, obtenemos A=3, B=2;
Eso. 3x+2y+C=0;
significado CON hallar sustituyendo las coordenadas A(5,1),
3*5+2*1+C=0, dónde C=-17;
la ecuación de una recta paralela es 3x+2y-17=0.
2) la ecuación de una recta perpendicular de la condición de perpendicularidad tendrá la forma 2x-3y+C=0;
sustituyendo las coordenadas A(5.1), obtenemos 2*5-3*1+C=0, dónde C=-7;
la ecuación de una recta perpendicular es 2x-3y-7=0.
3) distancia entre líneas paralelas se puede encontrar como la distancia desde A(5.1) antes de dar directo 3x+2y-7=0:
.
Ejemplo 2. Dadas las ecuaciones de los lados del triángulo:
3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).
Escribe una ecuación para la bisectriz de un ángulo. A B C.
Solución. Primero, encuentra las coordenadas del vértice. EN triángulo:
,
dónde x=-8, y=0, aquellos. segundo(-8.0)(figura 12) .
Por la propiedad de la bisectriz de la distancia a cada punto M(x, y), bisectrices BD hasta los lados AB Y sol son iguales, es decir
,
Obtenemos dos ecuaciones
x+7y+8=0, 7x-y+56=0.
De la Figura 12, la pendiente de la línea recta deseada es negativa (el ángulo con Oh obtuso), por lo tanto, la primera ecuación nos conviene x+7y+8=0 o y=-1/7x-8/7.
Así, Agip. = s/2 = 2 y bhyp.2 = s2 – agip.2 = 16 – 4 = 12. x2 y2 -7, 0) y la ecuación de la directriz x – 7 = 0. Solución De la ecuación de la directriz tenemos x = - p/2 = 7 o p = -14. Por lo tanto, la ecuación de la parábola requerida es 2 y = -28x. Tarea 12. Determine qué líneas están determinadas por las siguientes ecuaciones. Hacer dibujos. 3 2 1. y = 7 − x − 6 x + 13, y< 7, x ∈ R. 2 Решение 3 2 y−7=− x − 6 x + 13. Возводим обе части 2 уравнения в квадрат: 9 2 (y − 7) 2 = 4 (x − 6 x + 13) или 4 (y − 7) = (x 2 − 6 x + 13). 2 9 Выделяем в правой части полный квадрат: 4 (x − 3) 2 (y − 7) 2 (y − 7) = (x − 3) + 4 или 2 2 − = −1. 9 4 9 Это – сопряженная гипербола. О′(3, 7), полуоси а = 2, b = 3. Заданное же уравнение определяет ветвь гиперболы, расположенную под прямой y – 7 = 0, т.к. y < 7. 1 y +1 2. x = 1 − . 2 2 Решение Область допустимых значений (х, у) определяется условиями ⎧ y +1 ⎪ ≥ 0, ⎧ y ≥ −1, ⎨ 2 → ⎨ ⎪ 1 − x ≥ 0, ⎩ x ≤ 1. ⎩ (y + 1)/2 = 4⋅(1 – x)2 → y + 1 = 8⋅(1 – x)2. Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке (1, -1). 41 3. y = −2 − 9 − x 2 + 8 x . Решение Искомая кривая – часть окружности: (y + 2)2 + (x – 4)2 = 52, y ≤ -2, x ∈ [-1, 9]. 4. y2 – x2 = 0. y Решение y=-x y=x (y – x)⋅(y + x) = 0 – две пересекающиеся прямые. x 0 Задача 13. Какую линию определяет уравнение x2 + y2 = x? Решение Запишем уравнение в виде x2 – x + y2 = 0. Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих х: x2 – x = (x – 1/2)2 – 1/4. 2 ⎛ 1⎞ 1 Уравнение принимает вид ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎝ 2⎠ 4 и определяет окружность с центром в точке (1/2, 0) и радиусом 1/2. Задача 14. Преобразовать уравнение x2 – y2 = a2 поворотом осей на 45° против часовой стрелки. Решение Так как α = -45°, то cos α = 2 2, sin α = − 2 2. Отсюда преобразование поворота принимает вид (см. п.4.2): ⎧ x = 2 2 ⋅ (x′ + y′) , ⎪ ⎨ ⎪ y = 2 2 ⋅ (y′ − x′) . ⎩ Подстановка в исходное уравнение дает х′у′ = а2/2. Проиллюстрируем приведение ecuaciones generales dirige de segundo orden a la forma canónica en varios ejemplos que ilustran diferentes esquemas de transformaciones. Problema 15. Lleva la ecuación 5x2 + 9y2 - 30x + 18y + 9 = 0 a la forma canónica y construye una curva. Solución Agrupamos los términos de esta ecuación que contienen las mismas coordenadas: (5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0, o 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0. 42 y y ′ entre paréntesis a cuadrados perfectos: x 5(x2 - 6x + 9 - 9) + 9(y2 + 2y + 1 - 1) +9 = 0, o 0 5(x - 3)2 + 9(y + 1) 2 = 45. 01 x′ Denotamos x′ = x – 3, y′ = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, es decir, el punto O1(3, -1) es el centro de la curva . La ecuación en el nuevo sistema de coordenadas toma la forma: x′2 y′2 5 x′ + 9 y′ = 45 → 2 2 + = 1 y define una elipse con semiejes 9 5 a = 3, b = 5, que en el sistema de coordenadas original tiene centro en el punto O1(3, -1). 5 2 3 7 Problema 16. Determinar el tipo de curva x + xy + y 2 = 2. 4 2 4 Solución 3 1 , A ≠ C y ϕ = arctan 2 2B 1 (= arctan − 3 = − . A−C 2 6) ⎪ + y′ , 2 2 ⎨ ⎪ y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ = − x′ 1 + y′ 3 ⎪ ⎩ 2 2 y obtenemos la ecuación de la elipse 2 2 5⎛ 3 1⎞ 3⎛ 3 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ 7⎛ 1 3 ⎞ ⎜ x′ + y′ ⎟ + ⎜ x′ + y′ ⎟⎜ − x′ + y′ ⎟ + ⎜ − x′ + y′ ⎟ = 2 . 4⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ 4⎝ 2 2 ⎠ x′ 2 + 2y′ 2 = 2 Solución Movemos el origen de coordenadas a un punto O1(x0, y0) para que la ecuación no contienen x′ e y′ de primer grado. Esto corresponde a una transformación de coordenadas de la forma (ver Sección 4.1): ⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 . La sustitución en la ecuación original da (x′ + x0)2 + (x′ + x0)(y′ + y0) + (y′ + y0)2 – 2(x′ + x0) + 3(y′ + y0) = 0 o x′2 + x′y′ + y′2 + (2x0 + y0 - 2)x′ + (x0 + 2y0 + 3)y′ + x02 + x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0. Sea 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. 43 Solución del sistema de ecuaciones obtenido: x0 = 7/3 y y0 = -8/3. Por lo tanto, las coordenadas del nuevo origen son O1(7/3, -8/3), y la ecuación se convierte en x′2 + x′y′ + y′ 2 = 93/25. Giremos los ejes de coordenadas en un ángulo α tal que desaparezca el término х′у′. Transformemos la última ecuación (ver Sección 4.2): ⎧ x′ = x′′ cos α − y′′ sen α, ⎨ ⎩ y′ = x′′ sen α + y′′ cos α y obtengamos (cos2α + senα ⋅cosα + sin2α)⋅x′′2 + y′′ y y′ x′′ (cos2α - sin2α)⋅x′′y′′ + 0 x + (sin2α - sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′′ 2 = 93/25. Asumiendo cos2α - sin2α = 0, tenemos tg2α = 1. α x′ Por lo tanto, α1,2 = ±45°. Tomemos α = 45°, cos45° = sen45° = 2 2 . 01 Después de los cálculos correspondientes obtenemos 3 2 1 2 93 x ′′ + y ′′ = . 2 2 25 x 2 y b = 186 5 ≈ 2,7 en el sistema de coordenadas doblemente primado obtenido a partir del original por traslación paralela de los ejes de coordenadas al punto O1(7/3, -8/3) y posterior rotación en un ángulo de 45° en sentido antihorario. La ecuación x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0 se reduce a la forma canónica x′′2 y′′2 + 2 = 1. a2 b Problema 18. Canonicalizar la ecuación 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0. Solución El sistema de ecuaciones para encontrar el centro de la curva (fórmula (6) ítem 4.4) ⎧ 4 x0 − 2 y0 − 1 = 0, ⎨ es inconsistente, ⎩ −2 x0 + y0 − 7 = 0 significa que esta curva no tiene centro. Sin cambiar el origen, rotamos los ejes algún ángulo α, las transformaciones de coordenadas correspondientes tienen ⎧ x = x′ cos α − y′ sin α, de la forma: ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cos α. 44 Pasemos a las nuevas coordenadas del lado izquierdo de la ecuación: 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = (4cos2α - 4cosα⋅sinα + sin2α)⋅x′2 + + 2⋅(-4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα ⋅cosα)⋅x′y′ + + (4sin2α + 4sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′2 + + 2⋅(-cosα - 7sinα)⋅x′ + 2⋅(sinα - 7cosα)⋅ y′ + 7. (*) Tratemos ahora de elegir el ángulo α para que el coeficiente de x′y′ desaparezca. Para hacer esto, tenemos que resolver la ecuación trigonométrica -4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα = 0. Tenemos 2sin2α - 3sinα⋅cosα - 2cos2α = 0, o 2tg2α - 3tgα - 2 = 0. Por lo tanto, tgα = 2, o tgα = -1/2. Tomamos la primera solución, que corresponde a la rotación de los ejes por esquina filosa . Conociendo tgα, calculamos cosα y senα: 1 1 tg α 2 cos α = = , sen α = = . 1 + tg 2α 5 1 + tg 2α 5 **) La simplificación adicional de la ecuación (**) se lleva a cabo mediante la traslación paralela de los ejes Ox′, Oy′. Reescribamos la ecuación (**) de la siguiente manera: 5 5(y′2 − 2 y′) − 6 5 x′ + 7 = 0. 5 Complementando la expresión en el primer paréntesis al cuadrado completo de la diferencia y compensando esta suma con el término apropiado, obtenemos: 2 ⎛ 5⎞ 6 5⎛ 5⎞ ⎜ y′ − ⎟ − ⎜ x′ − ⎟ = 0. ⎝ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 ⎠ 5 5, y' = y'' + 5 5 , que corresponde a un desplazamiento paralelo de los ejes de 5 5 en la dirección del eje Ox' y de 5 5 en la dirección del eje Oy'. En coordenadas x′′y′′, la ecuación de esta línea toma la forma 6 5 2 y′′ = x′′ . 5 Esta es la ecuación canónica de una parábola con 3 5 el parámetro p = y con el vértice en el origen del sistema x′′y′′. La parábola 5 está ubicada simétricamente con respecto al eje x″ y se extiende infinitamente en la dirección positiva 45 de este eje. Coordenadas de vértice en el sistema х′у′ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ; ⎟ y en el sistema xy ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5⎠ Problema 19. ¿Qué línea determina la ecuación 4x2 - 4xy + y2 + 4x - 2y - 3 =0? Solución El sistema para encontrar el centro de la curva en este caso tiene la forma: ⎧ 4 x0 − 2 y0 + 2 = 0, y 2x-y+3=0 ⎨ 2x-y+1=0 ⎩ −2 x0 + y0 − 1 = 0. Este sistema es equivalente a una ecuación 2x0 - y0 2x-y-1=0 + 1 = 0, por lo tanto, la recta tiene infinitos centros que forman la recta 2x - y + 1= 0. x Tenga en cuenta que el lado izquierdo de esta ecuación 0 se descompone en factores de primer grado: 4x2 - 4xy + y2 + 4x -2y -3 \u003d \u003d (2x - y + 3) (2x - y - 1). Por lo tanto, la línea en consideración es un par de líneas paralelas: 2xy - y + 3 = 0 y 2x - y - 1 = 0. Problema 20 1. La ecuación 5x2 + 6xy + 5y2 - 4x + 4y + 12 = 0 x′ 2 y′2 se da a la forma canónica x′ 2 + 4y′ 2 + 4 = 0, o + = −1. 4 1 Esta ecuación es similar a la ecuación canónica de una elipse. Sin embargo, no define ninguna imagen real en el plano, ya que para cualquier número real x ′, y ′ el lado izquierdo no es negativo, pero el lado derecho es -1. Tal ecuación y otras similares se denominan ecuaciones de la elipse imaginaria. 2. La ecuación 5x2 + 6xy + 5y2 - 4x + 4y + 4 = 0 x′2 y′2 se reduce a la forma canónica x′ 2 + 4y′ 2 = 0, o + = 0. 4 1 La ecuación también es similar a la ecuación canónica de una elipse, pero no define una elipse, sino un solo punto: x′ = 0, y′ = 0. Tal ecuación y otras similares se llaman ecuaciones de una elipse degenerada. Problema 21. Escribe la ecuación de una parábola si su foco está en el punto F(2, -1) y la ecuación de la directriz D: x - y - 1 = 0. Solución Sea la parábola en algún sistema de coordenadas x′O1y′ tenga la forma canónica y′2 = 2px′. Si la recta y = x – 1 es su directriz, entonces los ejes del sistema de coordenadas x'O1y' son paralelos a la directriz. 46 Hallamos las coordenadas del vértice de la parábola, que coincide con el nuevo origen O1, como punto medio del segmento de la normal a la directriz D que pasa por el foco. Entonces, el eje O1x′ se describe mediante la ecuación y \u003d -x + b, -1 \u003d -2 + b. De donde b = 1 y О1х′: у = -х + 1. Encontramos las coordenadas del punto K de intersección de la directriz y el eje О1х′ de la condición: ⎧ y = x −1 ⎨ , → x К = 1 , y K = 0. ⎩ y = −x + 1 Coordenadas del nuevo origen O1(x0, y0): 1+ 2 3 −1 + 0 1 x0 = = ; y0 = = - . hachas nuevo sistema las coordenadas se giran 2 2 2 2 con respecto a la anterior en un ángulo (-45°). Encontremos р = KF = 2. Así, obtenemos la ecuación de la parábola en el antiguo sistema de coordenadas si sometemos la ecuación de la parábola y′ 2 = 2 2 ⋅x′ a la transformación (ver fórmula (5) ítem 4.3): ⎧ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2 ⎪ x′ = ⎜ x − 2 ⎟ cos(−45°) + ⎜ y + 2 ⎟ sin(−45°), ⎪ x′ = (x − y − 2 ), ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x − sin(−45°) + ⎛ y + cos(−45°) 3⎞ 1⎞ ⎪ y′ = 2 (x + y − 1), ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎩ 2 1 2 y′2 = 2 2 ⋅ x′ ⇒ (x + y − 1) 2 = 2 2 ⋅ (x − y − 2), 2 2 + 2xy + y2 - 6x + 2y + 9 = 0. Problema 22. Escribir la ecuación de una hipérbola si su excentricidad e = 5, foco F(2, -3) y ecuación de directriz y′ y D1 3x - y + 3 = 0 son conocidos Solución 3 B La ecuación de la directriz D1: y = 3x + 3 nos permite concluir que el nuevo eje de coordenadas Ox′ tiene la forma y = (-1/3)x + b, pasa por el punto F( 2, -7 -1 α x A 0 1 3), por lo tanto −3 = − ⋅ 2 + b, de donde b = -7/3 y Ох′ O1 K 3 a/ 5 -7/3 1 7 F x′ es dada por la ecuación y = − x − . 3 3 Sea el origen del nuevo sistema de coordenadas en el punto O1(x0, y0). Encontremos las coordenadas del punto K como las coordenadas del punto de intersección de la directriz D1 y 47 ⎧3 x − y + 3 = 0, 8 9 del eje Ох''′ del sistema ⎨ → xK = − , y K = − . ⎩3y + x + 7 = 0 5 5 3) a la directriz D1: 3x – y + 3 = 0. 3 ⋅ (2) − (−3) + 3 12 a a KF = = , O1K = = , O1F = c = un 2 + segundo 2 , 9 +1 10 mi 5 un 12 O1K = O1F − KF ⇒ = un 2 + b2 − , 5 10 b2 ya que mi = 1 + 2 = 5, segundo 2 = 4a 2 . El valor de a se encuentra a partir de la ecuación a a 12 3 =a 5− y obtenemos a = . En este caso, b2 = 18. 5 10 2 x′2 y′2 La ecuación de la hipérbola en nuevas coordenadas tiene la forma − = 1. 9 2 18 = = : KF 12 10 4 ⎧ 1 ⎪ x0 + x F 4 5 ⎪ xK = , x0 = − , ⎪ 1+1 4 2 ⎨ de donde ⎪ 1 3 y0 + y F y0 = − . ⎪y = 4 , 2 ⎪ K ⎩ 1+1 4 De ∆ ABO: sinα = 1 10 , cosα = 3 10 . Dado que la rotación se realiza a través del ángulo (-α): sin(-α) = − 1 10 , cos(-α) = 3 10 , las fórmulas de transformación de coordenadas (ver (5) en la Sección 4.3) toman la forma: ⎧ ⎛ x ) , ⎪ ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x + 5 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ y + 3 ⎞ 3 , ⎪ y′ = 1 (x + 3 y + 7) ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎩ 10 1 1 (3x − y + 6) (x + 3y + 7) 2 2 )2 - (x + 3y + 7)2 = 180 o 7x2 - y2 - 6xy - 18y + 26x + 17 = 0. 48 Problema 23. Hallar el ángulo polar del segmento dirigido desde el punto (5, 3) al punto (6, 2 3). Solución ρ = (6 − 5) 2 + (2 3 − 3) 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sen ϕ = 3 2 ⇒ ϕ = 60°. (ver cláusula 5.2). Problema 24. Escribir la ecuación de una recta en coordenadas polares, suponiendo que se conocen la distancia p del polo a la recta y el ángulo α del eje polar al rayo dirigido desde el polo perpendicular a la recta. M (ρ, ϕ) Solución L Sabemos que OP = p, ∠ ROA = α, un punto arbitrario M P de la recta L tiene coordenadas (ρ, ϕ). β El punto M se encuentra en la línea L si y solo si α es la proyección del punto M en el rayo OP coincide con el punto P, O A es decir cuando p = ρ⋅cosβ, donde ∠ROM = β. El ángulo ϕ = α + β y la ecuación de la recta L toma la forma ρ⋅cos(ϕ - α) = p. Problema 25. Hallar las ecuaciones polares de las curvas indicadas: 1). x = a, a > 0 Solución ρ⋅cosϕ = a → ρ = a/cosϕ. a 0 ρ 2). y = b, b > 0 b Solución ρ⋅sinϕ = b → ρ = b/sinϕ. 0 ρ 3). (x2 + y2)2 = a2xy Solución: xy ≥ 0, a2 ρ = a ρ cos ϕ sen ϕ → ρ = sen 2ϕ, sen 2ϕ ≥ 0 . 4 2 2 2 2 La ecuación de la curva en coordenadas polares tiene la forma ρ = sen 2ϕ , ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2] y define una rosa de 2 pétalos: Problema 26. Construir las rectas dado en el sistema de coordenadas polares: 1). ρ = 2a⋅sinϕ, a > 0. Solución y x 2 + y 2 = 2a ⋅ , x + y 2 2 a 2 2 x + y – 2ay = 0, ρ 0 49 x2 + (y – a)2 = a2. 2). ρ = 2 + cosϕ. La solución de Línea se obtiene si cada radio vector del círculo ρ = cosϕ se aumenta en dos. Encuentre las coordenadas de los puntos de control: ϕ = 0, ρ = 3; ϕ = π/2, ρ = 2; ϕ = π, ρ = 1. 9 3). ρ = 4 − 5cos ϕ Solución 4 – 5⋅cosϕ > 0, cosϕ< 4/5, ϕ ∈ (arccos(4/5), 2π – arccos(4/5)). При этом ρ⋅(4 - 5⋅cosϕ) = 9. Переходя к декартовым координатам, получаем ⎛ x ⎞ x2 + y2 ⎜ 4 − 5 ⎟ = 9, ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ 16 (x 2 + y 2) = (5 x + 9) , 2 4 x 2 + y 2 = 5 x + 9, 16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81, 9x2 + 90x – 16y2 +81 = 0, 2 2 (x + 5) 2 y 2 9(x + 5) – 16y = 144 → − 2 = 1 – правая ветвь 42 3 гиперболы при указанных ϕ. Кривую можно было построить по точкам, например, при ϕ = π ρ = 9/10. 4). ρ2⋅sin2ϕ = а2. Решение sin 2ϕ ≥ 0, ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2]. a ρ= . sin 2ϕ Перейдем к декартовым координатам, учтем, что ρ2 2 xy sin 2ϕ = 2 cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ 2 = 2 , ρ x + y2 a2 2 тогда кривая принимает вид гиперболы: y = . x Задача 27. Какие линии задаются следующими параметрическими уравне- ниями: 50
define una curva en el plano. El grupo de términos se llama forma cuadrática, 
- forma lineal. Si una forma cuadrática contiene solo cuadrados de variables, entonces su forma se llama canónica, y los vectores de base ortonormal en los que la forma cuadrática tiene una forma canónica se llaman ejes principales de la forma cuadrática.
Matriz 
se llama matriz cuadrática. Aquí a 1 2 = a 2 1 . Para reducir la matriz B a una forma diagonal, es necesario tomar como base los vectores propios de esta matriz, entonces 
, donde λ 1 y λ 2 son los valores propios de la matriz B.
En base a los vectores propios de la matriz B, la forma cuadrática tendrá forma canónica: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Esta operación corresponde a la rotación de los ejes de coordenadas. Luego se desplaza el origen, deshaciéndose así de la forma lineal.
La forma canónica de la curva de segundo orden: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, además:
a) si λ 1 >0; λ 2 >0 es una elipse, en particular, para λ 1 = λ 2 es un círculo;
b) si λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) tenemos una hipérbola;
c) si λ 1 =0 o λ 2 =0, entonces la curva es una parábola y después de girar los ejes de coordenadas se ve como λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (aquí λ 2 =0). Complementando a un cuadrado completo, tendremos: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .
Ejemplo. Dada la ecuación de la curva 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 en el sistema de coordenadas (0,i,j), donde i =(1,0) yj =(0,1).
1. Determinar el tipo de curva.
2. Lleve la ecuación a la forma canónica y construya una curva en el sistema de coordenadas original.
3. Encuentra las transformaciones de coordenadas apropiadas.
Solución. Llevamos la forma cuadrática B=3x 2 +10xy+3y 2 a los ejes principales, es decir, a la forma canónica. La matriz de esta forma cuadrática 
. Encuentre los valores propios y los vectores propios de esta matriz: 
Ecuación característica: 
; λ 1 \u003d -2, λ 2 \u003d 8. Tipo de forma cuadrática: 
.
La ecuación original define una hipérbola.
Tenga en cuenta que la forma de la forma cuadrática no es única. Puedes escribir 8x 1 2 -2y 1 2 , pero el tipo de curva sigue siendo el mismo: una hipérbola.
Encontramos los ejes principales de la forma cuadrática, es decir, los vectores propios de la matriz B. 
.
Vector propio correspondiente al número λ=-2 para x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Como vector propio unitario, tomamos el vector 
, donde es la longitud del vector x 1 .
Las coordenadas del segundo vector propio correspondiente al segundo valor propio λ=8 se encuentran a partir del sistema 
.
1, j 1).
Según las fórmulas (5) del apartado 4.3.3. pasamos a la nueva base: 
o
; 
. (*)
Introducimos las expresiones x e y en la ecuación original y, tras transformaciones, obtenemos:
.
Seleccionar cuadrados completos:
.
Realizamos una traslación paralela de los ejes de coordenadas a un nuevo origen:
, 
.
Si introducimos estas relaciones en (*) y resolvemos estas igualdades con respecto a x 2 y y 2, entonces obtenemos:
, 
. En el sistema de coordenadas (0*, i 1 , j 1) esta ecuación tiene la forma: 
.
Para construir una curva, construimos una nueva en el antiguo sistema de coordenadas: el eje x 2 =0 está dado en el antiguo sistema de coordenadas por la ecuación x-y-3=0, y el eje y 2 =0 por la ecuación x+ y-1=0. El origen del nuevo sistema de coordenadas 0 * (2,-1) es el punto de intersección de estas líneas.
Para simplificar la percepción, dividiremos el proceso de trazado de un gráfico en 2 etapas:
1. Transición a un sistema de coordenadas con ejes x 2 =0, y 2 =0, dado en el antiguo sistema de coordenadas por las ecuaciones x-y-3=0 y x+y-1=0, respectivamente.
2. Construcción en el sistema de coordenadas obtenido de la gráfica de la función.
La versión final del gráfico se ve así: Solución:Descargar Solución
Ejercicio. Establece que cada una de las siguientes ecuaciones define una elipse, y encuentra las coordenadas de su centro C, semiejes, excentricidad, ecuaciones de directriz. Dibuja una elipse en el dibujo, indicando los ejes de simetría, focos y directriz.
Solución.
Una igualdad de la forma F(x, y) = 0 se llama ecuación con dos variables x, y, si no es válida para ningún par de números x, y. Dicen que dos números x \u003d x 0, y \u003d y 0 satisfacen alguna ecuación de la forma F (x, y) \u003d 0, si cuando estos números se sustituyen por las variables x e y en la ecuación, queda lado desaparece.
La ecuación de una línea dada (en el sistema de coordenadas asignado) es una ecuación con dos variables que se satisface con las coordenadas de todos los puntos que se encuentran en esta línea y no se satisface con las coordenadas de todos los puntos que no se encuentran en ella.
En lo que sigue, en lugar de la expresión “dada la ecuación de la recta F(x, y) = 0”, a menudo diremos más corto: dada la recta F(x, y) = 0.
Si se dan las ecuaciones de dos rectas F(x, y) = 0 y Ф(x, y) = 0, entonces la solución conjunta del sistema
F(x, y) = 0, F(x, y) = 0
da todos sus puntos de intersección. Más precisamente, cada par de números que es una solución conjunta de este sistema determina uno de los puntos de intersección,
157. Puntos dados *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Determine cuáles de los puntos dados se encuentran en la línea definida por la ecuación x + y = 0 y cuáles no se encuentran en ella. ¿Qué línea está definida por esta ecuación? (Muéstralo en el dibujo.)
158. En la línea definida por la ecuación x 2 + y 2 \u003d 25, encuentre puntos cuyas abscisas sean iguales a los siguientes números: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; en la misma línea, encuentre puntos cuyas ordenadas sean iguales a los siguientes números: 5) 3, 6) -5, 7) -8. ¿Qué línea está definida por esta ecuación? (Muéstralo en el dibujo.)
159. Determine qué líneas están determinadas por las siguientes ecuaciones (construirlas en el dibujo): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + por + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x2 + y2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Se dan rectas: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x2 + y2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Determina cuáles de ellos pasan por el origen.
161. Se dan líneas: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x2 + y2 - 12x + 16y - 0; 6) x2 + y2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Encuentra los puntos de su intersección: a) con el eje x; b) con el eje Oy.
162. Encuentra los puntos de intersección de dos rectas:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;
2) x2 + y2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0; x2 + y2 = 25;
4) x2 + y2 - 8y + 10y + 40 = 0; x2 + y2 = 4.
163. Puntos M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) y M 5 ( 1;2/3π ). Determine cuáles de estos puntos se encuentran en la línea definida en coordenadas polares por la ecuación p = 2cosΘ y cuáles no se encuentran en ella. ¿Qué línea está determinada por esta ecuación? (Muéstralo en el dibujo.)
164. En la línea definida por la ecuación p \u003d 3 / cosΘ, encuentre puntos cuyos ángulos polares sean iguales a los siguientes números: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . ¿Qué línea está definida por esta ecuación? (Constrúyelo sobre el dibujo).
165. En la línea definida por la ecuación p \u003d 1 / sinΘ, encuentre puntos cuyos radios polares sean iguales a los siguientes números: a) 1 6) 2, c) √2. ¿Qué línea está definida por esta ecuación? (Constrúyelo sobre el dibujo).
166. Determine qué líneas están determinadas en coordenadas polares por las siguientes ecuaciones (construirlas en el dibujo): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) ð cosΘ = 2; 5) p senΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 senΘ; 8) senΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Construya las siguientes espirales de Arquímedes sobre el dibujo: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.
168. Construye las siguientes espirales hiperbólicas sobre el dibujo: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) r = π/Θ; 4) r= - π/Θ
169. Construya las siguientes espirales logarítmicas en el dibujo: 1) p \u003d 2 Θ; 2) pags = (1/2) Θ .
170. Determina la longitud de los segmentos en los que la espiral de Arquímedes p = 3Θ corta el haz que sale del poste e inclinado con respecto al eje polar en un ángulo Θ = π / 6. Haz un dibujo.
171. El punto C se toma en la espiral de Arquímedes p \u003d 5 / πΘ, cuyo radio polar es 47. Determine cuántas partes corta esta espiral el radio polar del punto C. Haga un dibujo.
172. En una espiral hiperbólica P \u003d 6 / Θ, encuentre un punto P, cuyo radio polar sea 12. Haga un dibujo.
173. En una espiral logarítmica p \u003d 3 Θ encuentra un punto P, cuyo radio polar es 81. Haz un dibujo.
Considere una relación de la forma F(x, y)=0 vinculando las variables X Y en. La igualdad (1) se llamará ecuación con dos variables x, y, si esta igualdad no es cierta para todos los pares de números X Y en. Ejemplos de ecuaciones: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sen x + sen y - 1 = 0.
Si (1) es cierto para todos los pares de números x e y, entonces se llama identidad. Ejemplos de identidad: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
La ecuación (1) se llamará la ecuación del conjunto de puntos (x; y), si esta ecuación es satisfecha por las coordenadas X Y en cualquier punto del conjunto y no satisfacen las coordenadas de ningún punto que no pertenezca a este conjunto.
Un concepto importante en geometría analítica es el concepto de la ecuación de una línea. Sea un sistema de coordenadas rectangulares y alguna recta α.
Definición. La ecuación (1) se llama la ecuación de línea α
(en el sistema de coordenadas creado), si esta ecuación es satisfecha por las coordenadas X Y en cualquier punto de la linea α
, y no satisface las coordenadas de ningún punto que no se encuentre en esta línea.
Si (1) es la ecuación de línea α, entonces diremos que la ecuación (1) determina (establece) línea α.
Línea α puede determinarse no solo por una ecuación de la forma (1), sino también por una ecuación de la forma
F(P, φ) = 0, que contiene coordenadas polares.
- ecuación de una línea recta con una pendiente;
Sea una recta, no perpendicular al eje, dada OH. Llamemos ángulo de inclinación línea dada al eje OH esquina α por el cual rotar el eje OH de modo que la dirección positiva coincida con una de las direcciones de la línea recta. La tangente del ángulo de inclinación de una recta al eje OH llamado factor de pendiente esta línea recta y denotada por la letra A.
|
|||
|
|||
Derivamos la ecuación de esta línea recta, si conocemos su A y el valor en el segmento VO, que ella corta en el eje UNED.
|
|
La ecuación (2) se llama ecuación de una recta con pendiente. Si K=0, entonces la recta es paralela al eje OH y su ecuacion es y = b.
- ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos;
|
|
. Esta es la ecuación si año 1 ≠ año 2, Se puede escribir como: Si y 1 = y 2, entonces la ecuación de la recta deseada tiene la forma y = y 1. En este caso, la recta es paralela al eje. OH. Si x1 = x2, entonces la recta que pasa por los puntos METRO 1 Y M 2, paralelo al eje UNED, su ecuación tiene la forma x = x 1.
- ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado con una pendiente dada;
|
|
y, a la inversa, la ecuación (5) para coeficientes arbitrarios A B C (A Y segundo ≠ 0 simultáneamente) define alguna línea en un sistema de coordenadas rectangulares Ohu.
Prueba.
Probemos primero la primera afirmación. Si la recta no es perpendicular Oh, entonces está determinada por la ecuación de primer grado: y = kx + b, es decir. ecuación de la forma (5), donde
A=k, B=-1 Y C = segundo. si la linea es perpendicular Oh, entonces todos sus puntos tienen la misma abscisa igual al valor α segmento cortado por una línea recta en el eje Oh.
La ecuación de esta recta tiene la forma x = α, aquellos. es también una ecuación de primer grado de la forma (5), donde A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Esto demuestra la primera afirmación.
Probemos la afirmación inversa. Sea dada la ecuación (5), y al menos uno de los coeficientes A Y segundo ≠ 0.
Si segundo ≠ 0, entonces (5) se puede escribir como . en pendiente 
, obtenemos la ecuación y = kx + b, es decir. una ecuación de la forma (2) que define una línea recta.
Si B = 0, Eso A ≠ 0 y (5) toma la forma . denotar a través de α, obtenemos
x = a, es decir. ecuación de una recta perpendicular Ox.
Las líneas definidas en un sistema de coordenadas rectangulares por una ecuación de primer grado se llaman líneas de primer orden.
Ecuación tipo Ah + Wu + C = 0 es incompleto, es decir uno de los coeficientes es igual a cero.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 y define una línea que pasa por el origen.
2) B = 0 (A ≠ 0); la ecuacion Hacha + C = 0 UNED.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 y define una recta paralela Oh.
La ecuación (6) se llama la ecuación de una línea recta "en segmentos". Números A Y b son los valores de los segmentos que corta la recta en los ejes coordenados. Esta forma de la ecuación es conveniente para la construcción geométrica de una línea recta.
- ecuación normal de una línea recta;
Аx + Вy + С = 0 es la ecuación general de alguna línea recta, y (5) X porque α + y sen α – p = 0(7)
su ecuación normal.
Dado que las ecuaciones (5) y (7) definen la misma línea recta, entonces ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 Y
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) los coeficientes de estas ecuaciones son proporcionales. Esto significa que al multiplicar todos los términos de la ecuación (5) por algún factor M, obtenemos la ecuación MA x + MB y + EM = 0, coincidiendo con la ecuación (7) i.e.
MA = cos α, MB = sen α, MC = - P(8)
Para encontrar el factor M, elevamos al cuadrado las dos primeras de estas igualdades y sumamos:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sen 2 α \u003d 1
(9)
