Los matemáticos han descubierto la forma perfecta de multiplicar números. Formas no tradicionales de multiplicar números de varios dígitos Formas de multiplicar números en diferentes países

Maxim Agafurov

Revisión del trabajo de investigación del estudiante.

1. El trabajo de investigación fue realizado por un estudiante de la 7ma clase "A" de MBOU "Escuela Secundaria No. 2" Maxim Agafurov.
2. Líder de estudio: profesor de matemáticas – Lukyanova O.A.
3. Tema de la obra: "Formas inusuales de multiplicación". Tipo de obra: abstracta. Este trabajo es relevante hoy en día, porque. el conocimiento de métodos simplificados de cálculos orales sigue siendo necesario incluso con la mecanización completa de todos los procesos computacionales más laboriosos. Los cálculos orales permiten no solo realizar cálculos rápidamente en la mente, sino también controlar, evaluar, encontrar y corregir errores en los resultados de los cálculos realizados con una calculadora. Además, el desarrollo de habilidades computacionales desarrolla la memoria y ayuda a los escolares a dominar a cabalidad las materias del ciclo físico y matemático.
4. La parte de investigación del trabajo ha sido completada. Se dan explicaciones de estos ejemplos y se extraen las conclusiones apropiadas.
5. Las metas y objetivos del trabajo de investigación están formulados correctamente, corresponden al tema planteado.
6. La literatura especial ha sido estudiada cualitativamente con suficiente profundidad.
7. Las conclusiones del trabajo de investigación son lógicas, fundamentadas teóricamente.
8. El artículo presenta la parte de investigación en un nivel suficiente. Su descripción coincide con las conclusiones. La mayor parte del trabajo lo hice por mi cuenta, con pocos consejos de guía y acción de supervisión.

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Avance:

Introducción
Maneras de multiplicar números de varios dígitos
1.1 “Celos, o multiplicación reticular”………………………………..4
1.2 “Camino Campesino Ruso”…………………………………………5 1.3. "Método chino de multiplicación"……………………………………...6
Parte de investigación.
2.1. Elevar al cuadrado cualquier número de dos dígitos………………...6 2.2. El cuadrado de un número cercano a “redondo”………………………………7
2.4. Una nueva forma de elevar al cuadrado los números del 40 al 60………………7 2.5. Elevar al cuadrado un número que termina en 5……………………8 2.6 Elevar al cuadrado un número que termina en 1……………………8 2.7. Elevar al cuadrado un número que termina en 6……………………8 2.8. Elevar al cuadrado un número que termina en 9……………………8 2.9. Elevar al cuadrado un número terminado en 4……………………8 Conclusión. Bibliografía.

Introducción " Conteo y Cálculos -

Fundamentos del orden en la cabeza.

Johann Heinrich Pestalozzi (1746 - 1827)

Cualquiera que se haya involucrado en las matemáticas desde la infancia desarrolla la atención, entrena su cerebro, su voluntad, cultiva la perseverancia y la perseverancia en el logro de la meta.

Relevancia: Las matemáticas son una de las ciencias más importantes de la tierra y es con ella que una persona se encuentra todos los días de su vida. El conteo mental es la forma más antigua y sencilla de calcular. El conocimiento de métodos simplificados de cálculos orales sigue siendo necesario incluso con la mecanización completa de todos los procesos computacionales más intensivos en mano de obra. Los cálculos orales permiten no solo realizar cálculos rápidamente en la mente, sino también controlar, evaluar, encontrar y corregir errores en los resultados de los cálculos realizados con una calculadora. Además, el desarrollo de habilidades computacionales desarrolla la memoria y ayuda a los escolares a dominar a cabalidad las materias del ciclo físico y matemático.

Es imposible que una persona prescinda de los cálculos en la vida cotidiana. Por lo tanto, en las lecciones de matemáticas, en primer lugar se nos enseña a realizar operaciones con números, es decir, a contar. Multiplicamos, dividimos, sumamos y restamos de la manera habitual para todos los que estudiamos en la escuela.

Me preguntaba si hay otras formas de calcular. Resultó que es posible multiplicar no solo como nos ofrecen los libros de texto de matemáticas, sino también de otra manera. Usando recursos de Internet, aprendí muchas formas inusuales de multiplicar. Después de todo, la capacidad de realizar cálculos rápidamente es francamente sorprendente.

Propósito del estudio :

• Encuentre tantas formas inusuales de computación como sea posible.
• Aprende a aplicarlos.
• Elija por sí mismo los más interesantes que los que se ofrecen en la escuela y utilícelos al contar.

Investigar objetivos:

1. Familiarícese con los métodos antiguos de multiplicación, como: "Celos o multiplicación en celosía", "Pequeño castillo", "Método campesino ruso", "Método lineal".

2. Explorar las técnicas de elevación oral al cuadrado de números y ponerlas en práctica.

Un poco de historia.

Los métodos de cálculo que usamos ahora no siempre fueron tan simples y convenientes. En los viejos tiempos, se usaban métodos más engorrosos y lentos. Y si un colegial del siglo XXI pudiera viajar cinco siglos atrás, impresionaría a nuestros antepasados ​​con la rapidez y precisión de sus cálculos. El rumor sobre él se habría extendido por las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los contadores más hábiles de esa época, y la gente vendría de todas partes para estudiar con el nuevo gran maestro.

Las operaciones de multiplicación y división eran especialmente difíciles en los viejos tiempos. En ese momento, no había una técnica única elaborada por la práctica para cada acción.Por el contrario, casi una docena de métodos diferentes de multiplicación y división estaban en uso al mismo tiempo, métodos uno más complicado que el otro, que una persona de habilidad promedio no podría recordar. Cada profesor de cálculo mantuvo su método favorito, cada "maestro de la división" (había tales especialistas) elogió su propia forma de realizar esta acción.Durante los milenios del desarrollo de las matemáticas, se han inventado muchos métodos de multiplicación. A excepción de la tabla de multiplicar, todos son voluminosos, complicados y difíciles de recordar. Se creía que para dominar el arte de la multiplicación rápida, se necesita un talento natural especial. Gente común que no tiene un don matemático especial, este arte no estaba disponible.

Y todos estos métodos de multiplicación: "ajedrez u órgano", "flexión", "cruz", "celosía", "de atrás hacia adelante", "diamante" y otros competían entre sí y eran asimilados con gran dificultad.

Veamos las formas de multiplicación más interesantes y simples.

1.1. "Celos o multiplicación de celosía"

El matemático italiano del siglo XV Luca Pacioli da 8 formas de multiplicar. En mi opinión, los más interesantes son “celos o multiplicación de celosía” y “pequeño castillo”.

Multipliquemos 347 por 29.

Dibujamos un rectángulo, lo dividimos en cuadrados, dividimos los cuadrados en diagonal. El resultado es una imagen similar a las celosías de las casas venecianas. De ahí viene el nombre del método.

En la parte superior de la tabla escribimos el número 347, y desde la derecha de arriba a abajo - 29

En cada cuadrado escribimos el producto de los números ubicados en la misma fila y una columna con este cuadrado. Las decenas se ubican en el triángulo superior y las unidades en el inferior. Los números se suman a lo largo de cada diagonal. Los resultados se escriben a la izquierda ya la derecha de la tabla.

La respuesta es 10063.

El inconveniente de este método radica en la laboriosidad de construir una tabla rectangular, y el proceso de multiplicación en sí es interesante y llenar la tabla parece un juego.

1.2. "Camino Campesino Ruso"

En Rusia, era común entre los campesinos un método que no requería el conocimiento de toda la tabla de multiplicar. Todo lo que necesitas es la capacidad de multiplicar y dividir números por 2.

Escribimos un número a la izquierda y otro a la derecha en una línea, dividiremos el número de la izquierda por 2, y multiplicaremos el número de la derecha por 2 y escribiremos los resultados en una columna. Si se produce un resto durante la división, entonces se descarta. La multiplicación y la división por 2 continúan hasta que el 1 permanece a la izquierda.

Luego tachamos esas líneas de la columna en la que hay números pares a la izquierda. Ahora agreguemos los números restantes en la columna de la derecha.

La respuesta es 1972026.

1.3 Método chino de multiplicación.

Ahora imaginemos el método de multiplicación, discutido vigorosamente en Internet, que se llama chino. Al multiplicar números, se consideran los puntos de intersección de las rectas, que corresponden al número de dígitos de cada dígito de ambos factores.

En una hoja de papel, dibuje alternativamente líneas, cuyo número se determina a partir de este ejemplo.

Primeros 32: 3 líneas rojas y justo debajo - 2 azules. Luego 21: perpendicular al ya dibujado, primero dibuja 2 verdes, luego 1 frambuesa. IMPORTANTE: las líneas del primer número se dibujan en la dirección desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha, el segundo número, desde la esquina inferior izquierda hacia la esquina superior derecha. Luego contamos el número de puntos de intersección en cada una de las tres regiones (en la figura, las regiones se indican como círculos). Entonces, en la primera área (área de las centenas) - 6 puntos, en la segunda (área de las decenas) - 7 puntos, en la tercera (área de las unidades) - 2 puntos. Por lo tanto, la respuesta es: 672.

2. parte de investigación

Las técnicas de conteo rápido desarrollan la memoria. Esto se aplica no solo a las matemáticas, sino también a otras materias que se estudian en la escuela.

También quiero agregar a los métodos de trabajo de cuadratura verbal de números sin usar una calculadora y, que es necesario cuando se resuelven problemas del GIA y el Examen de Estado Unificado, y también es un buen entrenamiento mental.

A ahora pasemos a algunas formas interesantes y que me gustaron de elevar números al cuadrado verbalmente,utilizado en las lecciones de álgebra y geometría.

2.1. Elevar al cuadrado cualquier número de dos cifras.

Si recuerdas los cuadrados de todos los números del 1 al 25, entonces es fácil encontrar el cuadrado de cualquier número de dos dígitos mayor que 25.

Para encontrar el cuadrado de cualquier número de dos dígitos, debe multiplicar la diferencia entre este número y 25 por 100 y agregar al producto resultante el cuadrado de la suma de este número a 50 o el cuadrado de su exceso sobre el 50

Considere un ejemplo:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(M–25) * 100+ (50-M) 2 \u003d 100M-2500 + 2500–100M + M 2 \u003d M 2.

2.2 El cuadrado de un número cercano a "redondo".

El cálculo de cuadrados en los ejemplos analizados se basa en la fórmula

A ² \u003d (a + c) (a - c) + c ²,

En el que una buena selección de números v facilita enormemente los cálculos: en primer lugar, uno de los factores debe resultar un número “redondo” (es deseable que solo el primer dígito sea su dígito distinto de cero), y en segundo lugar, el número en sí v debe ser fácilmente cuadrada, es decir, debe ser pequeña. Estas condiciones se realizan solo en los números. a cerca de "redondo".

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. Cuadrar números del 40 al 50.

2.4. Cuadrar números del 50 al 60.

Elevar al cuadrado el sexto décimo número (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
suma 25 al número de unidades y suma el cuadrado del número de unidades a esta suma.
Por ejemplo:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Elevar al cuadrado un número terminado en 5.

Multiplica el número de decenas por el siguiente número de decenas y suma 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 o (1*2 y asigna 25 a la derecha)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 y asigne 25 a la derecha)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 y asigna 25 a la derecha)

2.6. El cuadrado de un número que termina en 1.

Al elevar al cuadrado un número que termina en 1, debe reemplazar esta unidad con 0, elevar al cuadrado el nuevo número y agregar a este cuadrado el número original y el número obtenido al reemplazar 1 con 0.

Ejemplo No. 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. El cuadrado de un número que termina en 6.

Al elevar al cuadrado un número que termina en 6, debe reemplazar el número 6 con 5, elevar al cuadrado el nuevo número (como se describió anteriormente) y agregar a este cuadrado el número original y el número obtenido al reemplazar 6 con 5.

Ejemplo número 7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8 El cuadrado de un número que termina en 9.

Al elevar al cuadrado un número que termina en 9, debe reemplazar este dígito 9 con 0 (obtenemos el siguiente número natural), elevar al cuadrado el nuevo número y restar el número original y el número obtenido al reemplazar 9 con 0 de este cuadrado.

Ejemplo número 8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9 El cuadrado de un número terminado en 4.

Al elevar al cuadrado un número que termina en 4, debe reemplazar el número 4 con 5, elevar al cuadrado el nuevo número y restar el número original y el número obtenido al reemplazar 4 por 5 de este cuadrado.

Ejemplo # 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. Al elevar al cuadrado, a menudo es conveniente usar la fórmula (y b) 2 \u003d a 2 + b 2 2ab.

Ejemplo #10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Conclusión

Para llevar a cabo el trabajo de investigación, necesité no solo el conocimiento que tengo, sino también el trabajo necesario con literatura adicional.

1. En el transcurso de mi trabajo, encontré y dominé varias formas de multiplicar números de varios dígitos y puedo afirmar lo siguiente: la mayoría de las formas de multiplicar números de varios dígitos se basan en el conocimiento de la tabla de multiplicar.

El método de "multiplicación de celosía" no es peor que el convencional. Es aún más simple, ya que los números se ingresan en las celdas de la tabla directamente desde la tabla de multiplicar sin la suma simultánea que está presente en el método estándar;

- El método de multiplicación "campesino ruso" es mucho más simple que los métodos considerados anteriormente. Pero también es muy voluminoso.

De todos los métodos de conteo inusuales que encontré, el método de "multiplicación de celosía" parecía ser el más interesante. Se lo enseñé a mis compañeros y también les gustó mucho.

El método chino de multiplicación, que fue utilizado por los chinos, me pareció el más simple, ya que no requiere conocimiento de la tabla de multiplicar. Habiendo aprendido a contar de todas las formas presentadas, llegué a la conclusión de que las formas más simples son las que estudiamos en la escuela, tal vez nos sean más familiares.

2. Aprendí algunos trucos de conteo mental que me ayudarán en la vida. Fue muy interesante para mí trabajar en el proyecto. Aprendí nuevos métodos de multiplicación para mí, consideré varias técnicas para elevar números al cuadrado. Muchos de los cálculos están relacionados con las fórmulas de multiplicación reducida que aprendí en la clase de álgebra. Usando métodos simplificados de cálculos mentales, ahora puedo realizar las operaciones aritméticas que consumen más tiempo sin el uso de una calculadora y una computadora. No solo yo, sino también mis padres se interesaron. Mostré técnicas de multiplicación mental a mis amigos y compañeros de clase. El conocimiento de métodos simplificados de cálculos orales es especialmente importante en los casos en los que no tenga tablas o una calculadora a su disposición. Tenía el deseo de continuar con este trabajo y aprender más métodos de conteo mental. Creo que mi trabajo no será en vano para mí, puedo usar todo el conocimiento adquirido al aprobar el GIA y el Examen Estatal Unificado.

Donskoy, 2013

Avance:

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MBOU "Escuela secundaria con. Volnoe, distrito de Kharabalinsky, región de Astrakhan

Proyecto sobre:

« Maneras inusuales de multiplicar.y yo»

Trabajo hecho:

estudiantes de 5to grado :

Tulesheva Amina,

Sultánov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R gerente de proyecto:

profesor de matematicas

Fateeva TV

Volnoe 201 6 año .

"Todo es un número" Pitágoras

Introducción

En el siglo XXI, es imposible imaginar la vida de una persona que no haga cálculos: estos son vendedores, contadores y escolares comunes.

El estudio de casi cualquier materia en la escuela requiere un buen conocimiento de las matemáticas, y sin él es imposible dominar estas materias. Dos elementos dominan las matemáticas: números y figuras con su infinita variedad de propiedades y acciones con ellos.

Queríamos aprender más sobre la historia de las operaciones matemáticas. Ahora, cuando la tecnología informática se está desarrollando rápidamente, muchos no quieren preocuparse por la aritmética mental. Por lo tanto, decidimos mostrar no solo que el proceso de realizar acciones puede ser interesante, sino también que, habiendo dominado bien los métodos de conteo rápido, uno puede discutir con una computadora.

La relevancia de este tema radica en que el uso de métodos no estándar en la formación de habilidades computacionales potencia el interés de los estudiantes por las matemáticas y contribuye al desarrollo de habilidades matemáticas.

Objetivo:

Yaprenda algunos trucos de multiplicación no estándar y demuestre que su aplicación hace que el proceso de cálculo sea racional e interesantey para cuyo cálculo es suficiente el conteo mental o el uso de lápiz, pluma y papel.

Hipótesis:

miSi nuestros antepasados ​​sabían cómo multiplicar a la manera antigua, entonces, después de haber estudiado la literatura sobre este problema, un estudiante moderno podrá aprender esto, o si se necesitan algunas habilidades sobrenaturales.

Tareas:

1. Encuentra formas inusuales de multiplicar.

2. Aprende a aplicarlos.

3. Elige por ti mismo los más interesantes o más fáciles que los que se ofrecen en la escuela, y utilízalos al contar.

4. Enseñar a los compañeros de clase a aplicar nuevosmicaminosmultiplicación.

Objeto de estudio: multiplicacion de operaciones matematicas

Tema de estudio: métodos de multiplicación

Métodos de búsqueda:

Método de búsqueda utilizando literatura científica y educativa, Internet;

Método de investigación para determinar los métodos de multiplicación;

Método práctico en la resolución de ejemplos;

- - interrogatorio de los encuestados sobre el conocimiento de métodos no estándar de multiplicación.

referencia histórica

Hay personas con habilidades extraordinarias que, en la velocidad de los cálculos mentales, pueden competir con las computadoras. Se les llama "contadores de milagros". Y hay muchas personas así.

Se dice que el padre de Gauss, cuando pagaba a sus trabajadores al final de la semana, añadía el pago a las ganancias de las horas extra de cada día. Un día, después de que el padre de Gauss había terminado sus cálculos, un niño de 3 años que estaba viendo las operaciones de su padre exclamó: “¡Papá, el cálculo no es correcto! ¡Esto es lo que debería ser!” Se repitieron los cálculos y se sorprendieron al ver que el chico había indicado la cantidad correcta.

En Rusia a principios del siglo XX, el "mago de los cálculos" Roman Semenovich Levitan, conocido bajo el seudónimo de Arrago, brilló con sus habilidades. Las habilidades únicas comenzaron a manifestarse en el niño a una edad temprana. En unos segundos, elevó al cuadrado y al cubo números de diez dígitos, extrajo raíces de diversos grados. Parecía hacer todo esto con extraordinaria facilidad. Pero esta ligereza era engañosa y requería mucho trabajo mental.

En 2007, Mark Vishnya, que entonces tenía dos años y medio, asombró a todo el país con sus habilidades intelectuales. El joven participante del programa "Minuto de Gloria" fácilmente contó números de varios dígitos en su mente, por delante de sus padres y el jurado que utilizó calculadoras en los cálculos. A los dos años dominaba la tabla de cosenos y senos, así como algunos logaritmos.

En el Instituto de Cibernética de la Academia de Ciencias de Ucrania se llevaron a cabo competencias informáticas y humanas. Un joven contrafenómeno Igor Shelushkov y ZVM "Mir" participaron en la competencia. La máquina realizó muchas operaciones complejas en unos pocos segundos, pero Igor Shelushkov resultó ser el ganador.

La Universidad de Sydney en India también organizó una competencia hombre-máquina. Shakuntala Devi también estaba por delante de la computadora.

La mayoría de estas personas tienen una memoria excelente y tienen talento. Pero algunos de ellos no tienen habilidades especiales para las matemáticas. ¡Conocen el secreto! Y este secreto es que han dominado las técnicas de conteo rápido, memorizado varias fórmulas especiales. Esto significa que nosotros también podemos, utilizando estas técnicas, contar de forma rápida y precisa.

Los métodos de cálculo que usamos ahora no siempre fueron tan simples y convenientes. En los viejos tiempos, se usaban métodos más engorrosos y lentos. Y si un colegial del siglo XXI pudiera viajar cinco siglos atrás, impresionaría a nuestros antepasados ​​con la rapidez y precisión de sus cálculos. El rumor sobre él se habría extendido por las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los contadores más hábiles de esa época, y la gente vendría de todas partes para estudiar con el nuevo gran maestro.

Las operaciones de multiplicación y división eran especialmente difíciles en los viejos tiempos. En ese momento, no había una técnica única elaborada por la práctica para cada acción.

Por el contrario, casi una docena de métodos diferentes de multiplicación y división estaban en uso al mismo tiempo, métodos uno más complicado que el otro, que una persona de habilidad promedio no podría recordar. Cada profesor de cálculo mantuvo su método favorito, cada "maestro de la división" (había tales especialistas) elogió su propia forma de realizar esta acción.

En el libro de V. Belyustin "Cómo la gente llegó gradualmente a la verdadera aritmética", se describen 27 métodos de multiplicación, y el autor señala: "Es muy posible que haya más métodos escondidos en los recovecos de los depósitos de libros, dispersos en numerosos, principalmente colecciones manuscritas”.

Y todos estos métodos de multiplicación: "ajedrez u órgano", "flexión", "cruz", "celosía", "de atrás hacia adelante", "diamante" y otros competían entre sí y eran asimilados con gran dificultad.

Veamos las formas de multiplicación más interesantes y simples.

Antiguo método ruso de multiplicación en los dedos

Este es uno de los métodos más comunes que los comerciantes rusos han utilizado con éxito durante muchos siglos.

El principio de este método: la multiplicación con los dedos de números de un solo dígito del 6 al 9. Los dedos aquí sirvieron como un dispositivo informático auxiliar.

Para ello, en una mano extendieron tantos dedos como el primer factor excedía el número 5, y en la segunda hicieron lo mismo para el segundo factor. El resto de los dedos estaban doblados. Luego se tomó el número (total) de dedos extendidos y se multiplicó por 10, luego se multiplicaron los números mostrando cuántos dedos estaban doblados en las manos y se sumaron los resultados.

Por ejemplo, multipliquemos 7 por 8. En el ejemplo considerado, se doblarán 2 y 3 dedos. Si sumamos el número de dedos doblados (2+3=5) y multiplicamos el número de dedos no doblados (2 3=6), obtendremos los números de decenas y unidades del producto deseado, respectivamente 56 . Entonces puedes calcular el producto de cualquier número de un solo dígito mayor que 5.

Es muy fácil reproducir la multiplicación "en los dedos" para el número 9

Real academia de bellas artesestrellasaquellosdedos en ambas manos y gire las palmas de las manos lejos de usted. Asigne mentalmente los números del 1 al 10 a los dedos en secuencia, comenzando con el dedo meñique de la mano izquierda y terminando con el dedo meñique de la mano derecha. Digamos que queremos multiplicar 9 por 6. Doblamos un dedo con un número igual al número por el que multiplicaremos el nueve. En nuestro ejemplo, debe doblar el dedo con el número 6. El número de dedos a la izquierda del dedo doblado nos muestra el número de decenas en la respuesta, el número de dedos a la derecha, el número de unidades. A la izquierda, tenemos 5 dedos no doblados, a la derecha, 4 dedos. Por lo tanto, 9 6 = 54.

Multiplicando por 9 usando celdas de cuaderno

Tomemos, por ejemplo, 10 celdas en un cuaderno. Tachamos la octava celda. Hay 7 celdas a la izquierda, 2 celdas a la derecha. Entonces 9 8 = 72. ¡Todo es muy simple!

7 2

Método de multiplicación "Pequeño castillo"

La ventaja del método de multiplicación "Pequeño castillo" es que los dígitos de los dígitos más altos se determinan desde el principio, y esto puede ser importante si necesita estimar rápidamente el valor.Los dígitos del número superior, a partir del dígito más significativo, se multiplican alternativamente por el número inferior y se escriben en una columna con la adición del número requerido de ceros. Luego se suman los resultados.

"enrejado multiplicación"

Primero, se dibuja un rectángulo, se divide en cuadrados y las dimensiones de los lados del rectángulo corresponden al número de lugares decimales para el multiplicando y el multiplicador.

Luego, las celdas cuadradas se dividen en diagonal y "... se obtiene una imagen que parece una persiana de celosía".. Tales persianas se colgaron en las ventanas de las casas venecianas ... "

"Camino Campesino Ruso"

En Rusia, era común entre los campesinos un método que no requería el conocimiento de toda la tabla de multiplicar. Todo lo que necesitas es la capacidad de multiplicar y dividir números por 2.

Escribamos un número a la izquierda y otro a la derecha en una línea. Dividiremos el número de la izquierda por 2, y multiplicaremos el número de la derecha por 2 y escribiremos los resultados en una columna.

Si se produce un resto durante la división, entonces se descarta. La multiplicación y la división por 2 continúan hasta que el 1 permanece a la izquierda.

Luego tachamos esas líneas de la columna en la que hay números pares a la izquierda. Ahora agreguemos los números restantes en la columna de la derecha.

Este método de multiplicación es mucho más simple que los métodos de multiplicación discutidos anteriormente. Pero también es muy voluminoso.

"Multiplicación con una cruz"

Los antiguos griegos e hindúes en los viejos tiempos llamaron al método de multiplicación cruzada "el método del rayo" o "multiplicación por una cruz".

24 y 32

2 4

3 2

4x2=8 - el último dígito del resultado;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 - el penúltimo dígito del resultado, recuerda la unidad;

2x3=6 e incluso teniendo en cuenta el número, tenemos 7: este es el primer dígito del resultado.

Obtenemos todos los dígitos del producto: 7,6,8. Respuesta:768.

Forma india de multiplicación.

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

La base de este método es la idea de que un mismo dígito representa unidades, decenas, centenas o miles, dependiendo de dónde ocupe esta cifra. El lugar ocupado, en ausencia de dígitos, está determinado por los ceros asignados a los números.

EnComenzamos la multiplicación desde el orden más alto y escribimos los productos incompletos justo encima del multiplicando, poco a poco. En este caso, el dígito más significativo del producto completo es inmediatamente visible y, además, se excluye la omisión de cualquier dígito. Aún no se conocía el signo de multiplicación, por lo que se dejó una pequeña distancia entre los factores

Manera china (dibujo) de multiplicar

Ejemplo 1: 12 × 321 = 3852
Nosotros dibujamosprimer número de arriba a abajo, de izquierda a derecha: un palo verde (1 ); dos palitos de naranja (2 ). 12 pintado
Nosotros dibujamossegundo numero de abajo hacia arriba, de izquierda a derecha: tres palos azules (3 ); dos rojos2 ); una lila (1 ). 321 pintado

Ahora, con un simple lápiz, caminaremos a lo largo del dibujo, dividiremos los puntos de intersección de los números de palo en partes y procederemos a contar los puntos. Moviéndose de derecha a izquierda (en el sentido de las agujas del reloj):2 , 5 , 8 , 3 . número-resultado vamos a "recoger" de izquierda a derecha (en sentido contrario a las agujas del reloj) tenemos3852

Ejemplo #2: 24 × 34 = 816
Hay matices en este ejemplo ;-) Al contar los puntos en la primera parte, resultó16 . Un envío-añadir a los puntos de la segunda parte (20 + 1 )…

Ejemplo #3: 215 × 741 = 159315

Durante el trabajo en el proyecto, realizamos una encuesta. Los estudiantes respondieron las siguientes preguntas.

1. ¿Necesita una persona moderna un relato oral??

síNo

2. ¿Conoces otras formas de multiplicar además de la multiplicación por una columna?

síNo

3. los usas?

síNo

4. ¿Te gustaría conocer otras formas de multiplicar??

Realmente no

Entrevistamos a estudiantes en los grados 5-10.

Esta encuesta mostró que los escolares modernos no conocen otras formas de realizar acciones, ya que rara vez recurren a material que está fuera del currículo escolar.

Conclusión:

Hay muchos eventos y descubrimientos interesantes en la historia de las matemáticas, desafortunadamente no toda esta información nos llega a nosotros, los estudiantes modernos.

Con este trabajo, queríamos llenar al menos un poco este vacío y transmitir a nuestros compañeros información sobre los métodos antiguos de multiplicación.

En el curso de los robots, aprendimos sobre el origen de la acción de multiplicar. En los viejos tiempos, no era fácil dominar esta acción; entonces, como ahora, todavía no había un método elaborado por la práctica. Por el contrario, casi una docena de métodos diferentes de multiplicación estaban en uso al mismo tiempo, métodos entre sí más intrincados, firmes, que una persona de habilidad promedio no podría recordar. Cada profesor de cálculo se apegó a su técnica favorita, cada "maestro" (había tales especialistas) elogió su propia forma de realizar esta acción. Incluso se reconoció que para dominar el arte de la multiplicación rápida y sin errores de números de varios dígitos, se necesita un talento natural especial, habilidades excepcionales; esta sabiduría no está disponible para la gente común.

Con nuestro trabajo, hemos probado que nuestra hipótesis es correcta, no necesitas tener habilidades sobrenaturales para poder usar los métodos antiguos de multiplicación. Y también aprendimos a seleccionar material, procesarlo, es decir, resaltar lo principal y sistematizarlo.

Habiendo aprendido a contar de todas las formas presentadas, llegamos a la conclusión de que las formas más simples son las que estudiamos en la escuela, o tal vez simplemente nos acostumbramos a ellas.

La forma moderna de multiplicación es simple y accesible para todos.

Pero creemos que nuestro método de multiplicación en una columna no es perfecto y podemos encontrar métodos aún más rápidos y confiables.

Es posible que la primera vez muchos no puedan realizar rápidamente, en movimiento, estos u otros cálculos.

No hay problema. Se necesita un entrenamiento computacional constante. ¡Te ayudará a desarrollar habilidades útiles de conteo mental!

Bibliografía

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Enciclopedia para niños. T. 11. Matemáticas / Capítulo. edición M. D. Aksenova. - M.: Avata+, 2003. - S. 130.

Diario "Matemáticas" №15 2011

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El mundo de las matemáticas es muy amplio, pero siempre me han interesado las formas de multiplicar. Trabajando en este tema, aprendí muchas cosas interesantes, aprendí a seleccionar el material que necesitaba de lo que leía. Aprendió a resolver entretenidos problemas individuales, acertijos y ejemplos de multiplicación de diferentes maneras, así como en qué se basan los trucos aritméticos y las técnicas de cálculo intensivo.

ACERCA DE LA MULTIPLICACIÓN

¿Qué queda en la mente de la mayoría de las personas de lo que alguna vez estudiaron en la escuela? Por supuesto, diferentes personas tienen cosas diferentes, pero todos, sin duda, tienen una tabla de multiplicar. Además de los esfuerzos realizados para "aplastarlo", recordemos cientos (si no miles) de tareas que resolvimos con su ayuda. Hace trescientos años en Inglaterra, una persona que sabía la tabla de multiplicar ya era considerada una persona ilustrada.

Hay muchas formas de multiplicar. El matemático italiano de finales del siglo XV - principios del siglo XVI, Luca Pacioli, en su tratado de aritmética, da 8 formas diferentes de multiplicación. En el primero, que se llama "pequeño castillo", los dígitos del número superior, comenzando desde el más alto, se multiplican a su vez por el número inferior y se escriben en una columna con la adición del número requerido de ceros. Luego se suman los resultados. La ventaja de este método sobre el habitual es que los números de los dígitos más altos se determinan desde el principio, y esto puede ser importante en los cálculos de estimación.

El segundo método tiene el nombre no menos romántico de "celos" (o multiplicación reticular). Se dibuja una cuadrícula en la que luego se ingresan los resultados de los cálculos intermedios, más precisamente, los números de la tabla de multiplicar. La cuadrícula es un rectángulo dividido en celdas cuadradas, que, a su vez, están divididas por la mitad por diagonales. A la izquierda (de arriba a abajo) se escribió el primer multiplicador, y en la parte superior, el segundo. En la intersección de la fila y la columna correspondientes, se escribió el producto de los números en ellos. Luego, los números resultantes se agregaron a lo largo de las diagonales dibujadas y el resultado se registró al final de dicha columna. El resultado se leyó a lo largo de los lados inferior y derecho del rectángulo. “Tal celosía”, escribe Luca Pacioli, “que recuerda a las persianas de celosía que se colgaban en las ventanas venecianas, impidiendo que los transeúntes vieran a las damas y monjas sentadas en las ventanas”.

Todos los métodos de multiplicación descritos en el libro de Luca Pacioli utilizaron la tabla de multiplicar. Sin embargo, los campesinos rusos sabían multiplicar sin mesa. Su método de multiplicación usaba solo la multiplicación y la división por 2. Para multiplicar dos números, se escribían uno al lado del otro, y luego el número de la izquierda se dividía por 2, y el de la derecha se multiplicaba por 2. Si la división resultaba en un resto , luego se descartó. Luego se tacharon aquellas líneas de la columna de la izquierda, en las que hay números pares. Los números restantes en la columna de la derecha se sumaron. El resultado fue el producto de los números originales. Verifique en varios pares de números que este sea el caso. La prueba de este método se muestra utilizando el sistema numérico binario.

Antigua forma rusa de multiplicación.

Desde la antigüedad y casi hasta el siglo XVIII, los rusos prescindieron de la multiplicación y la división en sus cálculos: utilizaron solo dos operaciones aritméticas: suma y resta, e incluso las llamadas "duplicaciones" y "duplicaciones". La esencia del antiguo método ruso de multiplicación es que la multiplicación de dos números cualesquiera se reduce a una serie de divisiones sucesivas de un número por la mitad (secuencial, bifurcación) mientras se duplica otro número. Si en un producto, por ejemplo, 24 X 5, el multiplicador se reduce en 2 veces ("doble"), y el multiplicador se aumenta en 2 veces

("doble"), entonces el producto no cambiará: 24 x 5 \u003d 12 X 10 \u003d 120. Ejemplo:

La división del multiplicando por la mitad continúa hasta que el cociente es 1, mientras se duplica el factor. El último número duplicado i- da el resultado deseado. Entonces 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

En aquellos tiempos antiguos, la duplicación y la bifurcación se tomaban incluso para operaciones aritméticas especiales. ¿Qué tan especiales son? ¿comportamiento? Después de todo, por ejemplo, duplicar un número no es una acción especial, sino solo la suma de un número dado a sí mismo.

Tenga en cuenta que los números son divisibles por 2 todo el tiempo sin resto. Pero, ¿y si el multiplicando es divisible por 2 con resto? Ejemplo:

Si el multiplicando no es divisible por 2, primero se le resta uno y luego ya se realiza la división por 2. Las líneas con multiplicadores pares se eliminan y las partes correctas de las líneas con multiplicadores impares se agregan.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.

Recordemos el número 17 (¡la primera línea no está tachada!), y reemplacemos el producto 20 X 17 con su producto igual 10 X 34. Pero el producto 10 X 34, a su vez, se puede reemplazar con su producto igual 5 X 68; por lo que la segunda línea está tachada:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Recordemos el número 68 (¡la tercera línea no está tachada!), y reemplacemos el producto 4 X 68 por su producto igual 2 X 136. Pero el producto 2 X 136 se puede reemplazar por su producto igual 1 X 272; por lo que la cuarta línea está tachada. Entonces, para calcular el producto 21 X 17, debe agregar los números 17, 68, 272, las partes correctas de las líneas con multiplicadores impares. Los productos con multiplicandos pares siempre se pueden reemplazar dividiendo el multiplicando y duplicando el factor por productos iguales a ellos; por lo tanto, dichas cadenas se excluyen del cálculo del producto final.

Traté de multiplicar yo mismo a la antigua usanza. Tomé los números 39 y 247, obtuve esto

Las columnas resultarán ser incluso más largas que las mías si tomamos el multiplicador más de 39. Entonces decidí, el mismo ejemplo de forma moderna:

¡Resulta que nuestra forma escolar de multiplicar números es mucho más simple y económica que la antigua forma rusa!

Solo que antes que nada debemos conocer la tabla de multiplicar, y nuestros antepasados ​​no la conocían. Además, debemos conocer bien la regla misma de la multiplicación, ellos solo sabían duplicar y dividir números. Como puedes ver, puedes multiplicar mucho mejor y más rápido que la calculadora más famosa de la antigua Rusia. Por cierto, hace varios miles de años, los egipcios realizaban la multiplicación casi exactamente de la misma manera que lo hacían los rusos en los viejos tiempos.

Es genial que la gente de diferentes países se multiplique de la misma manera.

No hace mucho tiempo, hace solo unos cien años, memorizar la tabla de multiplicar era una tarea muy difícil para los estudiantes. Para convencer a los estudiantes de la necesidad de saberse las tablas de memoria, los autores de libros matemáticos han recurrido durante mucho tiempo. a los versos.

Aquí hay algunas líneas de un libro que no conocemos: "Pero para la multiplicación, necesita tener la siguiente tabla, solo tenerla firmemente en su memoria, tal y tal número, multiplicando con cada uno, sin demora, digamos, o escriba, también 2-zhd 2 es 4, o 2 por 3 es 6, y 3 por 3 es 9 y así sucesivamente.

Si alguno no repite Y en toda la ciencia de la mesa y es orgulloso, no libre de tormento,

No puedo saber Koliko no enseña por número que la melodía multiplicadora es deprimente

Es cierto que no todo está claro en este pasaje y versos: está escrito de alguna manera no del todo en ruso, porque todo esto fue escrito hace más de 250 años, en 1703, por Leonty Filippovich Magnitsky, un maravilloso maestro ruso, y desde entonces el ruso El lenguaje ha cambiado notablemente.

L. F. Magnitsky escribió y publicó el primer libro de texto de aritmética impreso en Rusia; antes de él solo había libros matemáticos escritos a mano. El gran científico ruso M. V. Lomonosov, así como muchos otros destacados científicos rusos del siglo XVIII, estudiaron según la Aritmética de L. F. Magnitsky.

¿Y cómo se multiplicaron en esos días, en la época de Lomonosov? Veamos un ejemplo.

Como entendimos, la operación de multiplicación se escribía entonces casi de la misma manera que en nuestro tiempo. Solo el multiplicador se llamaba "echelichestvo", y el producto se llamaba "producto" y, además, no escribieron el signo de multiplicación.

Entonces, ¿cómo se explicaba la multiplicación?

Se sabe que M. V. Lomonosov sabía de memoria toda la "Aritmética" de Magnitsky. De acuerdo con este libro de texto, el pequeño Misha Lomonosov explicaría la multiplicación de 48 por 8 de la siguiente manera: “8 es 8 es 64, escribo 4 debajo de la línea, contra 8, y tengo 6 decimales en mi mente. Y luego 8 por 4 es 32, y tengo 3 en mi mente, y sumaré 6 decimales a 2, y será 8. Y escribiré este 8 al lado de 4, en una fila a mi mano izquierda, y 3 mientras la esencia está en mi mente, escribiré en una fila cerca de 8, a la izquierda. Y habrá un producto de 384 de la multiplicación de 48 con 8.

Sí, y explicamos casi lo mismo, solo que hablamos de forma moderna, y no de forma antigua, y, además, nombramos las descargas. Por ejemplo, el 3 debe escribirse en tercer lugar porque serán centenas, y no solo "en una fila al lado del 8, a la izquierda".

La historia "Masha - "mago"".

Puedo adivinar no solo el cumpleaños, como lo hizo Pavlik la última vez, sino también el año de nacimiento, comenzó Masha.

Multiplique el número del mes en que nació por 100, luego agregue su cumpleaños. , multiplica el resultado por 2. , suma 2 al número resultante; multiplique el resultado por 5, agregue 1 al número resultante, agregue cero al resultado. , suma otro 1 al número resultante y, por último, suma el número de tus años.

Listo, tengo 20721. - digo.

*Así es, confirmé.

Y obtuve 81321, dice Vitya, un estudiante de tercer grado.

Tú, Masha, debes haberte equivocado, - Petya dudó. - Cómo sucede: Vitya es del tercer grado, y también nació en 1949, como Sasha.

No, Masha adivinó correctamente, - confirma Vitya. Solo estuve enfermo durante mucho tiempo durante un año y, por lo tanto, fui al segundo grado dos veces.

* Y obtuve 111521, - dice Pavlik.

¿Cómo es eso?, pregunta Vasya, Pavlik también tiene 10 años, como Sasha, y nació en 1948. ¿Por qué no en 1949?

Pero debido a que se acerca septiembre, y Pavlik nació en noviembre, y todavía tiene solo 10 años, aunque nació en 1948, explicó Masha.

Adivinó la fecha de nacimiento de tres o cuatro estudiantes más y luego explicó cómo lo hizo. Resulta que resta 111 del último número y luego deja dos dígitos en tres caras de derecha a izquierda. Los dos dígitos del medio son el cumpleaños, los primeros dos o uno es el mes y los dos últimos dígitos son los años. Sabiendo la edad de una persona, no es difícil determinar el año de nacimiento. Por ejemplo, obtuve el número 20721. Si le restas 111, obtienes 20610. Ahora tengo 10 años y nací el 6 de febrero. Como ahora es septiembre de 1959, significa que nací en 1949.

¿Y por qué es necesario restar exactamente 111 y no algún otro número? preguntamos. -¿Y por qué se distribuye de esta manera el cumpleaños, el número del mes y el número de años?

Pero mira, - explicó Masha. - Por ejemplo, Pavlik, cumpliendo mis requisitos, resolvió los siguientes ejemplos:

1) 11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Como ven, multiplicó el número del mes (11) por 100, luego por 2, luego por otros 5 y, finalmente, por otros 10 (le atribuyó el saco), pero solo por 100 X 2 X 5 X 10 , es decir, por 10000. Entonces, 11 se convirtió en decenas de miles, es decir, forman la tercera cara, si se cuenta de derecha a izquierda, dos dígitos cada uno. Esto le dirá el número del mes en que nació. El cumpleaños (14) lo multiplicó por 2, luego por 5 y, finalmente, por 10, y sólo por 2 X 5 X 10, es decir, por 100. Entonces, el cumpleaños hay que buscarlo entre centenas, en la segunda cara, pero aquí hay cientos extraños. Mira: sumó el número 2, que multiplicó por 5 y por 10. Entonces, obtuvo 2x5x10=100 - 1 centena extra. Resto esta 1 centena de 15 centenas en el número 111521, resulta 14 centenas. Así es como sé mi cumpleaños. El número de años (10) no se multiplicó por nada. Esto quiere decir que ese número hay que buscarlo entre las unidades, en la primera cara, pero aquí hay unidades extrañas. Mira: sumó el número 1, que multiplicó por 10, y luego sumó otro 1. Entonces, obtuvo un total de 1 x TO + 1 = 11 unidades adicionales. Resto estas 11 unidades de 21 unidades en el número 111521, resulta 10. Entonces descubro la cantidad de años y en total, como pueden ver, resté 100 + 11 = 111 del número 111521. Cuando restó 111 del número 111521, luego resultó PNU. Medio,

Pavlik nació el 14 de noviembre y tiene 10 años. Ahora el año es 1959, pero resté 10 no de 1959, sino de 1958, ya que Pavlik cumplió 10 años el año pasado, en noviembre.

Por supuesto, no recordará esa explicación de inmediato, pero traté de entenderla con mi propio ejemplo:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 \u003d 2 "Obto; 1959 - 10 \u003d 1949;

Rompecabezas.

Primera tarea: al mediodía, un vapor de pasajeros sale de Stalingrado hacia Kuibyshev. Una hora más tarde, un vapor de carga y pasajeros sale de Kuibyshev hacia Stalingrado, moviéndose más lento que el primer vapor. Cuando los barcos se encuentren, ¿cuál estará más lejos de Stalingrado?

Este no es un problema aritmético ordinario, ¡sino una broma! Los barcos de vapor estarán a la misma distancia de Stalingrado, así como de Kuibyshev.

Y aquí está la segunda tarea: el domingo pasado, nuestro destacamento y el destacamento de la quinta clase estaban plantando árboles a lo largo de la calle Bolshaya Pionerskaya. Los destacamentos debían plantar igual número de árboles, igual número a cada lado de la calle. Como recordarán, nuestro equipo llegó temprano a trabajar, y antes de la llegada de los alumnos de quinto grado, logramos plantar 8 árboles, pero resultó que no en nuestro lado de la calle: nos emocionamos y comenzamos a trabajar en el Lugar equivocado. Luego trabajamos en nuestro lado de la calle. Los alumnos de quinto grado terminaron el trabajo temprano. Sin embargo, no quedaron en deuda con nosotros: pasaron a nuestro lado y plantaron primero 8 árboles ("pagaron su deuda"), y luego 5 árboles más, y nosotros completamos el trabajo.

La pregunta es, ¿cuántos árboles más plantaron los alumnos de quinto grado que nosotros?

: Por supuesto, los de quinto grado solo plantaron 5 árboles más que nosotros: cuando plantaron 8 árboles de nuestro lado, pagaron la deuda; y cuando plantaron 5 árboles más, nos prestaron 5 árboles. Entonces resulta que plantaron solo 5 árboles más que nosotros.

No, el argumento es incorrecto. Es verdad que los de 5º nos hicieron un favor plantando 5 árboles para nosotros. Pero luego, para obtener la respuesta correcta, debe razonar así: no cumplimos nuestra tarea por 5 árboles, mientras que los alumnos de quinto grado cumplieron con la suya por 5 árboles. ¡Entonces resulta que la diferencia entre el número de árboles plantados por los alumnos de quinto grado y el número de árboles plantados por nosotros no es 5, sino 10 árboles!

Y aquí está la última tarea del rompecabezas, Jugando la pelota, se colocaron 16 estudiantes a los lados del área cuadrada para que hubiera 4 personas en cada lado. Luego se fueron 2 estudiantes, el resto se movió de manera que de nuevo había 4 personas a cada lado de la plaza. Finalmente se fueron 2 estudiantes más, pero el resto se acomodaron de tal manera que aún quedaban 4 personas a cada lado de la plaza. ¿Cómo pudo pasar esto?, decide.

Dos trucos rápidos de multiplicación

Un día, el maestro les dio a sus alumnos el siguiente ejemplo: 84 X 84. Un niño respondió rápidamente: 7056. "¿Qué contaste?" le preguntó el profesor al alumno. - "Tomé 50 X 144 y tiré 144", respondió. Bueno, vamos a explicar cómo pensaba el estudiante.

84 x 84 \u003d 7 X 12 X 7 X 12 \u003d 7 X 7 X 12 X 12 \u003d 49 X 144 \u003d (50 - 1) X 144 \u003d 50 X 144 - 144, y 144 cincuenta son 72 centenas, lo que significa 84 X 84 = 7200 - 144 =

Y ahora vamos a contar de la misma manera cuanto sera 56 X 56.

56 X 56 \u003d 7 X 8 X 7 X 8 \u003d 49 X 64 \u003d 50 X 64 - 64, es decir, 64 cincuenta, o 32 centenas (3200), sin 64, es decir, para multiplicar un número por 49, necesita este número multiplicado por 50 (cincuenta) y restado este número del producto resultante.

Y aquí hay ejemplos de un método de cálculo diferente, 92 X 96, 94 X 98.

Respuestas: 8832 y 9212. Ejemplo, 93 X 95. Respuesta: 8835. Nuestros cálculos dieron el mismo número.

Puede contar tan rápido solo cuando los números están cerca de 100. Encontramos las sumas de 100 a estos números: para 93 será 7, y para 95 será 5, restamos la suma del segundo del primero dado número: 93 - 5 \u003d 88 - tanto estará en el producto cientos, multiplicamos las adiciones: 7 X 5 \u003d 3 5 - tanto estará en el producto de unidades. Entonces, 93 X 95 = 8835. Y por qué es necesario hacer esto no es difícil de explicar.

Por ejemplo, 93 es 100 menos 7 y 95 es 100 menos 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Para restar 5 por 93, puedes restar 5 por 100, pero suma 5 por 7. Entonces resulta:

95 x 93 \u003d 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 \u003d 93 celdas. - quinientos. + 5 X 7 \u003d (93 - 5) celdas. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 x 94 = (97 - 6) x 100 + 3 x 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 x 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Multiplicación en. dominó

Con la ayuda de fichas de dominó, es fácil representar algunos casos de multiplicación de números de varios dígitos por un número de un solo dígito. Por ejemplo:

402X3 y 2663X4

El ganador será el que, en un tiempo determinado, sea capaz de utilizar la mayor cantidad de fichas de dominó, inventando ejemplos para multiplicar números de tres, cuatro dígitos por un número de un solo dígito.

Ejemplos para multiplicar números de cuatro dígitos por un dígito.

2234x6; 2425X6; 2336x1; 526 x 6.

Como puede ver, solo se usaron 20 fichas de dominó. Se han compilado ejemplos para multiplicar no solo números de cuatro dígitos por un número de un solo dígito, sino también números de tres, cinco y seis dígitos por un número de un solo dígito. Se utilizaron 25 huesos y se compilaron los siguientes ejemplos:

Sin embargo, todavía se pueden usar los 28 huesos.

Historias sobre lo bien que el viejo Hottabych sabía aritmética.

La historia "Obtengo "5" por aritmética".

Tan pronto como al día siguiente fui a Misha, inmediatamente preguntó: "¿Qué había de nuevo, interesante en la clase circular?" Le mostré a Misha y sus amigos lo inteligentes que eran los rusos en los viejos tiempos. Luego les pedí que calcularan mentalmente cuánto serían 97 X 95, 42 X 42 y 98 X 93. Ellos, por supuesto, no podían hacer esto sin lápiz y papel y se sorprendieron mucho cuando casi de inmediato di las respuestas correctas a estos ejemplos. Finalmente, todos juntos resolvimos este problema de tarea. Resulta que es muy importante cómo se ubican los puntos en una hoja de papel. Dependiendo de esto, es posible dibujar una, cuatro y seis líneas rectas a través de cuatro puntos, pero no más.

Luego invité a los niños a hacer ejemplos de multiplicación con las fichas de dominó como se hizo en la taza. Logramos usar 20, 24 e incluso 27 huesos, pero de los 28 no pudimos hacer ejemplos, aunque nos sentamos en esta lección durante mucho tiempo.

Misha recordó que hoy se proyectaba en el cine la película "Old Man Hottabych". Rápidamente terminamos de hacer aritmética y corrimos al cine.

¡Aquí está la imagen! Aunque es un cuento de hadas, sigue siendo interesante: habla de nosotros, los niños, de la vida escolar, así como de un sabio excéntrico: el genio Hottabych. ¡Y Hottabych cometió un gran error, incitando a Volka a hablar de geografía! Como puede ver, en tiempos pasados, incluso los hombres sabios indios, las ginebras, sabían muy, muy mal de geografía. Probablemente Hottabych tampoco sabía bien de aritmética.

Forma india de multiplicación.

Supongamos que necesitas multiplicar 468 por 7. A la izquierda escribimos el multiplicador, a la derecha el multiplicador:

Los indios no tenían signo de multiplicación.

Ahora multiplico 4 por 7, resulta 28. Escribimos este número sobre el número 4.

Ahora multiplicamos 8 por 7, obtenemos 56. Sumamos 5 a 28, obtenemos 33; Borra 28, y escribe 33, escribe 6 sobre el número 8:

Resultó muy interesante.

Ahora multiplicamos 6 por 7, obtenemos 42, sumamos 4 a 36, ​​obtenemos 40; Borraremos 36, y anotaremos 40; Escribimos 2 sobre el número 6. Entonces, multiplicamos 486 por 7, obtenemos 3402:

Decidido correctamente, pero no muy rápido y convenientemente Así es exactamente como se multiplicaron las calculadoras más famosas de la época.

Como puede ver, el viejo Hottabych sabía bastante bien la aritmética. Sin embargo, registró las acciones de manera diferente a como lo hacemos nosotros.

Hace mucho, mucho tiempo, hace más de 1300 años, los indios eran los mejores calculadores. Sin embargo, aún no tenían papel, y todos los cálculos se hacían en una pequeña pizarra negra, tomando notas en ella con una pluma de caña y usando una pintura blanca muy líquida, que dejaba marcas que se borraban fácilmente.

Cuando escribimos con tiza en una pizarra, es un poco como la escritura india: aparecen caracteres blancos sobre un fondo negro, que son fáciles de borrar y corregir.

Los indios también hacían cálculos en una pizarra blanca rociada con polvo rojo, en la cual escribían signos con un palito, de modo que aparecían signos blancos en un campo rojo. Aproximadamente la misma imagen se obtiene cuando escribimos con tiza en un tablero rojo o marrón: linóleo.

El signo de la multiplicación aún no existía en ese momento, y solo quedaba un cierto espacio entre el multiplicador y el multiplicador. A la manera india, se podía multiplicar a partir de las unidades. Sin embargo, los propios indios realizaban la multiplicación empezando por el orden más alto y escribían los productos incompletos justo encima del multiplicando, poco a poco. Al mismo tiempo, el dígito senior del producto completo era inmediatamente visible y, además, se excluía la omisión de cualquier dígito.

Un ejemplo de multiplicación india.

Multiplicación árabe.

Bueno, ¿cómo, en la fecha misma, realizar la multiplicación a la manera india, si se escribe en papel?

Los árabes adaptaron esta técnica de multiplicación para escribir sobre papel. El famoso científico uzbeko Muhammad ibn Musa Alkhvariz-mi (Mahoma hijo de Musa de Khorezm, ciudad ubicada en el territorio de la actual RSS de Uzbekistán) hace más de mil años realizó la multiplicación en pergamino de la siguiente manera:

Como puede ver, no borró números innecesarios (ya es un inconveniente hacerlo en papel), sino que los tachó; anotó los nuevos números encima de los tachados, por supuesto, poco a poco.

Un ejemplo de multiplicación de la misma manera, tomando notas en un cuaderno.

Entonces, 7264 X 8 \u003d 58112. Pero, ¿cómo multiplicar por un número de dos dígitos, por un número de varios dígitos?

La técnica de multiplicación sigue siendo la misma, pero el registro se vuelve mucho más complicado. Por ejemplo, necesitas multiplicar 746 por 64. Primero, multiplicaron por 3 decenas, resultó

Entonces 746 X 34 = 25364.

Como puede ver, eliminar dígitos innecesarios y reemplazarlos con dígitos nuevos al multiplicar incluso por un número de dos dígitos conduce a una notación demasiado engorrosa. ¿Y qué pasa si multiplicas por un número de tres o cuatro dígitos?

Sí, la forma árabe de multiplicación no es muy conveniente.

Este método de multiplicación se mantuvo en Europa hasta el siglo XVIII, durante mil años. Se le llamó vías de la cruz, o quiasma, ya que la letra griega X (chi) se colocó entre los números multiplicados, reemplazada gradualmente por una cruz oblicua. Ahora podemos ver claramente que nuestro método moderno de multiplicación es el más simple y conveniente, probablemente el mejor de todos los métodos de multiplicación posibles.

Sí, nuestra forma escolar de multiplicar números de varios dígitos es muy buena. Sin embargo, la multiplicación se puede escribir de otra manera. Quizás sería mejor hacer esto, por ejemplo, así:

Este método es realmente bueno: la multiplicación comienza desde el dígito más alto del multiplicador, el dígito más bajo de los productos incompletos se escribe debajo del dígito correspondiente del multiplicador, lo que elimina la posibilidad de un error cuando aparece cero en cualquier dígito del multiplicador. Así es como los escolares checoslovacos escriben la multiplicación de números de varios dígitos. Eso es interesante. Y pensamos que las operaciones aritméticas solo pueden escribirse en la forma en que es habitual entre nosotros.

Unos cuantos rompecabezas más.

Aquí está la primera y sencilla tarea para usted: un turista puede caminar 5 km en una hora. ¿Cuántas millas recorrerá en 100 horas?

Respuesta: 500 kilómetros.

¡Y esa es una gran pregunta! Necesita saber más exactamente cómo caminó el turista estas 100 horas: sin descanso o con respiro. En otras palabras, necesitas saber: 100 horas es el tiempo del movimiento del turista o simplemente el tiempo de su permanencia en el camino. Probablemente una persona no pueda estar en movimiento durante 100 horas seguidas: esto es más de cuatro días; y la velocidad de movimiento disminuiría todo el tiempo. Otra cosa es que si un turista fuera con descansos para almorzar, dormir, etc. Entonces, en 100 horas de movimiento, puede recorrer los 500 km; solo que en el camino ya no debe ser de cuatro días, sino de unos doce días (si pasa una media de 40 km por día). Si estuvo en la carretera durante 100 horas, solo podría caminar entre 160 y 180 km.

Varias respuestas. Esto significa que se debe agregar algo a la condición del problema, de lo contrario es imposible dar una respuesta.

Ahora resolvamos el siguiente problema: 10 pollos comen 1 kg de grano en 10 días. ¿Cuántos kilogramos de grano comerán 100 pollos en 100 días?

Solución: 10 pollos comen 1 kg de grano en 10 días, lo que significa que 1 pollo come 10 veces menos en los mismos 10 días, es decir, 1000 g: 10 \u003d 100 g.

En un día una gallina come otras 10 veces menos, o sea 100 g: 10 = 10 g Ahora sabemos que 1 gallina come 10 g de grano en 1 día. Entonces 100 pollos al día comen 100 veces más, eso es

10 g X 100 = 1000 g = 1 kg. En 100 días comerán 100 veces más, es decir, 1 kg X 100 = 100 kg = 1 céntimo. Esto significa que 100 pollos comen un centavo entero de grano en 100 días.

Hay una solución más rápida: hay 10 veces más pollos y necesitas alimentarlos 10 veces más, lo que significa que necesitas 100 veces más grano, es decir, 100 kg. Sin embargo, en todos estos argumentos hay una omisión. Pensemos y encontremos un error en el razonamiento.

: - Prestemos atención al último razonamiento: “100 pollos comen 1 kg de grano en un día, y en 100 días comerán 100 veces más. »

Después de todo, en 100 días (¡eso es más de tres meses!) Los pollos crecerán notablemente y no comerán 10 g de grano por día, sino 40-50 gramos, ya que un pollo normal come alrededor de 100 g de grano por día. Esto significa que en 100 días 100 pollos comerán no 1 centavo de grano, sino mucho más: dos o tres centavos.

Y aquí está el último problema de acertijo para hacer un nudo: “Hay un trozo de cuerda sobre la mesa, estirado en línea recta. Es necesario tomarlo con una mano por uno, con la otra mano por el otro extremo y, sin soltar los extremos de la cuerda de sus manos, haga un nudo. » Es un hecho bien conocido que algunas tareas son fáciles de analizar, pasando de los datos a la pregunta del problema, mientras que otras, por el contrario, van de la pregunta del problema a los datos.

Bueno, aquí tratamos de analizar este problema, pasando de la pregunta a los datos. Deje que el nudo en la cuerda ya exista, y sus extremos estén en las manos y no se suelten. Intentemos volver del problema resuelto a sus datos, a la posición inicial: la cuerda yace estirada sobre la mesa y sus extremos no se sueltan de las manos.

Resulta que si enderezas la cuerda sin soltar sus extremos, entonces la mano izquierda, pasando por debajo de la cuerda extendida y por encima de la mano derecha, sostiene el extremo derecho de la cuerda; y la mano derecha, pasando por encima de la cuerda y debajo de la mano izquierda, sostiene el extremo izquierdo de la cuerda

Creo que después de tal análisis del problema, quedó claro para todos cómo hacer un nudo en una cuerda, debes hacer todo en el orden inverso.

Otros dos trucos rápidos de multiplicación.

Te mostraré cómo multiplicar rápidamente números como 24 y 26, 63 y 67, 84 y 86, etc. n., es decir, cuando los factores de las decenas son iguales, y las unidades suman exactamente 10 juntas. Pon ejemplos.

* 34 y 36, 53 y 57, 72 y 78,

* Obtenga 1224, 3021, 5616.

Por ejemplo, debe multiplicar 53 por 57. Multiplico 5 por 6 (1 más que 5), resulta 30, tantos cientos en el producto; Multiplico 3 por 7, resulta 21, tantas unidades en el producto. Entonces 53 X 57 = 3021.

* ¿Cómo puedo explicar esto?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 celdas. + 5 cien. +3 X 7 = 30 celdas. + 3 X 7 = 5 X 6 celdas. + 21.

Veamos cómo puedes multiplicar rápidamente números de dos dígitos hasta 20. Por ejemplo, para multiplicar 14 por 17, debes sumar las unidades 4 y 7, obtienes 11; habrá decenas en el producto (es decir, 10 unidades) . Luego, debe multiplicar 4 por 7, obtiene 28; habrá tantas unidades en el producto. Además, se debe agregar exactamente 100 a los números resultantes 110 y 28. Por lo tanto, 14 X 17 \u003d 100 + 110 + 28 \u003d 238. De hecho:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 \u003d 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 \u003d 100 + 110 + + 28.

Después de eso, resolvimos más ejemplos de este tipo: 13 x 16 \u003d 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 \u003d 100 + 90 + + 18 \u003d 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Multiplicación en cuentas

Aquí hay algunos trucos por los cuales cualquiera que pueda sumar rápidamente las cuentas podrá realizar rápidamente ejemplos de multiplicación que ocurren en la práctica.

La multiplicación por 2 y por 3 se reemplaza por sumas dobles y triples.

Al multiplicar por 4, primero multiplica por 2 y suma este resultado a sí mismo.

La multiplicación de un número por 5 se realiza en el ábaco de esta manera: transfieren todo el número un cable más arriba, es decir, lo multiplican por 10 y luego dividen este número de 10 veces por la mitad (cómo dividir por 2 usando el ábaco).

En lugar de multiplicar por 6, multiplica por 5 y suma el multiplicado.

En lugar de multiplicar por 7, multiplica por 10 y resta el multiplicado tres veces.

La multiplicación por 8 se reemplaza por la multiplicación por 10 menos dos multiplicados.

De la misma manera, multiplica por 9: reemplaza por multiplicar por 10 menos uno multiplicado.

Al multiplicar por 10, como ya dijimos, todos los números se trasladan un alambre más arriba.

El lector probablemente averiguará por sí mismo cómo proceder al multiplicar por números mayores de 10, y qué tipo de sustituciones serán más convenientes aquí. El factor 11 debe, por supuesto, ser reemplazado por 10 + 1. El factor 12 se reemplaza por 10 + 2, o prácticamente por 2 + 10, es decir, primero se aparta el número doble y luego se suma el de diez. El factor 13 se reemplaza por 10 + 3, y así sucesivamente.

Considere algunos casos especiales para factores de los primeros cien:

Es fácil ver, por cierto, que con la ayuda de las cuentas es muy conveniente multiplicar por números como 22, 33, 44, 55, etc.; por lo tanto, debemos esforzarnos por descomponer los factores para usar números similares con los mismos dígitos.

También se recurre a trucos similares cuando se multiplica por números mayores de 100. Si tales trucos artificiales son tediosos, entonces, por supuesto, siempre podemos multiplicar usando cuentas de acuerdo con la regla general, multiplicando cada dígito del multiplicador y escribiendo productos parciales: esto todavía da alguna reducción en el tiempo.

Forma de multiplicación "rusa"

No puede realizar multiplicaciones de números de varios dígitos, incluso de dos dígitos, si no recuerda de memoria todos los resultados de la multiplicación de números de un solo dígito, es decir, lo que se llama la tabla de multiplicar. En la antigua "Aritmética" de Magnitsky, que ya hemos mencionado, la necesidad de un conocimiento sólido de la tabla de multiplicar se canta en tales versos (ajenos a la audiencia moderna):

Si alguien no repite tablas y es orgulloso, no puede saber por número qué multiplicar

Y en todas las ciencias, no exentas de tormento, Koliko no enseña atún a deprimirse.

Y no estará a favor si me olvido.

El autor de estos versos obviamente no sabía o pasó por alto que existe una forma de multiplicar números sin conocer la tabla de multiplicar. Este método, similar a nuestros métodos escolares, fue utilizado en la vida cotidiana por los campesinos rusos y heredado por ellos desde la antigüedad.

Su esencia es que la multiplicación de dos números cualesquiera se reduce a una serie de divisiones sucesivas de un número por la mitad mientras se duplica otro número. Aquí hay un ejemplo:

La división por la mitad continúa hasta entonces), el tono en el cociente no resulta ser 1, mientras que se duplica otro número en paralelo. El último número duplicado da el resultado deseado. No es difícil entender en qué se basa este método: el producto no cambia si un factor se reduce a la mitad y el otro se duplica. Por lo tanto, está claro que como resultado de la repetición repetida de esta operación, se obtiene el producto deseado.

Sin embargo, qué hacer si al mismo tiempo nrikh. ¿Está bien dividir un número impar por la mitad?

La vía popular sale fácilmente de esta dificultad. Es necesario, dice la regla, en el caso de un número impar, tirar uno y dividir el resto por la mitad; pero por otro lado, al último número de la columna de la derecha habrá que sumar todos aquellos números de esta columna que estén contra los impares de la columna de la izquierda - ¿se buscará la suma? Yo trabajo. En la práctica, esto se hace de tal manera que se tachan todas las líneas con números pares a la izquierda; sólo quedan aquellos que contienen un número impar a la izquierda.

Aquí hay un ejemplo (los asteriscos indican que esta línea debe tacharse):

Sumando los números que no han sido tachados, obtenemos un resultado completamente correcto: 17 + 34 + 272 = 32 ¿En qué se basa esta técnica?

La corrección de la recepción quedará clara si tenemos en cuenta que

19X 17 \u003d (18 + 1) X 17 \u003d 18X17 + 17, 9X34 \u003d (8 + 1) X34 \u003d; 8X34 + 34, etc

Es claro que los números 17, 34, etc., perdidos al dividir un número impar por la mitad, deben sumarse al resultado de la última multiplicación para obtener un producto.

Ejemplos de multiplicación acelerada

Mencionamos anteriormente que también hay formas convenientes de realizar esas operaciones de multiplicación individuales en las que se divide cada uno de los trucos anteriores. Algunos de ellos son muy sencillos y convenientemente aplicables, facilitan tanto los cálculos que no interfiere en absoluto en memorizarlos para utilizarlos en los cálculos ordinarios.

Tal, por ejemplo, es la técnica de la multiplicación cruzada, que es muy conveniente cuando se trabaja con números de dos dígitos. El método no es nuevo; se remonta a los griegos y los hindúes y en los viejos tiempos se llamaba el "método del rayo", o "multiplicación por una cruz". Ahora está olvidado, y no está de más recordarlo.

Que sea necesario multiplicar 24X32. Ordene mentalmente el número de acuerdo con el siguiente esquema, uno debajo del otro:

Ahora realizamos los siguientes pasos en secuencia:

1)4X2 = 8 es el último dígito del resultado.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - penúltimo dígito del resultado; recuerdo

3) 2X3 \u003d 6, e incluso teniendo en cuenta la unidad, tenemos

7 es el primer dígito del resultado.

Obtenemos todos los dígitos del producto: 7, 6, 8 - 768.

Después de un breve ejercicio, esta técnica se absorbe muy fácilmente.

Otro método, que consiste en el uso de las llamadas "sumas", se utiliza convenientemente en los casos en que los números multiplicados se acercan a 100.

Supongamos que queremos multiplicar 92X96. La "suma" para 92 a 100 será 8, para 96 ​​- 4. La acción se lleva a cabo de acuerdo con el siguiente esquema: multiplicadores: 92 y 96 "sumas": 8 y 4.

Los dos primeros dígitos del resultado se obtienen simplemente restando el "complemento" del multiplicando del multiplicador o viceversa, es decir, restar 4 de 92 o restar 8 de 96.

En ambos casos tenemos 88; el producto de las "sumas" se atribuye a este número: 8X4 \u003d 32. Obtenemos el resultado 8832.

Que el resultado obtenido debe ser correcto se ve claramente a partir de las siguientes transformaciones:

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88X100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

Otro ejemplo. Se requiere multiplicar 78 por 77: factores: 78 y 77 "sumas": 22 y 23.

78 - 23 \u003d 55, 22 X 23 \u003d 506, 5500 + 506 \u003d 6006.

Tercer ejemplo. Multiplica 99 X 9.

multiplicadores: 99 y 98 "sumas": 1 y 2.

99-2 = 97, 1X2= 2.

En este caso, recuerda que 97 significa aquí el número de centenas. Entonces sumamos.

Candidato de Ciencias Pedagógicas Natalya Karpushina.

Para dominar la multiplicación de números de varios dígitos, solo necesita conocer la tabla de multiplicar y poder sumar números. En esencia, toda la dificultad radica en cómo colocar correctamente los resultados intermedios de la multiplicación (productos parciales). En un esfuerzo por facilitar los cálculos, la gente ha ideado muchas formas de multiplicar números. A lo largo de los siglos de historia de las matemáticas, ha habido varias docenas de ellos.

Multiplicación por el método de la red. Ilustración del primer libro impreso sobre aritmética. 1487.

Palos Napier. Este simple dispositivo de conteo se describió por primera vez en el trabajo de John Napier "Rabdology". 1617.

Juan Napier (1550-1617).

Modelo de máquina calculadora de Schikkard. Este dispositivo informático, que no ha llegado hasta nosotros, fue fabricado por el inventor en 1623 y descrito por él un año después en una carta a Johannes Kepler.

Wilhelm Schickard (1592-1635).

Herencia hindú: una forma de rallar

Los hindúes, que conocen el sistema numérico decimal desde la antigüedad, preferían el relato oral al escrito. Inventaron varias formas de multiplicarse rápidamente. Más tarde, los árabes los tomaron prestados, y de ellos estos métodos pasaron a los europeos. Esos, sin embargo, no se limitaron a ellos y desarrollaron otros nuevos, en particular, el que se estudia en la escuela: la multiplicación por una columna. Este método se conoce desde principios del siglo XV, en el siglo siguiente se estableció firmemente entre los matemáticos y hoy se usa en todas partes. Pero, ¿multiplicar por una columna es la mejor manera de hacer esta operación aritmética? De hecho, existen otros métodos de multiplicación olvidados en nuestro tiempo, no peores, por ejemplo, el método de la red.

Este método se usó en la antigüedad, en la Edad Media se difundió ampliamente en Oriente y en el Renacimiento, en Europa. El método de celosía también se llamó indio, musulmán o "multiplicación en una celda". Y en Italia se llamaba "gelosia", o "multiplicación de celosía" (gelosia traducida del italiano - "persianas", "persianas de celosía"). De hecho, las cifras obtenidas de la multiplicación de números se parecían a persianas-persianas que cerraban las ventanas de las casas venecianas del sol.

Explicaremos la esencia de este simple método de multiplicación con un ejemplo: calcularemos el producto 296 × 73. Comencemos dibujando una tabla con celdas cuadradas, en la que habrá tres columnas y dos filas, según el número de dígitos. en los multiplicadores. Divide las celdas por la mitad en diagonal. Sobre la tabla escribimos el número 296, y verticalmente en el lado derecho el número 73. Multiplicamos cada dígito del primer número con cada dígito del segundo y escribimos los productos en las celdas correspondientes, colocando las decenas sobre la diagonal, y las unidades Por debajo de eso. Los números del producto deseado se obtienen sumando los números en las franjas oblicuas. En este caso, nos moveremos en el sentido de las agujas del reloj, empezando por la celda inferior derecha: 8, 2 + 1 + 7, etc. Escribimos los resultados debajo de la tabla, así como a la izquierda. (Si la suma da como resultado una suma de dos dígitos, indicamos solo las unidades y sumamos las decenas a la suma de los dígitos de la siguiente tira.) Respuesta: 21 608. Entonces, 296 x 73 = 21 608.

El método de celosía no es inferior a la multiplicación de columnas. Es aún más sencillo y fiable, a pesar de que el número de acciones realizadas en ambos casos es el mismo. En primer lugar, solo tiene que trabajar con números de un dígito y de dos dígitos, y son fáciles de operar en la mente. En segundo lugar, no hay necesidad de memorizar los resultados intermedios y hacer un seguimiento del orden en que se escriben. La memoria se descarga y se conserva la atención, por lo que se reduce la probabilidad de error. Además, el método de celosía le permite obtener rápidamente el resultado. Habiéndolo dominado, puedes verlo por ti mismo.

¿Por qué el método de celosía conduce a la respuesta correcta? ¿Cuál es su "mecanismo"? Resolvamos esto usando una tabla construida de manera similar a la primera, solo que en este caso los factores se presentan como las sumas de 200 + 90 + 6 y 70 + 3.

Como puedes ver, hay unidades en la primera tira oblicua, decenas en la segunda, centenas en la tercera y así sucesivamente. Cuando se suman, dan como respuesta, respectivamente, el número de unidades, decenas, centenas, etc. Lo que sigue es obvio:

En otras palabras, de acuerdo con las leyes de la aritmética, el producto de los números 296 y 73 se calcula de la siguiente manera:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21.608.

palos de napier

La multiplicación por el método de celosía subyace en un dispositivo de conteo simple y original: los palos de Napier. Su inventor, John Napier, barón escocés y amante de las matemáticas, se dedicó, junto a profesionales, a mejorar los medios y métodos de cálculo. En la historia de la ciencia, se le conoce principalmente como uno de los creadores de los logaritmos.

El dispositivo consta de diez reglas, en las que se coloca la tabla de multiplicar. En cada celda, separados por una diagonal, se escribe el producto de dos números de un solo dígito del 1 al 9: el número de decenas se indica en la parte superior, el número de unidades se indica en la parte inferior. Una regla (izquierda) es fija, el resto se puede reorganizar de un lugar a otro, presentando la combinación numérica deseada. Usando los palos de Napier, es fácil multiplicar números de varios dígitos, reduciendo esta operación a una suma.

Por ejemplo, para calcular el producto de los números 296 y 73, debes multiplicar 296 por 3 y por 70 (primero por 7, luego por 10) y sumar los números resultantes. Adjuntaremos otros tres a la regla fija, con los números 2, 9 y 6 en la parte superior (deben formar el número 296). Ahora veamos la tercera línea (los números de línea se indican en la regla extrema). Los números que contiene forman un conjunto que ya nos es familiar.

Sumándolos, como en el método de la red, obtenemos 296 x 3 = 888. De manera similar, considerando la séptima fila, encontramos que 296 x 7 = 2072, luego 296 x 70 = 20 720. Así,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Los palos de Napier también se usaron para operaciones más complejas: división y extracción de raíces cuadradas. Este dispositivo de conteo ha intentado mejorar repetidamente y hacerlo más conveniente y eficiente en el trabajo. De hecho, en varios casos, para multiplicar números, por ejemplo, con números repetidos, se necesitaban varios juegos de palos. Pero tal problema se resolvió reemplazando las reglas con cilindros giratorios con una tabla de multiplicar aplicada a la superficie de cada uno de ellos en la misma forma que la presentó Napier. En lugar de un juego de palos, se obtuvieron nueve a la vez.

Tales trucos realmente aceleraron y facilitaron los cálculos, pero no afectaron el principio principal de funcionamiento del dispositivo Napier. Entonces, el método de celosía ganó una segunda vida, que duró varios siglos más.

Máquina Shikkard

Los científicos han pensado durante mucho tiempo en cómo trasladar el difícil trabajo computacional a los dispositivos mecánicos. Los primeros pasos exitosos en la creación de máquinas calculadoras se dieron solo en el siglo XVII. Se cree que el matemático y astrónomo alemán Wilhelm Schickard hizo un mecanismo similar antes que otros. Pero, irónicamente, solo un pequeño círculo de personas lo sabía, y un invento tan útil no fue conocido en el mundo durante más de 300 años. Por lo tanto, no afectó el desarrollo posterior de las instalaciones informáticas. La descripción y los bocetos de la máquina Shikkard se descubrieron hace solo medio siglo en el archivo de Johannes Kepler, y un poco más tarde, según los documentos supervivientes, se creó su modelo de trabajo.

En esencia, la máquina de Schickard es una calculadora mecánica de seis dígitos que realiza sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números. Tiene tres partes: un dispositivo multiplicador, un dispositivo sumador y un mecanismo para almacenar resultados intermedios. La base para el primero fue, como puede suponer, los palos de Napier, enrollados en cilindros. Se montaron en seis ejes verticales y se giraron usando manijas especiales ubicadas en la parte superior de la máquina. Frente a los cilindros había un panel con nueve filas de ventanas, seis cada una, que se abrían y cerraban con pestillos laterales cuando se requería ver los números necesarios y ocultar el resto.

La máquina contadora Shikkard tiene un funcionamiento muy sencillo. Para saber cuál es el producto de 296 x 73, debe colocar los cilindros en una posición en la que aparezca el primer multiplicador en la fila superior de ventanas: 000296. Obtenemos el producto de 296 x 3 abriendo las ventanas de la tercera fila y sumando los números vistos, como en el método de celosía. De la misma manera, al abrir las ventanas de la séptima fila, obtenemos el producto 296 x 7, al que a la derecha le sumamos 0. Solo queda sumar los números que se encuentran en el sumador.

Una vez inventado por los indios, un método rápido y confiable para multiplicar números de varios dígitos, que se ha utilizado en los cálculos durante muchos siglos, ahora está olvidado. Pero podría habernos ayudado incluso hoy, si no fuera por la calculadora tan familiar para todos.

problema: entender los tipos de multiplicación

Objetivo: familiarización con varias formas de multiplicar números naturales que no se usan en las lecciones y su aplicación en el cálculo de expresiones numéricas.
Tareas:
1. Encuentra y analiza varias formas de multiplicación.
2. Aprenda a demostrar algunos de los métodos de multiplicación.
3. Hable sobre nuevos métodos de multiplicación y enseñe a los estudiantes cómo usarlos.
4. Desarrollar habilidades de trabajo autónomo: búsqueda de información, selección y diseño del material encontrado.
5. Experimenta "qué camino es más rápido"
Hipótesis P: ¿Necesito saber la tabla de multiplicar?
Relevancia: Recientemente, los estudiantes confían más en los dispositivos que en ellos mismos. Y por eso solo cuentan con calculadoras. Queríamos mostrar que hay diferentes formas de multiplicar, para que a los estudiantes les resulte más fácil contar y sea interesante aprender.
INTRODUCCIÓN
No puedes hacer multiplicaciones de varios dígitos, ni siquiera multiplicaciones de dos dígitos, si no memorizas todos los resultados de las multiplicaciones de un solo dígito, es decir, lo que se llama una tabla de multiplicar.
En diferentes épocas, diferentes pueblos poseían diferentes formas de multiplicar números naturales.
¿Por qué ahora todos los pueblos usan un método de multiplicar por una “columna”?
¿Por qué la gente abandonó los viejos métodos de multiplicación en favor del moderno?
¿Los métodos olvidados de multiplicación tienen derecho a existir en nuestro tiempo?
Para responder a estas preguntas, hice lo siguiente:
1. Usando Internet, encontré información sobre algunos de los métodos de multiplicación que se usaban antes.;
2. Estudió la literatura ofrecida por el maestro;
3. Resolví un par de ejemplos en todas las formas estudiadas para descubrir sus deficiencias;
4) Identificado entre ellos los más efectivos;
5. Realizó un experimento;
6. Sacar conclusiones.
1. Encuentra y analiza varias formas de multiplicación.
Multiplicación de dedos.

El antiguo método ruso de multiplicar con los dedos es uno de los métodos más comunes que los comerciantes rusos han utilizado con éxito durante muchos siglos. Aprendieron a multiplicar con los dedos números de un solo dígito del 6 al 9. Al mismo tiempo, fue suficiente para dominar las habilidades iniciales de contar con los dedos en "unos", "pares", "triples", "cuatros", " cincos” y “decenas”. Los dedos aquí sirvieron como un dispositivo informático auxiliar.

Para ello, en una mano extendieron tantos dedos como el primer factor excedía el número 5, y en la segunda hicieron lo mismo para el segundo factor. El resto de los dedos estaban doblados. Luego se tomó el número (total) de dedos extendidos y se multiplicó por 10, luego se multiplicaron los números mostrando cuántos dedos estaban doblados en las manos y se sumaron los resultados.

Por ejemplo, multipliquemos 7 por 8. En el ejemplo considerado, se doblarán 2 y 3 dedos. Si sumamos el número de dedos doblados (2+3=5) y multiplicamos el número de dedos no doblados (2 3=6), obtendremos los números de decenas y unidades del producto deseado, respectivamente 56 . Entonces puedes calcular el producto de cualquier número de un solo dígito mayor que 5.

Maneras de multiplicar números en diferentes países.

multiplicar por 9.

La multiplicación para el número 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 - se borra más fácilmente de la memoria y es más difícil de recalcular manualmente mediante la suma, pero es para el número 9 que la multiplicación se reproduce fácilmente "en los dedos". Extienda los dedos de ambas manos y aleje las palmas de las manos. Asigne mentalmente números del 1 al 10 a los dedos, comenzando con el dedo meñique de la mano izquierda y terminando con el dedo meñique de la mano derecha (esto se muestra en la figura).

¿Quién inventó la multiplicación de dedos?

Digamos que queremos multiplicar 9 por 6. Doblamos un dedo con un número igual al número por el que multiplicaremos el nueve. En nuestro ejemplo, debe doblar el dedo con el número 6. El número de dedos a la izquierda del dedo doblado nos muestra el número de decenas en la respuesta, el número de dedos a la derecha, el número de unidades. A la izquierda, tenemos 5 dedos no doblados, a la derecha, 4 dedos. Por lo tanto, 9 6 = 54. La siguiente figura muestra en detalle todo el principio de "cálculo".

Multiplicación de una manera inusual

Otro ejemplo: necesitas calcular 9 8=?. En el camino, diremos que los dedos pueden no actuar necesariamente como una "máquina calculadora". Tomemos, por ejemplo, 10 celdas en un cuaderno. Tachamos la octava celda. Hay 7 celdas a la izquierda, 2 celdas a la derecha. Entonces 9 8 = 72. Todo es muy simple.

7 celdas 2 celdas.

Forma india de multiplicación.

La contribución más valiosa al tesoro del conocimiento matemático se hizo en la India. Los hindúes propusieron la forma en que escribimos los números usando diez signos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

La base de este método es la idea de que un mismo dígito representa unidades, decenas, centenas o miles, dependiendo de dónde ocupe esta cifra. El lugar ocupado, en ausencia de dígitos, está determinado por los ceros asignados a los números.

Los indios pensaron bien. Se les ocurrió una manera muy simple de multiplicar. Realizaron la multiplicación, comenzando con el orden más alto, y anotaron los productos incompletos justo encima del multiplicando, poco a poco. Al mismo tiempo, el dígito senior del producto completo era inmediatamente visible y, además, se excluía la omisión de cualquier dígito. Aún no se conocía el signo de la multiplicación, por lo que dejaron una pequeña distancia entre los factores. Por ejemplo, multipliquemos de la manera 537 por 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

6
Multiplicación por el método del "PEQUEÑO CASTILLO".

La multiplicación de números ahora se estudia en el primer grado de la escuela. Pero en la Edad Media, muy pocos dominaban el arte de la multiplicación. Un aristócrata raro podría presumir de conocer la tabla de multiplicar, incluso si se graduó de una universidad europea.

A lo largo de los milenios del desarrollo de las matemáticas, se han inventado muchas formas de multiplicar números. El matemático italiano Luca Pacioli, en su tratado La suma del conocimiento en aritmética, relaciones y proporcionalidad (1494), enumera ocho métodos diferentes de multiplicación. El primero de ellos se llama "Pequeño Castillo", y el segundo no menos romántico se llama "Celos o Multiplicación Lattice".

La ventaja del método de multiplicación "Pequeño castillo" es que los dígitos de los dígitos más altos se determinan desde el principio, y esto puede ser importante si necesita estimar rápidamente el valor.

Los dígitos del número superior, a partir del dígito más significativo, se multiplican alternativamente por el número inferior y se escriben en una columna con la adición del número requerido de ceros. Luego se suman los resultados.

Maneras de multiplicar números en diferentes países.

Multiplicar números usando el método de los "celos".

"Métodos de multiplicación El segundo método se llama románticamente celos", o "multiplicación de celosía".

Primero, se dibuja un rectángulo, se divide en cuadrados y las dimensiones de los lados del rectángulo corresponden al número de lugares decimales para el multiplicando y el multiplicador. Luego, las celdas cuadradas se dividen en diagonal y "... resulta una imagen que parece persianas de celosía, persianas", escribe Pacioli. “Estas persianas se colgaban en las ventanas de las casas venecianas, evitando que los transeúntes vieran a las damas y monjas sentadas en las ventanas”.

De esta manera multiplicamos 347 por 29. Dibuja una tabla, escribe el número 347 arriba y el número 29 a la derecha.

En cada línea escribimos el producto de los números arriba de esta celda ya la derecha de ella, mientras que el número de decenas del producto se escribe arriba de la barra y el número de unidades debajo. Ahora agregue los números en cada barra haciendo esta operación, de derecha a izquierda. Si la cantidad es inferior a 10, lo escribimos debajo del número inferior de la banda. Si resulta ser más de 10, escribimos solo el número de unidades de la suma y sumamos el número de decenas a la siguiente cantidad. Como resultado, obtenemos el producto deseado 10063.

Forma campesina de multiplicación..

En mi opinión, el método de multiplicación más "nativo" y fácil es el método utilizado por los campesinos rusos. Esta técnica generalmente no requiere conocimiento de la tabla de multiplicar más allá del número 2. Su esencia es que la multiplicación de dos números cualesquiera se reduce a una serie de divisiones sucesivas de un número por la mitad mientras se duplica otro número. La bisección continúa hasta que el cociente es 1, mientras se duplica el otro número en paralelo. El último número duplicado da el resultado deseado.

En el caso de un número impar, se debe descartar la unidad y dividir el resto por la mitad; pero por otro lado, al último número de la columna de la derecha habrá que sumar todos aquellos números de esta columna que estén en contra de los números impares de la columna de la izquierda: la suma será el producto deseado

El producto de todos los pares de números correspondientes es el mismo, entonces

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

En el caso de que uno de los números sea impar o ambos números sean impares, se procede de la siguiente manera:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Una nueva forma de multiplicar.

Recientemente se ha informado de una nueva forma interesante de multiplicar. Vasily Okoneshnikov, el inventor del nuevo sistema de conteo mental, afirma que una persona puede memorizar una gran cantidad de información, lo principal es cómo organizar esta información. Según el propio científico, el sistema de nueve decimales es el más ventajoso en este sentido: todos los datos simplemente se colocan en nueve celdas dispuestas como botones en una calculadora.

Es muy fácil contar de acuerdo con una tabla de este tipo. Por ejemplo, multipliquemos el número 15647 por 5. En la parte de la tabla correspondiente al cinco, seleccionamos los números correspondientes a los dígitos del número en orden: uno, cinco, seis, cuatro y siete. Obtenemos: 05 25 30 20 35

El dígito de la izquierda (en nuestro ejemplo, cero) no se modifica y los siguientes números se suman en pares: cinco con dos, cinco con tres, cero con dos, cero con tres. El último dígito tampoco cambia.

Como resultado, obtenemos: 078235. El número 78235 es el resultado de la multiplicación.

Si, al sumar dos dígitos, se obtiene un número superior a nueve, entonces su primer dígito se suma al dígito anterior del resultado, y el segundo se escribe en su lugar "propio".

Conclusión.

Mientras trabajaba en este tema, aprendí que hay alrededor de 30 formas diferentes, divertidas e interesantes de multiplicar. Algunos todavía están en uso hoy en día en varios países. Elegí algunas formas interesantes para mí. Pero no todos los métodos son convenientes de usar, especialmente cuando se multiplican números de varios dígitos.

Métodos de multiplicación