Väljapotentsiaal, mis tekib ühtlaselt laetud lõpmatu keerme ja ühtlaselt laetud lõpmatu silindri poolt. Elektriväljade arvutamine Ostrogradsky–Gaussi teoreemi abil Elektrostaatika üldprobleem

Pinnalaengu tihedusega laetud lõpmatu tasand: lõpmatu tasandi tekitatud elektrivälja tugevuse arvutamiseks valime ruumis silindri, mille telg on laetud tasandiga risti ja alused on sellega paralleelsed ning üks alustest läbib meile huvipakkuvat väljapunkti. Vastavalt Gaussi teoreemile on elektrivälja tugevuse vektori voog läbi suletud pinna võrdne:

Ф=, teisest küljest on see ka: Ф=E

Võrdleme võrrandite paremad küljed:

Avaldame = - läbi pinnalaengu tiheduse ja leiame elektrivälja tugevuse:

Leiame elektrivälja tugevuse sama pinnatihedusega vastaslaenguga plaatide vahel:

(3)

Leiame välja plaatidest väljaspool:

; ; (4)

Laetud sfääri väljatugevus

(1)

Ф= (2) Gaussi punkt

r jaoks< R

; , sest (sfääri sees ei ole laenguid)

Kui r = R

( ; ; )

R > R jaoks

Väljatugevus, mille tekitab kogu selle mahu ulatuses ühtlaselt laetud kuul

Mahu laengu tihedus,

palli peale jaotatud:

Sest r< R

( ; Ф= )

Kui r = R

R > R jaoks

ELEKTROSTAATILISE VÄLJA TÖÖ LAKENDI LIIKUMISEKS

Elektrostaatiline väli- email statsionaarse laengu väli.
Fel, tegutsedes laengu järgi, liigutab seda, tehes tööd.
Ühtlases elektriväljas on Fel = qE konstantne väärtus

Tööväli (el. jõud) ei sõltu trajektoori kujul ja suletud trajektooril = null.

Kui punktlaengu Q elektrostaatilises väljas liigub mõni teine ​​punktlaeng Q 0 punktist 1 punkti 2 mööda mis tahes trajektoori (joonis 1), siis laengule rakenduv jõud teeb oma tööd. Jõu F tehtud töö elementaarnihkel dl on võrdne Kuna d l/cosα=dr, siis Töö laengu Q 0 liigutamisel punktist 1 punkti 2 (1) ei sõltu liikumise trajektoorist, vaid selle määravad ainult algse 1 ja viimase 2 punkti asendid. See tähendab, et punktlaengu elektrostaatiline väli on potentsiaalne ja elektrostaatilised jõud on konservatiivsed.Valemist (1) on selge, et töö, mis tehakse siis, kui elektrilaeng liigub välises elektrostaatilises väljas mööda suvalist suletud rada L on võrdne nulliga, st. (2) Kui võtta elektrostaatilises väljas liikuva laenguna ühepunktiline positiivne laeng, siis väljajõudude elementaartöö teekonnal dl võrdub Edl = E l d l, kus E l= Ecosα - vektori E projektsioon elementaarnihke suunale. Siis saab valemit (2) esitada kui (3) Integraal nimetatakse pingevektori tsirkulatsiooniks. See tähendab, et elektrostaatilise väljatugevuse vektori ringlus piki mis tahes suletud kontuuri on null. Jõuvälja, millel on omadus (3), nimetatakse potentsiaaliks. Sellest, et vektori E tsirkulatsioon on võrdne nulliga, järeldub, et elektrostaatilise välja tugevuse jooni ei saa sulgeda, need algavad ja lõpevad tingimata laengutega (positiivsed või negatiivsed) või lähevad lõpmatuseni. Valem (3) kehtib ainult elektrostaatilise välja puhul. Järgnevalt näidatakse, et liikuvate laengute välja puhul ei vasta tingimus (3) tõele (selle puhul on intensiivsusvektori tsirkulatsioon nullist erinev).

Elektrostaatilise välja tsirkulatsiooniteoreem.

Kuna elektrostaatiline väli on tsentraalne, on sellises väljas laengule mõjuvad jõud konservatiivsed. Kuna see esindab elementaarset tööd, mille väljajõud toodavad ühiklaengu korral, on konservatiivsete jõudude töö suletud ahelas võrdne

potentsiaal

Süsteemil "laeng - elektrostaatiline väli" või "laeng - laeng" on potentsiaalne energia, nii nagu "gravitatsiooniväli - keha" süsteemil on potentsiaalne energia.

Nimetatakse füüsikalist skalaarsuurust, mis iseloomustab välja energiaseisundit potentsiaal antud punkt väljal. Laeng q asetatakse väljale, sellel on potentsiaalne energia W. Potentsiaal on elektrostaatilise välja tunnus.

Meenutagem potentsiaalset energiat mehaanikas. Potentsiaalne energia on null, kui keha on maapinnal. Ja kui keha tõstetakse teatud kõrgusele, siis öeldakse, et kehal on potentsiaalne energia.

Elektrienergia potentsiaalse energia osas puudub potentsiaalse energia nulltase. See valitakse juhuslikult. Seetõttu on potentsiaal suhteline füüsikaline suurus.

Potentsiaalne väljaenergia on elektrostaatilise jõu poolt tehtav töö laengu liigutamisel välja antud punktist nullpotentsiaaliga punkti.

Vaatleme erijuhtumit, kui elektrostaatiline väli tekib elektrilaenguga Q. Sellise välja potentsiaali uurimiseks ei ole vaja sinna sisestada laengut q. Saate arvutada sellise välja mis tahes punkti potentsiaali, mis asub kaugusel r laengust Q.

Söötme dielektriline konstant on teadaoleva väärtusega (tabelikujuline) ja see iseloomustab keskkonda, milles väli eksisteerib. Õhu puhul võrdub see ühtsusega.

Potentsiaalne erinevus

Tööd, mida väli teeb laengu liigutamiseks ühest punktist teise, nimetatakse potentsiaalide erinevuseks

Seda valemit saab esitada muul kujul

Superpositsiooni põhimõte

Mitme laenguga tekitatud välja potentsiaal võrdub iga välja väljade potentsiaalide algebralise (potentsiaalimärki arvestades) summaga eraldi.

See on statsionaarsete punktlaengute süsteemi energia, üksiku laetud juhi energia ja laetud kondensaatori energia.

Kui on olemas kahe laetud juhi (kondensaatori) süsteem, siis on süsteemi koguenergia võrdne juhtide enda potentsiaalsete energiate ja nende vastasmõju energia summaga:

Elektrostaatilise välja energia punktitasude süsteem on võrdne:

Ühtlaselt laetud lennuk.
Pinnalaengu tihedusega laetud lõpmatu tasapinna tekitatud elektrivälja tugevust saab arvutada Gaussi teoreemi abil.

Sümmeetriatingimustest järeldub, et vektor E igal pool tasapinnaga risti. Lisaks tasandi suhtes sümmeetrilistes punktides vektor E on sama suurusega ja vastupidise suunaga.
Suletud pinnaks valime silindri, mille telg on tasapinnaga risti ja mille alused asetsevad tasapinna suhtes sümmeetriliselt, nagu on näidatud joonisel.
Kuna tõmbejooned on paralleelsed silindri külgpinna generatritega, on külgpinda läbiv vool null. Seetõttu vektorvoog E läbi silindri pinna

,

kus on silindri põhja pindala. Silinder lõikab tasapinnast välja laengu. Kui tasapind on suhtelise dielektrilise konstandiga homogeenses isotroopses keskkonnas, siis

Kui väljatugevus ei sõltu tasapindade vahelisest kaugusest, nimetatakse sellist välja ühtlaseks. Sõltuvuste graafik E (x) lennuki jaoks.

Võimalik erinevus kahe kaugusel asuva punkti vahel R 1 ja R 2 laetud tasapinnast on võrdne

Näide 2. Kaks ühtlaselt laetud tasapinda.
Arvutame kahe lõpmatu tasandi tekitatud elektrivälja tugevuse. Elektrilaeng jaotub ühtlaselt pinnatiheduste ja . Leiame väljatugevuse iga tasandi väljatugevuste superpositsioonina. Elektriväli on nullist erinev ainult tasanditevahelises ruumis ja võrdub .

Potentsiaalne erinevus lennukite vahel , Kus d- lennukite vaheline kaugus.
Saadud tulemusi saab kasutada lõplike mõõtmetega lamedate plaatide tekitatud väljade ligikaudseks arvutamiseks, kui nendevahelised kaugused on palju väiksemad nende lineaarmõõtmetest. Märkimisväärsed vead sellistes arvutustes ilmnevad plaatide servade lähedal asuvate väljade arvestamisel. Sõltuvuste graafik E (x) kahe lennuki jaoks.

Näide 3. Õhuke laetud varras.
Lineaarse laengutihedusega laetud väga pika varda tekitatud elektrivälja tugevuse arvutamiseks kasutame Gaussi teoreemi.
Piisavalt suurel kaugusel varda otstest on elektrivälja intensiivsuse jooned suunatud radiaalselt varda teljest ja asetsevad selle teljega risti olevatel tasapindadel. Kõigis varda teljest võrdsel kaugusel asuvates punktides on pinge arvväärtused samad, kui varras on homogeenses isotroopses keskkonnas suhtelise dielektrikuga.
läbilaskvus

Väljatugevuse arvutamiseks suvalises punktis, mis asub kaugel r tõmmake varda teljest läbi selle punkti silindriline pind
(vt pilti). Selle silindri raadius on r ja selle kõrgus h.
Pingevektori vood läbi silindri ülemise ja alumise aluse on võrdsed nulliga, kuna jõujoontel ei ole nende aluste pindade suhtes normaalseid komponente. Kõikides silindri külgpinna punktides
E= konst.
Seega vektori koguvool E läbi silindri pinna on võrdne

,

Vastavalt Gaussi teoreemile vektori voog E võrdne pinna (antud juhul silindri) sees paiknevate elektrilaengute algebralise summaga jagatuna keskkonna elektrikonstandi ja suhtelise dielektrilise konstandi korrutisega

kus on silindri sees oleva varda osa laeng. Seetõttu elektrivälja tugevus

Elektrivälja potentsiaalide erinevus kahe kaugusel asuva punkti vahel R 1 ja R 2 varda teljest, leiame kasutades elektrivälja intensiivsuse ja potentsiaali vahelist seost. Kuna väljatugevus muutub ainult radiaalsuunas, siis

Näide 4. Laetud sfääriline pind.
Sfäärilise pinna tekitatud elektriväli, mille peale on ühtlaselt jaotunud pinnatihedusega elektrilaeng, on tsentraalselt sümmeetriline.

Pingutusjooned on suunatud piki raadiusi kera keskpunktist ja vektori suurust E oleneb ainult kaugusest r sfääri keskpunktist. Välja arvutamiseks valime raadiusega suletud sfäärilise pinna r.
Kui r o E = 0.
Väljatugevus on null, kuna sfääri sees pole laengut.
R > R jaoks (väljaspool sfääri), vastavalt Gaussi teoreemile

,

kus on sfääri ümbritseva keskkonna suhteline dielektriline konstant.

.

Intensiivsus väheneb sama seaduse järgi nagu punktlaengu väljatugevus, st seaduse järgi.
Kui r o .
R > R jaoks (väljaspool sfääri) .
Sõltuvuste graafik E (r) sfääri jaoks.

Näide 5. Mahult laetud dielektriline kuul.
Kui pallil on raadius R mis on valmistatud suhtelise läbilaskvusega homogeensest isotroopsest dielektrikust, on kogu ruumala ulatuses ühtlaselt laetud tihedusega , siis on ka selle tekitatav elektriväli tsentraalselt sümmeetriline.
Nagu eelmisel juhul, valime vektori voo arvutamiseks suletud pinna E kontsentrilise sfääri kujul, mille raadius r võib varieeruda vahemikus 0 kuni .
Kell r < R vektorvoog E läbi selle pinna määrab laeng

Niisiis

Kell r < R(palli sees) .
Palli sees suureneb pinge proportsionaalselt kaugusega palli keskpunktist. Väljaspool palli (kell r > R) keskkonnas, mille dielektriline konstant on voovektor E läbi pinna määrab laeng.
Kui r o > R o (väljaspool palli) .
"Pall - keskkond" piiril muutub elektrivälja tugevus järsult, mille suurus sõltub kuuli ja keskkonna dielektriliste konstantide suhtest. Sõltuvuste graafik E (r) palli jaoks ().

väljaspool palli ( r > R) elektrivälja potentsiaal muutub vastavalt seadusele

.

Palli sees ( r < R) potentsiaali kirjeldab avaldis

Kokkuvõtteks esitame avaldised erineva kujuga laetud kehade väljatugevuste arvutamiseks

Potentsiaalne erinevus
Pinge- potentsiaalsete väärtuste erinevus trajektoori alg- ja lõpp-punktis. Pinge on arvuliselt võrdne elektrostaatilise välja tööga, kui ühikuline positiivne laeng liigub mööda selle välja jõujooni. Potentsiaalne erinevus (pinge) ei sõltu valikust koordinaatsüsteemid!
Potentsiaalse erinevuse ühik Pinge on 1 V, kui 1 C positiivse laengu liigutamisel mööda jõujooni teeb väli 1 J tööd.

Dirigent- see on tahke keha, milles kehas liiguvad "vabad elektronid".

Metalljuhid on üldiselt neutraalsed: need sisaldavad võrdses koguses negatiivseid ja positiivseid laenguid. Positiivselt laetud on ioonid kristallvõre sõlmedes, negatiivsed elektronid, mis liiguvad vabalt mööda juhti. Kui juhile antakse üleliigne kogus elektrone, laetakse see negatiivselt, kuid kui juhilt "võetakse" teatud arv elektrone, laetakse see positiivselt.

Liigne laeng jaotub ainult juhi välispinnale.

1 . Väljatugevus juhi mis tahes punktis on null.

2 . Vektor juhi pinnal on suunatud igale punktile juhi pinnal.

Sellest, et juhi pind on ekvipotentsiaalne, järeldub, et otse sellel pinnal on väli suunatud igas punktis sellele normaalselt (tingimus 2 ). Kui see nii ei oleks, hakkaksid tangentsiaalse komponendi toimel laengud liikuma piki juhi pinda. need. juhi laengute tasakaal oleks võimatu.

Alates 1 sellest järeldub, et alates

Juhi sees ei ole liigseid laenguid.

Laengud jaotuvad ainult teatud tihedusega juhi pinnale s ja asuvad väga õhukeses pinnakihis (selle paksus on umbes üks või kaks aatomitevahelist kaugust).

Laengu tihedus- see on laengu kogus pikkuse, pindala või ruumala ühiku kohta, millega määratakse lineaar-, pinna- ja mahutihedused, mida mõõdetakse SI-süsteemis: kulonides meetri kohta [C/m], kulonides ruutmeetri kohta [ C/m² ] ja kulonides kuupmeetri kohta [C/m³]. Erinevalt aine tihedusest võib laengutihedusel olla nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, see on tingitud asjaolust, et on olemas positiivsed ja negatiivsed laengud.

Elektrostaatika üldine probleem

pinge vektor,

Gaussi teoreemi järgi

- Poissoni võrrand.

Juhul, kui juhtide vahel pole laenguid, saame

- Laplace'i võrrand.

Olgu teada piirtingimused juhtide pindadel: väärtused ; siis sellel probleemil on ainulaadne lahendus vastavalt ainulaadsuse teoreem.

Ülesande lahendamisel määratakse väärtus ja seejärel juhtide vaheline väli laengute jaotuse järgi juhtidel (vastavalt pingevektorile pinnal).

Vaatame näidet. Leiame pinge juhi tühjast õõnsusest.

Potentsiaal õõnsuses rahuldab Laplace'i võrrandit;

potentsiaal juhi seintel.

Laplace'i võrrandi lahendus on sel juhul triviaalne ja unikaalsusteoreemi järgi pole muid lahendusi

, st. juhi õõnsuses väli puudub.

Poissoni võrrand on elliptiline osadiferentsiaalvõrrand, mis muu hulgas kirjeldab

· elektrostaatiline väli,

· statsionaarne temperatuuriväli,

· rõhuväli,

· kiiruspotentsiaaliväli hüdrodünaamikas.

See on oma nime saanud kuulsa prantsuse füüsiku ja matemaatiku Simeon Denis Poissoni järgi.

See võrrand näeb välja selline:

kus on Laplace'i operaator või Laplacian ja see on mõne kollektori reaalne või kompleksfunktsioon.

Kolmemõõtmelises Descartes'i koordinaatsüsteemis on võrrand järgmine:

Descartes'i koordinaatsüsteemis on Laplace'i operaator kirjutatud kujul ja Poissoni võrrand saab kujul:

Kui f kipub nulli, siis Poissoni võrrand muutub Laplace'i võrrandiks (Laplace'i võrrand on Poissoni võrrandi erijuht):

Poissoni võrrandit saab lahendada Greeni funktsiooni abil; vaata näiteks artiklit Screened Poissoni võrrand. Numbriliste lahenduste saamiseks on erinevaid meetodeid. Näiteks kasutatakse iteratiivset algoritmi - "lõõgastusmeetodit".

Käsitleme üksikjuhti, st juhti, mis on oluliselt eemaldunud teistest juhtidest, kehadest ja laengutest. Selle potentsiaal, nagu teada, on otseselt võrdeline juhi laenguga. Kogemusest on teada, et erinevatel juhtidel, kuigi need on võrdselt laetud, on erinev potentsiaal. Seetõttu võib üksikjuhi jaoks kirjutada Kogust (1) nimetatakse üksikjuhi elektriliseks võimsuseks (või lihtsalt mahtuvuseks). Eraldatud juhi mahtuvuse määrab laeng, mille side juhiga muudab selle potentsiaali ühe võrra. Üksikjuhi mahtuvus sõltub selle suurusest ja kujust, kuid ei sõltu juhi sees olevate õõnsuste materjalist, kujust ja suurusest, samuti selle agregatsiooniseisundist. Selle põhjuseks on liigsete laengute jaotamine juhi välispinnale. Mahtuvus ei sõltu ka juhi laengust ega selle potentsiaalist. Elektrilise võimsuse ühik on farad (F): 1 F on isoleeritud juhi võimsus, mille potentsiaal muutub 1 V võrra, kui sellele antakse 1 C laeng. Punktlaengu potentsiaali valemi järgi on raadiusega R üksiku kuuli potentsiaal, mis asub homogeenses keskkonnas dielektrilise konstandiga ε, võrdne Valemi (1) rakendamisel saame, et pall (2) Sellest järeldub, et vaakumis paikneva üksiku palli võimsus on 1 F, raadiusega R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, mis on ligikaudu 1400 korda suurem kui Maa raadius (Maa elektriline võimsus C≈0,7 mF). Järelikult on farad üsna suur väärtus, nii et praktikas kasutatakse alamühikuid - millifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), pikofarad (pF). Valemist (2) järeldub ka, et elektrikonstandi ε 0 ühik on farad meetri kohta (F/m) (vt (78.3)).

Kondensaator(alates lat. kondensaat- "kompaktne", "paksendatud" - kahe terminaliga võrk, millel on teatud mahtuvusväärtus ja madal oomiline juhtivus; seade elektrivälja laengu ja energia kogumiseks. Kondensaator on passiivne elektrooniline komponent. Tavaliselt koosneb see kahest plaadikujulisest elektroodist (nn vooderdised), eraldatud dielektrikuga, mille paksus on plaatide suurusega võrreldes väike.

Mahutavus

Kondensaatori peamine omadus on selle mahutavus, mis iseloomustab kondensaatori võimet koguda elektrilaengut. Kondensaatori tähistus näitab nimimahtuvuse väärtust, samas kui tegelik mahtuvus võib olenevalt paljudest teguritest oluliselt erineda. Kondensaatori tegelik mahtuvus määrab selle elektrilised omadused. Seega on mahtuvuse määratluse kohaselt plaadi laeng võrdeline plaatidevahelise pingega ( q = CU). Tüüpilised mahtuvuse väärtused ulatuvad pikofaraadi ühikutest tuhandete mikrofaraditeni. Siiski on kondensaatoreid (ionistore), mille võimsus on kuni kümneid faraade.

Kahest paralleelsest pindalaga metallplaadist koosneva paralleelse plaatkondensaatori mahtuvus S igaüks asub eemal düksteisest, SI-süsteemis väljendatakse valemiga: , kus on plaatidevahelist ruumi täitva keskkonna suhteline dielektriline konstant (vaakumis, mis on võrdne ühtsusega), on elektrikonstant, arvuliselt võrdne 8,854187817·10 −12 F/m. See valem kehtib ainult siis, kui d palju väiksem kui plaatide lineaarsed mõõtmed.

Suurte võimsuste saamiseks ühendatakse kondensaatorid paralleelselt. Sel juhul on kõigi kondensaatorite plaatide vaheline pinge sama. Aku kogumaht paralleelseltühendatud kondensaatorite arv on võrdne kõigi akus sisalduvate kondensaatorite mahtude summaga.

Kui kõigil paralleelselt ühendatud kondensaatoritel on plaatide vaheline kaugus ja dielektrilised omadused samad, saab neid kondensaatoreid kujutada ühe suure kondensaatorina, mis on jagatud väiksema pindalaga fragmentideks.

Kui kondensaatorid on järjestikku ühendatud, on kõigi kondensaatorite laengud ühesugused, kuna need toidetakse toiteallikast ainult välistele elektroodidele ja siseelektroodidel saadakse need ainult tänu laengute eraldamisele, mis varem üksteist neutraliseerisid. . Aku kogumaht järjestikkuühendatud kondensaatorid on võrdne

Või

See võimsus on alati väiksem kui akus sisalduva kondensaatori minimaalne võimsus. Jadaühenduse korral väheneb aga kondensaatorite purunemise võimalus, kuna iga kondensaator moodustab ainult osa pingeallika potentsiaalsest erinevusest.

Kui kõigi jadamisi ühendatud kondensaatorite plaatide pindala on sama, võib neid kondensaatoreid kujutada ühe suure kondensaatorina, mille plaatide vahel on virn kõigi selle moodustavate kondensaatorite dielektrilisi plaate.

[redigeeri] Spetsiifiline võimsus

Kondensaatoreid iseloomustab ka erimahtuvus - mahtuvuse ja dielektriku ruumala (või massi) suhe. Erimahtuvuse maksimaalne väärtus saavutatakse dielektriku minimaalse paksusega, kuid samal ajal väheneb selle läbilöögipinge.

Kasutatakse erinevat tüüpi elektriskeeme Kondensaatorite ühendamise meetodid. Kondensaatorite ühendamine saab toota: järjestikku, paralleelselt Ja seeria-paralleel(viimast nimetatakse mõnikord kondensaatorite segaühenduseks). Olemasolevad kondensaatoriühenduste tüübid on näidatud joonisel 1.

Joonis 1. Kondensaatorite ühendamise meetodid.

8. Elektrostaatilise välja tekitab ühtlaselt laetud lõpmatu tasapind. Näidake, et see väli on homogeenne.

Olgu pinnalaengu tihedus s. On ilmne, et vektor E saab olla ainult laetud tasandiga risti. Lisaks on ilmne, et selle tasandi suhtes sümmeetrilistes punktides on vektor E suuruselt sama ja suunalt vastupidine. See välja konfiguratsioon viitab sellele, et suletud pinnaks tuleks valida sirge silinder, kus eeldatakse, et s on suurem kui null. Selle silindri külgpinda läbiv vool on null ja seetõttu on kogu silindri pinda läbiv vool võrdne 2*E*DS, kus DS on kummagi otsa pindala. Gaussi teoreemi järgi

kus s*DS on silindri sees olev laeng.

Täpsemalt tuleks see väljend kirjutada järgmiselt:

kus En on vektori E projektsioon normaalsele n laetud tasapinnale ja vektor n on suunatud sellelt tasapinnalt.

Asjaolu, et E on sõltumatu kaugusest tasapinnaga, tähendab, et vastav elektriväli on ühtlane.

9. Vasktraadist on valmistatud veerandring raadiusega 56 cm, piki traati jaotub ühtlaselt laeng joontihedusega 0,36 nC/m. Leidke potentsiaal ringi keskpunktis.

Kuna laeng jaotub piki traati lineaarselt, kasutame keskel oleva potentsiaali leidmiseks valemit:

Kus s on lineaarne laengutihedus, dL on traadi element.

10. Punktlaengu Q tekitatud elektriväljas liigub negatiivne laeng -q mööda jõujoont punktist, mis asub kaugusel r 1 laengust Q, punkti, mis asub kaugusel r 2 . Leidke sellel nihkel laengu -q potentsiaalse energia juurdekasv.

Definitsiooni järgi on potentsiaal suurus, mis on arvuliselt võrdne ühikulise positiivse laengu potentsiaalse energiaga välja antud punktis. Seetõttu on laengu potentsiaalne energia q 2:

11. Kaks identset elementi emf-iga. 1,2 V ja sisetakistus 0,5 oomi on ühendatud paralleelselt. Saadud aku on suletud välistakistusega 3,5 oomi. Leidke välise vooluahela vool.

Vastavalt Ohmi seadusele kogu vooluringi jaoks on välise vooluahela voolutugevus:

kus E` on elementide aku emf,

r` on aku sisetakistus, mis on võrdne:

Aku emf on võrdne kolme järjestikku ühendatud elemendi emf summaga:

Seega:

12 Elektriahel sisaldab järjestikku võrdse pikkuse ja läbimõõduga vask- ja terastraate. Leidke nendes juhtmetes eralduva soojushulga suhe.

Vaatleme traati pikkusega L ja läbimõõduga d, mis on valmistatud materjalist, mille eritakistus on p. Traadi takistuse R saab leida valemi abil

Kus s= on traadi ristlõikepindala. Voolutugevusel I eraldub aja t jooksul juhis soojushulk Q:

Sel juhul on juhtme pingelang võrdne:

Vase takistus:

p1=0,017 μoomi*m=1,7*10–8 oomi*m

terase takistus:

p2=10 -7 Ohm*m

kuna juhtmed on ühendatud järjestikku, on voolutugevused neis samad ja aja t jooksul eralduvad neis soojushulgad Q1 ja Q2:

12. Seal on ringikujuline mähis, mille vool on ühtlases magnetväljas. Pooli tasapind on väljajoontega risti. Tõesta, et magnetväljast ahelale mõjuvad resultantjõud on null.

Kuna vooluga ringikujuline mähis on ühtlases magnetväljas, mõjub sellele amprijõud. Vastavalt valemile dF=I määratakse voolu juhtivale mähisele mõjuv amprijõud järgmiselt:

Kui integreerimine toimub piki antud kontuuri vooluga I. Kuna magnetväli on ühtlane, saab vektori B integraali alt välja võtta ja ülesanne taandatakse vektorintegraali arvutamisele. See integraal esindab elementaarvektorite dL suletud ahelat, seega on see võrdne nulliga. See tähendab, et F=0, see tähendab, et saadav amprijõud on ühtlases magnetväljas null.

13. Lühike 90 pööret sisaldav 3 cm läbimõõduga mähis kannab voolu. Voolu tekitatud magnetvälja tugevus mähise teljel sellest 3 cm kaugusel on 40 A/m. Määrake voolutugevus mähises.

Arvestades, et magnetiline induktsioon punktis A on magnetiliste induktsioonide superpositsioon, mis tekib mähise iga pöördega eraldi:

B-pöörde leidmiseks kasutame Biot-Savart-Laplace'i seadust.

Kus dBturn on praeguse elemendi IDL poolt tekitatud välja magnetiline induktsioon raadiusvektori r määratud punktis. Valime lõpust elemendi dL ja tõmbame sealt punkti A raadiusevektor r. Suuname dBturn vektori vastavalt gimleti reeglile.

Superpositsiooni põhimõtte kohaselt:

Kui integreerimine toimub kõigi dLturni elementide kaudu. Jagame dBturn kaheks komponendiks dBturn(II) - paralleelselt rõnga tasapinnaga ja dBturn(I) - rõnga tasapinnaga risti. Siis

Seda märgates Sümmeetria huvides ja et vektorid dBturn(I) on kaassuunalised, asendame vektorintegratsiooni skalaarsega:

Kus dBturn(I) =dBturn*cosb ja

Kuna dl on r-ga risti

Vähendame 2p võrra ja asendame cosb R/r1-ga

Väljendagem siit I, teades, et R=D/2

vastavalt magnetinduktsiooni ja magnetvälja tugevuse ühendavale valemile:

siis Pythagorase teoreemi järgi jooniselt:

14. Elektron lendab jõujoontega risti olevas suunas ühtlasesse magnetvälja kiirusega 10۰10 6 m/s ja liigub mööda ringkaarte raadiusega 2,1 cm Leidke magnetvälja induktsioon.

Ühtlases magnetväljas liikuvale elektronile mõjub Lorentzi jõud, mis on elektroni kiirusega risti ja on seetõttu suunatud ringi keskpunkti poole:

Kuna nurk v ja I vahel on 90 0:

Kuna jõud Fl on suunatud ringi keskpunkti poole ja elektron liigub selle jõu mõjul ümber ringi, siis

Avaldame magnetinduktsiooni:

15. Vasktraadist 12 cm küljega ruudukujuline raam asetatakse magnetvälja, mille magnetiline induktsioon varieerub vastavalt seadusele B = B 0 · Sin (ωt), kus B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T ja T = 0,02 s. Raami tasapind on magnetvälja suunaga risti. Leidke suurim emf-väärtus. kaadris esinev induktsioon.

Ruudukujulise raami pindala S=a 2. Magnetvoo muutus dj, kui kaadri tasapind on risti dj=SdB

Indutseeritud emf määratakse

E on maksimaalne, kui cos(wt)=1

Ühtlases elektriväljas on laetud osakesele mõjuv jõud konstantne nii suuruse kui ka suuna poolest. Seetõttu on sellise osakese liikumine täiesti sarnane keha liikumisega maa gravitatsiooniväljas ilma õhutakistust arvestamata. Osakese trajektoor on sel juhul tasane ja asub tasapinnal, mis sisaldab osakese algkiiruse ja elektrivälja tugevuse vektoreid

Elektrostaatilise välja potentsiaal. Üldine väljend, mis on seotud pingepotentsiaaliga.

Potentsiaal φ elektrostaatilise välja mis tahes punktis on füüsikaline suurus, mille määrab sellesse punkti paigutatud positiivse laengu ühiku potentsiaalne energia. Punktlaengu Q tekitatud väljapotentsiaal on võrdne

Potentsiaal on füüsikaline suurus, mis määratakse kindlaks tööga, mis on tehtud ühikulise positiivse elektrilaengu liigutamiseks, kui see eemaldatakse välja antud punktist lõpmatuseni. See töö on arvuliselt võrdne tööga, mida teevad välised jõud (elektrostaatilise välja jõudude vastu), et viia ühikuline positiivne laeng lõpmatusest välja antud punkti.

Potentsiaali ühik on volt (V): 1 V võrdub selle välja punkti potentsiaaliga, kus 1 C laengu potentsiaalne energia on 1 J (1 V = 1 J/C). Võttes arvesse volti mõõdet, saab näidata, et eelnevalt sisestatud elektrostaatilise väljatugevuse ühik on tõepoolest võrdne 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m) = 1 V/m.

Valemitest (3) ja (4) järeldub, et kui väli luuakse mitme laenguga, siis on laengute süsteemi antud välja potentsiaal võrdne kõigi nende laengute väljade potentsiaalide algebralise summaga:

Intensiivsus elektrivälja mis tahes punktis on võrdne selle punkti potentsiaalse gradiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga. Miinusmärk näitab, et pinge E on suunatud potentsiaali vähenemise suunas.

E = - grad phi = - N phi.

Elektrivälja karakteristiku jõu - intensiivsuse ja selle energiakarakteristiku - potentsiaali vahelise seose leidmiseks vaatleme elektrivälja jõudude elementaarset tööd punktlaengu q lõpmata väikesel nihkel: dA = q E dl, sama töö on võrdne laengu q potentsiaalse energia vähenemisega: dA = - dWп = - q dphi, kus dphi on elektrivälja potentsiaali muutus nihke pikkuse dl jooksul. Võrdstades avaldiste paremad küljed, saame: E dl = -d phi või Descartes'i koordinaatsüsteemis

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

kus Ex, Ey, Ez on pingevektori projektsioonid koordinaatsüsteemi telgedele. Kuna avaldis on täielik diferentsiaal, siis intensiivsusvektori projektsioonide jaoks on meil olemas

Sulgudes olev avaldis on potentsiaalse phi gradient.

Superpositsiooni printsiip kui väljade põhiomadus. Raadiusvektoriga punktis koordinaatidega punktides paiknevate punktlaengute süsteemi abil loodud välja tugevuse ja potentsiaali üldavaldised (vt lõik 4)

Kui vaadelda superpositsiooni põhimõtet kõige üldisemas tähenduses, siis selle järgi on osakesele mõjuvate välisjõudude mõju summa nende igaühe individuaalsete väärtuste summa. See põhimõte kehtib erinevate lineaarsete süsteemide, s.t. süsteemid, mille käitumist saab kirjeldada lineaarsete seostega. Näitena võiks tuua lihtsa olukorra, kus lineaarlaine levib kindlas keskkonnas ning sel juhul säilivad selle omadused ka lainest endast tulenevate häirete mõjul. Need omadused on määratletud kui iga harmoonilise komponendi mõjude konkreetne summa.

Superpositsiooni põhimõte võib võtta muid formulatsioone, mis on ülaltooduga täiesti samaväärsed:

· Kahe osakese vaheline interaktsioon ei muutu, kui sisestatakse kolmas osake, mis samuti interakteerub kahe esimesega.

· Paljude osakeste süsteemi kõigi osakeste vastasmõju energia on lihtsalt kõigi võimalike osakeste paaride paaride vastasmõju energiate summa. Süsteemis puuduvad paljude osakeste vastasmõjud.

· Paljude osakeste süsteemi käitumist kirjeldavad võrrandid on osakeste arvult lineaarsed.

6 Pingevektori tsirkulatsioon on töö, mida elektrijõud teevad ühe positiivse laengu liigutamisel mööda suletud rada L

Kuna elektrostaatiliste väljajõudude töö suletud ahelas on null (potentsiaalsete väljajõudude töö), siis elektrostaatilise väljatugevuse tsirkulatsioon mööda suletud ahelat on null.

Välja potentsiaal. Iga elektrostaatilise välja töö selles laetud keha ühest punktist teise liigutamisel ei sõltu samuti trajektoori kujust, nagu ka ühtlase välja töö. Suletud trajektooril on elektrostaatilise välja töö alati null. Selle omadusega väljasid nimetatakse potentsiaalideks. Eelkõige on punktlaengu elektrostaatilisel väljal potentsiaalne iseloom.
Potentsiaalse välja tööd saab väljendada potentsiaalse energia muutusena. Valem kehtib mis tahes elektrostaatilise välja puhul.

7-11Kui ühtlase intensiivsusega elektrivälja jõujooned läbivad teatud ala S, siis määratakse intensiivsusvektori voog (varem nimetasime seda ala läbivate väljajoonte arvuks) valemiga:

kus En on vektori ja antud ala normaalväärtuse korrutis (joonis 2.5).

Riis. 2.5

Pinda S läbivate jõujoonte koguarvu nimetatakse seda pinda läbiva FU intensiivsusvektori vooks.

Vektorkujul saame kirjutada kahe vektori skalaarkorrutise, kus vektor .

Seega on vektorvooks skalaar, mis olenevalt nurga α väärtusest võib olla kas positiivne või negatiivne.

Vaatame joonistel 2.6 ja 2.7 toodud näiteid.

	Riis. 2.6	Riis. 2.7

Joonisel 2.6 on pind A1 ümbritsetud positiivse laenguga ja vool on siin suunatud väljapoole, s.t. Pinda A2– ümbritseb negatiivne laeng, siin on see suunatud sissepoole. Pinda A läbiv koguvoog on null.

Joonise 2.7 puhul ei ole voog null, kui kogu laeng pinna sees ei ole null. Selle konfiguratsiooni puhul on pinda A läbiv voog negatiivne (loendage väljajoonte arv).

Seega sõltub pingevektori voog laengust. See on Ostrogradsky-Gaussi teoreemi tähendus.

Gaussi teoreem

Eksperimentaalselt kehtestatud Coulombi seadus ja superpositsiooniprintsiip võimaldavad täielikult kirjeldada antud laengute süsteemi elektrostaatilist välja vaakumis. Kuid elektrostaatilise välja omadusi saab väljendada muul, üldisemal kujul, kasutamata punktlaengu Coulombi välja ideed.

Tutvustame uut elektrivälja iseloomustavat füüsikalist suurust – elektrivälja tugevusvektori voolu Φ. Olgu elektrivälja tekitamise ruumis mõni üsna väike ala ΔS. Vektori mooduli korrutist pindala ΔS ning vektori ja koha normaalnurga α koosinusega nimetatakse intensiivsusvektori elementaarvooks läbi ala ΔS (joonis 1.3.1):

Vaatleme nüüd mõnd suvalist suletud pinda S. Kui jagame selle pinna väikesteks aladeks ΔSi, määrame välja elementaarvoolud ΔΦi läbi nende väikeste alade ja seejärel liidame need kokku, siis saame tulemuseks vooluhulga Φ vektor läbi suletud pinna S (joonis 1.3.2):

Gaussi teoreem ütleb:

Elektrostaatilise väljatugevuse vektori vool läbi suvalise suletud pinna võrdub selle pinna sees paiknevate laengute algebralise summaga, mis on jagatud elektrikonstandiga ε0.

kus R on sfääri raadius. Voog Φ läbi sfäärilise pinna on võrdne E ja sfääri pindala 4πR2 korrutisega. Seega

Ümbritseme nüüd punktlaeng suvalise suletud pinnaga S ja vaatleme abisfääri raadiusega R0 (joonis 1.3.3).

Vaatleme koonust, mille tipus on väike ruuminurk ΔΩ. See koonus tõstab esile väikese ala ΔS0 sfääril ja ala ΔS pinnal S. Neid alasid läbivad elementaarvood ΔΦ0 ja ΔΦ on samad. Tõesti,

Sarnaselt saab näidata, et kui suletud pind S ei kata punktlaengu q, siis voolu Φ = 0. Sellist juhtumit on kujutatud joonisel fig. 1.3.2. Kõik punktlaengu elektrivälja jõujooned tungivad läbi ja läbi suletud pinna S. Pinna S sees ei ole laenguid, seega selles piirkonnas väljajooned ei katke ega teki.

Superpositsiooniprintsiibist tuleneb Gaussi teoreemi üldistus suvalise laengujaotuse korral. Mis tahes laengujaotuse välja võib esitada punktlaengute elektriväljade vektorsummana. Laengute süsteemi voog Φ läbi suvalise suletud pinna S on üksikute laengute elektriväljade voogude Φi summa. Kui laeng qi juhtub olema pinna S sees, siis annab see voolule võrdse panuse kui see laeng on väljaspool pinda, siis on selle elektrivälja panus voolu võrdne nulliga.

Seega on Gaussi teoreem tõestatud.

Gaussi teoreem on Coulombi seaduse ja superpositsiooniprintsiibi tagajärg. Kui aga võtta selles teoreemis sisalduv väide algseks aksioomiks, on selle tagajärjeks Coulombi seadus. Seetõttu nimetatakse Gaussi teoreemi mõnikord Coulombi seaduse alternatiivseks sõnastuseks.

Kasutades Gaussi teoreemi, on mõnel juhul võimalik kergesti arvutada elektrivälja tugevust laetud keha ümber, kui antud laengujaotus on mingi sümmeetriaga ja välja üldine struktuur on ette aimatav.

Näitena võib tuua õhukese seinaga õõnsa ühtlaselt laetud pika silindri raadiusega R välja arvutamise ülesande. Sellel ülesandel on telgsümmeetria. Sümmeetria huvides peab elektriväli olema suunatud piki raadiust. Seetõttu on Gaussi teoreemi rakendamiseks soovitav valida suletud pind S koaksiaalsilindri kujul, mille raadius on r ja pikkus l ja mis on mõlemast otsast suletud (joonis 1.3.4).

R ≥ R korral läbib kogu intensiivsusvektori voog silindri külgpinda, mille pindala on võrdne 2πrl-ga, kuna voog läbi mõlema aluse on null. Gaussi teoreemi rakendamine annab:

See tulemus ei sõltu laetud silindri raadiusest R, seega kehtib see ka pika ühtlaselt laetud hõõgniidi välja kohta.

Laetud silindri sees oleva väljatugevuse määramiseks on vaja korpuse r jaoks konstrueerida suletud pind< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Samamoodi saab Gaussi teoreemi rakendada elektrivälja määramiseks ka mitmel muul juhul, kui laengute jaotumisel on mingisugune sümmeetria, näiteks sümmeetria keskpunkti, tasandi või telje suhtes. Kõigil neil juhtudel on vaja valida sobiva kujuga suletud Gaussi pind. Näiteks tsentraalse sümmeetria korral on mugav valida Gaussi pind sfääri kujul, mille keskpunkt on sümmeetriapunktis. Telgsümmeetria korral tuleb suletud pind valida koaksiaalse silindri kujul, mis on mõlemast otsast suletud (nagu eespool käsitletud näites). Kui laengute jaotus ei oma sümmeetriat ja elektrivälja üldist struktuuri pole võimalik arvata, ei saa Gaussi teoreemi rakendamine väljatugevuse määramise ülesannet lihtsustada.

Vaatleme veel üht sümmeetrilise laengujaotuse näidet – ühtlaselt laetud tasandi välja määramist (joon. 1.3.5).

Sel juhul on soovitav valida Gaussi pind S mõne pikkusega silindri kujul, mis on mõlemast otsast suletud. Silindri telg on suunatud laetud tasapinnaga risti ja selle otsad asuvad sellest samal kaugusel. Sümmeetria tõttu peab ühtlaselt laetud tasandi väli olema igal pool suunatud piki normaalset. Gaussi teoreemi rakendamine annab:

kus σ on pinnalaengu tihedus, st laeng pindalaühiku kohta.

Saadud ühtlaselt laetud tasandi elektrivälja avaldis on rakendatav ka lõpliku suurusega lamedate laetud alade korral. Sel juhul peaks kaugus väljatugevuse määramise punktist laetud alani olema oluliselt väiksem kui ala suurus.

Ja ajakava 7-11

1. Ühtlaselt laetud sfäärilise pinna tekitatud elektrostaatilise välja intensiivsus.

Olgu raadiusega R kerapinnal (joon. 13.7) ühtlaselt jaotunud laeng q, s.o. pindlaengu tihedus kera mis tahes punktis on sama.

a. Märgime oma sfäärilise pinna sümmeetrilisse pinda S raadiusega r>R. Pinna S läbiv pingevektori voog on võrdne

Gaussi teoreemi järgi

Seega

c. Joonistame läbi punkti B, mis asub laetud sfäärilise pinna sees, kera S raadiusega r

2. Palli elektrostaatiline väli.

Olgu meil raadiusega R kuul, mis on ühtlaselt laetud mahutihedusega.

Igas punktis A, mis asub väljaspool palli ja selle keskpunktist kaugusel r (r>R), on selle väli sarnane palli keskel asuva punktlaengu väljaga. Siis pallist välja

(13.10)

ja selle pinnal (r=R)

(13.11)

Punktis B, mis asub kuuli sees selle keskpunktist kaugusel r (r>R), määrab välja ainult raadiusega r kera sees olev laeng. Pingevektori voog läbi selle sfääri on võrdne

teisest küljest vastavalt Gaussi teoreemile

Gaussi teoreemi järgi

Kahest viimasest avaldisest määrame välja ühtlaselt laetud niidi tekitatud väljatugevuse:

(13.13)

Olgu tasapinnal lõpmatu ulatus ja laeng pindalaühiku kohta σ. Sümmeetriaseadustest järeldub, et väli on suunatud kõikjale tasapinnaga risti ja kui muid välislaenguid pole, siis peavad väljad mõlemal pool tasapinda olema ühesugused. Piirame osa laetud tasapinnast kujuteldava silindrilise kastiga, nii et kast on pooleks lõigatud ja selle koostisosad on risti ning kaks alust, mille pindala on S, on paralleelsed laetud tasapinnaga (joonis 1.10).

12. Ühtlaselt laetud sfääri väli.

Laske elektrivälja tekitada laeng K, mis on ühtlaselt jaotunud raadiusega sfääri pinnale R(joonis 190). Väljapotentsiaali arvutamiseks suvalises punktis, mis asub kaugel r sfääri keskpunktist on vaja välja arvutada töö, mida väli teeb ühikulise positiivse laengu liigutamisel antud punktist lõpmatusse. Varem tõestasime, et sellest väljaspool oleva ühtlaselt laetud sfääri väljatugevus võrdub sfääri keskel asuva punktlaengu väljaga. Järelikult kattub väljaspool sfääri sfääri väljapotentsiaal punktlaengu väljapotentsiaaliga

φ (r)=K 4πε 0r . (1)

Eelkõige on sfääri pinnal potentsiaal võrdne φ 0=K 4πε 0R. Sfääri sees ei ole elektrostaatilist välja, seega on töö laengu viimiseks kera sees asuvast suvalisest punktist selle pinnale null. A= 0, seetõttu on ka nende punktide potentsiaalide erinevus null Δ φ = -A= 0. Järelikult on kõigil punktidel sfääri sees sama potentsiaal, mis langeb kokku selle pinna potentsiaaliga φ 0=K 4πε 0R .

Seega on ühtlaselt laetud sfääri väljapotentsiaali jaotus kujul (joonis 191)

φ (r)=⎧⎩⎨K 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Pange tähele, et sfääri sees ei ole välja ja potentsiaal on nullist erinev! See näide illustreerib selgelt tõsiasja, et potentsiaali määrab välja väärtus antud punktist lõpmatuseni.

1. Ühtlaselt laetud sfäärilise pinna tekitatud elektrostaatilise välja intensiivsus.

Olgu raadiusega R kerapinnal (joon. 13.7) ühtlaselt jaotunud laeng q, s.o. pindlaengu tihedus kera mis tahes punktis on sama.

2. Palli elektrostaatiline väli.

Olgu meil raadiusega R kuul, mis on ühtlaselt laetud mahutihedusega.

Igas punktis A, mis asub väljaspool palli ja selle keskpunktist kaugusel r (r>R), on selle väli sarnane palli keskel asuva punktlaengu väljaga. Siis pallist välja

(13.10)

ja selle pinnal (r=R)

(13.11)

Punktis B, mis asub kuuli sees selle keskpunktist kaugusel r (r>R), määrab välja ainult raadiusega r kera sees olev laeng. Pingevektori voog läbi selle sfääri on võrdne

teisest küljest vastavalt Gaussi teoreemile

Viimaste väljendite võrdlusest järeldub

(13.12)

kus on kuuli sees olev dielektriline konstant. Laetud sfääri tekitatud väljatugevuse sõltuvus kaugusest kuuli keskpunktist on näidatud (joon. 13.10)

3. Ühtlaselt laetud lõpmatu sirgjoonelise keerme (või silindri) väljatugevus.

Oletame, et raadiusega R õõnes silindriline pind on laetud konstantse joontihedusega.

Joonistame koaksiaalse raadiusega silindrilise pinna, mille pingevektori vool läbi selle pinna

Gaussi teoreemi järgi

Kahest viimasest avaldisest määrame välja ühtlaselt laetud niidi tekitatud väljatugevuse:

(13.13)

Olgu tasapinnal lõpmatu ulatus ja laeng pindalaühiku kohta σ. Sümmeetriaseadustest järeldub, et väli on suunatud kõikjale tasapinnaga risti ja kui muid välislaenguid pole, siis peavad väljad mõlemal pool tasapinda olema ühesugused. Piirame osa laetud tasapinnast kujuteldava silindrilise kastiga, nii et kast on pooleks lõigatud ja selle koostisosad on risti ning kaks alust, mille pindala on S, on paralleelsed laetud tasapinnaga (joonis 1.10).

Kogu vektorvoog; pinge võrdub vektoriga, mis on korrutatud esimese aluse pindalaga S, pluss vektori voog läbi vastasaluse aluse. Silindri külgpinda läbiv pingevoog on null, sest pingejooned ei ristu neid. Seega Seevastu Gaussi teoreemi järgi

Seega

kuid siis on lõpmatu ühtlaselt laetud tasandi väljatugevus võrdne

Židkevitš V.I. Tasapinna elektriväli // Füüsika: arvutusülesanded. - 2009. - nr 6. - Lk 19-23.

Elektrostaatika probleemid võib jagada kahte rühma: punktlaengute probleemid ja laetud kehade probleemid, mille suurust ei saa ignoreerida.

Elektriväljade ja punktlaengute vastastikmõjude arvutamise ülesannete lahendamine põhineb Coulombi seaduse rakendamisel ega tekita erilisi raskusi. Keerulisem on määrata lõpliku suurusega laetud kehade väljatugevust ja vastastikmõju: kera, silinder, tasapind. Erineva konfiguratsiooniga elektrostaatiliste väljade tugevuse arvutamisel tuleks rõhutada superpositsiooniprintsiibi olulisust ja kasutada seda mitte ainult punktlaengute, vaid ka üle pinna ja ruumala jaotatud laengute tekitatud väljade puhul. Arvestades välja mõju laengule, siis valem F=qE Üldjuhul kehtib see punktlaenguga kehade kohta ja ainult ühtlases väljas mistahes suuruse ja kujuga kehadele, mis kannavad laengut q.

Kondensaatori elektriväli tuleneb iga plaadi tekitatud kahe välja superpositsioonist.

Lamekondensaatoris võib üht plaati pidada laenguga kehaksq 1asetatud intensiivsusega elektrivälja E 2, teise plaadi poolt loodud.

Vaatleme mitmeid probleeme.

1. Lõpmatu tasand on laetud pinnatihedusega σ >0. Otsige välja väljatugevus E ja potentsiaal ϕ mõlemal pool tasapinda, arvestades tasapinna potentsiaali võrdseks nulliga. Koostage sõltuvusgraafikud E(x), ϕ (X). x telg tasapinnaga risti asetseb tasapinnal punkt x=0.

Lahendus. Lõpmatu tasandi elektriväli on tasapinna suhtes ühtlane ja sümmeetriline. Tema pinge vahel ühtlase elektrostaatilise välja kahe punkti intensiivsust ja potentsiaalide erinevust väljendatakse valemiga kus x - punktide vaheline kaugus, mõõdetuna piki väljajoont. Siis ϕ 2 = ϕ 1 -Nt. Kell x<0 при х>0 Sõltuvused E(x) ja ϕ (x) on esitatud joonisel 1.

2. Kaks tasapinnaga paralleelset õhukest plaati, mis asuvad lühikese vahemaa kaugusel d üksteisest ühtlaselt laetud pinnatiheduslaengugaσ 1 ja σ 2. Leidke väljatugevused punktides, mis asuvad plaatide vahel ja väljaspool. Joonistage pinge sõltuvus E(x) ja potentsiaal ϕ (x), loendamine ϕ (0) = 0. Kaaluge juhtumeid, kus: a)σ 1 = -σ 2; b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 = 3 σ 2 -

Lahendus. Kuna plaatide vaheline kaugus on väike, võib neid pidada lõpmatuteks tasapindadeks.

Positiivselt laetud tasandi väljatugevus on võrdne ja juhitud temalt; negatiivselt laetud tasandi väljatugevus on suunatud sellele.

Superpositsiooni põhimõtte kohaselt luuakse igas vaadeldavas punktis välja iga laengu poolt eraldi.

a) Kahe võrdus- ja vastandmärgiga laetud tasandi väljad (lamekondensaator) liidetakse tasanditevahelises piirkonnas ja välistes piirkondades tühistatakse üksteist (joonis 2, A).

Kell X<0 E= 0, ϕ =0; kell 0 d E= 0, graafikud pinge ja potentsiaali sõltuvus kaugusest X on näidatud joonisel 2, b, c.

Kui tasapinnad on lõplike mõõtmetega, siis tasanditevaheline väli ei ole rangelt ühtlane ja tasanditest väljaspool olev väli ei ole täpselt null.

b) Tasapinna väljad, mille laengud on võrdse suuruse ja märgiga (σ 1 = σ 2 ), kompenseerivad üksteist tasapindadevahelises ruumis ja liidavad välispiirkondades (joonis 3, A). Kell x<0 при 0d

Graafiku kasutamine E(x) (joonis 3, b), koostame sõltuvuse kvalitatiivse graafiku ϕ (x) (joonis 3, c).

c) Kui σ 1 = σ 2, siis, võttes arvesse väljade suundi ja valides positiivseks suuna paremale, leiame:

Pinge E sõltuvus kaugusest on näidatud joonisel 4.

3. Mahtuvusega lamekondensaatori ühel plaadil KOOS on tasuq 1=+3q, ja teiselt poolt q 2 =+ q. Määrake kondensaatoriplaatide potentsiaalide erinevus.

Lahendus. 1. meetod. Laske kondensaatori plaadi pindala S, ja nendevaheline kaugus d. Kondensaatori sees olev väli on ühtlane, seega saab kondensaatori potentsiaalse erinevuse (pinge) määrata valemiga U=E*d, kus E - väljatugevus kondensaatori sees.

kus E 1, E 2 - kondensaatoriplaatide tekitatud väljatugevus.

Siis

2. meetod. Lisage igale plaadile laeng Seejärel plaadid kondenseeritakse satoral on tasu + q ja -q. Kondensaatori sees olevate plaatide identse laengu väljad tühistavad üksteist. Lisatud laengud ei muutnud plaatide vahelist välja ja seega ka potentsiaalide erinevust võrra kondensaator. U= q/C .

4. Laadimata lamekondensaatori plaatide vahelisse ruumi sisestatakse õhuke metallplaat, millel on laeng +. q. Määrake kondensaatoriplaatide potentsiaalide erinevus.

Lahendus. Kuna kondensaator ei ole laetud, tekitab elektrivälja ainult laenguga plaat q (joonis 5). See väli on ühtlane, sümmeetriline plaadi ja selle intensiivsusegaOlgu metallplaadi potentsiaal ϕ . Siis plaatide potentsiaalid A Ja IN kondensaatorid on võrdsed ϕ- ϕ A = ϕ El 1; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Kondensaatoriplaatide potentsiaalide erinevusKui plaat on kondensaatori plaatidest samal kaugusel, siis on plaatide potentsiaalide erinevus null.

5. Ühtlases intensiivsusega elektriväljas E 0 laetud metallplaat asetatakse jõujoontega risti laengutihedusega plaadi mõlema külje pinnale σ (joonis 6). Määrake välja tugevus E" plaadi sees ja väljas ning pindlaengu tihedusσ 1 ja σ 2 , mis kuvatakse plaadi vasakule ja paremale küljele.

Lahendus. Plaadi sees olev väli on null ja on kolme välja superpositsioon: välisväli E 0, plaadi vasakul küljel olevate laengute tekitatud väli ja plaadi paremal küljel olevate laengute tekitatud väli. Seegakus σ 1 ja σ 2 - pinnalaengu tihedus plaadi vasakul ja paremal küljel, mis ilmub pärast plaadi väljaviimist E 0. Taldriku kogutasu ei muutu, seegaσ 1 + σ 2 = 2 σ, kust σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Väljaspool plaati on väli superpositsioon E 0 ja laetud plaadiväljad E. Vasakul taldrikud Parempoolne plaat

6. Lameõhukondensaatoris on väljatugevus E = 10 4 V/m. Plaatide vaheline kaugus d= 2 cm Kui suur on potentsiaalide erinevus, kui plaatide vahele asetatakse nendega paralleelselt paksusega metallleht?d 0=0,5 cm (joonis 7)?

Lahendus. Kuna plaatide vaheline elektriväli on ühtlane, siis U = Ed, U = 200 V.

Kui märgite plaatide vahele metalllehe, saate kahe järjestikku ühendatud kondensaatori süsteemi, mille plaatide vaheline kaugus ond 1 ja d2. Nende kondensaatorite võimsusedNende koguvõimsus

Kuna kondensaator on vooluallikast lahti ühendatud, ei muutu kondensaatori laeng metalllehe lisamisel: q"=CU=С"U1; kus on kondensaatori võimsus enne metalllehe lisamist. Saame:

U 1= 150 V.

7. Taldrikutel A ja C, mis asuvad kaugel paralleelselt d= 8 cm vahedega, potentsiaalid säilinud ϕ 1= 60 V ja ϕ 2 =- vastavalt 60 V. Nende vahele pandi maandatud plaat D kaugusel d 1 = 2 cm plaadist A. Kui palju on muutunud väljatugevus lõikudel AD ja CD? Koostage sõltuvusgraafikud ϕ (x) ja E(x).