Võrrandid on samad logaritmid jäetakse kõrvale. Logaritmvõrrandite lahendamine on viimane õppetund. Põhimõisted ja omadused
Algebra 11. klass
Teema: "Logaritmvõrrandite lahendamise meetodid"
Tunni eesmärgid:
hariduslik: teadmiste kujundamine selle kohta erinevatel viisidel logaritmiliste võrrandite lahendamine, oskus neid igas konkreetses olukorras rakendada ja valida mis tahes lahendusmeetod;
arendamine: oskuste arendamine jälgida, võrrelda, teadmisi uues olukorras rakendada, mustreid tuvastada, üldistada; vastastikuse kontrolli ja enesekontrolli oskuste kujundamine;
hariduslik: vastutustundliku suhtumise kasvatamine kasvatustöösse, materjali hoolikas tajumine tunnis, arvestuse pidamise täpsus.
Tunni tüüp: uue materjaliga tutvumise tund.
"Logaritmide leiutamine, lühendades astronoomi tööd, on pikendanud tema eluiga."
Prantsuse matemaatik ja astronoom P.S. Laplace
Tundide ajal
I. Tunni eesmärgi seadmine
Uuritud logaritmi definitsioon, logaritmide omadused ja logaritmiline funktsioon võimaldavad lahendada logaritmilisi võrrandeid. Kõik logaritmilised võrrandid, olenemata nende keerukusest, lahendatakse samade algoritmide abil. Neid algoritme käsitleme täna õppetunnis. Neid on vähe. Kui te neid valdate, on teie kõigi jaoks teostatav mis tahes logaritmidega võrrand.
Kirjutage vihikusse tunni teema: "Logaritmvõrrandite lahendamise meetodid." Kutsun kõiki koostööle.
II. Värskenda põhiteadmised
Olgem valmis tunni teemat uurima. Lahendad iga ülesande ja kirjutad vastuse üles, tingimust ei saa kirjutada. Paaris töötama.
1) Milliste x väärtuste korral on funktsioonil mõtet:
(Iga slaidi puhul kontrollitakse vastuseid ja vead sorteeritakse)
2) Kas funktsioonigraafikud ühtivad?
3) Kirjutage võrrandid ümber logaritmilisteks võrdusteks:
4) Kirjutage numbrid logaritmidena alusega 2:
5) Arvutage:
6) Proovige taastada või täiendada nendes võrdustes puuduvad elemendid.
III. Sissejuhatus uue materjaliga
Ekraanil kuvatakse väide:
"Võrrand on kuldne võti, mis avab kogu matemaatilise seesami."
Kaasaegne Poola matemaatik S. Koval
Proovige sõnastada logaritmilise võrrandi definitsioon. (Võrrand, mis sisaldab tundmatut logaritmi märgi all).
Kaaluge Lihtsaim logaritmiline võrrand:logiAx = b(kus a>0, a ≠ 1). Kuna logaritmiline funktsioon suureneb (või väheneb) positiivsete arvude hulgal ja võtab kõik reaalväärtused, järeldub juurteoreemist, et mis tahes b korral on sellel võrrandil, pealegi, ainult üks lahend ja positiivne.
Pidage meeles logaritmi määratlust. (Arvu x logaritm alusele a on astendaja, milleni tuleb alus a tõsta, et saada arv x). Logaritmi definitsioonist järeldub kohe, et AV on selline lahendus.
Kirjutage pealkiri: Logaritmvõrrandite lahendamise meetodid
1. Logaritmi definitsiooni järgi.
Nii lahendatakse vormi lihtsad võrrandid.
Kaaluge nr 514(a): Lahenda võrrand
Kuidas teete ettepaneku seda lahendada? (Logaritmi definitsiooni järgi)
Lahendus. , Seega 2x - 4 = 4; x = 4.
Selles ülesandes 2x - 4 > 0, kuna > 0, seega ei saa esineda kõrvalisi juuri ja pole vaja kontrollida. Tingimust 2x - 4 > 0 ei ole selles ülesandes vaja välja kirjutada.
2. Potentsieerimine(üleminek antud avaldise logaritmilt sellele avaldisele endale).
Kaaluge Nr 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Millist funktsiooni märkasite? (Alused on samad ja kahe avaldise logaritmid on võrdsed). Mida saaks teha? (võimendada).
Sel juhul tuleb arvestada, et mis tahes lahend sisaldub kõigi x-ide hulgas, mille logaritmi avaldised on positiivsed.
Lahendus: ODZ:
X2+8>0 ekstra ebavõrdsus
log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)=log5(8x+8)
Tugevdage algset võrrandit
saame võrrandi x2+8= 8x+8
Lahendame selle: x2-8x=0
Vastus: 0; 8
Üldiselt üleminek samaväärsele süsteemile:
Võrrand
(Süsteem sisaldab üleliigset tingimust – ühte ebavõrdsust võib ignoreerida).
Küsimus klassile: Milline neist kolmest lahendusest teile kõige rohkem meeldis? (Arutelu meetodite üle).
Teil on õigus igal viisil otsustada.
3. Uue muutuja sisseviimine.
Kaaluge Nr 520 (g). .
Mida sa märkasid? (See on ruutvõrrand log3x jaoks) Kas teil on soovitusi? (Uue muutuja kasutuselevõtt)
Lahendus. ODZ: x > 0.
Laske , siis on võrrand kujul:. Diskriminant D > 0. Juured Vieta teoreemi järgi:.
Pöördume tagasi asendusse: või .
Lahendades lihtsaimad logaritmilised võrrandid, saame:
Vastus: 27;
4. Võrrandi mõlema poole logaritm.
Lahendage võrrand:.
Lahendus: ODZ: x>0, võtke 10. aluse võrrandi mõlema poole logaritm:
Rakendage astme logaritmi omadust:
(lgx + 3) lgx = 4
Olgu lgx = y, siis (y + 3)y = 4
, (D > 0) juured Vieta teoreemi järgi: y1 = -4 ja y2 = 1.
Pöördume tagasi asendusse, saame: lgx = -4,; logx = 1, .
Vastus: 0,0001; 10.
5. Vähendamine ühele alusele.
nr 523(c). Lahenda võrrand:
Lahendus: ODZ: x>0. Liigume edasi 3. baasi juurde.
6. Funktsionaal-graafiline meetod.
№ 509(d). Lahendage graafiliselt võrrand: = 3 - x.
Kuidas teete ettepaneku lahendada? (Koostage punktide kaupa kahe funktsiooni y \u003d log2x ja y \u003d 3 - x graafikud ja otsige graafikute lõikepunktide abstsissid).
Vaadake oma lahendust slaidil.
Kas on võimalik vältida plaanide loomist . See on järgmine : kui üks funktsioonidest y = f(x) suureneb ja teine y = g(x) väheneb intervallil X, siis võrrand f(x)=g(x) sellel on maksimaalselt üks juur intervallis X.
Kui juur on olemas, siis võib arvata.
Meie puhul suureneb funktsioon x>0 ja funktsioon y \u003d 3 - x väheneb kõigi x väärtuste korral, sealhulgas x>0, mis tähendab, et võrrandil pole rohkem kui üks juur. Pange tähele, et x = 2 korral muutub võrrand tõeliseks võrduseks, kuna .
"Meetodite õiget rakendamist saab õppida,
ainult rakendades neid erinevatele näidetele.
Taani matemaatikaajaloolane G. G. Zeiten
Iv. Kodutöö
Lk 39 vaatle näidet 3, lahenda nr 514 (b), nr 529 (b), nr 520 (b), nr 523 (b)
V. Õppetunni kokkuvõtte tegemine
Milliseid logaritmvõrrandite lahendamise meetodeid me tunnis käsitlesime?
Järgmistes tundides vaatleme keerukamaid võrrandeid. Nende lahendamiseks on kasulikud uuritud meetodid.
Viimase slaidi näitamine:
"Mis on rohkem kui miski maailmas?
Kosmos.
Mis on kõige targem?
Aeg.
Mis on kõige meeldivam?
Saavutage see, mida soovite."
Thales
Ma tahan, et kõik saavutaksid selle, mida nad tahavad. Täname teid koostöö ja mõistva suhtumise eest.
Matemaatika lõpueksamiks valmistumine sisaldab olulist osa - "Logaritmid". Selle teema ülesanded sisalduvad tingimata eksamil. Viimaste aastate kogemus näitab, et logaritmvõrrandid valmistasid paljudele koolilastele raskusi. Seetõttu peaksid erineva koolitustasemega õpilased mõistma, kuidas õiget vastust leida ja nendega kiiresti toime tulla.
Läbige sertifitseerimistest edukalt haridusportaali "Shkolkovo" abil!
Ühtseks riigieksamiks valmistumisel vajavad abiturienti testiülesannete edukaks lahendamiseks usaldusväärset allikat, mis annab kõige täielikuma ja täpsema teabe. Alati pole aga õpik käepärast ning vajalike reeglite ja valemite otsimine internetist võtab sageli aega.
Haridusportaal "Shkolkovo" võimaldab teil eksamiks valmistuda igal pool ja igal ajal. Meie sait pakub kõige mugavamat lähenemist suure hulga logaritmide, aga ka ühe ja mitme tundmatu teabe kordamiseks ja valdamiseks. Alustage lihtsatest võrranditest. Kui saite nendega raskusteta hakkama, minge edasi raskemate juurde. Kui teil on probleeme teatud ebavõrdsuse lahendamisega, saate selle lisada oma lemmikute hulka, et saaksite selle juurde hiljem naasta.
Ülesande täitmiseks vajalikud valemid, korrata erijuhtumeid ja standardse logaritmilise võrrandi juure arvutamise meetodeid leiate jaotisest "Teoreetiline viide". "Shkolkovo" õpetajad kogusid, süstematiseerisid ja visandasid kõik selleks vajaliku edukas tarne materjale kõige lihtsamal ja arusaadavamal viisil.
Mis tahes keerukusega ülesannetega hõlpsaks toimetulekuks saate meie portaalis tutvuda mõne tüüpilise logaritmilise võrrandi lahendusega. Selleks minge jaotisse "Kataloogid". Oleme esitanud suur hulk näited, sealhulgas profiilivõrrandid KASUTAMINE tase matemaatika.
Meie portaali saavad kasutada õpilased kogu Venemaa koolidest. Alustuseks registreeruge lihtsalt süsteemis ja alustage võrrandite lahendamist. Tulemuste konsolideerimiseks soovitame teil iga päev Shkolkovo veebisaidile naasta.
Logaritmilised võrrandid. Lihtsast keerukani.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
Mis on logaritmiline võrrand?
See on võrrand logaritmidega. Ma olin üllatunud, eks?) Siis ma täpsustan. See on võrrand, milles on tundmatud (x) ja avaldised nendega logaritmide sees. Ja ainult seal! See on tähtis.
Siin on mõned näidised logaritmilised võrrandid:
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)
No saate aru... )
Märge! Kõige mitmekesisemad avaldised x-iga asuvad ainult logaritmide sees. Kui äkki leitakse kuskil võrrandis x väljaspool, Näiteks:
log 2 x = 3+x,
see on segatüüpi võrrand. Sellistel võrranditel pole selgeid lahendamise reegleid. Me ei võta neid praegu arvesse. Muide, on võrrandid, kus logaritmide sees ainult numbrid. Näiteks:
Mis ma ikka öelda saan? Sul on vedanud, kui sa sellega kokku puutud! Logaritm numbritega on mingi number. Ja see ongi kõik. Sellise võrrandi lahendamiseks piisab logaritmide omaduste tundmisest. Erireeglite tundmine, spetsiaalselt lahendamiseks kohandatud tehnikad logaritmilised võrrandid, siin ei nõuta.
Niisiis, mis on logaritmiline võrrand- mõtlesin välja.
Kuidas lahendada logaritmilisi võrrandeid?
Lahendus logaritmilised võrrandid- üldiselt pole asi väga lihtne. Nii et meie rubriik on mõeldud neljale ... Vaja on korralikku teadmistepagasit kõikvõimalikel seotud teemadel. Lisaks on nendel võrranditel eriline omadus. Ja see omadus on nii oluline, et seda võib julgelt nimetada põhiprobleemiks logaritmiliste võrrandite lahendamisel. Seda probleemi käsitleme üksikasjalikult järgmises õppetükis.
Ära nüüd muretse. Me läheme õiget teed lihtsast keerukani. Peal konkreetseid näiteid. Peaasi, et süvenege lihtsatesse asjadesse ja ärge olge laisk linke jälgima, panen need põhjusega... Ja õnnestub. Tingimata.
Alustame kõige elementaarsematest ja lihtsamatest võrranditest. Nende lahendamiseks on soovitav omada ettekujutust logaritmist, kuid mitte midagi enamat. Lihtsalt pole aimugi logaritm võta vastu otsus logaritmiline võrrandid – kuidagi isegi piinlik... Väga julge, ma ütleks).
Lihtsamad logaritmvõrrandid.
Need on võrrandid järgmisel kujul:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
Lahendusprotsess mis tahes logaritmiline võrrand seisneb üleminekus võrrandilt logaritmidega võrrandile ilma nendeta. Lihtsamate võrrandite puhul viiakse see üleminek läbi ühe sammuna. Sellepärast on see lihtne.)
Ja sellised logaritmilised võrrandid lahendatakse üllatavalt lihtsalt. Vaata ise.
Lahendame esimese näite:
log 3 x = log 3 9
Selle näite lahendamiseks ei pea te peaaegu midagi teadma, jah ... Puhas intuitsioon!) Mida me teeme eriti ei meeldi see näide? Midagi... mulle ei meeldi logaritmid! Õige. Siin saame neist lahti. Vaatame näidet tähelepanelikult ja meis tärkab loomulik soov... Otseselt vastupandamatu! Võtke ja visake logaritmid üldiselt välja. Ja mis meeldib, on Saab tee! Matemaatika lubab. Logaritmid kaovad vastus on:
See on suurepärane, eks? Seda saab (ja peaks) alati tegema. Sel viisil logaritmide kõrvaldamine on üks peamisi viise logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamiseks. Matemaatikas nimetatakse seda operatsiooni nn võimendamine. Sellise likvideerimise jaoks on loomulikult omad reeglid, kuid neid on vähe. Pidage meeles:
Logaritme saate ilma hirmuta kõrvaldada, kui neil on:
a) samad arvulised alused
c) vasak-parem logaritmid on puhtad (ilma koefitsientideta) ja suurepärases isolatsioonis.
Lubage mul selgitada viimast punkti. Ütleme võrrandis
log 3 x = 2log 3 (3x-1)
logaritme ei saa eemaldada. Parempoolne kaksik ei luba. Koefitsient, tead ... Näites
log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)
võrrandit ei saa ka võimendada. Vasakul küljel pole üksikut logaritmi. Neid on kaks.
Lühidalt, saate eemaldada logaritmid, kui võrrand näeb välja selline ja ainult see:
log a (.....) = log a (.....)
Sulgudes, kus võib olla ellips igasugune väljendus. Lihtne, ülikeeruline, mida iganes. Mida iganes. Oluline on see, et pärast logaritmide kõrvaldamist jääks meile alles lihtsam võrrand. Muidugi eeldatakse, et te juba teate, kuidas lahendada lineaar-, ruut-, murd-, eksponentsiaal- ja muid võrrandeid ilma logaritmideta.)
Nüüd saate hõlpsalt lahendada teise näite:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Tegelikult on see meeles. Me võimendame, saame:
Noh, kas see on väga raske?) Nagu näete, logaritmiline osa võrrandi lahendusest on ainult logaritmide elimineerimisel... Ja siis tuleb ülejäänud võrrandi lahendus juba ilma nendeta. Jäätmeäri.
Lahendame kolmanda näite:
log 7 (50x-1) = 2
Näeme, et logaritm on vasakul:
Tuletame meelde, et see logaritm on mingi arv, milleni tuleb alust (st seitsmeni) tõsta, et saada sublogaritmiline avaldis, st. (50x-1).
Aga see arv on kaks! Võrrandi järgi. See on:
See on sisuliselt kõik. Logaritm kadunud kahjutu võrrand jääb alles:
Oleme selle logaritmilise võrrandi lahendanud ainult logaritmi tähenduse põhjal. Kas logaritme on lihtsam kõrvaldada?) Nõustun. Muide, kui teete logaritmi kahest, saate selle näite lahendada likvideerimise teel. Logaritmi saab võtta mis tahes arvust. Ja just nii, nagu me seda vajame. Väga kasulik tehnika logaritmvõrrandite ja (eriti!) võrratuste lahendamisel.
Kas sa tead, kuidas arvust logaritmi teha!? See on korras. Jaotis 555 kirjeldab seda tehnikat üksikasjalikult. Saate seda täielikult omandada ja rakendada! See vähendab oluliselt vigade arvu.
Neljas võrrand lahendatakse täpselt samal viisil (definitsiooni järgi):
See on kõik.
Teeme selle õppetunni kokkuvõtte. Vaatlesime näidete abil kõige lihtsamate logaritmiliste võrrandite lahendust. See on väga tähtis. Ja mitte ainult sellepärast, et sellised võrrandid on kontrolleksamitel. Fakt on see, et isegi kõige kurjemad ja segasemad võrrandid taandatakse tingimata kõige lihtsamateks!
Tegelikult on kõige lihtsamad võrrandid lahenduse viimane osa ükskõik milline võrrandid. Ja seda viimistlusosa tuleb mõista irooniliselt! Ja edasi. Lugege see leht kindlasti lõpuni. On üllatus...
Otsustagem ise. Me täidame nii-öelda käe ...)
Leidke võrrandite juur (või juurte summa, kui neid on mitu):
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Vastused (loomulikult segamini): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
Mis ei õnnestu? Juhtub. Ära kurvasta! Jaotises 555 kirjeldatakse kõigi nende näidete lahendust selgelt ja üksikasjalikult. Seal saate kindlasti teada. Lisaks saate teada kasulikke praktilisi tehnikaid.
Kõik õnnestus!? Kõik "üks jäänud" näited?) Palju õnne!
On aeg avaldada teile kibe tõde. Nende näidete edukas lahendamine ei taga sugugi edu kõigi teiste logaritmiliste võrrandite lahendamisel. Isegi sellised lihtsad. Kahjuks.
Asi on selles, et mis tahes logaritmilise võrrandi (isegi kõige elementaarsema!) lahend koosneb kaks võrdset osa. Võrrandi lahendamine ja töötamine ODZ-ga. Ühe osa – võrrandi enda lahenduse – oleme omandanud. See pole nii raske eks?
Selle õppetunni jaoks valisin spetsiaalselt sellised näited, mille puhul ODZ ei mõjuta vastust kuidagi. Kuid mitte kõik pole nii lahked kui mina, eks?...)
Seetõttu on vaja meisterdada ka teine osa. ODZ. See on põhiprobleem logaritmiliste võrrandite lahendamisel. Ja mitte sellepärast, et see oleks raske – see osa on isegi lihtsam kui esimene. Aga sellepärast, et nad lihtsalt unustavad ODZ-i. Või nad ei tea. Või mõlemad). Ja nad kukuvad maha...
Järgmises õppetükis käsitleme seda probleemi. Siis on võimalik enesekindlalt otsustada ükskõik milline lihtsaid logaritmilisi võrrandeid ja jõuda üsna kindlate ülesannete lähedale.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Enne logaritmvõrrandite lahendamist kordame üle logaritmi definitsiooni ja põhivalemid.
Logaritm positiivne arv b põhjusega a on näitaja, milleni on vaja tõsta a, Et saada b.
Sel juhul class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}
Pöörame tähelepanu logaritmi lubatud väärtuste alale:
class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}
Põhilogaritmiline identiteet:
Logaritmide põhivalemid:
(Korrutise logaritm võrdub logaritmide summaga)
(Jagatise logaritm võrdub logaritmide erinevusega)
(Kraadi logaritmi valem)
Uude baasi kolimise valem on järgmine:
Teame, milline näeb välja logaritmilise funktsiooni graafik. See funktsioon on monotoonne. Kui logaritmi alus on suurem kui üks, kasvab logaritmiline funktsioon monotoonselt. Kui alus on suurem kui null ja väiksem kui üks, väheneb logaritmiline funktsioon monotoonselt. Ja igal juhul võtab see iga väärtuse ainult ühe korra. See tähendab, et kui kahe arvu logaritmid on mis tahes baasis võrdsed, siis on arvud ise võrdsed.
Kõik see on meile kasulik logaritmiliste võrrandite lahendamisel.
Lihtsamad logaritmvõrrandid
1. Lahendage võrrand:
Logaritmide alused on võrdsed, ka logaritmid ise on võrdsed, mis tähendab, et ka arvud, millest need on võetud, on võrdsed.
Tavaliselt õpivad õpilased selle reegli pähe lühikese žargooni sõnastusega: "Logaritmid jätame maha!" Muidugi me "viskame" need ära mitte niisama, vaid kasutades logaritmilise funktsiooni monotoonsusomadust.
Saame:
Logaritmiliste võrrandite lahendamisel ärge unustage tolerantsi vahemik logaritm. Pidage meeles, et avaldis on määratletud väärtusega class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}
On väga hea, kui olete võrrandi juure leidnud, lihtsalt asendate selle võrrandisse. Kui pärast sellist asendust ei ole võrrandi vasakul või paremal küljel mõtet, siis ei ole leitud arv võrrandi juur ega saa olla ülesande vastus. See hea viis eksamitestid.
2. Lahendage võrrand:
Võrrandi vasakul küljel - logaritm, paremal - arv 7. Rakendades põhilogaritmilist identiteeti, esitame arvu 7 kujul. Siis on kõik lihtne.
Vastus: -124
3. Lahendage võrrand:
Kas näete võrrandi paremal küljel olevat arvu 2 logaritmi ees? Nüüd ei lase see sul logaritme maha visata. Mida ma saan sellega teha, et vasak ja parem pool oleksid lihtsalt 5. aluse logaritmid? Muidugi aitab kraadi logaritmi valem.
4. Lahendage võrrand:
Kehtiv vahemik: class="tex" alt="4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x > -4.">!}
Kujutame võrrandi paremal küljel olevat 2 nii, et võrrandi vasak ja parem pool on aluse 5 logaritmid.
Funktsioon kasvab monotoonselt ja võtab iga selle väärtuse täpselt ühe korra. Logaritmid on võrdsed, nende alused on võrdsed. Loobume logaritmid! Muidugi, class="tex" alt="x> -4">.!}
5. Lahendage võrrand:
Lahenduse kirjutame samaväärsete üleminekute ahelana. Kirjutame ODZ üles ja “eemaldame” logaritmid:
Class="tex" alt="\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\Vasakparemnool \left\(\begin(maatriks) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ end(maatriks)\paremale.\Vasakparemnool \left\(\begin(maatriks) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(maatriks)\ paremale.\Leftparemnool x=-4">!}
Vastus: -4.
Pange tähele, et logaritmiliste võrrandite lahendusi on kõige parem kirjutada samaväärsete üleminekute ahelana. See aitab meil mitte unustada kehtivate väärtuste vahemikku.
6. Lahenda võrrand:.
Liigume 4. baaslogaritmilt (eksponentis) 2. baaslogaritmile. Teeme seda baasi teisendusvalemi abil:
Lahenduse kirjutame samaväärsete üleminekute ahelana.
Class="tex" alt="2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftright nool \left\(\begin(maatriks) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(maatriks)\paremale.\Vasakparemnool \vasak\(\begin(maatriks) \left (2^(\log _(2)\vasak (4x+5 \parem)) \parem)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(maatriks)\right.\Leftright nool \left\(\begin(maatriks) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(maatriks)\parem.\Vasakparemnool \vasak\(\begin(maatriks) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( maatriks)\right.\Leftright nool \left\(\begin(maatriks) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(maatriks)\right.\Leftrightnool \left\(\ algus(maatriks) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(maatriks)\right.">!}
7. Lahenda võrrand:.
Pange tähele: muutuv X nii logaritmi all kui ka logaritmi aluses. Peame meeles, et logaritmi alus peab olema positiivne ja mitte võrdne 1-ga.
ODZ:
class="tex" alt="\left\(\begin(maatriks) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(maatriks)\paremale.">!}
Nüüd saate logaritmid "eemaldada".
Võõrjuur, sest class="tex" alt="x> 0">.!}
8. Lahenda võrrand.
ODZ võrrand: class="tex" alt="x> 0">!}
Teeme asendus. Nagu algebralistes võrrandites, muudame muutujat igal võimalusel.
Tagasi muutuja juurde X:
9. Lahenda võrrand:
Logaritmi all olev avaldis on alati positiivne – kuna mittenegatiivsele väärtusele liidame 25. Positiivne on ka avaldis paremal pool juure all. Tähendab, X võib olla mis tahes reaalarv.
Korrutise logaritmina esitame vasakul pool olevate logaritmide summa. Paremal pool - liigume edasi logaritmi juurde baasi 3. Ja kasutame astme logaritmi valemit.
Loobume logaritmidest.
Sellist võrrandit nimetatakse bikvadraatseks. See sisaldab väljendeid ja . Teeme asendus
Tagasi muutuja juurde X. Saame:
Oleme leidnud kõik algse võrrandi juured.
Logaritmvõrrandeid saab kohata ka matemaatika profiili ühtse riigieksami ülesandes nr 5 ja ülesandes nr 13. Ja kui ülesandes nr 5 on vaja lahendada kõige lihtsam võrrand, siis ülesandes 13 koosneb lahendus kahest punktist. Teine punkt on juurte valik antud segmendil või intervallil.
See artikkel sisaldab ühe muutujaga logaritmiliste võrrandite lahendamise meetodite süstemaatilist esitust. See aitab õpetajat eelkõige didaktilises mõttes: harjutuste valik võimaldab koostada õpilastele individuaalseid ülesandeid, võttes arvesse nende võimalusi. Neid harjutusi saab kasutada üldistustunnis ja eksamiks valmistumisel.
Lühike teoreetiline teave ja probleemide lahendamine võimaldavad õpilastel iseseisvalt arendada oskusi ja oskusi logaritmvõrrandite lahendamiseks.
Logaritmvõrrandite lahendus.
Logaritmilised võrrandid - võrrandid, mis sisaldavad märgi all tundmatut logaritm. Logaritmvõrrandite lahendamisel kasutatakse sageli teoreetilist teavet:
Tavaliselt algab logaritmiliste võrrandite lahendamine ODZ määratlusega. Logaritmivõrrandites on soovitatav kõik logaritmid teisendada nii, et nende alused oleksid võrdsed. Seejärel väljendatakse võrrandid kas ühe logaritmiga, mida tähistatakse uue muutujaga, või teisendatakse võrrand potentseerimiseks sobivasse vormi.
Logaritmiliste avaldiste teisendused ei tohiks viia ODZ-i ahenemiseni, kuid kui rakendatud lahendusmeetod ahendab ODZ-d, vabastades üksikud arvud kaalumisest, siis tuleb neid ülesande lõpus olevaid numbreid kontrollida algses võrrandis asendades, sest ODZ-i kitsendamisel on juurte kadumine võimalik.
1.
Vormi võrrandid on avaldis, mis sisaldab tundmatut arvu ja arvu .
1) kasutada logaritmi definitsiooni: ;
2) kontrollige või leidke tundmatu arvu vastuvõetavate väärtuste vahemik ja valige neile vastavad juured (lahendused).
Kui) .
2. Esimese astme võrrandid logaritmi suhtes, mille lahendamisel kasutatakse logaritmide omadusi.
Nende võrrandite lahendamiseks vajate:
1) teisendada võrrandit kasutades logaritmide omadusi;
2) lahendab saadud võrrandi;
3) kontrollige või leidke tundmatu arvu vastuvõetavate väärtuste vahemik ja valige neile vastavad juured (lahendused).
).
3. Teise ja kõrgema astme võrrand logaritmi suhtes.
Nende võrrandite lahendamiseks vajate:
- muuta muutuja;
- lahendage saadud võrrand;
- teha vastupidine asendus;
- lahendage saadud võrrand;
- kontrollige või leidke tundmatu arvu vastuvõetavate väärtuste vahemik ja valige neile vastavad juured (lahendused).
4. Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut aluses ja eksponendis.
Nende võrrandite lahendamiseks vajate:
- võta võrrandi logaritm;
- lahendage saadud võrrand;
- kontrollige või leidke tundmatu arvu jaoks vastuvõetavate väärtuste vahemik ja valige vastavad
juured (lahused).
5. Võrrandid, millel pole lahendust.
- Selliste võrrandite lahendamiseks on vaja leida ODZ võrrand.
- Analüüsige võrrandi vasakut ja paremat külge.
- Tehke asjakohased järeldused.
Algne võrrand on samaväärne süsteemiga:
Tõesta, et võrrandil pole lahendust.
ODZ võrrand on defineeritud ebavõrdsusega x ≥ 0. ODZ-l on meil
Positiivse ja mittenegatiivse arvu summa ei võrdu nulliga, seega pole algsel võrrandil lahendeid.
Vastus: Lahendusi pole.
ODZ-sse langeb ainult üks juur x \u003d 0. Vastus: 0.
Teeme asendus.
Leitud juured kuuluvad ODZ-le.
ODZ võrrand on kõigi positiivsete arvude hulk.
Kuna
Need võrrandid lahendatakse sarnasel viisil:
Iseseisva lahenduse ülesanded:
Kasutatud Raamatud.
- Bechetnov V.M. Matemaatika. Moskva demiurg 1994
- Borodulya I.T. Eksponent- ja logaritmfunktsioonid. (ülesanded ja harjutused). Moskva "valgustus" 1984
- Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Ülesanded matemaatikas. Võrrandid ja võrratused. Moskva "Teadus" 1987
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline treener. Moskva "Ileksa" 2007
- Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra ülesanded ja analüüsi põhimõtted. Moskva "valgustus" 2003
