Un triángulo isósceles siempre es agudo. Propiedades del triángulo. Incluyendo igualdad y semejanza, triángulos iguales, lados de un triángulo, ángulos de un triángulo, área de un triángulo - fórmulas de cálculo, triángulo rectángulo, isósceles

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

Tipos de triángulos

Considere tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta y tres segmentos que conectan estos puntos (Fig. 1).

Un triángulo se llama parte del plano delimitado por estos segmentos, los segmentos se llaman lados del triángulo y los extremos de los segmentos (tres puntos que no se encuentran en una línea recta) se llaman vértices del triángulo.

La Tabla 1 enumera todos los tipos posibles de triángulos. dependiendo del tamaño de sus ángulos .

Tabla 1 - Tipos de triángulos según el tamaño de los ángulos

Dibujo	tipo triangulo	Definición
	Triángulo agudo	El triángulo que tiene todas las esquinas son afiladas , se llama agudo
	Triángulo rectángulo	El triángulo que tiene uno de los ángulos rectos , se llama rectangular
	triángulo obtuso	El triángulo que tiene una de las esquinas es obtusa , se llama obtuso

Triángulo agudo

Definición: El triángulo que tiene todas las esquinas son afiladas , se llama agudo

Triángulo rectángulo

Definición: El triángulo que tiene uno de los ángulos rectos , se llama rectangular

triángulo obtuso

Definición: El triángulo que tiene una de las esquinas es obtusa , se llama obtuso

Dependiendo de la longitud de los lados Hay dos tipos importantes de triángulos.

Tabla 2 - Triángulos isósceles y equiláteros

Dibujo	tipo triangulo	Definición
	Triángulo isósceles	lados, y el tercer lado se llama base de un triángulo isósceles
	Equilátero (correcto) triángulo	Un triángulo en el que los tres lados son iguales se llama triángulo equilátero o rectángulo.

Triángulo isósceles

Definición: Un triángulo con dos lados iguales se llama triángulo isósceles. En este caso, dos lados iguales se llaman lados, y el tercer lado se llama base de un triángulo isósceles

Triángulo equilátero (regular)

Definición: Un triángulo en el que los tres lados son iguales se llama triángulo equilátero o rectángulo.

Signos de igualdad de triángulos.

Los triángulos se llaman iguales si se puede combinar con una superposición .

La tabla 3 muestra signos de igualdad de triángulos.

Tabla 3 - Signos de igualdad de triángulos.

Dibujo	Nombre de la característica	Formulación de características
	Por dos lados y el ángulo entre ellos
	El signo de la igualdad de los triángulos. Por lado y dos esquinas adyacentes
	El signo de la igualdad de los triángulos. Por tres partidos

El signo de la igualdad de los triángulos. en dos lados y el ángulo entre ellos

Formulación de características. Si dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos son respectivamente iguales a dos lados de otro triángulo y el ángulo entre ellos, entonces dichos triángulos son congruentes.

El signo de la igualdad de los triángulos. a lo largo de un lado y dos esquinas adyacentes a él

Formulación de características. Si un lado y dos ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente iguales a un lado y dos ángulos adyacentes a él de otro triángulo, entonces dichos triángulos son iguales

El signo de la igualdad de los triángulos. en tres lados

Formulación de características. Si tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a tres lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

Para los lados de los triángulos rectángulos, se acostumbra utilizar los siguientes nombres.

La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo que se encuentra opuesto al ángulo recto (Fig. 2), los otros dos lados se llaman catetos.

Tabla 4 - Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

Dibujo	Nombre de la característica	Formulación de características
	Por dos piernas
	Signo de igualdad de triángulos rectángulos. Por pierna y ángulo agudo adyacente
	Signo de igualdad de triángulos rectángulos. Por pierna y ángulo agudo opuesto	Si el cateto y el ángulo agudo opuesto de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales al cateto y el ángulo agudo opuesto de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos rectángulos son iguales
	Signo de igualdad de triángulos rectángulos. Por hipotenusa y ángulo agudo	Si la hipotenusa y el ángulo agudo de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a la hipotenusa y el ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos rectángulos son iguales.
	Signo de igualdad de triángulos rectángulos. Por cateto e hipotenusa	Si el cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales al cateto y la hipotenusa de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos rectángulos son iguales.

Signo de igualdad de triángulos rectángulos sobre dos catetos.

Formulación de características. Si dos catetos de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a dos catetos de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos rectángulos son iguales

Signo de igualdad de triángulos rectángulos. a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente

Formulación de características. Si el cateto y el ángulo agudo adyacente a él de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales al cateto y el ángulo agudo adyacente a él de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos rectángulos son iguales

Signo de igualdad de triángulos rectángulos. a lo largo de la pierna y ángulo agudo opuesto

Triángulo es un polígono con 3 lados (o 3 esquinas). Los lados de un triángulo a menudo se indican con letras pequeñas, que corresponden a las letras grandes que indican los vértices opuestos.

Triángulo agudo Se dice triángulo si los tres ángulos son agudos.

triángulo obtuso Se llama triángulo a aquel en el que uno de los ángulos es obtuso.

triángulo rectángulo se llama triángulo, en el cual uno de los ángulos es recto, es decir es igual a 90°; Los lados a y b que forman un ángulo recto se llaman piernas; El lado c, el opuesto del ángulo recto, se llama hipotenusa.

Triángulo isósceles se llama un triángulo en el que dos de sus lados son iguales (a = c); estos lados iguales se llaman lateral, el tercer lado se llama la base del triangulo.

triángulo equilátero Se llama un triángulo en el que todos sus lados son iguales (a \u003d b \u003d c). En ese caso, ninguno de sus lados (abc) es igual en un triángulo, entonces esto es triangulo desigual.

Las principales características de los triángulos.

En cualquier triángulo:

Un ángulo mayor se encuentra opuesto al lado mayor y viceversa.

Ángulos iguales se encuentran frente a lados iguales y viceversa. Es decir, todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales.

La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

Continuando con uno de los lados del triángulo, obtenemos la esquina exterior. El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.

No importa qué lado del triángulo sea menor que la suma de los otros 2 lados y mayor que su diferencia (a b - c; b a - c; c a - b).

Signos de igualdad de triángulos.

Los triángulos son congruentes, en cuyo caso son respectivamente iguales:

dos lados y el ángulo entre ellos;

dos esquinas y el lado adyacente a ellas;

tres lados.

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

Dos triángulos rectángulos son iguales, en cuyo caso se produce uno de los siguientes criterios:

sus piernas son iguales;

el cateto y la hipotenusa del 1er triángulo son iguales al cateto y la hipotenusa del otro;

la hipotenusa y el ángulo agudo del 1er triángulo son iguales a la hipotenusa y el ángulo agudo del otro;

el cateto y el ángulo agudo adyacente del 1er triángulo son iguales al cateto y el ángulo agudo adyacente del otro;

el cateto y el ángulo agudo opuesto del 1er triángulo son iguales al cateto y el ángulo agudo opuesto del otro.

Alturatriángulo es una perpendicular caída desde cualquier vértice en reverso(o su continuación). Este lado se llama la base del triangulo. Las tres alturas de un triángulo siempre se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo.

El ortocentro de un triángulo agudo se coloca dentro del triángulo y el ortocentro de un triángulo obtuso se coloca afuera; El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

Mediana es un segmento de línea que conecta cualquier vértice de un triángulo con el punto medio del reverso. Tres medianas de un triángulo se cortan en un punto, que siempre se encuentra dentro del triángulo y es su centro de masa. Este punto divide cada mediana 2:1 desde la parte superior.

Bisectriz es un segmento de la bisectriz del ángulo desde el vértice hasta el punto de intersección con reverso. Tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, que siempre se encuentra dentro del triángulo y es el centro del círculo inscrito. La bisectriz divide el reverso en partes proporcionales a los lados adyacentes.

Perpendicular mediana es una perpendicular trazada desde el punto medio del segmento (lado). Las tres medianas perpendiculares de un triángulo se cortan en un punto, que es el centro del círculo circunscrito.

EN triángulo agudo este punto se encuentra dentro del triángulo, en un triángulo obtuso - afuera, en uno rectangular - en el medio de la hipotenusa. El ortocentro, centro de masa, centro del círculo circunscrito y centro del círculo inscrito coinciden exclusivamente en un triángulo equilátero.

Axioma de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Confirmación del axioma de Pitágoras

Construye el cuadrado AKMB usando la hipotenusa AB como lado. Luego continuamos los lados del triángulo rectángulo ABC para obtener el cuadrado CDEF, cuyo lado es a + b. Ahora queda claro que el área del cuadrado CDEF es (a + b) 2. Por otro lado, esta área es igual a la suma de las áreas de cuatro triángulos rectángulos y el cuadrado AKMB, en otras palabras,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

y tenemos:

c 2 = un 2 + segundo 2 .

Relación de aspecto en un triángulo aleatorio

En el caso general (para un triángulo aleatorio) tenemos:

c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * porque C,

donde C es el ángulo entre los lados a y b.

school-club.ru - ¿Qué son los triángulos?

math.ru - tipos de triángulos;

raduga.rkc-74.ru: todo sobre triángulos para los más pequeños.

Adicional al sitio:

¿Cómo se clasifican los triángulos?

¿Cómo encontrar el área de un triángulo?

¿Cómo encontrar el área de un triángulo rectángulo?

¿Cómo encontrar el radio de un círculo inscrito en un triángulo?

¿Cómo encontrar el radio de un círculo circunscrito a un triángulo?

¿Cómo demostrar el axioma de los cosenos?

Hoy nos vamos al país de la Geometría, donde conoceremos diferentes tipos de triángulos.

Considerar figuras geometricas y encuentra entre ellos el “extra” (Fig. 1).

Arroz. 1. Ilustración por ejemplo

Vemos que las figuras nº 1, 2, 3, 5 son cuadrángulos. Cada uno de ellos tiene su propio nombre (Fig. 2).

Arroz. 2. Cuadrángulos

Esto significa que la figura "extra" es un triángulo (Fig. 3).

Arroz. 3. Ilustración por ejemplo

Un triángulo es una figura que consta de tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta y tres segmentos que conectan estos puntos en pares.

Los puntos se llaman vértices del triángulo, segmentos - su fiestas. Los lados del triángulo forman Hay tres ángulos en los vértices de un triángulo.

Las principales características de un triángulo son tres lados y tres esquinas. Los triángulos se clasifican según el ángulo. aguda, rectangular y obtusa.

Un triángulo se llama de ángulo agudo si sus tres ángulos son agudos, es decir, menores de 90 ° (Fig. 4).

Arroz. 4. Triángulo agudo

Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos mide 90° (Fig. 5).

Arroz. 5. Triángulo rectángulo

Un triángulo se llama obtuso si uno de sus ángulos es obtuso, es decir, mayor de 90° (Fig. 6).

Arroz. 6. Triángulo obtuso

Según el número de lados iguales, los triángulos son equiláteros, isósceles y escalenos.

Un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos lados son iguales (Fig. 7).

Arroz. 7. Triángulo isósceles

Estos lados se llaman lateral, Tercer lado - base. En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.

Los triángulos isósceles son agudo y obtuso(Figura 8) .

Arroz. 8. Triángulos isósceles agudos y obtusos

Se llama triángulo equilátero, en el que los tres lados son iguales (Fig. 9).

Arroz. 9. Triángulo equilátero

En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales. Triángulos equiláteros Siempre de ángulo agudo.

Se llama triángulo a un triángulo en el que los tres lados tienen diferentes longitudes (Fig. 10).

Arroz. 10. Triángulo escaleno

Completa la tarea. Divida estos triángulos en tres grupos (Fig. 11).

Arroz. 11. Ilustración para la tarea.

Primero, distribuyamos según el tamaño de los ángulos.

Triángulos agudos: No. 1, No. 3.

Triángulos rectángulos: #2, #6.

Triángulos obtusos: #4, #5.

Estos triángulos se dividen en grupos según el número de lados iguales.

Triángulos escalenos: nº 4, nº 6.

Triángulos isósceles: nº 2, nº 3, nº 5.

Triángulo equilátero: N° 1.

Revisa los dibujos.

Piensa de qué trozo de alambre está hecho cada triángulo (fig. 12).

Arroz. 12. Ilustración para la tarea.

Puedes discutir así.

El primer trozo de alambre se divide en tres partes iguales, por lo que puedes formar un triángulo equilátero con él. Se muestra en tercer lugar en la figura.

El segundo trozo de alambre está dividido en tres partes diferentes, por lo que puedes hacer un triángulo escaleno con él. Se muestra primero en la imagen.

El tercer trozo de alambre se divide en tres partes, donde las dos partes tienen la misma longitud, por lo que puedes hacer un triángulo isósceles con él. Se muestra en segundo lugar en la figura.

Hoy en la lección nos familiarizamos con diferentes tipos de triángulos.

Bibliografía

1. MI. Moro, M.A. Bantova y otros Matemáticas: libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 1. - M.: "Ilustración", 2012.
2. MI. Moro, M.A. Bantova y otros Matemáticas: libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 2. - M.: "Ilustración", 2012.
3. MI. Moreau. Lecciones de matemáticas: Pautas para el maestro. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
4. Documento reglamentario. Seguimiento y evaluación de los resultados del aprendizaje. - M.: "Ilustración", 2011.
5. "Escuela de Rusia": programas para escuela primaria. - M.: "Ilustración", 2011.
6. SI. Volkov. Matemáticas: Trabajo de verificación. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
7. V.N. Rudnítskaya. Pruebas. - M.: "Examen", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Tarea

1. Termina las frases.

a) Un triángulo es una figura que consta de ..., que no se encuentra en la misma línea recta, y ..., que conecta estos puntos en pares.

b) Los puntos se llaman … , segmentos - su … . Los lados de un triángulo se forman en los vértices de un triángulo. ….

c) Según el tamaño del ángulo, los triángulos son...,...,....

d) Según el número de lados iguales, los triángulos son...,...,....

2. Dibujar

a) un triángulo rectángulo

b) un triángulo agudo;

c) un triángulo obtuso;

d) un triángulo equilátero;

e) triángulo escaleno;

e) un triángulo isósceles.

3. Haga una tarea sobre el tema de la lección para sus compañeros.

Hoy nos vamos al país de la Geometría, donde conoceremos diferentes tipos de triángulos.

Examina las formas geométricas y encuentra el "extra" entre ellas (Fig. 1).

Arroz. 1. Ilustración por ejemplo

Vemos que las figuras nº 1, 2, 3, 5 son cuadrángulos. Cada uno de ellos tiene su propio nombre (Fig. 2).

Arroz. 2. Cuadrángulos

Esto significa que la figura "extra" es un triángulo (Fig. 3).

Arroz. 3. Ilustración por ejemplo

Un triángulo es una figura que consta de tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta y tres segmentos que conectan estos puntos en pares.

Los puntos se llaman vértices del triángulo, segmentos - su fiestas. Los lados del triángulo forman Hay tres ángulos en los vértices de un triángulo.

Las principales características de un triángulo son tres lados y tres esquinas. Los triángulos se clasifican según el ángulo. aguda, rectangular y obtusa.

Un triángulo se llama de ángulo agudo si sus tres ángulos son agudos, es decir, menores de 90 ° (Fig. 4).

Arroz. 4. Triángulo agudo

Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos mide 90° (Fig. 5).

Arroz. 5. Triángulo rectángulo

Un triángulo se llama obtuso si uno de sus ángulos es obtuso, es decir, mayor de 90° (Fig. 6).

Arroz. 6. Triángulo obtuso

Según el número de lados iguales, los triángulos son equiláteros, isósceles y escalenos.

Un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos lados son iguales (Fig. 7).

Arroz. 7. Triángulo isósceles

Estos lados se llaman lateral, Tercer lado - base. En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.

Los triángulos isósceles son agudo y obtuso(Figura 8) .

Arroz. 8. Triángulos isósceles agudos y obtusos

Se llama triángulo equilátero, en el que los tres lados son iguales (Fig. 9).

Arroz. 9. Triángulo equilátero

En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales. Triángulos equiláteros Siempre de ángulo agudo.

Se llama triángulo a un triángulo en el que los tres lados tienen diferentes longitudes (Fig. 10).

Arroz. 10. Triángulo escaleno

Completa la tarea. Divida estos triángulos en tres grupos (Fig. 11).

Arroz. 11. Ilustración para la tarea.

Primero, distribuyamos según el tamaño de los ángulos.

Triángulos agudos: No. 1, No. 3.

Triángulos rectángulos: #2, #6.

Triángulos obtusos: #4, #5.

Estos triángulos se dividen en grupos según el número de lados iguales.

Triángulos escalenos: nº 4, nº 6.

Triángulos isósceles: nº 2, nº 3, nº 5.

Triángulo equilátero: N° 1.

Revisa los dibujos.

Piensa de qué trozo de alambre está hecho cada triángulo (fig. 12).

Arroz. 12. Ilustración para la tarea.

Puedes discutir así.

El primer trozo de alambre se divide en tres partes iguales, por lo que puedes formar un triángulo equilátero con él. Se muestra en tercer lugar en la figura.

El segundo trozo de alambre está dividido en tres partes diferentes, por lo que puedes hacer un triángulo escaleno con él. Se muestra primero en la imagen.

El tercer trozo de alambre se divide en tres partes, donde las dos partes tienen la misma longitud, por lo que puedes hacer un triángulo isósceles con él. Se muestra en segundo lugar en la figura.

Hoy en la lección nos familiarizamos con diferentes tipos de triángulos.

Bibliografía

1. MI. Moro, M.A. Bantova y otros Matemáticas: libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 1. - M.: "Ilustración", 2012.
2. MI. Moro, M.A. Bantova y otros Matemáticas: libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 2. - M.: "Ilustración", 2012.
3. MI. Moreau. Lecciones de matemáticas: pautas para profesores. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
4. Documento reglamentario. Seguimiento y evaluación de los resultados del aprendizaje. - M.: "Ilustración", 2011.
5. "Escuela de Rusia": Programas para la escuela primaria. - M.: "Ilustración", 2011.
6. SI. Volkov. Matemáticas: Trabajos de prueba. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
7. V.N. Rudnítskaya. Pruebas. - M.: "Examen", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Tarea

1. Termina las frases.

a) Un triángulo es una figura que consta de ..., que no se encuentra en la misma línea recta, y ..., que conecta estos puntos en pares.

b) Los puntos se llaman … , segmentos - su … . Los lados de un triángulo se forman en los vértices de un triángulo. ….

c) Según el tamaño del ángulo, los triángulos son...,...,....

d) Según el número de lados iguales, los triángulos son...,...,....

2. Dibujar

a) un triángulo rectángulo

b) un triángulo agudo;

c) un triángulo obtuso;

d) un triángulo equilátero;

e) triángulo escaleno;

e) un triángulo isósceles.

3. Haga una tarea sobre el tema de la lección para sus compañeros.

El polígono más simple que se estudia en la escuela es un triángulo. Es más comprensible para los estudiantes y encuentra menos dificultades. A pesar de que existen diferentes tipos Triángulos que tienen propiedades especiales.

¿Qué forma se llama triángulo?

Formado por tres puntos y segmentos de recta. Los primeros se llaman vértices y los segundos lados. Además, los tres segmentos deben estar conectados de modo que se formen esquinas entre ellos. De ahí el nombre de la figura "triángulo".

Diferencias en los nombres en las esquinas.

Dado que pueden ser agudos, obtusos y rectos, los tipos de triángulos están determinados por estos nombres. En consecuencia, existen tres grupos de tales figuras.

• Primero. Si todos los ángulos de un triángulo son agudos, entonces se llamará triángulo agudo. Todo es lógico.

• Segundo. Uno de los ángulos es obtuso, por lo que el triángulo es obtuso. Más fácil en ninguna parte.

• Tercero. Existe un ángulo igual a 90 grados, que se llama ángulo recto. El triángulo se vuelve rectangular.

Diferencias de nombres en los laterales.

Dependiendo de las características de los lados, se distinguen los siguientes tipos de triángulos:

el caso general es versátil, en el que todos los lados tienen una longitud arbitraria;

isósceles, cuyos dos lados tienen los mismos valores numéricos;

equilátero, las longitudes de todos sus lados son iguales.

Si la tarea no especifica un tipo específico de triángulo, entonces necesitas dibujar uno arbitrario. En el que todos los ángulos son agudos y los lados tienen diferentes longitudes.

Propiedades comunes a todos los triángulos.

1. Si sumas todos los ángulos de un triángulo, obtienes un número igual a 180º. Y no importa de qué tipo sea. Esta regla siempre se aplica.
2. El valor numérico de cualquier lado del triángulo es menor que los otros dos sumados. Además, es mayor que su diferencia.
3. Cada esquina exterior tiene un valor que se obtiene sumando dos esquinas interiores que no son adyacentes a ella. Además, siempre es más grande que el interno adyacente.
4. El lado más pequeño de un triángulo siempre está opuesto al ángulo más pequeño. Por el contrario, si el lado es grande, entonces el ángulo será el mayor.

Estas propiedades siempre son válidas, sin importar qué tipos de triángulos se consideren en los problemas. Todo lo demás se deriva de características específicas.

Propiedades de un triángulo isósceles

• Los ángulos adyacentes a la base son iguales.
• La altura que se traza hasta la base es también la mediana y la bisectriz.
• Las alturas, medianas y bisectrices, que se construyen a los lados del triángulo, son respectivamente iguales entre sí.

Propiedades de un triángulo equilátero

Si existe tal cifra, entonces todas las propiedades descritas un poco más arriba serán ciertas. Porque un equilátero siempre será isósceles. Pero no al revés, un triángulo isósceles no necesariamente será equilátero.

• Todos sus ángulos son iguales entre sí y tienen un valor de 60º.
• Cualquier mediana de un triángulo equilátero es su altura y su bisectriz. Y todos son iguales entre sí. Para determinar sus valores existe una fórmula que consiste en el producto del lado y la raíz cuadrada de 3 dividido por 2.

Propiedades de un triángulo rectángulo

• Dos ángulos agudos suman 90º.
• La longitud de la hipotenusa es siempre mayor que la de cualquiera de los catetos.
• El valor numérico de la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de ella.
• El cateto tiene el mismo valor si se encuentra opuesto a un ángulo de 30º.
• La altura, que se dibuja desde arriba con un valor de 90º, tiene una cierta dependencia matemática de los catetos: 1 / n 2 = 1 / a 2 + 1 / in 2. Aquí: a, c - piernas, n - altura.

Problemas con diferentes tipos de triángulos.

N° 1. Dado un triángulo isósceles. Se conoce su perímetro y es igual a 90 cm, se requiere conocer sus lados. Como condición adicional: el lado lateral es 1,2 veces más pequeño que la base.

El valor del perímetro depende directamente de las cantidades que se deben encontrar. La suma de los tres lados dará 90 cm, ahora hay que recordar el signo del triángulo, según el cual es isósceles. Es decir, los dos lados son iguales. Puedes hacer una ecuación con dos incógnitas: 2a + b = 90. Aquí a es el lado, b es la base.

Es hora de una condición adicional. A continuación se obtiene la segunda ecuación: b = 1,2a. Puedes sustituir esta expresión en la primera. Resulta: 2a + 1,2a = 90. Después de transformaciones: 3,2a = 90. Por tanto, a = 28,125 (cm). Ahora es fácil descubrir el motivo. Es mejor hacer esto a partir de la segunda condición: v = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Para comprobarlo, puedes sumar tres valores: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Está bien.

Respuesta: los lados del triángulo miden 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

No. 2. El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm y debes calcular su altura.

Solución. Para buscar una respuesta basta con volver al momento en que se describieron las propiedades del triángulo. Esta es la fórmula para encontrar la altura, la mediana y la bisectriz de un triángulo equilátero.

n \u003d a * √3 / 2, donde n es la altura, a es el lado.

La sustitución y el cálculo dan el siguiente resultado: n = 6 √3 (cm).

No es necesario memorizar esta fórmula. Baste recordar que la altura divide el triángulo en dos rectangulares. Además, resulta ser un cateto, y la hipotenusa en él es el lado del original, el segundo cateto es la mitad del lado conocido. Ahora necesitas escribir el teorema de Pitágoras y derivar una fórmula para la altura.

Respuesta: la altura es 6 √3 cm.

Numero 3. Se da MKR: un triángulo de 90 grados en el que forma un ángulo K. Los lados MP y KR son conocidos, miden 30 y 15 cm respectivamente, es necesario averiguar el valor del ángulo P.

Solución. Si haces un dibujo, queda claro que MP es la hipotenusa. Además, es dos veces más grande que la pata del CD. Nuevamente, debes recurrir a las propiedades. Uno de ellos está relacionado simplemente con las esquinas. De ahí se desprende que el ángulo del KMR es de 30º. Entonces el ángulo deseado P será igual a 60º. Esto se sigue de otra propiedad que establece que la suma de dos Esquinas filosas debe ser de 90º.

Respuesta: el ángulo R mide 60º.

No. 4. Necesitas encontrar todos los ángulos de un triángulo isósceles. Se sabe de él que el ángulo exterior desde el ángulo de la base es de 110º.

Solución. Dado que solo se proporciona la esquina exterior, se debe utilizar esta. Se forma con un ángulo interno desarrollado. Entonces suman 180º. Es decir, el ángulo en la base del triángulo será igual a 70º. Como es isósceles, el segundo ángulo tiene el mismo valor. Queda por calcular el tercer ángulo. Por una propiedad común a todos los triángulos, la suma de los ángulos es 180º. Entonces el tercero se define como 180º - 70º - 70º = 40º.

Respuesta: los ángulos son 70º, 70º, 40º.

Numero 5. Se sabe que en un triángulo isósceles el ángulo opuesto a la base es de 90º. Hay un punto marcado en la base. El segmento que lo conecta con un ángulo recto lo divide en una proporción de 1 a 4. Necesitas conocer todos los ángulos del triángulo más pequeño.

Solución. Una de las esquinas se puede determinar inmediatamente. Como el triángulo es rectángulo e isósceles, los que se encuentran en su base serán de 45º, es decir, 90º/2.

El segundo de ellos ayudará a encontrar la relación conocida en la condición. Como es igual a 1 a 4, entonces las partes en las que se divide son solo 5. Entonces, para encontrar el ángulo menor del triángulo, necesitas 90º / 5 = 18º. Queda por descubrir el tercero. Para ello, a 180º (la suma de todos los ángulos de un triángulo), hay que restarle 45º y 18º. Los cálculos son sencillos y resulta: 117º.