Samavõrdne kolmnurk on alati terava nurga all. Kolmnurga omadused. Sealhulgas võrdsus ja sarnasus, võrdsed kolmnurgad, kolmnurga küljed, kolmnurga nurgad, kolmnurga pindala - arvutusvalemid, parem kolmnurk, võrdsed

Parempoolsete kolmnurkade võrdsuse märgid

Kolmnurkade tüübid

Vaatleme kolme punkti, mis ei asu ühel sirgel, ja kolme neid punkte ühendavat segmenti (joonis 1).

Kolmnurk on nende segmentidega piiratud tasapinna osa, segmente nimetatakse kolmnurga külgedeks ja segmentide otsad (kolm punkti, mis ei asu ühel sirgel) on kolmnurga tipud.

Tabelis 1 on loetletud kõik võimalikud kolmnurkade tüübid. sõltuvalt nende nurkade suurusest .

Tabel 1 - kolmnurkade tüübid sõltuvalt nurkade suurusest

Joonistamine	Kolmnurga tüüp	Definitsioon
	Äge kolmnurk	Kolmnurk, mille kõik nurgad on teravad nimetatakse terava nurga all
	Parempoolne kolmnurk	Kolmnurk, mille sirgjoone üks nurkadest nimetatakse ristkülikukujuliseks
	Kindel kolmnurk	Kolmnurk, mille üks nurkadest on loll nimetatakse nõtkeks

Äge kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurk, mille kõik nurgad on teravad nimetatakse terava nurga all

Parempoolne kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurk, mille sirgjoone üks nurkadest nimetatakse ristkülikukujuliseks

Kindel kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurk, mille üks nurkadest on loll nimetatakse nõtkeks

Sõltuvalt külgede pikkusest Seal on kahte olulist tüüpi kolmnurki.

Tabel 2 - võrdsed ja võrdkülgsed kolmnurgad

Joonistamine	Kolmnurga tüüp	Definitsioon
	Võrdkülgne kolmnurk	küljed, ja kolmandat külge nimetatakse võrdkülgse kolmnurga aluseks
	Võrdkülgne (õige) kolmnurk	Kolmnurka, milles kõik kolm külge on võrdsed, nimetatakse võrdkülgseks või korrapäraseks kolmnurgaks

Võrdkülgne kolmnurk

Definitsioon: Kahe võrdse küljega kolmnurka nimetatakse võrdkülgseks kolmnurgaks. Sel juhul nimetatakse kahte võrdset külge küljed, ja kolmandat külge nimetatakse võrdkülgse kolmnurga aluseks

Võrdkülgne (korrapärane) kolmnurk

Definitsioon: Kolmnurka, milles kõik kolm külge on võrdsed, nimetatakse võrdkülgseks või korrapäraseks kolmnurgaks

Kolmnurkade võrdsuse märgid

Kolmnurki nimetatakse võrdseks, kui saab kombineerida ülekattega .

Tabel 3 näitab kolmnurkade võrdsuse märgid.

Tabel 3 - Kolmnurkade võrdsuse märgid

Joonistamine	Funktsiooni nimi	Märkide sõnastus
	kõrval kaks külge ja nendevaheline nurk
	Kolmnurkade võrdusmärk kõrval külg ja kaks külgnevat nurka
	Kolmnurkade võrdusmärk kõrval kolmele peole

Kolmnurkade võrdusmärk kahest küljest ja nendevahelisest nurgast

Märkide sõnastus. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis on sellised kolmnurgad võrdsed

Kolmnurkade võrdusmärk küljel ja kahes külgnevas nurgas

Märkide sõnastus. Kui ühe külgneva kolmnurga külg ja kaks nurka on vastavalt võrdsed teise külgneva kolmnurga külje ja kahe nurgaga, siis on sellised kolmnurgad võrdsed

Kolmnurkade võrdusmärk kolmest küljest

Märkide sõnastus. Kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad võrdsed

Parempoolsete kolmnurkade võrdsuse märgid

Parempoolsete kolmnurkade külgedel on tavaks kasutada järgmisi nimesid.

Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis asub täisnurga vastas (joonis 2), ülejäänud kahte külge nimetatakse jalgadeks.

Tabel 4 ja parempoolsete kolmnurkade võrdsusmärgid

Joonistamine	Funktsiooni nimi	Märkide sõnastus
	kõrval kaks jalga
	Parempoolsete kolmnurkade võrdusmärk kõrval külg ja külgnev terav nurk
	Parempoolsete kolmnurkade võrdusmärk kõrval külg- ja vastassuunaline teravnurk	Kui ühe täisnurga kolmnurga jalg ja vastassuunaline teravnurk on vastavalt võrdsed teise täisnurga kolmnurga jala ja vastassuunalise teravnurgaga, siis on sellised õiged kolmnurgad võrdsed
	Parempoolsete kolmnurkade võrdusmärk kõrval hüpotenuus ja äge nurk	Kui ühe täisnurga kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on vastavalt võrdsed teise täisnurgaga kolmnurga hüpotenuusi ja terava nurgaga, siis on sellised täisnurksed kolmnurgad võrdsed
	Parempoolsete kolmnurkade võrdusmärk kõrval katheti ja hüpotenuus	Kui ühe täisnurga kolmnurga jalg ja hüpotenuus on vastavalt võrdsed teise täisnurkse kolmnurga jalaga ja hüpotenuusiga, siis on sellised täisnurga kolmnurgad võrdsed

Kahe jala parempoolsete kolmnurkade võrdsuse märk

Märkide sõnastus. Kui ühe täisnurga kolmnurga kaks jalga on vastavalt võrdsed teise täisnurga kolmnurga kahe jalaga, siis on sellised paremad kolmnurgad võrdsed

Parempoolsete kolmnurkade võrdusmärk küljel ja külgnevas teravas nurgas

Märkide sõnastus. Kui ühe täisnurga kolmnurga jalg ja külgnev teravnurk on vastavalt võrdsed teise täisnurga kolmnurga jala ja külgneva teravnurgaga, siis on sellised õiged kolmnurgad võrdsed

Parempoolsete kolmnurkade võrdusmärk küljel ja vastassuunas terava nurga all

Kolmnurk - see on 3 küljega (või 3 nurgaga) hulknurk. Kolmnurga külgi tähistatakse sageli väikeste tähtedega, mis vastavad suurtele tähtedele, mis tähistavad tagumisi tippe.

Äge kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, milles kõik kolm nurka on teravad.

Kindel kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, mille üks nurkadest on nõtke.

Parempoolne kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, mille sirge üks nurk on teisisõnu võrdne 90 °; nimetatakse täisnurga moodustavaid külgi a, b jalad; parempoolse nurga vastas asuv külg c nimetatakse hüpotenuus.

Võrdkülgne kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, milles selle kaks külge on võrdsed (a \u003d c); neid võrdseid külgi nimetatakse külgKolmandaks osapooleks nimetatakse kolmnurga alus.

Võrdkülgne kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, mille kõik küljed on võrdsed (a \u003d b \u003d c). Sel juhul pole kolmnurgas ükski selle külg võrdne (abc), siis see mitte võrdkülgne kolmnurk.

Kolmnurkade peamised omadused

Mis tahes kolmnurgas:

Suurema külje vastas asub suurem nurk ja vastupidi.

Võrdsed nurgad asuvad võrdsete külgede suhtes ja vastupidi. Nimelt on kõik võrdkülgse kolmnurga nurgad võrdsed.

Kolmnurga nurkade summa on 180 °.

Jätkates kolmnurga külgedest, saame välimise nurga. Kolmnurga välisnurk on võrdne sisenurkade summaga, mis pole sellega külgnevad.

Pole tähtis, milline kolmnurga külg on väiksem kui kahe teise külje summa ja suurem kui nende erinevus (a b - c; b a - c; c a - b).

Kolmnurkade võrdsuse märgid

Kolmnurgad on võrdsed, sel juhul on nad vastavalt võrdsed:

kaks külge ja nendevaheline nurk;

kaks nurka ja nendega külgnev külg;

kolm külge.

Parempoolsete kolmnurkade võrdsuse märgid

Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, sel juhul täidetakse ühte järgmistest kriteeriumidest:

nende jalad on võrdsed;

1. kolmnurga jalg ja hüpotenuus on võrdsed teise jala ja hüpotenuusiga;

1. kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on võrdsed teise hüpotenuusi ja terava nurgaga;

1. kolmnurga jalg ja sellega külgnev teravnurk on võrdsed teise ja sellega külgneva terava nurgaga;

1. kolmnurga jalg ja vastassuunaline teravnurk on võrdsed jalaga ja teise vastaskülje teravnurk.

Kõrguskolmnurk on vähemalt mingist tipust tagaküljele (või selle jätkule) langenud risti. Seda külge kutsutakse kolmnurga alus. Kolmnurga kolm kõrgust ristuvad alati ühes punktis, nn kolmnurga ortotsent.

Äkilise nurga all asetseva kolmnurga ortotsenter asub kolmnurga sees ja nõtke kolmnurga ortotsent on väljaspool; täisnurga kolmnurga ortotsent ühtib täisnurga tipuga.

Mediaan - see on segment, mis ühendab kolmnurga mis tahes ülaosa tagumise külje keskosaga. Kolmnurga kolm mediaani ristuvad ühes punktis, asudes alati kolmnurga sees ja on selle massikeskus. See punkt jagab iga mediaani suhtega 2: 1, lugedes ülevalt.

Bisektor - see on nurga poolitaja segment nurgaga ülaosast tagumise küljega ristumise punktini. Kolmnurga kolm poolitajat ristuvad ühes punktis, asetsedes alati kolmnurga sees ja moodustades kirjutatud ringi keskpunkti. Bisektor jagab tagumise külje proportsionaalselt külgnevate külgedega.

Keskmine risti on segmendi (külje) keskpunktist tõmmatud risti. Kolmnurga kolm keskmist perpendikulaari ristuvad ühes punktis, mis on ümbritsetud ringi keskpunkt.

AT äge kolmnurk see punkt asub kolmnurga sees, nõtkes - väljas, ristkülikukujuliselt - hüpotenuusi keskel. Ortotsenter, massi kese, kirjeldatud keskpunkt ja kirjutatud ringi kese langevad kokku ainult võrdkülgses kolmnurgas.

Pythagorase aksioom

Ristkülikukujulise kolmnurga korral on hüpotenuse ruudu pikkus võrdne jalgade ruutude pikkusega.

Pythagorase aksioomi kinnitus

Konstrueerime ruudu AKMB, mille küljeks on hüpotenuus AB. Seejärel jätkame parempoolse kolmnurga ABC külgi, nii et saame ruudu CDEF, mille külg on a + b. Nüüd on selge, et ruudu CDEF pindala on (a + b) 2. Teisest küljest võrdub see pindala nelja parema kolmnurga ja ruudu AKMB pindalade summaga, teisisõnu,

c 2 + 4 (ab / 2) \u003d c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab \u003d (a + b) 2,

ja meil on absoluutselt:

c 2 \u003d a 2 + b 2.

Kuvasuhe juhuslikus kolmnurgas

Üldjuhul (juhusliku kolmnurga korral) on meil:

c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

kus C on nurk külgede a ja b vahel.

school-club.ru - mis on kolmnurgad?

math.ru - kolmnurkade tüübid;

raduga.rkc-74.ru - kõige väiksematest kolmnurkade kohta.

Lisaks saidile:

Kuidas klassifitseeritakse kolmnurgad?

Kuidas leida kolmnurga pindala?

Kuidas leida täisnurga kolmnurga pindala?

Kuidas leida kolmnurga all oleva ringi raadiust?

Kuidas leida kolmnurga ümber ümbritsetud ringi raadiust?

Kuidas tõestada koosinuste aksioomi?

Täna läheme geomeetria riiki, kus tutvume erinevat tüüpi kolmnurkadega.

Mõelge geomeetrilised arvud ja leidke nende seast "üleliigne" (joonis 1).

Joon. 1. Näiteks illustratsioon

Näeme, et joonised nr 1, 2, 3, 5 on nelinurgad. Igal neist on oma nimi (joonis 2).

Joon. 2. Nelinurgad

See tähendab, et ekstra-kujund on kolmnurk (joonis 3).

Joon. 3. Näiteks illustratsioon

Kolmnurk on arv, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu ühel sirgel, ja kolmest segmendist, mis ühendavad neid punkte paaridena.

Punktid nimetatakse kolmnurga tipud, segmendid - tema peod. Kolmnurga küljed moodustavad kolmnurga tippudel on kolm nurka.

Kolmnurga peamised märgid on kolm külge ja kolm nurka. Nurgas on kolmnurgad teravnurkne, ristkülikukujuline ja nõtke.

Kolmnurka nimetatakse terava nurga all, kui kõik kolm nurka on teravad, see tähendab vähem kui 90 ° (joonis 4).

Joon. 4. teravnurkne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse ristkülikuks, kui selle üks nurk on 90 ° (joonis 5).

Joon. 5. Parempoolne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse nilbe nurga all, kui selle üks nurk on nõtke, see tähendab rohkem kui 90 ° (joonis 6).

Joon. 6. Lihtne kolmnurk

Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad võrdkülgsed, ühesuunalised, mitmekülgsed.

Võrdkülge on kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed (joonis 7).

Joon. 7. võrdkülgne kolmnurk

Neid parteisid kutsutakse külg, Kolmas külg - põhjus. Samavõrdse kolmnurga korral on nurgad aluses võrdsed.

Samaväärsed kolmnurgad on äge ja rõve(joonis 8) .

Joon. 8. Ägedad ja nõtked võrdsed kolmnurgad

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, milles kõik kolm külge on võrdsed (joonis 9).

Joon. 9. võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgses kolmnurgas kõik nurgad on võrdsed. Samaväärsed kolmnurgad on alati terava nurga all.

Kolmnurka nimetatakse mitmekülgseks, mille kõik kolm külge on erineva pikkusega (joonis 10).

Joon. 10. Mitmekülgne kolmnurk

Täitke ülesanne. Jagage need kolmnurgad kolme rühma (joonis 11).

Joon. 11. Ülesande illustratsioon

Esmalt jaotame nurkade suuruse järgi.

Teravad kolmnurgad: nr 1, nr 3.

Ristkülikukujulised kolmnurgad: nr 2, nr 6.

Silmatorkavad kolmnurgad: nr 4, nr 5.

Jaotame need kolmnurgad rühmadesse vastavalt võrdsete külgede arvule.

Mitmekesised kolmnurgad: nr 4, nr 6.

Samaväärsed kolmnurgad: nr 2, nr 3, nr 5.

Võrdkülgne kolmnurk: nr 1.

Vaadake jooniseid.

Mõelge, millise tüki traadist iga kolmnurk tehti (joonis 12).

Joon. 12. Tööülesande illustratsioon

Võite seda niimoodi põhjendada.

Esimene juhetükk on jagatud kolmeks võrdseks osaks, nii et saate sellest teha võrdkülgse kolmnurga. Joonisel on teda kujutatud kolmandaks.

Teine traatükk on jagatud kolmeks erinevaks osaks, nii et sellest saab teha mitmekülgse kolmnurga. Joonisel näidatakse teda esimesena.

Kolmas traaditükk jaguneb kolmeks osaks, kus need kaks osa on sama pikkusega, mis tähendab, et sellest saab teha võrdkülgse kolmnurga. Joonisel on teda kujutatud teisena.

Täna kohtusime tunnis erinevat tüüpi kolmnurkadega.

Bibliograafia

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova jt Matemaatika: õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa - M .: "Haridus", 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova jt Matemaatika: õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Haridus", 2012.
3. M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: Juhised õpetaja jaoks. 3. klass. - M.: Haridus, 2012.
4. Normatiivdokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M .: "Haridus", 2011.
5. Venemaa kool: programmid algkool. - M .: "Haridus", 2011.
6. S.I. Volkova. Matemaatika: Kontrollitööd. 3. klass. - M.: Haridus, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: “Eksam”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Kodutöö

1. Täitke fraasid.

a) Kolmnurk on arv, mis koosneb ..., mis ei asetse ühel sirgel ja ... ühendab neid punkte paarisuunas.

b) Punktid kutsutakse … , segmendid - tema … . Kolmnurga küljed moodustavad kolmnurga tipud ….

c) Nurga all on kolmnurgad ..., ..., ....

d) Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad ..., ..., ....

2. Joonista

ja) täisnurkne kolmnurk;

b) teravnurkne kolmnurk;

c) nõtke kolmnurk;

d) võrdkülgne kolmnurk;

e) mitmekülgne kolmnurk;

f) võrdkülgne kolmnurk.

3. Koostage kaasõpilastele õppetund.

Täna läheme geomeetria riiki, kus tutvume erinevat tüüpi kolmnurkadega.

Mõelge geomeetrilistele kujunditele ja leidke nende hulgast "ekstra" (joonis 1).

Joon. 1. Näiteks illustratsioon

Näeme, et joonised nr 1, 2, 3, 5 on nelinurgad. Igal neist on oma nimi (joonis 2).

Joon. 2. Nelinurgad

See tähendab, et ekstra-kujund on kolmnurk (joonis 3).

Joon. 3. Näiteks illustratsioon

Kolmnurk on arv, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu ühel sirgel, ja kolmest segmendist, mis ühendavad neid punkte paaridena.

Punktid nimetatakse kolmnurga tipud, segmendid - tema peod. Kolmnurga küljed moodustavad kolmnurga tippudel on kolm nurka.

Kolmnurga peamised märgid on kolm külge ja kolm nurka. Nurgas on kolmnurgad teravnurkne, ristkülikukujuline ja nõtke.

Kolmnurka nimetatakse terava nurga all, kui kõik kolm nurka on teravad, see tähendab vähem kui 90 ° (joonis 4).

Joon. 4. teravnurkne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse ristkülikuks, kui selle üks nurk on 90 ° (joonis 5).

Joon. 5. Parempoolne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse nilbe nurga all, kui selle üks nurk on nõtke, see tähendab rohkem kui 90 ° (joonis 6).

Joon. 6. Lihtne kolmnurk

Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad võrdkülgsed, ühesuunalised, mitmekülgsed.

Võrdkülge on kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed (joonis 7).

Joon. 7. võrdkülgne kolmnurk

Neid parteisid kutsutakse külg, Kolmas külg - põhjus. Samavõrdse kolmnurga korral on nurgad aluses võrdsed.

Samaväärsed kolmnurgad on äge ja rõve(joonis 8) .

Joon. 8. Ägedad ja nõtked võrdsed kolmnurgad

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, milles kõik kolm külge on võrdsed (joonis 9).

Joon. 9. võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgses kolmnurgas kõik nurgad on võrdsed. Samaväärsed kolmnurgad on alati terava nurga all.

Kolmnurka nimetatakse mitmekülgseks, mille kõik kolm külge on erineva pikkusega (joonis 10).

Joon. 10. Mitmekülgne kolmnurk

Täitke ülesanne. Jagage need kolmnurgad kolme rühma (joonis 11).

Joon. 11. Ülesande illustratsioon

Esmalt jaotame nurkade suuruse järgi.

Teravad kolmnurgad: nr 1, nr 3.

Ristkülikukujulised kolmnurgad: nr 2, nr 6.

Silmatorkavad kolmnurgad: nr 4, nr 5.

Jaotame need kolmnurgad rühmadesse vastavalt võrdsete külgede arvule.

Mitmekesised kolmnurgad: nr 4, nr 6.

Samaväärsed kolmnurgad: nr 2, nr 3, nr 5.

Võrdkülgne kolmnurk: nr 1.

Vaadake jooniseid.

Mõelge, millise tüki traadist iga kolmnurk tehti (joonis 12).

Joon. 12. Tööülesande illustratsioon

Võite seda niimoodi põhjendada.

Esimene juhetükk on jagatud kolmeks võrdseks osaks, nii et saate sellest teha võrdkülgse kolmnurga. Joonisel on teda kujutatud kolmandaks.

Teine traatükk on jagatud kolmeks erinevaks osaks, nii et sellest saab teha mitmekülgse kolmnurga. Joonisel näidatakse teda esimesena.

Kolmas traaditükk jaguneb kolmeks osaks, kus need kaks osa on sama pikkusega, mis tähendab, et sellest saab teha võrdkülgse kolmnurga. Joonisel on teda kujutatud teisena.

Täna kohtusime tunnis erinevat tüüpi kolmnurkadega.

Bibliograafia

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova jt Matemaatika: õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa - M .: "Haridus", 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova jt Matemaatika: õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Haridus", 2012.
3. M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: juhised õpetajale. 3. klass. - M.: Haridus, 2012.
4. Normatiivdokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M .: "Haridus", 2011.
5. “Venemaa kool”: põhikooli programmid. - M .: "Haridus", 2011.
6. S.I. Volkova. Matemaatika: kontrolltöö. 3. klass. - M.: Haridus, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: “Eksam”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Kodutöö

1. Täitke fraasid.

a) Kolmnurk on arv, mis koosneb ..., mis ei asetse ühel sirgel ja ... ühendab neid punkte paarisuunas.

b) Punktid kutsutakse … , segmendid - tema … . Kolmnurga küljed moodustavad kolmnurga tipud ….

c) Nurga all on kolmnurgad ..., ..., ....

d) Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad ..., ..., ....

2. Joonista

a) täisnurkne kolmnurk;

b) teravnurkne kolmnurk;

c) nõtke kolmnurk;

d) võrdkülgne kolmnurk;

e) mitmekülgne kolmnurk;

f) võrdkülgne kolmnurk.

3. Koostage kaasõpilastele õppetund.

Lihtsaim koolis uuritav hulknurk on kolmnurk. See on õpilastele arusaadavam ja vastab vähem raskustele. Vaatamata asjaolule, et on olemas erinevat tüüpi kolmnurki, millel on erilised omadused.

Millist kuju nimetatakse kolmnurgaks?

Moodustatud kolme punkti ja segmendi kaupa. Esimesi nimetatakse tippudeks, teise nimetatakse külgedeks. Pealegi peavad kõik kolm segmenti olema ühendatud nii, et nende vahel moodustuksid nurgad. Siit ka numbri "kolmnurk" nimi.

Erinevused nimedes nurkade lõikes

Kuna need võivad olla teravad, nürid ja sirged, määratakse kolmnurkade tüübid nende nimedega. Seetõttu on selliseid arvandmeid kolm rühma.

• Esimene. Kui kolmnurga kõik nurgad on teravad, siis on sellel nimi teravnurkne. Kõik on loogiline.

• Teine. Üks nurkadest on nõtke, nii et kolmnurk on nõtke. Kusagil pole lihtsam.

• Kolmas. Seal on 90-kraadine nurk, mida nimetatakse sirgeks. Kolmnurk muutub ristkülikukujuliseks.

Nimeerinevused kõrvuti

Sõltuvalt osapoolte omadustest eristatakse seda tüüpi kolmnurki:

üldjuhtum on mitmekülgne, kus kõik küljed on suvalise pikkusega;

võrdkülsused, mille kahel küljel on samad arvväärtused;

võrdkülgne, selle kõigi külgede pikkus on sama.

Kui ülesandes ei täpsustata konkreetset tüüpi kolmnurka, peate joonistama suvalise. Kõik nurgad on teravad ja külgede pikkus on erinev.

Kõigil kolmnurkadel ühised omadused

1. Kui liidad kokku kolmnurga kõik nurgad, saad arvu, mis on võrdne 180º. Ja ükskõik mis liiki ta ka pole. See reegel kehtib alati.
2. Kolmnurga kummagi külje arvväärtus on väiksem kui ülejäänud kaks kokku volditud. Pealegi pole see enam kui nende erinevus.
3. Igal välisnurgal on väärtus, mis saadakse kahe sisemise nurga lisamisega. Pealegi on see alati midagi enamat kui sellega külgnev sisemine.
4. Kolmnurga väiksema külje vastas on alati väikseim nurk. Ja vastupidi, kui külg on suur, siis on nurk suurim.

Need omadused on alati tõesed, hoolimata sellest, millist tüüpi kolmnurki probleemides arvestatakse. Kõik teised lähtuvad konkreetsetest omadustest.

Samavõrdse kolmnurga omadused

• Alusega külgnevad nurgad on võrdsed.
• Altpoolt hoitav kõrgus on ka mediaan ja poolitaja.
• Kolmnurga külgedele ehitatud kõrgused, mediaanid ja poolitajad on vastavalt võrdsed.

Võrdkülgse kolmnurga omadused

Kui selline arv on olemas, siis vastavad kõik ülalkirjeldatud omadused tõele. Sest võrdkülgsed on alati võrdsed. Kuid mitte vastupidi, võrdkülgne kolmnurk ei pea tingimata olema võrdkülgne.

• Kõik selle nurgad on üksteisega võrdsed ja nende väärtus on 60º.
• Iga võrdkülgse kolmnurga mediaan on selle kõrgus ja poolitaja. Pealegi on nad kõik üksteisega võrdsed. Nende väärtuste määramiseks on valem, mis koosneb korrutise ruutjuure 3 jagatuna kahega külje korrutisega.

Parempoolse kolmnurga omadused

• Kaks teravat nurka annavad väärtuseks 90º.
• Hüpotenuuse pikkus on alati suurem kui ühegi jala pikkus.
• Hüpotenuuseni tõmmatud mediaani arvväärtus on võrdne poolega.
• Jala võrdub sama väärtusega, kui see asub 30º nurga vastas.
• Kõrgus, mis tõmmatakse ülalt ja mille väärtus on 90º, omab jalgade teatud matemaatilist sõltuvust: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1/2. Siin: a, b - jalad, n - kõrgus.

Erinevat tüüpi kolmnurkade ülesanded

Nr 1. Dani võrdsed kolmnurgad. Selle ümbermõõt on teada ja see on võrdne 90 cm.See peab teadma oma külgi. Lisatingimusena: külgmine külg on alusest 1,2 korda väiksem.

Perimeetri väärtus sõltub otseselt väärtustest, mis tuleb leida. Kõigi kolme külje summa annab 90 cm. Nüüd tuleb meelde tuletada kolmnurga märk, mille järgi see on võrdküls. See tähendab, et kaks poolt on võrdsed. Võite teha võrrandi kahe tundmatuga: 2a + b \u003d 90. Siin a on külg, c on alus.

See oli lisatingimuse pööre. Pärast seda saadakse teine \u200b\u200bvõrrand: b \u003d 1,2a. Selle väljendi saate asendada esimesega. Selgub: 2a + 1,2a \u003d 90. Pärast teisendusi: 3,2a \u003d 90. Seega a \u003d 28,125 (cm). Nüüd on selle alust lihtne välja selgitada. Kõige parem on seda teha teisest tingimusest: c \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Kontrollimiseks võite lisada kolm väärtust: 28,125 * 2 + 33,75 \u003d 90 (cm). Hästi.

Vastus: kolmnurga küljed on 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nr 2. Võrdkülgse kolmnurga külg on 12 cm. Peate arvutama selle kõrguse.

Otsus. Vastuse leidmiseks piisab, kui pöörduda tagasi hetke juurde, kus kirjeldati kolmnurga omadusi. Seega on näidatud võrdkülgse kolmnurga kõrguse, mediaani ja poolitaja leidmise valem.

n \u003d a * √3 / 2, kus n on kõrgus ja a on külg.

Asendamine ja arvutamine annavad järgmise tulemuse: n \u003d 6 √3 (cm).

Seda valemit ei pea meeles pidama. Piisab, kui meenutada, et kõrgus jagab kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Pealegi osutub see jalaks ja selles olev hüpotenuus on originaali külg, teine \u200b\u200bjalg on pool teadaolevat külge. Nüüd peame kirjutama Pythagorase teoreemi ja tuletama kõrguse valemi.

Vastus: kõrgus on 6 √3 cm.

Number 3. Dan MKR - 90-kraadine kolmnurk, mis moodustab nurga K. MR ja KR küljed on teada, need on vastavalt 30 ja 15 cm. Peame leidma nurga R väärtuse.

Otsus. Joonise tegemisel selgub, et MR on hüpotenuus. Pealegi on see kaks korda suurem kui Kõrgõzstani Vabariik. Jällegi peate viitama omadustele. Üks neist on lihtsalt nurkadega ühendatud. Sellest on selge, et CMR-i nurk on 30º. Nii et soovitud nurk P võrdub 60º. See tuleneb teisest omadusest, mille kohaselt peaks kahe terava nurga summa olema 90º.

Vastus: nurk P on 60º.

Number 4. Peate leidma võrdse nurga kolmnurga kõik nurgad. Tema kohta on teada, et väline nurk aluse nurgast on 110º.

Otsus. Kuna antakse ainult väline nurk, tuleks seda kasutada. See moodustub sisemise nurga alt lahti. Nii et kokku annavad nad 180º. See tähendab, et nurk kolmnurga allosas on 70º. Kuna tegemist on võrdvõimeliste nurkadega, on teisel nurgal sama tähendus. Jääb alles arvutada kolmas nurk. Kõigil kolmnurkadel ühise omaduse järgi on nurkade summa 180º. Nii et kolmas on määratletud kui 180º - 70º - 70º \u003d 40º.

Vastus: nurgad on 70º, 70º, 40º.

Nr 5. On teada, et võrdküldses kolmnurgas on aluse vastas asuv nurk 90º. Alusele on märgitud punkt. Selle täisnurgaga ühendav joon jagab selle suhtega 1 kuni 4. Peate välja selgitama väiksema kolmnurga kõik nurgad.

Otsus. Ühe nurga saab kohe kindlaks teha. Kuna kolmnurk on ristkülikukujuline ja ühesuurune, on selle aluses asuvad 45º, st 90º / 2.

Neist teine \u200b\u200baitab leida seisundis tuntud seose. Kuna see on võrdne 1 kuni 4, osutub osadeks, milleks see jagatakse, ainult 5. Seetõttu on kolmnurga väiksema nurga leidmiseks vaja 90º / 5 \u003d 18º. Jääb alles kolmas välja selgitada. Selleks lahutage 180º-st (kolmnurga kõigi nurkade summa) 45º ja 18º. Arvutused on lihtsad ja selgub: 117º.