Millised jooned määratakse järgmiste võrranditega. Analüütiline geomeetria tasapinnal. Teise järgu pinnad: Õpik. perpendikulaarsuse tingimus

Kõige olulisem kontseptsioon analüütiline geomeetria on tasapinna sirge võrrand.

Definitsioon. Tasapinna sirge (kõvera) võrrand Oxy nimetatakse võrrandiks, mis rahuldab koordinaate x Ja y selle sirge iga punkti ja ei vasta ühegi punkti koordinaatidele, mis ei asu sellel sirgel (joonis 1).

Üldiselt võib joonvõrrandi kirjutada järgmiselt F(x,y)=0 või y=f(x).

Näide. Leidke punktidest võrdsel kaugusel asuvate punktide hulga võrrand A(-4;2), B(-2;-6).

Lahendus. Kui M(x;y) on soovitud sirge suvaline punkt (joonis 2), siis on meil AM = BM või

Pärast transformatsioone saame

Ilmselgelt on see sirgjoone võrrand. MD- lõigu keskelt taastatud risti AB.

Kõigist lennuki joontest on eriline tähtsus sirgjoon. See on lineaarfunktsiooni graafik, mida kasutatakse praktikas enimlevinud lineaarsetes majandus- ja matemaatilistes mudelites.

Erinevad liigid sirgjoone võrrandid:

1) kaldega k ja algordinaadiga b:

y = kx + b,

kus on nurk sirgjoone ja telje positiivse suuna vahel Oh(joonis 3).

Erijuhtumid:

- liin läbib päritolu(joon.4):

– poolitaja esimene ja kolmas, teine ​​ja neljas koordinaatnurk:

y=+x, y=-x;

- sirge paralleelselt x-teljega ja teda ennast OX telg(Joonis 5):

y=b, y=0;

- sirge paralleelselt OY teljega ja teda ennast OY telg(Joonis 6):

x=a, x=0;

2) selles suunas möödumine (kaldega) k läbi antud punkti (Joonis 7) :

.

Kui ülaltoodud võrrandis k on suvaline arv, siis võrrand defineerib sirgjoonte kimp punkti läbimine , välja arvatud teljega paralleelne sirgjoon Oh.

NäideA(3,-2):

a) telje suhtes nurga all OH;

b) paralleelne teljega OY.

Lahendus.

A) , y-(-2) = -1 (x-3) või y=-x+1;

b) x=3.

3) kahe etteantud punkti läbimine (Joonis 8) :

.

Näide. Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand A(-5,4), B(3,-2).

Lahendus. ,

4) sirge võrrand lõikudes (joonis 9):

Kus a, b- telgedel vastavalt ära lõigatud segmendid Ox Ja Oh.

Näide. Kirjutage võrrand punkti läbivale sirgele A(2,-1), kui see joon katkeb positiivsest poolteljelt Oy positiivsest poolteljelt kaks korda pikem segment Ox(joonis 10).

Lahendus. Tingimuste järgi b=2a, Siis. Asendage punkti koordinaadid A(2,-1):

Kus a = 1,5.

Lõpuks saame:

Või y=-2x+3.

5) sirge üldvõrrand:

Ax+By+C=0,

Kus a Ja b ei võrdu samal ajal nulliga.

Mõned sirgjoonte olulised omadused :

1) kaugus d punktist sirgeni:

.

2) sirgjoonte vaheline nurk ja vastavalt:

Ja .

3) paralleelsete joonte seisund:

või .

4) joonte perpendikulaarsuse tingimus:

või .

Näide 1. Kirjutage võrrand kahe punkti läbiva sirge jaoks A(5.1), millest üks on joonega paralleelne 3x+2a-7=0 ja teine ​​on sama sirgega risti. Leidke paralleelsete joonte vaheline kaugus.

Lahendus. Joonis 11.

1) paralleelse sirge võrrand Ax+By+C=0:

paralleelsuse tingimusest ;

võttes proportsionaalsuse koefitsiendi 1-ga, saame A = 3, B = 2;

See. 3x+2y+C=0;

tähenduses KOOS leida koordinaatide asendamisega A(5,1),

3*5+2*1+C=0, kus C=-17;

paralleelse sirge võrrand on 3x+2y-17=0.

2) ristsirge võrrand perpendikulaarsuse tingimusel on vorm 2x-3y+C=0;

koordinaatide asendamine A(5.1), saame 2*5-3*1+C=0, kus C=-7;

risti sirge võrrand on 2x-3y-7=0.

3) paralleeljoonte vaheline kaugus võib leida kaugusena A(5.1) enne otse andmist 3x+2a-7=0:

.

Näide 2. Arvestades kolmnurga külgede võrrandeid:

3x-4a+24=0 (AB), 4x+3a+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Kirjutage nurga poolitaja võrrand ABC.

Lahendus. Kõigepealt leidke tipu koordinaadid IN kolmnurk:

,

kus x = -8, y = 0, need. B(-8,0)(Joonis 12) .

Igast punktist lähtuva kauguse poolitaja omaduse järgi M(x,y), poolitajad BD kuni külgedeni AB Ja Päike on võrdsed, s.t.

,

Saame kaks võrrandit

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

Jooniselt 12 on soovitud sirge kalle negatiivne (nurk koos Oh nüri), seetõttu sobib meile esimene võrrand x+7y+8=0 või y = -1/7x-8/7.

Seega, Agip. = s/2 = 2 ja bhyp.2 = s2 – agip.2 = 16 – 4 = 12. x2 y2 -7, 0) ja suundvõrrand x – 7 = 0. Lahendus Suunavõrrandist saame x = - p/2 = 7 või p = -14. Seega on nõutava parabooli võrrand 2 y = -28x. Ülesanne 12. Määrake, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega. Tee joonised. 3 2 1. y = 7 − x − 6 x + 13, y< 7, x ∈ R. 2 Решение 3 2 y−7=− x − 6 x + 13. Возводим обе части 2 уравнения в квадрат: 9 2 (y − 7) 2 = 4 (x − 6 x + 13) или 4 (y − 7) = (x 2 − 6 x + 13). 2 9 Выделяем в правой части полный квадрат: 4 (x − 3) 2 (y − 7) 2 (y − 7) = (x − 3) + 4 или 2 2 − = −1. 9 4 9 Это – сопряженная гипербола. О′(3, 7), полуоси а = 2, b = 3. Заданное же уравнение определяет ветвь гиперболы, расположенную под прямой y – 7 = 0, т.к. y < 7. 1 y +1 2. x = 1 − . 2 2 Решение Область допустимых значений (х, у) определяется условиями ⎧ y +1 ⎪ ≥ 0, ⎧ y ≥ −1, ⎨ 2 → ⎨ ⎪ 1 − x ≥ 0, ⎩ x ≤ 1. ⎩ (y + 1)/2 = 4⋅(1 – x)2 → y + 1 = 8⋅(1 – x)2. Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке (1, -1). 41 3. y = −2 − 9 − x 2 + 8 x . Решение Искомая кривая – часть окружности: (y + 2)2 + (x – 4)2 = 52, y ≤ -2, x ∈ [-1, 9]. 4. y2 – x2 = 0. y Решение y=-x y=x (y – x)⋅(y + x) = 0 – две пересекающиеся прямые. x 0 Задача 13. Какую линию определяет уравнение x2 + y2 = x? Решение Запишем уравнение в виде x2 – x + y2 = 0. Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих х: x2 – x = (x – 1/2)2 – 1/4. 2 ⎛ 1⎞ 1 Уравнение принимает вид ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎝ 2⎠ 4 и определяет окружность с центром в точке (1/2, 0) и радиусом 1/2. Задача 14. Преобразовать уравнение x2 – y2 = a2 поворотом осей на 45° против часовой стрелки. Решение Так как α = -45°, то cos α = 2 2, sin α = − 2 2. Отсюда преобразование поворота принимает вид (см. п.4.2): ⎧ x = 2 2 ⋅ (x′ + y′) , ⎪ ⎨ ⎪ y = 2 2 ⋅ (y′ − x′) . ⎩ Подстановка в исходное уравнение дает х′у′ = а2/2. Проиллюстрируем приведение üldvõrrandid suunab teist järku kanoonilisele vormile mitmel näitel, mis illustreerivad erinevaid teisendusskeeme. Ülesanne 15. Viige võrrand 5x2 + 9y2 - 30x + 18y + 9 = 0 kanoonilisele kujule ja konstrueerige kõver. Lahendus Rühmitame selle võrrandi samanimelisi koordinaate sisaldavad liikmed: (5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0 või 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0. 42 y y′ sulgudes kuni täiusliku ruuduni: x 5 (x2 - 6x + 9 - 9) + 9 (y2 + 2y + 1 - 1) +9 = 0 või 0 5 (x - 3) 2 + 9( y + 1)2 = 45. 01 x′ Tähistame x' = x – 3, y' = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, see tähendab, et punkt O1(3, -1) on kõvera keskpunkt. Uues koordinaatsüsteemis on võrrand järgmiselt: x′2 y′2 5 x′ + 9 y′ = 45 → 2 2 + = 1 ja defineerib ellipsi pooltelgedega 9 5 a = 3, b = 5, mille keskpunkt on algses koordinaatsüsteemis punktis O1(3, -1). 5 2 3 7 Ülesanne 16. Määrake kõvera tüüp x + xy + y 2 = 2. 4 2 4 Lahendus 3 1 , A ≠ C ja ϕ = arctan 2 2B 1 (= arctan − 3 = − . A−C 2 6) ⎪ + y′ , 2 2 ⎨ ⎪ y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ = − x′ 1 + y′ 3 ⎪ ⎩ 2 2 ja saame ellipsi võrrandi 2 2 3 5⎞ 3⎛ 3 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ 7⎛ 1 3 ⎞ ⎜ x′ + y′ ⎟ + ⎜ x′ + y′ ⎟⎜ − x′ + y′′⎟ +2. 4⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 4⎝ 2 2 ⎠ x′ 2 + 2y′ 2 = 2 Lahendus Liigume koordinaatide alguspunkti punkti O1(x0, y0), nii et võrrand ei tee seda sisaldavad x' ja y' esimese astmeni. See vastab vormi koordinaatide teisendusele (vt jaotis 4.1): ⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 . Asendamine algsesse võrrandisse annab (x' + x0)2 + (x' + x0)(y' + y0) + (y' + y0)2 – 2 (x' + x0) + 3 (y' + y0) = 0 või x'2 + x'y' + y'2 + (2x0 + y0 - 2)x' + (x0 + 2y0 + 3)y' + x02 + x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0. Olgu 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. 43 Saadud võrrandisüsteemi lahendus: x0 = 7/3 ja y0 = -8/3. Seega on uue lähtepunkti koordinaadid O1(7/3, -8/3) ja võrrandiks saab x′2 + x′y′ + y′ 2 = 93/25. Pöörame koordinaatteljed sellise nurga α võrra, et termin х′у′ kaoks. Teisendame viimase võrrandi (vt jaotis 4.2): ⎧ x′ = x′′ cos α − y′′ sin α, ⎨ ⎩ y′ = x′′ sin α + y′′ cos α ja saame + (cosα2α ⋅cosα + sin2α)⋅x′′2 + y′′ y y′ x′′ (cos2α – sin2α)⋅x′′y′′ + 0 x + (sin2α – sinα′2α⋅cos 93/25. Eeldades, et cos2α - sin2α = 0, saame tg2α = 1. α x′ Seega α1,2 = ±45°. Võtame α = 45°, cos45° = sin45° = 2 2 . 01 Pärast vastavaid arvutusi saame 3 2 1 2 93 x ′′ + y ′′ = . 2 2 25 x 2 a b = 186 5 ≈ 2,7 kahekordse krundiga koordinaatsüsteemis, mis on saadud algsest koordinaatide telgede paralleelsel translatsioonil punktis O1(7/3, -8/3) ja sellele järgneval pööramisel 45° nurga võrra vastupäeva. Võrrand x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0 taandatakse kanooniliseks vormiks x′′2 y′′2 + 2 = 1. a2 b Ülesanne 18. Kanoniseeri võrrand 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0. Lahendus Võrrandisüsteem kõvera keskpunkti leidmiseks (valem (6) punkt 4.4) ⎧ 4 x0 − 2 y0 − 1 = 0, ⎨ on ebaühtlane, ⎩ −2 x0 + y0 − 7 = 0 tähendab et sellel kõveral pole keskpunkti . Origopunkti muutmata pöörame telgi läbi mingi nurga α, vastavad koordinaatide teisendused on ⎧ x = x′ cos α − y′ sin α, kujul: ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cos α. 44 Liigume võrrandi vasakul küljel olevate uute koordinaatide juurde: 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = (4cos2α - 4cosα⋅sinα + sin2α)⋅x′2 + + 2⋅(-4cosα - 2COS2α + 2SIN2α + SINα ⋅COSa) ⋅X′Y ′ + + + (4SIN2α + 4SINα⋅COSa + COS2α) ⋅Y′2 + + 2⋅ (-COSα - 7SINa) ⋅X ⋅ + 2⋅ (SINa - 7COSa) ⋅ y′ + 7. (*) Proovime nüüd valida nurga α nii, et x′y′ kordaja kaoks. Selleks peame lahendama trigonomeetrilise võrrandi -4sina⋅COSa - 2COS2α + 2SIN2α + 2SIN2α + SINα⋅COSa = 0. 2 või tgα = -1/2. Võtame esimese lahenduse, mis vastab telgede pöörlemisele võrra terav nurk . Teades tgα, arvutame cosα ja sinα: 1 1 tg α 2 cos α = = , sin α = = . 1 + tg 2α 5 1 + tg 2α 5 **) Võrrandi (**) edasine lihtsustamine viiakse läbi telgede Ox′, Oy′ paralleeltranslatsiooni abil. Kirjutame võrrandi (**) ümber järgmiselt: 5 5(y′2 − 2 y′) − 6 5 x′ + 7 = 0. 5 Täiendame esimeses sulus oleva avaldise erinevuse täisruuduni ja kompenseerime selle liitmise koos sobiva terminiga saame: 2⎛ 5⎞ 6 5⎛ 5⎞ ⎜ y′ − ⎟ − ⎜ x′ − ⎟ = 0. ⎝ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 ⎠ 5 5'' + y' = 0. 5 5 , mis vastab telgede paralleelsele nihkele 5 5 võrra härja telje suunas ja 5 5 võrra Oy telje suunas. Koordinaatides x′′y′′ on selle sirge võrrand kujul 6 5 2 y′′ = x′′ . 5 See on parabooli kanooniline võrrand, mille parameeter 3 5 on p = ja mille tipp on süsteemi x′′y′′ algpunktis. Parabool 5 asub sümmeetriliselt x″-telje ümber ja ulatub lõpmatult selle telje 45 positiivses suunas. Tipukoordinaadid süsteemis х′у′ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ; ⎟ ja süsteemis xy ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5⎠ Ülesanne 19. Millise sirge määrab võrrand 4x2 - 4xy + y2 + 4x - 2y - 3 =0? Lahendus Kõvera keskpunkti leidmise süsteem on sel juhul järgmine: ⎧ 4 x0 − 2 y0 + 2 = 0, y 2x-y+3=0 ⎨ 2x-y+1=0 ⎩ −2 x0 + y0 − 1 = 0. See süsteem on võrdne ühe võrrandiga 2x0 - y0 2x-y-1=0 + 1 = 0, seetõttu on sirgel lõpmata palju keskpunkte, mis moodustavad sirge 2x - y + 1= 0. x Pange tähele, et selle võrrandi 0 vasak pool on jaotatud esimese astme teguriteks: 4x2 - 4xy + y2 + 4x -2y -3 \u003d \u003d (2x - y + 3) (2x - y - 1). Seega on vaadeldav sirge paralleelsete sirgete paar: 2xy - y + 3 = 0 ja 2x - y - 1 = 0. Ülesanne 20 1. Võrrand 5x2 + 6xy + 5y2 - 4x + 4y + 12 = 0 x′ 2 y′2 on antud kanoonilisele vormile x′ 2 + 4y′ 2 + 4 = 0 või + = −1. 4 1 See võrrand on sarnane ellipsi kanoonilise võrrandiga. Samas ei määratle see tasapinnal ühtegi reaalset kujutist, kuna iga reaalarvu x ′, y ′ puhul ei ole selle vasak pool negatiivne, vaid parem pool on -1. Sellist ja sarnaseid võrrandeid nimetatakse kujuteldava ellipsi võrranditeks. 2. Võrrand 5x2 + 6xy + 5y2 - 4x + 4y + 4 = 0 x′2 y′2 taandatakse kanooniliseks vormiks x′ 2 + 4y′ 2 = 0 või + = 0. 4 1 Võrrand on samuti sarnane ellipsi kanoonilise võrrandiga, kuid defineerib mitte ellipsi, vaid ühe punkti: x′ = 0, y′ = 0. Sellist ja sarnaseid võrrandeid nimetatakse degenereerunud ellipsi võrranditeks. Ülesanne 21. Kirjutage parabooli võrrand, kui selle fookus on punktis F(2, -1) ja suundvõrrand D: x - y - 1 = 0. Lahendus Olgu parabool mõnes koordinaatsüsteemis x′O1y′ kanooniline vorm y′2 = 2px′. Kui sirge y = x – 1 on selle suund, siis on koordinaatsüsteemi x'O1y' teljed paralleelsed suunaga. 46 Fookust läbiva normaallõigu keskpunktiks leiame parabooli tipu koordinaadid, mis langeb kokku uue algpunktiga O1. Niisiis kirjeldatakse O1x′-telge võrrandiga y \u003d -x + b, -1 \u003d -2 + b. Kust b = 1 ja О1х′: y = -х + 1. Suuna ja telje О1х′ lõikepunkti K koordinaadid leitakse tingimusest: ⎧ y = x −1 ⎨ , → x К = 1, y K = 0. ⎩ y = −x + 1 Uue algpunkti koordinaadid O1(x0, y0): 1+ 2 3 −1 + 0 1 x0 = = ; y0 = = − . teljed uus süsteem koordinaate pööratakse 2 2 2 2 vana suhtes nurga (-45°) võrra. Leiame р = KF = 2. Seega saame vana koordinaatsüsteemi parabooli võrrandi, kui allutada parabooli võrrand y′ 2 = 2 2 ⋅x′ teisendusele (vt valemi (5) punkt 4.3): ⎧ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2 ⎪ x′ = ⎜ x − 2 ⎟ cos(−45°) + ⎜ y + 2 ⎟ sin(−45°), ⎪ x′ = (x − y − ), ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x − sin(−45°) + ⎛ y + cos(−45°) 3⎞ 1⎞ ⎪ = y′y 1), ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎩ 2 1 2 y′2 = 2 2 ⋅ x′ ⇒ (x + y − 1) 2 = −2 (x) 2 2 + 2xy + y2 - 6x + 2y + 9 = 0. Ülesanne 22. Kirjutage hüperbooli võrrand, kui selle ekstsentrilisus e = 5, fookus F(2, -3) ja suundvõrrand y′ y D1 3x - y + 3 = 0 on teada Lahendus 3 B Suunavõrrand D1: y = 3x + 3 võimaldab järeldada, et uus koordinaatide telg Ox′ on kujul y = (-1/3)x + b, läbib punkti F( 2, -7 -1 α x A 0 1 3), seega −3 = − ⋅ 2 + b, kust b = -7/3 ja Ох′ O1 K 3 a/ 5 -7/3 1 7 F x′ on mis on antud võrrandiga y = − x − . 3 3 Olgu uue koordinaatsüsteemi alguspunkt punktis O1(x0, y0). Leiame punkti K koordinaadid kui telje D1 ja 47 ⎧3 x − y + 3 = 0, 8 9 Ох′′ telje lõikepunkti koordinaadid süsteemist ⎨ → xK = − , y K = − . ⎩3y + x + 7 = 0 5 5 3) suunale D1: 3x – y + 3 = 0. 3 ⋅ (2) − (−3) + 3 12 a a KF = = , O1K = = , O1F = c = a 2 + b 2, 9 +1 10 e 5 a 12 O1K = O1F − KF ⇒ = a 2 + b2 − , 5 10 b2, kuna e = 1 + 2 = 5, b 2 = 4a 2 . A väärtus leitakse võrrandist a a 12 3 =a 5− ja saame a = . Sel juhul b2 = 18. 5 10 2 x′2 y′2 Hüperbooli võrrand uutes koordinaatides on kujul − = 1. 9 2 18 = = : KF 12 10 4 ⎧ 1 ⎪ x0 + x F 4 5 ⎪ xK = , x0 = − , ⎪ 1+1 4 2 ⎨ kust ⎪ 1 3 y0 + y F y0 = − . ⎪y = 4 , 2 ⎪ K ⎩ 1+1 4 Alates ∆ ABO: sinα = 1 10 , cosα = 3 10 . Kuna pööramine toimub läbi nurga (-α): sin(-α) = −1 10, cos(-α) = 3 10, on koordinaatide teisendusvalemid (vt (5) jaotises 4.3) järgmisel kujul: ⎧ ⎛ 5⎞ 3 ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎧′ 1 ⎪ ⎪ x′ = ⎜ x + ⎟ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎝ + ⎜ y + ⎟⎟ = ⎪ y + ⎟⎎ 1, ⎟ 10 (3x − y + 6) , ⎪ ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x + 5 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ y + 3 ⎞ 3, ⎪ y′ = 1 (x + 3 y⎟ + 7) ✪⎟ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎩ 10 1 1 (3x - y + 6) (x + 3 a + 7) 2 2 )2 - (x + 3 a + 7) 2 = 180 või 2 - 7 - 26 - 18 a + 26x + 17 = 0. 48 Ülesanne 23. Leidke punktist (5, 3) punkti (6, 2 3) suunatud lõigu polaarnurk. Lahendus ρ = (6 − 5) 2 + (2 3 − 3) 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sin ϕ = 3 2 ⇒ ϕ = 60°. (vt p 5.2). Ülesanne 24. Kirjutage sirge võrrand polaarkoordinaatides, eeldades, et on teada kaugus p poolusest sirgjooneni ja nurk α polaartelje ja kiirte vahel, mis on suunatud poolusest risti sirgjoonega. M (ρ, ϕ) Lahendus L Teame, et OP = p, ∠ ROA = α, sirge L suvalise punkti M P on koordinaadid (ρ, ϕ). β Punkt M asub sirgel L siis ja ainult siis, kui α on punkti M projektsioon kiirel OP ühtib punktiga P, O A s.o. kui p = ρ⋅cosβ, kus ∠ROM = β. Nurk ϕ = α + β ja sirge L võrrand on kujul ρ⋅cos(ϕ - α) = p. Ülesanne 25. Leidke näidatud kõverate polaarvõrrandid: 1). x = a, a > 0 Lahendus ρ⋅cosϕ = a → ρ = a/cosϕ. a 0 ρ 2). y = b, b > 0 b Lahendus ρ⋅sinϕ = b → ρ = b/sinϕ. 0 ρ 3). (x2 + y2)2 = a2xy Lahendus: xy ≥ 0, a2 ρ = a ρ cos ϕ sin ϕ → ρ = sin 2ϕ, sin 2ϕ ≥ 0 . 4 2 2 2 2 Polaarkoordinaatide kõvera võrrand on kujul ρ = sin 2ϕ , ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2] ja defineerib 2 kroonlehega roosi: Ülesanne 26. Koostage sirged polaarkoordinaatide süsteemis antud: 1). ρ = 2a⋅sinϕ, a > 0. Lahendus y x 2 + y 2 = 2a ⋅ , x + y 2 2 a 2 2 x + y – 2ay = 0, ρ 0 49 x2 + (y – a)2 = a2. 2). ρ = 2 + cosϕ. Line lahend saadakse, kui iga ringjoone ρ = cosϕ raadiusvektorit suurendada kahe võrra. Leidke kontrollpunktide koordinaadid: ϕ = 0, ρ = 3; ϕ = π/2, ρ = 2; ϕ = π, ρ = 1. 9 3). ρ = 4 − 5cos ϕ Lahendus 4 – 5⋅cosϕ > 0, cosϕ< 4/5, ϕ ∈ (arccos(4/5), 2π – arccos(4/5)). При этом ρ⋅(4 - 5⋅cosϕ) = 9. Переходя к декартовым координатам, получаем ⎛ x ⎞ x2 + y2 ⎜ 4 − 5 ⎟ = 9, ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ 16 (x 2 + y 2) = (5 x + 9) , 2 4 x 2 + y 2 = 5 x + 9, 16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81, 9x2 + 90x – 16y2 +81 = 0, 2 2 (x + 5) 2 y 2 9(x + 5) – 16y = 144 → − 2 = 1 – правая ветвь 42 3 гиперболы при указанных ϕ. Кривую можно было построить по точкам, например, при ϕ = π ρ = 9/10. 4). ρ2⋅sin2ϕ = а2. Решение sin 2ϕ ≥ 0, ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2]. a ρ= . sin 2ϕ Перейдем к декартовым координатам, учтем, что ρ2 2 xy sin 2ϕ = 2 cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ 2 = 2 , ρ x + y2 a2 2 тогда кривая принимает вид гиперболы: y = . x Задача 27. Какие линии задаются следующими параметрическими уравне- ниями: 50

määrab tasapinna kõvera. Terminite rühma nimetatakse ruutvormiks, - lineaarne vorm. Kui ruutvorm sisaldab ainult muutujate ruute, siis selle vormi nimetatakse kanooniliseks ja ortonormaalse aluse vektoreid, milles ruutvormil on kanooniline vorm, nimetatakse ruutvormi peatelgedeks.
Maatriks nimetatakse ruutmaatriksiks. Siin a 1 2 =a 2 1 . Maatriksi B taandamiseks diagonaalkujule on vaja võtta aluseks selle maatriksi omavektorid, siis , kus λ 1 ja λ 2 on maatriksi B omaväärtused.
Maatriksi B omavektorite alusel on ruutkujul kanooniline vorm: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
See toiming vastab koordinaattelgede pööramisele. Seejärel nihutatakse päritolu, vabanedes seeläbi lineaarsest vormist.
Teist järku kõvera kanooniline kuju: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, lisaks:
a) kui λ1 >0; λ 2 >0 on ellips, eriti kui λ 1 =λ 2 on see ring;
b) kui λ 1 > 0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) meil on hüperbool;
c) kui λ 1 =0 või λ 2 =0, siis on kõver parabool ja pärast koordinaattelgede pööramist on see kujul λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (siin λ 2 =0). Täiendades täisruutu, saame: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .

Näide. Antud on kõvera võrrand 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 koordinaatsüsteemis (0,i,j), kus i =(1,0) ja j =(0,1).
1. Määrake kõvera tüüp.
2. Viige võrrand kanoonilisele kujule ja konstrueerige algses koordinaatsüsteemis kõver.
3. Leia sobivad koordinaatide teisendused.

Lahendus. Toome ruutkuju B=3x 2 +10xy+3y 2 põhitelgedele ehk kanoonilisele vormile. Selle ruutvormi maatriks . Leidke selle maatriksi omaväärtused ja omavektorid:

Iseloomulik võrrand:
; λ 1 \u003d -2, λ 2 = 8. Ruutvormi tüüp: .
Algne võrrand määratleb hüperbooli.
Pange tähele, et ruutvormi vorm ei ole ainulaadne. Võib kirjutada 8x 1 2 -2y 1 2, kuid kõvera tüüp jääb samaks – hüperbool.
Leiame ruutvormi põhiteljed ehk maatriksi B omavektorid. .
Omavektor, mis vastab arvule λ=-2, kui x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Ühiku omavektorina võtame vektori , kus on vektori pikkus x 1 .
Teisele omaväärtusele λ=8 vastava teise omavektori koordinaadid leitakse süsteemist
.
1, j 1).
Vastavalt punkti 4.3.3 valemitele (5). läheme uuele alusele:
või

; . (*)

Toome avaldised x ja y algsesse võrrandisse ning pärast teisendusi saame: .
Valige täisruudud: .
Teostame koordinaattelgede paralleeltõlke uude algpunkti: , .
Kui sisestame need seosed (*) ja lahendame need võrdsused x 2 ja y 2 suhtes, saame: , . Koordinaatsüsteemis (0*, i 1 , j 1) on see võrrand järgmine: .
Kõvera koostamiseks ehitame vanasse koordinaatsüsteemi uue: telg x 2 =0 on vanas koordinaatsüsteemis antud võrrandiga x-y-3=0 ja telg y 2 =0 võrrandiga x+ y-1 = 0. Uue koordinaatsüsteemi alguspunkt 0 * (2,-1) on nende sirgete lõikepunkt.
Tajumise lihtsustamiseks jagame graafiku koostamise protsessi kaheks etapiks:
1. Üleminek koordinaatsüsteemile, mille teljed on x 2 =0, y 2 =0, mis on antud vanas koordinaatsüsteemis vastavalt võrranditega x-y-3=0 ja x+y-1=0.

2. Konstrueerimine funktsiooni graafiku saadud koordinaatsüsteemis.

Graafiku lõplik versioon näeb välja selline: Lahendus: Laadige lahendus alla

Harjutus. Tehke kindlaks, et iga järgmine võrrand määratleb ellipsi, ja leidke selle keskpunkti C koordinaadid, poolteljed, ekstsentrilisus ja suundvõrrandid. Joonista joonisele ellips, mis näitab sümmeetriatelgesid, fookusi ja suundi.
Lahendus.

Võrrandit kujul F(x, y) = 0 nimetatakse võrrandiks kahe muutujaga x, y, kui see ei kehti ühelegi arvupaarile x, y. Nad ütlevad, et kaks arvu x \u003d x 0, y \u003d y 0 vastavad mõnele võrrandile kujul F (x, y) \u003d 0, kui kui need arvud asendatakse võrrandis muutujatega x ja y, jääb see vasakule. pool kaob.

Antud sirge võrrand (määratud koordinaatsüsteemis) on kahe muutujaga võrrand, mis on rahuldatud iga sellel sirgel asuva punkti koordinaatidega, mitte aga kõigi sellel mitteasuvate punktide koordinaatidega.

Järgnevalt ütleme avaldise “andes sirge F(x, y) = 0 võrrandi” asemel sageli lühemalt: antud sirgele F(x, y) = 0.

Kui on antud kahe sirge võrrandid F(x, y) = 0 ja Ф(x, y) = 0, siis on süsteemi ühislahend

F(x, y) = 0, F(x, y) = 0

annab kõik nende ristumispunktid. Täpsemalt, iga arvupaar, mis on selle süsteemi ühislahendus, määrab ühe lõikepunktidest,

157. Antud punktid *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Määrake, millised antud punktidest asuvad võrrandiga x + y = 0 määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Näidake seda joonisel.)

158. Võrrandiga x 2 + y 2 \u003d 25 määratletud sirgelt leidke punktid, mille abstsissid on võrdsed järgmiste arvudega: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; leidke samalt sirgelt punktid, mille ordinaadid on võrdsed järgmiste arvudega: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Näidake seda joonisel.)

159. Määrake, millised jooned on määratud järgmiste võrranditega (ehitage need joonisele): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y-5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2-9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + võrra + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Jooned on antud: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Määrake, millised neist läbivad alguspunkti.

161. Jooned on antud: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Leidke nende lõikepunktid: a) x-teljega; b) Oy teljega.

162. Leia kahe sirge lõikepunktid:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4 a + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8 a + 10 a + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Punktid M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) ja M 5 ( 1;2/3π ). Määrake, millised neist punktidest asuvad polaarkoordinaatides võrrandiga p = 2cosΘ määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Millise sirge see võrrand määrab? (Näidake seda joonisel.)

164. Võrrandiga p \u003d 3 / cosΘ määratletud sirgelt leidke punktid, mille polaarnurgad on võrdsed järgmiste arvudega: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

165. Võrrandiga p \u003d 1 / sinΘ määratletud sirgelt leidke punktid, mille polaarraadiused on võrdsed järgmiste arvudega: a) 1 6) 2, c) √2. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

166. Määrake, millised sirged on polaarkoordinaatides määratud järgmiste võrranditega (ehitage need joonisele): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Ehitage joonisele järgmised Archimedese spiraalid: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.

168. Koostage joonisel järgmised hüperboolsed spiraalid: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Koostage joonisel järgmised logaritmilised spiraalid: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .

170. Määrake nende lõikude pikkused, millesse Archimedese spiraal p = 3Θ lõikab poolusest väljuva ja polaartelje suhtes nurga Θ = π / 6 all oleva kiire. Tee joonistus.

171. Punkt C on võetud Archimedese spiraalile p \u003d 5 / πΘ, mille polaarraadius on 47. Määrake, mitmest osast see spiraal lõikab punkti C polaarraadiust. Tehke joonis.

172. Leidke hüperboolsel spiraalil P \u003d 6 / Θ punkt P, mille polaarraadius on 12. Tehke joonis.

173. Leidke logaritmilisel spiraalil p \u003d 3 Θ punkt P, mille polaarraadius on 81. Tehke joonis.

Mõelge vormi seosele F(x, y)=0 muutujate sidumine x Ja juures. Võrdsus (1) nimetatakse võrrand kahe muutujaga x, y, kui see võrdus ei kehti kõigi arvupaaride puhul X Ja juures. Võrrandi näited: 2x + 3 a \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

sin x + sin y - 1 = 0.

Kui (1) on tõene kõigi arvude x ja y paaride puhul, siis seda nimetatakse identiteet. Identiteedi näited: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.

Nimetatakse võrrand (1). punktide hulga võrrand (x; y), kui see võrrand on täidetud koordinaatidega X Ja juures mis tahes hulga punkti ja ei vasta ühegi sellesse hulka mittekuuluva punkti koordinaatidele.

Analüütilise geomeetria oluline mõiste on sirge võrrandi mõiste. Olgu ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja mingi sirge α.

Definitsioon. Võrrandit (1) nimetatakse joonvõrrandiks α (loodud koordinaatsüsteemis), kui see võrrand on koordinaatidega täidetud X Ja juures mis tahes punkti joonel α , ja ei vasta ühegi punkti koordinaatidele, mis ei asu sellel sirgel.

Kui (1) on joonvõrrand α, siis ütleme, et võrrand (1) määrab (määrab) rida α.

Liin α saab määrata mitte ainult vormi võrrandiga (1), vaid ka vormi võrrandiga

F(P, φ) = 0, mis sisaldab polaarkoordinaate.

• sirge võrrand kaldega;

Olgu antud mingi sirge, mitte teljega risti Oh. Helistame kaldenurk antud joon teljele Oh nurk α mille võrra telge pöörata Oh nii et positiivne suund langeb kokku ühe sirge suunaga. Sirge kaldenurga puutuja telje suhtes Oh helistas kaldetegur see sirgjoon ja tähistatud tähega TO.

	K = tg α
		(1)

Tuletame selle sirge võrrandi, kui me seda teame TO ja segmendi väärtus OV, mille ta teljel ära lõikab OU.

(2)

y=kx+b

Tähistage M"lennuki punkt (x; y). Kui joonistad otse BN Ja NM, paralleelselt telgedega, siis r BNM - ristkülikukujuline. T. MC C BM <=>kui väärtused NM Ja BN vastama tingimusele: . Aga NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> antud (1), saame selle punkti M (x; y) C sellel real<=>kui selle koordinaadid rahuldavad võrrandit: =>

Võrrandit (2) nimetatakse sirge võrrand kaldega. Kui K = 0, siis on joon teljega paralleelne Oh ja selle võrrand on y = b.

• kahte punkti läbiva sirge võrrand;

(4)

Olgu antud kaks punkti M 1 (x 1; y 1) Ja M2 (x 2; y 2). Olles võtnud (3) punkti M (x; y) taga M 2 (x 2; y 2), saame y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1). Määratlemine k viimasest võrrandist ja asendades selle võrrandiga (3), saame soovitud sirge võrrandi: . See on võrrand, kui y 1 ≠ y 2, võib kirjutada järgmiselt:

Kui y 1 = y 2, siis on soovitud sirge võrrandil kuju y = y 1. Sel juhul on joon teljega paralleelne Oh. Kui x 1 = x 2, siis punkte läbiv joon M 1 Ja M 2, paralleelselt teljega OU, on selle võrrandil vorm x = x 1.

• etteantud kaldega punkti läbiva sirge võrrand;

(3)

Ax + By + C = 0

Teoreem. Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Ohu mis tahes sirge on antud esimese astme võrrandiga:

ja vastupidi, võrrand (5) suvaliste koefitsientide jaoks A, B, C (A Ja B ≠ 0üheaegselt) määratleb mõne sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Ohu.

Tõestus.

Tõestame esmalt esimest väidet. Kui joon ei ole risti Oh, siis määratakse see esimese astme võrrandiga: y = kx + b, st. kuju (5) võrrand, kus

A=k, B=-1 Ja C = b. Kui joon on risti Oh, siis kõigil selle punktidel on väärtusega võrdne sama abstsiss α teljel sirgjoonega lõigatud segment Oh.

Selle sirge võrrandil on vorm x = α, need. on ka esimese astme võrrand kujul (5), kus A \u003d 1, B = 0, C = α. See kinnitab esimest väidet.

Tõestagem vastupidist väidet. Olgu võrrand (5) antud ja vähemalt üks koefitsientidest A Ja B ≠ 0.

Kui B ≠ 0, siis (5) saab kirjutada kui . kaldus , saame võrrandi y = kx + b, st. kujuga (2) võrrand, mis määratleb sirge.

Kui B = 0, See A ≠ 0 ja (5) on kujul . Märgistades läbi α, saame

x = α, st. sirgjoone võrrand risti Ox.

Nimetatakse sirgeid, mis on defineeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis esimese astme võrrandiga esimese järjekorra read.

Tüüpvõrrand Ah + Wu + C = 0 on puudulik, s.t. üks koefitsientidest on võrdne nulliga.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 ja määrab alguspunkti läbiva joone.

2) B = 0 (A ≠ 0); võrrand Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 ja määrab paralleelse sirge Oh.

Võrrandit (6) nimetatakse sirgjoone võrrandiks "lõikudes". Numbrid A Ja b on nende lõikude väärtused, mille sirgjoon koordinaattelgedel ära lõikab. See võrrandi vorm on mugav sirgjoone geomeetriliseks konstrueerimiseks.

• sirge normaalvõrrand;

Аx + Вy + С = 0 on mõne sirge üldvõrrand ja (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

selle normaalne võrrand.

Kuna võrrandid (5) ja (7) määratlevad sama sirge, siis ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 Ja

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) nende võrrandite koefitsiendid on võrdelised. See tähendab, et korrutades kõik võrrandi (5) liikmed mõne teguriga M, saame võrrandi MA x + MB y + MS = 0, langeb kokku võrrandiga (7), st.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

M-teguri leidmiseks paneme nendest võrdustest kaks esimest nelinurka ja lisame:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1

(9)