Põhiuuringud. Pöördpendel Ülevaade juhtimismeetodite pöördpendli tüüpi objektidest

Pööratud pendli skemaatiline kujutis kärul. Vardal pole massi. Käru massi ja varda otsas oleva kuuli massi tähistame tähega M Ja m. Vardal on pikkus l.

Pööratud pendel on pendel, mille massikese on toetuspunkti kohal ja mis on fikseeritud jäiga varda otsa. Tihti on tugipunkt fikseeritud horisontaalselt liikuvale kärule. Kui tavaline pendel ripub pidevalt allapoole, on tagurpidi pendel oma olemuselt ebastabiilne ja püsti püsimiseks peab seda pidevalt tasakaalustama, rakendades pöördepunktile pöördemomenti või nihutades tagasisidesüsteemi osana pöördepunkti horisontaalselt. kõige lihtsam demo võib olla pliiatsi tasakaalustamine sõrme otsas.

Ülevaade

Pööratud pendel on klassikaline probleem dünaamikas ja juhtimisteoorias ning seda kasutatakse laialdaselt kontrollalgoritmide (PID-kontrollerid, närvivõrgud, hägujuhtimine jne) testimise etalonina.

Pöördpendli probleem on seotud raketi juhtimisega, kuna raketi mootor asub raskuskeskmest allpool, põhjustades ebastabiilsust. Sama probleem on lahendatud näiteks segways, isetasakaalustavas transpordiseadmes.

Teine võimalus pöördpendli stabiliseerimiseks on aluse kiire vertikaaltasapinnas liigutamine. Sel juhul saate ilma tagasisideta hakkama. Kui võnkumised on piisavalt tugevad (kiirenduse ja amplituudi poolest), siis võib pöördpendel stabiliseeruda. Kui liikuv punkt võngub lihtsate harmooniliste võnkumiste järgi, siis kirjeldab pendli liikumist Mathieu funktsioon.

Liikumisvõrrandid

Fikseeritud toetuspunktiga

Liikumisvõrrand on sarnane sirge pendliga, välja arvatud see, et nurga asendi märki mõõdetakse ebastabiilse tasakaalu vertikaalasendist:

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\ddot (\theta))-(g \over \ell )\sin \theta =0)

Tõlkides on sellel sama nurkkiirenduse märk:

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ (\displaystyle (\ddot (\theta))=(g \over \ell )\sin \theta )

Seega kiirendab vastupidine pendel vertikaalsest ebastabiilsest tasakaalust vastupidises suunas ja kiirendus on pöördvõrdeline pikkusega. Kõrge pendel langeb aeglasemalt kui lühike.

Pendel kärus

Liikumisvõrrandid saab tuletada Lagrange'i võrrandite abil. See on ülaltoodud joonis, kus θ (t) (\kuvastiil \teeta (t)) pendli nurga pikkus l (\displaystyle l) vertikaali ja mõjuva gravitatsiooni- ja välisjõudude suhtes F (\displaystyle F) suunas x (\displaystyle x). Defineerime x (t) (\displaystyle x(t)) vankri asend. Lagrangean L = T - V (\displaystyle L = T-V) süsteemid:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos ⁡ θ (\displaystyle L=(\frac (1)(2))Mv_(1)^(2)+(\frac (1) (2))mv_(2)^(2)-mg\ell \cos \theta )

kus on vankri kiirus ja materiaalse punkti kiirus m (\displaystyle m). v 1 (\displaystyle v_(1)) Ja v 2 (\displaystyle v_(2)) kaudu saab väljendada x (\displaystyle x) Ja θ (\displaystyle \theta ) kirjutades kiiruse kui positsiooni esimese tuletise.

v 1 2 = x ˙ 2 (\displaystyle v_(1)^(2)=(\punkt (x))^(2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (d d t (ℓ cos ⁡ θ)) 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=\left((\frac (d)(dt ))(\left(x-\ell \sin \theta \right))\right)^(2)+\left((\frac (d)(dt))(\left(\ell \cos \theta \ paremal))\paremal)^(2))

Väljendi lihtsustamine v 2 (\displaystyle v_(2)) viib:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=(\punkt (x))^(2)-2\ell (\punkt (x))(\punkt (\teeta))\cos \theta +\ell ^(2)(\punkt (\teeta))^(2))

Lagrange on nüüd defineeritud järgmise valemiga:

L = 1 2 (M + m) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos ⁡ θ (\displaystyle L=(\frac (1)(2) ))\vasak(M+m\parem)(\punkt (x))^(2)-m\ell (\punkt (x))(\punkt (\teeta))\cos \teeta +(\frac ( 1)(2))m\ell ^(2)(\punkt (\teeta))^(2)-mg\ell \cos \theta )

ja liikumisvõrrandid:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\partial (L) \over \partial (\punkt (x) )))-(\partial (L) \over \partial x)=F) d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\partial (L) \over \partial (\punkt (\) teeta)))-(\partial (L) \over \partial \theta )=0)

Asendamine L (\displaystyle L) Nendesse avaldistesse koos järgneva lihtsustusega saadakse võrrandid, mis kirjeldavad pöördpendli liikumist:

(M + m) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F (\displaystyle \left(M+m\right)(\ddot (x))-m\ell ( \ddot (\theta))\cos \theta +m\ell (\punkt (\teeta))^(2)\sin \theta =F) ℓ θ ¨ − g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ (\displaystyle \ell (\ddot (\theta))-g\sin \theta =(\ddot (x))\cos \theta )

Need võrrandid on mittelineaarsed, kuid kuna juhtimissüsteemi eesmärk on hoida pendlit vertikaalselt, saab võrrandeid lineariseerida, võttes θ ≈ 0 (\displaystyle \theta \umbes 0).

Pendel võnkuva alusega

Sellise pendli liikumisvõrrand on seotud massita võnkuva alusega ja saadakse samamoodi nagu pendli puhul kärul. Materiaalse punkti asukoht määratakse järgmise valemiga:

(− ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right))

ja kiirus leitakse positsiooni esimese tuletise kaudu:

v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . (\displaystyle v^(2)=(\punkt (y))^(2)-2\ell (\punkt (y))(\punkt (\teeta))\sin \theta +\ell ^(2) (\punkt (\teeta))^(2).

Selle süsteemi Lagrangiani saab kirjutada järgmiselt:

L = 1 2 m (y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − m g (y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle L=(\frac (1)(2) )m\left((\punkt (y))^(2)-2\ell (\punkt (y))(\punkt (\teeta))\sin \theta +\ell ^(2)(\punkt ( \theta))^(2)\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right))

liikumisvõrrandid tulenevad:

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\mathrm (d) \over \mathrm (d) t)(\partial (L) \over \partial (\punkt (\teeta))) -(\partial (L) \over \partial \theta )=0)

Pööratud pendel on pendel, mille massikese on toetuspunkti kohal ja mis on fikseeritud jäiga varda otsa. Tihti on tugipunkt fikseeritud horisontaalselt liikuvale kärule. Kui tavaline pendel ripub pidevalt allapoole, on tagurpidi pendel oma olemuselt ebastabiilne ja püsti püsimiseks peab seda pidevalt tasakaalustama, rakendades pöördepunktile pöördemomenti või nihutades tagasisidesüsteemi osana pöördepunkti horisontaalselt. Lihtsaim demonstratsioon oleks pliiatsi tasakaalustamine sõrme otsas.

Ülevaade

Pööratud pendel on klassikaline probleem dünaamikas ja juhtimisteoorias ning seda kasutatakse laialdaselt kontrollalgoritmide (PID-kontrollerid, närvivõrgud, hägujuhtimine jne) testimise etalonina.

Pöördpendli probleem on seotud raketi juhtimisega, kuna raketi mootor asub raskuskeskmest allpool, põhjustades ebastabiilsust. Sama probleem on lahendatud näiteks segways, isetasakaalustavas transpordiseadmes.

Teine võimalus pöördpendli stabiliseerimiseks on aluse kiire vertikaaltasapinnas liigutamine. Sel juhul saate ilma tagasisideta hakkama. Kui võnkumised on piisavalt tugevad (kiirenduse ja amplituudi poolest), siis võib pöördpendel stabiliseeruda. Kui liikuv punkt võngub lihtsate harmooniliste võnkumiste järgi, siis kirjeldab pendli liikumist Mathieu funktsioon.

Liikumisvõrrandid

Fikseeritud toetuspunktiga

Liikumisvõrrand on sarnane sirge pendliga, välja arvatud see, et nurga asendi märki mõõdetakse ebastabiilse tasakaalu vertikaalasendist:

texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

Tõlkides on sellel sama nurkkiirenduse märk:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Seega kiirendab vastupidine pendel vertikaalsest ebastabiilsest tasakaalust vastupidises suunas ja kiirendus on pöördvõrdeline pikkusega. Kõrge pendel langeb aeglasemalt kui lühike.

Pendel kärus

Liikumisvõrrandid saab tuletada Lagrange'i võrrandite abil. See on ülaltoodud joonis, kus Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \theta(t) pendli nurga pikkus Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatika/README.): l vertikaali ja mõjuva gravitatsiooni- ja välisjõudude suhtes Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): F suunas Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc . Defineerime Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): x(t) vankri asend. Lagrangian Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): L = T – V süsteemid:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Häälestamise abi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

Kus Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc on käru kiirus ja Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc - materjali punkti kiirus Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi leiate matemaatikast/README.): m . Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): v_1 Ja Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): v_2 kaudu saab väljendada Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): x Ja Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatika/README.): \theta kirjutades kiiruse kui positsiooni esimese tuletise.

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): v_1^2=\dot x^2 Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \ vasak((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2

Väljendi lihtsustamine Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): v_2 viib:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Lagrange on nüüd defineeritud järgmise valemiga:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): L = \frac(1) (2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \punkt \theta^2-m g \ell\cos \theta

ja liikumisvõrrandid:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial( L) \üle \osalise x) = F Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L) )\üle\osaline\teeta) = 0

Asendamine Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): L Nendesse avaldistesse koos järgneva lihtsustusega saadakse võrrandid, mis kirjeldavad pöördpendli liikumist:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.: \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Need võrrandid on mittelineaarsed, kuid kuna juhtimissüsteemi eesmärk on hoida pendlit vertikaalselt, saab võrrandeid lineariseerida, võttes Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \theta \umbes 0 .

Pendel võnkuva alusega

Sellise pendli liikumisvõrrand on seotud massita võnkuva alusega ja saadakse samamoodi nagu pendli puhul kärul. Materiaalse punkti asukoht määratakse järgmise valemiga:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

ja kiirus leitakse positsiooni esimese tuletise kaudu:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Sellel võrrandil ei ole elementaarlahendit suletud kujul, kuid seda saab uurida mitmes suunas. See on lähedane näiteks Mathieu võrrandile, kui võnkeamplituud on väike. Analüüs näitab, et pendel püsib kiirel õõtsumisel püsti. Esimene graafik näitab seda aeglaselt võnkuvaga Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc , langeb pendel pärast stabiilsest vertikaalasendist lahkumist kiiresti.
Kui Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): y võngub kiiresti, võib pendel olla vertikaalasendis stabiilne. Teisel graafikul on näha, et pärast stabiilsest vertikaalasendist lahkumist hakkab pendel nüüd ümber vertikaalasendi pöörlema ​​( Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \theta = 0) Hälve vertikaalasendist jääb väikeseks ja pendel ei lange.

Rakendus

Näiteks võib tuua inimeste ja esemete tasakaalustamise, näiteks akrobaatikas või üherattasõidus. Ja ka segway - kahe rattaga elektriline isetasakaalustuv roller.

Pööratud pendel oli mitme varajase seismograafi väljatöötamise keskne komponent.

Vaata ka

Lingid

• D. Liberzon Süsteemide ja juhtimise sisselülitamine(2003 Springer) lk. 89jj

Lisalugemist

• Franklin; et al. (2005). Dünaamiliste süsteemide tagasiside juhtimine, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Kirjutage ülevaade artiklist "Tagurpidi pendel"

Lingid

Väljavõte, mis kirjeldab Pöördpendlit

Nende vanaisa õde Aleksandra Obolenskaja (hiljem Aleksis Obolenski) oli samuti pagendatud ning Vassili ja Anna Seregins, kes vabatahtlikult läksid, järgnesid omal valikul vanaisale, kuna Vassili Nikandrovitš oli aastaid vanaisa advokaat kõigis tema asjades ja üks. kõige enam tema lähedastest sõpradest.

Alexandra (Alexis) Obolenskaja Vassili ja Anna Seryogin

Tõenäoliselt tuli olla tõeline SÕBER, et leida endas jõudu sellise valiku tegemiseks ja minna vabast tahtest sinna, kuhu minnakse, nagu minnakse ainult iseenda surma. Ja seda "surma" nimetati siis kahjuks Siberiks ...
Ma olin alati väga kurb ja valus meie, nii uhke, aga nii halastamatult bolševike saabaste tallatud, kauni Siberi pärast!... Ja ükski sõna ei suuda öelda, kui palju kannatusi, valu, elusid ja pisaraid see uhke, kuid viimse piirini kurnatud, maa neelas ... Kas sellepärast, et see oli kunagi meie esivanemate kodumaa süda, otsustasid "kaugenägelikud revolutsionäärid" seda maad halvustada ja hävitada, valides selle oma kuratlikeks eesmärkideks?... Lõppude lõpuks on paljude inimeste jaoks isegi Siber jäi paljude aastate pärast ikka "neetud" maaks, kus kellegi isa suri, kellegi vend, keegi siis poeg ... või võib-olla koguni kellegi kogu suguvõsa.
Minu vanaema, keda ma oma suureks kurvastuseks kunagi ei tundnud, oli sel ajal isast lapseootel ja kannatas seda teed väga raskelt. Kuid loomulikult polnud vaja kuskilt abi oodata ... Nii et noor printsess Elena ei vaikne raamatute sahin pere raamatukogus või tavalised klaverihelid, kui ta oma lemmikteoseid mängis. aeg kuulas ainult kurjakuulutavat rataste häält, mis justkui ähvardavalt lugesid tema järelejäänud elutunde, nii habras ja muutus tõeliseks õudusunenäoks... Ta istus räpase autoakna taga mingitel kottidel ja vahtis talle nii tuttava ja tuttava "tsivilisatsiooni" viimastel haletsusväärsetel jälgedel, mis lähevad aina kaugemale ja kaugemale...
Vanaisa õel Alexandra õnnestus sõprade abiga ühes peatuses põgeneda. Ühisel kokkuleppel pidi ta jõudma (kui tal veab) Prantsusmaale, kus Sel hetkel elas kogu tema pere. Tõsi, ükski kohalviibijatest ei osanud ette kujutada, kuidas ta seda teha sai, kuid kuna see oli nende ainus, ehkki väike, kuid kindlasti viimane lootus, oli liiga suur luksus sellest nende täiesti lootusetu olukorra tõttu keelduda. Sel hetkel viibis Prantsusmaal ka Alexandra abikaasa Dmitri, kelle abiga nad lootsid juba sealt edasi aidata vanaisa perekonnal sellest õudusunenäost, millesse elu nad nii halastamatult oli visanud, alatutega välja tulla. jõhkrad inimeste käed...
Kurgani saabudes paigutati nad midagi selgitamata ja küsimustele vastamata külma keldrisse. Kaks päeva hiljem tulid mõned inimesed vanaisale järele ja teatasid, et väidetavalt tulid nad teda teise "sihtkohta" "eskortima" ... Nad viisid ta minema nagu kurjategija, ei lubanud tal asju kaasa võtta ega au andnud. selgitada, kus ja kui kaua nad seda võtavad. Keegi ei näinud enam vanaisa. Mõne aja pärast tõi tundmatu sõjaväelane vanaisa isiklikud asjad vanaemale räpases söekotis ... ilma midagi selgitamata ja lootustki teda elusana näha. Selle kohta lakkas igasugune teave vanaisa saatuse kohta, justkui oleks ta maa pealt kadunud ilma igasuguste jälgede ja tõenditeta ...
Vaese printsess Jelena piinatud süda ei tahtnud leppida nii kohutava kaotusega ja sõna otseses mõttes pommitas ta kohalikku staabiohvitseri palvetega selgitada välja oma armastatud Nikolai surma asjaolud. Kuid "punased" ohvitserid olid pimedad ja kurdid üksiku naise palvetele, nagu nad teda kutsusid - "üllast", kes oli nende jaoks vaid üks tuhandetest ja tuhandetest nimetutest "nummerdatud" üksustest, mis ei tähendanud maailmas midagi. nende külm ja julm maailm ... See oli tõeline põrgu, kust polnud enam tagasiteed sellesse tuttavasse ja hea maailm, milles tema maja, sõbrad ja kõik see, millega ta oli varakult harjunud ning mida ta nii väga ja siiralt armastas... Ja polnud kedagi, kes oleks saanud aidata või andnud vähimatki lootust ellu jääda.
Seryoginid püüdsid kolmeks meelevalda säilitada ja üritasid printsess Elenat mis tahes viisil rõõmustada, kuid naine läks üha sügavamale peaaegu täielikku uimasusse ja istus mõnikord päevi järjest ükskõikselt tardunud olekus, peaaegu mitte. reageerides oma sõprade katsetele päästa ta süda ja meel lõplikust depressioonist. Oli vaid kaks asja, mis ta korraks reaalsesse maailma tagasi tõid – kui keegi hakkas rääkima tema sündimata lapsest või kui vähegi, siis tuli uusi detaile tema kallima Nikolai väidetava surma kohta. Ta tahtis meeleheitlikult teada (kui ta oli veel elus), mis tegelikult juhtus ja kus oli tema abikaasa või vähemalt kuhu tema surnukeha maeti (või hüljati).
Kahjuks pole nende kahe julge ja särava inimese Jelena ja Nikolai de Rohan-Hesse-Obolensky elust peaaegu üldse infot alles, kuid kasvõi need paar rida kahest allesjäänud kirjast Jelenalt tütrele Alexandrale. , mis mingil moel Prantsusmaal Alexandra perekonnaarhiivis säilinud, näitavad, kui sügavalt ja hellalt printsess oma kadunud meest armastas. Säilinud on vaid üksikud käsitsi kirjutatud poognad, millest mõnda rida ei saa kahjuks üldse välja lugeda. Kuid ka saavutatu karjub sügava valuga suurest inimlikust ebaõnnest, mida ilma seda kogemata ei ole lihtne mõista ja võimatu vastu võtta.

12. aprill 1927 Printsess Jelena kirjast Alexandra (Alix) Obolenskajale:
"Ma olen täna väga väsinud. Ta naasis Sinyachikhast täiesti murtuna. Vagunid on rahvast täis, kahju oleks isegi veiseid vedada………………………….. Peatusime metsas – seal lõhnas nii mõnusalt seente ja maasikate järele... Raske uskuda et need õnnetud inimesed seal tapeti! Vaene Ellochka (tähendab suurhertsoginnat Elizaveta Feodorovnat, kes oli mu vanaisa sugulane Hesseni joonel) tapeti lähedal, selles kohutavas Staroselimi kaevanduses ... milline õudus! Mu hing ei suuda sellega leppida. Mäletate, me ütlesime: "Maa olgu maas"?.. Suur jumal, kuidas saab selline maa maas olla?!..
Oh, Alix, mu kallis Alix! Kuidas sellise õudusega harjuda? ...................... .................. Olen kerjamisest nii väsinud ja enda alandamine... Kõik on täiesti kasutu, kui tšeka pole nõus Alapaevskile päringut saatma ...... Ma ei tea kunagi, kust teda otsida, ja ma ei saa kunagi teada, mida nad temaga tegid. Ei möödu tundigi, kui ma ei mõtleks mulle nii tuttavale näole... Milline õudus on ette kujutada, et ta lebab mõnes mahajäetud süvendis või kaevanduse põhjas! .. Kuidas sa suudad taluda seda igapäevast õudusunenägu, teades et juba ma ei näe teda kunagi?!.. Nii nagu mu vaene Vasilek (nimi, mis sündides mu isale pandi) ei näe teda kunagi... Kus on julmuse piir? Ja miks nad nimetavad end inimesteks?

DOI: 10,14529/mmph170306

KAHERATALISE SÕIDUKI TAGASIPENDLI STABILISEERIMINE

IN JA. Ryazhskikh1, M.E. Semenov2, A.G. Rukavitsyn3, O.I. Kaništšev4, A.A. Demchuk4, P.A. Meleshenko3

1 Voroneži osariik Tehnikaülikool, Voronež, Venemaa Föderatsioon

2 Voroneži Riiklik Arhitektuuri- ja Ehitusülikool, Voronež, Vene Föderatsioon

3 Voronež Riiklik Ülikool, Voronež, Venemaa Föderatsioon

4 Sõjalise Haridus- ja Teaduskeskus Õhujõud"Professor N.E. nimeline õhuväeakadeemia. Žukovski ja Yu.A. Gagarin, Voronež, Venemaa

E-post: [e-postiga kaitstud]

Vaadeldakse mehaanilist süsteemi, mis koosneb kaherattalisest kärust, mille teljel on pöördpendel. Ülesandeks on moodustada selline tagasiside põhimõttel moodustatud juhtaktsioon, mis ühelt poolt annaks etteantud liikumisseaduse mehaanilised vahendid, ja teisest küljest stabiliseeriks see pendli ebastabiilset asendit.

Märksõnad: mehaaniline süsteem; kaherattaline sõiduk; tagurpidi pendel; mängida; stabiliseerimine; kontroll.

Sissejuhatus

Ebastabiilsete tehnosüsteemide juhtimise võimalust on teoreetiliselt kaalutud juba pikka aega, kuid sellise juhtimise praktiline tähendus avaldus selgelt alles Hiljuti. Selgus, et ebastabiilsed juhtimisobjektid sobiv juhtimine neil on mitmeid "kasulikke" omadusi. Selliste objektide näited on kosmoselaev stardifaasis termotuumasünteesi reaktor ja paljud teised. Samas võib automaatjuhtimissüsteemi rikke korral ebastabiilne objekt kujutada endast olulist ohtu, ohtu nii inimestele kui ka keskkond. Õnnetus kohas Tšernobõli tuumaelektrijaam. Juhtimissüsteemide töökindlamaks muutudes rakendatakse praktikas üha laiemat valikut kontrolli puudumisel tehniliselt ebastabiilseid objekte. Üks kõige enam lihtsaid näiteid Ebastabiilsed objektid on klassikaline pöördpendel. Ühest küljest on selle stabiliseerimise probleem suhteliselt lihtne ja selge, teisalt leitav praktiline kasutamine kahejalgsete olendite, aga ka kahel toel liikuvate antropomorfsete seadmete (robotid, küberid jne) mudelite loomisel. IN viimased aastad ilmusid teosed, mis olid pühendatud liikuva kaherattalise sõidukiga seotud pöördpendli stabiliseerimise probleemidele. Nendel uuringutel on võimalik rakendusi paljudes valdkondades, nagu transport ja uurimine, tänu selliste seadmete kompaktsele disainile, kasutuslihtsusele, suurele manööverdusvõimele ja madalale kütusekulule. Siiski on vaadeldav probleem veel kaugel lõplikust lahendusest. On teada, et paljud traditsioonilised tehnilised seadmed neil on nii stabiilsed kui ka ebastabiilsed olekud ja töörežiimid. Tüüpiline näide on Dean Kameni leiutatud Segway, elektriline isetasakaalustuv roller, millel on kaks ratast juhi mõlemal küljel. Tõukeratta kaks ratast on joondatud. Segway tasakaalustub automaatselt, kui juhi kehaasend muutub; selleks kasutatakse indikaatorite stabiliseerimissüsteemi: güroskoopiliste ja vedeliku kaldeandurite signaalid suunatakse mikroprotsessoritele, mis genereerivad elektrilisi signaale, mis mõjuvad mootoritele ja juhivad nende liikumist. Segway iga ratast veab oma elektrimootor, mis reageerib muutustele auto tasakaalus. Kui sõitja keha kaldub ette, hakkab segway ettepoole veerema, samal ajal kui sõitja keha kaldenurk suureneb, suureneb segway kiirus. Kui keha on tahapoole kallutatud,

kat aeglustab, peatub või veereb tagurpidi. Ruleerimine toimub esimesel mudelil pöörleva käepideme abil, uutel mudelitel - veeru vasakule ja paremale nihutades. Võnkuvate mehaaniliste süsteemide juhtimise probleemid on märkimisväärse teoreetilise huvi ja praktilise tähtsusega.

On teada, et mehaaniliste süsteemide toimimise ajal osade vananemise ja kulumise tõttu tekivad vältimatult lõtkud ja seiskumised, mistõttu on selliste süsteemide dünaamika kirjeldamisel vaja arvestada hüstereesiefektide mõjuga. Selliste mittelineaarsuste matemaatilised mudelid taandatakse vastavalt klassikalistele kontseptsioonidele operaatoriteks, mida käsitletakse vastavate funktsiooniruumide transformaatoritena. Selliste muundurite dünaamikat kirjeldavad "sisend-olek" ja "olek-väljund" seosed.

Probleemi sõnastamine

Käesolevas töös käsitleme mehhaanilist süsteemi, mis koosneb kaherattalisest kärust, mille teljel paikneb tagurpidi pendel. Ülesandeks on moodustada selline juhtaktsioon, mis ühelt poolt annaks mehaanilise vahendi etteantud liikumisseaduse ja teisest küljest stabiliseeriks pendli ebastabiilse asendi. Sel juhul võetakse arvesse uuritava süsteemi juhtkontuuri hüstereesiomadusi. Allpool on uuritud elementide graafiline kujutis mehaaniline süsteem- kaherattaline sõidukit mille külge on kinnitatud tagurpidi pendel.

Riis. 1. Vaadeldava mehaanilise seadme peamised konstruktsioonielemendid

siin / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

HR! / / / / / 1 / / /

Riis. 2. Pöördemomendi reguleerimisega mehaanilise seadme vasak ja parem ratas

Vaadeldavat süsteemi kirjeldavad parameetrid ja muutujad: j - sõiduki pöördenurk; D on kahe ratta vaheline kaugus piki telje keskpunkti; R on rataste raadius; Jj - inertsimoment; Tw on vasaku ja parema ratta pöördemomentide vahe; v-

sõiduki pikisuunaline kiirus; c - pendli kõrvalekalde nurk vertikaalasendist; m on ümberpööratud pendli mass; l on keha raskuskeskme ja vaheline kaugus

ratta telg; Ti - vasaku ja parema ratta pöördemomentide summa; x - sõiduki liikumine pikisuunas; M on šassii mass; M* - rataste mass; Ja - tagasilöögi lahendus.

Süsteemi dünaamika

Süsteemi dünaamikat kirjeldatakse järgmiste võrranditega:

n = - + - Tn, W in á WR n

in = - - ml C0S in Tn,

kus T* = Tb - TJ; Tp \u003d Tb + Tch; Mx \u003d M + m + 2 (M * + ^ *); 1v \u003d t / 2 + 1C; 0. \u003d Mx1v-t2 / 2 co2 v;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Süsteemi parameetrite muutumise dünaamikat kirjeldavat mudelit saab esitada kahe sõltumatu alamsüsteemina. Esimene alamsüsteem koosneb ühest võrrandist - p-allsüsteemist,

sõiduki nurkliikumiste määramine:

Võrrandi (5) saab ümber kirjutada kahe võrrandi süsteemina:

kus e1 \u003d P-Py, e2 \u003d (P-(Ra.

Teine alamsüsteem, mis kirjeldab sõiduki radiaalseid liikumisi ja sellele paigaldatud pendli võnkumisi, koosneb kahest võrrandist - (y, v) -alamsüsteem:

U =-[ Jqml in2 sin in - m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u

in =- - ml C ° * in Tv W WR

Süsteem (7) on mugavalt kujutatud esimest järku võrrandite süsteemina:

¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 + qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 + qd)] + TShT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +c)

kus W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd, ¿4 = v - vd, ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Mõelge alamsüsteemile (6), mida juhitakse tagasiside põhimõttel. Selleks võtame kasutusele uue muutuja ja defineerime lülituspinna süsteemi faasiruumis ^ = 0 .

5 = sisse! + с1е1, (9)

kus c on positiivne parameeter. See tuleneb otseselt määratlusest:

■I \u003d e + c1 e1 -cry + c1 e1. (10)

Pöörleva liikumise stabiliseerimiseks määratleme juhtimismomendi järgmiselt:

T# P - ^ v1 - -MgP(51) - k2 (11)

kus on positiivselt määratud parameetrid.

Samamoodi ehitame teise alamsüsteemi (8) juhtimise, mida samuti juhime tagasiside põhimõttel. Selleks võtame kasutusele uue muutuja ja defineerime lülituspinna süsteemi faasiruumis kui ■2 = 0 .

■2 = vz + S2vz, (12)

kus c2 on positiivne parameeter, siis

1 . 2 2 2

■2 \u003d e3 + c2 e3 \u003d (s + b6) ^5 + ve) - m 1 § ^5 + s1) C08 (e5 + ba)] +

7^T - + c2 e

Radiaalse liikumise stabiliseerimiseks määratleme juhtimismomendi:

tt "2/2 ^ k T \u003d - Km / (wi + eb) r ^ m (eb + wi) + n ^ + wi) +kA ^], (14)

kus k3, k4 on positiivselt antud parameetrid.

Süsteemi mõlema alamsüsteemi samaaegseks juhtimiseks tutvustame täiendavat juhtimistoimingut:

\u003d § Xapv - [va + c3 (v-vy) - k588n (^3) - kb 53], (15)

kus § on vaba kiirendus

langeb; c3, k5, kb - positiivsed parameetrid; 53 - lülituspind, mis määratakse suhtega:

53 = e6 + c3e5.

Sõnastame töö põhitulemused, mis seisnevad põhimõttelises võimaluses stabiliseerida mõlemad alamsüsteemid, lähtudes juhttoimingute kohta tehtud eeldustest, null-tasakaalu positsiooni läheduses.

Teoreem 1. Juhttoiminguga (11) süsteem (6) on absoluutselt asümptootiliselt stabiilne:

Nsh || e11|® 0,

Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2

Tõestus: defineerime Ljapunovi funktsiooni kui

kus a = Dj 2 RJp.

Ilmselgelt on siis funktsioon V > 0

V = W1 Si = Si. (18)

Asendades (14) V-ga, saame

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

On ilmne, et V1

Teoreem 2. Vaatleme alamsüsteemi (8) koos juhttoiminguga (14). Tehtud eelduste kohaselt on see süsteem absoluutselt asümptootiliselt stabiilne, st mis tahes algtingimustel kehtivad järgmised seosed:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 e41|® o.

Tõestus: defineerime Ljapunovi funktsiooni süsteemi (8) jaoks, kasutades seost

kus b =Wo R!Je .

Ilmselgelt on funktsioon V2 > 0 ja

V2 = M S2 = S2, kuna juhtimistoimingu suhtes on surnud tsoone. Toome Lühike kirjeldus tulevikus kasutatavast hüstereesimuundurist – tagasilöök, operaatori tõlgendusel. Konverteri väljund – vastulöök monotoonsetel sisenditel on kirjeldatud seosega:

x(t0) nende t jaoks, mille puhul x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h nende t jaoks, mille puhul u(t)< x(t0) - h,

mis on illustreeritud joonisel fig. 3.

Kasutades poolrühma identiteeti, laiendatakse operaatori tegevust kõikidele osade kaupa monotoonsetele sisenditele:

Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25)

ja spetsiaalse piirkonstruktsiooni abil kõigil pideval. Kuna selle operaatori väljund ei ole diferentseeritav, kasutatakse allpool Bowk-Ven mudeli tagasilööki. Seda tuntud poolfüüsilist mudelit kasutatakse laialdaselt hüstereesiefektide fenomenoloogiliseks kirjeldamiseks. Bowk-Vienna mudeli populaarsus

tuntud oma analüütilise jäädvustamise võime poolest erinevaid vorme hüstereesi tsüklid. Mudeli formaalne kirjeldus taandatakse süsteemile järgmised võrrandid:

Fbw (x, ^ = ax() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -p\x \\z \n-1 z-yx | z |n). (26)

Fbw(x,t) käsitletakse hüstereesimuunduri väljundina ja x(t) sisendina. siin n > 1,

D > 0 k > 0 ja 0<а< 1.

Riis. 3. Sisend-väljundi tagasilöökide vastavuse dünaamika

Vaatleme süsteemide (6) ja (8) üldistust, kus juhtimistoiming suunatakse hüstereesimuunduri sisendisse ja väljundiks on süsteemi juhtimistoiming:

Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1 (A x-b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n).

Nagu varemgi, oli vaadeldavas süsteemis põhiprobleemiks stabiliseerimine, st selle faasimuutujate asümptootiline käitumine. Allpool on graafikud süsteemi samade füüsiliste parameetrite kohta koos tagasilöögiga ja ilma. Seda süsteemi uuriti numbriliste katsete abil. See probleem lahendati Wolfram Mathematica programmeerimiskeskkonnas.

Konstantide väärtused ja algtingimused on toodud allpool:

m = 3; M = 5; mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0, x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )