Натуральні числа хто відкрив. Вивчення точного предмета: натуральні числа - це якісь числа, приклади та властивості
Що ж таке натуральні і не натуральні числа? Як пояснити дитині, а може і не дитині, в чому ж відмінності між ними? Давайте розбиратися. Наскільки відомо, ненатуральні і натуральні числа вивчають у 5 класі, і нашою метою є пояснити учням так, щоб вони дійсно зрозуміли і засвоїли, що і як.
Історія
Натуральні числа - це одне з давніх понять. Давним-давно, коли люди ще не вміли рахувати і не мали поняття про числа, коли їм було потрібно що-небудь перерахувати, наприклад, рибу, тварин, вони вибивали на різних предметах крапочки або рисочки, як це пізніше з'ясувалося археологами. У той час їм було дуже важко жити, але цивілізація розвинулася спочатку до римської системи числення, а потім до десяткової системи числення. Зараз же майже всі використовують арабські цифри
Все про натуральні числа
Натуральні числа - це прості числа, якими ми користуємося в повсякденному нашому житті для підрахунку предметів для того, щоб визначити кількість і порядок. В даний час для запису чисел ми використовуємо десяткову систему числення. Для того щоб записати будь-яке число, ми використовуємо десять цифр - від нуля до дев'яти.
Натуральні числа - це ті числа, які ми використовуємо при рахунку предметів або вказівці порядкового номера чого-небудь. Приклад: 5, 368, 99, 3684.
Числовим рядом називають натуральні числа, які розташовані в порядку зростання, тобто від одиниці до нескінченності. Такий ряд починається з найменшого числа - 1, а найбільшого натурального числа не буває, так як ряд чисел просто нескінченний.
Взагалі, нуль - натуральним числом не вважається, так як він означає відсутність чого-небудь, і рахунок предметів так само відсутня
Арабська система числення - це сучасна система, якою ми користуємося щодня. Вона є одним з варіантів індійської (десяткового).
Така система числення стала сучасною через цифри 0, яку і винайшли араби. До цього в індійській системі вона була відсутня.
Ненатуральні числа. Що це?
До натуральних числах не належать негативні числа і нецілі. Значить, вони і є - ненатуральні числа
Нижче наведені приклади.
Ненатуральні числа бувають:
- Негативні числа, наприклад: -1, -5, -36 .. і так далі.
- Раціональні числа, які виражені десятковими дробами: 4,5, -67, 44,6.
- У вигляді простого дробу: 1/2, 40 2/7 і т.д.
Ірраціональні числ, такі, як e \u003d 2,71828, √2 \u003d 1,41421 тощо.
Ми сподіваємося, що дуже допомогли вам розібратися з штучними і натуральними числами. Тепер вам стане легше пояснити своєму малюкові дану тему, і він засвоїть її так само добре, як великі математики!
Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.
У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм було потрібно перерахувати предмети (тварин, рибу і т.д.), вони робили це не так, як ми зараз.
Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і говорили: «У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці».
Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальною властивістю - їх кількість дорівнює п'яти.
Запам'ятайте!
Натуральні числа - це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.
1, 2, 3, 4, 5…
Найменше натуральне число — 1 .
Найбільшого натурального числа не існує.
За рахунку число нуль не використовується. Тому нуль не рахується натуральним числом.
Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж вважати. Перш за все вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками - число 2, трьома - число 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Потім з'явилися і особливі знаки для позначення чисел - попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1 500 років тому. В Європу їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.
Всього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.
Запам'ятайте!
натуральний ряд - це послідовність всіх натуральних чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
У натуральному ряду кожне число більше попереднього на 1.
Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому не існує.
Систему рахунку (числення), який ми користуємося, називають десяткової позиційної.
Десяткової тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця в запису числа, тобто від розряду, в якому вона записана.
Важливо!
Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинськими назвами чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.
- 1 000 мільярдів \u003d 1 000 000 000 000 \u003d 1 трильйон ( «три» - по латині «три»)
- 1 000 трильйонів \u003d 1 000 000 000 000 000 \u003d 1 квадрильйон ( «квадра» - по латині «чотири»)
- 1 000 квадрильйонів \u003d 1 000 000 000 000 000 000 \u003d 1 квінтильйон ( «квінта» - по латині «п'ять»)
Однак, фізики знайшли число, яке перевершує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.
Це число отримало спеціальну назву - гугол. Гугол - число, у якого 100 нулів.
Натуральні числа
Натуральні числа визначення - це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів і багатьох інших цілей. Ось ці числа:
Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яке найменше натуральне число? Одиниця - це найменше натуральне число.
Яке найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.
Сума натуральних чисел є натуральне число. Отже, складання натуральних чисел a і b:
Твір натуральних чисел є натуральне число. Отже, твір натуральних чисел a і b:
с - це завжди натуральне число.
Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше від'ємника, то різниця натуральних чисел є натуральне число, інакше - немає.
Приватне натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a і b
де с - натуральне число, то це означає, що a ділиться на b без остачі. У цьому прикладі a - ділене, b - дільник, c - приватна.
Дільник натурального числа - це натуральне число, на яке перше число ділиться без остачі.
Кожне натуральне число ділиться на одиницю і на себе.
Прості натуральні числа діляться тільки на одиницю і на себе. Тут мається на увазі діляться без остачі. Приклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться тільки на одиницю і на себе. Це прості натуральні числа.
Одиницю не вважають простим числом.
Числа, які більше одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складових чисел:
Одиницю не вважають складовим числом.
Безліч натуральних чисел складають одиниця, прості числа і складені числа.
Безліч натуральних чисел позначається латинською буквою N.
Властивості додавання і множення натуральних чисел:
переместительное властивість складання
сочетательное властивість складання
(A + b) + c \u003d a + (b + c);
переместительное властивість множення
сочетательное властивість множення
(Ab) c \u003d a (bc);
розподільна властивість множення
A (b + c) \u003d ab + ac;
Цілі числа
Цілі числа - це натуральні числа, нуль і числа, протилежні натуральним.
Числа, протилежні натуральним - це цілі негативні числа, наприклад:
1; -2; -3; -4;...
Безліч цілих чисел позначається латинською буквою Z.
раціональні числа
Раціональні числа - це цілі числа і дроби.
Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді періодичної дробу. приклади:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
З прикладів видно, що будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.
Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді дробу m / n, де m ціле число, n натуральне число. Уявімо у вигляді такої дробу число 3, (6) з попереднього прикладу.
Найпростіше число - це натуральне число. Їх використовують в повсякденному житті для підрахунку предметів, тобто для обчислення їх кількості і порядку.
Що таке натуральне число: натуральними числаминазивають числа, які використовуються для підрахунку предметів або для вказування порядкового номера будь-якого предмета з усіх одноріднихпредметів.
Натуральні числа - це числа, починаючи з одиниці. Вони утворюються природним чином при рахунку.Наприклад, 1,2,3,4,5 ... -перші натуральні числа.
Найменше натуральне число - один. Найбільшого натурального числа не існує. За рахунку число нуль не використовують, тому нуль натуральне число.
Натуральний ряд чисел - це послідовність всіх натуральних чисел. Запис натуральних чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
У натуральному ряду кожне число більше попереднього на одиницю.
Скільки чисел в натуральному ряду? Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа не існує.
Десяткової так як 10 одиниць будь-якого розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. позиційної так як значення цифри залежить від її місця в числі, тобто від розряду, де вона записана.
Класи натуральних чисел.
Будь-яке натуральне число можливо написати за допомогою 10-ти арабських цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для читання натуральних чисел їх розбивають, починаючи справа, на групи по 3 цифри в кожній. 3 перші цифри праворуч - це клас одиниць, 3 наступні - це клас тисяч, далі класи мільйонів, мільярдів ітак далі. Кожна з цифр класу називається йогорозрядом.
Порівняння натуральних чисел.
З 2-х натуральних чисел менше то число, яке при рахунку називається раніше. наприклад, число 7 менше 11 (Записують так:7 < 11 ). Коли одне число більше другого, це записують так:386 > 99 .
Таблиця розрядів і класів чисел.
|
1-й клас одиниці |
1-й розряд одиниці 2-й розряд десятки 3-й розряд сотні |
|
2-й клас тисячі |
1-й розряд одиниці тисяч 2-й розряд десятки тисяч 3-й розряд сотні тисяч |
|
3-й клас мільйони |
1-й розряд одиниці мільйонів 2-й розряд десятки мільйонів 3-й розряд сотні мільйонів |
|
4-й клас мільярди |
1-й розряд одиниці мільярдів 2-й розряд десятки мільярдів 3-й розряд сотні мільярдів |
|
Числа від 5-го класу і вище відносяться до великих числах. Одиниці 5-го класу - трильйони, 6-го класу - квадрильйонів, 7-го класу - квінтильйон, 8-го класу - секстильйонів, 9-го класу -ептілліони. Основні властивості натуральних чисел.
Дії над натуральними числами. 4. Розподіл натуральних чисел - операція, зворотна операції множення. якщо b ∙ с \u003d \u200b\u200bа, то
Формули для поділу: а: 1 \u003d a a: a \u003d 1, a ≠ 0 0: a \u003d 0, a ≠ 0 (а ∙ b): c \u003d (a: c) ∙ b (а ∙ b): c \u003d (b: c) ∙ a Числові вирази і числові рівності. Запис, де числа з'єднуються знаками дій, є числовим виразом. Наприклад, 10 ∙ 3 + 4; (60-2 ∙ 5): 10. Записи, де знаком рівності об'єднані 2 числових вирази, є числовими рівностями. У рівності є ліва і права частини. Порядок виконання арифметичних дій. Додавання і віднімання чисел - це дії першого ступеня, а множення і ділення - це дії другого ступеня. Коли числове вираз складається з дій тільки одного ступеня, то їх виконують послідовнозліва направо. Коли вираження складаються з дії тільки першого та другого ступеня, то спочатку виконують дії другого ступеня, а потім - дії першого ступеня. Коли в вираженні є дужки - спочатку виконують дії в дужках. Наприклад, 36: (10-4) + 3 ∙ 5 \u003d 36: 6 + 15 \u003d 6 + 15 \u003d 21. |
визначення
Натуральними числами називаються числа, призначені для рахунки предметів. Для запису натуральних чисел використовуються 10 арабських цифр (0-9), покладених в основу загальноприйнятої для математичних розрахунків десяткової системи числення.
Послідовність натуральних чисел
Натуральні числа складають ряд, що починається з 1 і охоплює безліч всіх позитивних цілих чисел. Така послідовність складається з чисел 1,2,3, .... Це означає, що в натуральному ряду:
- Є найменше число і немає найбільшого.
- Кожне наступне число більше попереднього на 1 (виняток - сама одиниця).
- При прагненні до нескінченності числа ростуть необмежено.
Іноді в ряд натуральних чисел вводять і 0. Це допустимо, і тоді говорять про розширеному натуральному ряді.
Класи натуральних чисел
Кожна цифра натурального числа висловлює певний розряд. Сама остання - це завжди кількість одиниць в числі, попередня перед нею - кількість десятків, третя від кінця - кількість сотень, четверта - кількість тисяч і так далі.
- в числі 276: 2 сотні, 7 десятків, 6 одиниць
- в числі 1098: 1 тисячу, 9 десятків, 8 одиниць; розряд сотень тут відсутня, оскільки виражений нулем.
Для великих і дуже великих чисел можна побачити стійку тенденцію (якщо досліджувати число справа наліво, тобто від останньої цифри до першої):
- три останні цифри в числі - це одиниці, десятки і сотні;
- три попередні - це одиниці, десятки і сотні тисяч;
- три стоять перед ними (т.е.7-я, 8-а і 9-я цифри числа, вважаючи від кінця) - це одиниці, десятки і сотні мільйонів і т.д.
Тобто щоразу ми маємо справу з трьома цифрами, які дають зрозуміти одиниці, десятки і сотні більшого найменування. Такі групи формують класи. І якщо з першими трьома класами в повсякденному житті доводиться мати справу більш-менш часто, то інші слід перерахувати, тому що далеко не всі пам'ятають напам'ять їх назви.
- 4-й клас, наступний за класом мільйонів і представляє собою числа з 10-12 цифр, називається мільярд (або мільярд);
- 5-й клас - трильйон;
- 6-й клас - квадрильйон;
- 7-й клас - квінтильйон;
- 8-й клас - секстильйонів;
- 9-й клас - септілліон.
Додавання натуральних чисел
Додавання натур.чісел є арифметична дія, що дозволяє отримати число, в якому міститься стільки ж одиниць, скільки є в складаються числах разом.
Знаком складання є знак «+». Складні числа називаються складовими, одержуваний результат - сумою.
Невеликі числа складають (підсумовують) усно, письмово такі дії записують в рядок.
Багатозначні числа, які додавати в розумі важко, прийнято складати в стовпчик. Для цього числа записують одне під іншим, вирівнюючи по останній цифрі, тобто пишуть розряд одиниць під розрядом одиниць, розряд сотень під розрядом сотень і так далі. Далі потрібно попарно скласти розряди. Якщо складання розрядів відбувається з переходом через десяток, то цей десяток фіксується як одиниця над розрядом зліва (тобто наступним за ним) і підсумовується разом з цифрами цього розряду.
Якщо в стовпчик складається не 2, а більше чисел, то при підсумовуванні цифр розряду надмірною може виявитися не 1 десяток, а кілька. У цьому випадку на наступний розряд переноситься кількість таких десятків.
Віднімання натуральних чисел
Віднімання - це арифметична дія, зворотне додаванню, яке зводиться до того, що за наявною сумою і одному з доданків потрібно знайти інше - невідоме доданок. Число, з якого віднімають, називається зменшуваним; число, яке віднімають, - віднімаються. Результат віднімання називають різницею. Знак, яким позначають дію віднімання, є «-».
При переході до складання від'ємник і різницю перетворюються в складові, а зменшуване - в суму. Складанням зазвичай перевіряють правильність виконаного віднімання, і навпаки.
Тут 74 - зменшуване, 18 - від'ємник, 56 - різниця.
Обов'язковою умовою при відніманні натуральних чисел є наступне: зменшуване обов'язково повинно бути більше від'ємника. Тільки в цьому випадку отримана різниця теж буде натуральним числом. Якщо дію віднімання здійснюється для розширеного натурального ряду, то допускається, щоб уменьшаемое дорівнювало віднімається. І результатом вирахування в цьому випадку буде 0.
Примітка: якщо нулю одно від'ємник, то операція віднімання не змінює величини зменшуваного.
Віднімання багатозначних чисел зазвичай виробляють в стовпчик. Записують при цьому числа так само, як і для складання. Віднімання виконується для відповідних розрядів. Якщо ж виявляється, що зменшуване менше від'ємника, то беруть одиницю з попереднього (що знаходиться зліва) розряду, яка після перенесення, природно, перетворюється в 10. Цю десятку підсумовують з цифрою зменшуваного даного розряду і після цього виробляють віднімання. Далі при відніманні наступного розряду обов'язково враховують, що зменшуване стало на 1 менше.
Твір натуральних чисел
Твір (або множення) натуральних чисел - це арифметична дія, що представляє собою знаходження суми довільної кількості однакових доданків. Для запису дії множення використовують знак «·» (іноді «×» або «*»). Наприклад: 3 · 5 \u003d 15.
Дія множення незамінне при необхідності складати велика кількість доданків. Наприклад, якщо потрібно число 4 додати 7 разів, то перемножити 4 на 7 простіше, ніж виконувати таке додавання: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
Числа, які перемножують, називаються множниками, результат множення - твором. Відповідно, термін «твір» може в залежності від контексту висловлювати собою як процес множення, так і його результат.
Багатозначні числа перемножують в стовпчик. Для цього числа записують так само, як і для додавання і віднімання. Рекомендується першим (вище) записувати то з 2-х чисел, яке довший. В цьому випадку процес множення буде простішим, а отже, більш раціональним.
При множенні в стовпчик виконують послідовне множення цифри кожного з розрядів другого числа на цифри 1-го числа, починаючи з його кінця. Знайшовши перший такий твір, записують цифру одиниць, а цифру десятків тримають в розумі. При множення цифри 2-го числа на наступну цифру 1-го числа до твору додають ту цифру, яку тримають в розумі. І знову записують цифру одиниць отриманого результату, а цифру десятків запам'ятовують. При множенні на останню цифру 1-го числа отримане таким способом число записують повністю.
Результати множення цифри 2-го розряду другого числа записують другим рядом, змістивши його на 1 клітку вправо. І так далі. В результаті буде отримана «драбинка». Всі отримані ряди цифр слід скласти (за правилом додавання в стовпчик). Порожні клітини при цьому потрібно вважати заповненими нулями. Отримана сума і є кінцеве твір.
Примітка
- Твір будь-якого натур.чісла на 1 (або 1 на число) дорівнює самому числу. Наприклад: 376 · 1 \u003d 376; 1 · 86 \u003d 86.
- Коли один з множників або обидва множники рівні 0, то і твір дорівнює 0. Наприклад: 32 · 0 \u003d 0; 0 · 845 \u003d 845; 0 · 0 \u003d 0.
Ділення натуральних чисел
Розподілом називають арифметична дія, за допомогою якого за відомим твором і одному з множників може бути знайде інший - невідомий - множник. Розподіл є дією, зворотним множенню, і використовується для перевірки правильності виконаного множення (і навпаки).
Число, яке ділять, називають діленим; число, на яке ділять, - дільником; результат ділення називається приватним. Знаком поділу є «:» (іноді, рідше - «÷»).
Тут 48 - ділене, 6 - дільник, 8 - приватна.
Не всі натуральні числа можна поділити між собою. В цьому випадку виконують розподіл із залишком. Полягає воно в тому, що для подільника підбирається такий множник, щоб його твір на дільник було б числом, максимально близьким за значенням до делимому, але меншим нього. Дільник множать на цей множник і віднімають його з діленого. Різниця і буде залишком від ділення. Твір дільника на множник називають неповним приватним. Увага: залишок обов'язково повинен бути менше підібраного множника! Якщо залишок більше, то це означає, що множник підібраний невірно, і його слід збільшити.
Підбираємо множник для 7. В даному випадку це число 5. Знаходимо неповну частку: 7 · 5 \u003d 35. Обчислюємо залишок: 38-35 \u003d 3. оскільки 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
Багатозначні числа ділять в стовпчик. Для цього ділене і дільник записують поруч, відокремивши дільник вертикальної і горизонтальної рисою. У подільному виділяють першу цифру або кілька перших цифр (праворуч), які повинні представляти собою число, мінімально достатня для поділу на дільник (тобто це число повинне бути більше дільника). Для цього числа підбирають неповну частку, як описано в правилі розподілу із залишком. Цифру множника, використаного для знаходження неповного приватного, записують під дільником. Неповна частка записують під числом, яке ділили, вирівнявши його по правому краю. Знаходять їх різницю. Зносять наступну цифру діленого, вписавши її поруч з цією різницею. Для отриманого числа знову знаходять неповну частку, записавши цифру підібраного множника, поруч з попередньою під дільником. І так далі. Такі дії виробляють до тих пір, поки не закінчаться цифри діленого. Після цього поділ вважається завершеним. Якщо ділене і дільник діляться без остачі (без залишку), то остання різниця дасть нуль. В іншому випадку буде отримано число залишку.
Зведення в ступінь
Піднесення до степеня - це математичне дія, що полягає в перемножуванні довільної кількості однакових чисел. Наприклад: 2 · 2 · 2 · 2.
Такі вирази записуються у вигляді: a x,
де a - перемножуємо саме на себе число, x - кількість таких множників.
Прості і складові натуральні числа
Будь-яке натуральне число, крім 1, можна розділити як мінімум на 2 числа - на одиницю і на саме себе. Виходячи з цього критерію, натуральні числа поділяють на прості і складові.
Простими вважаються числа, які діляться тільки на 1 і на саме себе. Числа, які діляться більш ніж на ці 2 числа, називають складовими. Одиниця, що діляться виключно на саму себе, не відноситься ні до простих, ні до складених.
Простими є числа: 2,3,5,7,11,13,17,19 і т.д. Приклади складових чисел: 4 (ділиться на 1,2,4), 6 (ділиться на 1,2,3,6), 20 (ділиться на 1,2,4,5,10,20).
Будь-яке складене число можна розкласти на прості множники. Під простими множниками при цьому розуміються його подільники, які є простими числами.
Приклад розкладання на прості множники:
Подільники натуральних чисел
Під делителем розуміють число, на яке можна без залишку розділити дане число.
Відповідно до цього визначення, прості натур.чісла мають 2 подільника, складові - більше 2 подільників.
Багато числа мають загальні дільники. Спільним дільником називається число, на яке дані числа діляться без залишку.
- У чисел 12 і 15 загальний дільник 3
- У чисел 20 і 30 загальні дільники 2,5,10
Особливе значення має найбільший спільний дільник (НСД). Це число, зокрема, корисно вміти знаходити для скорочення дробів. Для його знаходження потрібна розкласти дані числа на прості множники і представити його як твір їх загальних простих множників, взятих в найменших своїх ступенях.
Потрібно знайти НСД чисел 36 і 48.
Подільність натуральних чисел
Далеко не завжди представляється можливим «на око» визначити, чи ділиться одне число на інше без залишку. У таких випадках корисним виявляється відповідний ознака подільності, тобто правило, за яким за лічені секунди можна визначити, чи можна розділити числа без залишку. Для позначення подільності використовується знак «».
Найменше спільне кратне
Ця величина (позначається НОК) являє собою найменше число, яке ділиться на кожне з поставлених. НОК може бути знайдений для довільного набору натуральних чисел.
НОК, як і НСД, має значний прикладної сенс. Так, саме НОК потрібно знаходити, приводячи звичайні дроби до спільного знаменника.
НОК визначається шляхом розкладання заданих чисел на прості множники. Для його формування береться твір, що складається з кожного з зустрічаються (хоча б для 1 числа) простих множників, представлених в максимальному ступені.
Потрібно знайти НОК чисел 14 і 24.
Середнє арифметичне
Середнім арифметичних довільного (але кінцевого) кількості натуральних чисел є сума всіх цих чисел, розділена на кількість доданків:
Середнє арифметичне є деякий усереднене значення для числового безлічі.
Дано числа 2,84,53,176,17,28. Потрібно знайти їх середнє арифметичне.
