Головна » Краса » Розв'язання тригонометричних рівнянь зі ступенями. Як вирішувати тригонометричні рівняння

Розв'язання тригонометричних рівнянь зі ступенями. Як вирішувати тригонометричні рівняння

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь будь-якого рівня складності зрештою зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. І в цьому найкращим помічником знову виявляється тригонометричне коло.

Згадаймо визначення косинуса та синуса.

Косинусом кута називається абсциса (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Синусом кута називається ордината (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Позитивним напрямом руху по тригонометричному колу вважається рух проти годинникової стрілки. Повороту на 0 градусів (або 0 радіан) відповідає точка з координатами (1; 0)

Використовуємо ці визначення для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Розв'яжемо рівняння

Цьому рівнянню задовольняють такі значення кута повороту , які відповідають точкам кола, ордината яких дорівнює .

Відзначимо на осі ординат точку з ординатою:

Проведемо горизонтальну лінію паралельно осі абсцис до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають ординату. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан:

Якщо ми, вийшовши з точки, що відповідає куту повороту на радіан, обійдемо повне коло, то ми прийдемо в точку, яка відповідає куту повороту на радіан і має ту ж ординату. Тобто, цей кут повороту також задовольняє нашому рівнянню. Ми можемо робити скільки завгодно "холостих" оборотів, повертаючись у ту саму точку, і всі ці значення кутів задовольнятимуть нашому рівнянню. Число "холостих" оборотів позначимо буквою (або ). Оскільки ми можемо здійснювати ці обороти як і позитивному, і у негативному напрямі, (або ) можуть набувати будь-які цілі значення.

Тобто перша серія рішень вихідного рівняння має вигляд:

, , - безліч цілих чисел (1)

Аналогічно, друга серія рішень має вигляд:

де , . (2)

Як ви здогадалися, в основі цієї серії рішень лежить точка кола, що відповідає куту повороту на .

Ці дві серії рішень можна поєднати в один запис:

Якщо ми цього запису візьмемо (тобто парне ), ми отримаємо першу серію рішень.

Якщо ми в цьому записі візьмемо (тобто непарне), ми отримаємо другу серію рішень.

2. Тепер давайте вирішимо рівняння

Так як - це абсциса точки одиничного кола, отриманого поворотом на кут, відзначимо на осі крапку з абсцисою:

Проведемо вертикальну лінію паралельно осі до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають абсцис. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан. Згадаймо, що при русі за годинниковою стрілкою ми отримуємо негативний кут повороту:

Запишемо дві серії рішень:

(Ми потрапляємо в потрібну точку, пройшовши з основної повний круг, тобто .

Об'єднаємо ці дві серії в один запис:

3. Розв'яжемо рівняння

Лінія тангенсів проходить через точку з координатами (1,0) одиничного кола паралельно осі OY

Зазначимо на ній точку, з ординатою, що дорівнює 1 (ми шукаємо, тангенс яких кутів дорівнює 1):

З'єднаємо цю точку з початком координат прямою лінією і відзначимо точки перетину прямої з одиничним колом. Точки перетину прямої та кола відповідають кутам повороту на і :

Так як точки, що відповідають кутам повороту, які задовольняють нашому рівнянню, лежать на відстані радіан одна від одної, то ми можемо записати рішення таким чином:

4. Розв'яжемо рівняння

Лінія котангенсів проходить через точку з координатами одиничного кола паралельно осі.

Зазначимо на лінії котангенсів крапку з абсцисою -1:

З'єднаємо цю точку з початком координат прямої та продовжимо її до перетину з колом. Ця пряма перетне коло в точках, що відповідають кутам повороту на і радіан:

Оскільки ці точки відстоять одна від одної на відстань, що дорівнює , то загальне рішення цього рівняння ми можемо записати так:

У наведених прикладах, що ілюструють рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, були використані табличні значення тригонометричних функцій.

Однак, якщо в правій частині рівняння стоїть не табличного значення, то ми в загальне рішення рівняння підставляємо значення:

ОСОБЛИВІ РІШЕННЯ:

Зазначимо на колі точки, ордината яких дорівнює 0:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює -1:

Оскільки прийнято вказувати значення, найближчі до нуля, рішення запишемо так:

Зазначимо на колі точки, абсцис яких дорівнює 0:

5.
Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює -1:

І трохи складніші приклади:

Синус дорівнює одиниці, якщо аргумент дорівнює

Аргумент у нашого синуса дорівнює, тому отримаємо:

Розділимо обидві частини рівності на 3:

Відповідь:

Косинус дорівнює нулю, якщо аргумент косинуса дорівнює

Аргумент у нашого косинуса дорівнює, тому отримаємо:

Висловимо, для цього спочатку перенесемо вправо з протилежним знаком:

Спростимо праву частину:

Розділимо обидві частини на -2:

Зауважимо, що перед доданком знак не змінюється, оскільки k може приймати будь-які цілі значення.

Відповідь:

І насамкінець подивіться відеоурок "Відбір коренів у тригонометричному рівнянні за допомогою тригонометричного кола"

На цьому розмову про вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь ми закінчимо. Наступного разу ми з вами поговоримо про те, як вирішувати.

При вирішенні багатьох математичних завдань, особливо тих, що зустрічаються до 10 класу, порядок виконуваних дій, що призведуть до мети, визначено однозначно. До таких завдань можна віднести, наприклад, лінійні та квадратні рівняння, лінійні та квадратні нерівності, дробові рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних. Принцип успішного вирішення кожної із згаданих завдань полягає в наступному: треба встановити, до якого типу належить розв'язувана задача, згадати необхідну послідовність дій, які призведуть до потрібного результату, тобто. відповіді, та виконати ці дії.

Очевидно, що успіх чи неуспіх у вирішенні того чи іншого завдання залежить головним чином від того, наскільки правильно визначено тип рівняння, що вирішується, наскільки правильно відтворена послідовність всіх етапів його вирішення. Зрозуміло, у своїй необхідно володіти навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Інша ситуація виходить з тригонометричними рівняннями.Встановити факт те, що рівняння є тригонометричним, дуже неважко. Складнощі з'являються щодо послідовності дій, які призвели до правильної відповіді.

На вигляд рівняння часом буває важко визначити його тип. А не знаючи типу рівняння, майже неможливо вибрати із кількох десятків тригонометричних формул потрібну.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

1. привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;
2. привести рівняння до «однакових функцій»;
3. розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь

Схема розв'язання

Крок 1.Виразити тригонометричну функцію через відомі компоненти.

Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3Знайти невідому змінну.

приклад.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Рішення.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ІІ. Заміна змінної

Схема розв'язання

Крок 1.Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).

Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4.Зробити зворотну заміну.

Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.

приклад.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Рішення.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нехай sin (x/2) = t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.

ІІІ. Метод зниження порядку рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.

приклад.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однорідні рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Привести це рівняння до виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або на вигляд

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.

приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Нехай tg x = t, тоді

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 або t = -4, отже

tg x = 1 або tg x = -4.

З першого рівняння x = π/4 + πn, n º Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

Схема розв'язання

Крок 1.Використовуючи всілякі тригонометричні формули, привести дане рівняння до рівняння, яке вирішується методами I, II, III, IV.

Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.

приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Рішення.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;

З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.

Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Вміння та навички вирішувати тригонометричні рівняння є дуже важливими, їхній розвиток потребує значних зусиль, як з боку учня, так і з боку вчителя.

З рішенням тригонометричних рівнянь пов'язані багато завдань стереометрії, фізики, та інших. Процес розв'язання таких завдань хіба що містить у собі багато знання й уміння, які набувають щодо елементів тригонометрії.

Тригонометричні рівняння займають важливе місце у процесі навчання математики та розвитку особистості загалом.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Більш складні тригонометричні рівняння

Рівняння

sin х = а,
cos х = а,
tg х = а,
ctg х = а

є найпростішими тригонометричними рівняннями. У цьому параграфі на конкретних прикладах ми розглянемо складніші тригонометричні рівняння. Їхнє рішення, як правило, зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

приклад 1 . Вирішити рівняння

sin 2 х= cos х sin 2 x.

Переносячи всі члени цього рівняння в ліву частину та розкладаючи отриманий вираз на множники, отримуємо:

sin 2 х(1 - cos х) = 0.

Твір двох виразів тоді й тільки тоді дорівнює нулю, коли хоча б один із співмножників дорівнює нулю, а інший набуває будь-якого числового значення, аби він був визначений.

Якщо sin 2 х = 0 , то 2 х= n π ; х = π / 2 n.

Якщо ж 1 - cos х = 0 , то cos х = 1; х = 2kπ .

Отже, ми отримали дві групи коренів: х = π / 2 n; х = 2kπ . Друга група коренів, очевидно, міститься в першій, оскільки при n = 4k вираз х = π / 2 nзвертається до
х = 2kπ .

Тому відповідь можна записати однією формулою: х = π / 2 n, де n-будь-яке ціле число.

Зауважимо, що це рівняння не можна було вирішувати шляхом скорочення на sin 2 x. Справді, після скорочення ми отримали б 1 – cos х = 0, звідки х= 2k π . Таким чином, ми втратили б деякі коріння, наприклад π / 2 , π , 3π / 2 .

П р і м е р 2.Вирішити рівняння

Дроб дорівнює нулю лише в тому випадку, коли його чисельник дорівнює нулю.
Тому sin 2 х = 0 , звідки 2 х= n π ; х = π / 2 n.

З цих значень х потрібно викинути як сторонні ті значення, за яких sinх звертається в нуль (дроби з нульовими знаменниками немає сенсу: розподіл на нуль не визначено). Такими значеннями є числа, кратні π . У формулі
х = π / 2 nвони виходять за парних n. Отже, корінням даного рівняння будуть числа

х = π / 2 (2k + 1),

де k – будь-яке ціле число.

приклад 3 . Вирішити рівняння

2 sin 2 х+ 7 cos x - 5 = 0.

Висловимо sin 2 х через cosx : sin 2 х = 1 - cos 2x . Тоді це рівняння можна переписати у вигляді

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , або

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Позначаючи cosx через у, ми приходимо до квадратного рівняння

2у 2 - 7у + 3 = 0,

корінням якого є числа 1/2 і 3. Значить, або cos x= 1 / 2 або cos х= 3. Однак останнє неможливе, оскільки косинус будь-якого кута за абсолютною величиною не перевищує 1.

Залишається визнати, що cos x = 1 / 2 , звідки

x = ± 60 ° + 360 ° n.

приклад 4 . Вирішити рівняння

2 sin х+ 3cos x = 6.

Оскільки sin xта cos xпо абсолютній величині не перевищують 1, то вираз
2 sin х+ 3cos x не може набувати значень, більших, ніж 5 . Тому це рівняння немає коренів.

приклад 5 . Вирішити рівняння

sin х+ cos x = 1

Піднявши обидві частини даного рівняння квадрат, ми отримаємо:

sin 2 х+ 2 sin x cos x+ cos 2 x = 1,

але sin 2 х + cos 2 x = 1 . Тому 2 sin x cos x = 0 . Якщо sin x = 0 , то х = nπ ; якщо ж
cos x , то х = π / 2 + kπ . Ці дві групи рішень можна записати однією формулою:

х = π / 2 n

Оскільки обидві частини даного рівняння ми зводили в квадрат, то не виключена можливість, що серед отриманих нами коренів є сторонні. Ось чому в цьому прикладі, на відміну від попередніх, необхідно зробити перевірку. Усі значення

х = π / 2 nможна розбити на 4 групи

	1) х = 2kπ .	(n = 4k)
	2) х *= π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) х = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) х *= 3π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 3)

При х = 2kπ sin x+ cos x= 0 + 1 = 1. Отже, х = 2kπ- Коріння цього рівняння.

При х = π / 2 + 2kπ. sin x+ cos x= 1 + 0 = 1 Значить, х = π / 2 + 2kπ- також коріння цього рівняння.

При х = π + 2kπ sin x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Тому значення х = π + 2kπне є корінням даного рівняння. Аналогічно показується, що х = 3π / 2 + 2kπ. не є корінням.

Таким чином, дане рівняння має наступне коріння: х = 2kπі х = π / 2 + 2mπ., де kі m- будь-які цілі числа.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь

Схема розв'язання

Крок 1.Виразити тригонометричну функцію через відомі компоненти.

Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3Знайти невідому змінну.

приклад.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Рішення.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ІІ. Заміна змінної

Схема розв'язання

Крок 1.Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).

Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4.Зробити зворотну заміну.

Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.

приклад.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Рішення.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нехай sin (x/2) = t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.

ІІІ. Метод зниження порядку рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.

приклад.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однорідні рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Привести це рівняння до виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або на вигляд

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.

приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Нехай tg x = t, тоді

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 або t = -4, отже

tg x = 1 або tg x = -4.

З першого рівняння x = π/4 + πn, n º Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

Схема розв'язання

Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.

приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Рішення.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;

З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.

Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.

1. Рівняння `sin x=a`.

При `|a|>1` немає рішень.

При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.

Формула коренів: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Рівняння `cos x=a`

При `|a|>1` — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `|a| \leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: x = p arccos a + 2 pi n, n in Z

Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках.

3. Рівняння `tg x=a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Рівняння `ctg x=a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Для синусу:
Для косинуса:
Для тангенсу та котангенсу:
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

за допомогою перетворити його до найпростішого;
вирішити отримане найпростіше рівняння, використовуючи вище написані формули коренів та таблиці.

Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.

Алгебраїчний метод.

У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.

приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,

знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

Розкладання на множники.

приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n `, ` x_1 = 2 \ pi n `.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Відповідь: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:

`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \ ne 0` - для першого випадку, і на ` cos ^ 2 x \ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.

приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

Рішення. Запишемо праву частину, як `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, в результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Перехід до половинного кута

приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Докладніше розглянемо на наступному прикладі:

приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Позначимо `3/5 = cos \ varphi`, `4/5 = sin \ varphi`. Так як ` sin \ varphi> 0 `, ` cos \ varphi> 0 `, то як допоміжний кут візьмемо ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.

приклад. Вирішити рівняння. `frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Рішення. Помножимо та розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.

Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Алгебраїчний метод.

Розкладання на множники.

Приведення до однорідного рівняння

Перехід до половинного кута

Введення допоміжного кута

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Схожі статті