Cálculo diferencial de funciones de varias variables mpr 2. Cálculo diferencial de funciones de una y varias variables. Preguntas para el examen de matemáticas. segundo semestre
Preguntas para el examen de matemáticas. II semestre.
Al responder una pregunta, se requiere definir todos los términos utilizados.
Álgebra.
1. Grupos, anillos, campos. Isomorfismo de grupo.
2. Definición de un espacio lineal. Teorema de los sistemas de vectores linealmente dependientes e independientes.
3. El teorema de la dependencia lineal de un sistema de k vectores, cada uno de los cuales es una combinación lineal de algún sistema de m vectores (k>m).
4. Base de un espacio lineal. Teorema de la invariancia del número de elementos de la base. El teorema del número de elementos de un sistema linealmente independiente (T. 1.3, T.1.4).
5. Coordenadas vectoriales. Teoremas sobre coordenadas vectoriales (T.1.5 y T.1.7).
6. Definición y propiedades del producto escalar. Ángulo entre vectores.
7. Espacios y .
8. Subespacio de un espacio lineal. Tramo lineal de un sistema de vectores.
9. Matrices: definición; adición y multiplicación. Dimensión y base del espacio de matrices del mismo tamaño.
10. Multiplicación de matrices. Propiedades.
11. Matrices inversas y transpuestas.
12. Multiplicación de matrices divididas en bloques.
13. Matrices ortogonales.
14. Determinante de una matriz: definición, desarrollo en la primera columna. Determinante de matrices triangulares superior e inferior. Relación de determinantes y .
15. Permutaciones.
16. El teorema de la expresión del determinante en función de la suma de términos, cada uno de los cuales contiene el producto de los elementos de la matriz (uno de cada fila y cada columna), dotados de un signo según alguna regla.
17. Propiedades de los determinantes: permutación de filas (columnas), expansión en una columna arbitraria (fila), suma de productos de elementos de la i-ésima fila por complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la j-ésima fila.
18. Linealidad del determinante sobre los elementos de una fila o columna. Determinante de una matriz cuyas filas (columnas) son linealmente dependientes. El determinante de una matriz, a alguna fila de la cual se suma otra, multiplicada por un número.
19. Determinante de la matriz de bloques. Determinante del producto de matrices.
20. Matriz inversa. Corolarios sobre matrices triangulares.
21. Matrices de transformaciones elementales.
22. El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el caso de que los sistemas sean inconsistentes o tengan una solución única.
23. El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el caso de que los sistemas tengan infinitas soluciones. La estructura de la solución general de los sistemas.
24. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.
25. Teorema de Cramer.
26. Rangos horizontales y verticales de la matriz. Rango menor. Su coincidencia para una matriz trapezoidal.
27. Invariancia del rango de una matriz cuando se multiplica por una no degenerada. Teorema sobre la igualdad de rangos para una matriz arbitraria.
28. Teorema de Kronecker-Capelli.
29. Valores propios y matrices vectoriales. Coincidencia de polinomios característicos para matrices semejantes. Independencia lineal de autovectores correspondientes a diferentes autovalores.
30. Relación entre la dependencia lineal de un sistema de vectores y el correspondiente sistema de columnas de coordenadas. Comunicación de columnas de coordenadas de un vector en diferentes bases.
31. Mapeo lineal de espacios lineales. Matriz de visualización en algunas bases. Su uso para calcular la imagen de un vector. Relación de matrices de mapeo en diferentes bases.
32. Kernel e imagen de visualización. Mostrar rango, su relación con el rango de la matriz de visualización.
33. Valores propios y vectores propios del operador. Matriz de operadores en base a vectores propios.
34. Independencia lineal de autovectores correspondientes a diferentes autovalores de un operador. Subespacios propios, su dimensión. Consecuencias.
35. Espacios euclidianos y unitarios. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
36. Teorema de los autovalores y autovectores de una matriz simétrica real.
37. Teorema de similitud ortogonal de una matriz simétrica real a una matriz diagonal. Consecuencias.
38. Definición de formas bilineales y cuadráticas. Una matriz de forma bilineal en alguna base, su uso para calcular una forma bilineal. Conexión de matrices de la misma forma bilineal en diferentes bases.
39. El teorema de la existencia de una transformación ortogonal de una base que reduce una forma cuadrática a una forma canónica. Un método práctico para reducir una forma cuadrática a una forma canónica utilizando una transformación ortogonal de la base (método de los vectores propios). Construcción de curvas
40. Un teorema sobre una condición necesaria y suficiente para la definición positiva (negativa) de una forma cuadrática.
41. El teorema sobre la existencia de una transformación triangular de una base que reduce una forma cuadrática a una forma canónica. Criterio de Silvestre.
Análisis matemático.
Cálculo diferencial de funciones de varias variables.
42. Secuencia de puntos en .Teorema de convergencia en coordenadas.
43. Límite de función R variables Continuidad de funciones R variables Teorema de Weierstrass.
44. Diferenciabilidad de una función R variables Diferenciabilidad de la suma y el producto de funciones diferenciables.
45. Derivadas parciales de funciones R variables Relación entre la diferenciabilidad de una función y la existencia de derivadas parciales. Un ejemplo de una función que tiene derivadas parciales en el punto A, pero que no es derivable en ese punto.
46. Diferenciabilidad de una función en el caso de existencia y continuidad de derivadas parciales.
47. Derivada de una función compleja. Derivadas parciales de una función compleja. Invariancia de la forma de la primera diferencial.
48. Derivadas parciales de órdenes superiores. Teorema de la igualdad de las derivadas mixtas.
49. Diferenciales de órdenes superiores. La ausencia de invariancia de forma para diferenciales de orden superior al primero.
50. Fórmula de Taylor para funciones de p variables.
51. Un teorema sobre la existencia y diferenciabilidad de una función implícitamente dada de una variable. Cálculo de la primera y segunda derivada de una función y(x), dada implícitamente por la ecuación
52. Un teorema sobre la existencia y diferenciabilidad de funciones implícitamente dadas de p variables dadas por un sistema de ecuaciones funcionales. Técnicas de cálculo de derivadas. Cálculo de la primera y segunda derivada de una función z(x,y), dada implícitamente por la ecuación
.
Cálculo de las primeras derivadas de funciones y(x), z(x), tu(x), establecido implícitamente por el sistema
.
53. Determinación de los puntos extremos de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de puntos extremos.
54. Determinación de los puntos extremos condicionales de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de puntos extremos condicionales. Ejemplo: encontrar puntos extremos condicionales de una función bajo la condición .
Al responder para el grado 3, debe conocer todas las definiciones y formulaciones de las preguntas 1 a 54, así como las pruebas de los teoremas de las preguntas 25, 29, 33, 40, 46, 49. Las notas (y las hojas de trucos) no pueden ser usado.
Función de n variables La variable u se llama función de n variables (argumentos) x, y, z, …, t, si cada sistema de valores x, y, z, …, t, del rango de sus cambios ( el dominio de definición), corresponde a un cierto valor u. El dominio de una función es el conjunto de todos los puntos en los que tiene ciertos valores reales. Para una función de dos variables z=f(x, y), el dominio de definición representa cierto conjunto de puntos en el plano, y para una función de tres variables u=f(x, y, z) representa cierto conjunto de puntos en el espacio.
Función de dos variables Una función de dos variables es una ley según la cual cada par de valores de las variables independientes x, y (argumentos) del dominio de definición corresponde al valor de la variable dependiente z (función). Esta función se denota de la siguiente manera: z = z(x, y) o z= f(x, y) , u otra letra estándar: u=f(x, y) , u = u (x, y)
Derivadas parciales de primer orden La derivada parcial de la función z \u003d f (x, y) con respecto a la variable independiente x es el límite finito calculado en una constante y La derivada parcial con respecto a y es el límite finito calculado en una constante x Para las derivadas parciales, son válidas las reglas habituales y las fórmulas de diferenciación.
El diferencial total de la función z =f(x, y) se calcula mediante la fórmula El diferencial total de la función de tres argumentos u =f(x, y, z) se calcula mediante la fórmula
Derivadas parciales de orden superior Las derivadas parciales de segundo orden de la función z =f(x, y) son derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer orden.Del mismo modo, las derivadas parciales de tercer orden y superiores se definen y denotan.
Diferenciales de orden superior La diferencial de segundo orden de una función z=f(x, y) es la diferencial de su diferencial superficial Las diferenciales de orden superior se calculan mediante la fórmula Existe una fórmula simbólica
Derivación de funciones complejas Sean z=f(x, y), donde x=φ(t), y=ψ(t) y las funciones f(x, y), φ(t), ψ(t) son diferenciables. Entonces la derivada de la función compleja z=f[φ(t), ψ(t)] se calcula mediante la fórmula
Derivación de funciones implícitas Las derivadas de una función implícita de dos variables z=f(x, y), dada por la ecuación F(x, y, z)=0, se pueden calcular mediante las fórmulas
El extremo de la función La función z=f(x, y) tiene un máximo (mínimo) en el punto M 0(x 0; y 0) si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto M(x; y ) de alguna vecindad del punto M 0. Si la función diferenciable z=f(x, y) alcanza un extremo en el punto M 0(x 0; y 0), entonces su primera Las derivadas parciales de orden en este punto son iguales a cero, es decir (condiciones extremas necesarias).
Sea M 0(x 0; y 0) un punto estacionario de la función z=f(x, y). Designemos Y formemos el discriminante Δ=AC B 2. Entonces: Si Δ>0, entonces la función tiene un extremo en el punto M 0, es decir, un máximo en A 0 (o C>0); Si Δ
Función antiderivada La función F(x) se llama antiderivada de la función f(x) en el intervalo X=(a, b) si en cada punto de este intervalo f(x) es la derivada de F(x), es decir, de De esta definición se sigue que el problema de encontrar la antiderivada es inverso al problema de diferenciación: para una función dada f(x), se requiere encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x).
Integral indefinida El conjunto de todas las antiderivadas de la función F(x)+C para f(x) se denomina integral indefinida de la función f(x) y se denota con el símbolo . Así, por definición, donde C es una constante arbitraria; f(x) integrando; f(x) dx integrando; x variable de integración; signo integral indefinido.
Propiedades de la integral indefinida 1. La diferencial de la integral indefinida es igual al integrando, y la derivada de la integral indefinida es igual al integrando: 2. La integral indefinida de la diferencial de alguna función es igual a la suma de este función y una constante arbitraria:
3. Del signo integral se puede sacar el factor constante: 4. La integral indefinida de la suma algebraica de un número finito de funciones continuas es igual a la suma algebraica de las integrales de los términos de las funciones: 5. Si, entonces y donde u=φ(x) es una función arbitraria que tiene una derivada continua
Métodos básicos de integración Método de integración directa Un método de integración en el que una integral dada se reduce a una o más integrales de tabla mediante transformaciones idénticas del integrando (o expresión) y aplicando las propiedades de la integral indefinida se denomina integración directa.
Al reducir esta integral a una tabular, a menudo se usan las siguientes transformaciones de la diferencial (la operación de "poner bajo el signo de la diferencial"):
Cambio de variable en la integral indefinida (integración por sustitución) El método de integración por sustitución consiste en introducir una nueva variable de integración. En este caso, la integral dada se reduce a una nueva integral, que es tabular o reducible a ella. Que sea necesario calcular la integral. Hagamos una sustitución x = φ(t), donde φ(t) es una función que tiene derivada continua. Entonces dx=φ "(t)dt y con base en la propiedad de invariancia de la fórmula de integración integral indefinida, obtenemos la fórmula de integración por sustitución
Integración por partes Fórmula de integración por partes La fórmula permite reducir el cálculo de la integral al cálculo de la integral, que puede resultar mucho más sencillo que el original.
Integración de fracciones racionales Una fracción racional es una fracción de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Una fracción racional se llama propia si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x); de lo contrario, la fracción se llama fracción impropia. Las fracciones más simples (elementales) son fracciones regulares de la siguiente forma: donde A, B, p, q, a son números reales.
La primera integral de la fracción de tipo IV más simple en el lado derecho de la ecuación se encuentra fácilmente sustituyendo x2+px+q=t, y la segunda se transforma de la siguiente manera: Haciendo x+p/2=t, dx=dt tenemos obtener y denotar qp 2/4=a 2 ,
Integración de fracciones racionales usando descomposición en fracciones simples Antes de integrar la fracción racional P(x)/Q(x), se deben realizar las siguientes transformaciones algebraicas y cálculos: 1) Si se da una fracción racional impropia, entonces seleccione una parte entera de it, es decir, en la forma en que M(x) es un polinomio y P 1(x)/Q(x) es una fracción racional propia; 2) Expandir el denominador de la fracción en factores lineales y cuadráticos: donde ð2/4 q
3) Descomponer la fracción racional correcta en fracciones simples: 4) Calcular los coeficientes indefinidos A 1, A 2, ..., Am, ..., B 1, B 2, ..., Bm, ..., C 1, C 2, ..., Cm, ... , para lo cual llevamos la última igualdad a un denominador común, igualamos los coeficientes a las mismas potencias de x en las partes izquierda y derecha de la identidad resultante y resolvemos el sistema de ecuaciones lineales con respecto a los coeficientes deseados.
Integración de las funciones irracionales más simples 1. Integrales de la forma donde R es una función racional; m 1, n 1, m 2, n 2, … números enteros. Usando la sustitución ax+b=ts, donde s es el mínimo común múltiplo de los números n 1, n 2, ..., la integral especificada se convierte en una integral de una función racional. 2. Integral de la forma Tales integrales, seleccionando un cuadrado de un trinomio cuadrado, se reducen a integrales de tabla 15 o 16
3. Integral de la forma Para encontrar esta integral, seleccionamos en el numerador la derivada del trinomio cuadrado, que está bajo el signo de la raíz, y desarrollamos la integral en la suma de integrales:
4. Integrales de la forma Al sustituir x α=1/t, esta integral se reduce al elemento 2 considerado. 5. Una integral de la forma donde Рn(х) es un polinomio de grado n. Una integral de este tipo se encuentra usando la identidad donde Qn 1(x) es un polinomio (n 1) de grado ésimo con coeficientes indefinidos, λ es un número. Derivando la identidad indicada y reduciendo el resultado a un denominador común, obtenemos la igualdad de dos polinomios, a partir de la cual podemos determinar los coeficientes del polinomio Qn 1(x) y el número λ.
6. Integrales de binomios diferenciales donde m, n, p son números racionales. Como demostró PL Chebyshev, las integrales de binomios diferenciales se expresan en términos de funciones elementales solo en tres casos: 1) p es un número entero, luego esta integral se reduce a la integral de una función racional usando la sustitución x=ts, donde s es el mínimo común múltiplo denominador de las fracciones m y n. 2) (m+1)/n es un número entero, en este caso esta integral se racionaliza usando la sustitución a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р es un número entero, en este caso la sustitución ax n+b=ts conduce al mismo objetivo, donde s es el denominador de la fracción р.
Integración de funciones trigonométricas Integrales de la forma donde R es una función racional. Debajo del signo integral hay una función racional de seno y coseno. En este caso, es aplicable la sustitución trigonométrica universal tg(x/2)=t, que reduce esta integral a la integral de la función racional del nuevo argumento t (tabla p. 1). Existen otras sustituciones como se muestra en la siguiente tabla:
La integral definida de la función f(x) en un segmento es el límite de las sumas integrales, siempre que la longitud del segmento parcial más grande Δхi tienda a cero. Los números a y b se denominan límites inferior y superior de integración. El teorema de Cauchy. Si la función f(x) es continua en el segmento , entonces existe la integral definida
Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="(!LANG:Si f(x)>0 en el segmento, entonces la integral definida es geométricamente el área de la curvilínea"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}
Reglas para calcular integrales definidas 1. Fórmula de Newton Leibniz: donde F(x) es la antiderivada de f(x), es decir, F(x)‘= f(x). 2. Integración por partes: donde u=u(x), v=v(x) son funciones continuamente diferenciables en el segmento.
3. Cambio de variable donde x=φ(t) es una función continua con su derivada φ' (t) sobre el segmento α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ( t)] – la función es continua en [α; β] 4. Si f(x) es una función impar, es decir, f(x)= f(x), entonces Si f(x) es una función par, es decir, f(x)=f(x), entonces.
Integrales impropias Las integrales impropias son: 1) integrales con límites infinitos; 2) integrales de funciones ilimitadas. La integral impropia de la función f (x) en el rango de a a + infinito se define por la igualdad Si este límite existe y es finito, entonces la integral impropia se llama convergente; si el límite no existe o es igual a infinito, divergente Si la función f(x) tiene una discontinuidad infinita en un punto del segmento y es continua para a≤x
En el estudio de la convergencia de integrales impropias se utiliza uno de los signos de comparación. 1. Si las funciones f(x) y φ(x) están definidas para todo х≥а y son integrables en el segmento , donde А≥а, y si 0≤f(x)≤φ(x) para todo х≥ а, entonces de la convergencia de la integral implica la convergencia de la integral, y 2. 1 Si para x→+∞ la función f(x)≤0 es infinitesimal de orden p>0 en comparación con 1/x, entonces la integral converge para p>1 y diverge para p≤1 2. 2 Si la función f(x) ≥ 0 es definida y continua en el intervalo a ≤ x
Cálculo del área de una figura plana El área de un trapezoide curvilíneo delimitado por una curva y=f(x), rectas x=a y x=b y un segmento del eje OX se calcula mediante la fórmula Área de una figura limitada por una curva y=f 1(x) y y=f 2( x) y rectas x=a y x=b se encuentra por la formula y un segmento del eje OX se calcula por la fórmula donde t 1 y t 2 se determinan a partir de la ecuación a = x (t 1), b = x (t 2) dos radios polares θ=α, θ=β (α
Cálculo de la longitud del arco de una curva plana Si la curva y=f(x) en el segmento es suave (es decir, la derivada y'=f'(x) es continua), entonces la longitud del arco correspondiente de esta curva es encontrado por la fórmula (t), y=y(t) [x(t) y y(t) son funciones continuamente diferenciables] la longitud del arco de la curva, correspondiente al cambio monótono en el parámetro t de t 1 a t 2, se calcula mediante la fórmula Si se da una curva suave en coordenadas polares mediante la ecuación ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, entonces la longitud del arco es igual a.
Cálculo del volumen corporal 1. Cálculo del volumen corporal a partir de áreas transversales conocidas. Si el área de la sección transversal del cuerpo, un plano perpendicular al eje OX, se puede expresar en función de x, es decir, en la forma S=S(x) (a≤x≤b), el volumen de la parte del cuerpo encerrada entre los planos perpendiculares al eje OX x= ayx=b, se encuentra por la fórmula 2. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución. Si un trapezoide curvilíneo acotado por la curva y=f(x) y las líneas rectas y=0, x=a, x=b gira alrededor del eje OX, entonces el volumen del cuerpo de revolución se calcula mediante la fórmula Si la figura delimitada por las curvas y1=f 1(x) y y2=f 2(x) y las rectas x=a, x=b, gira alrededor del eje OX, entonces el volumen del sujeto de rotación es igual.
Cálculo del área de superficie de rotación Si el arco de una curva suave y=f(x) (a≤х≤b) gira alrededor del eje OX, entonces el área de la superficie de rotación se calcula mediante la fórmula Si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas x=x(t), y=y(t ) (t 1≤t≤t 2), entonces.
Conceptos básicos Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona variables independientes, su función y las derivadas (o diferenciales) de esta función. Si hay una variable independiente, entonces la ecuación se llama ordinaria, pero si hay dos o más variables independientes, entonces la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.
Ecuación de primer orden La ecuación funcional F(x, y, y) = 0 o y = f(x, y) que conecta la variable independiente, la función deseada y(x) y su derivada y (x), se denomina ecuación de primer orden ecuación diferencial. Una solución de una ecuación de primer orden es cualquier función y= (x), la cual, al ser sustituida en la ecuación junto con su derivada y = (x), la convierte en una identidad con respecto a x.
Solución general de una ecuación diferencial de primer orden Una solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una función y = (x, C) que, para cualquier valor del parámetro C, es una solución de esta ecuación diferencial. La ecuación Ф(x, y, C)=0, que define la solución general como una función implícita, se denomina integral general de la ecuación diferencial.
Ecuación resuelta con respecto a la derivada Si la ecuación de 1er orden se resuelve con respecto a la derivada, entonces se puede representar como Su solución general es geométricamente una familia de curvas integrales, es decir, un conjunto de rectas correspondientes a diferentes valores de la constante c
Enunciado del problema de Cauchy El problema de encontrar una solución a una ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial en se denomina problema de Cauchy para una ecuación de primer orden. Geométricamente, esto significa: encontrar la curva integral de la ecuación diferencial que pasa por el punto dado.
Ecuación de variables separadas Una ecuación diferencial se llama ecuación de variables separadas. Una ecuación diferencial de primer orden se llama ecuación con variables separables si tiene la forma: Para resolver la ecuación, divida ambas partes por el producto de funciones y luego integre.
Ecuaciones Homogéneas Una ecuación diferencial de primer orden se llama homogénea si se puede reducir a la forma y = oa la forma donde y son funciones homogéneas del mismo orden.
Ecuaciones lineales de primer orden Una ecuación diferencial de primer orden se llama lineal si contiene y e y‘ hasta el primer grado, es decir, tiene la forma. Tal ecuación se resuelve utilizando la sustitución y=uv, donde u y v son funciones desconocidas auxiliares que se encuentran sustituyendo funciones auxiliares en la ecuación y se imponen ciertas condiciones a una de las funciones.
La ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli es una ecuación de primer orden que tiene la forma
Ecuaciones diferenciales de segundo orden Una ecuación de segundo orden tiene la forma O Una solución general de una ecuación de segundo orden es una función que, para cualquier valor de los parámetros, es una solución a esta ecuación.
Problema de Cauchy para la ecuación de segundo orden Si la ecuación de segundo orden se resuelve con respecto a la segunda derivada, entonces para tal ecuación se presenta el siguiente problema: encontrar una solución de la ecuación que satisfaga las condiciones iniciales: y Este problema se llama el Problema de Cauchy para la ecuación diferencial de segundo orden.
Teorema de existencia y unicidad para una solución a una ecuación de segundo orden Si en una ecuación una función y sus derivadas parciales con respecto a los argumentos y son continuas en algún dominio que contiene un punto, entonces también existe una solución única de esta ecuación que satisface el condiciones y.
Ecuaciones de segundo orden que permiten la reducción en el orden La ecuación de segundo orden más simple se resuelve mediante integración doble. Una ecuación que no contiene explícitamente y se resuelve por sustitución, una ecuación que no contiene x se resuelve por sustitución, .
Ecuaciones lineales homogéneas Una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden es una ecuación Si todos los coeficientes de esta ecuación son constantes, entonces la ecuación se denomina ecuación con coeficientes constantes.
Propiedades de las soluciones de una ecuación lineal homogénea Teorema 1. Si y(x) es una solución de una ecuación, entonces Cy(x), donde C es una constante, también es una solución de esta ecuación.
Propiedades de las soluciones de una ecuación homogénea lineal Teorema 2. Si y son soluciones de una ecuación, entonces su suma también es una solución de esta ecuación. Consecuencia. Si y es una solución a una ecuación, entonces la función también es una solución a esa ecuación.
Funciones linealmente dependientes y linealmente independientes Dos funciones y se denominan linealmente dependientes en algún intervalo si es posible elegir tales números y no iguales a cero al mismo tiempo que la combinación lineal de estas funciones es idénticamente igual a cero en este intervalo, es decir
Si tales números no se pueden elegir, entonces las funciones y se llaman linealmente independientes en el intervalo indicado. Las funciones serán linealmente dependientes si y solo si su relación es constante, es decir
Teorema sobre la estructura de la solución general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden Si soluciones parciales linealmente independientes de LOE de segundo orden, entonces su combinación lineal donde y son constantes arbitrarias, es una solución general de esta ecuación.
Ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes La ecuación se denomina ecuación característica de una ecuación lineal. Se obtiene de la LOE reemplazando la derivada por la potencia k correspondiente al pedido.
Elementos de Álgebra Superior (8 horas)
Aplicación del cálculo diferencial al estudio de funciones y graficación (26 horas)
Cálculo diferencial de funciones de una variable
(30 horas)
2.1. Propiedades locales y globales de una función. Propiedades de funciones continuas en un intervalo (el primer y segundo teoremas de Weierstrass y el teorema
Cauchi). Definición y propiedades de una función derivada. Significado geométrico y mecánico de la derivada.
2.2. Derivada de una función compleja. Derivada de la función inversa. Derivadas de funciones trigonométricas inversas. Conjunto de funciones
paramétricamente. su diferenciación. Tablas de derivadas de las funciones elementales más simples. Diferencial y sus propiedades.
2.3. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores. Segunda derivada
de la función especificada paramétricamente. La derivada de la función vectorial y
Su significado geométrico. Función creciente (decreciente) en un punto.
Teoremas de Rolle, Lagrange, Cauchy. Consecuencias del teorema de Lagrange.
Hallar extremos locales y globales de funciones. Divulgar
incertidumbres según la regla de L'Hopital.
3.1. Fórmula y series de Taylor. Teorema del binomio. Fórmulas de Taylor para funciones elementales. Convexidad de una función. Puntos de inflexión. Asíntotas de función. Construcción de gráficas de funciones.
3.2 Funciones vectoriales de argumento escalar y su diferenciación.
Significado mecánico y geométrico de la derivada. Ecuaciones de una recta tangente y un plano normal.
3.3 Curvatura y radio de curvatura de una curva plana.
4.1.
Números complejos, acciones sobre ellos. Imagen integrada
números en el avión. significado geométrico. Módulo y argumento de un número complejo. Formas algebraicas y trigonométricas de un número complejo. fórmula de Euler.
4.2. Polinomios. El teorema de Bezout. Teorema fundamental del álgebra. Descomposición
polinomio con coeficientes reales en factores lineales y cuadráticos. Descomposición de fracciones racionales en fracciones simples.
variables (20 horas)
5.1. Dominio. Límite de una función, continuidad. Diferenciabilidad de una función de varias variables, derivadas parciales y
diferencial total, conexión con derivadas parciales. Derivados
de funciones complejas. Invariancia de la forma del diferencial total.
Derivadas de una función implícita.
5.2. Plano tangente y normal a la superficie. Geométrico
el significado de la diferencial total de una función de dos variables.
5.3. Derivadas parciales de órdenes superiores. Teorema de la independencia del resultado de la diferenciación del orden de diferenciación. Diferenciales de orden superior.
5.4. Curvatura y torsión de una curva espacial. Fórmulas de Frenet.
5.5. Fórmula de Taylor para una función de varias variables. extremos
funciones de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para un extremum. Extremo condicional. Los valores más grandes y más pequeños de funciones en una región cerrada. Método de los multiplicadores de Lagrange.
Ejemplos de aplicaciones en la búsqueda de soluciones óptimas.
Cálculo diferencial de una función de varias variables
Definición básica y conceptos.
1. La imagen de una función de dos variables, el dominio de definición y cambio de la función.
2. Derivadas parciales, su significado geométrico.
3. Derivados de órdenes superiores.
4. Diferencial de una función de dos variables, cálculos aproximados utilizando la diferencial.
5. Plano tangente y normal a la superficie.
Variable zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">G por ley (regla) F : (X, y) → z(z = F(X, y) ) se establece una correspondencia biunívoca.
Un montón de GRAMO llamado alcance de la función z = F(X, y) y denotado
Un montón de Z llamado alcance de la función z = F(X, y) y denotado MI(z).
Una función de dos variables se puede denotar:
pero) explícitamente z = F(X, y); z = φ (X, y); z = z(X, y);
B) implícitamente F(X, y, z(X, y))=0.
Si ( x0, y0)https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" ancho="76 altura=24" altura="24">; MI(z) ≥ 0.
calendario funciones el espíritu de las variables es una superficie en el espacio .
https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; representar en un avión cómo
el conjunto de puntos del dominio de definición de estas funciones.
1) La ley (regla) de la correspondencia de una función y pares de variables independientes z = F(X, y) es logarítmico, entonces (x-y)>0, es decir x > y. Dominio es el conjunto de puntos en el plano cómo, acostado debajo de la línea y = x, sin incluir los puntos pertenecientes a la recta, por lo que se muestra como una línea de puntos.
cambiar de área según la ley de la dependencia funcional z .
2) Ley (regla) de conformidad z = F(X, y) ,
es por eso (y - x2) ≥ 0, es decir y ≥ x2. Dominio –
conjunto de puntos planos cómo acostado dentro
parábolas y≥x2, incluidos los puntos pertenecientes a
parábola (límite del área). cambiar de área en
la ley de la dependencia funcional z ≥ 0.
Definición de derivadas parciales de una función de dos variables y su significado geométrico.
Funciones derivadas parciales z= F(x, y) se llaman los límites de la razón de incrementos de la función z = z(x, y) al incremento del argumento correspondiente a lo largo de las direcciones Oh o UNED en Δ X → 0 Y Δ y → 0 respectivamente:
Derivada parcial con respecto a x:
al calcular considere x = const.
Geométricamente
https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , donde α es el ángulo de la tangente a la superficie en el punto con la dirección del eje x;
Donde β es el ángulo de la tangente a la superficie en el punto con la dirección del eje y.
Reglas de diferenciación Y derivadas tabulares funciones de una variable completamente justo para una función de dos y varias variables.
Para una función de dos variables z = F(x, y) hay dos
derivadas parciales de primer orden : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, que también son funciones de dos variables y se pueden diferenciar por variables X Y y. Encontremos cuatro derivadas parciales de segundo orden :
Tenga en cuenta que derivados mixtos órdenes superiores son iguales (Teorema de Schwarz): , es decir, diferentes derivadas
segundo orden - tres: , .
Terceras derivadas de una función de dos variables ( z = F(x, y)) - ocho: pero cuatro de ellos son diferentes, ya que las derivadas mixtas al derivar en cualquier orden son iguales:
Encontremos las primeras derivadas:
https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Encuentra las segundas derivadas mixtas:
vemos eso, es decir, comprobamos el teorema de Schwartz y lo mostramos.
Diferencial y su significado geométrico. Cálculos aproximados usando el diferencial. Plano tangente y normal a la superficie.
La diferencial total de una función z= F(x, y) es la parte lineal del incremento de la función (hasta el plano tangente a la superficie en el punto (x0; y0)):
Esta fórmula se utiliza para cálculos aproximados de una función en un punto.
Por ejemplo, necesitas calcular el valor de la función en, donde
= 1.02 = 1 + 0.02 , pero y0 = 2.97 = 3 - 0.03 : aceptar por X= 1 , y para y = 3;
detrás Δ X Y Δ en debe elegir Δ x = 0,02 Y Δ y = – 0,03 para que el error de cálculo sea el más pequeño (no se sigue en este ejemplo para Δ en elige un valor Δ y = 0,97, y para y = 2, presentando un punto y0 = 2.97 =2 + 0,97).
Ejemplo 2 Calcule el valor https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> y tenga en cuenta que debe calcularse en el punto x0 = 0,98; y0 = 1,05.
Aprovechemos la oportunidad para realizar cálculos utilizando el diferencial. Imagina un punto x0 = 0,98 = 1 - 0,02; y0 = 1,05 = 1 + 0,05 y denota x = 1; y = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.
Calculemos las derivadas parciales de la función = ; . Luego .
Para y calculamos
https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.
Al calcular este valor en la calculadora, obtenemos https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0.0003 
.
De la definición de un diferencial, también se puede extraer significado geométrico.
Si A(x, y)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">planoZ(X,
y) =
z(A) +
a(X-
xA) +
B(y-
ya),
y la superficie de la gráfica de la función se fusiona con el plano en la vecindad del punto A(x, y), entonces dicho plano se llama plano tangente a la superficie
en este punto.
O ecuación del plano tangente
a(x-xA)+B(y-yA)+(-1)(z-
za)=0
Y vector normal
a ella que cree vector normal a la superficie
en el punto A(x, y).
transcripción
1 PA Velmisov YuV Pokladova Cálculo diferencial de funciones de varias variables Libro de texto Ulyanovsk UlGTU
2 UDC (7 LBC n7 V 8 Revisores: Departamento de Matemáticas Aplicadas, UlGU (Jefe del Departamento, Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesor AA Butov; Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesor de UlSU AS Andreev Aprobado por Editorial and Publishing Consejo de la Universidad como manuales de enseñanza Velmisov PAV 8 Cálculo diferencial de funciones de varias variables: libro de texto / PA Velmisov Yu V Pokladova Ulyanovsk: UlGTU con ISBN El manual está destinado a licenciados de todas las especialidades que estudian la sección "Cálculo diferencial de funciones de varias variables" El manual contiene material teórico breve preguntas teóricas tareas individuales ejemplos de resolución de problemas y está destinado a proporcionar a los estudiantes un trabajo independiente sobre el dominio de la sección. El trabajo se realizó en el departamento de "Matemáticas Superiores" de UlSTU.
3 CONTENIDOS Introducción Cuestiones teóricas Material teórico y ejemplos de resolución de problemas Dominio de definición de una función de varias variables Ejemplo de resolución de un problema Derivadas parciales Ejemplo de resolución de un problema 8 Derivadas de una función compleja 8 Ejemplo de resolución de un problema 9 Derivadas de una función implícita Ejemplo de resolución de un problema Diferencial Ejemplo de resolución de un problema Uso de una diferencial en cálculos aproximados de valores de funciones 7 Ejemplo de resolución de un problema 7 7 Fórmulas de Taylor y Maclaurin 8 Ejemplo de resolución de un problema Plano tangente y normal a una superficie 9 Ejemplo de resolución de un problema Gradiente y derivada en una dirección Ejemplo de resolución de un problema 9 Extremo de una función de varias variables Ejemplo de resolución de un problema Ejemplo de resolución de un problema Extremo condicional de una función de varias variables Un ejemplo de solución de un problema 7 El menor y el mayor valor de una función de dos variables en el área 9 Un ejemplo de resolución de un problema 9 El método de los mínimos cuadrados Un ejemplo de resolución de un problema Un ejemplo de resolución de un problema An ejemplo de resolución de un problema 8 Tareas de cálculo 9 Lista literatura
4 INTRODUCCIÓN El trabajo independiente activo de los estudiantes es un factor importante para dominar las matemáticas y dominar sus métodos. El sistema de cálculos estándar activa el trabajo independiente de los estudiantes y contribuye a un estudio más profundo del curso de matemáticas superiores. Los estudiantes tienen las habilidades para resolver problemas típicos. El manual contiene un breve material teórico preguntas teóricas tareas individuales ejemplos de resolución de problemas y está diseñado para garantizar el trabajo independiente de los estudiantes para dominar la sección Las preguntas teóricas son comunes para todos los estudiantes; cada una de las tareas incluidas en este manual se presenta en 8 opciones Para cada tema, se resume la información teórica básica, se dan soluciones para ejemplos típicos Las soluciones dan las fórmulas básicas de la regla para referirse a la teoría.
5 Cuestiones teóricas Definición de una función de dos variables de su dominio de definición Interpretación geométrica de estos conceptos El concepto de función de tres variables El concepto de límite de funciones de dos y tres variables en un punto El concepto de función continua de varias variables Derivadas parciales de funciones de dos y tres variables Definición de una función diferenciable en un punto Diferencial de primer orden de funciones de dos y tres variables Plano tangente y ecuaciones normales de superficie Derivadas parciales de una función compleja de varias variables independientes Derivada total 7 Derivación de funciones implícitas de una y varias variables independientes 8 Determinación de derivadas parciales de orden superior Diferencial de segundo orden de funciones de dos y tres variables 9 Fórmula de Taylor y fórmula de Maclaurin para una función de dos variables Gradiente y derivada direccional El concepto de punto extremo de funciones de dos y tres variables Condiciones necesarias y suficientes para un extremo de una función de dos variables Necesario y suficiente condiciones exactas para un extremo de una función de tres variables El concepto de un punto extremo condicional de una función de dos variables Condiciones necesarias y suficientes para un extremo condicional de una función de dos variables El método de los multiplicadores de Lagrange Encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función de dos variables en una región acotada cerrada 7 El método de los mínimos cuadrados
6 Material teórico y ejemplos de resolución de problemas Dominio de definición de una función de varias variables Sea D un conjunto de pares de valores de variables independientes y Definición El conjunto D para cuyos elementos hay valores se denomina dominio de definición de la función f (Definición Si cada conjunto de valores de variables independientes de un determinado conjunto DR corresponde a un determinado valor de la variable u, entonces se dice que u es una función de variables definidas sobre el conjunto D (uf Un ejemplo de resolver el problema Encuentre y represente el dominio de la función de definición = (Solución: la función logarítmica solo se define con un valor positivo del argumento entonces > o< Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k
7 Se denota por uf o ukkkfk Si es necesario, las variables de las que depende la función, por ejemplo, fk Para una función f de dos variables, por definición, tenemos ffff lm - derivada parcial con respecto a ffff lm - derivada parcial con respect También usamos notación en la que el primo no se pone encima, por ejemplo ffk Nota De acuerdo con la definición, la derivada parcial con respecto a la variable kk se calcula de acuerdo con las reglas habituales y las fórmulas de diferenciación válidas para una función de uno variable (en este caso, todas las variables excepto k se consideran constantes. Por ejemplo, al calcular la derivada parcial con respecto a una variable de la función f, la variable se considera constante y viceversa Definición Derivadas parciales de orden th las funciones uf se denominan derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer orden De acuerdo con la definición, las derivadas de segundo orden se denotan y encuentran de la siguiente manera: uuu - derivada de segundo orden con respecto a la variable kkkkkkuuu - derivada mixta i de segundo orden en kkk variables k y f: En particular, para funciones de dos variables Los números primos anteriores pueden omitirse De manera similar, las derivadas parciales de orden superior al segundo están definidas y las derivadas denotadas son continuas 7
8 Un ejemplo de resolución de un problema Dada una función s Mostrar qué Solución Hallemos las derivadas parciales os ; os; os os ; os ; os os s función uf ((t (t (t con respecto a la variable t se calcula mediante la fórmula: du ududud (dt dt dt dt t dt dt dt) Sea uf (donde (tttm (tttm (tttm donde ttt son variables independientes) )
9 utkutuuuttt (uuuu tm tmtmtm If uf (ttm where (tttm then ffltltkmklk) Ejemplo de resolución del problema Encontrar la derivada du dt de una función compleja utt ost Solución Dado que la función u es una función de una variable independiente du t, es necesario calcula la derivada ordinaria dt du ududud dt dt dt dt Encuentra las derivadas incluidas en esta fórmula: uuudddtst dt t dt dt Encuentra las derivadas parciales u osv l(vwweveuu de una función compleja 9
10 Solución La función u es una función de dos variables v y w Las variables v y w, a su vez, son funciones de dos variables independientes y Encuentre derivadas parciales: wwveveuvuweesvvvwwvwu u es(eee ; (e (e (e (euuvuwvwsveevwvwvw (e (e (eee) En particular, la derivada de la función implícita (dada por la ecuación F (se puede calcular mediante la fórmula: d F (d F siempre que F ; las derivadas parciales de la función implícita (dada por la ecuación F) se encuentran de la siguiente manera : FF (FF siempre que F) Observación Parcial la derivada con respecto a la variable k de la función uf dada por la ecuación F u puede ser
11 también se encuentra derivando esta ecuación con respecto a k; en este caso, es necesario tener en cuenta la dependencia de u con respecto a k. Los pedidos se calculan a partir de fórmulas (((o derivando las ecuaciones F u F (F (número de veces correspondiente) Ejemplo de resolución del problema Hallar la derivada de primer orden de una función implícita (dada por la ecuación l tg Método de solución: Derivada de la función implícita (dada por la ecuación d FF ( se puede calcular mediante la fórmula ( : d F (FF os (os (Encuentre la derivada de la función implícita: d F os (os (d F os (os (En este caso, F l tg método: Derivar ambas partes de la ecuación l tg variable x contando y función de x: l (tg (os Expresar: os (os (by Hallar las derivadas parciales de primer orden de la función implícita (dada por la ecuación
12 Método de solución: Derivadas de la función implícita (dada usando F de la ecuación F (se puede calcular mediante la fórmula (: FFF En este caso, F(FF)) (Expresamos: Del mismo modo, diferenciamos ambas partes de la ecuación con respecto a la variable, considerando la función de: ((Expresamos: Hallar la derivada de segundo orden de la función implícita (dada por la ecuación l) Método de solución: La derivada de la función implícita (dada por la ecuación d FF (puede ser calculado por la fórmula (: d F En este caso, d Encuentre la derivada: d F(l FF
13 FF dd Hallamos la segunda derivada según la regla de derivación de una función compleja, dado que y depende de x (((dddddddddddddd Sustituyendo dd en la expresión resultante, encontramos: (método dd: Derivamos ambas partes de la ecuación l con respecto a la variable x, considerando y en función de x: ((l ; (Derivamos nuevamente ambas partes de la ecuación con respecto a la variable x, considerando y en función de x: (Expresamos ((Sustituimos en la expresión resultante: (Encuentre las derivadas parciales de segundo orden de la función implícita (dadas por la ecuación) Método de solución: Derivadas de la función implícita (dadas usando la ecuación (F se puede calcular mediante la fórmula (:ffff
14 En este caso (FFFF Hallemos las derivadas parciales de la función implícita: FFFF Hallamos la segunda derivada según la regla de derivación de una función compleja, contando en función de: una vez ambas partes de la ecuación en términos de la variable se consideran una función de: Expresamos
15 Sustituir en la expresión resultante: Del mismo modo, se encuentran las derivadas 9 Para encontrar es necesario derivar dos veces la ecuación original considerando la función de Para encontrar la derivada mixta, la ecuación original se deriva primero por y luego por (o viceversa Definición diferencial El incremento total de la función uf M es la diferencia uff Definición La función uf en el punto M en un punto a los incrementos correspondientes de los argumentos se llama diferenciable si en alguna vecindad de este punto se puede representar el incremento total de la función como u AAA o((donde AAA son números independientes de ) de esta función en el punto considerado es lineal con respecto a: du AAA La diferencial de la función uf satisface la fórmula uuu du ddd (donde ddd
16 La diferencial con la fórmula simbólica ddd (del orden k de la función uf se expresa por kdudddu (En particular, para du la fórmula (y du se encuentra como sigue udu dk d (mkm km Por ejemplo, en el caso de un función f de dos variables para las diferenciales de los órdenes th y th, las fórmulas dd dd ddddd dd d (k (7 Ejemplo de resolución del problema Hallar la diferencial de tercer orden du de la función uel Solución Hallar todas las derivadas parciales hasta la tercera orden inclusive: ueuelueuelueueueuel Hallar la diferencial de tercer orden de la función u de dos variables utilizando las fórmulas ((7: uuuududdd dd dededde dd campo Hallar la diferencial de segundo orden du de la función u Solución Hallar la diferencial de segundo orden de una función de tres variables, usamos las fórmulas ((:
17 duddduuuuuuddd dd dd dd Hallar todas las derivadas parciales hasta el segundo orden inclusive: uuuuuuuuu Hallar la diferencial de segundo orden de una función u de tres variables: duddd dd dd dd Aplicación de la diferencial en cálculos aproximados de valores de funciones para valores suficientemente pequeños según la fórmula (para una función diferenciable uf tenemos una igualdad aproximada u du o ff df donde df viene determinada por la fórmula f (((Teniendo los valores de la función f y sus derivadas parciales en un punto según la fórmula (puede calcular el valor de la función f en un punto ubicado lo suficientemente cerca del punto Ejemplo de resolución del problema Calcule el valor aproximado de la función (en el punto A (9; Solución Valor aproximado de la función (en el punto Y calculamos usando la fórmula (: 7
18 ((((Tenemos 9 ; establecemos Calcular el valor de la función en un punto con coordenadas: Desde ((entonces (Sustituir en la fórmula: 9; (9 (9 (7) Fórmulas de Taylor y Maclaurin df (df (df (f (f (R (7!!! donde R o( es el resto del término)) f ((f (((f ((R!) En el caso particular en que la fórmula (7 se llama fórmula de Maclaurin) Ejemplo de resolución del problema 7 Expanda la función (e en la vecindad del punto M (limitado a los términos de segundo orden inclusive) Solución En este caso, la fórmula de Taylor (7 toma la forma df (df (f (f (R donde R es el término restante) !! de la fórmula de Taylor) Encuentre los valores de todas las derivadas parciales de la función hasta el segundo orden inclusive en el punto M: (Componga las diferenciales de la función hasta el segundo orden inclusive d((d (ddd
19 d ((d (dd (dd dd 9d) Dado que dd obtenemos: (((9(e ((R 8 Plano tangente y normal a la superficie) Definición El plano tangente a la superficie en su punto M (el punto tangente es llamado plano que contiene todas las tangentes a las curvas dibujadas en la superficie que pasa por este punto Definición La normal a la superficie en su punto M es una línea perpendicular al plano tangente en este punto y que pasa por el punto tangente M. Si se da la ecuación de la superficie en forma explícita f, entonces la ecuación del plano tangente en el punto M (tiene la f (f (((8 Ecuaciones de la normal (f (f ((8) (F(F) (Ejemplo de resolución del problema 8 8 Componer la ecuación del plano tangente y la ecuación de la normal a la superficie en el punto M (7 Solución Si la ecuación de la superficie se da en forma explícita f entonces la ecuación del plano tangente en el punto M (toma la forma (8 f (f (( y las ecuaciones normales tipo (8 f ((f (9
20 Encuentre los valores de las derivadas parciales ff en el punto M: fff (f (Sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones del plano tangente y la normal obtenemos: 7 ((o - la ecuación del plano tangente 7 ; - las ecuaciones de la normal 8 Componga la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la normal a la superficie 7 en el punto M (Solución Si la ecuación de la superficie se da en forma implícita F (entonces la ecuación del plano tangente en el punto M (tiene la forma (8 F (F((F((La normal está determinada por las ecuaciones (8 F(F(F) (Encontrar los valores de las derivadas parciales FFF punto M: FFFF (F (F) (Sustituyendo la valores encontrados en las ecuaciones del plano tangente y la normal, obtenemos: (o - la ecuación del plano tangente; - las ecuaciones de la normal 9 Gradiente y derivada en dirección Deje que la función f se defina en la vecindad de el punto y sea el vector que viene de estos puntos Sobre el vector, tome el punto M (Definición de la Derivada de la función f en la dirección en el punto M (el límite se llama (si existe) f (f (f ( M f (M (M lm lm MMM donde MM M) El concepto de la derivada en dirección es una generalización del concepto de derivadas parciales. La derivada direccional en un punto M caracteriza el cambio en la función en este punto en la dirección del vector. Si la función f es diferenciable en el punto M (entonces en este punto
21 os os donde os os son los cosenos directores del vector Definición El gradiente de la función f en el punto M (el vector cuyas proyecciones son los valores de las derivadas parciales de la función en este punto se llama grd j ( 9 Nota) La derivada direccional y el gradiente de la función de variables se definen de manera similar. están relacionados por la relación (grd (9 los) la derivada direccional es igual al producto escalar del gradiente y el vector unitario Ejemplo de resolución del problema 9 Dado: función (rs punto A y vector Encontrar: grd en el punto A; derivada en el punto A a lo largo de la dirección del vector punto A para esto calculamos y en el punto A Tenemos: (A (A Así grd (A j Para encontrar la derivada de la función f (en la dirección del vector, usamos la fórmula (9) Para hacer esto, encuentre el vector unitario entonces (A grd (A 7
22 Extremo de una función de varias variables Dejemos que la función uf de un punto M esté definida en alguna vecindad Definición La función uf de un punto tiene un máximo (mínimo en M si existe una vecindad del punto M en la que para todo puntos M (MM) la desigualdad f M f M (respectivamente f M f M El máximo o mínimo de una función se llama su extremo, y los puntos en los que la función tiene un extremo se llaman puntos extremos (máximo o mínimo). La condición necesaria para el extremo Si la función uf tiene un extremo en el punto M entonces en este punto f (M) Condición extrema suficiente Sea M un punto estacionario de la función uf y esta función es dos veces diferenciable en alguna vecindad del punto M y todas sus segundas derivadas parciales son continuas en el punto M Entonces: si dudu para cualquier valor no simultáneamente igual a cero, entonces la función uf tiene un mínimo en el punto M (máximo; si du toma valores de diferente signos dependiendo de entonces no hay extremo en el punto M; si du para un conjunto de valores no igual a cero al mismo tiempo, entonces se requieren estudios adicionales Considere el caso de una función de dos variables Definición Función f (tiene un máximo (mínimo en el punto M (si existe tal una vecindad del punto M en la que para todos los puntos M (distintos de M) la desigualdad f ( f (f (f (Condición necesaria para el extremo de una función de dos variables Si la función diferenciable f (alcanza un extremo en el punto
23 M (entonces en este punto, las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero ff (((Condición suficiente para el extremo de una función de dos variables en una vecindad del punto M, la función tiene derivadas parciales continuas de segundo orden derivadas Entonces: si D entonces la función f (tiene en el punto M (un extremo, es decir, un máximo en AB y un mínimo en AB ; si D, entonces un extremo en el punto M (ausente; si D, entonces investigación adicional Considere el caso de una función uf (tres variables) Criterio de Sylvester Para que la desigualdad du se cumpla para cualquier valor de ddd distinto de cero, es a la vez necesario y suficiente que: uuuuuuuuuuuuuuu Debe recordarse que todas las derivadas son calculada en el punto M (Un ejemplo de resolución del problema 8 Encuentra los extremos de una función de dos variables (Solución Si la función diferenciable f (alcanza un extremo en el punto M (entonces, de acuerdo con la condición necesaria para el extremo en este punto, las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero 8 Encuentre los puntos estacionarios de la función ( :
24 8 Resolviendo este sistema, obtenemos dos puntos estacionarios M (- M (-- Usamos la condición suficiente para el extremo de una función de dos variables Hallar A f B f C f (((D AB C Considere el punto M ( -: ABC Dado que D 8 entonces el punto M (- es un punto extremo, es decir, el mínimo, ya que A Encuentre el mínimo de la función: m 7 Considere el punto M (--: ABC Dado que D 8 entonces en el punto M ( -- no hay ningún extremo Ejemplo de resolución del problema Hallar los extremos de una función de tres variables u Solución Hallar los puntos estacionarios de la función dada u Para hacer esto, componemos un sistema de ecuaciones: uuu resolviendo lo que obtenemos; ; Hallar el Derivadas parciales de segundo orden: uuuuuu Calcular sus valores en el punto estacionario M (;; : uuuuuu Hallar la diferencial de segundo orden de la función u en el punto estacionario M (;; : duddd dd dd Usemos el criterio de Sylvester En este problema:
25 uuuuuu 8 uuuuuuuu Según el criterio de Sylvester du So el punto M (;; es el punto mínimo de la función u según la condición suficiente del extremo El valor de la función en el punto mínimo um Ecuaciones de restricción del extremo condicional Definición La función uf tiene un máximo condicional (un mínimo condicional en un punto M si existe una vecindad tal del punto M en la que para todos los puntos M (MM que satisfacen las ecuaciones de restricción) la desigualdad f M f M (respectivamente f M f M) es satisfecho El problema de encontrar un extremo condicional se reduce a estudiar hasta el extremo habitual de la función de Lagrange m L mf kk k m ecuaciones: L (kkmk
26 a partir de la cual se encuentran las incógnitas m Condición suficiente para el extremo condicional Dejemos que las soluciones del sistema (Función uf en el punto m M tengan un máximo condicional si d L y un mínimo condicional si d L para cualesquiera valores que mmddd sean no es igual a cero simultáneamente y tal kddkmk Extremo condicional de una función de dos variables B caso de una función f de dos variables con una ecuación de restricción (la función de Lagrange tomará la forma L f (Sistema (se escribirá como L (f ( (L (f ((((Sea la solución de este sistema y (L (L (((L ((L) (Entonces si f tiene en el punto M (un máximo condicional; si un mínimo condicional entonces la función también puede aplicar el criterio de Sylvester para la función de Lagrange Criterio de Sylvester: d L (la función tiene un mínimo condicional si y solo si LLLLL y d L (la función tiene un máximo condicional entonces y solo cuando LLLLL
27 para cualquier valor de dddd no igual a cero al mismo tiempo y tal que Un ejemplo de resolución del problema Encuentre el extremo condicional de una función de dos variables si la ecuación de restricción tiene la forma Solución Componga la función de Lagrange: L( f (ost) LL De la primera y segunda ecuaciones del sistema encontramos e igualamos las expresiones resultantes: o de aquí Considere dos casos: luego Sustituya en la ecuación de conexión: ; encuentre dos raíces entonces Los valores no son soluciones del valor sistema - sus soluciones en 9 luego Sustituya en la ecuación de conexión: ((o 8 que es incorrecta No hay soluciones Entonces el sistema tiene una solución única 9 Método Usamos la condición suficiente del extremo condicional Encuentra las derivadas parciales: LLL y compone el determinante: ((9 9 (((9 LL (((9 LL) Valor de la función en el punto máximo condicional 7 m
28 Método: LLL Encuentre la diferencial de segundo orden de la función L en el punto M (para: 9 d L(L (d L (dd L (dd) Use el criterio de Sylvester: 9 dd d So d L para cualquier valor de dd no igual a cero al mismo tiempo tiene en el punto M (máximo condicional El valor de la función en el punto máximo condicional es m Ejemplo de resolución del problema Hallar el extremo condicional de la función 8 con la ecuación de restricción Método de solución Componga la función de Lagrange: L (f (8 ost) Encuentre los puntos en los que es posible el extremo condicional Para ello, compongamos un sistema de ecuaciones: LL y lo resolvemos A partir de la primera ecuación, expresamos a partir de la segunda ecuación, express Igualando la tercera ecuación Por lo tanto, el sistema tiene una única solución Encuentre d L(L (d L (dd L (ddd 8) obtenemos: 8
29 d L ddd Entonces la función tiene un máximo condicional en El valor de la función en el punto máximo condicional es m Método En este caso, la variable se expresa fácilmente a través de la ecuación de conexión: Sustituyendo la función en la ecuación de la función, obtenemos una función de una variable: - punto de máximo local - valor máximo de la función en este punto Los valores mayor y menor de una función de dos variables en la región para encontrar los valores mayor y menor de un función diferenciable en un área cerrada acotada, necesita: encontrar puntos estacionarios ubicados en el área dada y calcular los valores de la función en estos puntos; encontrar los valores más grandes y más pequeños de la función en las líneas que forman el límite del área; de todos los valores encontrados, elija el mayor y el menor Pr Problema solución nombre Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en un área cerrada acotada D por un sistema dado de desigualdades Solución El área D es un triángulo acotado por ejes de coordenadas y una línea recta 9
30 Busquemos los puntos estacionarios de la función dentro de la región D En estos puntos, las derivadas parciales son iguales a cero: Resolviendo este sistema, obtenemos el punto K Este punto no pertenece a la región D 8 8 por lo tanto no hay estacionarios puntos en la región D diferentes ecuaciones, luego investigaremos la función en cada sección por separado: En esta sección (Dado que - una función creciente de la variable mientras que en el segmento, el valor más pequeño de la función estará en el punto (: ( y el mayor en el punto (: (En esta sección (Encuentre la derivada de la ecuación que obtenemos). Así, los valores mayor y menor de la función en el límite se encuentran entre sus valores en los puntos ((Encuentre estos valores: ((o (En esta sección 7 Resolviendo la ecuación 8 7 obtenemos 7 por lo tanto 8 7 El valor de la función en este punto es (y en los extremos del segmento valores funciones encontradas arriba Comparando los valores obtenidos ((((( concluimos que los valores mayor y menor de la función en una cerrada Los rangos D son iguales a (max y (max), respectivamente. Un ejemplo de cómo resolver el problema Encuentra los valores más pequeños y más grandes de una función en un área cerrada D dada por la desigualdad Solución El área D es un círculo de radio c
31 Encuentre los puntos estacionarios de la función dentro de la región D En estos puntos, las derivadas parciales son iguales a cero: Por lo tanto, no hay puntos estacionarios Investigamos la función en el límite de la región Componga la función de Lagrange L (Usando los necesarios condiciones para la existencia de un extremo, obtenemos el sistema de ecuaciones LL Resolvemos el sistema resultante A partir de la primera ecuación, expresamos a partir de la segunda ecuación, expresamos Igualando, obtenemos Sustituir en la tercera ecuación Así, tenemos dos puntos MM Encuentre los valores de la función en los puntos obtenidos: establezca una dependencia analítica f (entre dos variables y Un método muy utilizado para resolver este problema es el método de los mínimos cuadrados. Deje que el experimento dé como resultado los valores de la función para los valores correspondientes del argumento.Los resultados se resumen en la tabla xy
32 Primero, se establece la forma de la función de aproximación (ya sea a partir de consideraciones teóricas o en base a la naturaleza de la ubicación en el plano O de los puntos correspondientes a los valores experimentales. Luego, con la forma elegida de la función, es necesario para seleccionar los parámetros incluidos en él de modo que reflejen mejor la dependencia bajo consideración. El método de los mínimos cuadrados es el siguiente. Considere la suma de las diferencias al cuadrado de los valores obtenidos como resultado del experimento, así como los encontrados como resultado de calcular los valores de la función (en los puntos correspondientes: S (((Seleccionamos los parámetros para que esta suma tenga el menor valor. Así, el problema se reduce al estudio de la función (S al extremo ) De la condición necesaria para el extremo de la función de varias variables se sigue que estos valores satisfacen el sistema de ecuaciones SSS o en forma desarrollada (En el caso de una aproximación lineal de la forma la función (S toma la forma S ((Esta es una función con dos variables y condiciones extremas: ((S S
33 De aquí obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones para las incógnitas y (Se puede demostrar que el sistema (tiene solución única y para los valores encontrados y la función (S tiene un mínimo En el caso de un cuadrático aproximación de la forma, la función (tiene la forma S ((El sistema de ecuaciones (toma la forma (((o en forma desarrollada) (Tenemos un sistema de tres ecuaciones lineales para determinar tres incógnitas) Si desea encontrar una función de la forma luego la función (se escribirá en la forma S (Sistema de ecuaciones (para determinar parámetros desconocidos toma la forma
34 o en forma desarrollada (Ejemplo de resolución del problema) Se obtuvieron experimentalmente cinco valores de la función (f) con cinco valores del argumento que están escritos en la tabla Usando el método de los mínimos cuadrados hallar una función de la forma expresando aproximadamente la función (f) función Solución Buscaremos la función (f en forma de función lineal Sistema (toma la forma: Teniendo en cuenta que
35 7 tendremos 7 Resolviendo este sistema, encontramos: 7 La ecuación de la recta buscada tiene la forma: 7 Construimos una gráfica yx Ejemplo de resolución del problema Se obtuvieron experimentalmente seis valores de la función f (para seis valores del argumento que se registran en la tabla 7 Usando el método de mínimos cuadrados, encuentre una función de la forma que exprese aproximadamente la función f (Haga un dibujo en el que, en un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, trace puntos experimentales y una gráfica de la función de aproximación Solución Buscaremos la función f (en forma de función cuadrática Sistema (toma la forma: Considerando que
36 tendremos Resolviendo este sistema, encontramos: La ecuación de la función buscada tiene la forma: Construimos una gráfica Se obtienen experimentalmente cinco valores de la función f (con cinco valores del argumento que se registran en el tabla Usando el método de los mínimos cuadrados, encuentre una función de la forma que exprese aproximadamente la función f (Haga un dibujo en el que
37 en un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, construimos puntos experimentales y una gráfica de la función de aproximación Solución Buscaremos la función f (en forma de función Sistema (toma la forma: Dado que tendremos Resolviendo este sistema, encontramos : 7 87 La ecuación de la función buscada tiene la forma: 7 87 Construimos un gráfico 7
38 Un ejemplo de cómo resolver el problema A partir de una lámina rectangular de estaño con un ancho, haga una canaleta de forma prismática para que su sección transversal tenga el área más grande Solución Sea ABCD una lámina de estaño =AD Denote =AE luego FD = EF = (Fig. la base inferior de la canaleta es igual a EF = el lado es igual a FD = AEBFD - Fig Hoja de estaño CAGD α α EF Fig lado AD del triángulo GDF encontramos GD os y la altura del trapezoide GF s de aquí AD EF GD os - la base superior del trapecio Indicar por el área del trapezoide ADFE Entonces sss os os os s os os
39 Tareas de cálculo Tarea Encuentra y representa los dominios de definición de las siguientes funciones: ((= + =l(+ +ll (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros (+ + =l(+) l (s 9 = + = rs (=l(+ 7 = = + 8 =l(+l (os = l (+ 9 l (= + =e =l(+ + =l(+ =9 + = l (+ = ros (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s)) Problema Comprobar si la función f (ecuación f (ecuación le 9) satisface dado
40 f (ecuación s 9 l e e os s (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e e
41 f (ecuación l 7 8 s os ros Problema Encontrar derivadas de una función compuesta u(derivadas ulu du? d du u rs s s t os t? dt uvwwvuu? wvuttt du? dt vwuuuwsv os? wvt du ur tg e lt? dt 7 uelu du ? d 8 uvwl(vwweveuu? 9 uttt du? dt ueuuv os wwsv? wvu os u du? d
42 u(derivadas u tg tteste os t du? dt vuuuwwv os? weeu du ul? du rtg tet du? dt ueuuv os w ws v? wvu du 7 u tg? d du 8 uttst? dt rsv 7 uu 9 uwvlw 7? uuue lw wsv?wvu du ue?d du u ros st os t?dt wuuu tg lw v?vwvvw 7 uuuwv os?wu du ulee?d du u rtg os tst?dt uu 7 ur tg lw v wv?wv du 8 tu lt tt? dt
43 Problema Hallar la primera derivada de una función implícita function function s tg os le 7 el 7 8 os os os rtg l 9 7 ee 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtg e 7 os ll 8 Problema Hallar las diferenciales de th orden ( - variables independientes du de las siguientes funciones ue os 7 ullu 8 ueu 9 usueuus(os(ul os ul(ue
44 Tarea Calcular el valor aproximado de la función ((coordenadas del punto A (en el punto A coordenadas del punto A (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9 l (8; 7 rtg (; 9 (;); 9 8 os (99 ; 7 (9; 9 (; 9 u os usuuuuuul(7 resulta 8 uu os e 9 ull 7 uue 8 u (98; (97; 98 (; 9 (; 98 7 s 8 l (; 98 (98; 9 ( 9; (9; rs (99; s (; 98 e (; 97 (; 9 s (; 97 (; 97 (; 9 7 lee (98; rs (; 9 8 (97;);
45 Tarea 7 Expanda la función (según la fórmula de Taylor en el punto M, limitada a términos de segundo orden inclusive (M (M s os e (e (- 7 ss (8 ll ((9 ((ss)) Expanda la función (según la fórmula de Maclaurin en el punto M, limitada a términos de tercer orden inclusive (((e os sl(el) Expanda la función (según la fórmula de Taylor en el punto M (M (M (- (- (- ( - (7 ((- 8 ((7 os ses 8 os l (e os os 9 e os l
46 Tarea 8 Escriba las ecuaciones del plano tangente y la normal a la superficie especificada en el punto A superficie A (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; l (; ; (; ; 7 (; ; 8 (;); ; (-; ; (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l (; ; (; ; (-; ; 7 (; ; 8 (; ; 9 (; ; 9 e (; - /; l (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7
47 superficie A (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 Tarea 9 Dada una función (punto A(y vector (Encuentre: grd en el punto A; derivada en el punto A en la dirección del vector (A a rtg ((- (- ((l ((- (- (- ((- l ((- 7 ((8 e ((9 ((- rtg) ((- (- - ((- (- (rs (( - s (( - (- (- ((- 7
48 (A a 7 e ((8 8 l 9 ((((((rtg (((- rs ((- l ((- 7 ((- ((e ((- l (- (7 8 s (- (- Tarea Encontrar los extremos de una función de dos variables (((l 8l 8 ll 9 (> ll 7 9 9
49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 Problema Encontrar los extremos de una función de tres variables u (u (u (8 9 l 88l 7l (9
50 u (u (((7 8 Problema
51 (ecuación de acoplamiento l l l 7 l
52 Tarea Encuentra el valor más pequeño y más grande de una función (en un área cerrada D por un sistema dado de desigualdades (área D
53 (región D Tarea Se obtuvieron experimentalmente cinco valores de la función f (con cinco valores del argumento que se registran en la tabla Usando el método de mínimos cuadrados, encontrar una función de la forma YX que exprese aproximadamente (aproximando la función f ) (Haga un dibujo en el que, en un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, represente puntos experimentales y una gráfica de la función de aproximación YX x
54 x Tarea Los valores de la función f se obtienen experimentalmente (los cuales se registran en la tabla) Usando el método de mínimos cuadrados, encuentre una función de la forma YXX (para opciones impares e Y (para opciones pares XX) aproximando la función f ( Hacer un dibujo en el que en un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares represente puntos experimentales y una gráfica de las funciones de aproximación x x
55 Tarea Resuelva problemas aplicados para los valores más grandes y más pequeños Encuentre las dimensiones del cilindro del volumen más grande hecho de una pieza de trabajo en forma de bola de radio R El techo de la casa tiene una sección transversal en forma de triángulo isósceles dimensiones de la pieza de trabajo con el perímetro más grande en forma de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa se da Haga una caja rectangular de hojalata (sin tapa de un recipiente dado V con los menores costos de material Inscriba un paralelepípedo rectangular del mayor volumen en una bola de diámetro d Halla las dimensiones de un recipiente cilíndrico de la mayor capacidad con una superficie S 7 Hay una lámina rectangular de hierro de dimensiones dadas Corta cuadrados iguales en sus esquinas de tal tamaño que el volumen de el recipiente obtenido al doblar los bordes es el más grande 8 La superficie de un paralelepípedo rectangular es igual a Q Hallar las dimensiones del paralelepípedo del mayor volumen 9 La suma de las aristas de un paralelepípedo es Hallar las dimensiones del paralelepípedo del mayor volumen Hallar el paralelepípedo del mayor volumen, siempre que la longitud de su diagonal sea d Hallar el cono de revolución del volumen V con la menor superficie total Inscribir un cilindro con la menor superficie total De todos los paralelepípedos con una superficie completa S encontrar el que tiene el mayor volumen Determinar las dimensiones del cono de mayor volumen, siempre que su superficie lateral sea igual a S De todos los triángulos rectángulos con área S, encuentre la hipotenusa que tenga el valor más pequeño De todos los triángulos inscritos en un círculo, encuentre el que tiene el área más grande 7 De todos los triángulos que tienen un perímetro p, encuentre el de mayor área 8 De todos los rectángulos con un área dada S, encuentra el perímetro cuyo perímetro tiene el valor más pequeño 9 De todos los paralelepípedos rectangulares de volumen V, encuentra el que tiene la superficie total más pequeña Expresar el número como producto de cuatro factores positivos de forma que su suma sea la menor
56 Encuentre un triángulo de perímetro dado p que, cuando gira alrededor de uno de sus lados, forme un cuerpo de mayor volumen Determine las dimensiones externas de una caja rectangular abierta con un espesor de pared dado d y capacidad V para que la menor cantidad de material se gastó en su fabricación De todos los triángulos con la misma base y uno y con el mismo ángulo en el vértice encuentre el de mayor área Inscriba una caja rectangular de mayor volumen en una bola de radio R Inscriba una caja rectangular de mayor volumen In un cono circular recto dado Inscribir una caja rectangular del volumen más grande ¿Para qué dimensiones de una caja rectangular abierta con un volumen dado V su superficie será la más pequeña? 7 Se requiere cortar un sector de un círculo de tal manera que se pueda hacer un filtro en forma de cono con un volumen máximo 8 Se da el volumen de un recipiente cilíndrico abierto ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que la longitud de las soldaduras es mínima? (Espacio en blanco: hoja en forma de círculo base hoja rectangular superficie lateral REFERENCIAS Matemáticas superiores Instrucciones metódicas y tareas de control (con el programa / Bajo la dirección editorial de YUS Arutyunova M: Escuela superior 98 Danko PE Popov AG Kozhevnikova TY Matemáticas superiores en ejercicios y problemas HM Escuela superior 98 Cálculo diferencial de funciones de varias variables: Pautas para la implementación de la prueba / Comp: NYA Goryacheva YuA Reshetnikov Ulyanovsk 999 s Cálculo diferencial de funciones de varias variables: cálculo típico en matemáticas superiores / Comp: AV Ankilov NYa Goryacheva TB Rasputko Ulyanovsk: UlGTU s Piskunov NS Cálculo diferencial e integral TM: Integral-Press s Escrito DT Notas de clase sobre matemáticas superiores: en h M: Iris-press 88 s 7 Colección de problemas de matemáticas H: Libro de texto para escuelas secundarias / bajo la redacción general de AV Efimov AS Pospelova - M: FIZMATLIT - s 8 Fikhtengolts GM Curso de cálculo diferencial e integral T M: FIZMATLIT 8 s
57 Publicación electrónica educativa VELMISOV Petr Aleksandrovich POKLADOVA CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Libro de texto Impresión convencional Volumen de datos MB EI Edición impresa LR desde 97 Firmado para impresión Formato 8 / Impresión convencional L Circulación de copias Orden Imprenta UlGTU 7 g Ulyanovsk st Sev Venets d Universidad Técnica Estatal de Ulyanovsk 7 Ulyanovsk Sev Venets St. Tel: (E-ml:
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