Tres ecuaciones hallan el término desconocido. Información general sobre ecuaciones. Compartir reglas
Las ecuaciones son uno de los temas más difíciles de aprender, pero son lo suficientemente poderosos para la mayoría de las tareas.
Varios procesos que ocurren en la naturaleza se describen mediante ecuaciones. Las ecuaciones se utilizan ampliamente en otras ciencias: economía, física, biología y química.
En esta lección intentaremos comprender la esencia de las ecuaciones más simples, aprender a expresar incógnitas y resolver varias ecuaciones. A medida que aprenda nuevos materiales, las ecuaciones se volverán más complicadas, por lo que comprender los conceptos básicos es muy importante.
Habilidades preliminares Contenido de la lección¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad que contiene una variable cuyo valor desea encontrar. Este valor debe ser tal que cuando se sustituya en la ecuación original, se obtenga la igualdad numérica correcta.
Por ejemplo, la expresión 3 + 2 \u003d 5 es igual. Al calcular el lado izquierdo, obtiene la igualdad numérica correcta 5 \u003d 5.
Pero igualdad 3 + x \u003d 5 es una ecuación porque contiene la variable x , cuyo valor se puede encontrar. El valor debe ser tal que cuando sustituya este valor en la ecuación original, obtenga la igualdad numérica correcta.
En otras palabras, debemos encontrar un valor tal que el signo igual justifique su ubicación; el lado izquierdo debe ser igual al lado derecho.
Ecuación 3+ x \u003d 5 es elemental. Valor variable x es igual a 2. Para cualquier otro valor, no se cumplirá la igualdad
Se dice que el número 2 es raíz o resolviendo la ecuación3 + x = 5
Raíz o solución de ecuación Es el valor de la variable en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica.
Puede haber pocas raíces o ninguna. Resuelve la ecuación significa encontrar sus raíces o demostrar que no hay raíces.
La variable incluida en la ecuación también se llama desconocido... Tiene derecho a llamar al que sea más conveniente para usted. Estos son sinónimos.
Nota... Colocación "Resuelve la ecuación" habla por si mismo. Resolver una ecuación significa "igualar" la igualdad, equilibrarla para que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.
Expresa uno a través del otro
Tradicionalmente, el estudio de las ecuaciones comienza con aprender a expresar un número en igualdad a través de varios otros. No rompamos esta tradición y hagamos lo mismo.
Considere la siguiente expresión:
8 + 2
Esta expresión es la suma de los números 8 y 2. El valor de esta expresión es 10
8 + 2 = 10
Tenemos igualdad. Ahora puede expresar cualquier número de esta igualdad en términos de otros números incluidos en la misma igualdad. Por ejemplo, expresemos el número 2.
Para expresar el número 2, debe hacer la pregunta: "¿Qué se debe hacer con los números 10 y 8 para obtener el número 2?". Está claro que para obtener el número 2, debes restar el número 8 del número 10.
Entonces lo hacemos. Escribimos el número 2 y, mediante el signo igual, decimos que para obtener este número 2, le restamos el número 8 al número 10:
2 = 10 − 8
Expresamos el número 2 a partir de la igualdad 8 + 2 \u003d 10. Como puede ver en el ejemplo, no tiene nada de complicado.
Al resolver ecuaciones, en particular al expresar un número en términos de otros, es conveniente reemplazar el signo de igualdad con la palabra ahi esta" ... Esto debe hacerse mentalmente y no en la expresión misma.
Entonces, expresando el número 2 de la igualdad 8 + 2 \u003d 10, obtenemos la igualdad 2 \u003d 10 - 8. Esta igualdad se puede leer de la siguiente manera:
2 ahi esta 10 − 8
Esa es la señal = reemplazado por la palabra "es". Además, la igualdad 2 \u003d 10 - 8 puede traducirse del lenguaje matemático a un lenguaje humano completo. Entonces se puede leer de la siguiente manera:
Número 2 ahi esta diferencia del número 10 y el número 8
Número 2 ahi esta diferencia entre el número 10 y el número 8.
Pero nos limitaremos a reemplazar únicamente el signo igual con la palabra "es", y no siempre lo haremos. Las expresiones elementales pueden entenderse sin traducir el lenguaje matemático al lenguaje humano.
Regresemos la igualdad resultante 2 \u003d 10 - 8 a su estado original:
8 + 2 = 10
Expresemos esta vez el número 8. ¿Qué necesitas hacer con el resto de los números para obtener el número 8? Así es, necesitas restar el número 2 del número 10
8 = 10 − 2
Regresemos la igualdad resultante 8 \u003d 10 - 2 a su estado original:
8 + 2 = 10
Esta vez expresamos el número 10. Pero resulta que el diez no necesita ser expresado, ya que ya está expresado. Es suficiente intercambiar los lados izquierdo y derecho, luego obtenemos lo que necesitamos:
10 = 8 + 2
Ejemplo 2... Considere la igualdad 8 - 2 \u003d 6
Expresemos el número 8 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 8, se deben sumar los dos números restantes:
8 = 6 + 2
Regresemos la igualdad resultante 8 \u003d 6 + 2 a su estado original:
8 − 2 = 6
Expresemos el número 2 de esta igualdad. Para expresar el número 2, necesitas restar 6 de 8
2 = 8 − 6
Ejemplo 3... Considere la igualdad 3 × 2 \u003d 6
Expresa el número 3. Para expresar el número 3, necesitas 6 dividido por 2
Regresemos la igualdad resultante a su estado original:
3 × 2 \u003d 6
Expresemos el número 2 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 2, 6 debe dividirse entre 3
Ejemplo 4... Considere la igualdad
Expresemos el número 15 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 15, debes multiplicar los números 3 y 5
15 \u003d 3 × 5
Regresemos la igualdad resultante 15 \u003d 3 × 5 a su estado original:
Expresemos el número 5 a partir de esta igualdad. Para expresar el número 5, debes dividir 15 entre 3
Reglas para encontrar incógnitas
Consideremos varias reglas para encontrar incógnitas. Quizás te sean familiares, pero no está de más repetirlos de nuevo. En el futuro, se pueden olvidar, ya que aprenderemos a resolver ecuaciones sin aplicar estas reglas.
Volvamos al primer ejemplo, que consideramos en el tema anterior, donde en la igualdad 8 + 2 \u003d 10 se requería expresar el número 2.
En la igualdad 8 + 2 \u003d 10, los números 8 y 2 son términos, y el número 10 es la suma.
Para expresar el número 2, hicimos lo siguiente:
2 = 10 − 8
Es decir, el término 8 se restó de la suma 10.
Ahora imagina que en la igualdad 8 + 2 \u003d 10 en lugar del número 2 hay una variable x
8 + x = 10
En este caso, la igualdad 8 + 2 \u003d 10 se convierte en la ecuación 8 + x\u003d 10, y la variable x término desconocido
Nuestra tarea es encontrar este término desconocido, es decir, resolver la ecuación 8 + x\u003d 10. Para encontrar el término desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar el término desconocido, debes restar el término conocido de la suma.
Lo que hicimos básicamente cuando expresamos dos en la igualdad 8 + 2 \u003d 10. Para expresar el término 2, restamos otro término 8 de la suma 10
2 = 10 − 8
Ahora, para encontrar el término desconocido x , debemos restar el término conocido 8 de la suma 10:
x = 10 − 8
Si calcula el lado derecho de la igualdad resultante, entonces puede averiguar a qué es igual la variable x
x = 2
Hemos resuelto la ecuación. Valor variable x es igual a 2. Para comprobar el valor de la variable x enviar a la ecuación original 8 + x\u003d 10 y sustituye x.Es conveniente hacer esto con cualquier ecuación resuelta, ya que no puede estar seguro de que la ecuación se resuelva correctamente:
Como resultado
La misma regla se aplicaría si el término desconocido fuera el primer número 8.
x + 2 = 10
En esta ecuación x Es un término desconocido, 2 es un término conocido, 10 es una suma. Para encontrar el término desconocido x , es necesario restar el término conocido 2
x = 10 − 2
x = 8
Volvamos al segundo ejemplo del tema anterior, donde en la igualdad 8 - 2 \u003d 6 se requería expresar el número 8.
En la igualdad 8-2 \u003d 6, el número 8 es lo restado, el número 2 es lo restado, el número 6 es la diferencia
Para expresar el número 8, hicimos lo siguiente:
8 = 6 + 2
Es decir, suma la diferencia 6 y el 2 restado.
Ahora imagina que en la igualdad 8 - 2 \u003d 6 en lugar del número 8 hay una variable x
x − 2 = 6
En este caso, la variable x asume el papel del llamado desconocido disminuido
Para encontrar lo desconocido reducido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar la incógnita disminuida, debes sumar la resta a la diferencia.
Esto es exactamente lo que hicimos cuando expresamos el número 8 en la igualdad 8 - 2 \u003d 6. Para expresar el 8 restado, sumamos el 2 restado a la diferencia 6.
Ahora, para encontrar el diminutivo desconocido x , debemos sumar el 2 restado a la diferencia 6
x = 6 + 2
Si calcula el lado derecho, entonces puede averiguar a qué es igual la variable x
x = 8
Ahora imagina que en la igualdad 8 - 2 \u003d 6 en lugar del número 2 hay una variable x
8 − x = 6
En este caso, la variable x asume el papel deducible desconocido
Para encontrar el deducible desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar la incógnita restada, debes restar la diferencia de la resta.
Esto es exactamente lo que hicimos cuando expresamos el número 2 en la igualdad 8 - 2 \u003d 6. Para expresar el número 2, restamos la diferencia 6 del 8 reducido.
Ahora para encontrar el deducible desconocido x, nuevamente, del 8 reducido, reste la diferencia 6
x = 8 − 6
Calculamos el lado derecho y encontramos el valor x
x = 2
Volvamos al tercer ejemplo del tema anterior, donde en la igualdad 3 × 2 \u003d 6 intentamos expresar el número 3.
En la igualdad 3 × 2 \u003d 6, el número 3 es el multiplicador, el número 2 es el factor, el número 6 es el producto
Para expresar el número 3, hicimos lo siguiente:
Es decir, dividimos el producto 6 por un factor de 2.
Ahora imagina que en la igualdad 3 × 2 \u003d 6 en lugar del número 3 hay una variable x
x × 2 \u003d 6
En este caso, la variable x asume el papel multiplicador desconocido.
Para encontrar el multiplicador desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar un multiplicador desconocido, debes dividir el producto por un factor.
Esto es exactamente lo que hicimos cuando expresamos el número 3 a partir de la igualdad 3 × 2 \u003d 6. Dividimos el producto 6 por un factor de 2.
Ahora, para encontrar el multiplicador desconocido x , debes dividir el producto de 6 por un factor de 2.
Calcular el lado derecho nos permite encontrar el valor de la variable X
x = 3
La misma regla se aplica si la variable x se encuentra en lugar de un multiplicador, no un multiplicador. Imagina que en la igualdad 3 × 2 \u003d 6 en lugar de 2 hay una variable x.
En este caso, la variable x asume el papel factor desconocido... Para encontrar un factor desconocido, se proporciona lo mismo que para encontrar un multiplicador desconocido, es decir, dividir el producto por un factor conocido:
Para encontrar el factor desconocido, debes dividir el producto por el factor.
Esto es exactamente lo que hicimos cuando expresamos el número 2 a partir de la igualdad 3 × 2 \u003d 6. Luego, para obtener el número 2, dividimos el producto 6 por el multiplicador 3.
Ahora, para encontrar el factor desconocido x hemos dividido el producto 6 por el multiplicador 3.
Calcular el lado derecho de la igualdad le permite averiguar cuál es x
x = 2
El multiplicador y el factor juntos se llaman factores. Dado que las reglas para encontrar el multiplicador y el factor son las mismas, podemos formular una regla general para encontrar el factor desconocido:
Para encontrar un factor desconocido, debe dividir el producto por un factor conocido.
Por ejemplo, resolvamos la ecuación 9 × x \u003d 18. Variable x es un factor desconocido. Para encontrar este factor desconocido, debes dividir el producto 18 por el factor conocido 9
Resolvamos la ecuación x× 3 \u003d 27. Variable x es un factor desconocido. Para encontrar este factor desconocido, debes dividir el producto 27 por el factor conocido 3
Regresemos al cuarto ejemplo del tema anterior, donde se requería expresar el número 15. En esta igualdad, el número 15 es el dividendo, el número 5 es el divisor y el número 3 es el cociente.
Para expresar el número 15, hicimos lo siguiente:
15 \u003d 3 × 5
Es decir, multiplicamos el cociente 3 por el divisor 5.
Ahora imagina que en igualdad en lugar del número 15 hay una variable x
En este caso, la variable x asume el papel dividendo desconocido.
Para encontrar un dividendo desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Para encontrar el dividendo desconocido, debes multiplicar el cociente por el divisor.
Esto es exactamente lo que hicimos cuando expresamos el número 15 de la igualdad. Para expresar el número 15, multiplicamos el cociente 3 por el factor 5.
Ahora, para encontrar el dividendo desconocido x , necesitas multiplicar el cociente 3 por el divisor 5
x \u003d 3 × 5
x .
x = 15
Ahora imagina que en la igualdad en lugar del número 5 hay una variable x .
En este caso, la variable x asume el papel divisor desconocido.
Para encontrar el divisor desconocido, se proporciona la siguiente regla:
Esto es exactamente lo que hicimos cuando expresamos el número 5 de la igualdad. Para expresar el número 5, dividimos el dividendo 15 por el cociente 3.
Ahora, para encontrar el divisor desconocido x , el dividendo 15 debe dividirse entre el cociente 3
Calculemos el lado derecho de la igualdad resultante. Así es como averiguamos a qué es igual la variable. x .
x = 5
Entonces, para encontrar incógnitas, estudiamos las siguientes reglas:
- Para encontrar el término desconocido, debe restar el término conocido de la suma;
- Para encontrar la incógnita disminuida, es necesario sumar la resta a la diferencia;
- Para encontrar la incógnita restada, debe restar la diferencia de la reducida;
- Para encontrar un multiplicador desconocido, debes dividir el producto por un factor;
- Para encontrar un factor desconocido, debe dividir el producto por el factor;
- Para encontrar el dividendo desconocido, debes multiplicar el cociente por el divisor;
- Para encontrar el divisor desconocido, debes dividir el dividendo por el cociente.
Componentes
Por componentes nos referimos a números y variables incluidos en la igualdad
Entonces, los componentes de la suma son condiciones y suma
Los componentes de la resta son minuendo, sustraendo y diferencia
Los componentes de la multiplicación son multiplicando, factor y composición
Los componentes de la división son dividendo, divisor y cociente
Dependiendo de los componentes con los que estemos tratando, se aplicarán las reglas correspondientes para encontrar incógnitas. Estudiamos estas reglas en el tema anterior. Al resolver ecuaciones, es recomendable conocer esta regla de memoria.
Ejemplo 1... Encuentra la raíz de la ecuación 45 + x = 60
45 - término, x - término desconocido, 60 - suma. Se trata de componentes adicionales. Recordamos que para encontrar el término desconocido, debe restar el término conocido de la suma:
x = 60 − 45
Calculamos el lado derecho, obtenemos el valor x igual a 15
x = 15
Entonces la raíz de la ecuación 45 + x \u003d 60 es igual a 15.
Muy a menudo, el término desconocido debe reducirse a una forma en la que pueda expresarse.
Ejemplo 2... Resuelve la ecuación
Aquí, a diferencia del ejemplo anterior, el término desconocido no puede expresarse inmediatamente, ya que contiene un coeficiente 2. Nuestra tarea es llevar esta ecuación a una forma en la que sea posible expresar x
En este ejemplo, estamos tratando con los componentes de la suma: términos y suma. 2 x Es el primer término, 4 es el segundo término, 8 es la suma.
Además, el término 2 x contiene una variable x ... Después de encontrar el valor de la variable x término 2 x tomará una forma diferente. Por tanto, el término 2 x se puede tomar completamente como un término desconocido:
Ahora aplicamos la regla para encontrar el término desconocido. Reste el término conocido de la suma:
Calculemos el lado derecho de la ecuación resultante:
Tenemos una nueva ecuación. Ahora nos ocupamos de los componentes de la multiplicación: multiplicación, multiplicador y producto. 2 - multiplicable, x - multiplicador, 4 - producto
Además, la variable x no es solo un factor, sino un factor desconocido
Para encontrar este factor desconocido, debes dividir el producto por el multiplicador:
Calculamos el lado derecho, obtenemos el valor de la variable x
Para verificar, enviamos la raíz encontrada a la ecuación original y la sustituimos x
Ejemplo 3... Resuelve la ecuación 3x+ 9x+ 16x= 56
Expresa lo desconocido de inmediato x Es imposible. Primero, necesita llevar esta ecuación a una forma en la que pueda expresarse.
Demos en el lado izquierdo de esta ecuación:
Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. 28 - multiplicable, x - multiplicador, 56 - producto. Donde x es un factor desconocido. Para encontrar el factor desconocido, debes dividir el producto por el multiplicador:
De aquí x es igual a 2
Ecuaciones equivalentes
En el ejemplo anterior, al resolver la ecuación 3x + 9x + 16x = 56 , hemos dado términos similares en el lado izquierdo de la ecuación. Como resultado, se obtuvo una nueva ecuación 28 x \u003d 56. Ecuación antigua 3x + 9x + 16x = 56 y la nueva ecuación resultante 28 x \u003d 56 llamado ecuaciones equivalentesya que sus raíces son las mismas.
Las ecuaciones se denominan equivalentes si sus raíces coinciden.
Vamos a ver. Para la ecuación 3x+ 9x+ 16x= 56 encontramos la raíz igual a 2. Primero, sustituimos esta raíz en la ecuación 3x+ 9x+ 16x= 56 y luego en la ecuación 28 x\u003d 56, que se obtuvo como resultado de traer términos similares en el lado izquierdo de la ecuación anterior. Debemos obtener igualdad numérica correcta
Según el procedimiento, la multiplicación se realiza primero:
Sustituye la raíz 2 en la segunda ecuación 28 x= 56
Vemos que las raíces de ambas ecuaciones coinciden. De ahí las ecuaciones 3x+ 9x+ 16x= 56 y 28 x\u003d 56 son de hecho equivalentes.
Para resolver la ecuación 3x+ 9x+ 16x= 56 utilizamos uno de ellos: la reducción de términos similares. La transformación idéntica correcta de la ecuación nos permitió obtener una ecuación equivalente 28 x\u003d 56, que es más fácil de resolver.
Por el momento, de las transformaciones idénticas, solo podemos reducir fracciones, traer términos similares, quitar el factor común de paréntesis y también abrir paréntesis. Hay otras transformaciones a tener en cuenta. Pero para tener una idea general de las transformaciones idénticas de ecuaciones, los temas que hemos estudiado son suficientes.
Considere algunas transformaciones que nos permiten obtener una ecuación equivalente
Si suma el mismo número a ambos lados de la ecuación, obtiene una ecuación equivalente a la dada.
y de manera similar:
Si resta el mismo número de ambos lados de la ecuación, obtiene una ecuación equivalente a la dada.
En otras palabras, la raíz de la ecuación no cambia si se suma el mismo número (o se resta de ambos lados) a ambos lados de esta ecuación.
Ejemplo 1... Resuelve la ecuación 
Restar 10 a ambos lados de la ecuación
Tengo la ecuación 5 x\u003d 10. Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Para encontrar un factor desconocido x , debes dividir el producto 10 por el factor conocido 5.
y sustituir en su lugar x valor encontrado 2
Tenemos la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente.
Resolver la ecuación restamos 10 de ambos lados de la ecuación. Como resultado, obtuvimos una ecuación equivalente. La raíz de esta ecuación, como las ecuaciones también igual a 2
Ejemplo 2... Resuelva la ecuación 4 ( x+ 3) = 16
Restar 12 a ambos lados de la ecuación
En el lado izquierdo habrá 4 x , y en el lado derecho el número 4
Ecuación recibida 4 x\u003d 4. Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Para encontrar un factor desconocido x , debes dividir el producto 4 por el factor conocido 4
Volvamos a la ecuación original 4 ( x+ 3) \u003d 16 y sustituir en su lugar x valor encontrado 1
Tenemos la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente.
Resolviendo la ecuación 4 ( x+ 3) \u003d 16 restamos 12 de ambos lados de la ecuación. Como resultado, obtuvimos la ecuación equivalente 4 x\u003d 4. La raíz de esta ecuación, como la ecuación 4 ( x+ 3) \u003d 16 también es igual a 1
Ejemplo 3... Resuelve la ecuación 
Expandamos los corchetes en el lado izquierdo de la igualdad:
Suma a ambos lados de la ecuación el número 8
Presentamos términos similares en ambos lados de la ecuación:
En el lado izquierdo habrá 2 x , y en el lado derecho el número 9
En la ecuación resultante 2 x\u003d 9 expresamos el término desconocido x
Volvamos a la ecuación original y sustituir en su lugar x valor encontrado 4.5
Tenemos la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente.
Resolver la ecuación sumamos el número 8 a ambos lados de la ecuación y, como resultado, obtuvimos una ecuación equivalente. La raíz de esta ecuación, como las ecuaciones también igual a 4.5
La siguiente regla, que le permite obtener una ecuación equivalente, es la siguiente
Si transfieres el término de una parte a otra en la ecuación, cambiando su signo, obtienes una ecuación equivalente a esta.
Es decir, la raíz de la ecuación no cambiará si transferimos el término de un lado de la ecuación a otro, cambiando su signo. Esta propiedad es una de las más importantes y una de las más utilizadas en la resolución de ecuaciones.
Considere la siguiente ecuación:
La raíz de esta ecuación es 2. Sustituye x esta raíz y compruebe si se obtiene la igualdad numérica correcta
Resulta la igualdad correcta. Entonces, el número 2 es realmente la raíz de la ecuación.
Ahora intentemos experimentar con los términos de esta ecuación, transfiriéndolos de una parte a otra, cambiando los signos.
Por ejemplo, el término 3 x se encuentra en el lado izquierdo de la igualdad. Muévelo hacia el lado derecho, cambiando el signo al contrario:
La ecuación resultó 12 = 9x − 3x ... en el lado derecho de esta ecuación:
x es un factor desconocido. Encontremos este factor conocido:
De aquí x\u003d 2. Como puede ver, la raíz de la ecuación no ha cambiado. De ahí las ecuaciones 12 + 3 x = 9x y 12 = 9x − 3x son equivalentes.
De hecho, esta transformación es un método simplificado de la transformación anterior, donde se sumaba (o se restaba) el mismo número a ambos lados de la ecuación.
Dijimos que en la ecuación 12 + 3 x = 9x término 3 x se movió hacia el lado derecho, cambiando el signo. En realidad, sucedió lo siguiente: de ambos lados de la ecuación, el término 3 x
Luego, en el lado izquierdo, se dieron términos similares y se obtuvo la ecuación 12 = 9x − 3x. Luego nuevamente se dieron términos similares, pero ya en el lado derecho, y se obtuvo la ecuación 12 \u003d 6 x.
Pero la llamada "transferencia" es más conveniente para este tipo de ecuaciones, razón por la cual se ha generalizado tanto. Al resolver ecuaciones, a menudo usaremos esta transformación.
Las ecuaciones 12 + 3 también son equivalentes x= 9x y 3x -9x= −12 ... Esta vez en la ecuación 12 + 3 x= 9x el término 12 se movió al lado derecho, y el término 9 x a la izquierda. No se debe olvidar que los signos de estos términos se cambiaron durante la transferencia.
La siguiente regla, que le permite obtener una ecuación equivalente, es la siguiente:
Si ambos lados de la ecuación se multiplican o se dividen por el mismo número, que no es igual a cero, se obtiene una ecuación que es equivalente a la dada.
En otras palabras, las raíces de la ecuación no cambiarán si ambos lados de la misma se multiplican o se dividen por el mismo número. Esta acción se usa a menudo cuando necesita resolver una ecuación que contiene expresiones fraccionarias.
Primero, veamos ejemplos en los que ambos lados de la ecuación se multiplicarán por el mismo número.
Ejemplo 1... Resuelve la ecuación
Al resolver ecuaciones que contienen expresiones fraccionarias, primero se acepta simplificar esta ecuación.
En este caso, estamos tratando con tal ecuación. Para simplificar esta ecuación, ambos lados de la misma se pueden multiplicar por 8:
Recordamos que para, debes multiplicar el numerador de esta fracción por este número. Tenemos dos fracciones y cada una de ellas se multiplica por el número 8. Nuestra tarea es multiplicar los numeradores de las fracciones por este número 8
Ahora la diversión está sucediendo. Los numeradores y denominadores de ambas fracciones contienen un factor de 8, que se puede cancelar por 8. Esto nos permitirá deshacernos de la expresión fraccionaria:
Como resultado, la ecuación más simple sigue siendo
Bueno, no es difícil adivinar que la raíz de esta ecuación es 4
x valor encontrado 4
Resulta la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente.
Al resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por 8. Como resultado, obtuvimos la ecuación. La raíz de esta ecuación, como la ecuación, es 4. Entonces estas ecuaciones son equivalentes.
Se acostumbra escribir el factor por el cual ambos lados de la ecuación se multiplican antes de la parte de la ecuación y no después de ella. Entonces, resolviendo la ecuación, multiplicamos ambos lados por un factor de 8 y obtuvimos la siguiente entrada:
A partir de esto, la raíz de la ecuación no cambió, pero si lo hubiéramos hecho mientras estábamos en la escuela, nos habríamos hecho un comentario, ya que en álgebra se acostumbra escribir un factor antes de la expresión con la que se multiplica. Por lo tanto, es aconsejable reescribir la multiplicación de ambos lados de la ecuación por un factor de 8 como sigue:
Ejemplo 2... Resuelve la ecuación 
A la izquierda, los factores 15 se pueden reducir en 15, y a la derecha, los factores 15 y 5 se pueden reducir en 5
Expandamos los corchetes en el lado derecho de la ecuación:
Llevamos el término x del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho cambiando el signo. Y movemos el término 15 del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, cambiando nuevamente el signo:
Presentemos términos similares en ambas partes, obtenemos
Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Variable x
Volvamos a la ecuación original y sustituir en su lugar x valor encontrado 5
Resulta la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente. Al resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por 15. Además, realizando transformaciones idénticas, obtuvimos la ecuación 10 \u003d 2 x ... La raíz de esta ecuación, como las ecuaciones es igual a 5. Entonces estas ecuaciones son equivalentes.
Ejemplo 3... Resuelve la ecuación
En el lado izquierdo, puede cortar dos tripletes, y el lado derecho será igual a 18
La ecuación más simple permanece. Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Variable x es un factor desconocido. Encontremos este factor conocido:
Volvamos a la ecuación original y sustituyamos en su lugar x valor encontrado 9
Resulta la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente.
Ejemplo 4... Resuelve la ecuación 
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 6
Expande los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación. En el lado derecho, el multiplicador 6 se puede elevar al numerador:
Reducir en ambos lados de las ecuaciones lo que se puede cancelar:
Reescribamos lo que nos queda:
Usemos la transferencia de términos. Términos desconocidos x , agrupamos en el lado izquierdo de la ecuación, y los términos libres de incógnitas, a la derecha:
Aquí hay términos similares en ambas partes:
Ahora encontremos el valor de la variable x ... Para hacer esto, dividimos el producto 28 por el factor conocido 7
De aquí x= 4.
Volvamos a la ecuación original y sustituir en su lugar x valor encontrado 4
El resultado es la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente.
Ejemplo 5... Resuelve la ecuación 
Expandimos los corchetes en ambos lados de la ecuación cuando sea posible:
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 15
Expandamos los corchetes en ambos lados de la ecuación:
Reducir en ambos lados de la ecuación, lo que se puede cancelar:
Reescribamos lo que nos queda:
Expandamos los corchetes donde sea posible:
Usemos la transferencia de términos. Agrupamos los términos que contienen la incógnita en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas a la derecha. No olvides que durante la transferencia, los términos cambian sus signos al contrario:
Presentamos términos similares en ambos lados de la ecuación:
Encuentra el valor x
En la respuesta resultante, puede resaltar toda la parte:
Volvamos a la ecuación original y sustituyamos en su lugar x valor encontrado
Resulta una expresión bastante engorrosa. Usemos variables. Ponemos el lado izquierdo de la igualdad en la variable UN , y el lado derecho de la igualdad en la variable segundo
Nuestra tarea es asegurarnos de que el lado izquierdo sea igual al derecho. En otras palabras, demuestre la igualdad A \u003d B
Encontremos el valor de la expresión en la variable A.
Valor variable UN igual. Ahora encontremos el valor de la variable segundo ... Es decir, el valor del lado derecho de nuestra igualdad. Si también es igual, entonces la ecuación se resolverá correctamente.
Vemos que el valor de la variable segundo como el valor de la variable UN igual. Esto significa que el lado izquierdo es igual al lado derecho. De esto concluimos que la ecuación se resuelve correctamente.
Ahora intentemos no multiplicar ambos lados de la ecuación por el mismo número, sino dividir.
Considere la ecuación 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ... Resolvámoslo por el método habitual: agrupamos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo de la ecuación, y los términos libres de incógnitas, a la derecha. Además, al realizar las conocidas transformaciones de identidad, encontramos el valor x
Sustituye el valor encontrado 2 en lugar de x a la ecuación original:
Ahora intentemos separar todos los términos de la ecuación 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 por algún número. Tenga en cuenta que todos los términos de esta ecuación tienen un factor común 2. Dividimos cada término por él:
Realicemos una reducción en cada término:
Reescribamos lo que nos queda:
Resolvamos esta ecuación usando las conocidas transformaciones idénticas:
Consiguió root 2. De ahí las ecuaciones 15x+ 7x+ 7 = 35x -20x+ 21 y 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 son equivalentes.
Dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número elimina la incógnita del coeficiente. En el ejemplo anterior, cuando obtuvimos la ecuación 7 x\u003d 14, necesitábamos dividir el producto 14 por el factor conocido 7. Pero si en el lado izquierdo liberáramos la incógnita del factor 7, la raíz se encontraría inmediatamente. Para ello, bastaba dividir ambas partes por 7
También usaremos este método a menudo.
Multiplicación por menos uno
Si ambos lados de la ecuación se multiplican por menos uno, obtienes una ecuación equivalente a esta.
Esta regla se deriva del hecho de que al multiplicar (o dividir) ambos lados de la ecuación por el mismo número, la raíz de esta ecuación no cambia. Esto significa que la raíz no cambiará si ambas partes se multiplican por -1.
Esta regla le permite cambiar los signos de todos los componentes incluidos en la ecuación. ¿Para qué sirve? Nuevamente, para obtener una ecuación equivalente que sea más fácil de resolver.
Considere la ecuación. ¿Cuál es la raíz de esta ecuación?
Suma a ambos lados de la ecuación el número 5
Aquí hay términos similares:
Ahora recordemos. ¿Cuál es el lado izquierdo de la ecuación? Este es el producto de menos uno y la variable x
Es decir, el menos antes de la variable x, no se refiere a la variable en sí x , sino a uno, que no vemos, ya que se acostumbra no escribir el coeficiente 1. Esto significa que la ecuación en realidad se ve así:
Estamos tratando con los componentes de la multiplicación. Encontrar x , debes dividir el producto −5 por el factor conocido −1.
o dividir ambos lados de la ecuación por -1, que es aún más fácil
Entonces, la raíz de la ecuación es 5. Para comprobarlo, lo sustituimos en la ecuación original. No olvides que en la ecuación original el menos delante de la variable x se refiere a una unidad invisible
Resultó la igualdad numérica correcta. Entonces la ecuación se resuelve correctamente.
Ahora intentemos multiplicar ambos lados de la ecuación por menos uno:
Después de expandir los corchetes, se forma una expresión en el lado izquierdo y el lado derecho será igual a 10
La raíz de esta ecuación, como la ecuación, es 5
De ahí que las ecuaciones y sean equivalentes.
Ejemplo 2... Resuelve la ecuación
En esta ecuación, todos los componentes son negativos. Es más conveniente trabajar con componentes positivos que con negativos, por lo que cambiaremos los signos de todos los componentes incluidos en la ecuación. Para hacer esto, multiplique ambos lados de esta ecuación por -1.
Está claro que a partir de la multiplicación por -1, cualquier número cambiará su signo al opuesto. Por lo tanto, el procedimiento de multiplicación por -1 y la apertura de los corchetes no se describen en detalle, pero los componentes de la ecuación con signos opuestos se escriben inmediatamente.
Entonces, multiplicar una ecuación por -1 se puede escribir en detalle de la siguiente manera:
o simplemente puede cambiar los signos de todos los componentes:
El resultado será el mismo, pero la diferencia es que nos ahorraremos tiempo.
Entonces, multiplicando ambos lados de la ecuación por -1, obtuvimos la ecuación. Resolvamos esta ecuación. Reste 4 de ambas partes y divida ambas partes entre 3
Cuando se encuentra la raíz, la variable generalmente se escribe en el lado izquierdo y su valor en el derecho, lo cual hicimos.
Ejemplo 3... Resuelve la ecuación
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por −1. Entonces todos los componentes cambiarán sus signos al contrario:
De ambos lados de la ecuación resultante, reste 2 x y presentamos términos similares:
Agregamos la unidad a ambos lados de la ecuación y damos términos similares: 
Ecualización a cero
Recientemente aprendimos que si en una ecuación transferimos un término de una parte a otra, cambiando su signo, obtenemos una ecuación equivalente a la dada.
¿Y qué pasará si transfieres de una parte a otra no un término, sino todos los términos? Es cierto que en la parte de la que se tomaron todos los términos seguirá siendo cero. En otras palabras, no quedará nada.
Como ejemplo, considere la ecuación. Resolvemos esta ecuación, como de costumbre: agrupamos los términos que contienen incógnitas en una parte y dejamos los términos numéricos libres de incógnitas en la otra. Además, al realizar las transformaciones de identidad conocidas, encontramos el valor de la variable x
Ahora intentemos resolver la misma ecuación igualando todos sus componentes a cero. Para hacer esto, transferimos todos los términos del lado derecho al izquierdo, cambiando los signos:
Aquí hay términos similares a la izquierda:
Suma 77 a ambas partes y divide ambas partes entre 7
Una alternativa a las reglas para encontrar incógnitas
Obviamente, conociendo las transformaciones idénticas de las ecuaciones, no es necesario memorizar las reglas para encontrar incógnitas.
Por ejemplo, para encontrar la incógnita en la ecuación, dividimos el producto 10 por el factor conocido 2
Pero si en la ecuación ambas partes se dividen por 2, la raíz se encuentra a la vez. En el lado izquierdo de la ecuación en el numerador el factor 2 y en el denominador el factor 2 se reducirá en 2. Y el lado derecho será igual a 5
Resolvimos las ecuaciones de la forma expresando el término desconocido:
Pero puedes usar las transformaciones idénticas que estudiamos hoy. En la ecuación, el término 4 se puede mover al lado derecho cambiando el signo:
En el lado izquierdo de la ecuación, dos dos se cancelarán. El lado derecho será 2. Por lo tanto.
O podrías restar 4 de ambos lados de la ecuación. Entonces obtendrías lo siguiente:
En el caso de ecuaciones de la forma, es más conveniente dividir el producto por un factor conocido. Comparemos ambas soluciones:
La primera solución es mucho más corta y limpia. La segunda solución se puede acortar enormemente haciendo división mental.
Sin embargo, debe conocer ambos métodos y solo entonces usar el que más le guste.
Cuando hay varias raíces
Una ecuación puede tener múltiples raíces. Por ejemplo la ecuación x(x +9) \u003d 0 tiene dos raíces: 0 y −9.
En la ecuación x(x +9) \u003d 0 era necesario encontrar ese valor x en el que el lado izquierdo sería igual a cero. El lado izquierdo de esta ecuación contiene las expresiones x y (x + 9) que son factores. Por las leyes de la multiplicación, sabemos que el producto es cero si al menos uno de los factores es cero (o el primer factor o el segundo).
Es decir, en la ecuación x(x +9) \u003d 0 la igualdad se logrará si x será cero o (x + 9) será igual a cero.
x \u003d 0 o x + 9 = 0
Al igualar estas dos expresiones a cero, podemos encontrar las raíces de la ecuación x(x +9) \u003d 0. La primera raíz, como puede ver en el ejemplo, se encontró de inmediato. Para encontrar la segunda raíz, debes resolver la ecuación elemental x+ 9 \u003d 0. No es difícil adivinar que la raíz de esta ecuación es −9. La verificación muestra que la raíz es correcta:
−9 + 9 = 0
Ejemplo 2... Resuelve la ecuación
Esta ecuación tiene dos raíces: 1 y 2. El lado izquierdo de la ecuación es el producto de expresiones ( x - 1) y ( x - 2). Y el producto es cero si al menos uno de los factores es cero (o el factor ( x - 1) o factor ( x − 2) ).
Encontremos esto x donde las expresiones ( x - 1) o ( x - 2) desaparecer:
Sustituimos a su vez los valores encontrados en la ecuación original y nos aseguramos de que para estos valores el lado izquierdo sea igual a cero:
Cuando hay infinitas raíces
Una ecuación puede tener infinitas raíces. Es decir, al sustituir cualquier número en dicha ecuación, obtenemos la igualdad numérica correcta.
Ejemplo 1... Resuelve la ecuación 
Cualquier número es la raíz de esta ecuación. Si abre los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación y da términos similares, obtiene la igualdad 14 \u003d 14. Esta igualdad se obtendrá para cualquier x
Ejemplo 2... Resuelve la ecuación
Cualquier número es la raíz de esta ecuación. Si expande los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación, obtiene la igualdad 10x + 12 = 10x + 12. Esta igualdad se obtendrá para cualquier x
Cuando no hay raíces
También sucede que la ecuación no tiene ninguna solución, es decir, no tiene raíces. Por ejemplo, la ecuación no tiene raíces, porque para cualquier valor x , el lado izquierdo de la ecuación no será igual al lado derecho. Por ejemplo, vamos. Entonces la ecuación toma la siguiente forma
Ejemplo 2... Resuelve la ecuación
Expandamos los corchetes en el lado izquierdo de la igualdad:
Aquí hay términos similares:
Vemos que el lado izquierdo no es igual al lado derecho. Y así será por cualquier valor y ... Por ejemplo, deja y = 3 .
Ecuaciones de letras
Una ecuación puede contener no solo números con variables, sino también letras.
Por ejemplo, la fórmula para encontrar la velocidad es una ecuación literal:
Esta ecuación describe la velocidad del cuerpo durante un movimiento uniformemente acelerado.
Una habilidad útil es la capacidad de expresar cualquier componente en una ecuación de letras. Por ejemplo, para determinar la distancia desde la ecuación, necesita expresar la variable s .
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por t
En el lado derecho, las variables t reducir por t
En la ecuación resultante, intercambiamos los lados izquierdo y derecho:
Hemos obtenido la fórmula para encontrar la distancia, que estudiamos antes.
Intentemos determinar el tiempo a partir de la ecuación. Para hacer esto, necesitas expresar la variable t .
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por t
En el lado derecho, las variables t reducir por t y reescribir lo que nos queda:
En la ecuación resultante v × t \u003d s dividimos ambas partes en v
A la izquierda, las variables v reducir por v y reescribir lo que nos queda:
Hemos obtenido la fórmula para determinar el tiempo que estudiamos anteriormente.
Suponga que la velocidad del tren es de 50 km / h.
v \u003d 50 km / h
Y la distancia es de 100 km
s \u003d 100 km
Entonces la ecuación de letras tomará la siguiente forma
El tiempo se puede encontrar a partir de esta ecuación. Para hacer esto, necesitas poder expresar la variable t ... Puede usar la regla para encontrar el divisor desconocido dividiendo el dividendo por el cociente y así determinar el valor de la variable t
o puede utilizar las transformaciones idénticas. Primero, multiplica ambos lados de la ecuación por t
Luego divide ambas partes por 50
Ejemplo 2 x
Restar de ambos lados de la ecuación un
Divide ambos lados de la ecuación por segundo
a + bx \u003d c , entonces tendremos una solución lista para usar. Bastará con sustituir los valores requeridos en él. Aquellos valores que serán sustituidos por letras. a B C es costumbre llamar parámetros... Ecuaciones de la forma a + bx \u003d c llamado ecuación con parámetros... Dependiendo de los parámetros, la raíz cambiará.
Resuelve la ecuación 2 + 4 x \u003d 10. Parece una ecuación de letras a + bx \u003d c ... En lugar de realizar transformaciones idénticas, podemos usar una solución lista para usar. Comparemos ambas soluciones:
Vemos que la segunda solución es mucho más simple y más corta.
Para una solución lista para usar, debe hacer un pequeño comentario. Parámetro segundo no debe ser cero (b ≠ 0) ya que se permite la división por cero.
Ejemplo 3... Se da una ecuación de letras. Exprese a partir de la ecuación dada x
Expande los corchetes en ambos lados de la ecuación
Usemos la transferencia de términos. Parámetros que contienen una variable x , agrupamos en el lado izquierdo de la ecuación, y los parámetros libres de esta variable, a la derecha.
En el lado izquierdo, sacamos el factor x
Dividamos ambas partes en expresión a - b
A la izquierda, el numerador y el denominador se pueden reducir en a - b ... Así es como finalmente se expresa la variable x
Ahora, si nos encontramos con una ecuación de la forma a (x - c) \u003d b (x + d) , entonces tendremos una solución lista para usar. Bastará con sustituir los valores requeridos en él.
Supongamos que se nos da la ecuación 4(x -3) = 2(x+ 4) ... Parece una ecuación a (x - c) \u003d b (x + d) ... Lo resolveremos de dos maneras: usando transformaciones idénticas y usando una solución lista para usar:
Por conveniencia, sacamos de la ecuación 4(x -3) = 2(x+ 4) valores paramétricos un, segundo, c, re ... Esto nos permitirá no cometer errores al sustituir:
Como en el ejemplo anterior, el denominador aquí no debe ser igual a cero ( a - b ≠0). Si nos encontramos con una ecuación de la forma a (x - c) \u003d b (x + d) en que parámetros un y segundo será lo mismo, podemos decir sin resolverlo que esta ecuación no tiene raíces, ya que la diferencia de los mismos números es cero.
Por ejemplo, la ecuación 2 (x - 3) \u003d 2 (x + 4) es una ecuación de la forma a (x - c) \u003d b (x + d) ... En la ecuación 2 (x - 3) \u003d 2 (x + 4) opciones un y segundo lo mismo. Si empezamos a resolverlo, llegaremos a la conclusión de que el lado izquierdo no será igual al lado derecho:
Ejemplo 4... Se da una ecuación de letras. Exprese a partir de la ecuación dada x
Llevemos el lado izquierdo de la ecuación a un denominador común:
Inteligente ambas partes por un
En el lado izquierdo x poner fuera de corchetes
Dividimos ambas partes en la expresión (1 - un)
Ecuaciones lineales en una desconocida
Las ecuaciones discutidas en esta lección se llaman ecuaciones lineales de primer grado con una desconocida.
Si la ecuación se da en primer grado, no contiene división por lo desconocido y tampoco contiene raíces de lo desconocido, entonces se puede llamar lineal. Aún no hemos estudiado los grados y raíces, por lo que para no complicarnos la vida, la palabra "lineal" se entenderá como "simple".
La mayoría de las ecuaciones resueltas en esta lección finalmente se redujeron a la ecuación más simple en la que tenía que dividir el producto por un factor conocido. Tal es, por ejemplo, la ecuación 2 ( x + 3) \u003d 16. Vamos a resolverlo.
Abramos los corchetes en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos 2 x+ 6 \u003d 16. Mover el término 6 al lado derecho, cambiando el signo. Entonces obtenemos 2 x\u003d 16 - 6. Calcula el lado derecho, obtenemos 2 x\u003d 10. Para encontrar x , dividimos el producto 10 por el factor conocido 2. Por lo tanto x = 5.
Ecuación 2 ( x + 3) \u003d 16 es lineal. Se redujo a la ecuación 2 x\u003d 10, para encontrar la raíz de la cual se requirió dividir el producto por un factor conocido. Esta ecuación más simple se llama ecuación lineal de primer grado con una desconocida en la forma canónica... La palabra "canónico" es sinónimo de "simple" o "normal".
Una ecuación lineal de primer grado con una incógnita en forma canónica se llama ecuación de la forma ax \u003d b.
Nuestra ecuación 2 x\u003d 10 es una ecuación lineal de primer grado con una incógnita en la forma canónica. Esta ecuación tiene el primer grado, uno desconocido, no contiene división por lo desconocido y no contiene raíces de lo desconocido, y se presenta en forma canónica, es decir, en la forma más simple en la que se puede determinar fácilmente el valor. x ... En lugar de parámetros un y segundo nuestra ecuación contiene los números 2 y 10. Pero una ecuación similar puede contener otros números: positivo, negativo o cero.
Si en la ecuación lineal un \u003d 0 y segundo \u003d 0, entonces la ecuación tiene infinitas raíces. De hecho, si un es igual a cero y segundo es igual a cero, entonces la ecuación lineal hacha= segundo tomará la forma 0 x\u003d 0. Por cualquier valor x el lado izquierdo será igual al lado derecho.
Si en la ecuación lineal un \u003d 0 y segundo ≠ 0, entonces la ecuación no tiene raíces. De hecho, si un es igual a cero y segundo es igual a algún número que no es igual a cero, digamos el número 5, luego la ecuación ax \u003d b tomará la forma 0 x\u003d 5. El lado izquierdo será cero y el lado derecho será cinco. Y cero no es igual a cinco.
Si en la ecuación lineal un ≠ 0, y segundo es igual a cualquier número, entonces la ecuación tiene una raíz. Se determina dividiendo el parámetro segundo por parámetro un
De hecho, si un es igual a algún número distinto de cero, digamos 3, y segundo es igual a algún número, digamos el número 6, entonces la ecuación tomará la forma.
De aquí.
Hay otra forma de escribir una ecuación lineal de primer grado con una incógnita. Se parece a esto: hacha - b\u003d 0. Esta es la misma ecuación que ax \u003d b
¿Te gustó la lección?
Únase a nuestro nuevo grupo Vkontakte y comience a recibir notificaciones sobre nuevas lecciones
Largo camino para desarrollar habilidades resolver ecuaciones comienza resolviendo las primeras y relativamente simples ecuaciones. Por tales ecuaciones, nos referimos a las ecuaciones en el lado izquierdo de las cuales es la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números, uno de los cuales es desconocido, y en el lado derecho hay un número. Es decir, estas ecuaciones contienen un término desconocido, restado, restado, factor, dividendo o divisor. La solución de tales ecuaciones se discutirá en este artículo.
Aquí daremos las reglas para encontrar un término, factor, etc. desconocido. Además, consideraremos inmediatamente la aplicación de estas reglas en la práctica, resolviendo ecuaciones típicas.
Navegación de página.
Entonces, sustituyendo el número 5 en la ecuación original 3 + x \u003d 8 en lugar de x, obtenemos 3 + 5 \u003d 8 - esta igualdad es verdadera, por lo tanto, encontramos correctamente el sumando desconocido. Si al verificar recibimos una igualdad numérica incorrecta, esto nos indicaría que hemos resuelto la ecuación de manera incorrecta. Las principales razones de esto pueden ser el uso de una regla incorrecta o errores de cálculo.
¿Cómo encontrar lo desconocido disminuyendo, restado?
La relación entre suma y resta de números, que ya mencionamos en el párrafo anterior, nos permite obtener la regla para encontrar lo desconocido disminuido a través de lo conocido restado y la diferencia, así como la regla para encontrar lo desconocido restado a través de lo conocido disminuido y la diferencia. Las formularemos a su vez e inmediatamente daremos la solución de las ecuaciones correspondientes.
Para encontrar la incógnita disminuida, es necesario sumar la resta a la diferencia.
Por ejemplo, considere la ecuación x - 2 \u003d 5. Contiene un redundante desconocido. La regla anterior nos indica que para hallarla debemos sumar el conocido restado 2 a la diferencia conocida 5, tenemos 5 + 2 \u003d 7. Así, el disminuido deseado es siete.
Si omitimos las explicaciones, entonces la solución se escribe de la siguiente manera:
x - 2 \u003d 5,
x \u003d 5 + 2,
x \u003d 7.
Para el autocontrol, realizaremos una verificación. Sustituimos lo encontrado reducido en la ecuación original y obtenemos la igualdad numérica 7−2 \u003d 5. Es correcto, por lo tanto, puede estar seguro de que hemos identificado correctamente el valor de la desconocida disminuida.
Puede continuar para encontrar lo desconocido restado. Se encuentra usando la suma de acuerdo con la siguiente regla: para encontrar la incógnita restada, es necesario restar la diferencia de la reducida.
Resuelve una ecuación de la forma 9 - x \u003d 4 usando la regla escrita. En esta ecuación, la incógnita es la resta. Para encontrarlo, necesitamos restar la diferencia conocida 4 del conocido 9 decreciente, tenemos 9−4 \u003d 5. Por tanto, la resta deseada es cinco.
Aquí hay una versión corta de la solución a esta ecuación:
9 - x \u003d 4,
x \u003d 9−4,
x \u003d 5.
Solo queda verificar la exactitud de lo restado encontrado. Comprobemos, para lo cual sustituimos el valor encontrado 5 en la ecuación original en lugar de x, y obtenemos la igualdad numérica 9−5 \u003d 4. Es correcto, por lo tanto, el valor de la resta que encontramos es correcto.
Y antes de pasar a la siguiente regla, notamos que en el 6 ° grado se considera la regla para resolver ecuaciones, que permite realizar la transferencia de cualquier término de una parte de la ecuación a otra con el signo contrario. Entonces, todas las reglas anteriores para encontrar el término desconocido, reducido y restado con él, son completamente consistentes.
Para encontrar un factor desconocido, necesita ...
Echemos un vistazo a las ecuaciones x 3 \u003d 12 y 2 y \u003d 6. En ellos, el número desconocido es el factor del lado izquierdo, y se conocen el producto y el segundo factor. Para encontrar el factor desconocido, puede utilizar la siguiente regla: para encontrar un factor desconocido, el producto debe dividirse por un factor conocido.
Esta regla se basa en el hecho de que le dimos a la división de números un significado opuesto al significado de la multiplicación. Es decir, existe una conexión entre multiplicación y división: de la igualdad a · b \u003d c, en la que a ≠ 0 y b ≠ 0 se sigue que c: a \u003d byc: b \u003d c, y viceversa.
Por ejemplo, encuentre el factor desconocido de la ecuación x · 3 \u003d 12. De acuerdo con la regla, necesitamos dividir el producto conocido 12 por el factor conocido 3. Gastemos: 12: 3 \u003d 4. Entonces, el factor desconocido es 4.
Brevemente, la solución de la ecuación se escribe como una secuencia de igualdades:
x 3 \u003d 12,
x \u003d 12: 3,
x \u003d 4.
También es aconsejable verificar el resultado: sustituimos el valor encontrado en la ecuación original en lugar de la letra, obtenemos 4 · 3 \u003d 12 - la igualdad numérica correcta, por lo que encontramos correctamente el valor del factor desconocido.
Y una cosa más: actuando de acuerdo con la regla aprendida, en realidad dividimos ambos lados de la ecuación por un factor conocido distinto de cero. En el grado 6, se dirá que ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar y dividir por el mismo número distinto de cero, esto no afecta las raíces de la ecuación.
¿Cómo encontrar el dividendo desconocido, divisor?
En el marco de nuestro tema, queda por descubrir cómo encontrar el dividendo desconocido con un divisor y cociente conocido, así como también cómo encontrar un divisor desconocido con un dividendo y cociente conocido. La conexión entre multiplicación y división, ya mencionada en el párrafo anterior, le permite responder a estas preguntas.
Para encontrar el dividendo desconocido, debes multiplicar el cociente por el divisor.
Consideremos su aplicación con un ejemplo. Resuelve la ecuación x: 5 \u003d 9. Para encontrar el dividendo desconocido de esta ecuación, es necesario, según la regla, multiplicar el cociente conocido 9 por el divisor conocido 5, es decir, realizamos la multiplicación de números naturales: 9 5 \u003d 45. Por tanto, el dividendo requerido es de 45.
Muestremos un breve registro de la solución:
x: 5 \u003d 9,
x \u003d 9 5,
x \u003d 45.
La verificación confirma que el valor del dividendo desconocido se encontró correctamente. De hecho, cuando el número 45 se sustituye en la ecuación original en lugar de la variable x, se convierte en la igualdad numérica correcta 45: 5 \u003d 9.
Tenga en cuenta que la regla analizada se puede interpretar como la multiplicación de ambos lados de la ecuación por un divisor conocido. Esta transformación no afecta las raíces de la ecuación.
Pasemos a la regla para encontrar el divisor desconocido: para encontrar el divisor desconocido, el dividendo debe dividirse por el cociente.
Veamos un ejemplo. Encuentra el factor desconocido de la ecuación 18: x \u003d 3. Para hacer esto, necesitamos dividir el dividendo conocido 18 por el cociente conocido 3, tenemos 18: 3 \u003d 6. Por tanto, el divisor deseado es seis.
La decisión se puede tomar así:
18: x \u003d 3,
x \u003d 18: 3,
x \u003d 6.
Comprobemos la fiabilidad de este resultado: 18: 6 \u003d 3 es la igualdad numérica correcta, por lo tanto, la raíz de la ecuación se encuentra correctamente.
Está claro que esta regla se puede aplicar solo cuando el cociente es diferente de cero, para no chocar con la división por cero. Cuando el cociente es cero, entonces son posibles dos casos. Si el dividendo es igual a cero, es decir, la ecuación tiene la forma 0: x \u003d 0, entonces esta ecuación se satisface con cualquier valor distinto de cero del divisor. En otras palabras, las raíces de dicha ecuación son cualquier número que no sea igual a cero. Si, para un cociente igual a cero, el dividendo es distinto de cero, entonces sin valor del divisor la ecuación original no se convierte en una verdadera igualdad numérica, es decir, la ecuación no tiene raíces. Para ilustrar, presentamos la ecuación 5: x \u003d 0, no tiene soluciones.
Compartir reglas
La aplicación consistente de las reglas para encontrar el término desconocido, reducido, restado, factor, dividendo y divisor le permite resolver ecuaciones con una sola variable de una forma más compleja. Veamos esto con un ejemplo.
Considere la ecuación 3 x + 1 \u003d 7. Primero, podemos encontrar el término desconocido 3 x, para esto es necesario restar el término conocido 1 de la suma 7, obtenemos 3 x \u003d 7−1 y luego 3 x \u003d 6. Ahora queda por encontrar el factor desconocido, dividiendo el producto 6 por el factor conocido 3, tenemos x \u003d 6: 3, de donde x \u003d 2. Así es como se encontró la raíz de la ecuación original.
Para consolidar el material, presentamos una solución corta a una ecuación más (2 x - 7): 3−5 \u003d 2.
(2 x - 7): 3−5 \u003d 2,
(2 x - 7): 3 \u003d 2 + 5,
(2 x - 7): 3 \u003d 7,
2 x - 7 \u003d 7 3,
2 x - 7 \u003d 21,
2 x \u003d 21 + 7,
2 x \u003d 28,
x \u003d 28: 2,
x \u003d 14.
Bibliografía.
- Matemáticas.... Cuarto grado. Libro de texto. para educación general. instituciones. A las 2 pm Parte 1 / [M. I. Moro, MA Bantova, GV Beltyukova y otros] .- 8ª ed. - M.: Educación, 2011 .-- 112 p.: Ill. - (Escuela de Rusia). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Matemáticas: libro de texto. por 5 cl. educación general. instituciones / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21a ed., Borrado. - M.: Mnemosina, 2007 .-- 280 p.: Ill. ISBN 5-346-00699-0.
Para aprender a resolver ecuaciones de manera rápida y exitosa, debe comenzar con las reglas y ejemplos más simples. En primer lugar, debe aprender a resolver ecuaciones, a la izquierda de las cuales está la diferencia, suma, cociente o producto de algunos números con una incógnita y a la derecha otro número. En otras palabras, estas ecuaciones tienen un sumando desconocido y disminuyen con una resta o dividendos con un divisor, etc. Se trata de ecuaciones de este tipo de las que hablaremos contigo.
Este artículo está dedicado a las reglas básicas para encontrar factores, términos desconocidos, etc. Todas las disposiciones teóricas se explicarán inmediatamente con ejemplos específicos.
Encontrar el término desconocido
Digamos que tenemos una cierta cantidad de bolas en dos jarrones, por ejemplo, 9. Sabemos que hay 4 canicas en el segundo jarrón. ¿Cómo encontrar la cantidad en el segundo? Escribamos este problema en forma matemática, denotando el número que se encuentra como x. Según la condición inicial, este número junto con 4 forman 9, lo que significa que puedes escribir la ecuación 4 + x \u003d 9. A la izquierda tenemos una suma con un término desconocido, a la derecha, el valor de esta suma. ¿Cómo encontrar x? Para hacer esto, use la regla:
Definición 1
Para encontrar el término desconocido, debes restar el conocido de la suma.
En este caso, le estamos dando a la resta un significado opuesto al de la suma. En otras palabras, existe una cierta conexión entre las acciones de suma y resta, que se puede expresar en forma literal de la siguiente manera: si a + b \u003d c, entonces c - a \u003d byc - b \u003d a, y viceversa, de las expresiones c - a \u003d b y c - b \u003d a se puede inferir que a + b \u003d c.
Conociendo esta regla, podemos encontrar un término desconocido usando el conocido y la suma. Qué término conocemos, el primero o el segundo, en este caso no importa. Veamos cómo aplicar esta regla en la práctica.
Ejemplo 1
Tomemos la ecuación que obtuvimos arriba: 4 + x \u003d 9. De acuerdo con la regla, necesitamos restar de la suma conocida igual a 9, el término conocido igual a 4. Restemos un número natural de otro: 9 - 4 \u003d 5. Tenemos el término que necesitamos, igual a 5.
Normalmente, las soluciones a tales ecuaciones se escriben de la siguiente manera:
- La ecuación original se escribe primero.
- A continuación, escribimos la ecuación que resultó después de aplicar la regla para calcular el término desconocido.
- Después de eso, escribimos la ecuación, que resultó después de todas las acciones con los números.
Esta forma de notación es necesaria para ilustrar el reemplazo sucesivo de la ecuación original con equivalentes y mostrar el proceso de encontrar la raíz. La solución a nuestra simple ecuación anterior se puede escribir correctamente así:
4 + x \u003d 9, x \u003d 9 - 4, x \u003d 5.
Podemos verificar la exactitud de la respuesta recibida. Sustituyamos lo que obtuvimos en la ecuación original y veamos si sale con una igualdad numérica correcta. Sustituye 5 en 4 + x \u003d 9 y obtén: 4 + 5 \u003d 9. La igualdad 9 \u003d 9 es correcta, lo que significa que el término desconocido se encontró correctamente. Si la igualdad resultó ser incorrecta, entonces deberíamos volver a la solución y volver a verificarla, ya que esto es un signo de error. Como regla, esto suele ser un error de cálculo o la aplicación de una regla incorrecta.
Encontrar lo desconocido restado o disminuido
Como mencionamos en el primer párrafo, existe una cierta conexión entre los procesos de suma y resta. Con su ayuda, es posible formular una regla que ayudará a encontrar lo desconocido disminuido, cuando conocemos la diferencia y lo restado, o lo desconocido restado a través de lo disminuido o la diferencia. Escribamos estas dos reglas sucesivamente y mostremos cómo aplicarlas para resolver problemas.
Definición 2
Para encontrar la desconocida disminuida hay que sumar la resta a la diferencia.
Ejemplo 2
Por ejemplo, tenemos la ecuación x - 6 \u003d 10. Diminutivo desconocido. De acuerdo con la regla, debemos sumar el 6 restado a la diferencia 10, obtenemos 16. Es decir, el decremento original es dieciséis. Anotemos la solución completa:
x - 6 \u003d 10, x \u003d 10 + 6, x \u003d 16.
Comprobemos el resultado sumando el número resultante a la ecuación original: 16 - 6 \u003d 10. Igualdad 16 - 16 será correcta, lo que significa que calculamos todo correctamente.
Definición 3
Para encontrar la incógnita restada, reste la diferencia de la resta.
Ejemplo 3
Usemos la regla para resolver la ecuación 10 - x \u003d 8. No conocemos el deducible, por lo que debemos restar la diferencia de 10, es decir, 10 - 8 \u003d 2. Por tanto, la resta requerida es igual a dos. Aquí está el registro completo de la solución:
10 - x \u003d 8, x \u003d 10 - 8, x \u003d 2.
Comprobemos la corrección sustituyendo dos en la ecuación original. Consigamos la igualdad correcta 10 - 2 \u003d 8 y asegurémonos de que el valor que encontramos sea correcto.
Antes de pasar a otras reglas, notamos que existe una regla para transferir cualquier término de una parte de la ecuación a otra, con el signo reemplazado por el opuesto. Todas las reglas anteriores la cumplen plenamente.
Encontrar un factor desconocido
Veamos dos ecuaciones: x 2 \u003d 20 y 3 x \u003d 12. En ambos, conocemos el valor del producto y uno de los factores, es necesario encontrar el segundo. Para hacer esto, necesitamos usar una regla diferente.
Definición 4
Para encontrar un factor desconocido, debe dividir el producto por un factor conocido.
Esta regla se basa en un sentido opuesto a la multiplicación. Existe la siguiente conexión entre la multiplicación y la división: a b \u003d c cuando a y b no son iguales a 0, c: a \u003d b, c: b \u003d c y viceversa.
Ejemplo 4
Calcule el factor desconocido en la primera ecuación dividiendo el cociente conocido 20 por el factor conocido 2. Dividimos los números naturales y obtenemos 10. Escribamos una secuencia de igualdades:
x 2 \u003d 20 x \u003d 20: 2 x \u003d 10.
Sustituyendo diez en la igualdad original obtenemos que 2 10 \u003d 20. El valor del multiplicador desconocido era correcto.
Aclaremos que si uno de los factores es cero, esta regla no se puede aplicar. Entonces, no podemos resolver la ecuación x · 0 \u003d 11 con su ayuda. Esta notación no tiene sentido, porque la solución debe dividir 11 entre 0, y la división entre cero no está definida. Hablamos más sobre estos casos en el artículo dedicado a las ecuaciones lineales.
Cuando aplicamos esta regla, básicamente estamos dividiendo ambos lados de la ecuación por un factor que no sea 0. Existe una regla separada según la cual se puede llevar a cabo dicha división, y no afectará las raíces de la ecuación, y lo que escribimos en este párrafo es completamente consistente con ella.
Encontrar un dividendo o divisor desconocido
Otro caso que debemos considerar es encontrar el dividendo desconocido si conocemos el divisor y el cociente, así como encontrar el divisor con un cociente y un dividendo conocidos. Podemos formular esta regla usando la conexión entre multiplicación y división ya mencionada aquí.
Definición 5
Para encontrar el dividendo desconocido, debes multiplicar el divisor por el cociente.
Veamos cómo se aplica esta regla.
Ejemplo 5
Usémoslo para resolver la ecuación x: 3 \u003d 5. Multiplicamos el cociente conocido y el divisor conocido entre nosotros y obtenemos 15, que será el dividendo que necesitamos.
A continuación, se muestra un resumen de la solución completa:
x: 3 \u003d 5, x \u003d 3 5, x \u003d 15.
El cheque muestra que calculamos todo correctamente, porque al dividir 15 entre 3, realmente resulta ser 5. La igualdad numérica correcta es evidencia de una decisión correcta.
Esta regla se puede interpretar como la multiplicación de los lados derecho e izquierdo de la ecuación por el mismo número que no sea 0. Esta transformación no tiene ningún efecto sobre las raíces de la ecuación.
Pasemos a la siguiente regla.
Definición 6
Para encontrar el divisor desconocido, debes dividir el dividendo por el cociente.
Ejemplo 6
Tomemos un ejemplo simple: la ecuación 21: x \u003d 3. Para resolverlo, dividimos el dividendo conocido 21 por el cociente 3 y obtenemos 7. Este será el divisor deseado. Ahora elaboramos la solución correctamente:
21: x \u003d 3, x \u003d 21: 3, x \u003d 7.
Asegurémonos de que el resultado sea correcto sustituyendo el siete en la ecuación original. 21: 7 \u003d 3, por lo que la raíz de la ecuación se calculó correctamente.
Es importante señalar que esta regla solo es aplicable para los casos en los que el cociente no es cero, de lo contrario tendremos que volver a dividir por 0. Si el cociente es cero, son posibles dos opciones. Si el dividendo también es cero y la ecuación se parece a 0: x \u003d 0, entonces el valor de la variable será cualquiera, es decir, esta ecuación tiene un número infinito de raíces. Pero una ecuación con un cociente igual a 0, con un divisor distinto de 0, no tendrá soluciones, ya que tales valores del divisor no existen. Un ejemplo sería la ecuación 5: x \u003d 0, que no tiene raíces.
Aplicación consistente de reglas
A menudo, en la práctica, existen problemas más complejos en los que las reglas para encontrar los términos, decrecientes, restas, factores, divisibles y cocientes deben aplicarse secuencialmente. Pongamos un ejemplo.
Ejemplo 7
Tenemos una ecuación de la forma 3 x + 1 \u003d 7. Calcula el término desconocido 3 · x restando uno de 7. Como resultado, obtenemos 3 x \u003d 7 - 1, luego 3 x \u003d 6. Esta ecuación es muy simple de resolver: divide 6 entre 3 y obtén la raíz de la ecuación original.
Aquí hay una entrada corta para resolver otra ecuación (2 x - 7): 3 - 5 \u003d 2:
(2 x - 7): 3 - 5 \u003d 2, (2 x - 7): 3 \u003d 2 + 5, (2 x - 7): 3 \u003d 7, 2 x - 7 \u003d 7 3, 2 x - 7 \u003d 21, 2 x \u003d 21 + 7, 2 x \u003d 28, x \u003d 28: 2, x \u003d 14.
Si nota un error en el texto, selecciónelo y presione Ctrl + Enter
Lección 80-81. Tema: "Resolución de ecuaciones"
Objetivos:aprender a resolver ecuaciones con un término desconocido; repite la relación de unidades de longitud; consolidar las habilidades de cálculo en una columna; Desarrollar la capacidad de razonar y pensar lógicamente.
Resultados previstos: los estudiantes aprenderán a resolver ecuaciones para encontrar un término desconocido; realizar cálculos escritos utilizando las técnicas aprendidas; comprender las razones del éxito / fracaso de las actividades educativas.
Durante las clases
yo ... Organizando el tiempo
II ... Actualización de conocimientos
Dictado matemático
1. ¿Cuánto es 67 menos que 89? (A los 22.)
2. De 7 decenas, reste 4 decenas. (30.)
3. Incrementar 23 por 32. (55.)
4. ¿Qué número reduje en 27 y obtuve 23? (50.)
5. ¿Cuánto debería aumentarse 43 para obtener 70? (A los 27 años).
6. De la suma de los números 9 y 6, reste 10. (5.)
7. ¿Qué número se debe restar de 64 para obtener 37? (27.)
8. ¿A qué número le agregaste 0 y obtuviste 44? (44.)
9. A 21 suma la diferencia entre 14 y 6. (29.) 10. Suma de los números 33, 16.4 y 27. (80.)
(Verificar. Autoevaluación).
III ... Autodeterminación a la actividad
Cree tres ejemplos más usando este ejemplo. 6 + 4 \u003d 10
(El maestro escribe ejemplos en la pizarra.) 4 + 6 \u003d 10 10-4 \u003d 6 10-6 \u003d 4
¿Qué regla usaste al redactar la superposición de ejemplo? (La suma no cambia de la permutación de los términos).
¿Qué regla aplicó al hacer el ejemplo de resta? (Si se resta un término de la suma, se obtiene otro término).
- Para averiguar el tema de la lección, resuelva el crucigrama.
1. Son numéricos y alfabéticos. (Expresiones.)
2. Los números que suman se llaman. (Condiciones.)
3. El número del cual restar. (Minuendo.)
4. El signo matemático de la resta. (Menos.)
5. Igualdad que contiene un número desconocido. (La ecuacion.)
6. La suma de las longitudes de los lados de la figura. (Perímetro.)
7. Expresión con signo más. (Cantidad.)
8. Un registro en el que hay un signo igual. (Igualdad.)
9. El número más pequeño de dos dígitos. (Diez.)10. Letra latina. (X.)
¿Qué sucedió en la línea resaltada? (Resolver ecuaciones.)
Tema de la lección: "Resolver ecuaciones con un término desconocido". ¿Qué tareas nos propondremos?
IV ... Trabaja en el tema de la lección.
1. Trabaja en el libro de texto
Repase las fichas de dominó de la pág. 7 tutoriales y ejemplos escritos uno al lado del otro. ¿Cómo se obtienen los ejemplos de resta? ¿Qué regla se utilizó al compilarlos? Termina la conclusión. ( Para encontrar el término desconocido, reste el término conocido de la suma).
№ 1 (pág. 7).(Ejecución verbal).
№2 (pág. 7).(Ejecución colectiva con explicación detallada).
2. Solución independiente de ecuaciones
Opción 1 Opción 2
x + 45 \u003d 92 75 + x \u003d 81
26 + x \u003d 50 x + 22 \u003d 70
(Dos estudiantes escriben la solución en una pizarra plegable. Prueba. Autoevaluación).
Decisión:
x + 45 \u003d 92 75 + x \u003d 81
x \u003d 92-45 x \u003d 81-75
x \u003d47 x= 6
26 + x \u003d 50 x + 22 \u003d 70
x \u003d50 – 26 x \u003d70 - 22
3. Trabajar en el libro de texto
№3 (pág. 7).(Ejecución verbal).
№4 (pág. 7). (Autoestudio. Para aquellos que tienen dificultades, la maestra entrega una tarjeta de ayuda con el programa de solución). 1) ¿Cuántos vasos de frambuesas recogió la hermana?
2) ¿Cuántos vasos de frambuesas preparó? (Verifique, autoevaluación).
V ... Educación Física
Yo voy y tú vas - uno, dos, tres. (Pasos en su lugar)
Yo canto y tú cantas: uno, dos, tres. (Aplausos de sus manos.)
Vamos y cantamos: uno, dos, tres. (Saltando en su lugar.)
Vivimos muy amigablemente: uno, dos, tres. (Pasos en su lugar)
VI ... Consolidación del material estudiado
Trabajo de libro de textoNo. 1 (pág. 14).
¿Qué unidades de longitud conoces?
¿Cuántos milímetros hay en 1 cm? (Autoejecución. Verificar). Decisión:
5 cm 3 mm = 53 mm
3 cm 8 mm \u003d 38 mmNo. 2 (pág. 14).
(Autoejecución. Verificar).
1) Decisión:
AB \u003d 3 cm 5mm, discos compactos \u003d 5 cm 5 mm;
5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm \u003d 2 cm.
Responder:longitud del segmento discos compactos 2 cm más que la longitud del segmento AB.
2) Solución: ECMO\u003d 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm \u003d 7 cm 5 mm. No. 3 (pág. 14).
(Autoejecución. Verificación. Autoevaluación).
Decisión:
2 cm = 20 mm
4 cm 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 cm
4 cm 5 mm < 5 cm
VII ... Reflexión
("Revise usted mismo" (libro de texto, p. 7). Autoejecución. Revise.)
Decisión:15 + x \u003d 35 x \u003d 35-15 x \u003d 20
VIII ... Resumen de la lección
¿Qué tipo de ecuaciones recuerdaste hoy?
¿Cómo encontrar el término desconocido?
¿Quién necesita ayuda?
Deberes:Libro de trabajo: No. 10, 11 (p. 6).
Resumen de una lección de matemáticas de grado 2
El propósito de la lección: crear las condiciones necesarias para que los estudiantes deduzcan la regla para encontrar el término desconocido.Objetivos de la lección:
formar los conceptos de "ecuación", "raíz de la ecuación";
redactar un algoritmo para resolver la ecuación;
reforzar la capacidad de elaborar ecuaciones, encontrar la raíz de la ecuación y verificar la exactitud del cálculo;
mejorar las habilidades computacionales, el habla matemática, desarrollar el pensamiento lógico;
desarrollar habilidades de autocontrol, la capacidad de trabajar en parejas;
formar la capacidad de trabajar según un plan, un algoritmo.
Resultados previstos:
Tema:
conocer y aplicar la regla para encontrar el término desconocido al resolver ecuaciones simples;
ser capaz de escribir y resolver ecuaciones simples para encontrar el término desconocido.
utilizar términos matemáticos correctamente en el habla.
Metasujeto:
cognitivo : busca y resalta la información necesaria; construcción deliberada y arbitraria de una expresión oral; establecimiento de relaciones causales.
regulador : selección y conocimiento por parte de los estudiantes de lo que ya se ha dominado y lo que aún está sujeto a asimilación, comparación del método de acción y su resultado con un estándar dado.
comunicativo : actitud emocionalmente positiva ante el proceso de cooperación, capacidad de escuchar al interlocutor, consideración de opiniones diferentes y capacidad de justificar las propias, respeto por un punto de vista diferente.
personal : la formación de una adecuada autoestima consciente positiva, el desarrollo de intereses cognitivos, motivos educativos.
Métodos:
búsqueda parcial; verbal;
Mapa de lecciones tecnológicas
yo .Organización de la clase. Motivación para actividades de aprendizaje.
Hoy tenemos una lección abierta. Los invitados han venido a nuestra lección, acuda a ellos, los saludaremos.Siéntese tranquilamente.
Me alegra volver a ver sus hermosos rostros en nuestra próxima lección de matemáticas. La lección de hoy es emocionante, estás alarmado. Tratemos de animarnos, dar la vuelta, sonreír, apoyarnos unos a otros:
No estés triste hoy
¡Juntos estaremos en camino!
¡Bien hecho! ¿Ha cambiado tu estado de ánimo? ¿En qué se ha convertido?
Mire el tablero y elija su configuración para la lección:
Voy a:
Atento
Diligente
Trabajo duro
Curioso
Al final de la lección, diga si la completó o falló. Pongámonos a trabajar.
Grabando un número. Trabajo en clase.
Representemos el número 16 como una suma de dos números, una diferencia de dos números, como un producto de dos números, como una diferencia y un producto de números.
Si. La calma, la alegría, el miedo y la emoción desaparecieron.
II .
Actualización de conocimientos básicos
Propósito: mejorar las habilidades computacionales, repetir la composición de números.
1. Coloque los signos "+" o "-"
2. Complete la tabla:
Conclusión:3. Tarea
Primero se cortaron 6 m de una pieza de tela de 24 m de largo, y luego otros 4 m ¿Cuántos metros de tela quedaron en la pieza?
4 . Resolver el rompecabezas.
¿En qué grupos se pueden dividir estos registros matemáticos?
Agregar ...Una ecuación es una igualdad que contiene ...numero desconocido
El número desconocido en la ecuación se llama ...la raíz de la ecuación
La raíz de la ecuación hace que la ecuación sea verdadera ...igualdad
Igualdades numéricas, desigualdades numéricas, ecuaciones, raíces de ecuaciones
La ecuacion.
La igualdad que contiene lo desconocido se llama ecuación.
La raíz de una ecuación es un número que, cuando se sustituye en una ecuación en lugar de x, da como resultado la igualdad numérica correcta.
III .
Identificar el lugar y la causa de la dificultad.
Propósito: Creación de condiciones para la selección de una ecuación con una resta desconocida;
Identificar el lugar de dificultad;
Registre la causa de la dificultad en el habla externa.
IV. Formulación del tema y propósito de la lección.
Cada uno debe recordar cómo se resuelven las ecuaciones.
– Repase los diagramas en la pizarra.
¿Qué piensas, el descubrimiento, a qué patrón se dedicará la lección?
Abra el tutorial (página 77), marque la página del tutorial y lea el tema de la lección.
Defina el propósito de la lección.
Nosotros, aunque mal podemos explicar cómo encontrar el término desconocido
Aprenda a resolver ecuaciones con un sumando desconocido.
Resolver ecuaciones con suma desconocida
V ... Descubrimiento de nuevos conocimientos.
Propósito: resaltar la regla para encontrar lo desconocido restado.
Trabajando en grupos
Encuentra la ecuación en la que necesitas encontrar el primer término desconocido, crea un algoritmo para resolverlo.Algoritmo en la diapositiva .
Nombra los componentes al agregarlos.
¿Qué componente es desconocido? (- Cómo encontrarlo usando "Whole" y "Part".
Reemplace "Todo" y "Parte" con el nombre de los componentes de la acción de adición.
¿Cómo encontrar el término desconocido?
¿Dónde podemos encontrar la confirmación de nuestras suposiciones?
Compare sus hallazgos con lo que sugieren los autores del libro de texto p.79
Formule una regla para encontrar un término desconocido.
Para encontrar la parte desconocida, reste la parte conocida del todo.
VI .Entrenamiento físico
VII ... Refuerzo primario con pronunciación en habla externa.
Propósito: aplicar la regla para resolver ecuaciones.
Trabajando en la pizarra
Página 79 No. 6,7
Realizan una tarea, pronuncian un nuevo concepto.
VIII ... Autoaprendizaje por parejas con autoevaluación en clase.
Propósito: formación de la capacidad de trabajar en pareja, para mostrar responsabilidad por sus propias elecciones y los resultados de sus actividades.
Página 79. No. 8
Capacidad para trabajar en parejas utilizando un algoritmo.
La regla para encontrar el término desconocido.
{!LANG-e699bfea8b0fb63feeb81ce30ec55c6f!} {!LANG-83bd5d151b3c2e37b7d294d18ad0b79f!}
{!LANG-99e28c15865847a94b4c2aef9b41e207!}
{!LANG-4798790c70f90c2df4e42676fcbb1586!}
{!LANG-4f714525e5a62da587967ead4b6fd5c0!}
{!LANG-307f3013f5243f2ce63cc3a1fbf2813e!}
{!LANG-5abb886517237f00c8576961d2fe6dff!}
{!LANG-d99058e98a6add1f5a38a83d7cbc828b!}
{!LANG-1e801cbec8a6f07145b64ce47b771c1d!}
{!LANG-e78a499381e6610d0005481a88c21f6b!}
{!LANG-dfa34c0ebca838dd66db7978643cac07!}
{!LANG-98e8b6d76594f1b33406a6d7ba399b9d!}
{!LANG-a03849179dee241548e20a22b3b466e2!}
{!LANG-fec5cf2abde9b97922ae98b21536d90b!}
{!LANG-4797f1c1f240861c92dbdad6416a76ac!}
{!LANG-5211040f279efe267b0349b0cb56dd19!}
{!LANG-f3d4a4fcc1efae9a701c9c26f1b6480a!}
{!LANG-3f76bfa86d0928a6d6e57ac4d8bcae66!}
{!LANG-c03fc0ca8c8571a6e8ec15481fe58735!}
{!LANG-0c672a9124fc530b46ec3febc7c0ab74!} «+».
{!LANG-5e66299b383d42deb5326c5e11914b3b!}{!LANG-887ac502811bdd56a9e7e01d276eb65f!}
{!LANG-d35501d914a687103db7264861090788!}
{!LANG-d1d636e8622537e862f906ec0ba11a5d!}
{!LANG-b57524fdd97f350f24e7946b2d8ca422!}
{!LANG-981e8df3deef2db26bce3f98fb0fcb6d!}
{!LANG-043f565ada1d86cd7b035f5cf9233dfb!}
{!LANG-6992b3b0ca303b224ca44a10196d87d9!}
{!LANG-68ea792ddb426c19cf21f8cec35d2d35!}
{!LANG-927234683945478a920a20566bf11250!}
{!LANG-5a0a539314b4c01c525356bef14b5623!}
{!LANG-1c574e596fb033d8073a458a70b06995!}
{!LANG-0701515c690b7eaf0db87007c8438f84!}
{!LANG-f7c136b367ceb63e38d92b94bf41fb9a!}
{!LANG-40539bf53f91f9e9c2402f974f09a267!}
{!LANG-d3932d46a030e2ff854a5d3437b4de80!}
{!LANG-76cc085b0c8da1efdb28a803408c0ba9!}
{!LANG-aa6a2de9311715e8d6da01c73d5542d8!}
{!LANG-ce1a7021ca8fdbb95aa406253e53aeeb!}
{!LANG-e8d92297ceab232b8b832545d1832e56!}
{!LANG-8b81dabaa2c271b7f58074dbfbc83f05!}
{!LANG-d315b112b7ec8c9806fec67a3f776c1b!}
{!LANG-e2871a41c429691089523f2f2d64af40!}
{!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!} + 120 = 220{!LANG-48e139d1eb6194f16d0ffeb068286414!}
