Osnovna istraživanja. Inverzno klatno Pregled metoda upravljanja objekata tipa inverzno klatno
Šematski prikaz obrnutog klatna na kolicima. Štap nema masu. Masu kolica i masu lopte na kraju štapa označavamo sa M I m. Štap ima dužinu l.
Obrnuto klatno je klatno koje ima centar mase iznad uporišta, pričvršćeno na kraju krute šipke. Često je uporište fiksirano na kolicima koja se mogu kretati horizontalno. Dok normalno klatno visi stalno nadole, obrnuto klatno je inherentno nestabilno i mora biti stalno balansirano da bi ostalo uspravno, bilo primenom obrtnog momenta na tačku vešanja ili horizontalnim pomeranjem tačke vešanja, kao deo sistema povratnih informacija. najjednostavniji demo može biti balansiranje olovke na kraju prsta.
Pregled
Obrnuto klatno je klasičan problem u dinamici i teoriji upravljanja i široko se koristi kao reper za testiranje algoritama upravljanja (PID kontroleri, neuronske mreže, fuzzy kontrola, itd.).
Problem inverznog klatna je povezan sa navođenjem projektila, jer se motor projektila nalazi ispod centra gravitacije, što uzrokuje nestabilnost. Isti problem je riješen, na primjer, u segwayu, samobalansirajućem transportnom uređaju.
Drugi način za stabilizaciju inverznog klatna je brzo zamahivanje baze u vertikalnoj ravni. U ovom slučaju možete bez povratnih informacija. Ako su oscilacije dovoljno jake (u smislu ubrzanja i amplitude), tada se inverzno klatno može stabilizirati. Ako pokretna točka oscilira u skladu s jednostavnim harmonijskim oscilacijama, tada se kretanje klatna opisuje Mathieuovom funkcijom.
Jednačine kretanja
Sa fiksnom tačkom oslonca
Jednačina gibanja je slična ravnom klatnu osim što se predznak kutnog položaja mjeri iz vertikalnog položaja nestabilne ravnoteže:
θ ¨ − g ℓ sin θ = 0 (\displaystyle (\ddot (\theta))-(g \over \ell )\sin \theta =0)Kada se prevede, imat će isti znak ugaonog ubrzanja:
θ ¨ = g ℓ sin θ (\displaystyle (\ddot (\theta))=(g \over \ell)\sin \theta )Dakle, obrnuto klatno će ubrzati iz vertikalne nestabilne ravnoteže u suprotnom smjeru, a ubrzanje će biti obrnuto proporcionalno dužini. Visoko klatno pada sporije od kratkog.
Klatno na kolicima
Jednačine kretanja se mogu izvesti pomoću Lagrangeovih jednačina. Ovo je slika iznad, gdje θ (t) (\displaystyle \theta (t)) dužina ugla klatna l (\displaystyle l) u odnosu na vertikalu i delujuću silu gravitacije i spoljašnje sile F (\displaystyle F) u pravcu x (\displaystyle x). Hajde da definišemo x (t) (\displaystyle x(t)) pozicija kolica. Lagranžian L = T − V (\displaystyle L=T-V) sistemi:
L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos θ (\displaystyle L=(\frac (1)(2))Mv_(1)^(2)+(\frac (1) (2))mv_(2)^(2)-mg\ell \cos \theta )gdje je brzina kolica, a brzina materijalne tačke m (\displaystyle m). v 1 (\displaystyle v_(1)) I v 2 (\displaystyle v_(2)) može se izraziti kroz x (\displaystyle x) I θ (\displaystyle \theta) brzinom pisanja kao prvim izvodom pozicije.
v 1 2 = x ˙ 2 (\displaystyle v_(1)^(2)=(\dot (x))^(2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin θ)) 2 + (d d t (ℓ cos θ)) 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=\left((\frac (d)(dt ))(\left(x-\ell \sin \theta \right))\right)^(2)+\left((\frac (d)(dt))(\left(\ell \cos \theta \ desno))\desno)^(2))Pojednostavljivanje izraza v 2 (\displaystyle v_(2)) vodi do:
v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos θ + ℓ 2 θ ˙ 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=(\dot (x))^(2)-2\ell (\dot (x))(\dot (\theta))\cos \theta +\ell ^(2)(\dot (\theta))^(2))Lagranžijan je sada definisan formulom:
L = 1 2 (M + m) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos θ (\displaystyle L=(\frac (1) ))\levo(M+m\desno)(\dot (x))^(2)-m\ell (\dot (x))(\dot (\theta))\cos \theta +(\frac ( 1)(2))m\ell ^(2)(\dot (\theta))^(2)-mg\ell \cos \theta )i jednačine kretanja:
d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\partial (L) \preko \djelomično (\dot (x) )))-(\djelomično (L) \preko \djelomično x)=F) d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\partial (L) \preko \djelomično (\dot (\ theta)))-(\djelomično (L) \preko \djelomično \theta )=0)Zamjena L (\displaystyle L) u ove izraze uz naknadno pojednostavljenje dovodi do jednadžbi koje opisuju gibanje inverznog klatna:
(M + m) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos θ + m ℓ θ ˙ 2 sin θ = F (\displaystyle \left(M+m\right)(\ddot (x))-m\ell ( \ddot (\theta))\cos \theta +m\ell (\dot (\theta))^(2)\sin \theta =F) ℓ θ ¨ − g sin θ = x ¨ cos θ (\displaystyle \ell (\ddot (\theta))-g\sin \theta =(\ddot (x))\cos \theta )Ove jednadžbe su nelinearne, ali pošto je cilj kontrolnog sistema da drži klatno okomito, jednačine se mogu linearizirati uzimanjem θ ≈ 0 (\displaystyle \theta \približno 0).
Klatno sa oscilirajućom bazom
Jednačina gibanja takvog klatna povezana je s oscilirajućom bazom bez mase i dobiva se na isti način kao i za klatno na kolicima. Položaj materijalne tačke određuje se formulom:
(− ℓ sin θ , y + ℓ cos θ) (\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \desno))a brzina se nalazi kroz prvi izvod pozicije:
v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . (\displaystyle v^(2)=(\dot (y))^(2)-2\ell (\dot (y))(\dot (\theta))\sin \theta +\ell ^(2) (\tačka (\theta))^(2).)Lagranžijan za ovaj sistem se može napisati kao:
L = 1 2 m (y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − m g (y + ℓ cos θ) (\displaystyle L=(\frac (1)(2) )m\left((\dot (y))^(2)-2\ell (\dot (y))(\dot (\theta))\sin \theta +\ell ^(2)(\dot ( \theta))^(2)\desno)-mg\left(y+\ell \cos \theta \desno))jednadžbe kretanja slijede iz:
d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\mathrm (d) \over \mathrm (d) t)(\djelomično (L) \preko \djelomično (\dot (\theta))) -(\djelomično (L) \preko \djelomično \theta )=0)Obrnuto klatno je klatno koje ima centar mase iznad uporišta, pričvršćeno na kraju krute šipke. Često je uporište fiksirano na kolicima koja se mogu kretati horizontalno. Dok normalno klatno visi stalno nadole, obrnuto klatno je inherentno nestabilno i mora biti stalno balansirano da bi ostalo uspravno, bilo primenom obrtnog momenta na tačku vešanja ili horizontalnim pomeranjem tačke vešanja, kao deo sistema povratnih informacija. Najjednostavnija demonstracija bila bi balansiranje olovke na kraju prsta.
Pregled
Obrnuto klatno je klasičan problem u dinamici i teoriji upravljanja i široko se koristi kao reper za testiranje algoritama upravljanja (PID kontroleri, neuronske mreže, fuzzy kontrola, itd.).
Problem inverznog klatna je povezan sa navođenjem projektila, jer se motor projektila nalazi ispod centra gravitacije, što uzrokuje nestabilnost. Isti problem je riješen, na primjer, u segwayu, samobalansirajućem transportnom uređaju.
Drugi način za stabilizaciju inverznog klatna je brzo zamahivanje baze u vertikalnoj ravni. U ovom slučaju možete bez povratnih informacija. Ako su oscilacije dovoljno jake (u smislu ubrzanja i amplitude), tada se inverzno klatno može stabilizirati. Ako pokretna točka oscilira u skladu s jednostavnim harmonijskim oscilacijama, tada se kretanje klatna opisuje Mathieuovom funkcijom.
Jednačine kretanja
Sa fiksnom tačkom oslonca
Jednačina gibanja je slična ravnom klatnu osim što se predznak kutnog položaja mjeri iz vertikalnog položaja nestabilne ravnoteže:
texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0
Kada se prevede, imat će isti znak ugaonog ubrzanja:
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datotekatexvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta
Dakle, obrnuto klatno će ubrzati iz vertikalne nestabilne ravnoteže u suprotnom smjeru, a ubrzanje će biti obrnuto proporcionalno dužini. Visoko klatno pada sporije od kratkog.
Klatno na kolicima
Jednačine kretanja se mogu izvesti pomoću Lagrangeovih jednačina. Ovo je slika iznad, gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta(t) dužina ugla klatna Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): l u odnosu na vertikalu i delujuću silu gravitacije i spoljašnje sile Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): F u pravcu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc . Hajde da definišemo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): x(t) pozicija kolica. Lagranžian Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): L = T - V sistemi:
texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta
Gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc je brzina kolica, i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc - brzina materijalne tačke Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): m
.
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_1 I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2 može se izraziti kroz Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): x I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta brzinom pisanja kao prvim izvodom pozicije.
texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_1^2=\dot x^2
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \ lijevo((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\desno)^2
Pojednostavljivanje izraza Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2 vodi do:
texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2
Lagranžijan je sada definisan formulom:
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datotekatexvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \desno) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta
i jednačine kretanja:
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datotekatexvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L) \preko \djelimično x) = F
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L) )\preko\djelomično\theta) = 0
Zamjena Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): L u ove izraze uz naknadno pojednostavljenje dovodi do jednadžbi koje opisuju gibanje inverznog klatna:
texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \lijevo (M + m \desno) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta
Ove jednadžbe su nelinearne, ali pošto je cilj kontrolnog sistema da drži klatno okomito, jednačine se mogu linearizirati uzimanjem Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta \približno 0
.
Klatno sa oscilirajućom bazom
Jednačina gibanja takvog klatna povezana je s oscilirajućom bazom bez mase i dobiva se na isti način kao i za klatno na kolicima. Položaj materijalne tačke određuje se formulom:
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datotekatexvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)
a brzina se nalazi kroz prvi izvod pozicije:
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datotekatexvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2.
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .
Ova jednadžba nema elementarno rješenje u zatvorenom obliku, ali se može proučavati u više smjerova. Bliska je Mathieuovoj jednadžbi, na primjer, kada je amplituda oscilacije mala. Analiza pokazuje da klatno ostaje uspravno kada se brzo ljulja. Prvi grafikon to pokazuje sa polaganim osciliranjem Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc , klatno brzo pada nakon što napusti stabilan vertikalni položaj.
Ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): y brzo oscilira, klatno može biti stabilno oko vertikalnog položaja. Drugi grafikon pokazuje da, nakon napuštanja stabilnog vertikalnog položaja, klatno sada počinje da se ljulja oko vertikalnog položaja ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta = 0) Odstupanje od vertikalnog položaja ostaje malo, a klatno ne pada.
Aplikacija
Primjer je balansiranje ljudi i predmeta, kao što su akrobacije ili vožnja monociklom. I također segway - električni samobalansirajući skuter s dva točka.
Obrnuto klatno bilo je centralna komponenta u razvoju nekoliko ranih seizmografa.
vidi takođe
Linkovi
- D. Liberzon Prebacivanje u sisteme i upravljanje(2003 Springer) pp. 89ff
Dalje čitanje
- Franklin; et al. (2005). Povratna kontrola dinamičkih sistema, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
Napišite recenziju na članak "Obrnuto klatno"
Linkovi
Odlomak koji opisuje obrnuto klatno
Sa njima je prognana i sestra njihovog djeda Aleksandra Obolenskaja (kasnije - Aleksis Obolenski), a Vasilij i Ana Seregins, koji su dobrovoljno otišli, slijedili su svog djeda po vlastitom izboru, budući da je Vasilij Nikandrovič dugi niz godina bio djedov advokat u svim njegovim poslovima i jedan njegovih najblizih prijatelja.Aleksandra (Alexis) Obolenskaja Vasilij i Ana Serjogin
Vjerovatno je čovjek morao biti istinski PRIJATELJ da bi smogao u sebi snagu da napravi takav izbor i svojom voljom ode tamo kuda ide, kao što se ide samo u svoju smrt. I ova "smrt", nažalost, tada se zvala Sibir ...
Uvijek sam bio jako tužan i povrijeđen za našom, tako ponosnom, ali tako nemilosrdno zgaženom boljševičkim čizmama, prekrasnim Sibirom!... I nema riječi koliko je patnje, bola, života i suza ovaj ponosni, ali iscrpljeni do krajnjih granica, zemlja apsorbirana... Da li zato što je nekada bila srce naše prapostojbine, "dalekovidi revolucionari" su odlučili da ocrne i unište ovu zemlju, birajući je za svoje đavolske svrhe?... Uostalom, za mnoge ljude, čak i Sibir je posle mnogo godina i dalje ostao "prokleta" zemlja, u kojoj je nečiji otac umro, nečiji brat, nekom potom sin... ili možda čak i nečija cela porodica.
Moja baka, koju ja, na svoju veliku žalost, nikad nisam poznavao, tada je bila trudna sa mojim ocem i teško je izdržala put. Ali, naravno, nije trebalo čekati pomoć niotkuda... Tako je mlada princeza Elena, umjesto tihog šuštanja knjiga u porodičnoj biblioteci ili uobičajenih zvukova klavira kada je svirala svoja omiljena djela, ova vrijeme je slušalo samo zloslutni zvuk točkova, koji su, kao prijeteći, odbrojavali preostale sate njenog života, tako krhke i pretvorene u pravu noćnu moru... Sjedila je na nekim vrećama na prozoru prljavog auta i zurila na posljednjim jadnim tragovima "civilizacije" tako poznate i poznate joj odlazeći sve dalje i dalje...
Dedina sestra Aleksandra je uz pomoć prijatelja uspela da pobegne na jednoj od stanica. Po zajedničkom dogovoru, trebalo je da stigne (ako bude imala sreće) u Francusku, gde ovog trenutkaživjela je cijela njena porodica. Istina, niko od prisutnih nije mogao zamisliti kako je to mogla učiniti, ali kako im je to bila jedina, doduše mala, ali svakako posljednja nada, bilo je preveliki luksuz odbiti je za njihovu potpuno beznadežnu situaciju. U tom trenutku u Francuskoj je bio i Aleksandrin suprug Dmitrij, uz čiju su se pomoć već odatle nadali da će pokušati pomoći dedinoj porodici da se izvuče iz one noćne more u koju ih je život tako nemilosrdno bacio, sa podlim ruke brutalizovanih ljudi...
Po dolasku u Kurgan smjestili su ih u hladan podrum, bez objašnjenja i bez odgovora na pitanja. Dva dana kasnije, neki ljudi su došli po dedu, i izjavili da su navodno došli da ga “isprate” na drugo “odredište”... Odveli su ga kao kriminalca, ne dozvoljavajući mu da ponese ništa sa sobom i ne udostojeći se da objasni gde i koliko dugo uzimaju. Niko više nije video dedu. Nakon nekog vremena nepoznati vojnik je u prljavoj vreći od uglja donio baki lične stvari djeda... ne objašnjavajući ništa i ne ostavljajući nadu da će ga vidjeti živog. Na ovome su prestale bilo kakve informacije o dedinoj sudbini, kao da je nestao sa lica zemlje bez ikakvih tragova i dokaza...
Napaćeno, izmučeno srce jadne princeze Elene nije htjelo prihvatiti tako užasan gubitak, te je bukvalno bombardirala lokalnog štabnog oficira zahtjevima da razjasni okolnosti smrti njenog voljenog Nikolaja. Ali "crveni" oficiri bili su slepi i gluvi na zahteve usamljene žene, kako su je zvali - "od plemića", koja je za njih bila samo jedna od hiljada i hiljada bezimenih "numeriranih" jedinica koje nisu značile ništa u njihov hladni i okrutni svijet... Bio je to pravi pakao, iz kojeg više nije bilo povratka u ono poznato i dobar svet, u kojoj je njena kuća, njeni prijatelji, i sve ono na šta je navikla od malih nogu, i što je toliko i iskreno volela... I nije bilo nikoga ko bi mogao da pomogne ili da i najmanju nadu da preživi.
Serjoginovi su pokušavali da zadrže svoje prisustvo uma tri, i pokušavali na bilo koji način da razvesele princezu Elenu, ali ona je ulazila sve dublje i dublje u gotovo potpuni omamljenost, a ponekad je danima sjedila u ravnodušno smrznutom stanju, gotovo ne reagujući na pokušaje njenih prijatelja da joj spasu srce i um od konačne depresije. Postojale su samo dvije stvari koje su je nakratko vratile u stvarni svijet - da li je neko počeo da priča o njenom nerođenom detetu, ili da li je došlo do bilo kakvih, makar i najmanjih, novih detalja o navodnoj smrti njenog voljenog Nikolaja. Očajnički je željela znati (dok je još bila živa) šta se zaista dogodilo i gdje je njen muž, ili barem gdje je njegovo tijelo zakopano (ili napušteno).
Nažalost, o životu ove dvoje hrabrih i bistrih ljudi, Elene i Nikolaja de Rohan-Hesse-Obolenskog, gotovo da i nema podataka, ali čak i onih nekoliko redaka iz dva preostala Elenina pisma njenoj snaji Aleksandri , koji su nekako preživjeli u Aleksandrinoj porodičnoj arhivi u Francuskoj pokazuju koliko je princeza duboko i nježno voljela svog nestalog muža. Sačuvalo se svega nekoliko rukom pisanih listova, od kojih se neki redovi, nažalost, uopće ne mogu razaznati. Ali i ono što je postignuto vrišti od dubokog bola o velikoj ljudskoj nesreći, koju, a da je nije doživeo, nije lako razumeti i nemoguće je prihvatiti.
12. aprila 1927 Iz pisma princeze Elene Aleksandri (Alix) Obolenskoj:
“Danas sam veoma umoran. Iz Sinyachikhe se vratila potpuno slomljena. Puni su vagoni ljudi, bilo bi šteta i stoku u njima voziti………………………….. Stali smo u šumi – tamo je tako ukusno mirisalo na pečurke i jagode… Teško je povjerovati da su ovi nesretni ljudi tamo ubijeni! Sirota Ellochka (misli se na veliku vojvotkinju Elizavetu Fjodorovnu, koja je bila rođak mog djeda na liniji Hesse) ubijena je u blizini, u ovom strašnom Staroselimskom rudniku ... kakav užas! Moja duša ovo ne može prihvatiti. Zapamtite, rekli smo: „Neka zemlja padne“?.. Veliki Bože, kako takva zemlja može pasti?!..
Oh, Alix, moja draga Alix! Kako se naviknuti na takav užas? ...................... ..................... Tako sam umoran od prosjačenja i ponižavajući se... Sve će biti potpuno beskorisno ako Čeka ne pristane da pošalje zahtev u Alapajevsk ...... Nikada neću znati gde da ga tražim, i nikada neću saznati šta su mu uradili. Ne prođe ni sat a da ne pomislim na tako poznato lice... Kakav je užas zamisliti da leži u nekoj napuštenoj jami ili na dnu rudnika!.. Kako možeš izdržati ovu svakodnevnu noćnu moru, znajući da ga već nikad neću vidjeti?!.. Kao što ga moj jadni Vasilek (ime koje je dobio moj otac pri rođenju) nikada neće vidjeti... Gdje je granica okrutnosti? I zašto sebe nazivaju ljudima?
DOI: 10.14529/mmph170306
STABILIZACIJA OBRATNOG KLATNA NA VOZILU NA DVA TOČKA
IN AND. Ryazhskikh1, M.E. Semenov2, A.G. Rukavitsyn3, O.I. Kanishchev4, A.A. Demchuk4, P.A. Meleshenko3
1 Voronješka država Technical University, Voronjež, Ruska Federacija
2 Voronješki državni univerzitet za arhitekturu i građevinarstvo, Voronjež, Ruska Federacija
3 Voronjež Državni univerzitet, Voronjež, Ruska Federacija
4 Vojnoobrazovni i naučni centar Zračne snage„Vazduhoplovna akademija nazvana po profesoru N.E. Zhukovsky i Yu.A. Gagarin, Voronjež, Ruska Federacija
Email: [email protected]
Razmatra se mehanički sistem koji se sastoji od kolica na dva točka, na čijoj osi se nalazi inverzno klatno. Zadatak je da se formira takvo kontrolno dejstvo, formirano po principu povratne sprege, koje bi, s jedne strane, obezbedilo zadati zakon kretanja. mehaničkim sredstvima, a s druge strane, stabilizirao bi nestabilan položaj klatna.
Ključne riječi: mehanički sistem; vozilo na dva točka; obrnuto klatno; igrati; stabilizacija; kontrolu.
Uvod
Mogućnost upravljanja nestabilnim tehničkim sistemima se teoretski razmatra već duže vrijeme, ali se praktični značaj takvog upravljanja jasno očituje tek u U poslednje vreme. Ispostavilo se da je nestabilna kontrola objekata na odgovarajuće upravljanje imaju niz "korisnih" kvaliteta. Primjeri takvih objekata su svemirski brod u fazi poletanja, fuzijski reaktor i mnogi drugi. Istovremeno, ako sistem automatskog upravljanja pokvari, nestabilan objekat može predstavljati značajnu prijetnju, opasnost i za ljude i okruženje. Nesreća u nuklearna elektrana u Černobilu. Kako upravljački sistemi postaju pouzdaniji, sve širi spektar tehnički nestabilnih objekata u odsustvu kontrole se stavlja u praksu. Jedan od mnogih jednostavni primjeri nestabilni objekti je klasično inverzno klatno. S jedne strane, problem njegove stabilizacije je relativno jednostavan i jasan, s druge strane se može naći praktična upotreba prilikom kreiranja modela dvonožnih bića, kao i antropomorfnih uređaja (roboti, sajber itd.) koji se kreću na dva nosača. IN poslednjih godina pojavili su se radovi posvećeni problemima stabilizacije inverznog klatna povezanog s vozilom na dva točka u pokretu. Ove studije imaju potencijalnu primjenu u mnogim područjima, kao što su transport i istraživanje, zbog kompaktnog dizajna, lakoće rada, velike manevarske sposobnosti i niske potrošnje goriva takvih uređaja. Međutim, problem koji se razmatra još je daleko od konačnog rješenja. Poznato je da mnogi tradicionalni tehnički uređaji imaju i stabilna i nestabilna stanja i načine rada. Tipičan primjer je Segway, koji je izumio Dean Kamen, električni samobalansirajući skuter s dva točka smještena sa obje strane vozača. Dva točka skutera su poravnata. Segway se automatski balansira kada se promijeni položaj tijela vozača; u tu svrhu koristi se sistem stabilizacije indikatora: signali iz žiroskopskih i tekućih senzora nagiba se dovode do mikroprocesora koji generiraju električne signale koji djeluju na motore i kontroliraju njihovo kretanje. Svaki točak Segwaya pokreće vlastiti električni motor, koji reaguje na promjene u balansu automobila. Kada se vozačevo tijelo nagne naprijed, segway počinje da se kotrlja naprijed, dok se ugao nagiba tijela vozača povećava, brzina segwaya se povećava. Kada je telo nagnuto unazad, samo-
kat usporava, zaustavlja se ili se okreće unazad. Taksiranje se u prvom modelu odvija uz pomoć okretne ručke, u novim modelima - zamahom stupca lijevo-desno. Problemi upravljanja oscilatornim mehaničkim sistemima su od velikog teorijskog interesa i velikog praktičnog značaja.
Poznato je da tokom funkcionisanja mehaničkih sistema usled starenja i habanja delova neizbežno nastaju zazori i zaustavljanja, pa je za opisivanje dinamike takvih sistema potrebno uzeti u obzir uticaj histerezisnih efekata. Matematički modeli takvih nelinearnosti, u skladu sa klasičnim konceptima, svode se na operatore, koji se smatraju transformatorima na odgovarajućim prostorima funkcija. Dinamika takvih pretvarača opisana je relacijama "ulaz-stanje" i "stanje-izlaz".
Formulacija problema
U ovom radu razmatramo mehanički sistem koji se sastoji od kolica na dva točka, na čijoj osi se nalazi obrnuto klatno. Zadatak je formiranje takvog upravljačkog dejstva, koje bi, s jedne strane, obezbedilo zadati zakon kretanja mehaničkog sredstva, a sa druge strane, stabilizovalo nestabilan položaj klatna. U ovom slučaju se uzimaju u obzir svojstva histereze u kontrolnoj petlji sistema koji se proučava. Ispod je grafički prikaz proučavanih elemenata mehanički sistem- na dva točka vozilo sa obrnutim klatnom pričvršćenim na njega.
Rice. 1. Glavni konstruktivni elementi razmatranog mehaničkog uređaja
ovdje / 1 / I feili / Fr I
" 1 " \ 1 \ 1 i R J
HR! / / / / /1 / / /
Rice. 2. Lijevi i desni kotači mehaničkog uređaja sa kontrolom momenta
Parametri i varijable koje opisuju sistem koji se razmatra: j - ugao rotacije vozila; D je razmak između dva točka duž središta osovine; R je poluprečnik točkova; Jj - moment inercije; Tw je razlika između momenta lijevog i desnog kotača; v-
uzdužna brzina vozila; c - ugao odstupanja klatna od vertikalnog položaja; m je masa obrnutog klatna; l je rastojanje između težišta tijela i
osovina kotača; Ti - zbir obrtnih momenta lijevog i desnog kotača; x - kretanje vozila u pravcu uzdužne brzine; M je masa šasije; M* - masa točkova; I - povratno rješenje.
Dinamika sistema
Dinamika sistema je opisana sledećim jednačinama:
n = - + - Tn, W u á WR n
u = - - ml C0S u Tn,
gdje je T* = Tb - TJ; Tp \u003d Tb + Tch; Mx \u003d M + m + 2 (M * + ^ *); 1v \u003d t / 2 + 1C; 0. \u003d Mx1v-t2 / 2 co2 v;
<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)
Model koji opisuje dinamiku promjena parametara sistema može se predstaviti kao dva nezavisna podsistema. Prvi podsistem se sastoji od jedne jednačine - p-podsistema,
određivanje kutnih kretanja vozila:
Jednačina (5) se može prepisati kao sistem od dvije jednačine:
gdje je e1 = P-Py, e2 = (P-(Ra.
Drugi podsistem, koji opisuje radijalna kretanja vozila, kao i oscilacije klatna koji je instaliran na njemu, sastoji se od dvije jednačine - (y, v) -podsistema:
U =-[ Jqml in2 sin in - m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u
u =- - ml C ° * u Tv W WR
Sistem (7) je prikladno predstavljen kao sistem jednačina prvog reda:
¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 + qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 + qd)] + TShT v- Xd,
¿6 =~^- ^^^ +c)
gdje je W0 = MxJq- P121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd , ¿4 = v - vd , ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd
Razmotrimo podsistem (6) koji će biti kontrolisan po principu povratne sprege. Da bismo to uradili, uvodimo novu varijablu i definišemo preklopnu površinu u faznom prostoru sistema kao ^ = 0 .
5 = unutra! + s1e1, (9)
gdje je c pozitivan parametar. To proizilazi direktno iz definicije:
■I \u003d e + c1 e1 -plač + c1 e1. (10)
Da bismo stabilizirali rotacijsko kretanje, definiramo kontrolni moment na sljedeći način:
T# P - ^ v1 - -MgP(51) - k2 (11)
gdje su pozitivno specificirani parametri.
Slično ćemo izgraditi upravljanje drugog podsistema (8), kojim ćemo također upravljati po principu povratne sprege. Da bismo to uradili, uvodimo novu varijablu i definišemo preklopnu površinu u faznom prostoru sistema kao ■2 = 0 .
■2 = vz + S2vz, (12)
gdje je c2 onda pozitivan parametar
1 . 2 2 2
■2 \u003d e3 + c2 e3 \u003d (s + b6) ^5 + ve) - m 1 § ^5 + s1)C08 (e5 + ba)] +
7^T - + c2 e
Da bismo stabilizirali radijalno kretanje, definiramo kontrolni moment:
tt "2/2 ^ k T \u003d - Km / (wi + eb) r ^ m (eb + wi) + n ^ + wi) +kA ^],(14)
gdje su k3, k4 pozitivno dati parametri.
Da bismo istovremeno kontrolisali oba podsistema sistema, uvodimo dodatnu kontrolnu akciju:
\u003d § Xapv - [va + c3 (v-vy) - k588n (^3) - kb 53], (15)
gdje je § ubrzanje slobodnog
pada; c3, k5, kb - pozitivni parametri; 53 - sklopna površina, određena omjerom:
53 = e6 + c3e5.
Formulirajmo glavne rezultate rada, koji se sastoje u fundamentalnoj mogućnosti stabilizacije oba podsistema, pod pretpostavkama o upravljačkim dejstvima, u blizini nulte ravnotežne pozicije.
Teorema 1. Sistem (6) sa upravljačkim djelovanjem (11) je apsolutno asimptotski stabilan:
Nsh || e11|® 0,
Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2
Dokaz: funkciju Ljapunova definiramo kao
gdje je a = Dj 2 RJp.
Očigledno, onda je funkcija V > 0
V = W1 Si = Si. (18)
Zamjenom (14) u V dobijamo
V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)
Očigledno je da V1 Teorema 2. Razmotrimo podsistem (8) sa upravljačkim djelovanjem (14). Pod datim pretpostavkama, ovaj sistem je apsolutno asimptotski stabilan, odnosno pod bilo kojim početnim uslovima vrijede sljedeće relacije: lim ||e3 ||® 0, t®¥ (20) lim 11 e41|® o. Dokaz: Ljapunovljevu funkciju za sistem (8) definiramo pomoću relacije gdje je b =Wo R!Je . Očigledno, funkcija V2 > 0, i V2 = M S2 = S2, jer postoje mrtve zone u odnosu na kontrolno djelovanje. Hajde da donesemo Kratki opis histerezisnog pretvarača koji će se koristiti u budućnosti - zazor, na osnovu interpretacije operatera. Izlaz pretvarača - zazor na monotonim ulazima opisuje se relacijom: x(t0) za one t za koje je x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24) u(t) + h za one t za koje je u(t)< x(t0) - h, što je ilustrovano na sl. 3. Uz pomoć identiteta polugrupe, djelovanje operatora se proširuje na sve monotone ulaze po komadima: G x(t) = G [ G x(t1), h]x(t) (25) i uz pomoć posebne granične konstrukcije na svim kontinuiranim. Pošto izlaz ovog operatora nije diferenciran, u nastavku se koristi aproksimacija zazora po Bowk-Ven modelu. Ovaj dobro poznati polufizički model se široko koristi za fenomenološki opis efekata histereze. Popularnost modela Bowk-Vienna poznat po svojoj sposobnosti analitičkog hvatanja razne forme ciklusi histereze. Formalni opis modela sveden je na sistem sljedeće jednačine: Fbw (x, ^ = ax() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -p\x \\z \n-1 z-yx | z |n). (26) Fbw(x,t) se tretira kao izlaz histerezisnog pretvarača, a x(t) kao ulaz. Ovdje je n > 1, D > 0 k > 0 i 0<а< 1. Rice. 3. Dinamika korespondencije ulazno-izlaznih zazora Razmotrimo generalizaciju sistema (6) i (8), u kojima se kontrolno dejstvo dovodi na ulaz histerezisnog pretvarača, a izlaz je kontrolno dejstvo na sistem: Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n). ¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] + ¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), ^ z = D_1(A x-b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n). Kao i ranije, u sistemu koji se razmatra, glavni problem je bila stabilizacija, odnosno asimptotičko ponašanje njegovih faznih varijabli. Ispod su grafikoni za iste fizičke parametre sistema sa i bez zazora. Ovaj sistem je istražen numeričkim eksperimentima. Ovaj problem je riješen u programskom okruženju Wolfram Mathematica. Vrijednosti konstanti i početni uslovi su dati u nastavku: m = 3; M=5; mw = 1; D=1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5; Jv = 1,5; j(0) = 0, x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )
