Determine el ángulo agudo entre las líneas. Ángulo entre rectas en un plano. Perpendicular a esta línea

El artículo habla de encontrar el ángulo entre planos. Después de traer la definición, estableceremos una ilustración gráfica, consideraremos un método detallado para encontrar coordenadas por el método. Obtenemos una fórmula para planos que se cortan, que incluye las coordenadas de los vectores normales.

El material utilizará datos y conceptos que se estudiaron previamente en artículos sobre el plano y la línea en el espacio. Para empezar, es necesario pasar a un razonamiento que permita tener un cierto enfoque para determinar el ángulo entre dos planos que se cortan.

Se dan dos planos de intersección γ 1 y γ 2. Su intersección llevará la designación c . La construcción del plano χ está conectada con la intersección de estos planos. El plano χ pasa por el punto M como una línea recta c. Los planos γ 1 y γ 2 se intersecarán utilizando el plano χ. Aceptamos las designaciones de la recta que corta γ 1 y χ para la recta a, y la recta que corta γ 2 y χ para la recta b. Obtenemos que la intersección de las rectas a y b da el punto M .

La ubicación del punto M no afecta el ángulo entre las líneas de intersección a y b, y el punto M está ubicado en la línea c a través de la cual pasa el plano χ.

Es necesario construir un plano χ 1 perpendicular a la línea c y diferente del plano χ . La intersección de los planos γ 1 y γ 2 con la ayuda de χ 1 tomará la designación de líneas a 1 y b 1 .

Se puede ver que al construir χ y χ 1, las rectas a y b son perpendiculares a la recta c, luego a 1, b 1 son perpendiculares a la recta c. Encontrando las líneas a y a 1 en el plano γ 1 con perpendicularidad a la línea c, entonces pueden considerarse paralelas. De la misma manera, la ubicación de b y b 1 en el plano γ 2 con la perpendicularidad de la línea c indica su paralelismo. Esto quiere decir que es necesario hacer un traslado paralelo del plano χ 1 a χ, donde obtenemos dos rectas coincidentes a y a 1 , b y b 1 . Obtenemos que el ángulo entre las rectas que se cortan a y b 1 es igual al ángulo de las rectas que se cortan a y b.

Considere la siguiente figura.

Este juicio se prueba por el hecho de que entre las líneas que se cortan a y b hay un ángulo que no depende de la ubicación del punto M, es decir, el punto de intersección. Estas líneas están ubicadas en los planos γ 1 y γ 2 . De hecho, el ángulo resultante se puede considerar como el ángulo entre dos planos que se intersecan.

Pasemos a determinar el ángulo entre los planos de intersección existentes γ 1 y γ 2 .

Definición 1

El ángulo entre dos planos que se cortan γ 1 y γ 2 llama al ángulo formado por la intersección de las rectas a y b, donde los planos γ 1 y γ 2 se cortan con el plano χ perpendicular a la recta c.

Considere la siguiente figura.

La definición puede presentarse en otra forma. En la intersección de los planos γ 1 y γ 2, donde c es la línea en la que se cortan, marque el punto M, a través del cual dibuje las líneas a y b, perpendiculares a la línea c y que se encuentran en los planos γ 1 y γ 2 , entonces el ángulo entre las rectas a y b será el ángulo entre los planos. En la práctica, esto es aplicable a la construcción de un ángulo entre planos.

En la intersección se forma un ángulo que tiene un valor menor a 90 grados, es decir, la medida en grados del ángulo es válida en un intervalo de este tipo (0, 90] . A su vez, estos planos se denominan perpendiculares si se forma un ángulo recto en la intersección, el ángulo entre planos paralelos se considera igual a cero.

La forma habitual de encontrar el ángulo entre los planos que se intersecan es realizar construcciones adicionales. Esto ayuda a determinarlo con precisión, y esto se puede hacer usando los signos de igualdad o semejanza del triángulo, senos, cosenos del ángulo.

Considere resolver problemas usando un ejemplo de los problemas del Examen de Estado Unificado del bloque C 2.

Ejemplo 1

Se da un paralelepípedo rectangular A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, donde el lado A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, el punto E separa el lado A A 1 en una proporción de 4: 3. Encuentra el ángulo entre los planos A B C y B E D 1 .

Solución

Para mayor claridad, necesitas hacer un dibujo. eso lo conseguimos

Es necesaria una representación visual para que sea más conveniente trabajar con el ángulo entre los planos.

Hacemos la definición de una línea recta a lo largo de la cual se cortan los planos A B C y B E D 1. El punto B es un punto común. Se debe encontrar un punto más común de intersección. Considere las líneas D A y D 1 E , que están ubicadas en el mismo plano A D D 1 . Su ubicación no indica paralelismo, lo que significa que tienen un punto de intersección común.

Sin embargo, la línea D A está ubicada en el plano A B C, y D 1 E en B E D 1 . Por lo tanto, obtenemos que las líneas DA y D 1 E tienen un punto común de intersección, que también es común para los planos A B C y B E D 1 . Indica el punto de intersección de las líneas. DA y D 1 E letra f De aquí obtenemos que B F es una línea recta a lo largo de la cual se cortan los planos A B C y B E D 1.

Considere la siguiente figura.

Para obtener una respuesta es necesario construir rectas situadas en los planos A B C y B E D 1 con paso por un punto situado sobre la recta B F y perpendicular a ella. Entonces el ángulo resultante entre estas líneas se considera el ángulo deseado entre los planos A B C y B E D 1.

De esto se puede ver que el punto A es la proyección del punto E sobre el plano A B C. Es necesario trazar una línea que interseque la línea B F en ángulo recto en el punto M. Se puede ver que la línea A M es la proyección de la línea E M sobre el plano A B C, basado en el teorema sobre esas perpendiculares A M ⊥ B F . Considere la siguiente figura.

∠ A M E es el ángulo deseado formado por los planos A B C y B E D 1 . Del triángulo resultante A E M podemos encontrar el seno, el coseno o la tangente del ángulo, después del cual el ángulo mismo, solo con sus dos lados conocidos. Por condición, tenemos que la longitud de A E se encuentra de esta manera: la línea A A 1 se divide por el punto E en una proporción de 4: 3, lo que significa que la longitud total de la línea es de 7 partes, entonces A E \u003d 4 partes Encontramos A.M.

Es necesario considerar un triángulo rectángulo A B F. Tenemos un ángulo recto A con altura A M. A partir de la condición A B \u003d 2, podemos encontrar la longitud A F por la similitud de los triángulos D D 1 F y A E F. Obtenemos que A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Es necesario encontrar la longitud del lado B F del triángulo A B F usando el teorema de Pitágoras. Obtenemos que segundo F   = UN segundo 2 + UN F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . La longitud del lado A M se encuentra a través del área del triángulo A B F. Tenemos que el área puede ser igual tanto a S A B C = 1 2 · A B · A F , como a S A B C = 1 2 · B F · A M .

Obtenemos que A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Entonces podemos encontrar el valor de la tangente del ángulo del triángulo A E M. Obtenemos:

t gramo ∠ UN METRO mi = UN mi UN METRO = 4 4 5 5 = 5

El ángulo buscado obtenido por la intersección de los planos A B C y B E D 1 es igual a a r c t g 5, luego, simplificado, obtenemos a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Responder: una r c t gramo 5 = una r c pecado 30 6 = una r c cos 6 6 .

Se dan algunos casos de encontrar el ángulo entre líneas que se cruzan usando el plano de coordenadas O x y z y el método de coordenadas. Consideremos con más detalle.

Si se presenta un problema donde es necesario encontrar el ángulo entre los planos de intersección γ 1 y γ 2, denotamos el ángulo deseado por α.

Entonces el sistema de coordenadas dado muestra que tenemos las coordenadas de los vectores normales de los planos de intersección γ 1 y γ 2 . Entonces denotamos que n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z es un vector normal del plano γ 1 , y n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - para el plano γ 2 . Considere un hallazgo detallado del ángulo ubicado entre estos planos según las coordenadas de los vectores.

Es necesario designar la línea recta a lo largo de la cual los planos γ 1 y γ 2 se cruzan con la letra c. Sobre la línea con tenemos un punto M, a través del cual trazamos un plano χ, perpendicular a c. El plano χ a lo largo de las líneas ayb corta a los planos γ 1 y γ 2 en el punto M . de la definición se sigue que el ángulo entre los planos que se cortan γ 1 y γ 2 es igual al ángulo de las rectas que se cortan a y b pertenecientes a estos planos, respectivamente.

En el plano χ, apartamos los vectores normales desde el punto M y los denotamos n 1 → y n 2 →. El vector n 1 → se encuentra en una línea perpendicular a la línea a, y el vector n 2 → en una línea perpendicular a la línea b. De aquí obtenemos que el plano dado χ tiene un vector normal de la recta a igual a n 1 → y para la recta b igual a n 2 → . Considere la siguiente figura.

De aquí obtenemos una fórmula por la cual podemos calcular el seno del ángulo de las líneas que se cortan usando las coordenadas de los vectores. Encontramos que el coseno del ángulo entre las líneas rectas a y b es el mismo que el coseno entre los planos de intersección γ 1 y γ 2 se deriva de la fórmula cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , donde tenemos que n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) y n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) son las coordenadas de los vectores de los planos representados.

El ángulo entre las líneas que se cruzan se calcula usando la fórmula

α = un r c porque norte 1 X norte 2 X + norte 1 y norte 2 y + norte 1 z norte 2 z norte 1 X 2 + norte 1 y 2 + norte 1 z 2 norte 2 X 2 + norte 2 y 2 + norte 2 z 2

Ejemplo 2

Por condición, se da un paralelepípedo А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , donde A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, y el punto E separa el lado A A 1 4: 3. Encuentra el ángulo entre los planos A B C y B E D 1 .

Solución

Se puede ver a partir de la condición de que sus lados son perpendiculares por pares. Esto significa que es necesario introducir un sistema de coordenadas O x y z con vértice en el punto C y ejes de coordenadas O x, O y, O z. Es necesario poner la dirección en los lados apropiados. Considere la siguiente figura.

Planos de intersección A B C y CAMA 1 forman un ángulo, que se puede encontrar mediante la fórmula 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , donde n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) y n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) son vectores normales de estos planos. Es necesario determinar las coordenadas. De la figura, vemos que el eje de coordenadas O x y coincide en el plano A B C, lo que significa que las coordenadas del vector normal k → igual al valor n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

El vector normal del plano B E D 1 es el producto vectorial B E → y B D 1 → , donde sus coordenadas se encuentran por las coordenadas de los puntos extremos B, E, D 1 , que se determinan en función de la condición del problema.

Obtenemos que B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Como A E E A 1 = 4 3 , a partir de las coordenadas de los puntos A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 encontramos E 2 , 3 , 4 . Obtenemos que segundo mi → = (2 , 0 , 4) , segundo re 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = segundo mi → × segundo re 1 = yo → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ norte 2 → = (12, - 6, - 6)

Es necesario sustituir las coordenadas encontradas en la fórmula para calcular el ángulo a través del arco coseno. Obtenemos

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

El método de coordenadas da un resultado similar.

Responder: arco cos 6 6 .

El problema final se considera para encontrar el ángulo entre los planos que se cortan con las ecuaciones conocidas disponibles de los planos.

Ejemplo 3

Calcula el seno, el coseno del ángulo y el valor del ángulo formado por dos rectas que se cortan, que están definidas en el sistema de coordenadas O x y z y dadas por las ecuaciones 2 x - 4 y + z + 1 = 0 y 3 y - z - 1 = 0 .

Solución

Al estudiar el tema de la ecuación general de la recta de la forma A x + B y + C z + D = 0, se reveló que A, B, C son coeficientes iguales a las coordenadas del vector normal. Por lo tanto, n 1 → = 2 , - 4 , 1 y n 2 → = 0 , 3 , - 1 son vectores normales de rectas dadas.

Es necesario sustituir las coordenadas de los vectores normales de los planos en la fórmula para calcular el ángulo deseado de los planos que se cortan. Entonces obtenemos eso

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Por lo tanto tenemos que el coseno del ángulo toma la forma cos α = 13 210 . Entonces el ángulo de las rectas que se cortan no es obtuso. Sustituyendo en la identidad trigonométrica, obtenemos que el valor del seno del ángulo es igual a la expresión. Calculamos y obtenemos eso

sen α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Responder: sen α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sen 41 210 .

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esquina entre rectas en el espacio llamaremos a cualquiera de los ángulos adyacentes formados por dos rectas trazadas por un punto arbitrario paralelo a los datos.

Sean dadas dos rectas en el espacio:

Obviamente, el ángulo φ entre las líneas se puede tomar como el ángulo entre sus vectores directores y . Como , entonces de acuerdo con la fórmula para el coseno del ángulo entre los vectores obtenemos

Las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas son equivalentes a las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de sus vectores directores y:

dos seguidos son paralelos si y sólo si sus respectivos coeficientes son proporcionales, es decir yo 1 paralelo yo 2 si y solo si paralelo .

dos seguidos perpendicular si y sólo si la suma de los productos de los coeficientes correspondientes es igual a cero: .

A meta entre linea y plano

Deja que la línea d- no perpendicular al plano θ;
d′− proyección de una línea recta d al plano θ;
El menor de los ángulos entre rectas d y d′ vamos a llamar ángulo entre recta y plano.
Lo denotaremos como φ=( d,θ)
si un d⊥θ , entonces ( d,θ)=π/2

Oye→j→k→− sistema de coordenadas rectangulares.
Ecuación plana:

θ: Hacha+Por+cz+D=0

Consideramos que la recta viene dada por un punto y un vector director: d[METRO 0,pags→]
Vector norte→(A,B,C)⊥θ
Entonces queda por encontrar el ángulo entre los vectores. norte→ y pags→, lo denotamos como γ=( norte→,pags→).

Si el ángulo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Si el ángulo γ>π/2, entonces el ángulo requerido φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Después, ángulo entre recta y plano se puede calcular usando la fórmula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ AP 1+pb 2+c.p. 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√pags 21+pags 22+pags 23

Pregunta 29. El concepto de una forma cuadrática. La definición de signo de las formas cuadráticas.

Forma cuadrática j (x 1, x 2, ..., x n) n variables reales x 1, x 2, ..., x n se llama suma de la forma
, (1)

dónde aij son unos números llamados coeficientes. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que aij = un ji.

La forma cuadrática se llama válido, si aij О GR. Matriz de forma cuadrática se llama matriz compuesta por sus coeficientes. La forma cuadrática (1) corresponde a una única matriz simétrica
es decir. UNA T = UNA. Por lo tanto, la forma cuadrática (1) se puede escribir en forma matricial j ( X) = x T Ah, dónde xT = (X 1 X 2 … x norte). (2)

Y viceversa, cualquier matriz simétrica (2) corresponde a una única forma cuadrática hasta la notación de variables.

El rango de la forma cuadrática se llama el rango de su matriz. La forma cuadrática se llama no degenerado, si su matriz es no singular PERO. (recuerde que la matriz PERO se llama no degenerado si su determinante es distinto de cero). De lo contrario, la forma cuadrática es degenerada.

positivo definitivo(o estrictamente positivo) si

j ( X) > 0 , para cualquiera X = (X 1 , X 2 , …, x norte), Además X = (0, 0, …, 0).

Matriz PERO forma cuadrática definida positiva j ( X) también se llama definida positiva. Por lo tanto, una forma cuadrática definida positiva corresponde a una única matriz definida positiva y viceversa.

La forma cuadrática (1) se llama definido negativo(o estrictamente negativo) si

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x norte), Además X = (0, 0, …, 0).

De manera similar a lo anterior, una matriz cuadrática definida negativa también se llama definida negativa.

Por lo tanto, una forma cuadrática definida positivamente (negativamente) j ( X) alcanza el valor mínimo (máximo) j ( X*) = 0 para X* = (0, 0, …, 0).

Tenga en cuenta que la mayoría de las formas cuadráticas no tienen signos definidos, es decir, no son ni positivas ni negativas. Tales formas cuadráticas desaparecen no solo en el origen del sistema de coordenadas, sino también en otros puntos.

Cuando norte> 2, se requieren criterios especiales para verificar la definición de signo de una forma cuadrática. Considerémoslos.

Mayores Menores forma cuadrática se llaman menores:

es decir, estos son menores de orden 1, 2,…, norte matrices PERO, ubicado en la esquina superior izquierda, el último de ellos coincide con el determinante de la matriz PERO.

Criterio de definición positiva (criterio de Silvestre)

X) = x T Ah es definida positiva, es necesario y suficiente que todos los principales menores de la matriz PERO fueron positivos, es decir: METRO 1 > 0, METRO 2 > 0, …, hombre > 0. Criterio de certeza negativa Para que la forma cuadrática j ( X) = x T Ah es definido negativo, es necesario y suficiente que sus principales menores de orden par sean positivos, y los de orden impar sean negativos, es decir: METRO 1 < 0, METRO 2 > 0, METRO 3 < 0, …, (–1)norte

Esquina φ ecuaciones generales A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 y A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, se calcula mediante la fórmula:

Esquina φ entre dos lineas rectas ecuaciones canónicas(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 y (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, se calcula mediante la fórmula:

Distancia de punto a línea

Cada plano en el espacio se puede representar como una ecuación lineal llamada ecuación general plano

Casos especiales.

o Si en la ecuación (8), entonces el plano pasa por el origen.

o Con (,) el plano es paralelo al eje(eje, eje), respectivamente.

o Cuando (,) el plano es paralelo al plano(plane, plane).

Solución: usar (7)

Respuesta: la ecuación general del plano.

Ejemplo.

El plano en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz viene dado por la ecuación general del plano . Escriba las coordenadas de todos los vectores normales en este plano.

Sabemos que los coeficientes de las variables x, y y z en la ecuación general del plano son las coordenadas correspondientes del vector normal de ese plano. Por lo tanto, el vector normal del plano dado tiene coordenadas. El conjunto de todos los vectores normales se puede dar como.

Escribe la ecuación de un plano si en un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio pasa por un punto , a es el vector normal de este plano.

Presentamos dos soluciones a este problema.

De la condición que tenemos. Sustituimos estos datos en la ecuación general del plano que pasa por el punto:

Escribe la ecuación general de un plano paralelo al plano de coordenadas Oyz y que pasa por el punto .

Un plano paralelo al plano de coordenadas Oyz puede estar dado por una ecuación general incompleta del plano de la forma . Desde el punto pertenece al plano por condición, entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación del plano, es decir, la igualdad debe ser verdadera. A partir de aquí nos encontramos. Por lo tanto, la ecuación deseada tiene la forma.

Solución. El producto vectorial, por definición 10.26, es ortogonal a los vectores p y q. Por lo tanto, es ortogonal al plano deseado y el vector puede tomarse como su vector normal. Encuentre las coordenadas del vector n:

eso es . Usando la fórmula (11.1), obtenemos

Abriendo los corchetes en esta ecuación, llegamos a la respuesta final.

Responder: .

Reescribamos el vector normal en la forma y encontremos su longitud:

De acuerdo con lo anterior:

Responder:

Los planos paralelos tienen el mismo vector normal. 1) De la ecuación encontramos el vector normal del plano:.

2) Componemos la ecuación del plano según el punto y el vector normal:

Responder:

Ecuación vectorial de un plano en el espacio

Ecuación paramétrica de un plano en el espacio

Ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Sea un sistema de coordenadas cartesianas rectangular en un espacio tridimensional. Formulemos el siguiente problema:

Escribe una ecuación para un plano que pasa por un punto dado METRO(X 0, y 0, z 0) perpendicular al vector dado norte = ( A, B, C} .

Solución. Dejar PAGS(X, y, z) es un punto arbitrario en el espacio. Punto PAGS pertenece al plano si y solo si el vector parlamentario = {X − X 0, y − y 0, z − z 0) ortogonal al vector norte = {A, B, C) (Figura 1).

Habiendo escrito la condición de ortogonalidad para estos vectores (n, parlamentario) = 0 en forma de coordenadas, obtenemos:

A(X − X 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Ecuación de un plano por tres puntos

en forma de vector

en coordenadas

Arreglo mutuo de planos en el espacio.

son ecuaciones generales de dos planos. Después:

1) si , entonces los planos coinciden;

2) si , entonces los planos son paralelos;

3) si o , entonces los planos se intersecan y el sistema de ecuaciones

(6)

son las ecuaciones de la línea de intersección de los planos dados.

Solución: Componemos las ecuaciones canónicas de la línea recta por la fórmula: Responder:

Tomamos las ecuaciones resultantes y mentalmente "pin off", por ejemplo, la pieza izquierda: . Ahora igualamos esta pieza a cualquier numero(recuerda que ya había un cero), por ejemplo, a uno: . Como , entonces las otras dos "piezas" también deben ser iguales a uno. Esencialmente, necesitas resolver el sistema:

Escribe ecuaciones paramétricas para las siguientes líneas:

Solución: Las líneas están dadas por ecuaciones canónicas y en la primera etapa se debe encontrar algún punto perteneciente a la línea y su vector de dirección.

a) De las ecuaciones eliminar el punto y el vector de dirección: . Puede elegir otro punto (cómo hacer esto se describe arriba), pero es mejor tomar el más obvio. Por cierto, para evitar errores, siempre sustituye sus coordenadas en las ecuaciones.

Compongamos las ecuaciones paramétricas de esta recta:

La conveniencia de las ecuaciones paramétricas es que con su ayuda es muy fácil encontrar otros puntos de la línea. Por ejemplo, encontremos un punto cuyas coordenadas, digamos, correspondan al valor del parámetro:

Así: b) Considere las ecuaciones canónicas . La elección de un punto aquí es simple, pero insidiosa: (¡cuidado con confundir las coordenadas!). ¿Cómo sacar un vector guía? Puedes argumentar a qué es paralela esta línea recta, o puedes usar un truco formal simple: la proporción es "y" y "z", así que escribimos el vector de dirección y ponemos cero en el espacio restante: .

Componemos las ecuaciones paramétricas de la recta:

c) Reescribamos las ecuaciones en la forma , es decir, "Z" puede ser cualquier cosa. Y si hay alguno, entonces, por ejemplo, . Por lo tanto, el punto pertenece a esta línea. Para encontrar el vector de dirección, usamos la siguiente técnica formal: en las ecuaciones iniciales hay "x" e "y", y en el vector de dirección en estos lugares escribimos ceros: . En el lugar restante ponemos unidad: . En lugar de uno, cualquier número, excepto cero, servirá.

Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , entonces el ángulo agudo entre estas líneas se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2 . Dos rectas son perpendiculares si k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Las líneas rectas Ax + Vy + C \u003d 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 son paralelas cuando los coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB son proporcionales. Si también С 1 = λС, entonces las líneas coinciden. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado

Perpendicular a esta línea

Definición. La línea que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) y es perpendicular a la línea y \u003d kx + b está representada por la ecuación:

Distancia de punto a línea

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ax + Vy + C \u003d 0 se define como

.

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular trazada desde el punto M hasta la recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

(1)

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

entonces, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido probado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ=p/4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 y 10x + 6y - 3 = 0 son perpendiculares.

Solución. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Encuentra la ecuación para la altura dibujada desde el vértice C.

Solución. Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

La ecuación de la altura deseada es: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Entonces y = . Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b = 17. Total: .

Respuesta: 3x + 2y - 34 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado en una dirección dada. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. Ángulo entre dos rectas. Condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos rectas

1. Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(X 1 , y 1) en una dirección dada, determinada por la pendiente k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Esta ecuación define un lápiz de líneas que pasan por un punto A(X 1 , y 1), que se llama el centro de la viga.

2. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: A(X 1 , y 1) y B(X 2 , y 2) se escribe así:

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados está determinada por la fórmula

3. Ángulo entre rectas A y B es el ángulo por el cual se debe girar la primera línea recta A alrededor del punto de intersección de estas líneas en sentido antihorario hasta que coincida con la segunda línea B. Si dos rectas están dadas por ecuaciones de pendiente

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

entonces el ángulo entre ellos está determinado por la fórmula

Cabe señalar que en el numerador de la fracción, a la pendiente de la segunda recta se le resta la pendiente de la primera recta.

Si las ecuaciones de una recta se dan en forma general

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

el ángulo entre ellos está determinado por la fórmula

4. Condiciones para el paralelismo de dos rectas:

a) Si las rectas están dadas por las ecuaciones (4) con pendiente, entonces la condición necesaria y suficiente para su paralelismo es la igualdad de sus pendientes:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para el caso en que las líneas estén dadas por ecuaciones en la forma general (6), la condición necesaria y suficiente para su paralelismo es que los coeficientes en las correspondientes coordenadas de corriente en sus ecuaciones sean proporcionales, es decir

5. Condiciones de perpendicularidad de dos rectas:

a) En el caso de que las rectas estén dadas por las ecuaciones (4) con pendiente, la condición necesaria y suficiente para su perpendicularidad es que sus pendientes sean recíprocas en magnitud y de signo opuesto, es decir

Esta condición también se puede escribir en la forma

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Si las ecuaciones de las rectas se dan en la forma general (6), entonces la condición para su perpendicularidad (necesaria y suficiente) es cumplir la igualdad

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones (6). Las rectas (6) se intersecan si y sólo si

1. Escribe las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto M, una de las cuales es paralela y la otra perpendicular a la recta dada l.

una. Sean dos rectas, estas rectas, como se indicó en el Capítulo 1, forman varios ángulos positivos y negativos, que en este caso pueden ser tanto agudos como obtusos. Conociendo uno de estos ángulos, podemos encontrar fácilmente cualquier otro.

Por cierto, para todos estos ángulos, el valor numérico de la tangente es el mismo, la diferencia solo puede estar en el signo

Ecuaciones de rectas. Los números son las proyecciones de los vectores directores de la primera y segunda rectas, el ángulo entre estos vectores es igual a uno de los ángulos formados por las rectas. Por tanto, el problema se reduce a determinar el ángulo entre los vectores, Obtenemos

Para simplificar, podemos acordar un ángulo entre dos rectas para entender un ángulo agudo positivo (como, por ejemplo, en la Fig. 53).

Entonces la tangente de este ángulo siempre será positiva. Por lo tanto, si se obtiene un signo menos en el lado derecho de la fórmula (1), entonces debemos descartarlo, es decir, mantener solo el valor absoluto.

Ejemplo. Determinar el ángulo entre rectas.

Por la fórmula (1) tenemos

Con. Si se indica cuál de los lados del ángulo es su principio y cuál es su fin, entonces, contando siempre la dirección del ángulo en sentido antihorario, podemos sacar algo más de las fórmulas (1). Como es fácil de ver en la Fig. 53 el signo obtenido del lado derecho de la fórmula (1) indicará cuál -agudo u obtuso- el ángulo forma la segunda línea con la primera.

(De hecho, en la Fig. 53 vemos que el ángulo entre el primer y el segundo vector de dirección es igual al ángulo deseado entre las líneas o difiere de él en ±180°).

d. Si las rectas son paralelas, entonces sus vectores directores también son paralelos.Aplicando la condición de paralelismo de dos vectores, ¡obtenemos!

Esta es una condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas.

Ejemplo. Directo

son paralelos porque

mi. Si las rectas son perpendiculares, entonces sus vectores directores también lo son. Aplicando la condición de perpendicularidad de dos vectores, obtenemos la condición de perpendicularidad de dos rectas, a saber

Ejemplo. Directo

perpendicular porque

En relación con las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, resolveremos los dos problemas siguientes.

F. Dibujar una línea paralela a una línea dada a través de un punto

La decisión se toma así. Como la recta deseada es paralela a la dada, entonces por su vector director podemos tomar el mismo que el de la recta dada, es decir, un vector con proyecciones A y B. Y entonces se escribirá la ecuación de la recta deseada en la forma (§ 1)

Ejemplo. Ecuación de una recta que pasa por un punto (1; 3) paralela a una recta

será el próximo!

gramo. Dibujar una línea a través de un punto perpendicular a la línea dada

Aquí ya no conviene tomar un vector con proyecciones A y como vector director, sino que es necesario ganar un vector perpendicular a él. Por lo tanto, las proyecciones de este vector deben elegirse de acuerdo con la condición de que ambos vectores sean perpendiculares, es decir, de acuerdo con la condición

Esta condición se puede cumplir de infinitas formas, ya que aquí hay una ecuación con dos incógnitas, pero la forma más fácil es tomándola, entonces la ecuación de la recta deseada se escribirá en la forma

Ejemplo. Ecuación de una recta que pasa por un punto (-7; 2) en una recta perpendicular

será el siguiente (según la segunda fórmula)!

H. En el caso de que las rectas estén dadas por ecuaciones de la forma

reescribiendo estas ecuaciones de manera diferente, tenemos