Докладно розглянуто приклади рішень інтегралів частинами, підінтегральне вираження яких містить логарифм, арксинус, арктангенс, а також логарифм цілою мірою та логарифм від багаточлена.

Зміст

Див. також: Метод інтегрування частинами
Таблиця невизначених інтегралів
Методи обчислення невизначених інтегралів
Основні елементарні функції та їх властивості

Формула інтегрування частинами

Нижче, при вирішенні прикладів, застосовується формула інтегрування частинами:
;
.

Приклади інтегралів, що містять логарифм та зворотні тригонометричні функції

Ось приклади інтегралів, які інтегруються частинами:
, , , , , , .

При інтегруванні ту частину підінтегрального виразу, яка містить логарифм або зворотні тригонометричні функції, позначають через u, інше - через dv.

Нижче наведено приклади із докладними рішеннями цих інтегралів.

Простий приклад із логарифмом

Обчислимо інтеграл, що містить добуток багаточлена та логарифму:

Тут підінтегральний вираз містить логарифм. Робимо підстановки
u = ln x, dv = x 2 dx. Тоді
,
.

Інтегруємо частинами.
.

.
Тоді
.
Наприкінці обчислень додамо постійну C .

Приклад логарифму в ступені 2

Розглянемо приклад, у якому в подинтегральное вираз входить логарифм цілою мірою. Такі інтеграли також можуть інтегруватися частинами.

Робимо підстановки
u = (ln x) 2, dv = x dx. Тоді
,
.

Інтеграл, що залишився, також обчислюємо частинами:
.
Підставляємо
.

Приклад, у якому аргумент логарифму є багаточленом

Частками можуть обчислюватися інтеграли, до підінтегрального виразу якого входить логарифм, аргумент якого є багаточленом, раціональною або ірраціональною функцією. Як приклад, обчислимо інтеграл з логарифмом, аргумент якого багаточлен.
.

Робимо підстановки
u = ln( x 2 - 1), dv = x dx.
Тоді
,
.

Обчислюємо інтеграл, що залишився:
.
Ми тут не пишемо знак модуля ln | x 2 - 1 |, оскільки підінтегральний вираз визначено при x 2 - 1 > 0 . Підставляємо
.

Приклад з арксинусом

Розглянемо приклад інтеграла, до підінтегрального виразу якого входить арксинус.
.

Робимо підстановки
u = arcsin x,
.
Тоді
,
.

Далі зауважуємо, що підінтегральний вираз визначено за |x|< 1 . Розкриємо знак модуля під логарифмом, враховуючи що 1 - x > 0і 1 + x > 0.

Приклад з арктангенсом

Розв'яжемо приклад з арктангенсом:
.

Інтегруємо частинами.
.
Виділимо цілу частину дробу:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Інтегруємо:
.
Остаточно маємо.

Первісна та інтеграл

1. Первісна. Функція F(х) називається первісною для функції f(х) на проміжку X, якщо для будь-якого х із Х виконується рівність F"(x)=f(x)

Т.7.13 (Якщо F(х)-первоподібна для функції f(х) на проміжку X, то у функції f(x) нескінченно багато первісних, і всі ці первісні мають вигляд F(x)+С, де С - довільна стала (Основна властивість первісної).

2. Таблиця первісних. Враховуючи, що відшукання первісної є операція, зворотна диференціюванню, і відштовхуючись від похідних таблиці, отримуємо наступну таблицю первісних (для простоти в таблиці наведена одна первісна F(х), а не загальний вигляд первісних F(х) + С:

	Первісна		Первісна

Первинна та логарифмічна функція

Логарифмічна функція, функція, обернена до показової функції. Л. ф. позначається

її значення y, відповідне значення аргументу х, називається натуральним логарифмом числа х. З огляду на визначення співвідношення (1) рівносильне

(е - неперове число). Т. к. ey > 0 при будь-якому дійсному, то Л. ф. визначено лише за х > 0. У загальному сенсі Л. ф. називають функцію

первісний ступінь інтеграл логарифм

де а > 0 (а? 1) – довільна основа логарифмів. Однак у математичному аналізі особливе значення має функція InX; функція logaX наводиться до неї за формулою:

де М = 1/In а. Л. ф. - Одна з основних елементарних функцій; її графік (рис. 1) зветься логарифміки. Основні властивості Л. ф. випливають із відповідних властивостей показової функції та логарифмів; наприклад, Л. ф. задовольняє функціональному рівнянню

Для - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Багато інтегралів виражаються через Л. ф.; наприклад

Л. ф. постійно зустрічається в математичному аналізі та його додатках.

Л. ф. була добре відома математикам 17 ст. Вперше залежність між змінними величинами, що виражається Л. ф., розглядалася Дж. Непер (1614). Він представив залежність між числами та їх логарифмами за допомогою двох точок, що рухаються паралельними прямими (рис. 2). Одна з них (У) рухається рівномірно, виходячи з З, а інша (X), починаючи рух з А, переміщається зі швидкістю, пропорційною її відстані до В. Якщо покласти СУ = у, ХВ = х, то згідно з цим визначенням

dx/dy = - kx, звідки.

Л. ф. на комплексній площині є багатозначною (нескінченнозначною) функцією, визначеною при всіх значеннях аргументу z? 0 позначається Lnz. Однозначна гілка цієї функції, яка визначається як

Inz = In?z? + i arg z,

де arg z – аргумент комплексного числа z, носить назву головного значення Л. ф. Маємо

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Усі значення Л. ф. для негативних: дійсні z є комплексними числами. Перша задовільна теорія Л. ф. у комплексній площині була дана Л. Ейлером (1749), який виходив із визначення

Інтегрування частинами. Приклади рішень

І знову здрастуйте. Сьогодні на уроці ми навчимося інтегрувати частинами. Метод інтегрування частинами – це з наріжних каменів інтегрального обчислення. На заліку, екзамені студенту майже завжди пропонують вирішити інтеграли таких типів: найпростіший інтеграл (див. статтю)або інтеграл на зміну змінної (див. статтю)або інтеграл саме на метод інтегрування частинами.

Як завжди, під рукою мають бути: Таблиця інтеграліві Таблиця похідних. Якщо у Вас досі немає, то, будь ласка, відвідайте комору мого сайту: Математичні формули та таблиці. Не втомлюся повторювати – краще все роздрукувати. Весь матеріал я постараюся викласти послідовно, просто і доступно, в інтегруванні частинами немає особливих труднощів.

Яке завдання вирішує метод інтегрування частинами? Метод інтегрування частинами вирішує дуже важливе завдання, він дозволяє інтегрувати деякі функції, відсутні в таблиці, твірфункцій, а деяких випадках – і приватне. Як ми пам'ятаємо, немає зручної формули: . Натомість є така: – формула інтегрування частинами своєї персоною. Знаю, знаю, ти одна така – з нею ми й працюватимемо весь урок (вже легше).

І одразу список у студію. Частками беруться інтеграли наступних видів:

1) , логарифм, логарифм, помножений на якийсь багаточлен.

2) ,– експоненційна функція, помножена на якийсь багаточлен. Сюди можна віднести інтеграли на кшталт – показова функція, помножена на многочлен, але практично відсотках так у 97, під інтегралом красується симпатична буква «е». … щось ліричною виходить стаття, ах так… весна ж прийшла.

3) , , - Тригонометричні функції, помножені на якийсь багаточлен.

4) , – зворотні тригонометричні функції («арки»), «арки», помножені на якийсь багаточлен.

Також частинами беруться деякі дроби, відповідні приклади ми також докладно розглянемо.

Інтеграли від логарифмів

Приклад 1

Класика. Іноді цей інтеграл можна зустріти в таблицях, але користуватися готовою відповіддю небажано, оскільки у викладача весняний авітаміноз і він сильно залаяється. Тому що аналізований інтеграл аж ніяк не табличний - він береться частинами. Вирішуємо:

Перериваємо рішення на проміжні пояснення.

Використовуємо формулу інтегрування частинами:

Формула застосовується зліва направо

Дивимося на ліву частину: . Очевидно, що в нашому прикладі (і в інших, які ми розглянемо) щось потрібно позначити за , а щось за .

В інтегралах типу за завжди позначається логарифм.

Технічно оформлення рішення реалізується так, в стовпчик записуємо:

Тобто за ми позначили логарифм, а за – рештупідінтегрального виразу.

Наступний етап: знаходимо диференціал:

Диференціал – це майже те саме, що й похідна, як його знаходити, ми вже розбирали на попередніх уроках.

Тепер знаходимо функцію. Щоб знайти функцію необхідно проінтегрувати праву частинунижньої рівності:

Тепер відкриваємо наше рішення і конструюємо праву частину формули: .
Ось, до речі, і зразок чистового рішення з невеликими позначками:

Єдиний момент, у творі я відразу переставив місцями і тому, що множник прийнято записувати перед логарифмом.

Як бачите, застосування формули інтегрування частинами, по суті, звело наше рішення до двох простих інтегралів.

Зверніть увагу, що у ряді випадків відразу післязастосування формули, під інтегралом, що залишився, обов'язково проводиться спрощення – у аналізованому прикладі ми скоротили підінтегральне вираження на «ікс».

Виконаємо перевірку. Для цього потрібно взяти похідну від відповіді:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл вирішено правильно.

Під час перевірки ми використали правило диференціювання твору: . І це невипадково.

Формула інтегрування частинами та формула – це два взаємно зворотні правила.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл.

Підінтегральна функція є твір логарифму на многочлен.
Вирішуємо.

Я ще раз докладно розпишу порядок застосування правила, надалі приклади будуть оформлятися коротше, і, якщо у Вас виникнуть труднощі в самостійному рішенні, потрібно повернутися назад до перших двох прикладів уроку.

Як мовилося раніше, необхідно позначити логарифм (те, що він у ступеня – значення немає). За позначаємо рештупідінтегрального виразу.

Записуємо у стовпчик:

Спочатку знаходимо диференціал:

Тут використано правило диференціювання складної функції . Не випадково, на першому уроці теми Невизначений інтеграл. Приклади рішенья наголосив на тому, що для того, щоб освоїти інтеграли, необхідно «набити руку» на похідних. Із похідними доведеться зіткнутися ще неодноразово.

Тепер знаходимо функцію, для цього інтегруємо праву частинунижньої рівності:

Для інтегрування ми застосували найпростішу табличну формулу

Тепер все готове до застосування формули . Відкриваємо «зірочкою» і «конструюємо» рішення відповідно до правої частини:

Під інтегралом у нас знову багаточлен на логарифм! Тому рішення знову переривається і правило інтегрування частинами застосовується вдруге. Не забуваймо, що за схожих ситуаціях завжди позначається логарифм.

Добре, якщо до цього моменту найпростіші інтеграли і похідні Ви вміли знаходити усно.

(1) Не плутаємось у знаках! Дуже часто тут втрачають мінус, також зверніть увагу, що мінус відноситься до всієїдужці і ці дужки потрібно коректно розкрити.

(2) Розкриваємо дужки. Останній інтеграл спрощуємо.

(3) Беремо останній інтеграл.

(4) «Зачісуємо» відповідь.

Необхідність двічі (а то й тричі) застосовувати правило інтегрування частинами виникає не так вже й рідко.

А зараз кілька прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл.

Цей приклад вирішується шляхом заміни змінної (або підведенням під знак диференціала)! А чому б і ні - можете спробувати взяти його частинами, вийде кумедна річ.

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл.

А ось цей інтеграл інтегрується частинами (обіцяний дріб).

Це приклади для самостійного рішення, рішення та відповіді наприкінці уроку.

Начебто в прикладах 3,4 підінтегральні функції схожі, а ось методи вирішення – різні! У цьому-то і полягає основна труднощі освоєння інтегралів - якщо неправильно підібрати метод рішення інтеграла, то возитися з ним можна годинами, як з справжнісінькою головоломкою. Тому чим більше ви вирішуєте різних інтегралів – тим краще, тим легше пройдуть залік та іспит. Крім того, на другому курсі будуть диференціальні рівняння, а без досвіду вирішення інтегралів та похідних робити там нічого.

За логарифмами, мабуть, більш ніж достатньо. На закуску можу ще згадати, що студенти-технарі логарифмами називають жіночі груди =). До речі, корисно знати назубок графіки основних елементарних функцій: синуса, косинуса, арктангенса, експоненти, багаточленів третього, четвертого ступеня тощо. Ні, звичайно, презерватив на глобус
я натягувати не буду, але тепер ви багато запам'ятаєте з розділу Графіки та функції =).

Інтеграли від експоненти, помноженої на багаточлен

Загальне правило:

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Використовуючи знайомий алгоритм, інтегруємо частинами:

Якщо виникли труднощі з інтегралом, слід повернутися до статті Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Єдине, що ще можна зробити, це «зачесати» відповідь:

Але якщо Ваша техніка обчислень не дуже хороша, то найвигідніший варіант залишити відповіддю або навіть

Тобто приклад вважається вирішеним, коли взято останній інтеграл. Помилка не буде, інша справа, що викладач може попросити спростити відповідь.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл.

Це приклад самостійного рішення. Цей інтеграл двічі інтегрується частинами. Особливу увагу слід звернути на знаки - тут легко заплутатися в них, також пам'ятаємо, що - складна функція.

Більше про експонента розповідати особливо нічого. Можу тільки додати, що експонента та натуральний логарифм взаємно-зворотні функції, це я до теми цікавих графіків вищої математики =) Стоп-стоп, не хвилюємося, лектор тверезий.

Інтеграли від тригонометричних функцій, помножених на багаточлен

Загальне правило: за завжди позначається багаточлен

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл.

Інтегруємо частинами:

Хммм, …і коментувати нема чого.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад для самостійного вирішення

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

Ще один приклад із дробом. Як і двох попередніх прикладах за позначається многочлен.

Інтегруємо частинами:

Якщо виникли труднощі або непорозуміння зі знаходженням інтеграла, рекомендую відвідати урок Інтеграли від тригонометричних функцій.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення.

Підказка: перед використанням методу інтегрування частинами слід застосувати деяку тригонометричну формулу, яка перетворює добуток двох тригонометричних функцій в одну функцію. Формулу також можна використовувати і в ході застосування методу інтегрування частинами, кому як зручніше.

Ось, мабуть, і все в цьому параграфі. Чомусь згадався рядок з гімну фізмата «А синуса графік хвиля за хвилею по осі абсцис пробігає».

Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій.
Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій, помножених на багаточлен

Загальне правило: за завжди позначається зворотна тригонометрична функція.

Нагадую, що до зворотних тригонометричних функцій відносяться арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Для стислості запису я називатиму їх «арками»

Складні інтеграли

Ця стаття завершує тему невизначених інтегралів і до неї включені інтеграли, які я вважаю досить складними. Урок створений на неодноразові прохання відвідувачів, які висловлювали побажання, щоб на сайті були розібрані і складніші приклади.

Передбачається, що читач цього тексту добре підготовлений та вміє застосовувати основні прийоми інтегрування. Чайникам і людям, які не дуже впевнено розуміються на інтегралах, слід звернутися до першого уроку – Невизначений інтеграл. Приклади рішеньде можна освоїти тему практично з нуля. Більш досвідчені студенти можуть ознайомитися з прийомами та методами інтегрування, які ще не зустрічалися в моїх статтях.

Які інтеграли буде розглянуто?

Спочатку ми розглянемо інтеграли з корінням, для вирішення яких послідовно використовується заміна змінноїі інтегрування частинами. Тобто, в одному прикладі комбінуються одразу два прийоми. І навіть більше.

Потім ми познайомимося з цікавим та оригінальним методом зведення інтеграла до себе. Цим способом вирішується не так вже й мало інтегралів.

Третім номером програми підуть інтеграли від складних дробів, які пролетіли повз касу в попередніх статтях.

По-четверте, буде розібрано додаткові інтеграли від тригонометричних функцій. Зокрема, існують методи, які дозволяють уникнути трудомісткої універсальної тригонометричної підстановки.

(2) У підінтегральній функції почленно ділимо чисельник на знаменник.

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтегралу. В останньому інтегралі відразу підводимо функцію під знак диференціалу.

(4) Беремо інтеграли, що залишилися. Зверніть увагу, що в логарифмі можна використовувати дужки, а не модуль, оскільки .

(5) Проводимо зворотну заміну, висловивши із прямої заміни «те»:

Студенти-мазохісти можуть продиференціювати відповідь і отримати вихідну підінтегральну функцію, як тільки це зробив я. Ні-ні, я в правильному сенсі виконав перевірку =)

Як бачите, в ході рішення довелося використовувати навіть більше двох прийомів рішення, таким чином, для розправи з подібними інтегралами потрібні впевнені навички інтегрування та не найменший досвід.

На практиці, звичайно, частіше зустрічається квадратний корінь, ось три приклади для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл

Ці приклади однотипні, тому повне рішення наприкінці статті буде лише для Прикладу 2, у Прикладах 3-4 – одні відповіді. Яку заміну застосовувати на початку рішень, гадаю, очевидно. Чому я підібрав однотипні приклади? Часто зустрічаються у своєму амплуа. Найчастіше, мабуть, тільки щось на зразок .

Не завжди, коли під арктангенсом, синусом, косинусом, експонентою та інших. функціями перебуває корінь з лінійної функції, доводиться застосовувати відразу кілька методів. У ряді випадків вдається "легко відбутися", тобто відразу після заміни виходить простий інтеграл, який елементарно береться. Найлегшим із запропонованих вище завдань є Приклад 4, у ньому після заміни виходить відносно нескладний інтеграл.

Методом зведення інтеграла до себе

Дотепний та красивий метод. Негайно розглянемо класику жанру:

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл

Під коренем знаходиться квадратний двочлен, і при спробі проінтегрувати цей приклад чайник може страждати годинами. Такий інтеграл береться частинами і зводиться до себе. У принципі, не складно. Якщо знаєш як.

Позначимо аналізований інтеграл латинською літерою і почнемо рішення:

Інтегруємо частинами:

(1) Готуємо підінтегральну функцію для почленного поділу.

(2) Почленно ділимо підінтегральну функцію. Можливо, не всім зрозуміло, розпишу докладніше:

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтегралу.

(4) Беремо останній інтеграл («довгий» логарифм).

Тепер дивимося на початок рішення:

І наприкінці:

Що сталося? Внаслідок наших маніпуляцій інтеграл звівся до самого себе!

Прирівнюємо початок і кінець:

Переносимо до лівої частини зі зміною знака:

А двійку зносимо у праву частину. В результаті:

Константу, строго кажучи, треба було додати раніше, але приписав її наприкінці. Настійно рекомендую прочитати, у чому тут строгість:

Примітка: Суворіше заключний етап рішення виглядає так:

Таким чином:

Константу можна перепозначити через . Чому можна перепозначити? Тому що все одно приймає будь-якізначення, і в цьому сенсі між константами немає жодної різниці.
В результаті:

Подібний трюк з перепозначенням константи широко використовується в диференціальних рівняннях. І там я буду суворий. А тут така вільність допускається мною тільки для того, щоб не плутати вас зайвими речами та акцентувати увагу саме на методі інтегрування.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл

Ще один типовий інтеграл для самостійного вирішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Різниця з відповіддю попереднього прикладу буде!

Якщо під квадратним коренем знаходиться квадратний тричлен, то рішення у будь-якому випадку зводиться до двох розібраних прикладів.

Наприклад, розглянемо інтеграл . Все, що потрібно зробити – попередньо виділити повний квадрат:
.
Далі проводиться лінійна заміна, яка обходиться «без жодних наслідків»:
, у результаті виходить інтеграл . Щось знайоме, правда?

Або такий приклад із квадратним двочленом:
Виділяємо повний квадрат:
І, після лінійної заміни, отримуємо інтеграл, який також вирішується за вже розглянутим алгоритмом.

Розглянемо ще два типові приклади на прийом відомості інтеграла до самого себе:
- Інтеграл від експоненти, помноженої на синус;
- Інтеграл від експоненти, помноженої на косинус.

У перерахованих інтегралах частинами доведеться інтегрувати вже двічі:

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл

Підінтегральна функція – експонента, помножена на синус.

Двічі інтегруємо частинами і зводимо інтеграл до себе:

В результаті дворазового інтегрування частинами інтеграл звівся до самого себе. Прирівнюємо початок та закінчення рішення:

Переносимо в ліву частину зі зміною знака та виражаємо наш інтеграл:

Готово. Принагідно бажано зачесати праву частину, тобто. винести експоненту за дужки, а в дужках розташувати синус із косинусом у «красивому» порядку.

Тепер повернемося до початку прикладу, а точніше – до інтегрування частинами:

За ми окреслили експоненту. Виникає питання, чи саме експоненту завжди потрібно позначати за ? Не обов'язково. Насправді у розглянутому інтегралі принципово без різниці, Що позначати за , можна було піти іншим шляхом:

Чому таке можливе? Тому що експонента перетворюється сама на себе (і при диференціюванні, і при інтегруванні), синус з косінусом взаємно перетворюються один на одного (знов-таки – і при диференціюванні, і при інтегруванні).

Тобто, можна позначити і тригонометричну функцію. Але у розглянутому прикладі це менш раціонально, оскільки з'являться дроби. За бажання можете спробувати вирішити цей приклад другим способом, відповіді обов'язково повинні збігтися.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як вирішувати, подумайте, що вигідніше в даному випадку позначити за експоненту, тригонометричну функцію? Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І, звичайно, не забувайте, що більшість відповідей цього уроку досить легко перевірити диференціюванням!

Приклади були розглянуті не найскладніші. Насправді частіше зустрічаються інтеграли, де константа є у показнику експоненти й у аргументі тригонометричної функції, например: . Поплутатися в подібному інтегралі доведеться багатьом, часто плутаюсь і я сам. Справа в тому, що у вирішенні велика ймовірність появи дробів, і дуже просто що-небудь через неуважність втратити. Крім того, велика ймовірність помилки у знаках, зверніть увагу, що у показнику експоненти є знак «мінус», і це вносить додаткову трудність.

На завершальному етапі часто виходить приблизно таке:

Навіть наприкінці рішення слід бути дуже уважним і грамотно розібратися з дробами:

Інтегрування складних дробів

Потроху підбираємось до екватора уроку і починаємо розглядати інтеграли від дробів. Знову ж таки, не всі вони суперскладні, просто з тих чи інших причин приклади були трохи «не в тему» ​​в інших статтях.

Продовжуємо тему коріння

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

У знаменнику під коренем знаходиться квадратний тричлен плюс за межами кореня доважок у вигляді ікса. Інтеграл такого виду вирішується за допомогою стандартної заміни.

Вирішуємо:

Заміна тут проста:

Дивимося на життя після заміни:

(1) Після підстановки приводимо до спільного знаменника доданки під коренем.
(2) Виносимо з-під кореня.
(3) Чисельник і знаменник скорочуємо на . Заодно під коренем я переставив доданки у зручному порядку. При певному досвіді кроки (1) (2) можна пропускати, виконуючи прокоментовані дії усно.
(4) Отриманий інтеграл, як ви пам'ятаєте з уроку Інтегрування деяких дробіввирішується методом виділення повного квадрата. Виділяємо повний квадрат.
(5) Інтегруванням отримуємо пересічний «довгий» логарифм.
(6) Проводимо зворотну заміну. Якщо спочатку , то назад: .
(7) Заключна дія спрямована на зачіску результату: під коренем знову наводимо доданки до спільного знаменника і виносимо з-під кореня.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Тут до самотнього «ікса» додано константу, і заміна майже така сама:

Єдине, що потрібно додатково зробити – висловити «ікс» із заміни, що проводиться:

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Іноді в такому інтегралі під коренем може бути квадратний двочлен, це не змінює спосіб вирішення, воно буде навіть простіше. Відчуйте різницю:

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл

Короткі рішення та відповіді наприкінці уроку. Слід зазначити, що приклад 11 є в точності біноміальним інтегралом, метод вирішення якого розглядався на уроці Інтеграли від ірраціональних функцій.

Інтеграл від нерозкладного багаточлена 2-го ступеня

(багаточлен у знаменнику)

Більш рідкісний, проте, що зустрічає у практичних прикладах вид інтеграла.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл

Але повернемося, наприклад, зі щасливим номером 13 (чесне слово, не підгадав). Цей інтеграл теж із розряду тих, з якими можна неабияк промучитися, якщо не знаєш, як вирішувати.

Рішення починається зі штучного перетворення:

Як почленно розділити чисельник на знаменник, гадаю, вже всі розуміють.

Отриманий інтеграл береться частинами:

Для інтеграла виду ( – натуральне число) виведено рекурентнаформула зниження ступеня:
, де - Інтеграл ступенем нижче.

Переконаємося у справедливості цієї формули для вирішеного інтеграла.
В даному випадку: , , використовуємо формулу:

Як бачите, відповіді збігаються.

Приклад 14

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. У зразку рішення двічі послідовно використана вищезгадана формула.

Якщо під ступенем знаходиться нерозкладний на множникиквадратний тричлен, то рішення зводиться до двочлена шляхом виділення повного квадрата, наприклад:

Що робити, якщо додатково в чисельнику є багаточлен? У цьому випадку використовується метод невизначених коефіцієнтів і підінтегральна функція розкладається у суму дробів. Але у моїй практиці такого прикладу не зустрічалося жодного разутому я пропустив цей випадок у статті Інтеграли від дробово-раціональної функції, пропущу і зараз. Якщо такий інтеграл таки зустрінеться, дивіться підручник – там просто. Не вважаю за доцільне включати матеріал (навіть нескладний), ймовірність зустрічі з яким прагне до нуля.

Інтегрування складних тригонометричних функцій

Прикметник «складний» більшість прикладів знову носить багато в чому умовний характер. Почнемо з тангенсів та котангенсів у високих ступенях. З погляду використовуваних методів вирішення тангенс і котангенс – майже одне й теж, тому я більше говоритиму про тангенс, маючи на увазі, що продемонстрований прийом рішення інтеграла справедливий і для котангенсу теж.

На вищезгаданому уроці ми розглядали універсальну тригонометричну підстановкуна вирішення певного виду інтегралів від тригонометричних функцій. Недолік універсальної тригонометричної підстановки у тому, що з її застосуванні часто виникають громіздкі інтеграли з важкими обчисленнями. І у ряді випадків універсальної тригонометричної підстановки можна уникнути!

Розглянемо ще один канонічний приклад, інтеграл від одиниці, поділеної на синус:

Приклад 17

Знайти невизначений інтеграл

Тут можна використовувати універсальну тригонометричну підстановку та отримати відповідь, але існує більш раціональний шлях. Я наведу повне рішення з коментами до кожного кроку:

(1) Використовуємо тригонометричну формулу синуса подвійного кута.
(2) Проводимо штучне перетворення: У знаменнику ділимо та множимо на .
(3) За відомою формулою у знаменнику перетворюємо дріб на тангенс.
(4) Підводимо функцію під знак диференціала.
(5) Беремо інтеграл.

Пара простих прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 18

Знайти невизначений інтеграл

Вказівка: Найпершою дією слід використовувати формулу приведення та акуратно провести аналогічні попередньому прикладу дії.

Приклад 19

Знайти невизначений інтеграл

Ну, це дуже простий приклад.

Повні рішення та відповіді наприкінці уроку.

Думаю, тепер ні в кого не виникне проблем із інтегралами:
і т.п.

У чому полягає ідея методу? Ідея полягає в тому, щоб за допомогою перетворень, тригонометричних формул організувати в підінтегральній функції тільки тангенси та похідну тангенсу. Тобто йдеться про заміну: . У Прикладах 17-19 ми фактично й застосовували цю заміну, але інтеграли були настільки прості, що справа обійшлася еквівалентною дією – підведенням функції під знак диференціалу.

Аналогічні міркування, як я вже говорив, можна провести для котангенсу.

Існує і формальна передумова для застосування вищезазначеної заміни:

Сума ступенів косинуса та синуса – ціле негативне ЧЕТНЕ число, наприклад:

для інтеграла – ціле негативне ЧЕТНЕ число.

! Примітка Якщо підінтегральна функція містить ТІЛЬКИ синус або ТІЛЬКИ косинус, то інтеграл береться і при негативному непарному ступені (найпростіші випадки – у Прикладах №№17, 18).

Розглянемо пару більш змістовних завдань цього правила:

Приклад 20

Знайти невизначений інтеграл

Сума ступенів синуса та косинуса: 2 – 6 = –4 – ціле негативне ЧЕТНЕ число, отже, інтеграл можна звести до тангенсів та його похідної:

(1) Перетворимо знаменник.
(2) За відомою формулою отримуємо .
(3) Перетворимо знаменник.
(4) Використовуємо формулу .
(5) Підбиваємо функцію під знак диференціала.
(6) Проводимо заміну. Досвідченіші студенти заміну можуть і не проводити, але все-таки краще замінити тангенс однією літерою – менше ризик заплутатися.

Приклад 21

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення.

Тримайтеся, починаються чемпіонські раунди =)

Найчастіше в підінтегральній функції знаходиться «солянка»:

Приклад 22

Знайти невизначений інтеграл

У цьому інтегралі спочатку є тангенс, що відразу наштовхує на вже знайому думку:

Штучне перетворення на самому початку та інші кроки залишу без коментарів, оскільки про все вже говорилося вище.

Пара творчих прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 23

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 24

Знайти невизначений інтеграл

Так, у них, звичайно, можна знизити ступеня синуса, косинуса, використовувати універсальну тригонометричну підстановку, але рішення буде набагато ефективнішим і коротшим, якщо його провести через тангенси. Повне рішення та відповіді наприкінці уроку