Взаємно обернені функції, основні визначення, властивості, графіки. Зворотні функції – визначення та властивості Зворотні функції їх властивості та графіки приклади

Нехай безлічі $X$ і $Y$ включені в безліч дійсних чисел. Введемо поняття оборотної функції.

Визначення 1

Функція $f:X\to Y$ відображає безліч $X$ у безліч $Y$ називається оборотною, якщо для будь-яких елементів $x_1,x_2\in X$ з того що $x_1\ne x_2$ слід, що $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Тепер ми можемо запровадити поняття зворотної функції.

Визначення 2

Нехай функція $f:X\to Y$ відображає безліч $X$ безліч $Y$ оборотна. Тоді функція $f^(-1):Y\to X$ відображає безліч $Y$ у безліч $X$ визначається умовою $f^(-1)\left(y\right)=x$ називається зворотною для $f( x) $.

Сформулюємо теорему:

Теорема 1

Нехай функція $y=f(x)$ визначена, монотонно зростає (зменшується) і безперервна у певному проміжку $X$. Тоді у відповідному проміжку $Y$ значень цієї функції у неї існує зворотна функція, яка також монотонно зростає (зменшується) і безперервна на проміжку $Y$.

Введемо тепер безпосередньо поняття взаємно зворотних функцій.

Визначення 3

У рамках визначення 2 функції $f(x)$ і $f^(-1)\left(y\right)$ називаються взаємно зворотними функціями.

Властивості взаємно зворотних функцій

Нехай функції $y=f(x)$ і $x=g(y)$ взаємно зворотні, тоді

$y=f(g\left(y\right))$ і $x=g(f(x))$

Область визначення функції $ y = f (x) $ дорівнює області значення функції $ \ x = g (y) $. А область визначення функції $ x = g (y) $ дорівнює області значення функції $ \ y = f (x) $.

Графіки функцій $y=f(x)$ і $x=g(y)$ симетричні щодо прямої $y=x$.

Якщо одна з функцій збільшується (зменшується), то й інша функція збільшується (зменшується).

Знаходження зворотної функції

Вирішується рівняння $y=f(x)$ щодо змінної $x$.

З отриманого коріння знаходять ті, що належать проміжку $X$.

Знайдені $x$ ставлять у відповідності до числа $y$.

Приклад 1

Знайти зворотну функцію для функції $y=x^2$ на проміжку $X=[-1,0]$

Так як ця функція зменшується і безперервна на проміжку $X$, то на проміжку $Y=$, яка також зменшується і безперервна на цьому проміжку (теорема 1).

Обчислимо $x$:

\ \

Вибираємо відповідні $x$:

Відповідь:обернена функція $y=-\sqrt(x)$.

Завдання на перебування зворотних функцій

У цій частині розглянемо зворотні функції деяких елементарних функцій. Завдання вирішуватимемо за схемою, даною вище.

Приклад 2

Знайти обернену функцію для функції $y=x+4$

Знайдемо $x$ із рівняння $y=x+4$:

Приклад 3

Знайти обернену функцію для функції $y=x^3$

Рішення.

Оскільки функція зростає і безперервна по всій області визначення, то, по теоремі 1, має у ній зворотну безперервну і зростаючу функцію.

Знайдемо $x$ із рівняння $y=x^3$:

Знаходимо відповідні значення $x$

Значення у разі підходить (оскільки область визначення -- все числа)

Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд

Приклад 4

Знайти обернену функцію для функції $y=cosx$ на проміжку $$

Рішення.

Розглянемо на величезній кількості $X=\left$ функцію $y=cosx$. Вона безперервна і убуває на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left$ на безліч $Y=[-1,1]$, тому теорема про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=cosx$ в безлічі $ Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає у множині $Y=[-1,1]$ і відображає безліч $[-1,1]$ на безліч $\left$.

Знайдемо $x$ із рівняння $y=cosx$:

Знаходимо відповідні значення $x$

Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд

Приклад 5

Знайти зворотну функцію для функції $y=tgx$ на проміжку $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Рішення.

Розглянемо на безлічі $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ функцію $y=tgx$. Вона безперервна і зростає на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ на безліч $Y=R$, тому за теоремою про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=tgx$ у множині $Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає в множині $Y=R$ і відображає безліч $R$ на безліч $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Знайдемо $x$ із рівняння $y=tgx$:

Знаходимо відповідні значення $x$

Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд

Припустимо, що ми маємо якусь функцію y = f (x) , яка є строго монотонною (зменшуваною або зростаючою) і безперервною на ділянці визначення x ∈ a ; b; область її значень y ∈ c; d, а на інтервалі c; d при цьому ми будемо визначено функцію x = g (y) з областю значень a ; b. Друга функція також буде безперервною та строго монотонною. По відношенню до y = f(x) вона буде зворотною функцією. Тобто ми можемо говорити про зворотну функцію x = g(y) тоді, коли y = f(x) на заданому інтервалі буде або зменшуватися, або зростати.

Дві ці функції, f і g, будуть взаємно зворотні.

Навіщо нам потрібно поняття зворотних функцій?

Це потрібно нам для вирішення рівнянь y = f(x) , які записуються саме за допомогою цих виразів.

Допустимо, нам потрібно знайти рішення рівняння cos(x) = 1 3 . Його рішеннями будуть усі крапки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

Зворотними по відношенню одна до одної будуть, наприклад, функції арккосинусу та косинуса.

Розберемо кілька завдань для знаходження функцій, зворотних заданим.

Приклад 1

Умова:яка функція буде зворотною для y = 3 x + 2?

Рішення

Область визначень і область значень функції, заданої умовою, – це безліч всіх дійсних чисел. Спробуємо вирішити дане рівняння через x, тобто виразивши x через y.

Ми отримаємо x = 13y-23. Це і є потрібна нам зворотна функція, але тут буде аргументом, а x - функцією. Переставимо їх, щоб отримати більш звичну форму запису:

Відповідь:функція y = 1 3 x - 2 3 буде оберненою для y = 3 x + 2 .

Обидві взаємно зворотні функції можна відобразити на графіку таким чином:

Ми бачимо симетричність обох графіків щодо y = x. Ця пряма є бісектрисою першого та третього квадрантів. Вийшло доказ однієї з властивостей взаємно зворотних функцій, про яку ми поговоримо далі.

Візьмемо приклад, у якому потрібно знайти логарифмічну функцію, обернену до заданої показової.

Приклад 2

Умова:визначте, яка функція буде оберненою для y = 2 x .

Рішення

Для заданої функції областю визначення є дійсні числа. Область значень лежить в інтервалі 0; + ∞. Тепер нам потрібно виразити x через y, тобто вирішити зазначене рівняння через x. Ми отримуємо x = log 2 y. Переставимо змінні та отримаємо y = log 2 x.

У результаті в нас вийшли показова та логарифмічна функції, які будуть взаємно оберненими один одному на всій області визначення.

Відповідь: y = log 2 x.

На графіку обидві функції виглядатимуть так:



Основні властивості взаємно зворотних функцій

У цьому вся пункті ми перерахуємо основні властивості функцій y = f (x) і x = g (y) , є взаємно зворотними.

Визначення 1

1. Першу властивість ми вже вивели раніше: y = f(g(y)) та x = g(f(x)).
2. Друга властивість випливає з першого: область визначення y = f (x) збігатиметься з областю значень зворотної функції x = g (y) , і навпаки.
3. Графіки функцій, що є зворотними, будуть симетричними щодо y = x.
4. Якщо y = f(x) є зростаючою, то і x = g(y) зростатиме, а якщо y = f(x) убуває, то убуває і x = g(y) .

Радимо уважно поставитися до понять області визначення та області значення функцій і ніколи їх не плутати. Припустимо, що ми маємо дві взаємно зворотні функції y = f(x) = a x і x = g(y) = log a y . Відповідно до першої властивості, y = f (g (y)) = a log a y. Ця рівність буде вірною лише у разі позитивних значень y , а для негативних логарифм не визначено, тому не поспішайте записувати, що a log a y = y . Обов'язково перевірте і додайте, що це вірно лише за умови позитивного y .

А ось рівність x = f (g (x)) = log a a x = x буде вірною за будь-яких дійсних значень x .

Не забувайте про цей момент, особливо якщо доводиться працювати з тригонометричними та зворотними тригонометричними функціями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, тому що область значень арксинусу - π 2; π 2 і 7 π 3 до неї не входить. Вірною буде запис

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р і ви д е н і я = a r c sin sin π 3 = π 3

І це sin a r c sin 1 3 = 1 3 – правильне рівність, тобто. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1; 1 та a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Завжди будьте уважні з областю значень та областю визначень зворотних функцій!

• Основні взаємно зворотні функції: статечні

Якщо ми маємо статечну функцію y = x a , то при x > 0 статечна функція x = y 1 a також буде обернена їй. Замінимо літери та отримаємо відповідно y = x a та x = y 1 a .

На графіку вони будуть виглядати наступним чином (випадки з позитивним та негативним коефіцієнтом a):



• Основні взаємно зворотні функції: показові та логарифмічні

Візьмемо a, яке буде позитивним числом, не рівним 1 .

Графіки для функцій з a > 1 та a< 1 будут выглядеть так:



• Основні взаємно зворотні функції: тригонометричні та зворотні тригонометричні

Якщо нам потрібно побудувати графік головної гілки синуса та арксинусу, він буде виглядати так (показаний виділеною світлою областю).

Визначення зворотної функції.

Нехай функція строго монотонна (зростаюча або спадна) і безперервна на області визначення , область значень цієї функції , тоді на інтервалі визначена безперервна строго монотонна функція з областю значень , яка є зворотною для .

Іншими словами, про зворотну функцію для функції на конкретному проміжку має сенс говорити, якщо на цьому інтервалі або зростає, або зменшується.

Функції f та g називають взаємно зворотними.

Навіщо взагалі розглядати поняття обернених функцій?

Це викликано завданням вирішення рівнянь. Рішення таки записуються через зворотні функції.

Приклади знаходження взаємнооборотних функцій.

Наприклад, потрібно вирішити рівняння .

Рішеннями є точки .

Функції косинус і арккосинус є зворотними на області визначення.

Розглянемо кілька прикладів знаходження зворотних функцій.

Почнемо з лінійних взаємно зворотних функцій.

приклад.

Рішення.

Областю визначення та областю значень цієї функції є вся безліч дійсних чисел. Виразимо x через y (іншими словами, вирішимо рівняння щодо x).

Це і є зворотна функція, правда тут y – аргумент, а x – функція цього аргументу. Щоб не порушувати звички в позначеннях (це не має принципового значення), переставивши літери x і y, писатим .

Таким чином, і – взаємно зворотні функції.

Наведемо графічну ілюстрацію взаємно зворотних лінійних функцій.


Очевидно, що графіки симетричні щодо прямої y=x (бісектриси першого та третього квадрантів). Це одна з властивостей взаємно зворотних функцій, про які йдеться нижче.

Тепер розглянемо приклад знаходження логарифмічної функції, що обернена до заданої показової функції.

приклад.

Знайти функцію зворотну для .

Рішення.

Областю визначення цієї функції є безліч дійсних чисел, областю значень є інтервал . Виразимо x через y (іншими словами, вирішимо рівняння щодо x).

Це і є зворотна функція. Переставивши літери x та y, маємо.

Таким чином, і - показова та логарифмічна функції є взаємно зворотними функціями на області визначення.

Графік взаємно зворотних показової та логарифмічної функцій.


Властивості взаємно зворотних функцій.

Перерахуємо властивості взаємно зворотних функційта .

Зауваження за якістю 1).

Наприклад: і - Взаємно зворотні функції. За першою властивістю маємо . Ця рівність правильна тільки для позитивних y, для негативних y логарифм не визначено. Так що не поспішайте із записами виду , а якщо вже так написали, слід додати фразу « при позитивних y».

Рівність у свою чергу правильна для будь-яких дійсних x.

Сподіваємось, Ви вловили цей тонкий момент.

Особливо акуратними треба бути з тригонометричними та зворотними тригонометричними функціями.

Наприклад, , оскільки область значень арксинусу , а неї не потрапляє.

Правильно буде


В свою чергу є правильна рівність.

Тобто при і при .

Ще раз підкреслимо: БУДЬТЕ УВАЖНІ З ОБЛАСТЮ ВИЗНАЧЕННЯ І ОБЛАСТЮ ЗНАЧЕНЬ!

Графіки основних елементарних взаємно зворотних функцій.

Якщо Вам потрібні зворотні функції для гілок тригонометричних функцій, відмінних від головних, відповідну зворотну тригонометричну функцію потрібно буде зрушити вздовж осі ординат на необхідну кількість періодів.

Наприклад, якщо Вам буде потрібна зворотна функція для гілки тангенса на проміжку (ця гілка виходить з головної гілки зсувом на величину вздовж осі ох), то їй буде гілка арктангенса, зсунута вздовж осі oy на .


Поки що на цьому закінчимо зі зворотними функціями.

Список літератури.

• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт установ.

Відповідні висловлювання, які звертаються один до одного. Щоб розібратися, що це означає, варто розглянути конкретний приклад. Допустимо, маємо y = cos(x). Якщо взяти від аргументу косинус, можна знайти значення y. Очевидно, для цього потрібно мати ікс. Але що якщо спочатку дано ігрок? Саме тут справа сягає суті питання. Для вирішення завдання потрібне використання зворотної функції. У нашому випадку це арккосинус.

Після всіх перетворень отримаємо: x = arccos (y).

Тобто, щоб знайти функцію, обернену до цієї, досить просто висловити з неї аргумент. Але це працює лише за умови, якщо отриманий результат матиме єдине значення (про це далі).

Загалом можна записати цей факт так: f(x) = y, g(y) = x.

Визначення

Нехай f - функція, областю визначення якої є множина X, а областю значень - множина Y. Тоді, якщо існує g, чиї області виконують протилежні завдання, то f є оборотною.

Крім того, у такому випадку g - єдина, що означає, що існує рівно одна функція, що задовольняє цій властивості (не більше, не менше). Тоді її називають зворотною функцією, і на листі позначають так: g(x) = f -1(x).

Інакше кажучи, їх можна як двійкове ставлення. Оборотність має бути тільки тоді, коли одному елементу множини відповідає одне значення з іншого.

Не завжди існує обернена функція. Для цього кожен елемент y є Y повинен відповідати не більше ніж одному x є X. Тоді f називається взаємно однозначною або ін'єкцією. Якщо f -1 належить Y, то кожен елемент цієї множини повинен відповідати деякому x ∈ X. Функції з такою властивістю називаються сюр'єкціями. Воно виконується за визначенням, якщо Y – зображення f, але це не завжди так. Щоб бути зворотною, функція має бути як ін'єкцією, і сюр'єкцією. Такі вирази називаються бієкціями.

Приклад: квадратні та кореневі функції

Функція визначена на

Е(у) = [-π/2;π/2]

у (-х) = arcsin (-х) = - arcsin х - функція непарна, графік симетричний щодо точки О (0; 0).

arcsin x = 0 при x = 0.

arcsin х > 0 при х є (0; 1)

arcsin х< 0 при х є [-1;0)

у = arcsin х зростає за будь-якого х є [-1;1]

1 ≤ х 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin х 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Арккосінус

Функція косинус зменшується на відрізку і набуває всіх значень від -1 до 1. Тому будь-якого числа а, такого, що |а|1, на відрізку існує єдиний корінь у рівнянні cosx=a. Це число називають арккосинусом числа а і позначають arcos а.

Визначення . Арккосинусом числа а, де -1 а 1, називається таке число з відрізка , косинус якого дорівнює а.

Властивості.

1. Е(у) =

   у(-х) = arccos(-х) = π - arccos х – функція не є ні парною, ні непарною.

   arccos х = 0 при х = 1

   arccos x > 0 при x є [-1;1)

arccos х< 0 – нет решений

у = arccos х зменшується за будь-якого х є [-1;1]

1 ≤ х 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 – спадна.

Арктангенс

Функція тангенс зростає на відрізку -
, Отже, по теоремі про корені рівняння tgx = a, де а - будь-яке дійсне число, має єдиний корінь х на інтервалі -. Цей корінь називають арктангенсом числа а та позначають arctga.

Визначення. Арктангенсом числа aR називається така кількість х , тангенс якого дорівнює а.

Властивості.

Е(у) = (-π/2;π/2)

у(-х) = у = arctg(-х) = - arctg х – функція є непарною, графік симетричний щодо точки О(0;0).

arctg х = 0 при х = 0

Функція зростає за будь-якого х є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg х 1< arctg х 2

Арккотангенс

Функція котангенс на інтервалі (0;) зменшується і набуває всіх значень з R. Тому для будь-якого числа а в інтервалі (0;) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число а називають арккотангенсом числа а та позначають arcctg а.

Визначення. Арккотангенсом числа а, де а R називається таке число з інтервалу (0;) , котангенс якого дорівнює а.

Властивості.

Е(у) = (0;π)

у(-х) = arcctg(-х) = π - arcctg х – функція не є ні парною, ні непарною.

arcctg х = 0- не існує.

Функція у = arcctg хубуває за будь-якого х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg х 1 > arcctg х 2

Функція безперервна за будь-якого х є R.

2.3 Тотожні перетворення виразів, що містять зворотні тригонометричні функції

Приклад 1 . Спростити вираз:

а)
де

Рішення. Покладемо
. Тоді
і
Щоб знайти
, скористаємося співвідношенням
Отримуємо
Але. На цьому відрізку косинус набуває лише позитивних значень. Таким чином,
, тобто
де
.

б)

Рішення.

в)

Рішення. Покладемо
. Тоді
і
Знайдемо спочатку, для чого скористаємося формулою
, звідки
Оскільки і на цьому інтервалі косинус набуває лише позитивних значень, то
.