Diferencijalni račun funkcija više varijabli mpr 2. Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli. Pitanja za ispit iz matematike. II semestar

Pitanja za ispit iz matematike. II semestar.

Prilikom odgovaranja na pitanje potrebno je definisati sve termine koji se koriste.

Algebra.

1. Grupe, prstenovi, polja. Grupni izomorfizam.

2. Definicija linearnog prostora. Teorema o linearno zavisnim i nezavisnim sistemima vektora.

3. Teorema o linearnoj zavisnosti sistema od k vektora, od kojih je svaki linearna kombinacija nekog sistema od m vektora (k>m).

4. Osnova linearnog prostora. Teorema o invarijantnosti broja elemenata baze. Teorema o broju elemenata linearno nezavisnog sistema (T. 1.3, T.1.4).

5. Vektorske koordinate. Teoreme o vektorskim koordinatama (T.1.5 i T.1.7).

6. Definicija i svojstva skalarnog proizvoda. Ugao između vektora.

7. Prostori i .

8. Podprostor linearnog prostora. Linearni raspon sistema vektora.

9. Matrice: definicija; sabiranje i množenje. Dimenzija i osnova prostora matrica iste veličine.

10. Množenje matrice. Svojstva.

11. Inverzne i transponovane matrice.

12. Množenje matrica podijeljenih u blokove.

13. Ortogonalne matrice.

14. Determinanta matrice: definicija, proširenje u prvom stupcu. Determinanta gornje i donje trokutaste matrice. Odnos determinanti i .

15. Permutacije.

16. Teorema o izrazu determinante u terminima zbira članova, od kojih svaki sadrži proizvod matričnih elemenata (po jedan iz svakog reda i svake kolone), opremljenih znakom prema nekom pravilu.

17. Svojstva determinanti: permutacija redova (kolona), proširenje u proizvoljni stupac (red), zbir proizvoda elemenata i-tog reda algebarskim komplementama odgovarajućih elemenata j-tog reda.

18. Linearnost determinante nad elementima reda ili kolone. Determinanta matrice čiji su redovi (kolone) linearno zavisni. Determinanta matrice kojoj se nekom redu dodaje drugi, pomnožen brojem.

19. Determinanta blok matrice. Odrednica proizvoda matrica.

20. Inverzna matrica. Posljedice o trokutnim matricama.

21. Matrice elementarnih transformacija.

22. Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina u slučaju kada su sistemi nekonzistentni ili imaju jedinstveno rješenje.

23. Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina u slučaju kada sistemi imaju beskonačno mnogo rješenja. Struktura općeg rješenja sistema.

24. Homogeni sistemi linearnih jednadžbi.

25. Cramerova teorema.

26. Horizontalni i vertikalni rangovi matrice. Minor rank. Njihova koincidencija za trapezoidnu matricu.

27. Invarijantnost ranga matrice kada se pomnoži sa nedegenerisanim. Teorema o jednakosti rangova za proizvoljnu matricu.

28. Kronecker-Capelli teorema.

29. Vlastite vrijednosti i matrični vektori. Koincidencija karakterističnih polinoma za slične matrice. Linearna nezavisnost svojstvenih vektora koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima.

30. Odnos između linearne zavisnosti sistema vektora i odgovarajućeg sistema koordinatnih stubova. Komunikacija koordinatnih stupaca jednog vektora u različitim bazama.

31. Linearno preslikavanje linearnih prostora. Prikaz matrice u nekim bazama. Koristi se za izračunavanje slike vektora. Odnos matrica preslikavanja u različitim bazama.

32. Kernel i prikazna slika. Rang prikaza, njegov odnos sa rangom matrice prikaza.

33. Vlastite vrijednosti i svojstveni vektori operatora. Matrica operatora u osnovi sopstvenih vektora.

34. Linearna nezavisnost svojstvenih vektora koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima operatora. Svojstveni podprostori, njihova dimenzija. Posljedice.

35. Euklidski i unitarni prostori. Gram-Schmidtov proces ortogonalizacije.

36. Teorema o svojstvenim vrijednostima i svojstvenim vektorima realne simetrične matrice.

37. Teorema ortogonalne sličnosti za realnu simetričnu matricu prema nekoj dijagonalnoj matrici. Posljedice.

38. Definicija bilinearnih i kvadratnih oblika. Matrica bilinearne forme u nekoj osnovi, njena upotreba za izračunavanje bilinearne forme. Povezivanje matrica istog bilinearnog oblika u različitim bazama.

39. Teorema o postojanju ortogonalne transformacije baze koja svodi kvadratni oblik na kanonski oblik. Praktična metoda za redukciju kvadratnog oblika na kanonski oblik korištenjem ortogonalne transformacije baze (metoda vlastitih vektora). Konstrukcija krivulje

40. Teorema o neophodnom i dovoljnom uslovu za pozitivnu (negativnu) određenost kvadratnog oblika.

41. Teorema o postojanju trokutne transformacije baze koja svodi kvadratni oblik na kanonski oblik. Silvesterov kriterijum.

Matematička analiza.

Diferencijalni račun funkcija više varijabli.

42. Niz tačaka u .Teorema o koordinatnoj konvergenciji.

43. Granica funkcije R varijable. Kontinuitet funkcije R varijable. Weierstrassova teorema.

44. Diferencijabilnost funkcije R varijable. Diferencijabilnost zbira i proizvoda diferencijabilnih funkcija.

45. Parcijalni izvod funkcija R varijable. Odnos između diferencijabilnosti funkcije i postojanja parcijalnih izvoda. Primjer funkcije koja ima parcijalne izvode u tački A, ali nije diferencibilna u toj tački.

46. ​​Diferencijabilnost funkcije u slučaju postojanja i kontinuiteta parcijalnih izvoda.

47. Derivat kompleksne funkcije. Parcijalni derivati ​​kompleksne funkcije. Invarijantnost oblika prvog diferencijala.

48. Parcijalni derivati ​​višeg reda. Teorema o jednakosti mješovitih izvoda.

49. Diferencijali višeg reda. Odsustvo invarijantnosti oblika za diferencijale reda većeg od prvog.

50. Taylorova formula za funkcije p varijabli.

51. Teorema o postojanju i diferencijabilnosti implicitno date funkcije jedne varijable. Izračunavanje prvog i drugog izvoda funkcije y(x), dato implicitno jednačinom

52. Teorema o postojanju i diferencijabilnosti implicitno datih funkcija p varijabli datih sistemom funkcionalnih jednačina. Tehnike izračunavanja derivata. Izračunavanje prvog i drugog izvoda funkcije z(x,y), dato implicitno jednačinom

.

Izračunavanje prvih izvoda funkcija y(x), z(x), u(x), implicitno postavljeno od strane sistema

.

53. Određivanje točaka ekstrema funkcije više varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstremnih tačaka.

54. Određivanje uvjetnih ekstremnih tačaka funkcije više varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje tačaka uslovnog ekstrema. Primjer: pronađite uvjetne ekstremne točke funkcije pod uvjetom .

Prilikom odgovaranja za ocjenu 3 potrebno je znati sve definicije i formulacije iz pitanja 1 - 54, kao i dokaze teorema iz pitanja 25, 29, 33, 40, 46, 49. Napomene (i varalice) se ne mogu korišteno.

Funkcija n varijabli Varijabla u se naziva funkcijom od n varijabli (argumenata) x, y, z, …, t, ako je svaki sistem vrijednosti x, y, z, …, t, iz raspona njihovih promjena ( domenu definicije), odgovara određenoj vrijednosti u. Domen funkcije je skup svih tačaka u kojima ona ima određene realne vrijednosti. Za funkciju dvije varijable z=f(x, y), domen definicije predstavlja određeni skup tačaka u ravni, a za funkciju od tri varijable u=f(x, y, z) predstavlja određeni skup skup tačaka u prostoru.

Funkcija dvije varijable Funkcija dvije varijable je zakon prema kojem svaki par vrijednosti nezavisnih varijabli x, y (argumenata) iz domene definicije odgovara vrijednosti zavisne varijable z (funkcija). Ova funkcija se označava na sljedeći način: z = z(x, y) ili z= f(x, y) ili drugim standardnim slovom: u=f(x, y), u = u (x, y)

Parcijalni izvod prvog reda Parcijalni izvod funkcije z = f (x, y) u odnosu na nezavisnu varijablu x je konačna granica izračunata na konstanti y Djelomični izvod u odnosu na y je konačna granica izračunata na a konstanta x Za parcijalne izvode vrijede uobičajena pravila i formule diferencijacije.

Ukupni diferencijal funkcije z =f(x, y) izračunava se po formuli. Ukupni diferencijal funkcije tri argumenta u =f(x, y, z) izračunava se po formuli

Parcijalni izvod višeg reda Parcijalni izvod drugog reda funkcije z =f(x,y) je parcijalni izvod njenih parcijalnih izvoda prvog reda.Slično se definiraju i označavaju parcijalni izvodnici trećeg i višeg reda.

Diferencijali višeg reda Diferencijal drugog reda funkcije z=f(x, y) je diferencijal njenog plitkog diferencijala Diferencijali višeg reda se izračunavaju po formuli Postoji simbolička formula

Diferencijacija kompleksnih funkcija Neka je z=f(x, y), gdje je x=φ(t), y=ψ(t) i funkcije f(x, y), φ(t), ψ(t) su diferencijabilne. Tada se derivacija kompleksne funkcije z=f[φ(t), ψ(t)] izračunava po formuli

Diferencijacija implicitnih funkcija Derivati ​​implicitne funkcije dvije varijable z=f(x, y), date jednadžbom F(x, y, z)=0, mogu se izračunati po formulama

Ekstremum funkcije Funkcija z=f(x, y) ima maksimum (minimum) u tački M 0(x 0; y 0) ako je vrijednost funkcije u ovoj tački veća (manja) od njene vrijednosti u bilo kojoj drugoj tački M(x; y ) neke okoline tačke M 0. Ako diferencijabilna funkcija z=f(x, y) dostigne ekstrem u tački M 0(x 0; y 0), tada je njena prva parcijalni derivati ​​-reda jednaki su nuli u ovoj tački, tj. (neophodni ekstremni uslovi).

Neka je M 0(x 0; y 0) stacionarna tačka funkcije z=f(x, y). Označimo I napravimo diskriminanta Δ=AC B 2. Tada: Ako je Δ>0, tada funkcija ima ekstrem u tački M 0, odnosno maksimum u A 0 (ili C>0); Ako je Δ

Antiderivativna funkcija Funkcija F(x) naziva se antiderivativna za funkciju f(x) na intervalu X=(a, b) ako je u svakoj tački ovog intervala f(x) izvod za F(x), tj. Iz ove definicije slijedi da je problem pronalaženja antiderivata inverzan problemu diferencijacije: za datu funkciju f(x), potrebno je pronaći funkciju F(x) čiji je izvod jednak f(x).

Neodređeni integral Skup svih antiderivata funkcije F(x)+C za f(x) naziva se neodređenim integralom funkcije f(x) i označava se simbolom. Dakle, po definiciji, gdje je C proizvoljna konstanta; f(x) integrand; f(x) dx integrand; x varijabla integracije; neodređeni integralni znak.

Svojstva neodređenog integrala 1. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu, a derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu: 2. Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je zbiru ovog funkcija i proizvoljna konstanta:

3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala: 4. Neodređeni integral algebarskog zbira konačnog broja kontinuiranih funkcija jednak je algebarskom zbiru integrala članova funkcija: 5. Ako, onda i gdje je u=φ(x) proizvoljna funkcija koja ima kontinuirani izvod

Osnovne metode integracije Metoda direktne integracije Metoda integracije u kojoj se dati integral svodi na jedan ili više tabličnih integrala identičnim transformacijama integrala (ili izraza) i primjenom svojstava neodređenog integrala naziva se direktna integracija.

Prilikom svođenja ovog integrala na tabelarni, često se koriste sljedeće transformacije diferencijala (operacija „dovođenja pod znak diferencijala“):

Promjena varijable u neodređenom integralu (integracija supstitucije) Metoda integracije zamjene sastoji se u uvođenju nove integracione varijable. U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Neka je potrebno izračunati integral. Napravimo zamjenu x = φ(t), gdje je φ(t) funkcija koja ima kontinuirani izvod. Tada je dx=φ "(t)dt i na osnovu svojstva invarijantnosti neodređene integralne formule integracije, dobijamo integracijsku formulu zamjenom

Integracija po dijelovima Formula integracije po dijelovima Formula omogućava da se izračunavanje integrala svede na izračunavanje integrala, što se može pokazati mnogo jednostavnijim od originalnog.

Integracija racionalnih razlomaka Racionalni razlomak je razlomak oblika P(x)/Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi. Racionalni razlomak se naziva pravim ako je stepen polinoma P(x) niži od stepena polinoma Q(x); inače, razlomak se naziva nepravilan razlomak. Najjednostavniji (elementarni) razlomci su regularni razlomci sljedećeg oblika: gdje su A, B, p, q, a realni brojevi.

Prvi integral najjednostavnijeg razlomka IV tipa na desnoj strani jednadžbe lako se nalazi zamjenom x2+px+q=t, a drugi se transformira na sljedeći način: Postavljanjem x+p/2=t, dx=dt mi dobiti i označiti qp 2/4=a 2 ,

Integracija racionalnih razlomaka korištenjem dekompozicije na proste razlomke Prije integracije racionalnog razlomka P(x)/Q(x), potrebno je izvršiti sljedeće algebarske transformacije i proračune: 1) Ako je dat nepravilan racionalni razlomak, onda izaberite cijeli broj iz to, tj. u obliku gdje je M(x) polinom, a P 1(x)/Q(x) je pravi racionalni razlomak; 2) Proširiti imenilac razlomka na linearne i kvadratne faktore: gdje je r2/4 q

3) Rastaviti tačan racionalni razlomak na jednostavne razlomke: 4) Izračunati neodređene koeficijente A 1, A 2, ..., Am, ..., B 1, B 2, ..., Bm, ..., C 1, C 2, ..., Cm, ... , za koji posljednju jednakost dovodimo do zajedničkog nazivnika, izjednačavamo koeficijente na istim potencijama x u lijevom i desnom dijelu rezultirajućeg identiteta i rješavamo sistem linearnih jednadžbi u odnosu na željene koeficijente.

Integracija najjednostavnijih iracionalnih funkcija 1. Integrali oblika gdje je R racionalna funkcija; m 1, n 1, m 2, n 2, … cijeli brojevi. Koristeći zamjenu ax+b=ts, gdje je s najmanji zajednički višekratnik brojeva n 1, n 2, ..., navedeni integral se pretvara u integral racionalne funkcije. 2. Integral oblika Takvi integrali, odabirom kvadrata iz kvadratnog trinoma, svode se na tablične integrale 15 ili 16

3. Integral oblika Da bismo pronašli ovaj integral, u brojiocu biramo derivaciju kvadratnog trinoma, koji se nalazi pod predznakom korijena, i proširujemo integral u zbir integrala:

4. Integrali oblika Zamjenom x α=1/t ovaj integral se svodi na razmatranu tačku 2. 5. Integrali oblika gdje je Rn(h) polinom n-tog stepena. Integral ove vrste nalazi se korištenjem identiteta gdje je Qn 1(x) polinom (n 1) th stepena sa neodređenim koeficijentima, λ je broj. Diferencirajući navedeni identitet i svodeći rezultat na zajednički nazivnik, dobijamo jednakost dva polinoma iz kojih možemo odrediti koeficijente polinoma Qn 1(x) i broja λ.

6. Integrali diferencijalnih binoma gdje su m, n, p racionalni brojevi. Kako je dokazao PL Čebišev, integrali diferencijalnih binoma se izražavaju u terminima elementarnih funkcija samo u tri slučaja: 1) p je cijeli broj, tada se ovaj integral svodi na integral racionalne funkcije zamjenom x=ts, gdje je s najmanji zajednički višestruki nazivnici razlomaka m i n. 2) (m+1)/n je cijeli broj, u ovom slučaju ovaj integral je racionaliziran zamjenom a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+r je cijeli broj, u ovom slučaju zamjenska os n+b=ts vodi istom cilju, gdje je s imenilac razlomka r.

Integracija trigonometrijskih funkcija Integrali oblika gdje je R racionalna funkcija. Pod znakom integrala je racionalna funkcija sinusa i kosinusa. U ovom slučaju je primjenjiva univerzalna trigonometrijska zamjena tg(x/2)=t, koja ovaj integral svodi na integral racionalne funkcije novog argumenta t (tabela str. 1). Postoje i druge zamjene kao što je prikazano u sljedećoj tabeli:

Definitivni integral funkcije f(x) na segmentu je granica integralnih suma, pod uslovom da dužina najvećeg parcijalnog segmenta Δhi teži nuli. Brojevi a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije. Cauchyjev teorem. Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu , tada definitivni integral postoji

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="(!LANG:Ako je f(x)>0 na segmentu, tada je definitivni integral geometrijski površina ​krivolinijski"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

Pravila za izračunavanje definitivnih integrala 1. Newton Leibniz formula: gdje je F(x) antiderivat za f(x), tj. F(x)‘= f(x). 2. Integracija po dijelovima: gdje su u=u(x), v=v(x) kontinuirano diferencibilne funkcije na segmentu .

3. Promjena varijable gdje je x=φ(t) funkcija koja je kontinuirana zajedno sa svojim izvodom φ' (t) na segmentu α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ( t)] – funkcija je kontinuirana na [α; β] 4. Ako je f(x) neparna funkcija, tj. f(x)= f(x), onda ako je f(x) parna funkcija, tj. f(x)=f(x), onda.

Nepravilni integrali Nepravilni integrali su: 1) integrali sa beskonačnim granicama; 2) integrali neograničenih funkcija. Nepravilni integral funkcije f (x) u rasponu od a do + beskonačno je definiran jednakošću Ako ova granica postoji i konačna je, onda se nepravilni integral naziva konvergentan; ako granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti, divergentna Ako funkcija f(x) ima beskonačan diskontinuitet u tački iz segmenta i kontinuirana je za a≤x

U proučavanju konvergencije nepravilnih integrala koristi se jedan od znakova poređenja. 1. Ako su funkcije f(x) i φ(x) definirane za sve h≥a i integrabilne su na segmentu , gdje je A≥a, i ako je 0≤f(x)≤φ(x) za sve h≥ a, onda iz konvergencije integrala implicira konvergenciju integrala, i 2. 1 Ako je za x→+∞ funkcija f(x)≤0 infinitezimalna reda p>0 u poređenju sa 1/x, tada integral konvergira za p>1 i divergira za p≤1 2. 2 Ako je funkcija f(x) ≥ 0 definirana i kontinuirana u intervalu a ≤ x

Izračunavanje površine ravne figure Površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y=f(x), pravim linijama x=a i x=b i segmentom ose OX izračunava se po formuli Površina figure ograničene krivuljom y=f 1(x) i y=f 2(x) i pravim linijama x=a i x=b nalazi se po formuli, a segment ose OX se izračunava pomoću formule gdje su t 1 i t 2 određeni iz jednačine a = x (t 1), b = x (t 2) dva polarna radijusa θ=α, θ=β (α

Izračunavanje dužine luka ravne krive Ako je kriva y=f(x) na segmentu glatka (tj. derivacija y'=f'(x) je kontinuirana), tada je dužina odgovarajućeg luka ove krive pronađeno po formuli (t), y=y(t) [x(t) i y(t) su kontinuirano diferencirane funkcije] dužina luka krive, koja odgovara monotonoj promjeni parametra t od t 1 do t 2, izračunava se po formuli Ako je glatka kriva data u polarnim koordinatama jednačinom ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, tada je dužina luka jednaka.

Proračun volumena tijela 1. Proračun volumena tijela iz poznatih površina poprečnih presjeka. Ako se površina poprečnog presjeka tijela, ravan okomita na osu OX, može izraziti kao funkcija od x, tj. u obliku S=S(x) (a≤x≤b), zapremina dijela tijela zatvorenog između ravnina okomitih na osu OX x= a i x=b, nalazi se po formuli 2. Izračunavanje zapremine tijela okretanja. Ako se krivolinijski trapez omeđen krivom y=f(x) i pravim linijama y=0, x=a, x=b rotira oko ose OX, tada se zapremina tijela okretanja izračunava po formuli Ako je figura omeđen krivuljama y1=f 1(x) i y2=f 2(x) i pravim linijama x=a, x=b, rotira oko ose OX, tada je zapremina subjekta rotacije jednaka.

Izračunavanje površine rotacije Ako se luk glatke krive y=f(x) (a≤h≤b) rotira oko ose OX, tada se površina površine rotacije izračunava po formuli Ako je kriva data parametarskim jednačinama x=x(t), y=y(t ) (t 1≤t≤t 2), onda.

Osnovni koncepti Diferencijalna jednadžba je jednačina koja povezuje nezavisne varijable, njihovu funkciju i derivate (ili diferencijale) ove funkcije. Ako postoji jedna nezavisna varijabla, onda se jednačina naziva običnom, a ako postoje dvije ili više nezavisnih varijabli, tada se jednačina naziva parcijalna diferencijalna jednadžba.

Jednadžba prvog reda Funkcionalna jednačina F(x, y, y) = 0 ili y = f(x, y) koja povezuje nezavisnu varijablu, željenu funkciju y(x) i njen izvod y (x), naziva se prvim redom diferencijalna jednadžba. Rješenje jednadžbe prvog reda je bilo koja funkcija y= (x), koja, budući da je zamijenjena u jednačinu zajedno sa svojim izvodom y = (x), pretvara je u identitet u odnosu na x.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda je funkcija y = (x, C) koja je, za bilo koju vrijednost parametra C, rješenje ove diferencijalne jednadžbe. Jednačina F(x, y, C)=0, koja definiše opšte rešenje kao implicitnu funkciju, naziva se opštim integralom diferencijalne jednačine.

Jednačina riješena u odnosu na izvod Ako je jednadžba prvog reda riješena u odnosu na izvod, onda se može predstaviti kao Njeno opće rješenje je geometrijski porodica integralnih krivulja, odnosno skup linija koje odgovaraju različitim vrijednostima. konstante C.

Izjava Cauchyjevog problema Problem pronalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe koja zadovoljava početni uvjet u naziva se Cauchyjev problem za jednačinu prvog reda. Geometrijski, to znači: pronaći integralnu krivu diferencijalne jednadžbe koja prolazi kroz datu tačku.

Jednačina odvojene varijable Diferencijalna jednačina se naziva jednačina odvojene varijable. Diferencijalna jednadžba 1. reda naziva se jednadžba sa odvojivim varijablama ako ima oblik: Da biste riješili jednačinu, podijelite oba njena dijela proizvodom funkcija, a zatim integrirajte.

Homogene jednadžbe Diferencijalna jednačina prvog reda naziva se homogenom ako se može svesti na oblik y = ili na oblik gdje su i homogene funkcije istog reda.

Linearne jednadžbe prvog reda Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se linearnom ako sadrži y i y' do prvog stupnja, tj. ima oblik. Takva se jednadžba rješava zamjenom y=uv, gdje su u i v pomoćne nepoznate funkcije koje se nalaze zamjenom pomoćnih funkcija u jednadžbu i na jednu od funkcija se postavljaju određeni uvjeti.

Bernulijeva jednadžba Bernulijeva jednadžba je jednadžba prvog reda koja ima oblik

Diferencijalne jednadžbe 2. reda Jednadžba 2. reda ima oblik Ili Opće rješenje jednadžbe drugog reda je funkcija koja je, za bilo koju vrijednost parametara, rješenje ove jednadžbe.

Cauchyjev problem za jednačinu 2. reda Ako je jednačina 2. reda riješena u odnosu na drugi izvod, tada se za takvu jednačinu javlja sljedeći problem: pronaći rješenje jednadžbe koje zadovoljava početne uslove: i Ovaj problem se naziva Cauchyjev problem za diferencijalnu jednačinu 2. reda.

Teorem postojanja i jedinstvenosti za rješenje jednačine drugog reda Ako u jednadžbi funkcija i njeni parcijalni derivati ​​u odnosu na argumente i kontinuirani su u nekoj domeni koja sadrži točku, tada postoji i jedinstveno rješenje ove jednadžbe koje zadovoljava uslove i.

Jednačine 2. reda koje omogućavaju redukciju reda Najjednostavnija jednačina 2. reda rješava se dvostrukom integracijom. Jednačina koja ne sadrži eksplicitno y rješava se zamjenom, jednačina koja ne sadrži x rješava se zamjenom, .

Linearne homogene jednadžbe Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda je jednačina.Ako su svi koeficijenti ove jednadžbe konstantni, onda se jednačina naziva jednačina sa konstantnim koeficijentima.

Svojstva rješenja linearne homogene jednadžbe Teorem 1. Ako je y(x) rješenje jednačine, tada je Cy(x), gdje je C konstanta, također rješenje ove jednačine.

Svojstva rješenja linearne homogene jednadžbe Teorem 2. Ako su i rješenja jednačine, onda je njihov zbir također rješenje ove jednačine. Posljedica. Ako je i rješenje jednadžbe, onda je funkcija također rješenje te jednadžbe.

Linearno zavisne i linearno nezavisne funkcije Dvije funkcije i nazivaju se linearno zavisne od nekog intervala ako je moguće izabrati takve brojeve a ne jednake nuli u isto vrijeme da je linearna kombinacija ovih funkcija identično jednaka nuli na ovom intervalu, tj.

Ako se takvi brojevi ne mogu odabrati, tada se funkcije i pozivaju linearno neovisno o naznačenom intervalu. Funkcije će biti linearno zavisne ako i samo ako je njihov omjer konstantan, tj.

Teorema o strukturi opšteg rješenja linearne homogene jednadžbe 2. reda Ako su linearno nezavisna parcijalna rješenja 2. reda LOE, onda je njihova linearna kombinacija gdje su i proizvoljne konstante, opšte rješenje ove jednačine.

Linearna homogena jednačina 2. reda sa konstantnim koeficijentima Jednačina se naziva karakteristična jednačina linearne jednačine. Dobiva se iz LOE zamjenom derivata sa potencijom k koja odgovara redu.

Elementi više algebre (8 sati)

Primjena diferencijalnog računa na proučavanje funkcija i crtanje (26 sati)

Diferencijalni račun funkcija jedne varijable

(30 sati)

2.1. Lokalna i globalna svojstva funkcije. Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu (prva i druga Weierstrassova teorema i teorema
Cauchy). Definicija i svojstva derivirane funkcije. Geometrijsko i mehaničko značenje izvedenice.

2.2. Derivat kompleksne funkcije. Derivat inverzne funkcije. Derivati ​​inverznih trigonometrijskih funkcija. Funkcije postavljene
parametarski. njihovu diferencijaciju. Tablice izvoda najjednostavnijih elementarnih funkcija. Diferencijal i njegova svojstva.

2.3. Derivati ​​i diferencijali višeg reda. Drugi derivat
iz funkcije specificirane parametarski. Izvod vektorske funkcije i
njegovo geometrijsko značenje. Povećavajuća (opadajuća) funkcija u tački.
Teoreme Rollea, Lagrangea, Cauchyja. Posljedice iz Lagrangeove teoreme.
Pronalaženje lokalnih i globalnih ekstrema funkcija. Otkrivanje
neizvjesnosti prema L'Hopitalovom pravilu.

3.1. Taylor formula i serija. Binomna teorema. Taylorove formule za elementarne funkcije. Konveksnost funkcije. Pregibne tačke. Asimptote funkcije. Konstrukcija grafova funkcija.

3.2 Vektorske funkcije skalarnog argumenta i njihova diferencijacija.
Mehaničko i geometrijsko značenje izvedenice. Jednačine tangentne prave i normalne ravni.

3.3 Zakrivljenost i polumjer zakrivljenosti ravne krive.

4.1. Kompleksni brojevi, radnje na njima. Integrisana slika
brojevi u avionu. geometrijsko značenje. Modul i argument kompleksnog broja. Algebarski i trigonometrijski oblici kompleksnog broja. Ojlerova formula.

4.2. Polinomi. Bezoutova teorema. Osnovni teorem algebre. Razgradnja
polinom sa realnim koeficijentima na linearne i kvadratne faktore. Dekompozicija racionalnih razlomaka na jednostavne.

varijable (20 sati)

5.1. Domain. Granica funkcije, kontinuitet. Diferencijabilnost funkcije više varijabli, parcijalnih izvoda i
totalni diferencijal, veza sa parcijalnim derivatima. Derivati
od složenih funkcija. Invarijantnost oblika totalnog diferencijala.
Derivati ​​implicitne funkcije.

5.2. Tangentna ravan i normalna površina. Geometrijski
značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable.

5.3. Parcijalni derivati ​​višeg reda. Teorema o nezavisnosti rezultata diferencijacije od reda diferencijacije. Diferencijali višeg reda.

5.4. Zakrivljenost i torzija prostorne krive. Frenet formule.

5.5. Taylor formula za funkciju nekoliko varijabli. Ekstremi
funkcije nekoliko varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem. Uslovni ekstrem. Najveće i najmanje vrijednosti funkcija u zatvorenom području. Metoda Lagrangeovih množitelja.
Primjeri primjene u potrazi za optimalnim rješenjima.

Diferencijalni račun funkcije više varijabli

Osnovna definicija i koncepti.

1. Slika funkcije dvije varijable, domena definicije i promjena funkcije.

2. Parcijalni derivati, njihovo geometrijsko značenje.

3. Derivati ​​višeg reda.

4. Diferencijal funkcije dvije varijable, približna izračunavanja pomoću diferencijala.

5. Tangentna ravan i normalna na površinu.

Varijabilna zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">G po zakonu (pravilo) f : (x, y) → z(z = f(x, y) ) uspostavlja se korespondencija jedan na jedan.

Mnogo G pozvao opseg funkcije z = f(x, y) i označeno

Mnogo Z pozvao opseg funkcije z = f(x, y) i označeno E(z).

Funkcija dvije varijable može se označiti:

ali) eksplicitno z = f(x, y); z = φ (x, y); z = z(x, y);

b) implicitno F(x, y, z(x, y))=0.

ako ( x0,y0)https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" width="76 height=24" height="24">; E(z) ≥ 0.

raspored funkcije duh varijabli je površina u prostoru .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; prikazati u avionu howe

skup tačaka domene definicije ovih funkcija.

1) Zakon (pravilo) korespondencije funkcije i parova nezavisnih varijabli z = f(x, y) je logaritamski, dakle (x - y)>0, tj x > y. Domain je skup tačaka u ravni howe, leži ispod linije y = x, ne uključujući tačke koje pripadaju pravoj, pa je prikazano kao isprekidana linija.

Promijenite područje prema zakonu funkcionalne zavisnosti z .

2) Zakon (pravilo) usklađenosti z = f(x, y) ,

zbog toga (y - x2) ≥ 0, tj y ≥ x2. Domain –

skup ravnih tačaka howe leži unutra

parabole y ≥ x2, uključujući tačke koje pripadaju

parabola (granica područja). Promijenite područje on

zakon funkcionalne zavisnosti z ≥ 0.

Definicija parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable i njihovo geometrijsko značenje.

Parcijalne derivacijske funkcije z= f(x, y) nazivaju se granice omjera prirasta funkcije z = z(x, y) na prirast odgovarajućeg argumenta duž pravca Oh ili OU at Δ x → 0 I Δ y → 0 odnosno:

Parcijalni izvod u odnosu na x:

pri izračunavanju uzeti u obzir x = const.

Geometrijski

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , gdje α je ugao tangente na površinu u tački sa smjerom x-ose;

Gdje β je ugao tangente na površinu u tački sa smjerom y ose.

Pravila diferencijacije I tabelarne izvedenice funkcije jedne varijable u potpunosti fer za funkciju od dvije i više varijabli.

Za funkciju dvije varijable z = f(x, y) postoje dva

parcijalni derivati ​​prvog reda : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, koje su također funkcije dvije varijable i mogu se razlikovati po varijablama X I y. Nađimo četiri parcijalni derivati ​​drugog reda :

Zapiši to mješoviti derivati viši redovi su jednaki (Schwarzov teorem): , odnosno različite derivacije

drugi red - tri: , .

Treći izvod za funkciju dvije varijable ( z = f(x, y)) - osam: ali četiri su različita, jer su mješoviti derivati ​​pri diferenciranju bilo kojim redoslijedom jednaki:

Nađimo prve derivate:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Pronađi drugu mješovitu izvedenicu:

vidimo to, odnosno, provjerili smo Schwartzovu teoremu i to pokazali.

Diferencijal i njegovo geometrijsko značenje. Približni proračuni pomoću diferencijala. Tangentna ravan i normalna površina.

Totalni diferencijal funkcije z= f(x, y) je linearni dio prirasta funkcije (do tangentne ravnine na površinu u tački (x0; y0)):

Ova formula se koristi za približna izračunavanja funkcije u tački.

Na primjer, trebate izračunati vrijednost funkcije u, gdje

= 1.02 = 1 + 0.02 , ali y0 = 2.97 = 3 - 0.03 : prihvatiti za X= 1 , i za y = 3;

iza Δ X I Δ at treba izabrati Δ x = 0,02 I Δ y = – 0,03 tako da je greška u proračunu najmanja (ne slijedi u ovom primjeru za Δ at odaberite vrijednost Δ y = 0,97, i za y = 2, predstavljanje tačke y0 = 2.97 =2 + 0,97).

Primjer 2 Izračunajte vrijednost https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> i imajte na umu da se mora izračunati u tački x0 = 0,98; y0 = 1,05.

Iskoristimo priliku da izvršimo proračune koristeći diferencijal. Zamislite poentu x0 = 0,98 = 1 - 0,02; y0 = 1,05 = 1 + 0,05 i označiti x = 1; y = 1; Δh = - 0,02; Δu = 0,05.

Izračunajmo parcijalne izvode funkcije = ; . Onda .

Za i računamo

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Računajući ovu vrijednost na kalkulatoru, dobijamo https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0,0003 .

Iz definicije diferencijala se može i izdvojiti geometrijsko značenje.

Ako A(x, y)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">avionZ(x, y) = z(A) + a(x- xA) + b(y- yA), a površina grafa funkcije se spaja sa ravninom u blizini tačke A(x, y), tada se takva ravan naziva tangentna ravan na površinu na ovom mjestu.
Or jednačina tangentne ravni a(x-xA)+b(y-yA)+(-1)(z- zA)=0 I normalni vektor njoj koja veruje normalni vektor na površinu u tački A(x, y).

transkript

1 PA Velmisov YuV Pokladova Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli Udžbenik Uljanovsk UlGTU

2 UDK (7 LBC n7 V 8 Recenzenti: Odsjek za primijenjenu matematiku, UlGU (šef katedre, doktor fizičko-matematičkih nauka profesor AA Butov; doktor fizičko-matematičkih nauka, profesor UlSU AS Andreev Odobreno od redakcije i izdavača Savet Univerziteta kao nastavni priručnici Velmisov PAV 8 Diferencijalni račun funkcija više varijabli: udžbenik / PA Velmisov Yu V Pokladova Uljanovsk: UlGTU sa ISBN Priručnik je namenjen prvostupnicima svih specijalnosti koji proučavaju sekciju „Diferencijalni račun funkcija više varijable" Priručnik sadrži kratak teorijski materijal teorijska pitanja individualni zadaci primjere rješavanja problema i namijenjen je da studentima omogući samostalan rad na savladavanju dijela. Rad je rađen na katedri "Viša matematika" UlSTU.

3 SADRŽAJ Uvod Teorijska pitanja Teorijski materijal i primjeri rješavanja problema Područje definicije funkcije više varijabli Primjer rješavanja zadatka Parcijalne derivacije Primjer rješavanja problema 8 Derivati ​​složene funkcije 8 Primjer rješavanja problema 9 Derivati implicitne funkcije Primjer rješavanja problema Diferencijal Primjer rješavanja problema Upotreba diferencijala u aproksimativnim proračunima vrijednosti funkcije 7 Primjer rješavanja problema 7 7 Taylorove i Maclaurin formule 8 Primjer rješavanja problema Tangentna ravan i normala na površinu 9 Primjer rješavanja problema Gradijent i derivacija u smjeru Primjer rješavanja problema 9 Ekstremum funkcije više varijabli Primjer rješavanja problema Primjer rješavanja problema Uslovni ekstrem funkcije od nekoliko varijabli Primjer rješenja problema 7 Najmanja i najveća vrijednost funkcije dvije varijable na području 9 Primjer rješavanja problema 9 Metoda najmanjih kvadrata Primjer rješavanja problema Primjer rješavanja problema An primjer rješavanja zadatka 8 Računski zadaci 9 Lista književnost

4 UVOD Aktivan samostalan rad studenata važan je faktor u ovladavanju matematikom i njenim metodama.Sistem standardnih proračuna aktivira samostalan rad studenata i doprinosi dubljem izučavanju predmeta više matematike.studenti imaju vještine rješavanja tipičnih zadataka. Priručnik sadrži kratak teorijski materijal teorijska pitanja individualni zadaci primjere rješavanja problema i osmišljen je da obezbijedi samostalan rad studenata na savladavanju dijela Teorijska pitanja su zajednička za sve studente; svaki od zadataka obuhvaćenih ovim priručnikom predstavljen je u 8 opcija. Za svaku temu su sumirani osnovni teorijski podaci, data su rješenja tipičnih primjera.Rješenja daju osnovne formule pravila za upućivanje na teoriju.

5 Teorijska pitanja Definicija funkcije dvije varijable iz domena definicije Geometrijska interpretacija ovih pojmova Koncept funkcije tri varijable Koncept granice funkcija dvije i tri varijable u jednoj tački Koncept kontinuirane funkcije nekoliko varijabli Parcijalni izvod funkcija dvije i tri varijable Definicija funkcije diferencibilne u tački Diferencijal prvog reda funkcija dvije i tri varijable Tangentna ravan i površinske normalne jednadžbe Parcijalni izvod kompleksne funkcije više nezavisnih varijabli Ukupni izvod 7 Diferencijacija implicitnih funkcija jedne i više nezavisnih varijabli 8 Određivanje parcijalnih izvoda višeg reda Diferencijal drugog reda funkcija dvije i tri varijable 9 Taylorova formula i Maclaurin formula za funkciju dvije varijable Gradijent i usmjereni izvod Koncept ekstremne tačke funkcija od dvije i tri varijable Neophodni i dovoljni uvjeti za ekstremum funkcije dvije varijable Neophodni i dovoljni tačni uslovi za ekstremum funkcije od tri varijable Koncept uslovne tačke ekstrema funkcije dve varijable Neophodni i dovoljni uslovi za uslovni ekstremum funkcije dve varijable Metoda Lagrangeovih množitelja Pronalaženje najveće i najmanje vrednosti ​​funkcije dvije varijable u zatvorenom ograničenom području 7 Metoda najmanjih kvadrata

6 Teorijski materijal i primjeri rješavanja problema Domena definicije funkcije više varijabli Neka je D skup parova vrijednosti nezavisnih varijabli i Definicija Skup D za čije elemente postoje vrijednosti naziva se domenom definicije funkcije f (Definicija Ako svakom skupu vrijednosti nezavisnih varijabli iz određenog skupa DR odgovara određena vrijednost varijable u, onda kažu da je u funkcija varijabli definiranih na skupu D (uf Primjer rješavanja problema Nađite i opišite domenu funkcije definicije = (Rješenje: Logaritamska funkcija je definirana samo pozitivnom vrijednošću argumenta tako da > ili< Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k

7 Označava se sa uf ili ukkkfk Ako je potrebno, varijable od kojih zavisi funkcija, na primjer, fk Za funkciju f od dvije varijable, po definiciji, imamo ffff lm - djelomični izvod u odnosu na ffff lm - djelomični izvod sa Respekt Koristimo i notaciju u kojoj se prosti broj ne stavlja na vrh, na primjer fffk Napomena Prema definiciji, parcijalni izvod u odnosu na varijablu kk se izračunava prema uobičajenim pravilima i formulama diferencijacije koje vrijede za funkciju od jedan varijabla (u ovom slučaju, sve varijable osim k se smatraju konstantama. Na primjer, kada se izračunava parcijalni izvod u odnosu na varijablu funkcije f, varijabla se smatra konstantnom i obrnuto Definicija Parcijalni izvod th reda funkcije uf se nazivaju parcijalni derivati ​​njegovih parcijalnih izvoda prvog reda. Prema definiciji, derivati ​​drugog reda se označavaju i nalaze na sljedeći način: uuu - izvod drugog reda u odnosu na varijablu kkkkkkuuu - mješoviti izvod i drugog reda u kkk varijablama k i f: Konkretno, za funkcije dvije varijable Prosti brojevi odozgo mogu biti izostavljeni.

8 Primjer rješavanja problema Zadana funkcija s Pokaži šta Rješenje Nađimo parcijalne izvode os ; os; os os s ; os s ; os os s funkcija uf ((t (t (t u odnosu na varijablu t se izračunava po formuli: du ududud (dt dt dt dt t dt dt dt) Neka uf (gdje (tttm (tttm (tttm gdje su ttt nezavisne varijable )

9 utkutuuuttt (uuuu tm tmtmtm Ako je uf (ttm gdje je (tttm zatim ffltltkmklk) Primjer rješavanja zadatka Pronađite izvod du dt kompleksne funkcije utt ost Rješenje Kako je funkcija u funkcija jedne nezavisne varijable du t, potrebno je izračunaj obični izvod dt du ududud dt dt dt dt Nađi izvode uključene u ovu formulu: uuudddtst dt t dt dt Nađi parcijalne izvode u osv l(vwweveuu kompleksne funkcije 9

10 Funkcija rješenja u je funkcija dvije varijable v i w Varijable v i w, zauzvrat, su funkcije dvije nezavisne varijable i Pronađite parcijalne izvode: wwveveuvuweesvvvwwvwu u es(eee ; (e (e (euuvuwvwsveevwvwvw (e (e (eee) Konkretno, derivacija implicitne funkcije (data jednadžbom F (može se izračunati po formuli: d F (d F pod uslovom da je F; parcijalni izvod implicitne funkcije (dati jednadžbom F)) su nalazi se na sljedeći način: FF (FF pod uvjetom da F) Napomena Parcijalni izvod u odnosu na varijablu k funkcije uf datu jednadžbom F u može biti

11 se također nalazi diferenciranjem ove jednadžbe s obzirom na k; u ovom slučaju je potrebno uzeti u obzir ovisnost u od k. Redovi se izračunavaju na osnovu formula (((ili diferenciranjem jednadžbi F u F (F (odgovarajući broj puta) Primjer rješavanja problema Pronađite derivaciju prvog reda implicitne funkcije (datu jednadžbom l tg Metoda rješenja: Derivat implicitne funkcije (data jednadžbom d FF ( može se izračunati po formuli ( : d F (FF os (os (Pronađi derivaciju implicitne funkcije: d F os (os (d F os (os (U ovom slučaju, F l tg metoda: Razlikovati oba dijela jednačine l tg varijabla x računajući y) funkcija od x: l (tg (os Express: os (os (po Nađi parcijalne izvode prvog reda implicitne funkcije (date jednadžbom

12 Metoda rješenja: Derivati ​​implicitne funkcije (date korištenjem F jednadžbe F (mogu se izračunati po formuli (: FFF U ovom slučaju, F(FF)) (Izražavamo: Slično, razlikujemo oba dijela jednačine s obzirom na na varijablu, uzimajući u obzir funkciju: ((Izražavamo: Pronađite izvod drugog reda implicitne funkcije (dato jednačinom l) Metoda rješenja: Derivat implicitne funkcije (dato jednačinom d FF (može biti izračunato po formuli (: d F U ovom slučaju, d Nađite izvod: d F(l FF

13 FF dd Drugi izvod nalazimo prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije, s obzirom na to da y zavisi od x (((dddddddddddddd Zamjenom dd u rezultirajući izraz, nalazimo: (dd metoda: Razlikovati oba dijela jednačine l u odnosu na varijablu x, smatrajući y funkcijom od x: ((l ; (Još jednom razlikujemo oba dijela jednadžbe u odnosu na varijablu x, smatrajući y funkcijom od x: ((Zamijenite u rezultirajućem izrazu: (Pronađite parcijalne izvode drugog reda implicitne funkcije (date jednadžbom) Metod rješenja: Derivati ​​implicitne funkcije (date pomoću jednačine (F se može izračunati po formuli (:ffff)

14 U ovom slučaju (FFFF Nađimo parcijalne izvode implicitne funkcije: FFFF Drugi izvod nalazimo prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije, računajući kao funkciju: jednom oba dijela jednadžbe u smislu varijable smatraju se funkcijom: Izražavamo

15 Zamjena u rezultirajućem izrazu: Slično, derivacije se nalaze 9 Da bi se pronašlo potrebno je diferencirati originalnu jednačinu dva puta uzimajući u obzir funkciju Da bi se pronašla mješovita derivacija, originalna jednačina se prvo razlikuje po, a zatim po (ili obrnuto Diferencijalna definicija Ukupni prirast funkcije uf M je razlika uff Definicija Funkcija uf u tački M u tački do odgovarajućih priraštaja argumenata naziva se diferencijabilnom ako se u nekom susjedstvu ove tačke može predstaviti ukupan prirast funkcije kao u AAA o((gdje su AAA brojevi nezavisni od ) ove funkcije u tački koja se razmatra je linearna u odnosu na: du AAA Diferencijal funkcije uf zadovoljava formulu uuu du ddd (gdje je ddd

16 Diferencijal sa simboličkom formulom ddd (k-tog reda funkcije uf je izražen sa kdudddu (Konkretno, za du, formula (i du se nalazi na sljedeći način udu dk d (mkm km Na primjer, u slučaju funkcija f od dvije varijable, za diferencijale th i th reda vrijede formule dd dd ddddd dd d (k (7 Primjer rješavanja zadatka Nađi diferencijal trećeg reda du funkcije uel Rješenje Nađi sve parcijalne izvode gore do uključujući treći red: ueuelueuelueueueuel Pronađite diferencijal trećeg reda funkcije u dvije varijable koristeći formule ((7: uuuududdd dd dededde dd eld Nađite diferencijal drugog reda du funkcije u Rješenje Da biste pronašli diferencijal drugog reda od funkciju tri varijable, koristimo formule ((:

17 duddduuuuuuddd dd dd dd Pronađite sve parcijalne derivacije zaključno do drugog reda: uuuuuuuuuu Pronađite diferencijal drugog reda funkcije u od tri varijable: duddd dd dd dd Primjena diferencijala u približnim proračunima vrijednosti funkcije Za dovoljno male prema formuli (za diferencijabilnu funkciju uf imamo približnu jednakost u du ili ff df gdje je df određena formulom f (((Imajući vrijednosti funkcije f i njenih parcijalnih izvoda u tački prema formula (možete izračunati vrijednost funkcije f u tački koja se nalazi dovoljno blizu tačke Primjer rješavanja problema Izračunajte približnu vrijednost funkcije (u tački A (9; Rješenje Približna vrijednost funkcije (u tački I izračunavamo po formuli (: 7

18 ((((Imamo 9 ; postavljamo Izračunaj vrijednost funkcije u tački sa koordinatama: Budući da ((onda (Zamjena u formuli: 9; (9 (9 (7 Taylor i Maclaurin formula df (df (df (f (f (R (7!!! gdje je R o( preostali član)) f ((f (((f ((R!! U posebnom slučaju kada se formula (7) naziva Maclaurinova formula) Primjer rješavanja problema 7 Proširiti funkciju (e u blizini tačke M (ograničeno na članove drugog reda uključujući) Rješenje U ovom slučaju, Taylorova formula (7 ima oblik df (df (f (R gdje je R preostali član) !! Taylorove formule) Nađite vrijednosti svih parcijalnih izvoda funkcije zaključno do drugog reda u tački M: (Sastavite diferencijale funkcije do drugog reda uključujući d((d (ddd

19 d ((d (dd (dd dd 9d) S obzirom da dd dobijamo: (((9(e ((R 8 Tangentna ravan i normalna na površinu) Definicija) Tangentna ravan na površinu u njenoj tački M (tangentna tačka je naziva se ravan koja sadrži sve tangente na krivulje povučene na površini kroz ovu tačku Definicija Normala na površinu u njenoj tački M je prava okomita na tangentnu ravan u ovoj tački i koja prolazi kroz tačku tangente M. Ako je data jednačina površine u eksplicitnom obliku f, tada jednadžba tangentne ravni u tački M (ima f (f (((8 Jednadžbe normale (f (f ((8)) (F(F (Primjer rješavanja zadatka 8 8) Sastavi jednadžba tangentne ravni i jednačina normale na površinu u tački M (7 Rješenje Ako je jednačina površine data u eksplicitnom obliku f onda jednačina tangentne ravnine u tački M (poprimi oblik (8 f (f (( i normalne jednadžbe vrsta (8 f ((f (9

20 Nađite vrijednosti parcijalnih izvoda ff u tački M: fff (f (Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednadžbe tangentne ravni i normale dobijamo: 7 ((ili - jednadžbu tangente 7 - jednadžbe normale 8 Sastaviti jednadžbu tangentne ravni i jednačine normale na površinu 7 u tački M (rješenje Ako je jednačina površine data u implicitnom obliku F (onda jednačina tangente ravan u tački M (ima oblik (8 F (F((F((Normala je određena jednadžbama (8 F(F) (Pronađi vrijednosti parcijalnih izvoda FFF tačka M: FFFF (F) (Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednačine tangentne ravnine i normale dobijamo: (ili - jednadžbu tangentne ravni; - jednadžbe normale 9 Gradijenta i izvoda u smjeru Neka je funkcija f definirana u okolinu tačke i neka - vektor koji dolazi iz ove tačke Na vektoru uzmite tačku M (definicija derivacije funkcije f u pravcu u tački M (granica se naziva (ako postoji f (f (f (M f (M (M lm lm MMM gdje je MM M) Koncept derivacije u pravcu je generalizacija koncepta parcijalnih izvoda. Smjerni izvod u tački M karakterizira promjenu funkcije u ovoj tački u smjeru vektora. Ako je funkcija f diferencijabilna u tački M (onda u ovoj tački

21 os os gdje su os os kosinus smjera vektora Definicija Gradijent funkcije f u tački M (vektor čije su projekcije vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije u ovoj tački tih grd j se naziva ( 9 Napomena) Smjerni izvod i gradijent funkcije varijabli su definisani na sličan način.povezani su odnosom (grd (9 onih) usmjereni izvod je jednak skalarnom proizvodu gradijenta i jediničnog vektora Primjer rješavanja zadatka 9 Dato je: funkcija (rs tačka A i vektor Nađi: grd u tački A; derivacija u tački A duž pravca vektorske tačke A za ovo izračunavamo i u tački A imamo: (A (A Dakle, grd (A j Da pronađemo derivacija funkcije f (u smjeru vektora koristimo formulu (9) Da biste to učinili, pronađite jedinični vektor tada (A grd (A 7

22 Ekstremum funkcije nekoliko varijabli Neka je funkcija uf tačke M definirana u nekom susjedstvu Definicija Funkcija uf tačke ima maksimum (minimum u M ako postoji susjedstvo tačke M u kojoj za sve tačke M (MM) nejednakost f M f M (odnosno f M f M Maksimum ili minimum funkcije naziva se njen ekstrem, a tačke u kojima funkcija ima ekstrem se nazivaju tačke ekstrema (maksimum ili minimum). Neophodan uslov za ekstrem Ako funkcija uf ima ekstrem u tački M, tada u ovoj tački f (M) Dovoljan uslov ekstremuma Neka je M stacionarna tačka funkcije uf i ova funkcija je dva puta diferencibilna u nekoj okolini tačke M i svi njegovi drugi parcijalni derivati ​​su neprekidni u tački M Tada: ako dudu za bilo koju vrijednost nije istovremeno jednaka nuli, tada funkcija uf ima minimum u tački M (maksimum; ako du uzima vrijednosti različitih znakovi u zavisnosti od tada u tački M nema ekstrema; ako du za skup vrijednosti nije jednak nuli u isto vrijeme, tada su potrebna dodatna istraživanja. Razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable. Definicija Funkcija f (ima maksimum (minimum u tački M (ako postoji takva okolina tačke M u kojoj je za sve tačke M (osim M) nejednakost f ( f (f (f (Neophodan uslov za ekstremum funkcije dve varijable)) Ako diferencijabilna funkcija f (dostigne ekstrem na tačka

23 M (onda su u ovoj tački parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli ff (((Dostatan uslov za ekstremum funkcije dvije varijable u susjedstvu tačke M, funkcija ima kontinuirani parcijalni drugi red derivacije Zatim: ako D onda funkcija f (ima u tački M (ekstremum, naime, maksimum u AB i minimum u AB; ako je D, onda ekstremum u tački M (odsutan; ako D, onda dodatno istraživanje Razmotrimo slučaj funkcije uf (tri varijable) Sylvesterov kriterij Da bi nejednakost du vrijedila za bilo koju vrijednost ddd koja nije jednaka nuli, istovremeno je potrebno i dovoljno da: uuuuuuuuuuuuuuu Treba imati na umu da su svi derivati izračunato u tački M (Primjer rješavanja problema 8 Nađi ekstreme funkcije dvije varijable (Rješenje Ako diferencijabilna funkcija f (dostigne ekstrem u tački M (onda su, prema potrebnom uslovu za ekstrem u ovoj tački, parcijalni izvodi prvog reda jednaki nuli 8 Nađite stacionarne tačke funkcije ( :

( -: ABC Pošto je D 8 onda je tačka M (- tačka ekstrema, odnosno minimum, pošto A Nađite minimum funkcije: m 7 Razmotrite tačku M (--: ABC Pošto je D 8 onda u tački M ( -- nema ekstremuma Primjer rješavanja zadatka Nađi ekstreme funkcije tri varijable u Rješenje Nađi stacionarne tačke date funkcije u Da bismo to uradili sastavljamo sistem jednačina: uuu rješavanjem koje dobijamo; ; Nađi parcijalne derivacije drugog reda: uuuuuu Izračunajte njihove vrijednosti u stacionarnoj tački M (;; : uuuuuu Nađite diferencijal drugog reda funkcije u u stacionarnoj tački M (;; : duddd dd dd Koristimo Sylvesterov kriterij U ovaj problem:

25 UUUUUU 8 UUUUUUUU Prema Sylvesteru kriteriju DU tako tački M (;; minimalna točka funkcije u u skladu s dovoljnim stanjem ekstremiranja vrijednosti funkcije u minimalnom trenutku UMSITEL Condition Extremen Extremen Extremen Extremen Extremen Extremen Extremen Extremen Expresm Extremen Expression Expresmum jednadžbe uf ima uslovni maksimum (uslovni minimum u tački M ako postoji takva okolina tačke M u kojoj je za sve tačke M (MM koje zadovoljavaju jednačine ograničenja nejednakost f M f M (odnosno f M f M)) zadovoljena Problem nalaženja uslovnog ekstrema svodi se na proučavanje uobičajenog ekstremuma Lagrangeove funkcije m L mf kk k m jednačina: L (kkmk

26 iz koje se nalaze nepoznanice m Dovoljan uslov za uslovni ekstrem Neka rješenja sistema (funkcija uf u tački m M imaju uslovni maksimum ako je d L i uslovni minimum ako je d L za bilo koje vrijednosti koje su mmddd nije jednako nuli istovremeno i takav kddkmk Uslovni ekstremum funkcije dvije varijable B slučaj funkcije f dvije varijable sa jednačinom ograničenja (Lagrangeova funkcija će imati oblik L f (Sistem (biće napisan kao L (f ( (L (f ((((Neka je rješenje ovog sistema i (L (L (((L ((L (Onda ako f ima u tački M) (uslovni maksimum; ako je uslovni minimum), onda funkcija također može primijeniti Sylvesterov kriterij za Lagrangeovu funkciju. Sylvesterov kriterij: d L (funkcija ima uvjetni minimum ako i samo ako LLLLL i d L (funkcija ima uvjetni maksimum tada i samo kada LLLLL

27 za bilo koju vrijednost dddd koja nije jednaka nuli u isto vrijeme i takva da Primjer rješavanja problema Pronađite uslovni ekstrem funkcije dvije varijable ako jednadžba ograničenja ima oblik Rješenje Sastavite Lagrangeovu funkciju: L( f (ost) LL Iz prve i druge jednadžbe sistema nalazimo i izjednačavamo rezultirajuće izraze: ili odavde Razmotrimo dva slučaja: zatim Zamijenite u jednadžbu veze: ; pronađite dva korijena tada Vrijednosti nisu rješenja vrijednosti sistem - njegova rješenja na 9, a zatim Zamijenite u jednadžbu veze: ((ili 8 što je pogrešno Ne postoje rješenja Dakle sistem ima jedinstveno rješenje 9 Metoda Koristimo dovoljan uslov uslovnog ekstremuma Nađite parcijalne izvode: LLL i sastavite determinanta: ((9 9 (((9 LL (((9 LL) Vrijednost funkcije na uslovnoj maksimalnoj tački 7 m

28 Metoda: LLL Pronađite diferencijal drugog reda funkcije L u tački M (za: 9 d L(L (d L (dd L (dd) Koristite Silvesterov kriterij: 9 dd d So d L za bilo koje vrijednosti) ​od dd nije jednako nuli u isto vrijeme Dakle, funkcija ima u tački M (uslovni maksimum Vrijednost funkcije u tački uvjetnog maksimuma je m Primjer rješavanja problema Pronađite uslovni ekstrem funkcije 8 sa jednadžba ograničenja Metoda rješenja Sastavite Lagrangeovu funkciju: L (f (8 ost) Nađite tačke u kojima je moguć uslovni ekstrem Da bismo to uradili, sastavljamo sistem jednačina : LL i rješavamo ga Iz prve jednačine izražavamo iz drugu jednačinu, izražavamo Izjednačavanje treće jednačine Dakle, sistem ima jedinstveno rješenje Nađi d L(L (d L (dd L (ddd 8) dobijamo: 8

29 d L ddd Dakle, funkcija ima uslovni maksimum pri Vrijednost funkcije u tački uvjetnog maksimuma je m Metoda U ovom slučaju, varijabla se lako izražava iz jednačine veze: Zamjena funkcije u jednadžbu funkcije, dobijamo funkciju jedne varijable: : - tačka lokalnog maksimuma - maksimalna vrijednost funkcije u ovoj tački Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable u regiji da se pronađe najveća i najmanja vrijednost a funkcija diferencibilna u ograničenom zatvorenom području, potrebno je: pronaći stacionarne točke koje se nalaze u datom području i izračunati vrijednosti funkcije u tim tačkama; pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na linijama koje čine granicu površine, od svih pronađenih vrijednosti izaberite najveći i najmanji Pr Naziv rješenja problema Nađite najmanju i najveću vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području D prema datom sistemu nejednačina Rješenje Površina D je trokut omeđen koordinatnim osa i pravom linijom 9

30 Nađimo stacionarne tačke funkcije unutar područja D U ovim tačkama, parcijalne derivacije su jednake nuli: Rješavanjem ovog sistema dobijamo tačku K Ova tačka ne pripada području D 8 8 stoga nema stacionarnih tačke u području D različite jednačine, tada ćemo istražiti funkciju na svakom dijelu posebno: Na ovom dijelu (Pošto je rastuća funkcija varijable dok je na segmentu, najmanja vrijednost funkcije će biti u tački (: ( i najveća u tački (: (U ovom odeljku (Pronađi izvod iz jednačine dobijamo Dakle, najveća i najmanja vrednost funkcije na granici su među njenim vrednostima u tačkama ((Pronađi ove vrednosti: ((ili (U ovom odeljku 7 Rješavanje jednadžbe 8 7 dobijamo 7, dakle 8 7 Vrijednost funkcije u ovoj tački je (i na krajevima vrijednosti segmenta funkcije koje se nalaze iznad Poređenje dobijenih vrijednosti ((((( zaključujemo da su najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom Opsezi D su jednaki (max i (max), redom. Primjer rješavanja problema Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije u zatvorenom području D datoj nejednakosti Rješenje Površina D je kružnica poluprečnika c

31 Pronađite stacionarne tačke funkcije unutar područja D U ovim tačkama, parcijalni derivati ​​su jednaki nuli: Dakle, nema stacionarnih tačaka Proučavamo funkciju na granici regiona Sastavite Lagrangeovu funkciju L (Pomoću potrebnih uslove za postojanje ekstremuma dobijamo sistem jednačina LL Rešavamo rezultujući sistem Iz prve jednačine izražavamo iz druge jednačine, izražavamo Jednačenje, dobijamo Zamenu u trećoj jednačini Dakle, imamo dve tačke MM Pronađite vrijednosti funkcije u dobijenim tačkama: uspostavite analitičku zavisnost f (između dvije varijable i Široko korištena metoda za rješavanje ovog problema je metoda najmanjih kvadrata. Neka eksperiment rezultira vrijednostima funkcije za odgovarajuće vrijednosti argumenta. Rezultati su sažeti u tabeli xy

32 Prvo se uspostavlja oblik aproksimirajuće funkcije (bilo iz teorijskih razmatranja ili na osnovu prirode lokacije tačaka u ravni O koje odgovaraju eksperimentalnim vrijednostima. Zatim je, uz odabrani oblik funkcije, potrebno odabrati parametre koji su uključeni u njega tako da najbolje odražava ovisnost koja se razmatra. Metoda najmanjih kvadrata je sljedeća. Razmotrite zbir kvadrata razlika vrijednosti dobijenih kao rezultat eksperimenta, kao i onih pronađenih kao rezultat izračunavanja vrijednosti funkcije (u odgovarajućim tačkama: S (((Biramo parametre tako da ovaj zbir ima najmanju vrijednost. Dakle, problem se svodi na proučavanje funkcije (S do ekstrema ) Iz potrebnog uslova za ekstremum funkcije nekoliko varijabli proizilazi da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem jednadžbi SSS ili u proširenom obliku (U slučaju linearne aproksimacije oblika funkcija (S poprima oblik S ((Ovo je funkcija s dvije varijable i ekstremni uslovi: ((S

33 Odavde dobijamo sljedeći sistem jednadžbi za nepoznate i (Može se pokazati da sistem (ima jedinstveno rješenje i za pronađene vrijednosti i funkciju (S ima minimum U slučaju kvadratnog aproksimacija oblika, funkcija (ima oblik S ((Sistem jednadžbi (primi oblik ((ili u proširenom obliku (Dobili smo sistem od tri linearne jednadžbe za određivanje tri nepoznate ako želite da pronađete funkciju od oblik zatim funkcija (biće napisana u obliku S (Sistem jednadžbi (za određivanje nepoznatih parametara ima oblik

34 ili u proširenom obliku (Primjer rješavanja zadatka Eksperimentalno je dobijeno pet vrijednosti funkcije (f) sa pet vrijednosti argumenta koji su upisani u tablicu Metodom najmanjih kvadrata pronađite funkciju oblika približno izražavanje funkcije (f) funkcije Rješenje Funkciju (f ćemo potražiti u obliku linearne funkcije Sistem (primi oblik: Uzimajući u obzir da

35 7 imaćemo 7 Rješavajući ovaj sistem, nalazimo: 7 Jednačina željene prave ima oblik: 7 Gradimo graf yx Primjer rješavanja zadatka Eksperimentalno je dobijeno šest vrijednosti funkcije f (za šest vrijednosti argumenta koji su zabilježeni u tabeli 7. Koristeći metodu najmanjih kvadrata, pronađite funkciju oblika koja približno izražava funkciju f (Napravite crtež na kojem je u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu nacrtano eksperimentalne tačke i graf aproksimirajuće funkcije Rješenje Tražit ćemo funkciju f (u obliku kvadratne funkcije Sistem (poprimi oblik: S obzirom da

36 imaćemo Rješavajući ovaj sistem, nalazimo: Jednačina željene funkcije ima oblik: Gradimo graf Eksperimentalno se dobija pet vrijednosti funkcije f (sa pet vrijednosti argumenta koji su zabilježeni u tabela Koristeći metodu najmanjih kvadrata, pronađite funkciju oblika koja približno izražava funkciju f (Napravite crtež na kojem

37 u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu, konstruirajte eksperimentalne točke i graf aproksimirajuće funkcije Rješenje Potražit ćemo funkciju f (u obliku funkcije Sistem (poprimi oblik: S obzirom da ćemo imati Rješavanje ovog sistema, naći ćemo : 7 87 Jednadžba željene funkcije ima oblik: 7 87 Gradimo graf 7

38 Primjer rješavanja zadatka Od pravougaonog lima širine napraviti oluk prizmatičnog oblika tako da njegov poprečni presjek ima najveću površinu Rješenje donja osnova oluka jednaka je EF = bočna strana jednaka do FD = AEBFD - Fig Limeni lim CAGD α α EF Fig strana AD iz trougla GDF nalazimo GD os i visinu trapeza GF s odavde AD EF GD os - gornja osnova trapeza Označimo površinom od ​trapez ADFE Tada sss os os os os os Prema problemu s, dakle, sistem jednadžbi ima oblik os o s os os

39 Računski zadaci Zadatak Pronađite i oslikajte domene definicije sljedećih funkcija: ((= + =l(+ +ll (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros (+ + =l(+) l (s 9 = + = rs (=l(+ 7 = = + 8 =l(+l (os = l (+ 9 l (= + =e =l(+ + =l(+ =9 + = l)) (+ = ros (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s)) Problem Provjerite da li funkcija f (jednačina f (jednačina le 9)) zadovoljava datu

40 f (jednačina s 9 l e e os s (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e e

41 f (jednačina l 7 8 s os ros Problem Naći izvode složene funkcije u(derivati ​​ulu du? d du u rs st os t? dt uvwwvuu? wvuttt du? dt vwuuuwsv os? wvt du ur tg e lt? dt 7 uelu? du ? d 8 uvwl(vwweveuu? 9 uttt du? dt ueuuv os wwsv? wvu os u du? d

42 u(derivati ​​u tg tteste os t du? dt vuuuwwv os? weeu du ul? du rtg tet du? dt ueuuv os w ws v? wvu du 7 u tg? d du 8 uttst? dt rsv 7 uu 9 uwvlw 7? uuue lw wsv?wvu du ue?d du u ros st os t?dt wuuu tg lw v?vwvvw 7 uuuwv os?wu du ulee?d du u rtg os tst?dt uu 7 ur tg lw v wv?wv du 8 u lt tt?dt

43 Problem Pronađite prvi izvod funkcije implicitne funkcije s tg os le 7 el 7 8 os os os rtg l 9 7 ee 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtg e 7 os ll 8 Problem Nađite diferencijale trećeg reda (- nezavisne varijable du sljedećih funkcija ue os 7 ullu 8 ueu 9 usueuus(os(ul os ul(ue

44 Zadatak Izračunati približnu vrijednost funkcije ((koordinate tačke A (u tački A koordinate tačke A (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9 l (8; 7 rtg) (; 9; 9; 9 8 os (99 ; 7 (9; 9 (; 9 u os usuuuuuul(7 ulsues 8 uu os e 9 ull 7 uue 8 u (98; (97; 98; 9 (; 98 7 s 8 l (; 98) (98; 9 ( 9; (9; rs (99; s (; 98 e (; 97 (; 9 s (; 97); 97; 9 7 lee (98; rs (; 9 8 (97);

45 Zadatak 7 Proširiti funkciju (prema Taylorovoj formuli u tački M, ograničeno na članove drugog reda uključujući (M (M s os e (e (- 7 ss (8 ll ((9 (ss Proširi funkciju (prema Maclaurinovoj formuli u tački M, ograničeno na članove trećeg reda uključujući (((e os sl(el Proširi funkciju (prema Taylorovoj formuli u tački M (M (- (- (- (- (7 ((- 8 ((7 os ses 8 os l (e os os 9 e os l

46 Zadatak 8 Napišite jednadžbe tangentne ravni i normale na određenu površinu u tački A površine A (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; l (; ; (; ; 7 (; ; 8 (; ; (-; ; (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l (; ; (; ; (-; ; 7 (; ; 8 (; ; 9 (; ; 9 e (; -) /; l (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7

47 površina A (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 Zadatak 9 Zadata funkcija (tačka A(i vektor) (Pronađi: grd u tački A; izvod u tački A u pravcu vektora (A a rtg ((- (- ((l ((- (- (- ((- l ((- 7 ((8 e ((9 (- rtg ((- (- - ((- (- (rs (( - s (( - (- (- ((- 7

48 (A a 7 e ((8 8 l 9 (((((rtg ((- rs ((- l ((- 7 ((- ((e ((- l (- (7 8 s (- (- Zadatak Pronađite ekstreme funkcije dvije varijable (((l 8l 8 ll 9 (> ll 7 9 9

49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 Zadatak Pronađite ekstreme funkcije tri varijable u (u (u (8 9 l 88l 7l (9

50 u (u (((7 8 Problem

51 (jednačina spajanja l l l 7 l

52 Zadatak Odredi najmanju i najveću vrijednost funkcije (u zatvorenom području D prema datom sistemu nejednačina (područje D

53 (područje D Zadatak Eksperimentalno je dobijeno pet vrijednosti funkcije f (sa pet vrijednosti argumenta koji su zabilježeni u tabeli Metodom najmanjih kvadrata, pronađite funkciju oblika YX koja približno izražava (aproksimira funkciju f) YX x

54 x Zadatak Eksperimentalno su dobijene vrijednosti funkcije f (koje su zabilježene u tabeli. Metodom najmanjih kvadrata pronađite funkciju oblika YXX (za neparne opcije i Y (za parne XX opcije)) aproksimirajući funkciju f ( Napravite crtež na kojem su u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu prikazane eksperimentalne točke i graf aproksimirajućih funkcija x x

55 Zadatak Riješite primijenjene zadatke za najveće i najmanje vrijednosti Nađite dimenzije cilindra najveće zapremine napravljenog od radnog komada u obliku lopte poluprečnika R Krov kuće ima poprečni presjek u obliku jednakokraki trokut dimenzije obratka s najvećim obimom u obliku pravokutnog trokuta čija je hipotenuza data Napraviti pravougaonu kutiju od lima (bez poklopca date posude V sa najmanjim materijalnim troškovima Upisati pravougaoni paralelepiped najveće zapremine u kuglu prečnika d Nađite dimenzije cilindrične posude najvećeg kapaciteta površine S 7 Postoji pravougaoni lim željeza zadatih dimenzija. Izrežite u njegovim uglovima identične kvadrate takve veličine da zapremina posuda dobijena savijanjem ivica je najveća 8 Površina pravougaonog paralelepipeda jednaka je Q Nađi dimenzije paralelepipeda najveće zapremine 9 Zbir ivica kvadra je Nađite dimenzije kvadra najveće zapremine Nađite kvadar najveće zapremine, pod uslovom da je dužina njegove dijagonale d Nađite konus obrtanja zapremine V sa najmanja ukupna površina Upiši cilindar najmanje ukupne površine Od svih kvadra sa punom površinom S nađi onaj koji ima najveću zapreminu Odredi dimenzije stošca najveće zapremine, pod uslovom da je njegova bočna površina jednaka S Od svih pravokutnih trokuta s površinom S, pronađite takvu hipotenuzu koja ima najmanju vrijednost Od svih trokuta upisanih u krug, nađite onaj čija je površina najveća 7 Od svih trokuta koji imaju obim p, pronađite najveću površinu 8 Od svih pravougaonika sa datom površinom S, pronađi takav obim koji ima najmanju vrijednost 9 Od svih pravokutnih paralelepipeda zapremine V, nađi onaj čija je ukupna površina najmanja Izrazite broj kao proizvod četiri pozitivna faktora tako da njihov zbir bude najmanji

56 Nađi trokut zadanog opsega p koji, kada se okreće oko jedne od svojih stranica, formira tijelo najveće zapremine Odredi vanjske dimenzije otvorene pravokutne kutije sa datom debljinom zida d i kapacitetom V tako da najmanja količina materijala utrošeno na njegovu izradu Od svih trouglova sa istom osnovom i jednim i istim uglom pri vrhu pronađi najveći po površini Upiši pravougaonu kutiju najveće zapremine u kuglu poluprečnika R Upiši pravougaonu kutiju najveće zapremine U dati pravi kružni konus Upiši pravougaonu kutiju najveće zapremine Za koje će dimenzije otvorene pravougaone kutije date zapremine V njena površina biti najmanja? 7 Iz kruga je potrebno izrezati sektor na način da se od njega može napraviti stožasti filter najveće zapremine 8 Dat je volumen otvorene cilindrične posude. Koje bi trebale biti njegove dimenzije da bi dužina zavara je minimalna? (Praznici: list u obliku kružne osnove pravougaonog lista bočne površine LITERATURA Viša matematika Metodička uputstva i kontrolni zadaci (sa programom / Pod uredništvom YUS Arutyunova M: Viša škola 98 Danko PE Popov AG Kozhevnikova TY Viša matematika u vježbama i problemi HM Viša škola 98 Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli: Smjernice za implementaciju testa / Comp: NYA Goryacheva YuA Reshetnikov Ulyanovsk 999 s Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli: tipično izračunavanje u višoj matematici / Comp: AV Ankilov NYa Goryacheva TB Rasputko Uljanovsk: UlGTU s Piskunov NS Diferencijalni i integralni račun TM: Integral-Press s Pisani DT Bilješke sa predavanja iz više matematike: u h M: Iris-press 88 s 7 Zbirka zadataka iz matematike H: Udžbenik za srednje škole / pod opšte uredništvo AV Efimova AS Pospelova - M: FIZMATLIT - s 8 Fikhtengolts GM Kurs diferencijalnog i integralnog računa T M: FIZMATLIT 8 s

57 Obrazovna elektronska publikacija VELMISOV Petr Aleksandrovič POKLADOVA DIFERENCIJALNO IZRAČUNAVANJE FUNKCIJA NEKOLIKO VARIJABLI Udžbenik Konv. štampa Obim podataka MB EI Štampano izdanje LR od 97 Potpisano za štampu Format 8 / Konv. štampa Redosled L Tiraž Ust. Venets d Ulyanovsk State Technical University 7 Ulyanovsk Sev Venets St. Tel: (E-ml:

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "ULJANOVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET"

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Državni tehnički univerzitet Uljanovsk

Federalna agencija za obrazovanje MOSKVA DRŽAVNI UNIVERZITET ZA GEODEZIJU I KARTOGRAFIJU (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova

Funkcije više varijabli U mnogim pitanjima geometrije prirodnih nauka i drugih disciplina treba se pozabaviti funkcijama dvije tri ili više varijabli Primjeri: Površina trokuta S a h gdje je a osnova

Diferencijacija implicitne funkcije Razmotrimo funkciju (,) = C (C = const) Ova jednačina definira implicitnu funkciju () Pretpostavimo da smo riješili ovu jednačinu i pronašli eksplicitni izraz = () Sada možemo

Sastavio VPBelkin 1 Predavanje 1 Funkcija nekoliko varijabli 1 Osnovni koncepti Ovisnost = f (1, n) varijable od varijabli 1, n naziva se funkcija od n argumenata 1, n U nastavku ćemo razmotriti

Praktična vježba DIFERENCIJACIJA KOMPLEKSNE I IMPLICITNE FUNKCIJE Diferencijacija kompleksne funkcije Diferencijacija implicitne funkcije date jednom jednačinom Sistemi implicitnih i parametarski datih

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSKOG FEDERACIJE GOU VPO "SIBIRSKA DRŽAVNA GEODETSKA AKADEMIJA" OG Pavlovskaya ES Plyusnina MATEMATIKA Dio Funkcije nekoliko varijabli Metodološka uputstva

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Funkcije više varijabli Količina se naziva funkcijom varijabli n ako je svakoj tački M n koja pripada nekom skupu X dodijeljena

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog obrazovanja "Kurgan State University" Odsjek za primijenjenu matematiku

FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Funkcije jedne nezavisne varijable ne pokrivaju sve zavisnosti koje postoje u prirodi. Stoga je prirodno proširiti i uvesti dobro poznati koncept funkcionalne zavisnosti

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Sibirski državni industrijski univerzitet"

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju OV Isakova, LA Saykova Diferencijalni račun funkcija nekoliko varijabli Preporučeno

Federalna agencija za željeznički transport Ural State University of Railway Transport E E Popovskiy P P Skachkov FUNKCIJE NEKOLIKO Varijabli Standardni proračun Jekaterinburg 1 Federal

Uvod Smjernice su posvećene proučavanju i praktičnoj primjeni teorije funkcije dvije varijable.Svaki paragraf odgovara jednoj praktičnoj lekciji na ovu temu.Svrha uputstva

MINISTARSTVO SAOBRAĆAJA RUSKE FEDERACIJE FEDERALNA DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA ULJANOVSKA VIŠA ZRAČNA ŠKOLA CIVILNOG ZRAKOPLOVSTVA

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE MOSKVA DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET "MAMI" Odsek za višu matematiku MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, BE Teush OI Tkachenko, DIFERENCIJALNI RAČUN

DIFERENCIJALNI RAČUN Kao rezultat izučavanja ove teme, student treba da: bude sposoban da primeni tabelu izvoda i pravila diferencijacije za izračunavanje izvoda elementarnih funkcija da pronađe izvode

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna obrazovna ustanova visokog obrazovanja „Moskovski vazduhoplovni institut (nacionalna istraživanja

Tema 8. FUNKCIJE DIFERENCIJALNOG RAČUNA NEKOLIKO Varijabli Predavanje 8.1. Funkcije nekoliko varijabli. Parcijalni izvod Plan 1. Pojam funkcije dvije i više varijabli Granica i kontinuitet

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Sibirski državni industrijski univerzitet"

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Novgorodski državni univerzitet im.

5 Tačka u kojoj F F F ili barem jedan od ovih izvoda ne postoji naziva se singularna tačka površine. U takvoj tački površina možda nema tangentnu ravan Definicija Normalna na površinu

Predavanja 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabli Definicija Neka je funkcija nekoliko varijabli f f (dato na (neki skup D i (neka tačka ovog skupa))

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "ULJANOVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET"

Praktična vježba 5 Ekstremum funkcije više varijabli 5 Definicija i neophodni uslovi za ekstrem 5 Neke informacije o kvadratnim oblicima 53 Dovoljni uslovi za ekstrem 5 Definicija i potrebni

I tipične varijante "Integralni račun funkcija jedne varijable" Zadatak Izračunajte neodređeni integral I cos d 9 Predstavite ovaj integral I kao zbir integrala: d I cos d d d 9 Koristeći

Radionica: “Taylor formula” Ako funkcija f () ima izvode do (n +) reda uključujući u intervalu (0, 0), 0, tada za sva x iz ovog intervala treba koristiti Taylorovu formulu (reda n) () f

Funkcije više varijabli Funkcije više varijabli Površine drugog reda. Definicija funkcije od x varijabli. Geometrijska interpretacija. Privatni inkrementi funkcije. Privatni derivati.

Predavanje 8 Diferencijacija kompleksne funkcije Razmotrimo kompleksnu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t

Čestitamo vam početak nove školske godine. Želim vam uspjeh u proučavanju funkcija mnogih varijabli i diferencijalnih jednačina Web stranica Katedre http://kvm.gubkin.ru 1 Funkcije mnogih varijabli 2 Definicija

I Definicija funkcije više varijabli Područje definicije Prilikom proučavanja mnogih pojava potrebno je pozabaviti se funkcijama dvije ili više nezavisnih varijabli.Na primjer, tjelesna temperatura u datom trenutku

Funkcije više varijabli Funkcije više varijabli Ekstremum funkcije više varijabli. Pronalaženje maksimalne i minimalne vrijednosti funkcije u zatvorenom području Uslovni ekstrem Kompleks

Poglavlje Ekstremumi funkcije dvije varijable Ekstremum funkcije dvije varijable Prilikom rješavanja mnogih ekonomskih problema potrebno je izračunati najveću i najmanju vrijednost. Kao primjer, razmotrite problem

DRŽAVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA "BELORUSKO-RUSKI UNIVERZITET" Odsjek "Viša matematika" VIŠA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIČKA ANALIZA Smjernice

Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije MATI - RUSKI DRŽAVNI TEHNOLOŠKI UNIVERZITET po imenu K. E. TSIOLKOVSKY

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE UKRAINE NACIONALNA METALURŠKA AKADEMIJA UKRAINE METODOLOŠKA UPUTSTVA za rješavanje zadataka iz discipline Viša matematika i mogućnosti praktičnih kontrolnih zadataka

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA Moskovski državni univerzitet za inženjerstvo instrumenata i informatike Odsjek Visoki

PREDAVANJE Ekstremum funkcije više varijabli Ekstremum funkcije više varijabli Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstrema Tačka M, 0) naziva se minimalna tačka maksimalne) funkcije.

Ministarstvo prosvjete Republike Bjelorusije Obrazovna ustanova "Bjeloruski državni pedagoški univerzitet po imenu Maksim Tank" RADIONICA O MATEMATIČKOJ ANALIZI, ALGEBRI I GEOMETRIJI

~ 1 ~ FUNKCIJA VIŠE Varijabli 3 Funkcija dvije varijable, domen definicije, načini specificiranja i geometrijsko značenje. Definicija: z f se naziva funkcijom dvije varijable, ako je svaki par vrijednosti,

Penza State University OGNikitina FUNKCIJE NEKOLIKO Varijabli DIFERENCIJALNI RAČUN Vodič za učenje Penza UDK 5755 Nikitina OG Funkcije nekoliko varijabli Diferencijalni račun:

Federalna agencija za poljoprivredu Federalna državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Državni agrarni univerzitet Michurin Katedra za matematiku

II DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Diferencijalne jednadžbe prvog reda Definicija Relacije u kojima su nepoznate varijable i njihove funkcije pod predznakom izvoda ili diferencijala nazivaju se

PREDAVANJE N. Skalarno polje. Smjerni derivat. Gradijent. Tangentna ravan i normalna površina. Ekstremi funkcije nekoliko varijabli. Uslovni ekstrem. Skalarno polje. Derivat u odnosu na

Predavanja Poglavlje Funkcije više varijabli Osnovni pojmovi Neke funkcije više varijabli su dobro poznate Dajemo nekoliko primjera Za izračunavanje površine trougla poznata je Heronova formula S

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije

Smjernice i varijante RGR-a na temu Funkcija više varijabli za studente specijalnosti Dizajn. Ako je količina jedinstveno određena postavljanjem vrijednosti količina i neovisno jedna od druge,

P0 Derivat Razmotrimo neku funkciju f () ovisno o argumentu Neka je ova funkcija definirana u tački 0 i nekom njenom susjedstvu, kontinuirano u ovoj tački i njenom susjedstvu

BELORUSSKI DRŽAVNI UNIVERZITET EKONOMSKI FAKULTET Odsjek EKONOMSKIH INFORMACIJA I MATEMATIČKE EKONOMIJE Funkcije mnogih varijabli Bilješke sa predavanja i praktični rad za

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE FEDERALNA DRŽAVNA BUDŽETSKA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG OBRAZOVANJA „SV.

Teorija površina u diferencijalnoj geometriji Elementarna površina Definicija Domen u ravni naziva se elementarnim domenom ako je slika otvorenog kruga pod homeomorfizmom,

Predavanje 11. KONDICIONALNI EKSTREMUM 1. Pojam uslovnog ekstrema.. Metode pronalaženja uslovnog ekstrema.. Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable u zatvorenom području. 1. Koncept kondicionala

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE SIBIRSKA DRŽAVNA GEODETSKA AKADEMIJA Yu.G. Kostyna, G.P. Martynov VIŠA MATEMATIKA Diferencijalni račun funkcija više varijabli,

Uvod Domaći testovi (HCT) u matematičkoj analizi jedan su od glavnih oblika tekuće kontrole samostalnog rada učenika. Približno vrijeme potrebno za popunjavanje DKR,

Glavni oblik obuke za vanredne studente je samostalan rad na nastavnom materijalu koji se sastoji od sljedećih komponenti: proučavanje gradiva iz udžbenika, rješavanje zadataka, samoprovjera

1. Konstruirajte domenu definicije sljedećih funkcija. a) Pošto je funkcija pri tome definisana, domen definicije funkcije je skup - poluravan. b) Pošto je opseg funkcije

FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 1. Osnovni pojmovi. Ako je svakom paru varijabli neovisnih jedna o drugoj, iz nekog skupa D, dodijeljena varijabla, tada se ona naziva funkcijom od dva

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA REPUBLIKE BELORUSIJE Bjeloruski nacionalni tehnički univerzitet Katedra za višu matematiku 1 G. I. Lebedeva G. A. Romanyuk I. M. Martynenko FUNKCIJE NEKOLIKO VARIJABLI Metodički