Просте подія в теорії ймовірності. Теорія імовірності. Базові терміни і поняття. Правило множення ймовірностей незалежних подій
Вчення про закони, яким підкоряються т. Зв. випадкові явища. Словник іншомовних слів, які увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910 ... Словник іншомовних слів російської мови
теорія імовірності - - [Л.Г.Суменко. Англо російський словник з інформаційних технологій. М .: ДП ЦНДІЗ, 2003.] Тематики інформаційні технології в цілому EN probability theorytheory of chancesprobability calculation ... Довідник технічного перекладача
Теорія імовірності - є частина математики, що вивчає залежності між можливостями (див. Імовірність і Статистика) різних подій. Перерахуємо найважливіші теореми, які стосуються цієї науці. Імовірність появи одного з декількох несумісних подій дорівнює ... ... енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза і І.А. Ефрона
ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ - математич. наука дозволяє по можливостям одних подій випадкових (див.) знаходити ймовірності випадкових подій, пов'язаних к. л. чином з першими. Сучасна Т.В. заснована на аксіоматиці (див. Метод аксіоматичний) А. Н. Колмогорова. На ... ... Російська соціологічна енциклопедія
Теорія імовірності - розділ математики, в якому за даними можливостям одних випадкових подій знаходять ймовірності інших подій, пов'язаних певним чином з першими. Теорія ймовірностей вивчає також випадкові величини і випадкові процеси. Одна з основних ... ... концепції сучасного природознавства. Словник основних термінів
теорія імовірності - tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. probability theory vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теорія ймовірностей, f pranc. théorie des probabilités, f ... Fizikos terminų žodynas
Теорія імовірності - ... Вікіпедія
Теорія імовірності - математична дисципліна, що вивчає закономірності випадкових явищ ... Почала сучасного природознавства
ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ - (probability theory) см. Імовірність ... Великий тлумачний соціологічний словник
Теорія ймовірностей і її застосування - ( «Теорія ймовірностей і її застосування»,) науковий журнал Відділення математики АН СРСР. Публікує оригінальні статті та короткі повідомлення по теорії ймовірностей, загальних питань математичної статистики та їх застосуванням в природознавстві і ... ... Велика Радянська Енциклопедія
книги
- Теорія імовірності. , Вентцель Е.С. .. Книга являє собою підручник, призначений для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного втузовского курсу і цікавляться технічними пріложеніямітеоріі ймовірностей, в ... Купити за 2056 грн (тільки Україна)
- Теорія імовірності. , Вентцель Е.С. .. Книга являє собою підручник, призначений для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного втузовского курсу і цікавляться технічними додатками теорії ймовірностей, в ...
Математика для програмістів: теорія ймовірностей
Іван Камишан
Деякі програмісти після роботи в області розробки звичайних комерційних додатків замислюються про те, щоб освоїти машинне навчання і стати аналітиком даних. Часто вони не розуміють, чому ті чи інші методи працюють, і більшість методів машинного навчання здаються магією. Насправді, машинне навчання базується на математичній статистиці, а та, в свою чергу, заснована на теорії ймовірностей. Тому в цій статті ми приділимо увагу базовим поняттям теорії ймовірностей: торкнемося визначення ймовірності, розподілу і розберемо кілька простих прикладів.
Можливо, вам відомо, що теорія ймовірностей умовно ділиться на 2 частини. Дискретна теорія ймовірностей вивчає явища, які можна описати розподілом з кінцевим (або рахунковим) кількістю можливих варіантів поведінки (кидання гральних кісток, монеток). Безперервна теорія ймовірностей вивчає явища, розподілені на якомусь щільному безлічі, наприклад на відрізку або в колі.
Можна розглянути предмет теорії ймовірностей на простому прикладі. Уявіть себе розробником шутера. Невід'ємною частиною розробки ігор цього жанру є механіка стрільби. Ясно, що шутер в якому вся зброя стріляє абсолютно точно, буде малоцікавий гравцям. Тому, обов'язково потрібно додавати зброї розкид. Але проста рандомізація точок попадання зброї не дозволить зробити його тонке налаштування, тому, коригування ігрового балансу буде складна. У той же час, використовуючи випадкові величини і їх розподілу можна проаналізувати те, як буде працювати зброю з заданим розкидом, і допоможе внести необхідні корективи.
Простір елементарних фіналів
Припустимо, з деякого випадкового експерименту, який ми можемо багато разів повторювати (наприклад, кидання монети), ми можемо витягти деяку формализуемость інформацію (випав орел чи решка). Ця інформація називається елементарним результатом, при цьому доцільно розглядати безліч всіх елементарних фіналів, часто позначається буквою Ω (Омега).
Структура цього простору цілком залежить від природи експерименту. Наприклад, якщо розглядати стрілянину по досить великий кругової мішені, - простором елементарних фіналів буде коло, для зручності розміщений з центром в нулі, а результатом - точка в цьому колі.
Крім того, розглядають безлічі елементарних фіналів - події (наприклад, потрапляння в «десятку» - це концентричне коло маленького радіуса з мішенню). У дискретному випадку все досить просто: ми можемо отримати будь-яку подію, включаючи або виключаючи елементарні результати за кінцевий час. У безперервному ж випадку все набагато складніше: нам знадобиться деякий досить гарне сімейство множин для розгляду, зване алгеброю за аналогією з простими числами, які можна додавати, віднімати, ділити і множити. Безлічі в алгебрі можна перетинати та об'єднувати, при цьому результат операції буде перебувати в алгебрі. Це дуже важлива властивість для математики, яка лежить за всіма цими поняттями. Мінімальна сімейство складається всього з двох множин - з порожньої множини і простору елементарних фіналів.
Міра і ймовірність
Імовірність - це спосіб робити висновки про поведінку дуже складних об'єктів, не вникаючи в принцип їх роботи. Таким чином, ймовірність визначається як функція від події (з того самого хорошого сімейства множин), яка повертає число - деяку характеристику того, наскільки часто може відбуватися така подія в реальності. Для визначеності математики домовилися, що це число повинне лежати між нулем і одиницею. Крім того, до цієї функції пред'являються вимоги: вірогідність неможливого події нульова, ймовірність всієї множини результатів одинична, і ймовірність об'єднання двох незалежних подій (непересічних множин) дорівнює сумі ймовірностей. Інша назва ймовірності - імовірнісна міра. Найчастіше використовується Лебегова міра, яка узагальнює поняття довжина, площа, об'єм на будь-які розмірності (n -мірний обсяг), і таким чином вона може бути застосовна для широкого класу множин.
Разом сукупність безлічі елементарних фіналів, сімейства множин та імовірнісної міри називається імовірнісним простором. Розглянемо, яким чином можна побудувати імовірнісний простір для прикладу зі стріляниною в мішень.
Розглянемо стрілянину в велику круглу мішень радіуса R, в яку неможливо промахнутися. Безліччю елементарних подій покладемо коло з центром на початку координат радіуса R. Оскільки ми збираємося використовувати площу (міру Лебега для двовимірних множин) для опису ймовірності події, то будемо використовувати сімейство вимірних (для яких цей захід існує) множин.
Примітка Насправді, це технічний момент і в простих завданнях процес визначення заходів і сімейства множин не грає особливої \u200b\u200bролі. Але розуміти, що ці два об'єкти існують, необхідно, адже в багатьох книгах по теорії ймовірності теореми починаються зі слів: « Нехай (Ω, Σ, P) - імовірнісний простір ...».
Як уже сказано вище, ймовірність всього простору елементарних фіналів повинна дорівнювати одиниці. Площа (двовимірна міра Лебега, яку ми позначимо λ 2 (A), де А - подія) кола по добре відомої зі школи формулою дорівнює π * R 2. Тоді ми можемо ввести ймовірність P (A) \u003d λ 2 (A) / (π * R 2), і ця величина вже буде лежати між 0 і 1 для будь-якої події А.
Якщо припустити, що потрапляння в будь-яку точку мішені равновероятно, пошук ймовірності попадання стрільцем в якусь то область мішені зводиться до пошуку площі цієї множини (звідси можна зробити висновок, що ймовірність попадання в конкретну точку нульова, адже площа точки дорівнює нулю).
Наприклад, ми хочемо дізнатися, наскільки ймовірним є те, що стрілець потрапить в «десятку» (подія A - стрілок потрапив в потрібне безліч). У нашій моделі, «десятка» представляється колом з центром в нулі і радіусом r. Тоді ймовірність попадання в це коло P (A) \u003d λ 2 / (A) π * R 2 \u003d π * r 2 / (π R 2) \u003d (r / R) 2.
Це одна з найпростіших різновидів завдань на «геометричну ймовірність», - більшість таких завдань вимагають пошуку площі.
випадкові величини
Випадкова величина - функція, яка переводить елементарні результати в речові числа. Наприклад, у розглянутій задачі ми можемо ввести випадкову величину ρ (ω) - відстань від точки попадання до центру мішені. Простота нашої моделі дозволяє явно задати простір елементарних фіналів: Ω \u003d (ω \u003d (x, y) такі числа, що x 2 + y 2 ≤ R 2). Тоді випадкова величина ρ (ω) \u003d ρ (x, y) \u003d x 2 + y 2.
Засоби абстракції від імовірнісного простору. Функція розподілу та щільність
Добре, коли структура простору добре відома, але насправді так буває далеко не завжди. Навіть якщо структура простору відома, вона може бути складна. Для опису випадкових величин, якщо їх вираження невідомо, існує поняття функції розподілу, яку позначають F ξ (x) \u003d P (ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Функція розподілу володіє декількома властивостями:
- По-перше, вона знаходиться між 0 і 1.
- По-друге, вона не убуває, коли її аргумент x зростає.
- По-третє, коли число -x дуже велике, функція розподілу близька до 0, а коли саме х велика, функція розподілу близька до 1.
Ймовірно, сенс цієї конструкції при першому читанні не дуже зрозумілий. Одне з корисних властивостей - функція розподілу дозволяє шукати ймовірність того, що величина приймає значення з інтервалу. Отже, P (випадкова величина ξ приймає значення з інтервалу) \u003d F ξ (b) -F ξ (a). Виходячи з цього рівності, можемо досліджувати, як змінюється ця величина, якщо кордону a і b інтервалу близькі.
Нехай d \u003d b-a, тоді b \u003d a + d. А отже, F ξ (b) -F ξ (a) \u003d F ξ (a + d) - F ξ (a). При малих значеннях d, зазначена вище різниця так само мала (якщо розподіл безперервне). Має сенс розглядати відношення p ξ (a, d) \u003d (F ξ (a + d) - F ξ (a)) / d. Якщо при досить малих значеннях d це відношення мало відрізняється від деякої константи p ξ (a), що не залежить від d, то в цій точці випадкова величина має щільність, рівну p ξ (a).
Примітка Читачі, які раніше стикалися поняттям похідної, можуть помітити що p ξ (a) - похідна функції F ξ (x) в точці a. У всякому разі, можна вивчити поняття похідної в присвяченій цій темі статті на сайті Mathprofi.
Тепер сенс функції розподілу можна визначити так: її похідна (щільність p ξ, яку ми визначили вище) в точці а описує, наскільки часто випадкова величина буде потрапляти в невеликий інтервал з центром в точці а (околиця точки а) в порівнянні з околицями інших точок . Іншими словами, чим швидше росте функція розподілу, тим більше вірогідна поява такого значення при випадковому експерименті.
Повернемося до прикладу. Ми можемо обчислити функцію розподілу для випадкової величини, ρ (ω) \u003d ρ (x, y) \u003d x 2 + y 2, яка позначає відстань від центру до точки випадкового попадання в мішень. За визначенням F ρ (t) \u003d P (ρ (x, y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Ми можемо знайти щільність p ρ цієї випадкової величини. Відразу зауважимо, що поза інтервалу вона нульова, тому що функція розподілу на цьому проміжку незмінна. На кінцях цього інтервалу щільність не визначена. Усередині інтервалу її можна знайти, використовуючи таблицю похідних (наприклад з на сайті Mathprofi) і елементарні правила диференціювання. Похідна від t 2 / R 2 дорівнює 2t / R 2. Значить, щільність ми знайшли на всій осі дійсних чисел. Ще одна корисна властивість щільності - ймовірність того, що функція приймає значення з проміжку, обчислюється за допомогою інтеграла від щільності по цьому проміжку (ознайомитися з тим, що це таке, можна в статтях про власний, несобственном, невизначеному інтеграли на сайті Mathprofi). При першому читанні, інтеграл по проміжку від функції f (x) можна уявляти собі як площа криволінійної трапеції. Її сторонами є фрагмент осі Ох, проміжок (горизонтальній осі координат), вертикальні відрізки, що з'єднують точки (a, f (a)), (b, f (b)) на кривій з точками (a, 0), (b, 0 ) на осі Ох. Останньою стороною є фрагмент графіка функції f від (a, f (a)) до (b, f (b)). Можна говорити про інтеграл по проміжку (-∞; b], коли для досить великих негативних значень, a значення інтеграла по проміжку буде змінюватися дуже малий в порівнянні зі зміною числа a. Аналогічним чином визначається і інтеграл по проміжками)
