Paljudel juhtudel kasutatakse ettevõtluse ja majanduse prognoosimisel aegridadel põhinevaid ökonomeetrilisi mudeleid. Kuna teatud aja jooksul kogutud andmed kipuvad näitama trendi, hooajalisust ja muid sarnaseid mõjusid, osutuvad erinevate ajaperioodide vaatlused seotuks või teisisõnu autokorreleeruvad. Seega ei saa aegridade andmete puhul olemasolevate vaatluste seeriast koostatud valimit pidada tavaliseks juhuslikuks valimiks. Seega, kui aja jooksul üksteisele järgnevatele vaatlustele rakendada standardseid regressioonimeetodeid, võib tulemuste tõlgendamisel tekkida teatud probleeme. Nende aegridade regressioonimudelite koostamine peaks toimuma väga ettevaatlikult.

Kus β 1 , β 2 ,…,β lk - mõned konstandid; ε t - juhuslikud vead, mis moodustavad "valge müra":

. (3)

See (AR(p)-mudel) kirjeldab hetkel uuritavat protsessi t sõltuvalt selle väärtustest eelmistel hetkedel t-1, t-2,…, t- lk.

Vormi (1) AR(p) mudeli konstrueerimine, mis vastab reaalaegridadele yt, hõlmab kahe omavahel seotud probleemi lahendamist: mudeli ratsionaalse järjekorra määramine (p väärtus) ja selle koefitsientide väärtuste hindamine.

Vaatleme esmalt AR(p) mudeli parameetrite hindamise üldisi lähenemisviise.

Üldisust kaotamata eeldame, et seeria matemaatiline ootus yt, võrdub nulliga, st. M(yt)=0 . Muidu muutuja asemel yt, avaldises (1) võime vaadelda tsentreeritud muutujat , kus , aga siis , mis tõestab meie oletust.

Võrrand (1) tähendab, et mudeli parameetrid β 1 , β 2 ,…, β lk saab väljendada autokorrelatsioonikordajatega ρ(τ) . Selleks korrutame võrrandi (1) arvuga yt -τ termini kaupa ja leidke iga saadud termini matemaatiline ootus:

Seda teades aga eeldades, et , sest ε t- "valge müra" omadustega juhuslik suurus, millel ei ole eelneva hetkega korrelatsiooni t vaadeldava protsessi väärtused yt, jagame avaldise vasaku ja parema osa protsessi dispersiooniga . Seejärel saab kogu avaldise ümber kirjutada järgmiselt:

Asendades saadud võrrandi tegelike väärtuste asemel ρ τ nende valimihinnangud r τ , saame järgmise lineaarvõrrandisüsteemi:

(6)

milles on teada autokorrelatsioonikordajate hinnangud r 1 , r 2 ,…, rp, ja tundmatud - koefitsientide hinnangud β 1 , β 2 ,…, β lk AR(p) mudelid: b 1 , b 2 ,…,bp .

Lineaarvõrrandisüsteemi (6) nimetatakse Yule-Walkeri võrranditeks ja selle alusel saadud väärtusi b 1 , b 2 ,…,bp- Yule-Walkeri AR(p) autoregressioonimudeli koefitsientide hinnangud. Neid hinnanguid saab saada determinantide abil või süsteemi vektormaatriksi tähistuste põhjal (6).

Determinantide põhjal saadakse Yule-Walkeri hinnangud järgmisel kujul:

, (7)

kus Δ on süsteemi (6) determinant.

(8)

Δ τ on determinant, mis saadakse determinandist Δ, asendades selle τ-nda veeru veeruga, mis koosnebst, mis moodustavad süsteemi (1.6) vasaku poole. r 1 , r 2 ,…, rp.

Vektormaatriksi tähistuses saab süsteemi (6) ümber kirjutada järgmisel kujul:

(9)

Kus r - Autokorrelatsioonikoefitsientide teadaolevate hinnangute veeruvektor esimesest kuni lk- ja kaasav, r=(r 1 , r 2 ,…, rp)" ; a- mudeli parameetrite tundmatute hinnangute veeruvektor, a \u003d (a 1, a 2,..., alk)" ; R- autokorrelatsioonikordajate hinnangutest koosnev maatriks, mille determinant väljendatakse valemiga (8).

Avaldisest (9) tuleneb otseselt, et autoregressiivse mudeli koefitsientide tundmatud hinnangud on defineeritud kui

. (10)

Teoreetiliselt peaks Yule-Walkeri hindajatel olema erapooletuse ja tõhususe omadused. Praktikas ei pruugi aga suurte autoregressiivsete mudelite puhul neid omadusi kinnitada. See kehtib eriti erapooletuse omaduse kohta. Nagu viivist sõltuvate muutujatega mudelite puhul, võib ka autoregressiivsete mudelite koefitsientide hinnangute nihe olla tingitud olemasolevast seosest vaadeldava muutuja nihutatud seeriate vahel. yt -1 , yt -2 ja viga ε t. Seda võimalikku sõltuvust jäetakse Yule-Walkeri võrrandite süsteemi koostamisel tavaliselt tähelepanuta, eeldades, et vead ε t moodustavad valget müra.

Hinnangute ebaefektiivsuse võib põhjustada maatriksi halb tingimuslikkus R, mis reeglina annab tunnistust juba ridadevahelisest sõltuvusest yt -1 , yt -2 ,…,yt -τ .

Küll aga mudeli väikeste tellimuste puhul (lk =1,2,3) Yule-Walkeri hinnangud on tavaliselt üsna "head". Äärmuslikul juhul võib neid pidada esimeseks lähenduseks "optimaalsetele" hinnangutele, mida saab saada Yule-Walkeri hinnangute täpsustamisel võimsamate, näiteks mittelineaarsete hindamismeetodite abil.

Yule-Walkeri hinnangute kvaliteeti saab testida veaseeria omadusi uurides ε t. Kui selle omadused on lähedased "valge müra" omadustele, võib Yule-Walkeri hinnanguid pidada "piisavalt heaks". Eelkõige võib seda tõestada Durbin-Watsoni kriteerium, mille väärtus peaks jääma ligikaudu vahemikku 1 kuni 3.

On lihtne näha, et Yule-Walkeri süsteem taandub sel juhul üheks võrrandiks, mis määrab otseselt hinnangu b 1 koefitsient β 1 :

1 = r1. (12)

Arvestades seda ε t Ja yt sõltumatu

Alates protsessist yt - paigal siis . Seega, eeldades, et , meil on

(14)

, (15)

kust see järeldub

. (16)

Saadud võrrandist, võttes arvesse, et dispersioon on positiivne väärtus, saame statsionaarsuse tingimuse - | r 1 |<1 .

Seetõttu, millal | r 1 |>1 sari osutub mittestatsionaarseks.

Leidke protsessi autokorrelatsiooni funktsioon yt. (11) korrutamine yt -1 ja veel kord iseseisvusele mõeldes ε t Ja yt, leia

kust korrelatsioonikordaja

(18)

st autoregressioonikoefitsient r 1 on korrelatsioonikordaja naaberhäirete vahel yt Ja yt -1 või autokorrelatsioonikordaja ρ 1 .

Yule-Walkeri võrrandite süsteem koosneb sel juhul kahest võrrandist:

(20)

Väljendades a 1 Ja a 2 autokorrelatsioonikordajate kaudu r 1 Ja r 2 , saame

(21)

Võrrandisüsteemi (20) saab aga lahendada suhtes r 1 Ja r 2

(22)

Kui me korrutame võrrandi (19) mõlemad pooled arvuga yt, võtta iga liikme matemaatiline ootus, võttes arvesse asjaolu, et terminis M(yt , ε t) Meie yt asendada mudeli endaga ja seda teades M(yt,yt -τ )= cov(yt,yt -τ )= r τ D(yt -τ )= r τ σ y 2 , saame:

Selle avaldise põhjal on lihtne saada algse protsessi dispersioonide suhe yt ja mudeli viga ε t:

. (24)

Saadud võrrandist, võttes arvesse, et dispersioon on positiivne väärtus, saame statsionaarsuseks vajalikud ja piisavad tingimused:

(25)

või saab selle ümber kirjutada kui

(26)

Ettevõte X on spetsialiseerunud väärtpaberiportfelli teenindamisele. Mõelge ülesandele töötada välja täpsem metoodika Dow Jonesi indeksi (liiklusindeksi) prognoosimiseks, kasutades Box-Jenkinsi metoodikat. Tabelis 1 on toodud suvekuude viimased 65 päeva keskmist sulgemisindeksi väärtust.

Tabel 1 Liiklusindeksi päevade sulgemise keskmised

Alustame analüüsi, võttes arvesse algandmete graafikut, mis on esitatud joonisel fig. 1. Sarjas on selgelt näha tõusutrendi. Järgmine samm katsemudeli määratlemisel on võtta arvesse joonisel 1 näidatud andmete näidisautokorrelatsiooni funktsiooni. 2. Tuleb märkida, et paar esimest autokorrelatsioonikordajat on pidevalt olemas suur tähtsus ja kipuvad väga aeglaselt nullima. Seetõttu olid esialgsed järeldused trendi olemasolu kohta õiged ja et esialgne aegrida on mittestatsionaarne, s.t. selle väärtusi ei saa pidada muutuvaks mingi kindla taseme suhtes.

Joonis 1 – graafik Dow Jonesi päevase lõpliku keskmise transpordi väärtuste kohta

Joonis 2 – liiklusindeksi autokorrelatsiooni funktsiooni näidis

Arvutame andmete erinevused, et näha, kas see võimaldab meil trendi kõrvaldada ja saada statsionaarsed seeriad. Kõik erinevuste andmete muutused toimuvad teatud kindla taseme läheduses. Selgus, et erinevuste valimi keskmine on 1,035. Näidisautokorrelatsioonid erinevuste jaoks on näidatud joonistel fig. 3 ja selektiivsed osalised autokorrelatsioonid - joonisel fig. 4.

Joonis 3 - Autokorrelatsiooni funktsiooni näidis liiklusindeksi esimeste erinevuste jaoks

Joonis 4 - Osalise autokorrelatsiooni funktsiooni näidis liiklusindeksi esimeste erinevuste jaoks

Saame väga vastuolulisi tulemusi. Autokorrelatsioonikoefitsientide võrdlus nende piirveaga näitas, et oluline oli ainult autokorrelatsioon esimesel ajaintervallil. Sarnaselt oli osaliste autokorrelatsioonikordajate puhul oluline ainult intervall 1. Autokorrelatsioonikordajad katkestati pärast esimest intervalli, mis näitab MA(1) mudelile iseloomulikku käitumist. Ja samal ajal lõigati pärast sama intervalli ära ka osalised autokorrelatsioonikoefitsiendid, mis näitavad käitumist, mis on juba iseloomulik AR(1) mudelile.

Mõlemad proovid ei näita koefitsientide väärtuste sujuvat vähenemist. Rakendame liiklusindeksile mõlemad mudelid - ARIMA(1,1,0) ja ARIMA(0,1,1). Lisaks lisame igasse mudelisse konstantse liikme, et võtta arvesse asjaolu, et erinevuste jada muutused ilmnevad nullist kõrgema taseme läheduses. Kui transpordiindeksit tähistatakse kui y t, on erinevuste jada Δy t = y t - y t -1 ja konstrueeritud mudel on järgmise kujuga:

ARIMA(1,1,0): Δy t = φ 0 + φ 1 Δy t -1 + ε t

ARIMA(0,1,1): ∆y t = ϻ + ε t - ω 1 ε t -1.

Mõlemad mudelid kirjeldavad andmeid võrdselt hästi. RMS jääk (PRL) saab olema selline.

ARMA (1,1,0): s 2 \u003d 3,536,

ARIMA(0,1,1):s 2 = 3,538.

Samuti tuleb märkida, et ARIMA(0,1,1) mudelis hinnatud konstant on ϻ =1,038 , st. on tegelikult võrdne erinevuste valimi keskmisega.

Joonisel fig. 6 on näha, et ARIMA(1,1,0) mudeli jaoks puuduvad olulised jääkautokorrelatsioonikoefitsiendid. Kuigi ARIMA(0,1,1) mudeli jääkautokorrelatsiooni funktsiooni siin ei kuvata, on selle tulemus sama.

Q m – Lewing-Boxi statistika arvutatud intervallide rühmade kohta t = 12, 24, 36 ja 48 ei ole olulised, nagu näitab suur väärtus R mõlema mudeli jaoks. Seetõttu võime järeldada, et mõlemad mudelid on piisavad. Lisaks on nende kahe mudeli prognoosid ühele eelseisvale perioodile peaaegu samad.

Joonis 6 - Jääkautokorrelatsioonid; Liiklusindeksit kirjeldav ARIMA(1,1,0) mudel

Tekkinud dilemma lahendamisel eelistame ARIMA(1,1,0) mudelit, lähtudes selle väikesest täpsuseelisest. Selle mudeli testimise tulemused perioodi 66 kohta on järgmised:

y t - y t -1 = φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

y t \u003d y t -1 + φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

nii et φ 0 = 0,741 ja φ 1 = 0,284 korral on prognoosivõrrand järgmine:

ŷ 66 \u003d y 65 + 0741 + 0,284 (y 65 - y 64) \u003d 288, 57 + 0,741 + 0,284 (288,57-286,33) \u003d 28

Arvestuslik intervall perioodi 66 tegeliku väärtuse ennustamiseks on (286,3; 293,6).

4. Liikuva keskmise (MA) mudel

Liikuva keskmise mudelite puhul teist järku statsionaarse juhusliku protsessi hetkeväärtus yt, on kujutatud praeguse ja varasema veaväärtuste lineaarse kombinatsioonina ε t, ε t -1 ,.., ε t - q, mis vastab oma omadustelt "valgele mürale". Sellist esitust saab väljendada järgmine võrrand(liikuva keskmise järjestuse mudel q- MA(q)):

Kus γ 1 , γ 2 ,…, γ q - mudeli parameetrid.

Vastavalt definitsioonile "valge müra" viga ε t, mida iseloomustavad järgmised omadused:

M(ε t)=0 (28)

. (29)

Selle tulemusena on "valge müra" autokorrelatsioonifunktsioonil väga lihtne vorm:

. (30)

Arvestades vea omadusi ε t, on MA(q) mudeli autokorrelatsioonifunktsiooni konstrueerimine lihtne. Selle kovariatsioonikordaja q- järjekord on määratletud järgmiselt:

Kell τ=0 avaldis (31) on protsessi dispersioon yt, mis tänu omadustele (28) ja (29) on väljendatud MA(q) mudeli koefitsientidena: γ 1 , γ 2 ,…, γ q; ja vea dispersioon järgmiselt:

Suvalise eest τ (32) põhjal saame, et kovariatsioonikordaja määrab avaldis

(33)

MA(q) mudeli autokorrelatsioonifunktsioon saadakse otse punktist (7):

(34)

Süsteem q võrrandid (8), võivad olla hinnangute saamise aluseks g 1 , g 2 ,…, g q mudeli MA(q) tundmatud parameetrid - γ 1 , γ 2 ,…, γ q. Selleks on vaja väärtuste asemel asendada iga selle võrrand ρ τ vaadeldav protsess yt nende arvutatud hinded r τ .

Kuid erinevalt Yule-Walkeri võrranditest on see süsteem mittelineaarne ja selle lahendamine nõuab spetsiaalsete iteratiivsete arvutusprotseduuride kasutamist, välja arvatud lihtsaim MA(1) mudel.

Esimese järgu libiseva keskmise (MA) mudel

Seda esindab järgmine väljend:

t= ε t - γ 1 ε t -1 . (35)

(34) järeldub, et protsessi dispersioonid ja selle mudeli vead on seotud järgmise seosega:

. (36)

Selle ainus nullist erinev esimene autokorrelatsioonikordaja on väljendatud mudeli koefitsiendina as

. (37)

Seosest (37) on lihtne saada hinnangu suhtes ruutvõrrand g 1 tundmatu parameeter γ 1

, (38)

Kus r 1 - esimest järku autokorrelatsioonikordaja hinnang, s.o. ρ 1 .

Omakorda (38) järeldub, et sellel võrrandil on kaks lahendust, mis on omavahel seotud järgmise seosega:

. (39)

Protsessi statsionaarsuse tingimust rahuldab ainult lahendus g 1 , mis on absoluutväärtuses väiksem kui üks:

(40)

tingimusel, et

. (41)

(41) järeldub, et esimest järku libiseva keskmise mudeleid saab kasutada ainult selliste protsesside kirjeldamiseks, mille autokorrelatsioonifunktsioon lõpeb pärast esimest viivitust ja autokorrelatsioonikordaja, mis absoluutväärtuses ei ületa 0,5.

Kokkuvõtteks esitame teist järku libiseva keskmise mudeli – MA(2) peamised tulemused.

Teist järku liikuva keskmise mudel MA(2)

Teist järku libiseva keskmise mudel MA(2) kirjutatakse üldkujul järgmiselt:

t= ε t - γ 1 ε t -1 - γ 2 ε t -2. (42)

Punktist (39) tuleneb otseselt, et protsessi dispersioonid ja vead on seotud järgmise seosega:

Selle autokorrelatsioonifunktsioon määratakse mudeli parameetritega seotud väärtustega järgmiste seoste abil

(44)

Nendest seostest saab leida hinnangud mudeli koefitsientidele g 1 Ja g 2 teadaolevate hinnangutega r 1 Ja r 2 .

Kus β 1 , β 2 ,…, β lk ,γ 1 , γ 2 ,…, γ q - mudeli koefitsiendid; R - autoregressiooni järjekord; q - liikuv keskmine järjestus.

Pange tähele, et mudeli (45) saab teisendada kas autoregressiivseks mudeliks AR(p)

kus on viga ξ t, rahuldab libiseva keskmise tellimuse protsessi omadusi q, või libiseva keskmise mudelisse - MA(q): muutujate väljendamisega yt -τ , vigade lineaarsete kombinatsioonide kaudu

ja sarnaste liikmete edasine vähendamine pärast sulgude avamist.

Nende mudeli (45) modifikatsioonide puhul vaatleme selle autokorrelatsioonifunktsiooni omadusi ja võimalikke lähenemisviise selle parameetrite hindamiseks. Pange tähele, et vahetuste puhul, mis ületavad libiseva keskmise järjekorda q, st. juures τ> q, ei sõltu avaldisega (45) defineeritud ARMA(p,q) mudeli autokovariantsi koefitsiendid mudeli vigadest. Tõepoolest,

Kui τ> q, siis "valge müra" omaduste tõttu kõik matemaatilised ootused vigade korrutistele ε t Ja ε t -τ- j, j< q osutuvad võrdseks nulliga, st.

M(ε t - j , ε t - τ - j)=0, τ= q+1, q+2,…; j=1,…, q.

Antud juhul s.t. juures τ> q, ARMA(p,q) mudeli autokovariantsi koefitsientide väärtused vastavad nende koefitsientide omadustele, mis on iseloomulikud autoregressiivsele mudelile R- tellimuse AR(p):

Väljend (49) viitab sellele otseselt tundmatud väärtused koefitsiendid β 1 , β 2 ,…, β lk Sel juhul saab seda hinnata Yule-Walkeri võrrandite süsteemi modifikatsiooni põhjal, millel on antud juhul järgmine vorm:

(50)

Kasutades süsteemist leitud koefitsientide hinnangute väärtusi (50) β 1 , β 2 ,…, β lk avaldise (46) põhjal moodustame liikuva keskmise protsessi q- järjekord – MA(q):

Kus u t on tegelik viga, mis on vea hinnang ξ t. Vea väärtused u t, mis saadakse tundmatute parameetrite asemel avaldisega (46) asendamisega β 1 , β 2 ,…, β lk nende reitingud b 1 , b 2 ,…, bp määratud süsteemist (50). e t - tegelik viga, mille väärtust kasutatakse tegeliku vea asemel ε t, libisevate keskmiste koefitsientide hindamisel. Hinnete määramiseks g 1 , g 2 ,…, g q libiseva keskmise koefitsiente, kasutatakse mittelineaarseid hindamismeetodeid, mis hõlmavad mittelineaarsete võrrandite süsteemi (48) lahendamist.

Vaatleme ARMA(1,1) autoregressiivse libiseva keskmise mudelite kõige "populaarsemat" modifikatsiooni. Seda ökonomeetriliste uuringute praktikas laialdaselt kasutatavat mudelit saab väljendada järgmise valemiga:

y t= β 1 y t -1 + ε t- γ 1 ε t -1 . (52)

Selle mudeli dispersiooni määramiseks korrutame avaldise (52) vasaku ja parema osa matemaatilise ootusmärgi all yt. Selle tulemusena saame

Avaldise (53) tuletamisel võeti arvesse seda M(y t, ε t)= M(β 1 y t -1 + ε t - γ 1 ε t -1 )=σ 0 2 "valge müra" protsessi omaduste tõttu ε t.

sest .

Samamoodi saame protsessi esimese autokovariantsi koefitsiendi yt, korrutades võrrandi (52) vasaku ja parema osa ootusmärgi all arvuga yt -1 . Võttes arvesse asjaolu, y t -1 = β 1 y t -2 + ε t -1 - γ 1 ε t -2 ja "valge müra" omaduste tõttu ε t me saame sellest aru

Avaldistest (53)-(55) tuleneb otseselt, et protsessi dispersioon yt, mida kirjeldab ARMA(1,1) mudel, selle esimene autokovariantsi koefitsient ja vea dispersioon ε t, on seotud järgmiste seostega:

(56)

ja kõrgema järgu autokovariansi koefitsiendid (nagu avaldistest (45) ja (46)) - vormi suhete järgi:

Seosest (54) on lihtne saada avaldis, mis määrab ARMA(1,1) protsessi esimese autokorrelatsioonikordaja väärtuse:

. (58)

Kõrgema järgu väärtused on seotud (13) sarnase seosega. ρ τ = β 1 ρ τ-1, τ≥2.

Seega järgivad ARMA(1,1) mudeli väärtused eksponentsiaalseadust

, (59)

Kus .

Tegelikkuses ei pruugi uuritavatel protsessidel statsionaarsuse omadust olla, siis saab üsna lihtsate teisenduste abil vaadeldava jada taandada statsionaarseks protsessiks.

Üks selline teisendusviis on piiratud erinevuste võtmine

kus on esimene erinevus. Seda teisendust on soovitatav kasutada siis, kui y muutumise seadus on lineaarsele lähedane.

kus on teine ​​erinevus. Teisendust rakendatakse siis, kui muutumise seadus yt, on lähedane ruutsõltuvusele.

Ülaltoodud seeriatele on võimalik rakendada autoregressiivset ja liikuvat keskmist mudelit, kuid mudeli koostamise protsessi ei saa praegu lugeda lõpetatuks. Selle lõpuleviimiseks on vaja jätkata algse protsessi mudeli loomist, sooritades pöördteisendusi, mis lähevad teisendatud väärtustest edasi x t, algväärtustele yt.

Laske protsessil x t, vastab autoregressiivse libiseva keskmise mudelile. Teisenduse kirjutame nihkeoperaatori abil IN numbri jaoks x t.

Saame vastavalt

, (62)

kus on astmepolünoomid lk Ja q vastavalt vahetusoperaatorist, mida kasutatakse ARMA(p,q) mudeli samaväärse tähise saamiseks.

Pange tähele, et teisendus (62) ei mõjuta viga ε t. Vaatleme kirjeldatud protseduuri, kasutades näitena ARMA(1,1) mudelit.

, (67)

mis on samaväärne kirjutamisega

. (68)

Ühendades need kaks võrrandit üheks, saame mudeli algse aegrea suhtes y t järgmisel kujul:

(69)

Pange tähele, et teisendus (61) operaatori B abil kirjutatakse järgmisel kujul:

. (70)

Sel juhul saame suvalise ARMA(p, q) mudeli puhul

Eelkõige seeria jaoks ehitatud ARMA(1,1) mudeli jaoks z t, avaldis (71) algprotsessi jaoks y t võtab järgmise vormi:

. (72)

Originaalsarja toomise puhul y t, t=1,2,…,T statsionaarsele, kasutades d-ndat erinevust, saadakse selle tulemuseks olev mudel:

Praktilistes uuringutes pöördmuundurite läbiviimisel parameetrite asemel β Ja γ , esialgsete aegridade mudelite vastavateks avaldisteks y t, on vaja nende hinnangute väärtused asendada a Ja b saadud transformeeritud statsionaarse protsessi mudelite jaoks y t.

Seega järeldub avaldistest (67) ja (70), et esialgse aegrea kasutamine teisendamiseks y t statsionaarsesse protsessi x t, t=1,2,…,T, ei too erinevuste operaator kaasa muutust protsessi kirjeldava mudeli tüübis y t. See, nagu ARMA(p,q) mudel, mis kirjeldab statsionaarset protsessi x t , on kujult lineaarne.

Pöörakem tähelepanu ka vajadusele analüüsida omadusi ja hinnata algvea põhiomadusi, s.o. taastatud mudel. Seda tuleks teha muuhulgas mudeli enda kvaliteedi hindamise põhjendamiseks. Mõne teisenduse puhul saab nende tegeliku vea dispersiooniväärtusi määrata teisendatud mudeli efektiivvea dispersiooni vastavatest väärtustest, kasutades lineaarsete, logaritmiliste ja muude sõltuvuste dispersioonide omadusi, mis vastavad muutumine. Sellega seoses märgime, et mitu mudeli tegeliku vea väärtust määratakse sel juhul pärast mudeli põhivõrrandi moodustamist ja selle põhjal väärtuste arvutamist. Lisaks saab tegeliku vea omadusi määrata spetsiaalsete testide abil.

9. ARMA mudeli identifitseerimine

Vaadeldavast materjalist järeldub, et suvalist teist järku reaalset statsionaarset protsessi saab väljendada aegridade mudelite erinevate versioonidega. Selle näitamiseks kirjutame näiteks AR(1) mudeli kompaktsemal kujul, kasutades tagasinihke operaatorit B. Selle mõju mis tahes ajast sõltuvale muutujale määratakse järgmiste seostega:

Võttes arvesse (1), saab AR(1) mudelit esitada kujul järgmine vorm rekordid:

. (75)

Kuna |β 1 |<1 , siis on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa

(76)

Võttes arvesse (2), kirjutame mudeli (3) järgmisel kujul:

kus antud juhul.

Avaldisest (74) järeldub, et esimest järku autoregressiivne mudel on samaväärne lõpmatut järku liikuva keskmise mudeliga. Samamoodi saab näidata pöördvõrdelist seost nende mudelite järjestuste vahel. Seega on MA(1) mudeli jaoks meil

. (78)

Kuna |γ 1 |<1 (protsessi statsionaarsest seisundist y t), siis avaldisest (75) saame

(79)

Sel juhul on lõpmatu järjekorra autoregressiivse mudeli koefitsiendid.

, (80)

kus q-astme polünoom saadakse ühe jagamisel q-nda astme polünoomiga.

Vaadeldavatest seostest järeldub oluline järeldus: praktikas on võimalik valida minimaalse arvu parameetritega mudel, mis kirjeldab aegrida y t, mis on statsionaarne protsess, ei ole "halvem" kui muud suure hulga parameetritega mudelite variandid. Tavaliselt seostatakse mõiste "mitte halvem" mudeli minimaalse dispersiooniga ja autokorrelatsiooni puudumisega selle vigade seerias.

Selle järelduse praktiline väärtus on järgmine. Aegridade mudelite koostamisel tuleks püüda minimeerida nende parameetrite arvu ja sellest tulenevalt ka mudeli enda järjestust. Asi on selles, et selliste mudelite parameetreid hinnatakse algprotsessi alusel y t. Mudeli järjestuse suurenemisega on selle parameetrite väärtuste määramiseks vaja lähteandmetena kasutada suuremat arvu autokorrelatsioonikoefitsiente (suurte arvudega). Nende hinnangu täpsus väheneb nihke suurenemisega ja nende absoluutväärtused kipuvad nulli minema või langevad suurenenud määramatuse piirkonda. Selle tõttu väheneb kõrge järgu aegridade mudelite koefitsientide hinnangute usaldusväärsus, nagu ka mudelite endi kvaliteet. Kõik see paneb meid otsima reaalsete protsesside kirjeldamiseks minimaalse arvu parameetritega aegridade mudeleid.

Vaadeldava tegeliku protsessiga kõige paremini sobiva mudeli valimise protsessi nimetatakse mudeli tuvastamiseks. Meie puhul seisneb identifitseerimine mudeli üldkuju määramises ARMA(p,q) mudelite klassist, mida iseloomustab teiste võimalike variantidega võrreldes väikseim arv parameetreid, kaotamata seejuures kirjelduse täpsust. algne protsess.

Üldiselt on tuvastamine üsna jäme protseduur (protseduuride jada), mille eesmärk on määrata ARMA(p,q) mudeli järjekorra p ja q karakteristikute teatud vastuvõetavate väärtuste vahemik, mis edasiste uuringute käigus tuleks taandada nende konkreetsetele väärtustele.

Tavaliselt kaasnevad selles osas identifitseerimisega protseduurid alternatiivsete mudelite parameetrite hindamiseks ja kvaliteedikriteeriumide kasutamisest lähtuvalt parima valimiseks.

Seega koosneb reaalse protsessi kirjeldamiseks kõige paremini sobiva mudeli moodustamine üldjuhul justkui kolmest ristuvast ja üksteist täiendavast etapist - tuvastamine, hindamine ja diagnostika (mudeli kooskõlastamine lähteandmetega selle puuduste tuvastamiseks ja hilisemaks täiustamiseks)

ARMA(p,q) mudeli tuvastamise üldidee seisneb selles, et reaalse protsessi omadused ja parima mudeli omadused peaksid olema üksteise lähedal.

See lähedus, nagu varem näidatud, määratakse peaaegu täielikult nende autokorrelatsioonifunktsioonide käitumise võrdlemisega: teoreetiline - mudeli jaoks ja empiiriline - reaalse protsessi jaoks, mille valimi autokorrelatsioonikordajad hinnati vaadeldud andmete põhjal. Kuna valimi autokorrelatsioonikordajaid saab iseloomustada küllalt suurte vigadega ja pealegi tugevate omavaheliste korrelatsioonisuhetega, siis praktikas ei tohiks "teoreetilise" ja "empiirilise" autokorrelatsioonifunktsioonide täpset sarnasust eeldada, eriti suurte nihete puhul. Näiteks protsessi vahelise statistilise seose tõttu võivad proovide autokorrelatsioonikordajate (pursked) suhteliselt olulised tasemed esineda ka nihkepiirkondades, kus nende teoreetilised vasted on nullilähedased. Seetõttu võetakse teoreetiliste ja näidivõrdlemisel tavaliselt arvesse ainult nende põhiomadusi. Just nende kokkulangevus võimaldab reaalse protsessi kirjeldamiseks vastuvõetavate mudelivariantide valikut oluliselt kitsendada. Lõplik valik neist ühe kasuks tehakse tavaliselt mudelite hindamise ja diagnostiliste etappide tulemuste põhjal.

Märgime ära tüüpiliste ARMA(p,q) mudelite autokorrelatsioonifunktsioonide iseloomulikumad omadused.

Esimest järku autoregressioonimudeli autokorrelatsioonifunktsioon - AR(1) langeb rangelt eksponentsiaalselt (täpsemalt kehtib see järeldus autokorrelatsioonikordajate absoluutväärtuste kohta). Autokorrelatsioonikoefitsientide vähenemise sujuvus on iseloomulik ka kõrgemat järku autoregressioonimudelitele. Ühel juhul toimub langus kas pisut kiiremini kui rangelt eksponentsiaalne või veidi aeglasemalt ja teisel juhul summutatud sinusoidile vastava mustri järgi.

Äärmiselt oluline teave autoregressiivse mudeli järjestuse kohta sisaldub nn osalises autokorrelatsiooni funktsioonis.

AP(p) mudeliga kirjeldatud protsessi puhul on selle väärtused tellimuste autoregressiivsete mudelite koefitsientide viimased väärtused, mis ei ületa p, st. tellimustega mudelid τ=1,2,…, lk. Tähistame AR(p) mudeli osalise autokorrelatsiooni funktsiooni väärtused kui π p1, π p2,…, π lk. Seejärel mudeli AP(p) väärtus π p1 võrdub ρ 1 ja praktikas määratletakse seda koefitsiendi hinnanguna β 1 AR(1) mudel valemiga:

(81)

kus väärtus (vt avaldist (21)) - AR(2) mudeli koefitsiendina. Praktikas väärtus π p2, seega määratakse valemiga:

. (82)

ja mis tahes koefitsiendi hinnang on määratletud koefitsiendi hinnanguna β τ , modelleerib AR(τ) valemiga:

(83)

Võib näidata, et AP(p) mudeli puhul on osalise autokorrelatsiooni funktsiooni väärtused olulised (mittenullid) kuni viivituse k (kaasa arvatud)ni, s.o. π p1>0, i≤p ja mudeli järjekorda ületavate nihkete puhul võrdne nulliga, st. π p1=0, i>p. Praktikas tuleks seda tulemust mõista "statistilises mõttes", kuna osalise autokorrelatsioonifunktsiooni koefitsientide väärtuste hinnangud määratakse näidisväärtuste põhjal ja seetõttu on need ise juhuslikud. muutujad, mida iseloomustab teatud viga. Osalise autokorrelatsiooni funktsiooni koefitsiendi hinnangute puhul, mille järjekord on suurem kui mudeli järjestus, saab vea dispersiooni ligikaudselt hinnata järgmise valemiga:

, (84)

Kus i>p; T- indikaatori dünaamilise seeria maht y t .

Seega on autoregressiivsete mudelite osalise autokorrelatsiooni funktsiooni käitumine sarnane liikuva keskmise mudelite autokorrelatsiooni funktsioonide käitumisega. AR(p) mudeli puhul "lõikub" selle osaline autokorrelatsioonifunktsioon pärast viivitust p, nagu see juhtuks MA(q) mudeli autokorrelatsioonifunktsiooni puhul. See osalise autokorrelatsiooni funktsiooni omadus on kasulik autoregressiivsete mudelite tuvastamiseks. Kui sellise funktsiooni väärtused, mis on arvutatud reaalse protsessi jaoks, katkevad (muutuvad nulliks) alates nihkest p + 1, näitab see, et p-ndat järku autoregressiivne mudel vastab vaadeldava protsessi omadustele.

Nagu avaldisest (34) tuleneb, lõpeb MA(q) mudeli teoreetiline autokorrelatsioonifunktsioon pärast viivitust q. Seega, kui reaalse protsessi autokorrelatsioonifunktsioonil on sarnased omadused, näitab see, et selle kirjeldamiseks on soovitav kasutada vastava järjekorra libiseva keskmise mudelit. Teisisõnu, kui protsess y t, osutus oluliseks ainult esimene autokorrelatsioonikordaja r1 ja samal ajal vastavalt väljendile (41) r1<0,5, то данный факт указывает на целесообразность выбора для его описания модели MA(1). Если «обрыв» имеет место после второго сдвига - то модель MA(2) и т.д.

Sarnaselt autoregressiivsetele mudelitele saab osalise autokorrelatsiooni funktsioone konstrueerida mis tahes järjestusega liikuva keskmise mudelite jaoks. Nende koefitsientide hindamiseks kasutatakse avaldisi (81)-(83). Samas, võttes arvesse asjaolu, et MA(1) mudeli puhul on esimene autokorrelatsioonikordaja ρ 1 ja mudeli parameeter γ 1 seotud suhtega , siis τ=2, 3,... puhul, võttes arvesse asjaolu, et ρ 2 = ρ 3 =…=0, saab näidata, et selle mudeli osaliste väärtused määratakse järgmise valemiga:

(11) järeldub kohe, et

millest järeldub, et MA(1) mudeli osaline autokorrelatsioonifunktsioon (st selle osaliste autokorrelatsioonikordajate absoluutväärtused) väheneb vastavalt eksponentsiaalsele lähedasele seadusele. Teisisõnu, selle käitumine on sarnane AR(1) mudeli autokorrelatsioonifunktsiooniga.

Saab näidata, et sarnane omaduste vastavus on iseloomulik mudeli MA(2) osalisele autokorrelatsioonifunktsioonile ja AR(2) mudeli autokorrelatsioonifunktsioonile. Need on kas eksponentsiaalset tüüpi sõltuvused, mis vähenevad sujuvalt nihke suurenemisega, või summutatud sinusoidid. Selline vastavus autokorrelatsiooni ja konkreetsete autokorrelatsioonifunktsioonide vahel on tüüpiline ka kõrgema järgu autoregressiivsete ja liikuva keskmise mudelite jaoks.

ARMA(p,q) mudelite puhul on autokorrelatsioonifunktsiooni käitumine pärast viivitust q sarnane AR(p) mudeli autokorrelatsioonifunktsiooni käitumisega. Praktikas kasutatakse aga enamasti ARMA(1,1) mudelit, s.t. ainult esimene tellimus. Nagu eespool näidatud (vt avaldisi (75)-(80)), on see tingitud asjaolust, et esimest järku autoregressiooniga seotud mudeli komponent neelab kõik kõrgemate järkude liikuva keskmise protsessid ja vastupidi, esimest järku liikuva keskmise komponent neelab kõrget järku autoregressiivseid protsesse. Selle tulemusena iseloomustab ARMA(1,1) mudeli autokorrelatsiooni ja osalise autokorrelatsiooni funktsioonide käitumist nende funktsioonide omaduste kombinatsioon, mis toimus AR(1) ja MA( 1) mudelid.

Teisisõnu, komponent AR(1) aitab kaasa asjaolule, et ARMA(1,1) mudeli autokorrelatsioonifunktsioon (absoluutväärtused) väheneb eksponentsiaalselt, kuid pärast esimest viivitust (esimest nihet ). See tuleneb otseselt avaldistest (36) ja (38). MA(1) komponent omakorda määrab ARMA(1,1) mudeli osalise autokorrelatsiooni funktsiooni käitumismustrid, mis samuti väheneb ligikaudu eksponentsiaalselt vastavalt avaldistele (85) ja (86).

Vaadeldavad identifitseerimisviisid põhinevad reaalse statsionaarse protsessi valimi autokorrelatsiooni ja osalise autokorrelatsiooni funktsioonide ning seda kirjeldava mudeli omaduste võrdlusel. Praktikas ei kohta nende funktsioonide omaduste ideaalset kokkulangevust sageli, kuna reaalsed protsessid ei vasta tavaliselt liiga täpselt nende teoreetilistele vastetele-mudelitele ja nende hinnanguid iseloomustab vigade olemasolu. Selle tulemusena õigustab identifitseerimisprotseduur mõne proovimudeli valimist ARMA(p,q) tüüpi mudelite üldisest rühmast, mis on. Nagu lähtepunkt teel vaadeldava protsessi “optimaalse” teoreetilise analoogi (mudeli) konstrueerimise poole, mis põhineb täpsemate diagnostiliste protseduuride ja mudeliparameetrite hindamise meetodite kasutamisel.

Tavaliselt uuritakse diagnostikaprotseduure kasutades tegeliku mudelivea omadusi. e t , mida sageli nimetatakse jääkveaks. Sel juhul on soovitatav juhinduda järgmisest aegridade analüüsi loogikast e t, mille väärtused on määratletud kui protsessi tegelike ja arvutuslike väärtuste vahe hetkel t, s.o. , kus on vastava mudeli järgi arvutatud protsessi väärtused.

"Eduka" mudeli puhul võime eeldada, et seeria vigu e t, t=1,2,…,T oma omadustelt on üsna lähedane "valgele mürale" - juhuslikule protsessile, mida iseloomustab selle väärtuste mustrite täielik puudumine, välja arvatud nende jaotuse teadaolev seadus, mida tavaliselt peetakse normaalseks. Meie puhul tähendab see, et tegeliku vea matemaatiline ootus peab olema võrdne nulliga ( M(e t) = 0) ja dispersioon on konstantne selle mis tahes mõõtmispiirkonnas ( ) ja ridade vahel e t , e t-1 , e t-2 ,... puudub autokorrelatsiooni sõltuvus, st. seeria esimene ja järgnevad näidisautokorrelatsioonikordajad e t, t=1,2,…,T nullilähedane.

Teisisõnu tegelik mudeliviga e t , peab olema "nii juhuslik", et seda ei saaks ükski teine ​​mudel täpsustada.

Lisaks, nagu ülal näidatud, on soovitav, et vea dispersioon oleks oluliselt väiksem kui protsessi dispersioon. Sel juhul protsessi kirjeldav mudel y t omamoodi eemaldab olulise osa selle varieeruvuse ebakindlusest, mis võimaldab ennustada selle väärtusi suurema kehtivusega.

Mis tahes mustrite olemasolu veaseerias e t , näitab, et konstrueeritud mudel ei ole vaadeldava protsessi jaoks piisav y t . Ebaadekvaatsuse põhjuseks võivad olla vead parameetrite hinnangutes või nn mudeli määramatus. Sellise ebakindluse näideteks on AR(1) mudeli kasutamine protsessi jaoks piisava ARMA(1,1) mudeli asemel. Sel juhul AR(1) mudeli viga mida iseloomustavad MA(1) mudeli omadused. Seda näitab selle nullist erinev esimene autokorrelatsioonikordaja.

Pange tähele, et isegi valesti määratud parameetrite väärtused põhjustavad tegelikus veaseerias "mittejuhuslikkuse" ilmumist.

Sellest tulenevalt on praktikas ühemõtteline viidata mis tahes viisile, kuidas mudelit vea omaduste analüüsi põhjal täpsustada. e t , muud omadused peale "valge müra" ei ole tavaliselt võimalikud. Sellises olukorras võib soovitada esmalt mudeli parameetrite väärtusi täpsustada, kasutades nende hindamiseks tõhusamaid protseduure, ja seejärel, kui see osutub vajalikuks, mudel uuesti defineerida.

Sel eesmärgil saab kasutada muid täpsemaid hindamismeetodeid (näiteks mittelineaarseid), milles leitud hinnanguid kasutatakse ARMA (p, q) parameetrite "optimaalsete" väärtuste esialgsete lähendustena. mudel.

Ülaltoodud põhjendustest järeldub, et mudeli diagnostika taandatakse selle vea omaduste uurimisele, et teha kindlaks selle omaduste vastavuse aste "valge müra" omadustele. Sellised uuringud statsionaarsete protsesside mudeli puhul taanduvad tavaliselt tegeliku vea autokorrelatsioonikordajate olulisuse kontrollimisele. e t .

Kontrollida hüpoteesi mudeli vea omaduste ja valge müra omaduste vastavuse kohta, protseduurid hüpoteeside testimiseks selle matemaatilise ootuse konstantsuse ja nulliga võrdsuse kohta, dispersiooni püsivuse ja selle autokorrelatsioonikordajate võrdsuse kohta. nullini saab kasutada.

Box-Jenkinsi lähenemine aegridade analüüsile on väga võimas tööriist täpsete lühiajaliste prognooside tegemiseks. ARIMA mudelid on üsna paindlikud ja suudavad kirjeldada mitmesuguseid praktikas esinevaid aegridade omadusi. Mudeli piisavuse kontrollimise ametlik protseduur on lihtne ja juurdepääsetav. Lisaks tulenevad ennustused ja ennustusintervallid otse kohandatud mudelist.

ARIMA mudelite kasutamisel on aga ka mitmeid puudusi.

1. Vaja on suhteliselt palju algandmeid. Tuleb mõista, et kui andmed on perioodilised, näiteks hooajalise perioodiga 5=12, siis on ühe täisaasta vaatlused tegelikult üks sesoonse andmeväärtus (üks vaade hooajalisele struktuurile), mitte kaksteist väärtust. Üldiselt võib öelda, et ARIMA mudeli kasutamisel mittehooajaliste andmete jaoks on vaja umbes 40 või enam vaatlust. ARIMA mudeli ehitamisel hooajaliste andmete jaoks on vaatlusi vaja sõltuvalt hooajalisuse perioodi pikkusest ligikaudu 6-10 aastat.

2. ARIMA mudelite parameetrite kohandamiseks pole lihtsat viisi, näiteks mõne silumismeetodi puhul, kui uusi andmeid sisestatakse. Mudelit tuleb aeg-ajalt täielikult ümber ehitada ja vahel tuleb valida täiesti uus mudel.

3. Rahuldava ARIMA mudeli ehitamine nõuab sageli palju aega ja ressursse. ARIMA mudelite puhul võivad mudeli koostamise kulud, arvutusaeg ja andmebaasinõuded olla oluliselt suuremad kui traditsioonilisemate prognoosimeetodite (nt silumine) puhul.

Bernsteini (Bernstein, 1996) järgi on prognoosimine juhtimise üks olulisemaid komponente, mis annab olulist abi otsustusprotsessis. Tegelikult sõltub iga oluline juhtimisotsus mingil määral prognoosidest. Varumine on ühendatud Koos eeldatava nõudluse prognoosid; tootmisosakond peab planeerima tööjõu- ja toorainevajaduse järgmiseks kuuks või kaheks; finantsosakond peab tootma lühiajalise finantseeringu järgmiseks kvartaliks; personaliosakond peab ette nägema töötajate palkamise või vallandamise vajaduse. Prognoosimise erinevate rakenduste loetelu võib olla väga pikk.

Juhid on prognoosimise vajadusest hästi teadlikud. Kahtlemata pühendatakse palju aega majanduse ja poliitika hetkesuundade uurimisele, samuti sellele, kuidas tulevased sündmused võivad mõjutada nõudlust pakutavate toodete ja/või teenuste järele. Kõrgemad ametnikud on huvitatud kvantitatiivsest prognoosist, et võrrelda seda oma arvamusega. Huvi prognoosimise vastu suureneb eriti siis, kui aset leiavad sündmused, mis võivad nõudluse taset tõsiselt mõjutada. Kvantitatiivsete prognoosimeetodite puuduseks on nende sõltuvus varasematest vaatlustest. Sel põhjusel on nad loomulikult vähem tõhusad ootamatute muutuste ennustamisel, mis viivad nõudluse järsu tõusu või languseni.

Sageli peavad juhid koostama lühiajalise prognoosi suure hulga toodete kohta. Tüüpiline näide on olukord, kus juht seisab silmitsi ülesandega luua nõudluse prognoosi põhjal tootmine mitmesaja tooteartikli jaoks, mis moodustavad ühe rea. Sel juhul on silumismeetodite kasutamine kõige õigustatud.

Eksponentsiaalsete silumismeetodite peamine eelis on nende madal hind ja lihtsus. Need ei taga samasugust täpsust kui keerulised meetodid nagu ARIMA. Kuid tuhandete toodete prognooside tegemisel on silumismeetodid sageli ainus mõistlik lähenemine.

Aegridadel põhinevad väljavaadete prognoosid põhinevad eeldusel, et tulevikusündmuste areng on sarnane minevikuga ning minevikusündmuste struktuur on adekvaatselt kirjeldatav. Aegridade tehnika on üks enimkasutatavaid muutujaid prognoosimisel, millel on konstantne ja stabiilne muutuste struktuur.

Box-Jenkinsi metoodika on väga võimas tööriist täpseks lühiajaliseks prognoosimiseks. Juhid peaksid teadma, et rahuldava Box-Jenkinsi ARIMA mudeli loomine nõuab üsna palju ajaloolisi andmeid ja märkimisväärset analüütiku aja investeeringut.

Box-Jenkinsi tehnikal on palju praktilisi rakendusi. ARIMA mudeleid on tegelikult kasutatud järgmistel eesmärkidel:

1 hinnang hinnastruktuuri muutustele USA telefonitööstuses;

2 ammooniumisisalduse, vooluhulga ja veetemperatuuri seoste uurimine jõgedes;

3 aastareservide prognoosimine;

4 töötavate naftapuuraukude arvu prognoosimine;

5 ehitatud eramute arvu analüüs;

6 müüdud ühikute arvu protsendi suurenemise igapäevaste vaatluste analüüs;

7 õhu- ja raudteetranspordi vahelise konkurentsi analüüs;

8 tööhõive taseme prognoosimine;

9 kommunaalteenuste energiatarbimise suure hulga aegridade analüüs;

10tarbekaupade müügi stimuleerimise mõjude analüüs;

11 toodete kvaliteedi tagamise erinevate kategooriate prognoosimine.

Näide 2. Ettevõtte Y analüütik koostas prognoosimist vajava tootmisprotsessi andmete aegrea. Tema kogutud andmed on toodud tabelis 2 ja vastav graafik on näidatud joonisel 7. Tundub, et Box-Jenkinsi meetod on kogutud andmete töötlemiseks sobivaim.

Tabel 2 Atroni toote vabanemisväärtused

Joonis 7 – Atronile huvipakkuva tootmisprotsessi andmete graafik

Alustame proovimudeli otsimist, analüüsides joonisel fig. 8. Andmete esialgset aegrida iseloomustab väärtuste kõikumine fikseeritud taseme läheduses ligikaudu 80-ga ja väärtused vähenevad kiiresti nullini. Selle põhjal võime järeldada, et see aegrida on statsionaarne.

Joonis 8 – Atroni andmete autokorrelatsiooni funktsiooni näidis

Esimese valimi autokorrelatsioonikoefitsient (-0,53) erineb oluliselt 5% taseme nullist, kuna see on vahemikust väljas

Autokorrelatsioon 2-perioodi viivituse korral on lähemal 5% taseme läviväärtusele ja vastupidine autokorrelatsiooni märgile r 1 intervallil 1. Ülejäänud autokorrelatsioonid on väikesed ja on määratud vea piirides. Võib eeldada, et selline autokorrelatsioonikordajate struktuur vastab kas mudelile AR(1) või, mis on samuti vastuvõetav, mudelile MA(2), kui eeldada, et autokorrelatsioonid on ära lõigatud (nullist eristamatud) juba pärast teine ​​intervall. Selle tulemusena otsustame analüüsida joonisel fig 1a näidatud selektiivse osalise autokorrelatsiooni funktsiooni graafikut. 9.

Joonis 9 - Osalise autokorrelatsiooni funktsiooni näidis ettevõtte andmete jaoks

Pange tähele, et esimene osaline autokorrelatsioonikordaja (-0,53) erineb oluliselt nullist, kuid ükski teine ​​osaline autokorrelatsioonikordaja ei lähene olulise väärtuse tasemele. . Selle tulemusena järeldame, et valimi autokorrelatsiooni ja valimi osalise autokorrelatsiooni funktsioonide käitumine vastab AR(1) mudelile (või mis on sama, ARIMA(1,0,0)), kuid selleks, et riski kõrvaldamiseks modelleerime andmeid ka MA(2) mudeli (või ARIMA(0,0,2)) abil. Kui mõlemad mudelid on piisavad, on võimalik valida parim mudel, lähtudes säästlikkuse põhimõttest ( Säästlikkuse põhimõte seisneb lihtsa mudeli eelistamises keerulisele).

Mõlemasse mudelisse on lisatud konstantne liige, et võtta arvesse asjaolu, et andmed muutuvad nullist erineva taseme ümber (kui andmeid väljendataks kõrvalekaldena valimi keskmisest, siis poleks konstantne liige mõlemas mudelis vajalik).

Mõlemad mudelid sobisid andmetega hästi. Hinnangulised koefitsiendid erinevad oluliselt nullist. Keskmised ruutvead on sarnased.

MA (2): s 2 \u003d 135,1

AR(1): s2 = 137,9.

Nende kahe mudeli ühe ja kahe perioodi prognoosid erinevad mõne detaili poolest, kuid kolme järgneva perioodi (78. periood) prognoosid on väga lähedased. Fikseeritud prognooside allika korral muutuvad statsionaarsete protsesside prognoosid lõpuks võrdseks eeldatava keskmise tasemega. Sel juhul on hinnanguline keskmine tase ligikaudu võrdne ϻ = 75 mõlema mudeli puhul. m - Lewing-Boxi statistika (muudetud Box-Pierce'i statistika) on intervallide korrelatsioonikoefitsientide jaoks ebaoluline t = 12, 24, 36 ja 48 mõlema mudeli jaoks. Individuaalsed jääon väikesed ja nende piirvigade piires. MA(2) mudeli jääkautokorrelatsioonifunktsioon on sarnane. Pole kahtlust, et vead on mõlemas mudelis juhuslikud.

Kuna mudelil AR(1) on kaks parameetrit (sealhulgas konstantne liige) ja MA(2) mudelil kolm (sealhulgas konstantne liige), siis säästlikkuse põhimõttest lähtudes otsustasin kasutada lihtsamat AR-i. (1) mudel tulevaste andmeväärtuste ennustamiseks. ).

AR(1) prognoosivõrrand näeb välja selline

ŷ t = 115,842 + (-0,538) y t -1 = 115,842 - 0,538 y t -1, seega perioodi 76 kohta

ŷ t = 115,842 - 0,538 y 75 = 115,842 - 0,538 (72) = 77,11.

Lisaks on kahe järgneva perioodi prognoos järgmine.

ŷ 77 = 115,842-0,538 y 76 = 115,842-0,538 (77,11) = 74,3.

Näide 3. Atroni analüütik otsustas kasutada Box-Jenkinsi meetodit, et ennustada vigu (hälbeid ettevõtte sihttoodangu mahust), mis leiti tema kontrolli all oleva tootmisprotsessi kvaliteedikontrollis. Vastavad andmed on näidatud tabelis 3 ja selle vigade aegrea graafik on näidatud joonisel fig. 10.

Tabel 3 Atroni kvaliteedikontrolli käigus leitud vead (tootja 1)

Periood (P)

Joonis 10 – Atroni kvaliteedikontrolli käigus tuvastatud vead (hälbed sihtmahtudest).

Alustame mudeli määratlemise protsessi, uurides vea aegridade graafikut, samuti kontrollides joonisel fig 1 näidatud autokorrelatsiooni ja osalise autokorrelatsiooni funktsioone. 11 ja 12.

Joonis 11 – Atroni QC andmete autokorrelatsiooni funktsiooni näidis

Joonis 12 – Autokorrelatsiooni funktsiooni näidis kvaliteedikontrolli andmete jaoks

Aegridade ja autokorrelatsioonifunktsioonide graafikud näitavad selle seeria statsionaarsust. Kuna on ainult üks oluline autokorrelatsioonikordaja (intervalli 1 puhul väärtus -0,50) ja kõik muud koefitsiendid on väikesed ja jäävad aktsepteeritud ebaolulisuse vahemikku, võib järeldada, et valimi autokorrelatsioonikordajad katkevad pärast esimest intervalli.

Osalise autokorrelatsiooni graafik algab bin 1 olulisest väärtusest, kusjuures esimesed kolm osalise autokorrelatsiooni koefitsienti on negatiivsed ja kaovad nulli lähedal. Võib järeldada, et valimi ja osalise autokorrelatsiooni käitumine on väga sarnane MA(1) (või ARIMA(0,0,1)) protsessi teoreetiliste näitajatega. . Jõuame järeldusele, et uuritavat aegrida saab kirjeldada MA(1) mudeli abil.

MA(1) mudeli parameetrid on hinnatud järgmiselt ϻ \u003d 0,1513 ja ω 1 \u003d 0,5875. Igaüks neist erineb oluliselt nullist. Jääkautokorrelatsiooni funktsioon on näidatud joonisel fig. 13 ja ᵡ 2 Lewing-Boxi statistika (muudetud Box-Pearce'i statistika) näitab vigade juhuslikkust.

Joonis 13. Autokorrelatsiooni funktsioon MA(1) mudeli jääkide jaoks

MA(1) mudeli prognoosivõrrand on järgmine:

ŷ t = ϻ - ω 1 ε t -1 ,

kus ε t-1 hinnatakse vastava jäägi e t-1 abil. Perioodi 91 vea (hälbe sihtarvudest) ennustamiseks on vaja perioodi 90 jääki, e 90 = -0,4804. Arvutame järgmise:

ŷ 91 \u003d 0,1513 - 0,5875 (-0,4804) \u003d 0,4335.

QC vea prognoos perioodil 92 on lihtsalt seeria eeldatav keskmine, kuna prognoosi alguses t = 90, veajärjestuse parim hinnang perioodil 91, ε 91, on null. Seega

ŷ 92 = 0,1513 -0,5875 (0) = 0,1513.

Näide 4. Huvitav on ennustada vigu teise tootmisettevõtte Atron toodangu mahu kvaliteedikontrollis. Proovime nende andmetega rakendada Box-Jenkinsi meetodit (tabel 4) ja selle aegrea graafik on näidatud joonisel fig. 14.

Tabel 4. Ettevõtte Y kvaliteedikontrolli käigus leitud vead (toode 2)

Joonis 14 - Kvaliteedikontrolli vead (hälbed sihtarvudest).

Algsete aegridade ja näigraafikute üldvaade (joonis 15) viitab sellele, et algne kvaliteedikontrolli vigade seeria on paigal. Veaväärtused kõiguvad fikseeritud taseme ümber - null ja autokorrelatsioonid lagunevad kiiresti ja sujuvalt.

Joonis 15 – Kvaliteedikontrolli andmete autokorrelatsioonide näidised

Pange tähele, et kaks esimest autokorrelatsioonikoefitsienti erinevad oluliselt nullist ja ceteris paribus, mis veelgi olulisem, autokorrelatsioonikordajad esimese paari intervalli jaoks vähenevad sarnaselt sellele, kuidas see on määratletud selliste protsesside teoreetilises kirjelduses nagu AR(1). . Analüüsime ka selektiivse osalise autokorrelatsiooni funktsiooni graafikut, mis on näidatud joonisel fig. 16. Kõik osalised autokorrelatsioonikordajad, välja arvatud esimene, on praktiliselt tähtsusetud. Kokkuvõttes vastas valimi autokorrelatsiooni ja valimi sageduse autokorrelatsiooni funktsioonide struktuur täpselt AR (p) tüüpi protsessidele. Seetõttu näib, et vigade jada (kõrvalekalled väljaannete sihtväärtustest) andmeid saab adekvaatselt modelleerida AR(1) või ARIMA(1,0,0) protsessina.

Joonis 16 – Kvaliteedikontrolli andmete osaliste autokorrelatsioonide näidis

Kuna vearea valimi keskmine on standardhälbega võrreldes äärmiselt väike (nulli suurusjärgus), siis konstantset liiget mudelisse ei võeta.

Mudeli parameetri AR(1) väärtuseks on hinnatud φ 1 =0,501 ja see erineb oluliselt nullist (t = 5,11). Jääkkeskmise ruutviga s 2 = 1,0998. ᵡ 2 -Lewing-Boxi statistika ja jääkautokorrelatsiooni funktsiooni graafik (joonis 17) viitavad sellele, et leitud mudel on adekvaatne. Pole põhjust kahelda, et veaväärtuste põhinõue on täidetud.

Joonis 17 – AR(1) mudeli autokorrelatsioonifunktsioon

Ennustusvõrrandil on järgmine kuju:

ŷ t = 0,501y t-1.

Seega on perioodide 81 ja 82 prognoosid järgmised:

ŷ 81 = 0,501 a 80 = 0,501 (1,06) = 0,531

ŷ 82 = 0,501 a 81 = 0,501 (0,531) = 0,266.

Proovime veidi keerukamat mudelit, et saada tulemusi, mis kinnitaksid valikut AR(1) mudeli kasuks. Kasutame lisaparameetrit kvaliteedikontrolli vigade analüüsimiseks ja ARMA(1,1) (või ARIMA(1,0,1)) mudeli katsetamiseks. Viimast võib põhjendada sellega, et kui varem valitud mudel on õige, siis libiseva keskmise lisaparameeter annab uues mudelis väga väikese panuse.

ARIMA(1,0,1) mudelil põhinevate lähteandmeseeriate modelleerimise tulemused näitasid, et MA(1) parameeter ei erine liiga palju nullist (t = 1.04), mis tähendab, et seda pole mudelis vaja. Muidugi, kuna see on üldisem mudel kui AR(1) mudel, on selle andmete esitusviis vähemalt sama hea, kui väärtus näitab s 2 = 1,0958 ja jääkide juhuslik käitumine.

Näide 4 Vaatleme Keytroni müügiprognoosi. Müügiandmed on saadaval 115 kuu kohta. Need andmed, mis hõlmavad ajavahemikku jaanuarist 1987 kuni augustini 1996, on esitatud tabelis 5

Tabel 5 Keytroni igakuine müük

Olles hoolikalt uurinud aegridu, mille graafik on näidatud joonisel fig. 18, võib selles koos tõusutrendiga leida selgelt väljendunud hooajalise struktuuri. Jõuame järeldusele, et see seeria on mittestatsionaarne ja seetõttu on vaja sellele rakendada hooajalist ARIMA mudelit

Joonis 18 - Ettevõtte müügimahtude graafik

Alustame andmemudeli määratlemist näidisautokorrelatsiooni funktsiooni uurimisega, mille graafik on näidatud joonisel fig. 19. Väikeste intervallidega autokorrelatsioonikoefitsiendid katkevad praktiliselt juba pärast intervalli 1, kuigi ka 3. intervallil on väike hüpe. Samuti tuleb märkida, et autokorrelatsioonikordajad hooajaliste intervallidega, s.o. 12, 24 ja 36 (viimast pole näidatud) on olulised, kuid tuhmuvad kiiresti. See näitab jada mittestatsionaarsust ja kinnitab algse aegrea graafiku uurimise tulemusi.

Joonis 19 – Autokorrelatsiooni funktsiooni näidis ettevõtte mahuandmete jaoks

Enne adekvaatse mudeli otsimise jätkamist arvutame välja erinevusread vastavalt hooajalisele struktuurile, et kontrollida, kas algset andmerea on võimalik muuta statsionaarseks.

Perioodi hooajaline erinevus S= 12 on määratletud järgmiselt:

Δ 12 y t \u003d y t - y t -12.

Esimene Keytroni müügiandmete jaoks arvutatud hooajaline erinevus oleks järgmine:

y 13 - y 1 \u003d 1757,6 - 1736,8 \u003d 20,8.

Joonisel fig. 20 on hooajaliste erinevuste arvutatud seeria graafik.

Joonis 20 – Ettevõtte müügiandmete hooajalised erinevused

Joonisel fig. 21 ja 22 näitavad vastavalt valimi autokorrelatsiooni ja valimi osalise autokorrelatsiooni funktsioone erinevuste seeria jaoks. Jooniselt fig. 19 järeldub, et hooajaliste erinevuste andmeid võib pidada üsna statsionaarseteks ja need kõiguvad suurusjärgus 100. Autokorrelatsioonikordajatel on üks oluline tipp intervalliga 12 (kärbitud) ja valimi osalise autokorrelatsiooni koefitsiendid on märkimisväärsed piigid intervallidega 12 ja 24, mis järk-järgult vähenevad » (kaovad välja). See käitumine näitab MA(1) elementi intervallis 12.

Joonis 21 - Ettevõtte müügiandmete hooajaliste erinevuste autokorrelatsiooni näidisgraafik

Joonis 22 - Ettevõtte müügiandmete hooajaliste erinevuste osalise korrelatsiooni graafik

Valime andmete jaoks mudeli kujul ARIMA(0,0,0)(0,1,1). Selline märge tähendab järgmist.

d=0 - tavalised erinevused

q=0 - libiseva keskmise tavalised liikmed

D= 1- hooajalised erinevused intervallis 5-12

K= 1 - hooajalise libiseva keskmise tingimused.

Kuna hooajaliste erinevuste jada muutub nullist erineva taseme ümber, tuli võrrandisse lisada konstantne liige. Lõplik mudel näeb välja selline

y t - y t -12 = ϻ + ε t + ψ 1 ε t -12, (87)

Kus ϻ - hooajalise erinevuse protsessi keskmine tase ja väärtus ψ - see on hooajaline liikuv keskmine parameeter.

Jääkide autokorrelatsioonifunktsiooni graafik on näidatud joonisel fig. 23 ning järgmise 12 kuu prognoos jätkab ettevõtte müügimahtude graafikut (joonis 24).

Joonis 24 - Ettevõtte müügimahud ja müügiprognoosid

Saame, et esialgne mudel kirjeldab andmestruktuuri hästi. ᵡ 2 – Lewing-Boxi statistika intervallide rühmade kohta t = 12, 24, 36 ja 48 ei ole oluline, mis näitab p suurt väärtust. Jääkide autokorrelatsioonid on kõik võrdselt väikesed ilma nähtava struktuurita.

Parameetrite hinnangulised väärtused olid ϻ = 85,457 ja ψ = 0,818. Nende suuruste väärtuste põhjal saadakse võrrand (87), mida saab lahendada y t suhtes , näeb välja selline:

y t \u003d y t -12 + 85,457 + 0,818ε t -12.

Prognoosides müüki perioodile 116, võrdsustame t = 116 ja näeme, et perioodide jaoks, mille kohta prognoos tehakse, on ε 116 (järgmise perioodi viga) parim hinnanguline väärtus null. Nii et ennustusvõrrand on selline

ŷ 116 \u003d y 114 + 85,147 - 0,818e 104,

kus e 104 on perioodi 104 jääk (veahinnang).

ŷ 116 = 2275 + 85,457 - 0,818 (-72,418) = 2419,7. Samamoodi

ŷ 117 \u003d y 105 + 85,457-0,8186,05e 105

ŷ 117 = 2581,8 + 85,457 - 0,818 (119,214) = 2504,3.

Ennustused on täielikult kooskõlas sarja käitumisega. Võib arvata, et hooajalise struktuuri kirjeldus on õige ning peagi on ettevõttel näha müügimahtude kasvu.

Kirjandus

1. Kendal M. Aegrida. - M.: "Finants ja statistika", 1981.

2. Runova L.P., Runov I.L. Aegridade analüüs ja prognoosimine. Õppe- ja metoodilised materjalid erialal "Sotsiaal-majandusliku prognoosimise meetodid" õpilastele

sa eriala “Matemaatilised meetodid majanduses”. Rostov Doni ääres, Venemaa Riiklik Ülikool, 2006.

2. Skuchalina L. N., Krutova T. A. Aegridade andmebaasi korraldamine ja pidamine. Indikaatorite süsteem, meetodid infoprotsesside prognoosimiseks, määramiseks, hindamiseks. GKS RF. M., 1995.

Statistiline modelleerimine ja prognoosimine. Õpik / Toim. A. G. Granberg. - M.: "Finants ja statistika", 1990.

Chetyrkin E.N. Statistilised prognoosimismeetodid. -M.: "Statistika", 1975.

Autoregressiooni ja liikuva keskmise järjestuse mudelit saab kasutada ka statsionaarsete protsesside kirjeldamiseks ( R, q), või mudel ARMA(p, q), mis sisaldab nii autoregressiivseid komponente kirjeldavaid termineid kui ka jääki libiseva keskmise protsessina modelleerivaid termineid.

Mudel ARMA(p, q) on vorm

Kus s t- Valge müra.

Tavaliselt parameetrite arv R või q mitte kunagi rohkem kui 2.

Protsesside jaoks ARMA(lk, q) Nende tuvastamiseks koostatakse järgmised praktilised soovitused:

• ARMA( 1, 0): ACF väheneb eksponentsiaalselt, FACF-il on viivituse 1 kõrvalekalle, muude viivitustega korrelatsiooni puudub;
• ARMA( 2, 0): ACF on sinusoidi kujuga või väheneb eksponentsiaalselt, FACF-il on naelu 1. ja 2. viivitustel, teiste viivitustega korrelatsiooni puudub;
• ARMA( 0, 1): ACF-il on viivituse 1 kõrvalekalle, teiste viivitustega korrelatsiooni puudub, FACF väheneb eksponentsiaalselt;

• ARMA( 0, 2): ACF-il on naelu viivitustes 1 ja 2, teiste viivitustega pole korrelatsiooni, AFCF-il on sinusoidaalne kuju või see laguneb eksponentsiaalselt;
• ARMA( 1, 1): ACF väheneb eksponentsiaalselt alates viivitusest 1, FACF väheneb eksponentsiaalselt alates viivitusest 1.

ARIMA-oj nu. Mõningaid mittestatsionaarseid aegridu saab taandada statsionaarseteks, kasutades diferentsioperatsiooni. Sellist protseduuri nimetatakse integratsiooni.

Tavaliselt tuleb jada erinevusi võtta seni, kuni see muutub statsionaarseks (tihti kasutatakse dispersiooni stabiliseerimiseks ka logaritmilist teisendust). Statsionaarsuse saavutamiseks võetud erinevuste arv on antud parameetriga d.

Laske aegrida y, pärast vahe võtmist d kord muutus paigal, rahuldav ARMA(p,#)-mudelid. Sel juhul rida y, mida tavaliselt nimetatakse integreeritud autoregressiivseks liikuva keskmise seeriaks (ARPRS) või ARlMA(lk, d, q). Erikirjanduses on see tuntud ka kui Box-Jenkinsi mudel.

Poksi metoodika - Jenkins valik ARIMA-uojuzrk aegridade kirjeldamiseks ja prognoosimiseks sisaldab järgmisi samme:

• mudeli tuvastamine;
• mudeli hindamine ja adekvaatsuse kontrollimine;
• prognoosimine.

Töös on üksikasjalikult kirjeldatud paketis rakendatud andmetöötlusprotseduure STATISTIKA A, sealhulgas valik ARIMA-uojizsm.

Näide 11.12. Me valime ARIMA-uojxQsm vastavalt kulla- ja välisvaluutareservide suurusele (y t) Venemaa 31.12.05-12.10.07 ja tee prognoos 5 sammu ette.

T Algandmed ja arvutatud näitajad on toodud tabelis. 11.24.

1. Mudeli identifitseerimine. Identifitseerimise esimene samm on statsionaarse seeria hankimine. Allika rida y, ei ole paigal, kuna sellel on tõusutrend (joon. 11.9).

Et seeria muutuks statsionaarseks, on vaja võtta järjestikuseid erinevusi, kuni see muutub statsionaarseks.

Arvutustabel näiteks 11.12

Riis. 11.9.

Erinevuse järjekorra määramiseks on vaja uurida autokorrelogrammi. Kui valimi aeglane vähenemine sõltuvalt viivitusest toimub, võetakse tavaliselt esimest järku erinevus.

Joonisel fig. 11.10 näitab muutuja y ACF-i, kus valimi ACF-i koefitsiendid arvutatakse valemiga

Riis. 11.10. Muutuv autokorrelogramm y, näiteks 11.12

Jooniselt fig. 11.10 on näha, et lagist sõltuvad autokorrelatsioonid vähenevad aeglaselt, mis näitab, et mudeli tuvastamiseks ARIMAip, d, q) võime võtta esimest järku erinevusi (d= 1).

Leiame esimese erinevuse z t - A y t , Kus Jah t =y t-y t -i ja koostage selle graafik sõltuvalt vaatluste arvust (joonis 11.11), millest on näha, et seeria on muutunud statsionaarseks, kuna trendi pole.

Statsionaarsele reale z, uuritakse proovi ACF ja FACF käitumise olemust, mis võimaldab sõnastada mitmeid hüpoteese võimalike autoregressiooni järjekordade kohta (R) ja liikuv keskmine ( q).

ACF-i koefitsientide näidised seeria jaoks z t arvutatakse valemiga

Riis. 11.11. Esimese erinevuse dünaamika graafik z t näiteks 11.12

Statsionaarsele reale z t valimi FACF väärtus arvutatakse regressioonivõrrandi viimase koefitsiendi |3* vähimruutude hinnanguna z t = Po + Pi^-i + + (3* z t ~k + ?/.

Joonisel fig. 11.12 näitab muutuja autokorrelatsiooni ja osalise autokorrelatsiooni funktsioone z t .

Joonisel fig. 11.12 ACF-il on esimesel viivitusel väike kõrvalekalle ja märgatav kalduvus laguneda, FACF-is erineb ainult esimese viivituse korrelatsiooniväärtus oluliselt nullist.

Kooskõlas varasemate mudelituvastuse parimate tavadega ARMA vali mudel AR1MA( 1, 1, 0), kuid võite kasutada ka mudelit ASHMA( 0, 1,1).

2. ARMA mudelite hindamine toodetud erinevate meetoditega (lineaarne ja mittelineaarne vähimruutude, täis- või tingimusliku maksimaalse tõenäosuse meetod).

Mõelge mudelile AR1MA( 1, 1, 0). Hindame esimest järku autoregressiivset mudelit vaba liikmega z t= 5 + az M + s, vähimruutude meetodil.

Tabelis. 11.24 näitab võrrandi parameetrite hindamiseks vajalikke arvutatud näitajaid. Excel.

Hinnanguliselt statistiliselt oluline mudel on

kus 5 = 3,793; a = 0,324 ja jääkdispersioon (jääk) on 39,8.

Riis. 11.12. Autokorrelatsioon (A) ja muutuja osalise autokorrelatsiooni (b) funktsioonid z, näiteks 11.12

Mudeli koefitsiendid on statistiliselt olulised. Kirjutame teisendatud mudeli vormile

kus 5,615 \u003d p \u003d 8 / (1 - a).

Kui adekvaatsuse testi edukalt läbinud mudeleid on mitu, siis valime mudeli, mille jääkide dispersioon on minimaalne.

Piisavuse kontrollimiseks ARMA- mudelitel on erinevad kriteeriumid:

• 1) mudeli koefitsientide hinnangud peaksid statistiliselt oluliselt erinema nullist;
• 2) mudeli e jäägid peavad olema sarnased valge müraga, st omama nulli autokorrelatsiooni.

Kontrollime mudeli adekvaatsust ARIMA(, 1, 0).

Koefitsiendid p = 5,615 ja a = 0,324 on statistiliselt olulised (esimene tingimus mudeli adekvaatsuse kontrollimiseks on täidetud).

Jääkide ACF-i koefitsientide olulisuse kontrollimisel kasutatakse kahte lähenemisviisi:

• iga autokorrelatsioonikordaja olulisuse kontrollimine eraldi;
• rühma olulisuse kontrollimine Box-Ljungi testi abil.

Teise tingimuse täitmise kontrollimiseks vaadake tabelit. 11.25, mille saab saldode alusel arvutades e, mudelid AR1MA(, 1, 0) tabelist. 11.24.

Tabel 11.25

Mudeli jääkide autokorrelatsioonifunktsiooni tulemuste tabel ARIMA( 1,1, 0) näiteks 11.12 (standardvead – valge müra vead)

	Autokorrelatsiooni koefitsient	standardviga	Poksistatistika – Lewitt (0	Olulisuse tase ( R)

Autokorrelatsioon on algseeria korrelatsioon iseendaga, nihutatud teatud viivitusega To. Jääkide valimi autokorrelatsioonifunktsiooni koefitsiendid määratakse valemiga

Eeldades, et protsess on valge müra (selles protsessis on kõik autokorrelatsioonikoefitsiendid nullid), on standardvead g kuni defineeritud kui

standardviga ( G k) = ^/(1 / P) ? (n - k) / (n + 2), kus P- seeria vaatluste arv.

Tabelis esitatud saadud väärtuste võrdlusest. 11.25, järeldub, et autokorrelatsioonikoefitsiendid on ebaolulised kõigil 15 viivitusel.

Nulli testimiseks To jääkide autokorrelatsioonifunktsiooni esimestest väärtustest kasutatakse Box-Ljung ^-statistikat.

Sellel mahajäämusel To Poksistatistika – Ljung K defineeritud kui

Autokorrelatsiooni puudumise nullhüpoteesi korral on ^-statistil jaotus X(k-r - q).

Olulisuse tasemed Rk, asjakohane statistika qk, saab määrata funktsiooni abil excel= CH2DIST(?>*, To). Kui Rk siis suurem kui etteantud olulisuse tase To

Arvestades vahekaardi viimase veeru saadud väärtusi. 11.25 järeldub, et kõik To jääkide autokorrelatsioonifunktsiooni esimesed väärtused on statistiliselt ebaolulised.

Tabelis. 11.26 näitab väärtuste arvutamise näidet Qk, Pk mahajäämustele k = 1, 2, 3 vastavalt ülaltoodud valemitele, P = 46.

Tabel 11.26

Box-Lewitti statistiliste väärtuste ja vastavate olulisuse tasemete arvutamine

		K, =46-48-0,03 9 2 / 45 = 0,075	CH2DIST(0,075;1) = = 0,785
		Q 2 \u003d Q x + 46 48 (-0,189) 2 / 44 = 1,875	chi2dist(1,875;2) = = 0,392
		0 s \u003d 0 2 + 46-48-0,113 2/43 = 2,535	CH2DIST(2,535;3) = = 0,469

Seega on mudeli adekvaatsuse kontrollimise teine ​​tingimus täidetud.

3. Prognoosimine AR1MA(1, 1, 0) mudelis. Vaatleme mittestatsionaarset aegrida y t , kelle esimesed erinevused z, on A/?(1)-protsessid:

Nende avaldiste korduv rakendamine annab järgmise rekursiivse ennustusvalemi:

Teeme viie sammu prognoosi. Meil on kahe viimase tähelepaneku kohta 46 juures= 424,8 ja 47 juures = 434,0.

Ühe sammu ennustus:

Y 48 = Y 47+ p + a(y 47 jah 4 6 P) = 434,0 + 5,615 + 0,324 (434,0 - -424,8-5,615) \u003d 440,8.

Kaheastmeline prognoos:

y49 = vanuses 48+ R + a(48 -a 41- p) \u003d 440,8 + 5,615 + 0,324 (440,8 - -434,0-5,615) \u003d 446,8.

Kolmeastmeline ennustus:

Kell50 = 49+ R+ Oi(y 49 - y 4S- p) \u003d 446,8 + 5,615 + 0,324 (446,8 - -440,8-5,615) \u003d 452,5.

Neljaastmeline ennustus:

Yy \u003d Y50 + ^ + a (Y50.U 4 9 M 1) \u003d 452,5 + 5,615 + 0,324 (452,5 - -446,8-5,615) \u003d 458,2.

Viie sammu ennustus:

Kell52 \u003d J 51 + p + a (.y 51 -y 5 0 -v)= 458,2 + 5,615 + 0,324 (458,2 - - 452,5-5,615) = 463,8. ?

Hooajalised mudelid ARIMA. Hooajaline mudel on esitatud järgmiselt: ARlMA(p, d, q)(P, D, Q) s, kus parameetreid modelleerida p, d, q lisatud hooajalised parameetrid P, D, Q Ja s- vastavalt hooajaline autoregressioon, hooajaline erinevus, hooajaline libisev keskmine ja hooajaline periood.

Hooajaline mudel tuvastatakse samamoodi nagu mittehooajaline mudel. Autokorrelatsiooni ja osalise autokorrelatsiooni funktsioonide käitumine algsetel viivitustel võimaldab standardselt tuvastada mittehooajalist komponenti ning sesoonse viivituse kordajate puhul hooajalist komponenti.

Selge hooajalise komponendi olemasolul on soovitatav mudelisse lisada hooajaline erinevus, kuid soovitav on d+D2.

Oluliselt hõlbustada probleemide lahendamist analüüsi ja prognoosimise finants- ja majandusnäitajad aitab kaasaegsete arvutistatistika pakettide kasutamine. Mõnes arvutipaketis on rakendatud Box-Jenkinsi mudeli (ARPSS) struktuuri automaatse valimise protseduurid.

Programmis aegridade mudelite konstrueerimise protseduur SPSS sisaldab tööriista Mudeliehituse ekspert, mis tuvastab ja hindab automaatselt kõige sobivama Box-Jenkinsi või eksponentsiaalse silumise mudeli, välistades vajaduse määrata sobiv mudel katse-eksituse meetodil.

Näide 11.13. Paketi kasutamine SPSS, me valime ARIMA-uojuzsm vastavalt näitele 11.6 reisijate lennuveo mahu kohta kuueks aastaks ja teha prognoos järgmiseks aastaks.

• ? Näitame toimingute jada.
• Näidisandmed sisestame tabelisse ühte veergu nimega "Lennutransport" (joonis 11.13).

Riis. 11.13. Algandmete sisestamine SPSS näiteks 11.13

Andmed -> Määra kuupäevad. Avaneb dialoogiboks (joonis 11.14).

Määrake esimese vaatlusega seotud kuupäev (näiteks jaanuar 2010) ja ajavahemik järjestikuste vaatluste vahel. Selle tulemuseks on muutujate märgistus

Riis. 11.14. Dialoogiaken Määra kuupäevad(näide 11.13)

iga vaatlusega seotud kuupäevad. See määrab ka andmete eeldatava perioodilisuse, näiteks perioodilisuse 12, kui järjestikuste vaatluste vaheline ajavahemik on võrdne ühe kuuga. See perioodilisus on vajalik, kui soovite luua hooajalisi mustreid. Kui hooajalisi mustreid pole vaja ja andmesilte ei nõuta väljundis, siis dialoogiboks Määra kuupäevad võib vahele jätta. Sel juhul on iga vaatlusega seotud silt lihtsalt vaatluse number.

Nupule klõpsates OKEI, läheme andmetabelisse, kuhu on lisatud uued muutujad AASTA, KUU, KUUPÄEV (joon. 11.15).

Riis. 11.15.

Valige ülemisest menüüst käsud Analüüs -> Prognoosimine -» Loo mudeleid. Avaneb dialoogiboks (Joon. 11.16 , A).

Riis. 11.16. sakk Muutujad Dialoogikast Ajaseeria mudeli viisard (A) ja meetodi kriteeriumide määramine Mudeliehituse ekspert (b)

• Valige muutuja "Lennutransport" ja kasutage nuppu, et see loendisse üle kanda sõltuvad muutujad. Meetodina rühmas meetod installida Mudeliehituse ekspert ja vajutage nuppu Kriteeriumid. Avaneb dialoogiboks Ajaseeria mudeli viisard: eksperdi ehituskriteeriumid...(Joonis 11.16, b).
• Märkige ruudud, nagu on näidatud joonisel fig. 11.16, b, ja klõpsake nuppu Jätka dialoogi naasmiseks Ajaseeria mudeli viisard(Joonis 11.16, A).
• Klõpsake vahekaartidel järjestikku Statistika, graafikud, salvestamine, valikud ja määrake joonisel fig. 11.17.
• Vajutame nuppu Okei dialoogiboksis Ajaseeria mudeli viisard ja saame tulemusi.

Tabelis. 11.27 näitab mudeli parameetrite hindamise tulemusi meetodil Mudeliehituse ekspert.

Mudeli identifitseerimine: ASHMA( 1,1,0)(0,1,1)12 (vaba parameetrit pole). Toimus algmuutuja logaritmiline teisendus, algseeria diferentseerimine viivitusega 1 ja hooajaline diferentseerimine viivitusega 12.

Tabel 11.27

Mudeli parameetrite hindamise tulemused meetodil Mudeliehituse ekspert näiteks 11.13

Parameeter		Standard		Tähendus

See mudel sisaldab autoregressioonikoefitsienti /?(1), et võtta arvesse lennuliikluse dünaamika lineaarset trendi y t ja hooajalise libiseva keskmise koefitsient Qs( 1). Tabelis toodud mudeli parameetrid on väga olulised. Sobivuse viga e = 4,09 %.

Tabelis. 11.28 näitab 12 kuu lennuliikluse mahu prognoosi tulemusi ja prognoosi väärtuste usalduspiire.

Riis. 11.17. Vahekaardid Statistika (a), graafikud (b) Dialoogikast Ajaseeria mudeli viisard

Riis. 11.17. Vahekaardid Salvestamine (kuni), Valikud(d) dialoogiboks Ajaseeria mudeli viisard

Tabel 11.28

12 kuu prognoositulemused ja prognoosiväärtuste usalduspiirid näiteks 11.13

Joonisel fig. 11.18 näitab muutuja dünaamika graafikut y t(lennuliikluse maht) ja prognoosi usaldusvahemikuga 12 kuuks ette.

Riis. 11.18. Muutuja dünaamika graafik y, ja prognoosi usaldusvahemikuga 12 kuud ette näiteks 11.13

Näite 11.6 (Theil-Wage mudel) ja selle meetodiga saadud prognoosiväärtuste vahel ei ole statistilist erinevust, kuid selle näite puhul on eelistatav Theil-Wage mudel, kuna sellel on sobitusviga ~yo - 3,65% vähem. ?

Teraskonstruktsioonide arendusühing kutsus 13. septembril ajakirjanikke ja eksperte arutlema teemal "Terasehitus: kas on tulevikku?". Kolmetunnise arutelu tulemuste põhjal võime väita, et tulevikku on. Aga raske. Allikas: http://ancb.ru

Üritusel osalesid ARSS-i peadirektor Aleksandr Danilov, CJSC Ferro-Stroy peadirektor Grigory Vaulin, Astron Buildigsi Venemaa ja SRÜ turundusdirektor Petr Chayrev, Thornton Tomasetti direktor Leonid Zborovsky jt.

ARSS on eksisteerinud alates 2014. aastast ja ühendab Venemaa suurimaid metallurgiaettevõtteid - EVRAZ, Mechel, OMK, Severstal, NLMK, uurimis- ja projekteerimisinstituute, arhitektuuribüroosid, õppeasutused ja ehitusorganisatsioonid. Kokku on täna osalejaid 78.

Metall kui viis säästa ehituselt

Aleksander Danilov rääkis kahe metallurgide jaoks olulise hoone ehitamisest - Empire State Buildingust USA-s ja Moskvas riigiülikool neid. Lomonosov Venemaal. Esimene ehitati 1931. aastal vaid 410 päevaga, teine ​​– keerulisem – 1953. aastal nõukogude aja rekordiliselt lühikese aja jooksul – 5 aastaga. Mõlemad hooned ehitati iga riigi jaoks üsna keerulisel majanduslikul ajal: USA-s oli see periood pärast suurt depressiooni ja NSV Liidus sõjajärgne taastumine. Ja juba siis leiti ressursse metallraamidega seotud uute ja progressiivsete tehnoloogiate jaoks. Just nemad võimaldasid arendada ehitust uues etapis, suurendades seeläbi töökohtade arvu, tõstes kvaliteeti uutesse kõrgustesse ja kiirendades ehitust. Kuid kahjuks tehti NSV Liidus sel ajal valitsuse otsus, mis keelas terase kasutamise kõigis projektides, välja arvatud tööstuslikes projektides, mis aeglustas oluliselt terase suuna arengut.

Tänapäeval on teraskarkassil kõrghoonete osakaal maailmas üle 60% ja juhtivates riikides ulatub see isegi 80%ni, Venemaal aga vaid 17%. Vastavalt uudisteagentuur INFOLine, 2017. aastal moodustas ehitustööstuse terasetoodete tootmismaht ca 3,5 miljonit tonni, mis on 4% suurem kui 2016. aastal. Tarbimise osakaal Venemaa teraskonstruktsioonid moodustas 1,9 miljonit tonni Positiivne dünaamika jätkub ka käesoleval aastal, võimaldades prognoosida 2 miljoni tonni teraskonstruktsioone. Veelgi enam, 2018. aasta esimesel poolel kasvas Venemaa Föderatsioonis sõlmitud ehituslepingute arv võrreldes 2017. aasta sama perioodiga 6,5%, 2,85 triljoni rublani.

Aleksander Danilovi sõnul kasvab nõudlus teraskonstruktsioonide järele, järjest rohkem on valminud projekte. See tehnoloogia on eriti huvitav sellistes segmentides nagu infrastruktuurirajatised: lasteaiad, parklad, spordirajatised ja ainulaadne kõrghoone - Lakhta keskus Peterburis, Akhmadi torn Groznõis.

Kui räägime metallkarkassi kasutamise eelistest, siis näitena tõi ARSS-i peadirektor Novosibirskis asuva objekti - 10-korruselise hoone kasti pindalaga 23 tuhat ruutmeetrit. m ehitati võimalikult lühikese ajaga - 4 kuud, selle aja jooksul saavutas tavaline monoliitne konstruktsioon ainult 4-5 korruse ja paneelmaja 7-8 korruseni. Kiirus, peaaegu kõik arhitektuursed vormid, ehitus mis tahes kliimavööndid, uus ehituskvaliteet, uued tolerantsid ja ettevalmistus metallkonstruktsioonide tehastes – need on terase peamised eelised. Pluss kõigele - kõrge tase ehituse keskkonnasõbralikkus ja vastavus standarditele.

Metallkonstruktsioonide kasutamise peamine näide on kahtlemata Moskva linna tornid, millest kaks ehitati mitte ainult uusimate tehnoloogiate, vaid ka metallkarkasside abil. Lisaks on tegemist Moskva Riikliku Ülikooli ja Stalini pilvelõhkujate hoonega, 1904. aastal püstitatud Peterburi Zingeri kaubamajaga, millest saab esimene metallkarkassil hoone Venemaal. See oleks olnud kõrgem, kuid hooned Peterburi kesklinnas ei tohtinud ületada 23,5 m katuseräästani.

Ta rääkis teraskonstruktsioonide eelistest ja Petr Tšayrev: see on kiire ehitus kõikjal, igal ajal, sõltumata kliimatingimustest, mis mõjutab nii kvaliteeti kui ka kulusid.

Tavaliselt on metallhoone projekteerimisel tugikonstruktsiooni samm 6 m. Kuid nagu praktika on näidanud, pole see kõige tõhusam lähenemine. Kui teha sama hoone 10 m sammuga, siis saad vähem sambaid ja rohkem vaba ruumi, eks? vähem mullatöid ja 36% vähem kraanatöid – mis on kiirem, odavam ja mugavam. Kokkuhoid ehitusmaterjalide komplekti maksumuselt ulatub 18% -ni.

Lisaks on tänapäeval traditsiooniline metallkonstruktsioon - nn "talu", mis vaatamata näilisele õhulisusele võtab palju ruumi, asendunud kaasaegse lahendusega - karkasskonstruktsiooniga. Need on muutuva sektsiooniga keevitatud raamid, need on oluliselt madalama kõrgusega, mistõttu vajab hoone kütmiseks ja ventilatsiooniks vähem mahtu - kuni 17%. "Kaasaegsed teraskonstruktsioonid võimaldavad säästa raha nii ehitusjärgus kui ka hoone ekspluatatsiooni ajal," rõhutas Petr Chayrev.

Kaasaegsetele autodele – ja kaasaegsele parkimisele
Grigory Vaulin puudutas oma kõnes põletavat parkimise teemat, eriti suurte linnade jaoks. Tema sõnul võis arendaja varem maju ehitada ja objektilt lahkuda, kuid nüüd on parkimist vaja juba objekti kinnitamise staadiumis ning ilma selleta maja kasutusse ei võeta. Samas kehtivad ranged standardid, kui palju autokohti peaks olema uue eluaseme meetri kohta - enne oli 1 koht 1 korteri kohta, kuid nüüd on Moskvas seoses renoveerimisega standard muutunud - 1 koht 2,5 korteri kohta. "Arendaja jaoks on see suur asi peavalu, sest parkimine on koorem, mis ei teeni raha,” rõhutas Vaulin. Kokku on renoveerimisega seotud 350 tuhat korterit ehk 7 aastaga on vaja kasutusele võtta 140 tuhat parkimiskohta - ja see on 200 parkimiskohta.

Parkimiskohti on ainult 3 tüüpi. Maa-alune - kallis, eriti Moskvas või Peterburis, kus 1 parkimiskoha maksumus ulatub 1,5 miljoni rublani. Ja kõrgendatud, tavainimestes "mis iganes" - betoon ja metall. Betoonkonstruktsiooni hind on umbes 500 miljonit rubla, metallkonstruktsiooni - 450 miljonit rubla. Metallkonstruktsioonidega parkimine võimaldab aga ehitada 26 ruutmeetri suuruseid parklaid. m, erinevalt betoonist - 32 ruutmeetrit. m, teisisõnu saate paigutada samale territooriumile suur kogus masinatega ja suuremal ehituskiirusel. Grigori Vaulini sõnul on see täna eriti oluline seoses tingdeponeerimiskontode kasutuselevõtuga elamuehituses. Ja mida varem saab arendaja parkla ehitada, seda varem saavad tema käsutusse aktsionäride rahalised vahendid.

Lisaks teatas CJSC Ferro-Stroy peadirektor, et tema ettevõte võitis hanke Venemaa esimese metallikooli ehitamiseks Kolomnasse. Projekteerimine valmib selle aasta lõpuks ning 2020. aastal ehitatakse ja võetakse kasutusele kool.

Metall ja betoon on liitlased, mitte rivaalid
Leonid Zborowski omakorda rääkis konkreetsest materjalist ehituse valiku kriteeriumidest – see oleneb objekti asukohast ja otstarbest. Kui hoone on äriline, siis teraskonstruktsioonid on liikumatuse osas paindlikumad. Näiteks Maailma Finantskeskuse majas New Yorgis alates 1989. aastast rekonstrueeriti iga üürnike vahetusega, mida on juba 6, korruseid – mida põhimõtteliselt betoonhoonega teha ei saa. Põrandate tugevdamine, lisaavade avamine liftidele - see teras on ärihoonete jaoks väga populaarne.

Tänapäeval kasutatakse sageli komposiitkonstruktsioone. Tuulekoormuse mõjul vajavad kõrghooned raudbetooni jäikust, seismilistes piirkondades aga teraskonstruktsioonide paindlikkust. Näiteks Eurasia torn Moskva linnas, Shanghai torn Hiinas, Kuala Lumpuri torn Malaisias – siin on kesksüdamik betoonist, kõik muud konstruktsioonid metallist. Lisaks täidab betoon komposiitkonstruktsioonide puhul tulekaitse funktsiooni.

Loomulikult ületab metall pika avaga konstruktsioonides raudbetooni. Näiteks Skolkovosse ehitati 375 m pikkune ülekäik, kus põhikonstruktsioonid on metallist. Samuti projekteeritakse Skolkovosse Cirque du Soleili teatrimaja – kõik põrandad on metallist – see on kergem, väiksem ja odavam. Ja raudbetoonpõrandate ja terastalade vaheline ühendus naastpoltide kaudu võimaldab vähendada metalli mahtu ja tarbimist.

Hooned - standardid on olemas - ei!
2000. aastate alguses puudus Venemaal metallkonstruktsioonidest hoonete projekteerimisel regulatiivne raamistik, küll töötati välja teraskonstruktsioonid ja olid olemas SNIP-id, kuid puudusid nõuded, mille alusel saaks hooneid tõhusalt ehitada. Seetõttu otsustati Moskva linnas asuva Naberežnaja torni, Föderatsiooni torni ja Euraasia torni jaoks luua oma spetsiaalne spetsifikatsioonid. See valik nõuab ehitusministeeriumi ja asutuste kooskõlastusi ning see lükkab projekteerimisprotsessi edasi, mistõttu paljud arendajad ei julge vaatamata ilmsetele eelistele teraskonstruktsioone. «Venemaa põhiülesanne on hea regulatiivse raamistiku loomine. Teraskõrghoonetele ei sobi juba olemasolev regulatiivne raamistik, see teeb need kalliks,” rõhutas Leonid Zborowski.

Näiteks nõuavad need ülemiste korruste kiirenduse nõuete ülevaatamist (see on hoone õõtsumine tuule mõjul), kui inimesed tunnevad end teatud õõtsumise kiirenduse ajal ebamugavalt. Venemaal on väga ranged kiirendusnormid - 8 milligrammi, samas kui USA-s, Hiinas, Indoneesias ulatub see 15 milligrammini. Venemaal tähendab see jäigemat ja kallimat hoonet. Ja kui jäikust saab raudbetoonkonstruktsioonidega kergemini saavutada, siis terashoone maksab rohkem.

Teiseks probleemiks on konstruktsioonide tulekaitse, kuna teraskonstruktsioonid kaotavad tule mõjul tekstuuriomadused ning 500 kraadi juures toimuvad metalli omadustes pöördumatud muutused. Venemaal peab teraskonstruktsioonide tulekaitse vastu pidama 4 tundi, enne kui teras jõuab 500 kraadini, USA-s aga 2 tundi ja see tuleneb sellest, kui kiiresti suudab tuletõrje tuleni jõuda ja selle kustutada. Selgub, et Venemaal peaks tulekindel kate olema paksem ja seetõttu kallim ning Venemaal kasutatakse kõige sagedamini välismaiseid materjale.
Leonid Zborowski usub, et kui need standardid üle vaadatakse, vähenevad teraskonstruktsioonide kulud.

Üldiselt on ARSS-i põhipingutused standardite seadmisel suunatud kergterasest õhukeseseinaliste konstruktsioonide valdkonda, mis põhinevad kuni 4 mm paksustel tsingitud valtstoodetel, ning kõikidele teraskonstruktsioonide tulepüsivusega seotud küsimustele. 10. septembril esitleti mitmeid väljatöötatud dokumente, lisaks jätkub tehniliste valmislahenduste väljatöötamine tulepüsivuse parandamiseks. Ühingul on plaanis üle vaadata ka metalli korrosioonikaitset käsitlevad dokumendid. Seetõttu pühendatakse 2019. aasta teraskonstruktsioonide probleemide ja piirangute kõrvaldamisele. Samal ajal kinnitavad kõik väljatöötatud dokumendid uuringud, näiteks tulepüsivusstandardeid kinnitavad Venemaa hädaolukordade ministeeriumi katsed.

Ühingul on plaanis luua ARCC kvaliteedistandard, mida peavad järgima kõik protsessiga seotud ettevõtted alates tootmisest kuni lõpptoote paigaldamiseni.
Teraskonstruktsioonide tuleviku osas näeb liit seda ka madalate elementelamute segmendis. Näiteks ehitas firma Knauf tütarettevõte Novy Dom LLC Krasnogorskisse metallkonstruktsioone kasutades suvila. See on keskkonnasõbralik, kohandatud vene keelele kliimatingimused, ja mis kõige tähtsam, see sai kokku pandud 48 tunniga, selles on juba seinad värvitud, köök ja magamistuba paigaldatud.

Hiinas on välja töötatud terve rida madalaid hooneid - need on kokkupandavad, täielikult tehases valmistatud, konstruktsioonid on ühendatud “klõpsuga” ja kõik kommunikatsioonid on neisse juba tehases paigaldatud, tänu millele hoone saab püsti panna mõne tunniga.

Teraskonstruktsioonide peamine eelis on tarne kättesaadavus kaugematesse piirkondadesse, mis muutis madala kõrgusega teraskonstruktsioonide populaarseks. Venemaal, Vologda, Arhangelski ja teiste piirkondade territooriumil, on juba palju madala kõrgusega terasmaju.

Lisaks on oodata suurt buumi tootmise logistikat tagavate linna väikeladude ehitamisel, mis kindlasti tehakse terasest, sest põhiline metallkonstruktsioonide tarbimine on täheldatav tehaste ja tööstusrajatiste ehitamisel.

Samuti on lähiajal plaanis rajada polaarjoone taha umbes 512 objekti Vene armee ja kaitseministeerium saab toimida uuenduslike tehnoloogiate edasiviijana, mida tulevikus edukalt rakendatakse.

Venemaal toodetakse terast nüüd välismaise terase tasemel, mille tugevus on kuni 445 MPa, mis katab kuni 100% kogu riigi ehitusest. Muidugi on üksikuid ehitisi, mis tuule või seismilise koormuse tõttu nõuavad suurema tugevusega terast. Näiteks Ahmad Toweri sammaste jaoks kasutatakse välismaist terast tugevusega 690 MPa. Severstal toodab terast klassi 390, mis sobib kõrghoonete painduvate konstruktsioonide jaoks. Ja tänapäeval saab peaaegu kõiki kuni 220 m kõrgusi hooneid ehitada Vene terasest. Kui varem polnud Venemaal piisavat materjalivalikut, siis nüüd on tänu EVRAZ-ile kaalumisel võimalus Ahmadi torni valitud lõigud muuta Venemaa sortimendiks.

"Teras- või komposiitlahendused on meie riigi tulevik," lõpetas Aleksandr Danilov ürituse.

Galina Krupen

Antud aegrea puhul pole kaugeltki alati võimalik valida adekvaatne mudel, mille jaoks on rida häireid e, vastab regressioonanalüüsi põhieeldustele. Siiani oleme käsitlenud mudeleid kujul (6.7), milles muutuja t-"aeg". Ökonomeetrias kasutatakse laialdaselt ka teisi regressioonimudeleid, milles on regressorid viivituse muutujad st muutujad, mille mõju ökonomeetrilises mudelis iseloomustab teatav viivitus. Teine erinevus selles osas käsitletud regressioonimudelite vahel seisneb selles, et neis esitatud selgitavad muutujad on suurused juhuslik.(Nende mudelite kohta lisateabe saamiseks vaadake 8. peatükki.)

kus p 0 , p,..., p i on mingid konstandid.

See kirjeldab hetkel uuritavat protsessi t sõltuvalt selle väärtustest eelmistel hetkedel /- 1, t- 2,..., t - lk.

Kui uuritav protsess y t hetkel t määratud selle väärtustega ainult eelmisel perioodil t- 1, siis kaaluge autoregressiivne mudel 1 - järjekorras(või AR mudel (1) - Markovi juhuslik protsess):

Näide 6.5. Tabelis on andmed, mis kajastavad teatud ettevõtte aktsiahinna dünaamikat (rahaühikud):

Tabel 6.2

Lahendus. Katse valida antud aegrea jaoks lineaarse või polünoomilise trendiga vormi (6.7) adekvaatne mudel osutub asjatuks.

Leitud regressioonivõrrand on oluline 5% tasemel vastavalt /'-kriteeriumile, kuna statistika tegelikult vaadeldav väärtus F= 24,32 > /o,05; 1; 19 = 4,35. Võib näidata (näiteks kasutades Durbin-Watsoni kriteeriumi) (vt allpool, § 7.7)), et häired (vead) z f selles mudelis rahuldavad nad klassikalise mudeli tingimusi ja meie poolt juba uuritud meetodeid saab kasutada prognoosi tegemiseks.

Näite 6.3 sarnased arvutused annavad võrrandi (6.13) järgi punktiprognoosi:

ja intervall olulisuse tasemel 0,05 keskmiste ja individuaalsete väärtuste jaoks -

Nii et usaldusväärsusega 0,95, selle ettevõtte aktsiahinna keskmine väärtus hetkel t= 23 jääb vahemikku 1046,6 kuni 1341,6 (den. ühikut) ja selle individuaalne väärtus - 879,1 kuni 1509,1 (den. ühikut). ?

Koos autoregressiivsete aegridade mudelitega arvestab ka ökonomeetria liikuva keskmise mudelid*, milles simuleeritud väärtus on antud eelnevatel aegadel esinevate häirete (vigade) lineaarse funktsiooniga.

Liikuv keskmine q-vo järjekorras mudel(või mudel MA()), on järgmisel kujul:

Ökonomeetria kasutab ka kombineeritud aegridade mudeleid AR Ja MA.

Käesoleva peatüki kokkuvõtteks märgime, et majandusnäitajate prognoosimisel kasutatakse sobivaid autoregressiivseid mudeleid, s.o. automaatne prognoos vaadeldavate mudelite põhjal võib olla väga tõhus (reeglina lühiajaliselt).

Harjutused

Näidetes 6.6-6.8 on talinisu saagikuse andmed järgmised y,(c/ha) 10 aastat:

• 6.6. Leidke aegrea keskmine väärtus, standardhälve ja autokorrelatsiooni koefitsiendid (lagunemise korral m = 1; 2).
• 6.7. Leidke aegridade trendvõrrand a h eeldades, et see on lineaarne, ja testige selle olulisust 0,05 tasemel.
• 6.8. Tehke aegridade silumine y, libiseva keskmise meetod, kasutades lihtsat aritmeetilist keskmist tasandusintervalliga: a) t= 3; b) t= 5.
• 6.9. Tabelis on toodud andmed, mis kajastavad sissetulekute kasvu elaniku kohta dünaamikat y t(den. ühikud) kaheksa aasta jooksul:

Autoregressiivsete mudelite kasutamine – integreeritud liikuv keskmine (ARIMA mudelid)

Statsionaarsed aegseeria mudelid

Analüütilistes uuringutes on oluline koht statsionaarsete aegridade mudelitel. See on seletatav asjaoluga, et teatud teisenduste abil (erinevuse võtmine, trendi väljavõtmine jne) saab paljusid aegreasid taandada statsionaarsele kujule, lisaks sisaldavad modelleerimisel saadud jäägid sageli statistilisi sõltuvusi, mis on tingitud asjaolust, et need andmed, mis on tehtud, on nn. saab kirjeldada nende mudelite abil.

On kontseptsioone statsionaarsus kitsamas ja laiemas mõttes.

Rida nimetatakse rangelt paigal (rangelt paigal) või statsionaarne kitsas tähenduses kui ühisjaotus T tähelepanekud on samad, mis puhul gp tähelepanekud, mis tahes

Sellest definitsioonist järeldub, et rangelt statsionaarse aegrea omadused ei sõltu aja päritolust.

Praktilised uuringud tuginevad sageli kontseptsioonile nõrk statsionaarne), või statsionaarsus laiemas tähenduses, mis on seotud nõudega, et aegridadel oleks keskmine, dispersioon ja kovariatsioon, mis ei sõltu ajahetkest t

Seega sõltub autokovarians y(t) ainult viivituse m väärtusest, kuid ei sõltu t.

Autokoviatsiooni mõistega on tihedalt seotud mõiste autokorrelatsiooni funktsioon, ACF ( autokorrelatsiooni funktsioon, ACF). ACF koefitsientide väärtused iseloomustavad statistilise seose astet aegridade tasemete vahel, mis on eraldatud m ajaperioodiga ja määratakse järgmiselt:

On ilmne, et. Autokorrelatsioonifunktsiooni käitumise analüüsimisel võetakse arvesse ainult viivituste positiivseid väärtusi, kuna statsionaarsuse tingimusest tuleneb, et .

Praktilistes uuringutes hinnatakse valimi väärtusi aegridade saadaolevate tasemete alusel:

Kus P– aegrea pikkus – ajanihe; .

Nimetatakse graafik, mis kajastab erinevate viivitusväärtuste muutust korrelogramm (correlograni).

Statsionaarse aegrea korral, kui viivitus suureneb, peaksid väärtused näitama absoluutväärtuse kiiret monotoonset vähenemist.

Joonisel fig. Joonisel 8.19 on näide autokorrelatsioonifunktsioonist, mis on arvutatud igakuise naftatootmise dünaamika aegrea jaoks.

Riis. 8.19.

Esialgse seeria esialgne graafiline analüüs näitas suundumuse ja perioodilisuse olemasolu, mis on kooskõlas joonisega fig. 8.19. Autokorrelatsioonikoefitsientide väärtused ei näita kiiret lagunemist, mis näitab aegrea mittestatsionaarset olemust, samas kui 12. hooajalise viivituse korral on näha hüppelist tõusu.

Koos ACF-iga kasutatakse aegridade analüüsimisel seda laialdaselt privaatne autokorrelatsiooni funktsioon. TŠAKF (osaline autokorrelatsiooni funktsioon, PACF), mille koefitsiendid mõõdavad korrelatsiooni m ajatsükliga eraldatud jada tasemete vahel, välistades samal ajal kõigi vahepealsete tasemete mõju sellele seosele. Analüütilistes pakettides on võimalik koos LCF graafikuga koostada ka CHLCF graafik, mis näitab osalise autokorrelatsiooni koefitsientide valimi hinnangute muutust sõltuvalt viivitusväärtustest. Ilmselt langevad autokorrelatsiooni ja osalise autokorrelatsiooni viivitustegurid kokku, kuid järgnevate viivitustega ilmnevad nende väärtuste erinevused.

Statsionaarsuse näide on valge müra), mille omadusi saab esitada kui

Kus

Seetõttu dispersioonikonstant juures , ei sõltu

Valge müra näide on klassikalise lineaarse regressioonimudeli jäägid, mis normaalse jaotuse korral moodustavad Gaussi valge müra.

Joonisel fig. Joonisel 8.20 on näide valge müra Gaussi protsessi teostusele vastavast aegreast. Tähelepanu tuleb pöörata selle aegrea tasemete kõikumiste ebakorrapärasusele nulli ümber, samuti autokorrelatsioonikordajate nullilähedusele, mis on tingitud omadustest (8.25).

ACF-i ja FACF-i käitumise olemuse analüüs on mudelite valimisel oluline samm.

Praktikas laialt levinud autoregressiivsed mudelid Ja liikuva keskmise mudelid kasutatakse statsionaarsete aegridade jaoks.

Autoregressiivsed mudelid on lühendatud kui AR (R) või ingliskeelses versioonis AR(p) (autoregressiivsed mudelid järku p), kus parameeter lk määrab autoregressiooni järjekorra. Üldiselt autoregressiivne tellimuse protsess R on vorm

Kus IN on vahetuse operaator, st. aegrea teisendamine, nihutamine ühe ajatsükli võrra; F(V) on autoregressiooni operaator.

Statsionaarsustingimus on täidetud, kui polünoomi Ф(В) kõik juured asuvad väljaspool ühikringi ehk teisisõnu, kõik tunnusvõrrandi juured ületavad absoluutväärtuses ühe ja on erinevad.

iseloomulik võrrand on kujul , või , samas kui selle juured ja on absoluutväärtuses suuremad kui ühtsus, seetõttu on meil statsionaarne protsess.

Riis. 8.20. Simuleeritud aegrea dünaamika, mis vastab valge müra Gaussi protsessi rakendamisele ( a ) ja selle autokorrelatsioonifunktsioon (b)

kus on arvuline koefitsient, mis rahuldab valget müra moodustavate juhuslike muutujate jada tingimust.

Markovi protsessi (8.26) jaoks on vastavalt matemaatiline ootus ja dispersioon

Saab näidata, et AR(1) rahuldab võrdsust , seega, i, seega jada liikmete vahelise korrelatsiooni lähedus väheneb eksponentsiaalselt, kui suureneb lag.

Sel juhul on esimest järku autokorrelatsioonikordaja, kuna

Mudeli sobitamisel on kasulik analüüsida osalise autokorrelatsiooni funktsiooni käitumist. Protsessi A/?(1) FACF väärtused on kõigi viivituste jaoks võrdsed nulliga. See omadus kehtib aga teoreetilise osalise autokorrelatsiooni funktsiooni puhul. Valimi osalise autokorrelatsioonifunktsiooni koefitsiente analüüsides tuleks lähtuda sellest, et LD(1) mudeli kasutamine ei lähe vastuollu algandmetega, kui koefitsientide väärtused erinevad nullist oluliselt.

Koefitsiendi a väärtuste piiramine (|a|< 1) определяет условие стационарности для AR( 1).

Näidinäited tunnustega for AR( 1) koefitsientide käitumine on näidatud joonisel fig. 8.21, 8.22. Need arvud näitavad selgelt FACF-i närvide mahajäämuse naelu, samal ajal kui täheldatakse LCF-i koefitsientide väärtuste eksponentsiaalset vähenemist (positiivse väärtusega - monotoonne lagunemine (vt joonis 8.21), negatiivse väärtusega - vahelduv märk ( vt joon. 8.22)).

Väärtusele vastav mudel kirjeldab juhuslik kõndimisprotsess. Sel juhul määratakse iga praegune väärtus juhusliku kõrvalekaldega eelmisest:

Kuid nagu on näidatud joonisel fig. 8.23, erinevad juhusliku kõndimise protsessi omadused oluliselt AR( 1) kell. Juhusliku kõnniprotsess on mittestatsionaarne, mis on kooskõlas aeglase lagunemisega joonisel fig. 8.23.

Majandusuuringutes on ka nn Juuli protsessid, või teist järku autoregressiivsed protsessid - AR( 2):

kus on valge müra.

Yule'i protsessi jaoks saate avaldise, mis võimaldab teil arvutada erinevate viivituste autokorrelatsiooni väärtused ():

Pärast väärtuste asendamist avaldisesse (8.27), võttes arvesse asjaolu, et , saame nn. Yule-Walker süsteem (Yule-Jalutaja nõuded) Sest AR(2):

Riis. 8.21. Näide aAR-mudeliga genereeritud aegrea jaoks( 1) kui a = 0,8 (juur on 1,25):

A - ACF: b - TŠAKF

Riis. 8.22.

A - ACF; b - TŠAKF

Riis. 8.23. Juhusliku jalutuskäigu mudeliga genereeritud aegrida(A), ja selle autokorrelatsioonifunktsioon (b)

See süsteem võimaldab teil väljendada mudeli koefitsiente väärtuste kaudu.

Sel juhul protsessi statsionaarsed tingimused AR(2) saab esitada järgmisel kujul:

Üldjuhul on protsessi jaoks avaldis, mis võimaldab arvutada erinevate viivituste () autokorrelatsiooni väärtusi, kujul

Viivitusväärtuste järjestikune asendamine valemiga (8.28). k = 1, 2. .... R viib R Yule-Walkeri süsteemi võrrandid. See süsteem võimaldab saada mudeli koefitsientide hinnanguid pärast valimi väärtuste asendamist sellesse.

Seega aitab autokorrelatsiooni ja osalise autokorrelatsiooni funktsioonide koefitsientide käitumise uurimine oluliselt kaasa autoregressiivsete mudelite tuvastamisele.

Mudeli kasutamise otstarbekuse kohta AR(p) võib näidata LCF-i koefitsientide väärtusi, näidates eksponentsiaalset lagunemist (kas monotoonne või vahelduva märgimuutusega), samas kui FACF-i koefitsientide väärtustes peaksid esimestel viivitustel olema kõrvalekalded (piigid) ja koefitsientide ülejäänud väärtused on statistiliselt ebaolulised.

Samuti kasutatakse laialdaselt statsionaarsete aegridade modelleerimisel liikuva keskmise mudelid, tähistatud СС(q) või ingliskeelses versioonis MA(q) (libiseva keskmise mudelid). MA(q) mudel on vorm

kus on valge müra.

Praktikas kasutatakse kõige sagedamini madalate tellimuste libiseva keskmise mudeleid:

MA(1) seose (8.29) on võimalik teisendada järgmisele kujule, väljendades järjestikku jne:

Teostatud teisendus näitab, et seeria on esitatud mudeli kujul MA( 1) (8.29) võib esitada ka lõpmatut järku autoregressiivse mudelina (8.30).

Kui mudelis MA( 1) parameeter θ on absoluutväärtuses suurem kui üks, siis vastavalt avaldisele (8.30) on praegune väärtus y, sõltub varasematest tasemetest, võttes arvesse raskusi, mis minevikku tagasi liikudes suurenevad lõputult. Teabe vananemist ei võeta arvesse isegi siis, kui parameetri väärtus on võrdne ühega. Seega on nõutav tingimus, et avaldises (8.30) olevad kaalud moodustaksid koonduva jada.

Pange tähele, et on võimalik esitada ka AR-i (1) kujul ML(<=°). На коэффициенты процесса AR(lk) pöörduvuse tingimusi ei esitata, kuid protsessi statsionaarsuse tingimuse täitmiseks peavad selle tunnusvõrrandi juured asuma väljaspool ühikuringi. Samas protsessi pöörduvuse eest MA(q) selle iseloomuliku võrrandi juured

peab asuma väljaspool ühikuringi, samal ajal ei seata mudeli koefitsientidele piiranguid statsionaarsuse tingimuse täitmiseks.

Võib kujutada protsessi autokorrelatsioonikordajate avaldist MA(q) nagu

See esitus viitab protsessi ACF käitumise iseloomulikule tunnusele MA(q): kõigi mudeli järjekorda ületavate viivituste τ väärtuste jaoks q, autokorrelatsiooni koefitsiendid on nullid.

Konkreetse juhtumi – ML(1) mudeli – ACF väärtused määratakse järgmiselt:

FACF-i käitumine sarnaneb laguneva eksponendiga ja selle annab avaldis

Näiteid autokorrelatsioonifunktsioonide näidistest karakteristikuga for MA( 1) koefitsientide käitumine on näidatud joonisel fig. 8.24, 8.25. Joonisel fig. 8.24, mis vastab mudeli poolt genereeritud aegridadele MA( 1) parameetri väärtuse juures on ACF-is positiivne piisk, samas kui FACF-i koefitsiendid näitavad muutuva märgiga sumbumist. Omakorda joonisel fig. 8.25, mis illustreerib ACF-i ja FACF-i käitumise olemust protsessi rakendamisel MA( 1 ) parameetri väärtuse juures on negatiivses piirkonnas ACF-i ületamine, samuti CLCF-i vastavate koefitsientide nõrgenemine.

Liikuva keskmise mudeli omadused võimaldavad sõnastada järgmised praktilised soovitused. Mudeli kasutamise otstarbekuse kohta MA(q) võib viidata kõrvalekallete (piikide) olemasolule esimesel q autokorrelatsioonifunktsiooni viivitused, samas kui osalisel autokorrelatsioonifunktsioonil peab olema eksponentsiaalne lagunemine (monotoonne või vahelduv).

Mudelit saab kasutada ka statsionaarsete protsesside kirjeldamiseks autoregressioon – liikuv keskmine - ARSS (p, q), või nagu ingliskeelses versioonis tavaks, ARMA(lk, q) (autoregressiivse-liikuva keskmise mudel), mis sisaldab nii autoregressiivseid termineid kui ka termineid, mis modelleerivad jääki libiseva keskmise protsessina.

Riis. 8.24.

a– LKF: d- CHAKF

Riis. 8.25.

A– ACF; b– TŠAKF

Mudel ARMA(p, q),V milline parameeter R määrab autoregressiivse komponendi järjekorra, a q- liikuvate keskmiste järjestusel on vorm

Selles mudelis käsitletakse sõltuva muutuja varasemaid väärtusi selgitavate muutujatena ja valge müra elementide liikuvaid keskmisi regressioonijääkidena.

Protsessi (8.31) statsionaarsus eeldab, et kõik tunnusvõrrandi juured asuvad väljaspool ühikuringi AR(lk) protsessi. Samamoodi, et protsess (8.31) oleks pöörduv, peavad kõik protsessi tunnusvõrrandi juured olema väljaspool ühikuringi MA(q).

Näiteks segamudeli kõige lihtsam versioon ARMA( 1, 1) võib esitada kui

Sel juhul tagab protsessi statsionaarsuse tingimus ja pöörduvuse tagab piirangu täitmine

Protsessi jaoks ARMA( 1, 1) väärtused määratakse järgmiselt:

Nendest avaldistest järeldub, et väärtused vähenevad väärtusest eksponentsiaalselt!. Koefitsiendi a positiivse väärtuse korral on kahanemine monotoonne, negatiivse väärtuse a korral on autokorrelatsioonikordajate vähenemine signaal-vahelduv.

FACF-i käitumist iseloomustab ka eksponentsiaalne langus, positiivse väärtusega Θ - monotoonne, negatiivse väärtusega - vahelduv märk.

ACF-i ja FACF-i käitumise kaalutletud tunnused mängivad mudelite valikul olulist rolli.