Головна » Здоров'я » Диференціальне обчислення функцій багатьох змінних тпр 2. Диференціальне обчислення функцій однієї та кількох змінних. Запитання до іспиту з математики. II семестр

Диференціальне обчислення функцій багатьох змінних тпр 2. Диференціальне обчислення функцій однієї та кількох змінних. Запитання до іспиту з математики. II семестр

Запитання до іспиту з математики. ІІ семестр.

При відповіді питання потрібно дати визначення всім термінам.

Алгебра.

1. Групи, кільця, поля. Ізоморфізм груп.

2. Визначення лінійного простору. Теорема про лінійно залежні та незалежні системи векторів.

3. Теорема про лінійну залежність системи з векторів k, кожен з яких є лінійною комбінацією деякої системи з векторів m (k>m).

4. Базис лінійного простору. Теорема про інваріантність числа елементів базису. Теорема про кількість елементів лінійно-незалежної системи (Т. 1.3, Т.1.4).

5. Координати вектора. Теореми про координати вектора (Т.1.5 та Т.1.7).

6. Визначення та властивості скалярного твору. Кут між векторами.

7. Простори та .

8. Підпростір лінійного простору. Лінійна оболонка векторної системи.

9. Матриці: визначення; додавання та множення на число. Розмірність та базис простору матриць одного розміру.

10. Перемноження матриць. Властивості.

11. Зворотні та транспоновані матриці.

12. Перемноження матриць, що розбиті на блоки.

13. Ортогональні матриці.

14. Визначник матриці: визначення, розкладання першого стовпця. Визначник верхньої та нижньої трикутних матриць. Зв'язок визначників та .

15. Перестановки.

16. Теорема про вираження визначника через суму доданків, у кожному з яких міститься добуток елементів матриці (по одному з кожного рядка та кожного стовпця), забезпечених знаком за деяким правилом.

17. Властивості визначників: перестановка рядків (стовпців), розкладання по довільному стовпцю (рядку), сума творів елементів i-го рядка на доповнення алгебри відповідних елементів j-ого рядка.

18. Лінійність визначника за елементами рядка чи стовпця. Визначник матриці, рядки (стовпці) якої є лінійно залежними. Визначник матриці, до деякого рядка якої додана інша, помножена на число.

19. Визначник блокової матриці. Визначник твору матриць.

20. Зворотна матриця. Наслідки про трикутні матриці.

21. Матриці елементарних перетворень.

22. Метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь у разі, коли системи несумісні чи мають єдине рішення.

23. Метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь у разі, коли системи мають безліч рішень. Структура загального розв'язання систем.

24. Однорідні системи лінійних рівнянь.

25. Теорема Крамера.

26. Горизонтальний та вертикальний ранги матриці. Ранг за мінорами. Їх збіг для трапецієподібної матриці.

27. Незмінність рангу матриці при множенні на невироджену. Теорема про рівність рангів довільної матриці.

28. Теорема Кронекера-Капеллі.

29. Власні числа та вектори матриці. Збіг характеристичних багаточленів у подібних матриць. Лінійна незалежність власних векторів, що відповідають різним власним числам.

30. Зв'язок між лінійною залежністю системи векторів та відповідної системи координатних стовпців. Зв'язок координатних стовпців одного вектора у різних базисах.

31. Лінійне відображення лінійних просторів. Матриця відображення у деяких базисах. Її використання для обчислення векторного образу. Зв'язок матриць відображення у різних базисах.

32. Ядро та образ відображення. Ранг відображення, його зв'язок із рангом матриці відображення.

33. Власні числа та власні вектори оператора. Матриця оператора в базисі із власних векторів.

34. Лінійна незалежність власних векторів, що відповідають різним власним числам оператора. Власні підпростори, їх розмірність. Наслідки.

35. Евклідові та унітарні простори. Процес ортогоналізації Грама-Шмідта.

36. Теорема про власні числа та власні вектори речовинної симетричної матриці.

37. Теорема про ортогональну подобу речової симетричної матриці деякої діагональної матриці. Наслідки.

38. Визначення білінійної та квадратичної форм. Матриця білінійної форми у деякому базисі, її використання для обчислення білінійної форми. Зв'язок матриць однієї білінійної форми у різних базисах.

39. Теорема про існування ортогонального перетворення базису, що наводить квадратичну форму до канонічного виду. Практичний метод приведення квадратичної форми до канонічного виду за допомогою ортогонального перетворення базису (метод власних векторів). Побудова кривої

40. Теорема про необхідну і достатню умову позитивної (негативної) визначеності квадратичної форми.

41. Теорема про існування трикутного перетворення базису, що наводить квадратичну форму до канонічного виду. Критерій Сільвестру.

Математичний аналіз.

Диференціальне обчислення функцій кількох змінних.

42. Послідовність точок в .Теорема про покоординатну збіжність.

43. Межа функції рзмінних. Безперервність функції рзмінних. Теорема Вейєрштраса.

44. Диференційність функції рзмінних. Диференційність суми та добутку функцій, що диференціюються.

45. Приватні похідні функції рзмінних. Зв'язок між диференційованістю функції та існуванням приватних похідних. Приклад функції, яка має приватні похідні у точці А, але не диференційована у цій точці.

46. Диференційність функції у разі існування та безперервності приватних похідних.

47. Похідна складної функції. Приватні похідні складні функції. Інваріантність форми першого диференціалу.

48. Приватні похідні найвищих порядків. Теорема про рівність змішаних похідних.

49. Диференціали вищих систем. Відсутність інваріантності форми у диференціалів порядку вище за перший.

50. Формула Тейлора функції р змінних.

51. Теорема про існування та диференційність неявно заданої функції однієї змінної. Обчислення першої та другої похідних функції у(х), заданою неявно рівнянням

52. Теорема про існування та диференційність неявно заданих функцій р змінних, заданих системою функціональних рівнянь. Прийоми обчислення похідних. Обчислення перших та других похідних функції z(x,y), заданою неявно рівнянням

Обчислення перших похідних функцій y(x), z(x), u(x),заданих неявною системою

53. Визначення точок екстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови існування точок екстремуму.

54. Визначення точок умовного екстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови існування точок умовного екстремуму. Приклад: знайти точки умовного екстремуму функції за умови .

При відповіді на оцінку 3 потрібно знати всі визначення та формулювання з питань 1 – 54, а також докази теорем із питань 25, 29, 33, 40, 46, 49. Використовувати конспекти (та шпаргалки) не можна.

Функція n змінних Змінна u називається функцією n змінних (аргументів) x, y, z, …, t, якщо кожній системі значень x, y, z, …, t, в області їх змін (області визначення), відповідає певне значення u. Областю визначення функції називається сукупність усіх точок, у яких має певні дійсні значення. Для функції двох змінних z=f(x, y) область визначення представляє деяку сукупність точок площини, а функції трьох змінних u=f(x, y, z) – деяку сукупність точок простору.

Функція двох змінних Функцією двох змінних називається закон, яким кожному парі значень незалежних змінних x, y (аргументів) з області визначення відповідає значення залежної змінної z (функції). Цю функцію позначають наступним чином: z = z(x, y) або z= f(x, y) , або іншою стандартною літерою: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Приватні похідні першого порядку Приватної похідної від функції z =f(x, y) за незалежною змінною х називається кінцева межа обчислена при постійній у Приватної похідної за у називається кінцева межа обчислена при постійній х Для приватних похідних справедливі звичайні правила і формули диференціювання.

Повний диференціал функції z = f (x, y) обчислюється за формулою Повний диференціал функції трьох аргументів u = f (x, y, z) обчислюється за формулою

Приватні похідні вищих порядків Приватними похідними другого порядку від функції z =f(x, y) називаються приватні похідні від її приватних похідних першого порядку Аналогічно визначаються та позначаються приватні похідні третього та вищих порядків.

Диференціали вищих порядків Диференціали другого порядку від функції z=f(x, y) називають диференціал від її пологого Диференціали вищих порядків обчислюються за формулою Має місце символічна формула

Диференціювання складних функцій Нехай z=f(x, y), де х=φ(t), у=ψ(t) та функції f(x, y), φ(t), ψ(t) диференційовані. Тоді похідна складної функції z=f[φ(t), ψ(t)] обчислюється за формулою

Диференціювання неявних функцій Похідні неявної функції двох змінних z=f(x, y), заданої за допомогою рівняння F(x, y, z)=0, можуть бути обчислені за формулами

Екстремум функції Функції z=f(x, y) має максимум (мінімум) у точці M 0(x 0; y 0) якщо значення функції у цій точці більше (менше), ніж її значення у будь-якій іншій точці M(x; y ) деякої околиці точки M 0. Якщо функція, що диференціюється z=f(x, y) досягає екстремуму в точці M 0(x 0; y 0), то її приватні похідні першого порядку в цій точці рівні нулю, тобто (необхідні умови екстремуму).

Нехай M 0(x 0; y 0) стаціонарна точка функції z = f (x, y). Позначимо І складемо дискримінант Δ=AC B 2. Тоді: Якщо Δ>0, то функція має в точці М0 екстремум, а саме максимум при А0 (або С>0); Якщо Δ

Первоподібна функція Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на інтервалі X=(a, b), якщо у кожній точці цього інтервалу f(x) є похідною для F(x), тобто. слід, що завдання знаходження первинної зворотна задачі диференціювання: за заданою функцією f(x) потрібно знайти функцію F(x), похідна якої дорівнює f(x).

Невизначений інтеграл Безліч всіх первісних функцій F(x)+З для f(x) називається невизначеним інтегралом від функції f(x) і позначається символом. Таким чином, за визначенням де C довільна стала; f(x) підінтегральна функція; f(x) dx підінтегральний вираз; x змінна інтеграція; знак невизначеного інтегралу.

Властивості невизначеного інтеграла 1. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції: 2. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільної постійної:

3. Постійний множник можна винести за знак інтеграла: 4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми кінцевого числа безперервної функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від доданків: 5. Якщо, то і де u=φ(x) довільна функція, що має безперервну похідну

Основні методи інтегрування Метод безпосереднього інтегрування Метод інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції (або виразу) та застосування властивостей невизначеного інтеграла наводиться до одного або кількох табличних інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням.

При зведенні даного інтеграла до табличного часто застосовуються такі перетворення диференціала (операція «підведення під знак диференціала»):

Заміна змінної у невизначеному інтегралі (інтегрування підстановкою) Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтеграції. При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або зводиться до нього. Нехай потрібно вирахувати інтеграл. Зробимо підстановку х = φ(t), де φ(t) функція, що має безперервну похідну. Тоді dx=φ"(t)dt і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою

Інтегрування вроздріб Формула інтегрування вроздріб Формула дає можливість звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла, який може бути значно простішим, ніж вихідний.

Інтегрування раціональних дробів Раціональним дробом називається дріб виду P(x)/Q(x), де P(x) та Q(x) – багаточлени. Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь многочлена P(x) нижче ступеня багаточлена Q(x); інакше дріб називається неправильним. Найпростішими (елементарними) дробами називаються правильні дроби наступного виду: де А, В, p, q, a дійсні числа.

Перший інтеграл найпростішого дробу IV типу у правій частині рівності легко знаходиться за допомогою підстановки х2+px+q=t, а другий перетворимо так: Вважаючи х+р/2=t, dx=dt отримаємо та позначаючи qp 2/4=a 2 ,

Інтегрування раціональних дробів за допомогою розкладання на найпростіші дроби Перед інтегруванням раціонального дробу P(x)/Q(x) треба зробити такі алгебраїчні перетворення та обчислення: 1)Якщо дано неправильний раціональний дріб, то виділити з нього цілу частину, тобто уявити у вигляді де М(х) багаточлен, а P 1(x)/Q(x) – правильний раціональний дріб; 2) Розкласти знаменник дробу на лінійні та квадратичні множники: де р2/4 q

3) Правильний раціональний дріб розкласти на найпростіші дроби: 4) Обчислити невизначені коефіцієнти А 1, А 2, …, Аm, …, В 1, В 2, …, Вm, …, З 1, З 2, …, Сm, … , для чого привести останню рівність до спільного знаменника, прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях х у лівій та правій частинах отриманого тотожності та вирішити систему лінійних рівнянь щодо шуканих коефіцієнтів.

Інтегрування найпростіших ірраціональних функций 1. Інтеграли виду де R – раціональна функція; m 1, n 1, m 2, n 2 … цілі числа. З допомогою підстановки ах+b=ts, де s найменше загальне кратне чисел n 1, n 2, …, зазначений інтеграл перетворюється на інтеграл від раціональної функції. 2. Інтеграл виду Такі інтеграли шляхом виділення квадрата із квадратного тричлена наводяться до табличних інтегралів 15 або 16

3. Інтеграл виду Для знаходження цього інтеграла виділимо в чисельнику похідну квадратного тричлена, що стоїть під знаком кореня, і розкладемо інтеграл на суму інтегралів:

4. Інтеграли виду За допомогою підстановки х α=1/t цей інтеграл наводиться до розглянутого п. 2 5. Інтеграл виду де Рn(х) – багаточлен n й ступеня. Інтеграл такого виду знаходиться за допомогою тотожності, де Qn 1(x) – багаточлен (n 1) й ступеня з невизначеними коефіцієнтами, λ число. Диференціюючи зазначене тотожність і наводячи результат до спільного знаменника, отримаємо рівність двох багаточленів, з якого можна визначити коефіцієнти многочлена Qn 1(x) та число λ.

6. Інтеграли від диференціальних біномів де m, n, p – раціональні числа. Як довів П. Л. Чебишев, інтеграли від диференціальних біномів виражаються через елементарні функції лише у трьох випадках: 1) р – ціле число, тоді цей інтеграл зводиться до інтегралу від раціональної функції за допомогою підстановки х=ts, де s – найменше загальне кратне знаменників дробів m та n. 2) (m+1)/n – ціле число, у разі даний інтеграл раціоналізується з допомогою підстановки a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р – ціле число, у разі до тієї ж мети веде підстановка ax n+b=ts , де s – знаменник дробу р.

Інтегрування тригонометричних функцій Інтеграли виду, де R – раціональна функція. Під знаком інтеграла знаходиться раціональна функція від синусу та косинуса. У разі застосовна універсальна тригонометрична підстановка tg(x/2)=t, яка зводить цей інтеграл до інтегралу від раціональної функції нового аргументу t (таблиця п. 1). Існують й інші підстановки, подані в наступній таблиці:

Певним інтегралом від функції f(x) на відрізку називається межа інтегральних сум за умови, що довжина найбільшого часткового відрізка Δхi прагне нуля. Числа а і b називаються нижньою та верхньою межами інтегрування. Теорема Коші. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку, то певний інтеграл існує

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="(!LANG:Якщо f(x)>0 на відрізку , то певний інтеграл геометрично є площа криволінійної"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

Правила обчислення певних інтегралів 1. Формула Ньютона Лейбніца: де F(x) – первісна для f(x), тобто F(x) = f(x). 2. Інтегрування частинами: де u=u(x), v=v(x) – безперервно диференційовані функції на відрізку .

3. Заміна змінної де х=φ(t) – функція, безперервна разом зі своєю похідною φ' (t) на відрізку α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ( t)] – функція безперервна на [α; β] 4. Якщо f(x) – непарна функція, тобто f(x)= f(x), то Якщо f(x) – парна функція, тобто f(x)=f(x) , то.

Невласними інтегралами Невласними інтегралами називаються: 1) інтеграли з нескінченними межами; 2) інтеграли від необмежених функцій. Невласний інтеграл від функції f(x) у межах від а до +нескінченності визначається рівністю Якщо ця межа існує і кінцева, то невласний інтеграл називається схожим; якщо ж межа не існує або дорівнює нескінченності, що розходяться Якщо функція f(x) має нескінченний розрив у точці з відрізком і безперервна при а≤х

При дослідженні збіжності невласних інтегралів користуються однією з ознак порівняння. 1. Якщо функції f(x) і φ(x) визначені для всіх х≥а та інтегровані на відрізку , де А≥а, і якщо 0≤f(x)≤φ(x) для всіх х≥а, то з збіжності інтеграла витікає збіжність інтеграла, причому 2. 1 Якщо при х→+∞ функція f(x)≤ 0 є нескінченно малою порядку р>0 порівняно з 1/х, то інтеграл сходить при р>1 і розходиться при р≤ 1 2. 2 Якщо функція f(x)≥ 0 визначена і безперервна у проміжку а ≤ х

Обчислення площі плоскої фігури Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривої у=f(x) , прямими x=a і x=b і відрізком осі ОХ обчислюється за формулою Площа фігури, обмеженою кривою у=f 1(x) і у=f 2( x) і прямими x=a і x=b знаходиться за формулою Якщо крива задана параметричними рівняннями х=х(t), у=у(t), то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, прямими x=a, x=b і відрізком осі ОХ обчислюється за формулою де t 1 і t 2 визначаються рівняння а=х(t 1), b=х(t 2) Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою, заданої в полярних координатах рівнянням ρ=ρ(θ) і двома полярними радіусами θ=α, θ=β (α

Обчислення довжини дуги плоскої кривої Якщо крива у=f(x) на відрізку – гладка (тобто похідна у'=f'(x) безперервна), то довжина відповідної дуги цієї кривої знаходиться за формулою При параметричному завданні кривої х=х (t), у=у(t) [х(t) і у(t) – безперервно диференційовані функції] довжина дуги кривої, що відповідає монотонній зміні параметра t від t 1 до t 2, обчислюється за формулою Якщо гладка крива задана в полярних координатах рівнянням ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, то довжина дуги дорівнює.

Обчислення об'єму тіла 1. Обчислення об'єму тіла за відомими площами поперечних перерізів. Якщо площа перерізу тіла площину, перпендикулярної осі ОХ, може бути виражена як функція від х, тобто у вигляді S=S(х) (a≤x≤b), об'єм частини тіла, укладений між перпендикулярними осі ОХ площинами x= a та x=b, знаходиться за формулою 2. Обчислення об'єму тіла обертання. Якщо криволінійна трапеція, обмежена кривою у=f(x) і прямими у=0, x=a, x=b, обертається навколо осі ОХ, то об'єм тіла обертання обчислюється за формулою. і у2=f 2(x) і прямими x=a, x=b, обертається навколо осі ОХ, обсяг тема обертання дорівнює.

Обчислення площі поверхні обертання Якщо дуга гладкої крива у=f(x) (a≤х≤b) обертається навколо осі ОХ, то площа поверхні обертання обчислюється за формулою Якщо крива задана параметричними рівняннями х=х(t), у=у(t ) (t 1≤t≤t 2), то.

Основні поняття Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує незалежні змінні, їх функцію та похідні (або диференціали) цієї функції. Якщо незалежна змінна одна, то рівняння називається звичайним, якщо незалежних змінних дві або більше, то рівняння називається диференціальним рівнянням у приватних похідних.

Функціональне рівняння F(x, y, y) = 0 або y = f(x, y), що зв'язує між собою незалежну змінну, шукану функцію y(x) та її похідну y (x), називається диференціальним рівнянням першого порядку . Рішенням рівняння першого порядку називається будь-яка функція y = (x), яка, будучи підставлена на рівняння разом зі своєю похідною y = (x), звертає його в тотожність щодо x.

Загальне рішення диференціального рівняння 1 го порядку Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається така функція y = (x, C), яка за будь-якого значення параметра C є рішенням цього диференціального рівняння. Рівняння Ф(x, y, C)=0, що б загальне рішення як неявну функцію, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Якщо рівняння 1 го порядку дозволити щодо похідної, воно може бути представлене у вигляді Його загальне рішення геометрично являє собою сімейство інтегральних кривих, тобто сукупність ліній, відповідних різним значенням постійної C.

Постановка задачі Коші Завдання пошуку рішення диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові, називається завданням Коші для рівняння 1 го порядку. Геометрично це означає: знайти інтегральну криву диференціального рівняння, що проходить цю точку.

Рівняння з змінними, що розділяються Диференціальне рівняння називається рівнянням з розділеними змінними. Диференціальне рівняння 1 го порядку називається рівнянням з змінними, що розділяються, якщо воно має вигляд: Для вирішення рівняння ділять обидві його частини на добуток функцій, а потім інтегрують.

p align="justify"> Однорідні рівняння Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо його можна привести до виду y = або до виду де і - однорідні функції одного порядку.

Лінійні рівняння 1 го порядку Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно містить у і у в першому ступені, тобто має вигляд. Вирішують таке рівняння за допомогою підстановки y=uv, де u та v допоміжні невідомі функції, які знаходять, підставляючи в рівняння допоміжні функції та одну з функцій накладають певні умови.

Рівняння Бернуллі Рівнянням Бернуллі називається рівняння 1 го порядку, що має вигляд, де і Його, як і лінійне рівняння вирішують за допомогою підстановки

Загальним рішенням рівняння другого порядку називається така функція, яка при будь-яких значеннях параметрів є рішенням цього рівняння.

Завдання Коші для рівняння 2-го порядку Якщо рівняння 2-го порядку вирішити щодо другої похідної, то для такого рівняння має місце завдання: знайти рішення рівняння, яке відповідає початковим умовам: і Це завдання називають завданням Коші для диференціального рівняння 2 гопорядка.

Теорема існування і єдиності розв'язання рівняння 2 го порядку Якщо у рівнянні функція та її приватні похідні за аргументами і безперервні в деякій області, що містить точку, то існує і до того ж єдине рішення цього рівняння, що задовольняє умовам і.

Найпростіше рівняння 2 го порядку вирішують дворазовим інтегруванням. Рівняння, яке не містить явно у, вирішують за допомогою підстановки, Рівняння, що не містить х, вирішують заміною, .

Лінійні однорідні рівняння Якщо всі коефіцієнти цього рівняння постійні, то рівняння називається рівнянням з постійними коефіцієнтами.

Властивості розв'язків лінійного однорідного рівняння Теорема 1. Якщо у(х) є рішенням рівняння, то і Су(х), де Константа, також є рішенням цього рівняння.

Властивості розв'язків лінійного однорідного рівняння Теорема 2. Якщо і рішення рівняння, то їх сума також є рішенням цього рівняння. Наслідок. Якщо рішення рівняння, то функція також вирішення цього рівняння.

Лінійно залежні і лінійно незалежні функції Дві функції і називаються лінійно залежними на деякому проміжку, якщо можна підібрати такі числа, і не рівні нулю одночасно, що лінійна комбінація цих функцій тотожно дорівнює нулю на цьому проміжку, тобто.

Якщо таких чисел підібрати не можна, то функції називаються лінійно незалежними на зазначеному проміжку. Функції будуть лінійно залежними і тоді, коли їх ставлення постійно, тобто.

Теорема про структуру загального рішення лінійного однорідного рівняння 2 го порядку Якщо лінійно незалежні приватні рішення ЛОУ 2 го порядку, їх лінійна комбінація де і довільні постійні, є загальним рішенням цього рівняння.

Лінійне однорідне рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами Рівняння називається характеристичним рівнянням лінійного рівняння. Воно виходить із ЛОУ заміною відповідного порядку похідним ступенем k.

Елементи вищої алгебри (8 годин)

Застосування диференціального обчислення для дослідження функцій та побудови графіків (26 годин)

Диференціальне обчислення функцій однієї змінної

(30 годин)

2.1. Локальні та глобальні властивості функції. Властивості функцій, безперервних на відрізку (перша та друга теореми Вейєрштрасса та теорема
Коші). Визначення та властивості похідної функції. Геометричний та механічний сенс похідної.

2.2. Похідна складна функція. Похідна зворотна функція. Похідні зворотних тригонометричних функцій. Функції, задані
параметрично. Їхнє диференціювання. Таблиці похідних найпростіших елементарних функцій. Диференціал та його властивості.

2.3. Похідні та диференціали вищих порядків. Друга похідна
від функції, заданої параметрично. Похідна вектор-функції та
її геометричний сенс. Зростання (зменшення) функції у точці.
Теореми Роля, Лагранжа, Коші. Наслідки теореми Лагранжа.
Знаходження локальних та глобальних екстремумів функцій. Розкриття
невизначеностей за правилом Лопіталя.

3.1. Формула та ряд Тейлора. Біном Ньютона. Формули Тейлора для функцій. Випуклість функції. Точки перегину. Асимптоти функції. Побудова графіків функцій.

3.2 Векторні функції скалярного аргументу та його диференціювання.
Механічний та геометричний сенс похідної. Рівняння дотичної прямої та нормальної площини.

3.3 Кривизна та радіус кривизни плоскої кривої.

4.1. Комплексні числа, події з них. Зображення комплексних
чисел на площині. Геометричний сенс. Модуль та аргумент комплексного числа. Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа. Формула Ейлер.

4.2. Багаточлени. Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Розкладання
багаточлена з дійсними коефіцієнтами на лінійні та квадратичні множники. Розкладання раціональних дробів на найпростіші.

змінних (20 годин)

5.1. Область визначення. Межа функції, безперервність. Диференційність функції декількох змінних, приватні похідні та
повний диференціал, зв'язок із приватними похідними. Похідні
складних функцій. Інваріантність форми повного диференціалу.
Похідні неявної функції.

5.2. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний
сенс повного диференціала функції двох змінних.

5.3. Приватні похідні найвищих порядків. Теорема про незалежність результату диференціювання від порядку диференціювання. Диференціали вищих систем.

5.4. Кривизна та кручення просторової кривої. Формули Френе.

5.5. Формула Тейлора для функції кількох змінних. Екстремуми
функцій кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму. Умовний екстремум. Найбільше та найменше значення функцій у замкнутій області. Метод множників Лагранжа.
Приклади застосування при пошуку оптимальних рішень.

Диференціальне обчислення функції кількох змінних

Основні визначення та поняття.

1. Образ функції двох змінних, область визначення та зміни функції.

2. Приватні похідні, їх геометричне значення.

3. Похідні вищих систем.

4. Диференціал функції двох змінних, наближені до обчислення за допомогою диференціала .

5. Дотична площина та нормаль до поверхні.

Змінна zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">Gза законом (правилом) f : (x, y) → z(z = f(x, y) ) встановлюється взаємно-однозначна відповідність.

Безліч Gназивається областю визначення функції z = f(x, y) і позначається

Безліч Zназивається областю зміни функції z = f(x, y) і позначається Е(z).

Функція двох змінних може бути позначена:

а)у явному вигляді z = f(x, y); z = φ (x, y); z = z(x, y);

b) у неявному вигляді F(x, y, z(x, y))=0.

Якщо ( х0, у0)https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" width="76 height=24" height="24">; Е(z) ≥ 0.

Графіком функціїдух змінних є поверхня в просторі .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; зобразити на площині хоу

безліч точок області визначення цих функцій.

1) Закон (правило) відповідності функції та пар незалежних змінних z = f(x, y) – логарифмічний, тому (х – у)>0,тобто х > у. Область визначення– безліч точок площини хоу, що лежать під прямою у = х, не включаючи точок, що належать до прямої, тому її зображують пунктиром.

Область зміниза законом функціональної залежності z .

2) Закон (правило) відповідності z = f(x, y) ,

тому (у - х2) ≥ 0,тобто у ≥ х2. Область визначення –

безліч точок площини хоулежачи всередині

параболи у ≥ х2, включаючи точки, що належать

параболі (кордон області). Область змінипо

закону функціональної залежності z ≥ 0.

Визначення приватних похідних функції двох змінних та їх геометричний зміст.

Приватні похідні функції z = f(x, у) називаються межі відношення прирощень функції z = z(х, у)до збільшення відповідного аргументу за напрямками охабо оупри Δ х → 0і Δ у → 0відповідно:

Приватна похідна з х:

при обчисленні рахують x = const.

Геометрично

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , де α - Кут дотичної до поверхні в точці з напрямком осі ох;

Де β - Кут дотичної до поверхні в точці з напрямком осі оу.

Правила диференціювання і табличні похідні функції однієї змінноїповністю справедливідля функції двох та кількох змінних.

Для функції двох змінних z = f(x, y) існують дві

приватні похідні першого порядку : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, які так само є функціями двох змінних і їх можна диференціювати за змінними хі у.Знайдемо чотири приватні похідні другого порядку :

Відмітимо, що змішані похідні вищих порядків рівні (теорема Шварца): , тобто різних похідних

другого порядку – три: , .

Треті похідні для функції двох змінних ( z = f(x, y)) – вісім: , але їх різних – чотири, оскільки змішані похідні при диференціюванні у порядку рівні:

Знайдемо перші похідні:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Знайдемо другі змішані похідні:

бачимо, що тобто перевірили теорему Шварца і показали, що.

Диференціал та його геометричний сенс. Наближені обчислення за допомогою диференціалу. Дотична площина та нормаль до поверхні.

Повним диференціалом функції z = f(x, у) називається лінійна частина збільшення функції (до дотичної площини до поверхні в точці (х0; у0)):

Цю формулу використовують для наближених обчислень функції у точці.

Наприклад, потрібно обчислити значення функції, де

= 1.02 = 1 + 0.02 , а у0 = 2.97 = 3 - 0.03 : приймемо за х= 1 , а за у = 3;

за Δ хі Δ услід вибрати Δ х = 0.02і Δ у = - 0.03щоб похибка обчислення була найменшою (не слід у даному прикладі за Δ увибирати значення Δ у = 0.97, а за у = 2,представивши точку у0 = 2.97 =2 + 0,97).

приклад 2.Обчислити значення і помітимо, що обчислити її необхідно в точці. х0 = 0,98; у0 = 1,05.

Скористайтеся можливістю провести обчислення за допомогою диференціалу. Уявимо крапку х0 = 0,98 = 1 - 0,02; у0 = 1,05 = 1 + 0,05і позначимо х = 1; у = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.

Обчислимо приватні похідні функції =; . Тоді.

При і обчислимо

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Обчисливши це значення на калькуляторі, отримаємо https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" .

З визначення диференціала можна виділити його геометричний сенс.

Якщо А(х, у) http://www.pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif"Z(x, y) = z(A) + a(x- xA) + b(y- yA), а поверхня графіка функції зливається з площиною на околиці точки А(х, у), то така площина називається дотичної площиною до поверхні у цій точці.
Або рівняння дотичної площини а(х-хА)+b(у-уА)+(-1)(z- zA)=0 і нормальний вектор до неї , який вважають нормальним вектором до поверхні у точці А(х, у).

Транскрипт

1 ПА Вельмісів ЮВ Покладова Диференціальне обчислення функцій кількох змінних Навчальний посібник Ульяновськ УлГТУ

2 УДК (7 ББК я7 В 8 Рецензенти: кафедра прикладної математики УлДУ (зав кафедрою д-р фіз-мат наук професор А А Бутов; д-р фіз-мат наук професор УлДУ А С Андрєєв Затверджено редакційно-видавничою радою університету як навчальний посібники Вельмісів П А В 8 Диференціальне обчислення функцій кількох змінних: навчальний посібник / П А Вельмісов Ю В Покладова Ульяновськ: УлГТУ з ISBN Посібник призначений для бакалаврів всіх спеціальностей вивчальних розділ «Диференціальне обчислення функцій декількох змінних» приклади вирішення завдань та призначено для забезпечення самостійної роботи студентів з освоєння розділу Робота виконана на кафедрі «Вища математика» УлГТУ Друкується в авторській редакції УДК (7 ББК я7 Вельмісів П А Покладова Ю В ISBN Оформлення УлГТУ

3 ЗМІСТ Вступ Теоретичні питання Теоретичний матеріал і приклади вирішення задач Область визначення функції декількох змінних Приклад вирішення задачі Приватні похідні Приклад вирішення задачі 8 Похідні складної функції 8 Приклад вирішення задачі 9 Похідні неявної функції Приклад вирішення задачі Диференціал Приклад вирішення задачі Застосування диференціала 7 Приклад розв'язання задачі 7 7 Формули Тейлора і Маклорена 8 Приклад розв'язання задачі Стосовна площина і нормаль до поверхні 9 Приклад розв'язання задачі Градієнт і похідна за напрямком Приклад розв'язання задачі 9 Екстремум функції декількох змінних Приклад розв'язання задачі Приклад розв'язання задачі Умовний екстремум функції кількох змінних Приклад розв'язання задачі 7 Найменше і найбільше значення функції двох змінних в області 9 Приклад розв'язання задачі 9 Метод найменших квадратів Приклад розв'язання задачі Приклад розв'язання задачі Приклад розв'язання задачі 8 Розрахункові завдання 9 Список літератури

4 ВСТУП Активна самостійна робота студентів є важливим фактором засвоєння математики та оволодіння її методами Система типових розрахунків активізує самостійну роботу студентів і сприяє більш глибокому вивченню курсу вищої математики Даний посібник призначений для бакалаврів усіх спеціальностей, що вивчають розділ «Диференціальне обчислення функцій кількох змінних» у студентів навичок розв'язання типових задач Посібник містить короткий теоретичний матеріал теоретичні питання індивідуальні завдання приклади розв'язання задач та призначений для забезпечення самостійної роботи студентів з освоєння розділу Теоретичні питання є спільними для всіх студентів; кожна з завдань, що входять до даного посібника, представлена 8 варіантами. По кожній темі коротко викладено основні теоретичні відомості, наведено рішення типових прикладів.

5 Теоретичні питання Визначення функції двох змінних її області визначення Геометричне тлумачення цих понять Поняття функції трьох змінних Поняття межі функцій двох і трьох змінних у точці Поняття безперервної функції декількох змінних трьох змінних Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні Приватні похідні складної функції кількох незалежних змінних Повна похідна 7 Диференціал другого порядку функцій двох і трьох змінних 9 Формула змінних Градієнт та похідна за напрямом Поняття точки екстремуму функцій двох та трьох змінних Необхідні та достатні умови екстремуму функції двох змінних Необхідні та достатні очні умови екстремуму функції трьох змінних Поняття точки умовного екстремуму функції двох змінних Необхідні та достатні умови умовного екстремуму функції двох змінних Метод множників Лагранжа Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних у замкнутій обмеженій області 7 Метод найменших квадратів

6 Теоретичний матеріал і приклади розв'язання задач Область визначення функції кількох змінних Нехай D - безліч пар значень незалежних змінних та Визначення Якщо кожній парі D поставлено у відповідність деяке значення змінної величини то кажуть що - функція двох незалежних змінних та визначена на множині D (позначається: f Множина D для елементів якого існують значення називається областю визначення функції f (Визначення Якщо кожній сукупності значень незалежних змінних з деякої множини DR відповідає певне значення змінної u то кажуть що u - функція змінних визначена на множині D (uf Приклад вирішення задачі Знайти та зобразити область визначення) функції = (Рішення: Логарифмічна функція визначена лише за позитивного значення аргументу тому > або< Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k

7 Позначається uf або ukkkfk У разі потреби вказуються змінні від яких залежить функція наприклад fk Для функції f двох змінних за визначенням маємо ffff lm - приватна похідна за ffff lm - приватна похідна по Застосовуються також позначення в яких штрих зверху не ставиться наприклад fff з визначенням приватна похідна за змінною kk обчислюється за звичайними правилами і формулами диференціювання справедливим для функції однієї змінної (при цьому всі змінні крім k розглядаються як постійні Наприклад при обчисленні приватної похідної за змінною від функції f змінна вважається постійною і навпаки Визначення Приватними похідними порядку функції uf називаються приватні похідні від її приватних похідних першого порядку Згідно з визначенням похідні другого порядку позначаються і знаходяться наступним чином: я другого порядку по kkk змінним k і f: Зокрема для функцій двох змінних Штрихи зверху можна опустити Аналогічно визначаються і позначаються приватні похідні порядку вище другого Зауваження Результат багаторазового диференціювання функції за різними змінними не залежить від черговості диференціювання за умови що виникають при цьому змішані похідні безперервні 7

8 Приклад розв'язання задачі Дана функція s Показати що Рішення Знайдемо приватні похідні os; os; os os s; os s; os os s Підставляючи знайдені приватні похідні в ліву частину даного рівняння отримаємо тотожність os s що й вимагалося довести os ss функції uf ((t (t (t за змінною t обчислюється за формулою): du ududud (dt dt dt dt Якщо uf (t де (t (t (t то похідна функції u по t)) (вона називається повною похідною дорівнює du uududud (dt)) t dt dt dt Нехай uf (де (tttm (tttm (tttm при цьому ttt - незалежні змінні) Приватні m похідні функції u за змінними ttt виражаються таким m чином:

9 utkutuuuttt (uuuu tm tmtmtm Якщо uf (ttm де (tttm то ffltltkmklk) Приклад розв'язання задачі Знайти похідну du dt складної функції utt ost Розв'язання Так як функція u є функцією однієї незалежної du змінної t то необхідно обчислити ud dt dt dt dt Знаходимо похідні, що входять до цієї формули: uuudddtst dt t dt dt Підставимо їх у формулу (du t (st dt t Виразимо змінні через t du t os ttt os tttt dt tt os tt ost 8(t st Знайти приватні похідні u osv l(vwweveuu складної функції 9

10 Рішення Функція u є функцією двох змінних v і w Змінні v і w у свою чергу є функціями двох незалежних змінних і Знайдемо приватні похідні: wwveveuvuweesvvvwwvu u Похідні знайдемо за формулами (: u es(eee ; (e (e (e (euuvuwvwsveevwvwvw (e (e (eee Похідні неявної функції заданої з F) обчислюються за формулами u F (uk F ku (uk)) (за умови що F (u Приватні похідні неявної функції uf)) Зокрема похідна неявної функції (заданої за допомогою рівняння F (може бути обчислена за формулою: d F (d F за умови що F ; приватні похідні неявної функції (заданої рівнянням F (перебувають наступним чином: FF) (FF за умови що F Примітка)) похідна змінною k від функції uf заданої рівнянням F u може бути

11 знайдена також за допомогою диференціювання цього рівняння по k при цьому необхідно врахувати залежність u від k Зокрема похідна неявної функції (заданої за допомогою рівняння F (може бути знайдена диференціюванням рівняння F (за змінною х при цьому необхідно врахувати залежність від х). порядків обчислюються на основі формул (((або за допомогою диференціювання рівнянь F u F (F (відповідне число разів Приклад розв'язання задачі) Знайти похідну першого порядку неявної функції (заданої рівнянням l tg)) може бути обчислена за формулою (: d F (FF os (os (Знаходимо похідну неявної функції: d F os (os (d F os (os) (У даному випадку F l tg спосіб: Продиференціюємо обидві частини рівняння l tg змінної х) функцією від х: l (tg (os Виражаємо: os (os (по Знайти приватні похідні першого порядку неявної функції) (заданої рівнянням)

12 Рішення спосіб: Похідні неявної функції (заданої за допомогою F рівняння F (можуть бути обчислені за формулою (: FFF У даному випадку F(FF Знайдемо приватні похідні неявної функції): FFFFF спосіб: Продиференціюємо обидві частини рівняння за змінною х вважаючи функцією від: (Виражаємо: Аналогічно продиференціюємо обидві частини рівняння за змінною вважаючи функцією від: ((Висловлюємо: Знайти похідну другого порядку неявної функції (заданої рівнянням l Рішення спосіб: Похідна неявної функції (заданої за допомогою рівняння d FF (може бути обчислена за формулою) F У даному випадку d Знаходимо похідну: d F(l FF

13 FF dd Другу похідну знаходимо за правилом диференціювання складної функції враховуючи що у залежить від х (((ddddddddddddddd Підставляючи dd в отриманий вираз знаходимо: (dd спосіб: Продиференціюємо обидві частини рівняння l від змінної х рахуючи у функ) (Продиференціюємо ще раз обидві частини рівняння по змінній х вважаючи у функцією від х: (Виражаємо ((Підставимо в отриманий вираз: (Знайти приватні похідні другого порядку неявної функції)). бути обчислені за формулою (: FFFF

14 В даному випадку (FFFF Знайдемо приватні похідні неявної функції: FFFF Другу похідну знаходимо за правилом диференціювання складної функції рахуючи функцією від: Підставляючи в отримані вирази знаходимо: 9 спосіб: Продиференціюємо обидві частини рівняння по змінній х вважаючи функцією від: (В раз обидві частини рівняння по змінній вважаючи функцією від: Виражаємо

15 Підставимо в отриманий вираз: Аналогічно знаходяться похідні 9 Для знаходження необхідно вихідне рівняння продиференціювати двічі за функцією від Для знаходження змішаної похідної вихідне рівняння диференціюється спочатку по а потім по (або навпаки Диференціал Визначення Повним прирістом функції uf M називається точці M у точці відповідним прирощенням аргументів називається диференційованою якщо в деякій околиці цієї точки повне прирощення функції може бути представлене у вигляді u AAA o((де AAA - числа, що не залежать від Визначення Диференціалом du першого порядку функції uf у точці M називається головна частина повного приріщення) цієї функції в точці, що розглядається, лінійна щодо: du AAA Для диференціала функції uf справедлива формула uuu du ddd (де ddd Зокрема для функції f двох змінних маємо

16 Диференціал символічною формулою ddd (k го порядку функції uf виражається kdudddu (Зокрема для du має місце формула (а du знаходиться таким чином udu dk d (mkm km Наприклад у разі функції f двох змінних для диференціалів -го та -го порядків справедливі формули) dd dd ddddd dd d (k (7 Приклад розв'язання задачі Знайти диференціал третього порядку du функції uel Розв'язання Знайдемо всі приватні похідні до третього порядку включно: ueuelueuelueueueuel Знайдемо диференціал третього порядку функції u двох змінних за формулами ((ddd диференціал другого порядку du функції u Рішення Для знаходження диференціала другого порядку функції трьох змінних скористаємося формулами ((:

17 duddduuuuuuuddd dd dd dd Знайдемо всі приватні похідні до другого порядку включно: uuuuuuuuu Знайдемо диференціал другого порядку функції u трьох змінних: duddd dd dd dd Застосування диференціала в наближених du або ff df де df визначається формулою (Зокрема для функції f двох змінних при досить малих має місце наближена рівність d або fff (f ((Запишемо формулу (у точці (: ffff (((Вводячи формулу (перепишемо у вигляді fff)( f (((Маючи значення функції f та її приватних похідних у точці за формулою (можна обчислити значення функції f у точці розташованої досить близько від точки Приклад розв'язання задачі) А обчислимо використовуючи формулу (: 7

18 ((((Маємо 9 ; покладемо Обчислимо значення функції в точці з координатами: Так як ((то (Підставимо у формулу: 9; 9) (9 (7 Формули Тейлора і Маклорена)) Для функції f двох змінних у точці формула Тейлора має вигляд df (df (f (f (R (7!!! де R o(- залишковий член)). f (((((R! У окремому випадку при формула (7 називається формулою Маклорена Приклад розв'язання задачі 7 Розкласти функцію (e на околиці точки М)) df (f (f (f (R де R - залишковий член!! формули Тейлора)) (Складемо диференціали функції до другого порядку включно d((d (ddd

19 d ((d (dd (dd dd 9d Враховуючи що dd отримаємо: (((9(e ((R 8 Відносна площина і нормаль до поверхні))). дотичні до кривих проведених на поверхні через цю точку Визначення Нормаллю до поверхні в її точці M називається пряма перпендикулярна до дотичної площини в цій точці і проходить через точку торкання M Якщо рівняння поверхні задано у явній формі f то рівняння дотичної площини в точці M (має вигляд f (((8 Рівняння нормалі (f ((8 Якщо рівняння поверхні задано в неявній формі F), то рівняння дотичної площини в точці M (має вигляд F (F((F((8 (Рівняння нормалі))) (F(F (Приклад вирішення задачі 8 8 Скласти рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні у точці M (7 Рішення Якщо рівняння поверхні задано у явній формі f то рівняння дотичної площини у точці M (має вигляд (8 f (f (( а рівняння нормалі вид (8 f ((f (9

20 Знайдемо значення приватних похідних ff у точці М: fff (f (Підставляючи знайдені значення у рівняння дотичної площини та нормалі отримаємо: 7 ((або - рівняння дотичної 7 площини; - рівняння нормалі 8 Скласти рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні) точці M (Рішення Якщо рівняння поверхні задано в неявній формі F (то рівняння дотичної площини в точці M (має вигляд (8 F (F((Нормаль визначається рівняннями) (8 F(F(F (Знайдемо значення приватних похідних FFF))) точці M: FFFF (F (Підставляючи знайдені значення в рівняння дотичної площини і нормалі отримаємо: (або - рівняння дотичної площини; - рівняння нормалі 9 Градієнт і похідна у напрямку Нехай функція f визначена в околиці точки і нехай - вектор, що виходить з цієї) точки На векторі візьмемо точку M (Визначення Похідної функції f за напрямком у точці M (називається межа (якщо вона існує f) (f (M f (M (M lm lm MMM де MM M)) по напрямку є узагальненням поняття приватних похідних Похідна за напрямком у точці M характеризує зміну функції у цій точці у напрямку вектора Якщо функція f диференційована у точці M (то у цій точці

21 os os де os os - напрямні косинуси вектора Визначення Градієнтом функції f у точці M (називається вектор проекціями якого є значення приватних похідних функції у цій точці ті grd j (9 Зауваження Аналогічно визначаються похідна за напрямом та градієнт функції змінних Градієнт та похідна за напрямком) пов'язані між собою співвідношенням (grd (9 ті похідна за напрямом дорівнює скалярному твору градієнта і одиничного вектора). точці А для цього обчислимо і в точці А Маємо: (A (A Таким чином grd (A j Для знаходження похідної функції f (у напрямку вектора скористаємося формулою) (9 Для цього знайдемо одиничний вектор тоді))

22 Екстремум функції кількох змінних Нехай функція uf точки M визначена в деякій околиці Визначення Функція uf точці має максимум (мінімум M якщо існує така околиця точки M в якій для всіх точок M (MM виконується нерівність f M f M (відповідно f M f M Максимум або мінімум функції називається її екстремумом а точки в яких функція має екстремум називаються точками екстремуму (максимуму або мінімуму Необхідна умова екстремуму Якщо функція uf має екстремум в точці M то в цій точці f (M Точки в яких виконуються ці умови називаються стаціонарними uf ) Достатня умова екстремуму Нехай M - стаціонарна точка функції uf причому ця функція двічі диференційована в деякій околиці точки M і всі її другі приватні похідні безперервні в точці M Тоді: якщо dudu при будь-яких значеннях не рівних одночасно нулю то функція uf має в максимум, якщо du приймає значення різних знаків залежно від екстремуму в точці M немає; якщо du для набору значень не рівних нулю одночасно то потрібні додаткові дослідження Розглянемо випадок функції двох змінних Визначення Функція f (має максимум (мінімум у точці M (якщо існує така околиця точки M у якій для всіх точок M(відмінних від M виконується нерівність f) f (f (f (Необхідна умова екстремуму функції двох змінних Якщо диференційована функція f (досягає екстремуму в точці)

23 M (те то в цій точці приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю ff (((Достатня умова екстремуму функції двох змінних)) Введемо позначення: A f B f C f D AB C (((Нехай M (- стаціонарна точка функції f (і нехай) в околиці точки M функція має безперервні приватні похідні другого порядку. Розглянемо випадок функції uf (трьох змінних Критерій Сильвестра Для того щоб виконувалася нерівність du при будь-яких значеннях ddd не рівних нулю одночасно необхідно і достатньо щоб: uuuuuuuuuuuuu Слід пам'ятати, що всі похідні обчислені в точці M (Приклад розв'язання задачі 8 Знайти екстремуми функції двох змін них (Рішення Якщо функція f, що диференціюється, досягає екстремуму в точці M (то згідно з необхідною умовою екстремуму в цій точці приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю 8 Знайдемо стаціонарні точки функції (:

24 8 Вирішуючи цю систему отримуємо дві стаціонарні точки M (- M (-- Скористаємося достатньою умовою екстремуму функції двох змінних Знайдемо A f B f C f (((D AB C Розглянемо точку M (-: ABC Так як D 8 точка M (- є точкою екстремуму а саме мінімуму тому що A Знайдемо мінімум функції: m 7 Розглянемо точку M (--: ABC Оскільки D 8 то в точці M (-- екстремуму немає Приклад розв'язання задачі Знайти екстремуми функції трьох змінних u Рішення Знайдемо стаціонарні точки заданої функції u Для цього складемо систему рівнянь: uuu розв'язуючи яку отримаємо;;Знайдемо приватні похідні другого порядку: uuuuuu Обчислимо їх значення в стаціонарній точці M(;;: uuuuuuu Знайдемо диференціал другого порядку функції ud; dd; dd dd Скористаємося критерієм Сільвестра У даному завданні:

25 uuuuuu 8 uuuuuuuu Відповідно до критерію Сильвестра du Значить точка M (;; є точкою мінімуму функції u згідно з достатньою умовою екстремуму Значення функції в точці мінімуму um Умовний екстремум Розглянемо задачу про знаходження екстремуму функції uf за умов рівняннями зв'язку Визначення Функція uf має умовний максимум (умовний мінімум у точці M якщо існує така околиця точки M у якій для всіх точок M (MM, що задовольняють рівнянням зв'язку, виконується нерівність f M f M (відповідно f M f M Завдання знаходження умовного екстремуму зводиться до дослідження) на звичайний екстремум функції Лагранжа m L mf kk k де постійні kmk називаються множниками Лагранжа Необхідна умова умовного екстремуму Якщо функція uf має умовний екстремум у точці M то в цій точці L (ML (M km Для знаходження точки у якій можливий умовний екс m рівнянь: L (kkmk

26 з якої знаходяться невідомі m Достатня умова умовного екстремуму Нехай рішення системи (Функція uf має в точці m M умовний максимум якщо d L і умовний мінімум якщо d L при будь-яких значеннях що mmddd не рівних нулю одночасно і таких kddkmk Умовний екстремум функції двох змінних В у разі функції f двох змінних при рівнянні зв'язку (функція Лагранжа набуде вигляду L f (Система (запишеться у вигляді L (f (((((Нехай - розв'язання цієї системи) і (L ((L((L (Тоді якщо f має в точці M (умовний максимум; якщо умовний мінімум то функція Можна також застосувати критерій Сільвестру для функції Лагранжа Критерій Сільвестра: d L (функція має умовний мінімум тоді і тільки тоді коли LLLLL і d L (функція має умовний максимум тоді) і тільки тоді, коли LLLLL

27 для будь-яких значень dddd не рівних нулю одночасно і таких, що Приклад розв'язання задачі Знайти умовний екстремум функції двох змінних якщо рівняння зв'язку має вигляд Рішення Складаємо функцію Лагранжа: L(f (ost Знайдемо точки в яких можливий умовний екстремум Для цього складемо систему рівнянь (: LL З першого і другого рівнянь системи знаходимо та прирівнюємо отримані вирази: або звідси Розглянемо два випадки: тоді Підставляємо в рівняння зв'язку: ; знаходимо два корені тоді Значення не є рішеннями системи значення - її розв'язки при 9 тоді Підставляємо в рівняння зв'язку: 8 що невірно Рішень немає Значить система має єдине рішення 9 Спосіб Скористаємося достатньою умовою умовного екстремуму Знайдемо приватні похідні: LLL і складемо визначник: ((9 9 (((9 LL (((9 LL Висновок: функція має у точці M))) Значення функції у точці умовного максимуму 7 m

28 Спосіб: LLL Знайдемо диференціал другого порядку функції L у точці M (при: 9 d L(L (d L (dd L (dd Скористаємося критерієм Сільвестру): 9 dd d) Значить d L для будь-яких значень dd не рівних нулю одночасно Таким чином функція має в точці M (умовний максимум Значення функції в точці умовного максимуму є m Приклад розв'язання задачі Знайти умовний екстремум функції 8 при рівнянні зв'язку Рішення Спосіб Складемо функцію Лагранжа: L(f (8 ost Знайдемо точки, у яких можливий умовний екстремум) Для цього складаємо систему рівнянь : LL і розв'язуємо її З першого рівняння виражаємо з другого рівняння виражаємо Прирівнюючи третє рівняння Таким чином система має єдине рішення Знаходимо d L (L (d L (dd L (ddd 8 Диференціюючи рівняння зв'язку отримуємо dd звідки dd Підставляючи d у вираз для d L отримуємо: 8

29 d L ddd Значить функція має умовний максимум при Значення функції в точці умовного максимуму є m Спосіб У даному випадку змінна легко виражається через рівняння зв'язку: Підставляючи в рівняння функції ми отримуємо функцію однієї змінної: 8 8 Досліджуючи функцію однієї змінної на 8 екс : - точка локального максимуму - максимальне значення функції в цій точці Найбільше і найменше значення функції двох змінних в області Якщо функція f (диференційована в обмеженій замкнутій області D то вона досягає свого найбільшого (найменшого значення або в стаціонарній або в граничній точці області D) щоб знайти найбільше та найменше значення функції диференційованої в обмеженій замкнутій області потрібно: знайти стаціонарні точки розташовані в даній області та обчислити значення функції у цих точках, знайти найбільше та найменше значення функції на лініях, що утворюють межу області, з усіх знайдених значень вибрати найбільше та найменше Пр імер розв'язання задачі Знайти найменше та найбільше значення функції в обмеженій замкнутій області D заданою системою нерівностей Рішення Область D являє собою трикутник обмежений координатними осями та прямою

30 Знайдемо стаціонарні точки функції всередині області D У цих точках приватні похідні рівні нулю: Вирішуючи цю систему отримаємо точку K Ця точка не належить області D 8 8 отже в області D стаціонарних точок немає Досліджуємо функцію на кордоні області Оскільки кордон складається з трьох ділянок, що описуються трьом різними рівняннями будемо досліджувати функцію на кожному ділянці окремо: На цій ділянці (Оскільки - зростаюча функція змінної при то на відрізку найменше значення функції буде в точці (: (а найбільше в точці (: (На цій ділянці (Знайдемо похідну З рівняння отримуємо) Таким чином, найбільше і найменше значення функції на кордоні знаходяться серед її значень у точках ((Знайдемо ці значення: ((або (На цій ділянці 7 Вирішуючи рівняння 8 7 отримаємо 7 отже 8 7)). функції знайдені вище Порівнюючи отримані значення ((((((укладаємо що найбільше та найменше значення функції у замкнутій об ласті D рівні відповідно (найб і (найм Приклад розв'язання задачі Знайти найменше та найбільше значення функції в замкнутій області D заданої нерівністю)

31 Знайдемо стаціонарні точки функції всередині області D У цих точках приватні похідні рівні нулю: Отже стаціонарних точок немає Досліджуємо функцію на межі області Складаємо функцію Лагранжа L (Використовуючи необхідні умови існування екстремуму отримаємо систему рівнянь LL Вирішимо отриману систему Прирівнюючи отримуємо Підставимо в третє рівняння Таким чином маємо дві точки MM Знайдемо значення функції в отриманих точках: M (M (Таким чином найбільше значення функції дорівнює найб (M ; найменше значення функції дорівнює найм) (M Метод найменших квадратів) У різних дослідженнях на підставі експерименту потрібно встановити аналітичну залежність f (між двома змінними величинами і широко поширеним методом вирішення цього завдання є метод найменших квадратів Нехай в результаті експерименту отримано значень функції при відповідних значеннях аргументу Результати зведені в таблицю х у

32 Спочатку встановлюється вид апроксимуючої функції (або з теоретичних міркувань або на підставі характеру розташування на площині O точок відповідних експериментальним значенням Далі при вибраному вигляді функції необхідно підібрати параметри, що входять до неї так щоб вона найкраще відображала розглянуту залежність Метод найменших квадратів полягає в наступному Розгляд квадратів різниць значень отриманих в результаті експерименту а також знайдених в результаті обчислення значень функції (у відповідних точках: S (((Підберемо параметри так щоб ця сума мала найменше значення)). змінних слід що ці значення задовольняють системі рівнянь SSS або в розгорнутому вигляді (У випадку лінійної апроксимації виду функція (S набуває вигляду S ((Це функція з двома змінними і Досліджуємо її на екстремум)). умови екстремуму: ((S S

33 Звідси отримуємо наступну систему рівнянь щодо невідомих і (можна показати що система (має єдине рішення і при знайдених значеннях і функція (S має мінімум У разі квадратичної апроксимації виду функція (має вигляд S ((Система рівнянь (набуває вигляду (((або в) розгорнутій формі (Отримали систему трьох лінійних рівнянь для визначення трьох невідомих Якщо потрібно знайти функцію виду то функція (запишеться у вигляді S

34 або в розгорнутій формі (Приклад розв'язання задачі Експериментально отримано п'ять значень функції (f при п'яти значеннях аргументу які записані в таблиці Методом найменших квадратів знайти функцію виду функцію, що наближено виражає) (f Зробити креслення на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки і графік аппроксі функції Рішення Будемо шукати функцію (f у вигляді лінійної функції Система (набуває вигляду: Враховуючи що

35 7 матимемо 7 Вирішуючи цю систему знаходимо: 7 Рівняння шуканої прямої має вигляд: 7 Будуємо графік у х Приклад розв'язання задачі Експериментально отримано шість значень функції f (при шести значеннях аргументу які записані в таблиці 7 Методом найменших квадратів знайти функцію виду f (Зробити креслення на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції Рішення Будемо шукати функцію f (у вигляді квадратичної функції Система (приймає вигляд: Враховуючи що

36 будемо мати Вирішуючи цю систему знаходимо: Рівняння шуканої функції має вигляд: Будуємо графік Експериментально отримано п'ять значень функції f (при п'яти значеннях аргументу, які записані в таблиці Методом найменших квадратів знайти функцію виду, що виражає наближено функцію f (Зробити креслення на якому

37 в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції Рішення Будемо шукати функцію f (у вигляді функції Система (набуває вигляду: Враховуючи що будемо мати Вирішуючи цю систему знаходимо: 7 87 Рівняння шуканої функції має вигляд: 7 87 Будуємо графік 7

38 Приклад розв'язання задачі З прямокутного листа жерсті шириною а виготовити жолоб призматичної форми щоб його поперечний переріз мав найбільшу площу Рішення Нехай ABCD лист жерсті =AD Позначимо =AE тоді FD = EF = (рис. нижня основа жолоба дорівнює EF = бічна сторона дорівнює FD = AEBFD - Рис Лист жерсті CAGD α α EF Рис Поперечний переріз жолоба Перетин жолоба являє собою рівнобічну трапецію слід знайти її верхню основу і висоту Позначимо через величину кута: ADF З точки F опускаємо перпен сторону AD з трикутника GDF знаходимо GD os і висоту трапеції GF s звідси AD EF GD os - верхня основа трапеції Позначимо через площу трапеції ADFE Тоді sss os Маємо функцію двох змінних Потрібно знайти найбільше значення функції в області os os os os За умовою задачі s тому система рівнянь набуває вигляду os o s os os Вирішуючи систему знаходимо: os За умовою даної задачі максимум функції існує, отже, максимальне значення функції буде при 8

39 Розрахункові завдання Завдання Знайти та зобразити області визначення наступних функцій: ((= + =l(+ +ll (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros)) (+ + =l(+l (s 9) = + = rs (= l (+ 7 = = + 8 = l (+ l (os = l (+ 9 l (= + = e = l (+ + = l (+ = 9 + = l)) (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s Завдання Перевірити чи задовольняє функція f))

40 f (рівняння s 9 l e e os s (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e e)

41 f (рівняння l 7 8 s os ros Завдання Знайти похідні складної функції u(похідні ulu du? d du u rs st os t? dt uvwwvuu? wvuttt du? dt vwuuuwsv os? wvt du ur tg e lt? dt ? d 8 uvwl(vwweveuu? 9 uttt du? dt ueuuv os wwsv? wvu os u du? d

42 u(похідні u tg tteste os t du? dt vuuuwwv os? weeu du ul? du rtg tet du? dt ueuuv os w ws v? wvu du 7 u tg? d du 8 uttst? dt rsv 7 uu uuue lw wsv? wvu du ue? d du u ros st os t? dt wuuu tg lw v? vwvvw 7 uuuwv os? wu du ulee? u lt tt? dt

43 Завдання Знайти першу похідну неявної функції функція функція s tg os le 7 el 7 8 os os os rtg l 9 7 ee 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtg e 7 os ll 8 Завдання Знайти диференціали du наступних функцій ue os 7 ullu 8 ueu 9 usueuus(os(ul os ul(ue)

44 Завдання Обчислити наближене значення функції ((координати точки А (у точці А координати точки А (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9 l (8; 7 rtg); 9 (; 9 8 os))) ; 7 (9; 9 (; 9 u os usuuuuuul(7 ulsues 8 uu os e 9 ull 7 uue 8 u (98; (97; 98 (; 9 (; 98 7 s 8 l (; 98 (98; 9) 9; (9; rs (99; s (; 98 e (; 97 (; 9 s (; 97 (; 97 (; 9 7 lee)); 98; rs (; 9 8 (97;)));

45 Завдання 7 Розкласти функцію (за формулою Тейлора у точці М обмежуючись членами другого порядку включно (М (М s os e (e (- 7 ss (8 ll ((9 ((ss) Розкласти функцію) за формулою Маклорена у точці М))) третього порядку включно (((e os sl(el Розкласти функцію)) 9 e os l

46 Завдання 8 Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до зазначеної поверхні в точці А поверхню А (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; l (; ; (; ; 7 (; ; 8 (; ; ;))))); (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l (; ; (; ; (-; 7); ; 8 (; ; 9 (; ; 9 e (; -/; l)); ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7);

47 поверхня А (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 Задача 9 Дана функція (точка A(і вектор (Знайти: grd у точці А; похідну в точці А за напрямком вектора)) (-((l((-(-(-(-l((-7((8 e)((9((-rtg)((---((---rs))((s)( - (- (- ((- 7

48 (А а 7 e ((8 8 l 9 ((((((rtg (((- rs ((- l)((--(e((- l)(- 7 8 s)) (- Завдання Знайти екстремуми функції двох змінних (((l 8l 8 ll 9 (> ll 7 9 9)

49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 Завдання Знайти екстремуми функції трьох змінних u (u (u (8 9 l 88l 7l)

50 u (((7 8 Завдання Знайти умовний екстремум функції (рівняння зв'язку (рівняння зв'язку 9 l l при вказаному

51 (рівняння зв'язку l l l 7 l

52 Завдання Знайти найменше та найбільше значення функції (в замкнутій області D заданою системою нерівностей (область D

53 (область D Завдання Експериментально отримано п'ять значень функції f (при п'яти значеннях аргументу які записані в таблиці Методом найменших квадратів знайти функцію виду YX, що виражає приблизно (апроксимуючу функцію f (Зробити креслення на якому в декартовій прямокутній системі координат зобразити експериментальні точки та графік YX х

54 х Завдання Експериментально отримані значення функції f (які записані в таблиці Методом найменших квадратів знайти функцію виду YXX (для непарних варіантів та Y (для парних XX варіантів апроксимуючу функцію f)) функції х х

55 Завдання Вирішити прикладні задачі на найбільше та найменше значення Знайти розміри циліндра найбільшого об'єму виготовленого із заготовки у формі кулі радіусу R Дах будинку має поперечний переріз у формі рівнобедреного трикутника Які мають бути розміри поперечного перерізу приміщення прямокутної форми вбудованого на горищі щоб об'єм приміщення був найбільшим розміри заготовки найбільшого периметра у формі прямокутного трикутника гіпотенуза якого задана Виготовити з жерсті прямокутну коробку (без кришки даної ємності V з найменшими витратами матеріалу У кулю діаметра d вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об'єму Знайти розміри циліндричної судини найбільшої місткості розмірів Вирізати в його кутах однакові квадрати такого розміру щоб об'єм, що вийшов при загинанні країв ємності, був найбільшим 8 Поверхня прямокутного паралелепіпеда дорівнює Q Знайти розміри паралелепіпеда найбільшого об'єму 9 Сума ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює Знайти розміри паралелепіпеда найбільшого об'єму Знайти прямокутний паралелепіпед найбільшого об'єму за умови що довжина його діагоналі дорівнює d Знайти конус обертання об'єму V з найменшою повною поверхнею У кулю діаметрів d повною поверхнею S знайти той, який має найбільший об'єм Визначити розміри конуса найбільшого об'єму за умови, що його бічна поверхня дорівнює S З усіх прямокутних трикутників площею S знайти такий гіпотенуза якого має найменше значення З усіх трикутників вписаних у коло що мають периметр p знайти найбільший за площею 8 З усіх прямокутників із заданою площею S знайти такий периметр якого має найменше значення 9 З усіх прямокутних паралелепіпедів обсягом V знайти той повна поверхня якого найменша Уявити число у вигляді твору чотирьох позитивних співмножників так, щоб їх сума була найменшою

56 Знайти трикутник даного периметра p який при обертанні біля однієї зі своїх сторін утворює тіло найбільшого об'єму Визначити зовнішні розміри відкритого прямокутного ящика із заданою товщиною стінок d та ємністю V так щоб на його виготовлення було витрачено найменшу кількість матеріалу З усіх трикутників з однаковою основою та одним і тим же кутом при вершині знайти найбільший за площею В шар радіуса R вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об'єму У даний прямий круговий конус вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об'єму При яких розмірах відкритої прямокутної скриньки із заданим об'ємом V його поверхня буде найменшою? 7 Потрібно вирізати з кола сектор таким чином, щоб з нього можна було зробити конусоподібний фільтр з максимальним об'ємом. (Заготівлі: лист у формі кола основа прямокутний лист бічна поверхня СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ Вища математика Методичні вказівки та контрольні завдання (з програмою / За ред ЮС Арутюнова М: Вища школа 98 Данко ПЕ Попов АГ Кожевнікова ТЯ Вища математика у вправах 98 Диференціальне обчислення функцій кількох змінних: Методичні вказівки до виконання контрольної роботи / Сост: НЯ Горячева ЮА Решетников Ульяновськ 999 с Диференційне обчислення функцій кількох змінних: типовий розрахунок з вищої математики / Сост: АВ Анкілов НЯ Горячева ТБ Розпутько Ульяновськ та інтегральне обчислення Т М: Інтеграл-Прес з Письмовий ДП Конспект лекцій з вищої математики: в ч Ч М: Айріс-прес 88 з 7 Збірник задач з математики Ч: Навч. посібник для втузів / під заг ред. М: ФІЗМАТЛІТ - з 8 Фіхтенгольц ГМ Курс диференціального та інтегрального обчислення Т М: ФІЗМАТЛІТ 8 с

57 Навчальне електронне видання ВЕЛЬМІСІВ Петро Олександрович ПОКЛАДОВА Юлія Валеріївна ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЙ КІЛЬКИХ ЗМІННИХ Навчальний посібник Усл печ л Об'єм даних Мб ЕІ Друк Ус 8 Ульяновський державний технічний університет 7 г Ульяновськ вул Півн Вінець Тел: (E-ml:

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «УЛЬЯНІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Ульяновський державний технічний університет ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЙ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ ТИПОВИЙ РОЗРАХУНОК З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ СКЛАДНИКИ:

Федеральне агентство з освіти МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗІЇ І КАРТОГРАФІЇ (МІІГАїК) О. В. Ісакова Л. А. Сайкова НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК ДЛЯ СТУДЕНТІВ З САМОСТОЙНОГО РАЗУ ІЗУ

Функції декількох змінних У багатьох питаннях геометрії природознавства та дисциплін доводиться мати справу з функціями двох трьох і більше змінних Приклади: Площа трикутника S a h де a основа

Диференціювання неявно заданої функції Розглянемо функцію (,) = C (C = const) Це рівняння задає неявну функцію () Припустимо, ми вирішили це рівняння та знайшли явний вираз = () Тепер можна

Укладач ВПБєлкін 1 Лекція 1 Функція декількох змінних 1 Основні поняття Залежність = f (1, n) змінної від змінних 1, n називається функцією n аргументів 1, n Надалі будемо розглядати

Практичне заняття ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДНОЇ ТА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ Диференціювання складної функції Диференціювання неявної функції, що задається одним рівнянням Системи неявних і параметрично заданих

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ГОУ ВПО «СИБІРСЬКА ДЕРЖАВНА ГЕОДЕЗИЧНА АКАДЕМІЯ» ОГ Павловська ЄС Плюсніна МАТЕМАТИКА Частина Функції кількох змінних

Диференціальне обчислення функцій кількох змінних Функції кількох змінних Величина називається функцією змінних величин n якщо кожній точці М n належить деякій множині X поставлено

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «Курганський державний університет» Кафедра «Прикладна математика

ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ Функції однієї незалежної змінної не охоплюють всі залежності, що у природі. Тому природно розширити відоме поняття функціональної залежності та запровадити

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Сибірський державний індустріальний університет»

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Московський державний університет геодезії та картографії ОВ Ісакова, ЛА Сайкова Диференціальне обчислення функцій кількох змінних Рекомендовано

Федеральне агентство залізничного транспорту Уральський державний університет шляхів сполучення Е Е Поповський П П Скачков ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ Типовий розрахунок Єкатеринбург 1 Федеральне

Вступ Методичні вказівки присвячені питанням вивчення та практичного застосування теорії функції двох змінних Кожен параграф відповідає одному практичному заняттю з цієї теми

МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА ОСВІТА ЗАСТАВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ УЛЬЯНІВСЬКА ВИЩЕНЬ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «МАМІ» Кафедра «Вища математика» МА Бодунов, СІ Бородіна, ВВ Показєєв, БЕ Теуш ОІ Ткаченко

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен: вміти застосовувати таблицю похідних та правила диференціювання для обчислення похідних елементарних функцій знаходити похідні

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «Московський авіаційний інститут (національний дослідний

Тема 8 ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ Лекція 8.1. Функції кількох змінних. Приватні похідні План 1. Поняття функції двох і кількох змінних. Межа і безперервність

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Новгородський державний університет імені

5 Точка в якій F F F або хоча б одна з цих похідних не існує називається особливою точкою поверхні У такій точці поверхня може не мати дотичної площини.

Лекції 9 Локальні екстремуми функції багатьох змінних Визначення Нехай функція багатьох змінних f f (задана на (деякій множині D і (деяка точка цієї множини) Точка називається точкою локального

Практичне заняття 5 Екстремум функції багатьох змінних 5 Визначення та необхідні умови екстремуму 5 Деякі відомості про квадратичні форми 53 Достатні умови екстремуму 5 Визначення та необхідні

I типового варіанта «Інтегральне обчислення функцій однієї змінної» Завдання Обчисліть невизначений інтеграл I cos d 9 Представимо цей інтеграл I у вигляді суми інтегралів: d I cos d d d 9 Використовуючи

Практикум: «Формула Тейлора» Якщо функція f () має похідні до (п +)-го порядку включно в інтервалі (0, 0), 0, то для всіх х з цього інтервалу справедлива формула Тейлора (порядку п) () f

Опції кількох змінних Функції кількох змінних Поверхні другого порядку. Визначення функції змінних. Геометрична інтерпретація. Приватні функції. Приватні похідні

Лекція 8 Диференціювання складної функції Розглянемо складну функцію t t t f t t t t t t t t t t t t t t Теорема Нехай функції диференційовані в деякій точці N t t t а функція f ди

Вітаю із початком нового навчального року. Бажаю успіхів у вивченні функцій багатьох змінних та диференціальних рівнянь Веб-сторінка кафедри http://kvm.gubkin.ru 1 Функції багатьох змінних 2 Визначення

I Визначення функції декількох змінних Область визначення При вивченні багатьох явищ доводиться мати справу з функціями двох і більше незалежних змінних. Наприклад температура тіла в даний момент

Функції кількох змінних Функції кількох змінних Екстремум функції кількох змінних. Знаходження максимального та мінімального значення функції у замкнутій області Умовний екстремум Комплексні

Розділ Екстремуми функції двох змінних Екстремум функції двох змінних При вирішенні багатьох економічних завдань доводиться обчислювати найбільше та найменше значення Як приклад розглянемо задачу

ДЕРЖАВНИЙ ЗАКЛАД ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «БІЛОРУСЬКО-РОСІЙСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра «Вища математика» ВИЩА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАЦІЙ

Міністерство освіти Російської Федерації МАТИ - РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім К Е ЦІОЛКОВСЬКОГО Кафедра Вища математика Н Д ВИСК

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до вирішення завдань з дисципліни Вища математика та варіанти контрольних завдань

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ Московський державний університет приладобудування та інформатики кафедра вищої

Лекція Екстремум функції кількох змінних Екстремум функції кількох змінних Необхідні та достатні умови існування екстремуму Точка M, 0) називається точкою мінімуму максимуму) функції

Міністерство освіти Республіки Білорусь Установа освіти «Білоруський державний педагогічний університет імені Максима Танка»

~ 1 ~ ФУНКЦІЯ БАГАТО ЗМІННИХ 3 Функція двох змінних, область визначення, способи завдання та геометричний зміст. Визначення: z f називається функцією двох змінних, якщо кожній парі значень,

Пензенський державний університет ОГНікітіна ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Навчальний посібник Пенза УДК 5755 Нікітіна ОГ Функції кількох змінних Диференційне числення:

Федеральне агентство з сільського господарства Федеральна державна освітня установа вищої професійної освіти Мічурінський державний аграрний університет Кафедра математики

II ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Диференціальні рівняння першого порядку Визначення Співвідношення, в яких невідомі змінні та їх функції знаходяться під знаком похідної або диференціала, називаються

Лекція N. Скалярне поле. Похідна за напрямком. Градієнт. Дотична площина та нормаль до поверхні. Екстремуми функції багатьох змінних. Умовний екстремум. Скалярне поле. Похідна за

Лекції Глава Функції кількох змінних Основні поняття Деякі функції багатьох змінних добре знайомі Наведемо кілька прикладів Для обчислення площі трикутника відома формула Герона S

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «НИЖЕГОРОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ Р Е

Методичні вказівки та варіанти РГР на тему Функція кількох змінних для студентів спеціальності Дизайн. Якщо величина однозначно визначається завданням значень величин і, незалежних один від одного,

П0 Похідна Розглянемо деяку функцію f (), що залежить від аргументу Нехай ця функція визначена в точці 0 і деякому її околиці, безперервна в цій точці та її околицях Розглянемо невелике

БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Е К О Н О М І Ч І С К І Й Ф А К У Л Ь Т Т КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ ІНФОРМАТИКИ І МАТЕМАТИЧНОЇ ЕКОНОМІКИ Функції багатьох змінних Конспект лекцій та практикум для

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ

Теорія поверхонь у диференціальній геометрії Елементарна поверхня Визначення Область на площині називається елементарною областю, якщо вона є способом відкритого кола при гомеоморфізмі,

Лекція 11. УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ 1. Поняття умовного екстремуму.. Методи відшукання умовного екстремуму. 1. Поняття умовного

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ СИБІРСЬКА ДЕРЖАВНА ГЕОДЕЗИЧНА АКАДЕМІЯ Ю.Г. Костіна, Г.П. Мартинов ВИЩА МАТЕМАТИКА Диференціальне обчислення функцій кількох змінних,

Домашні контрольні роботи (ДКР) з математичного аналізу є однією з основних форм поточного контролю самостійної роботи студентів. Приблизний час, необхідний виконання ДКР,

Основна форма навчальних занять студентів-заочників самостійна робота над навчальним матеріалом, що складається з таких складових елементів: вивчення матеріалу за підручниками, вирішення завдань, самоперевірка

1. Побудувати область визначення таких функцій. a) Оскільки функції визначено при тому область визначення функції є безліч - напівплощину. b) Оскільки область визначення функції є

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ 1. Основні поняття. Якщо кожній парі незалежних один від одного змінних, з деякої множини D ставиться у відповідність змінна величина, то називається функцією двох

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РЕСПУБЛІКИ БЕЛАРУСЬ Білоруський національний технічний університет Кафедра «Вища математика 1» Г. І. Лебедєва Г. А. Романюк І. М. Мартиненко ФУНКЦІЇ КІЛЬКИХ ЗМІННИХ

Транскрипт

Схожі статті