Međusobno inverzne funkcije, osnovne definicije, svojstva, grafovi. Inverzne funkcije - definicija i svojstva Inverzne funkcije, njihova svojstva i primjeri grafova

Neka su skupovi $X$ i $Y$ uključeni u skup realnih brojeva. Hajde da uvedemo koncept invertibilne funkcije.

Definicija 1

Funkcija $f:X\to Y$ koja preslikava skup $X$ u skup $Y$ naziva se invertibilnom ako za bilo koji element $x_1,x_2\in X$ slijedi iz činjenice da je $x_1\ne x_2$ da $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Sada možemo uvesti pojam inverzne funkcije.

Definicija 2

Neka funkcija $f:X\to Y$ koja preslikava skup $X$ u skup $Y$ bude inverzibilna. Tada funkcija $f^(-1):Y\to X$ preslikava skup $Y$ u skup $X$ i definiše uslovom $f^(-1)\left(y\right)=x$ se zove inverzno za $f( x)$.

Formulirajmo teoremu:

Teorema 1

Neka je definirana funkcija $y=f(x)$, monotono rastuća (opadajuća) i kontinuirana u nekom intervalu $X$. Zatim, u odgovarajućem intervalu $Y$ vrijednosti ove funkcije, ona ima inverznu funkciju, koja je također monotono rastuća (opadajuća) i kontinuirana na intervalu $Y$.

Uvedimo sada direktno koncept međusobno inverznih funkcija.

Definicija 3

U okviru definicije 2, funkcije $f(x)$ i $f^(-1)\left(y\right)$ nazivaju se međusobno inverzne funkcije.

Svojstva međusobno inverznih funkcija

Neka su funkcije $y=f(x)$ i $x=g(y)$ međusobno inverzne, tada

$y=f(g\levo(y\desno))$ i $x=g(f(x))$

Domen funkcije $y=f(x)$ jednak je domenu vrijednosti funkcije $\ x=g(y)$. A domen funkcije $x=g(y)$ jednak je domenu vrijednosti funkcije $\ y=f(x)$.

Grafovi funkcija $y=f(x)$ i $x=g(y)$ su simetrični u odnosu na pravu liniju $y=x$.

Ako se jedna od funkcija povećava (smanjuje), onda se i druga funkcija povećava (smanjuje).

Pronalaženje inverzne funkcije

Jednačina $y=f(x)$ u odnosu na varijablu $x$ je riješena.

Iz dobijenih korijena nalaze se oni koji pripadaju intervalu $X$.

Pronađeni $x$ se dodjeljuju broju $y$.

Primjer 1

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x^2$ na intervalu $X=[-1,0]$

Kako je ova funkcija opadajuća i kontinuirana na intervalu $X$, onda je na intervalu $Y=$, koji je također opadajući i kontinuiran na ovom intervalu (Teorema 1).

Izračunaj $x$:

\ \

Odaberite odgovarajući $x$:

odgovor: inverzna funkcija $y=-\sqrt(x)$.

Problemi za pronalaženje inverznih funkcija

U ovom dijelu razmatramo inverzne funkcije za neke elementarne funkcije. Zadaci će se rješavati prema gore navedenoj šemi.

Primjer 2

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x+4$

Pronađite $x$ iz jednačine $y=x+4$:

Primjer 3

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x^3$

Rješenje.

Kako je funkcija rastuća i kontinuirana na cijeloj domeni definicije, onda, prema teoremi 1, ima inverznu kontinuiranu i rastuću funkciju na sebi.

Pronađite $x$ iz jednačine $y=x^3$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Vrijednost je u našem slučaju prikladna (budući da su opseg svi brojevi)

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 4

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=cosx$ na intervalu $$

Rješenje.

Razmotrimo funkciju $y=cosx$ na skupu $X=\left$. Ona je kontinuirana i opadajuća na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left$ na skup $Y=[-1,1]$, dakle, prema teoremi o postojanju inverzne kontinuirane monotone funkcije, funkcija $y=cosx$ u skupu $Y$ postoji inverzna funkcija, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=[-1,1]$ i preslikava skup $[-1,1]$ na skup $\left$.

Pronađite $x$ iz jednačine $y=cosx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 5

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=tgx$ na intervalu $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Rješenje.

Razmotrimo funkciju $y=tgx$ na skupu $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. On je kontinuiran i raste na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na skup $Y =R$, dakle, prema teoremi o postojanju inverzne kontinuirane monotone funkcije, funkcija $y=tgx$ u skupu $Y$ ima inverznu funkciju, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=R $ i preslikava skup $R$ na skup $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Pronađite $x$ iz jednačine $y=tgx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Pretpostavimo da imamo neku funkciju y = f (x) koja je striktno monotona (opadajuća ili rastuća) i kontinuirana na domeni x ∈ a ; b; njegov raspon vrijednosti je y ∈ c; d , i na intervalu c ; d u isto vrijeme, imat ćemo funkciju x = g (y) s rasponom vrijednosti a ; b. Druga funkcija će također biti kontinuirana i strogo monotona. U odnosu na y = f (x) to će biti inverzna funkcija. Odnosno, možemo govoriti o inverznoj funkciji x = g (y) kada će se y = f (x) ili smanjiti ili povećati na datom intervalu.

Ove dvije funkcije, f i g , bit će međusobno inverzne.

Zašto nam je uopće potreban koncept inverznih funkcija?

Ovo nam je potrebno za rješavanje jednadžbi y = f (x) , koje su napisane samo pomoću ovih izraza.

Recimo da treba da nađemo rešenje za jednadžbu cos (x) = 1 3 . Sve točke će biti njegova rješenja: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π k , k ∈ Z

Inverzne jedna u odnosu na drugu bit će, na primjer, arkosinusne i kosinusne funkcije.

Analizirajmo nekoliko problema za pronalaženje funkcija inverznih datim.

Primjer 1

Stanje: koja je inverzna funkcija za y = 3 x + 2 ?

Rješenje

Domen definicija i domen vrijednosti funkcije navedene u uvjetu je skup svih realnih brojeva. Pokušajmo ovu jednačinu riješiti kroz x, odnosno izražavajući x kroz y.

Dobijamo x = 1 3 y - 2 3 . Ovo je inverzna funkcija koja nam je potrebna, ali ovdje će y biti argument, a x će biti funkcija. Hajde da ih preuredimo da dobijemo poznatiju notaciju:

odgovor: funkcija y = 1 3 x - 2 3 će biti inverzna za y = 3 x + 2 .

Obje međusobno inverzne funkcije mogu se nacrtati na sljedeći način:

Vidimo simetriju oba grafa u odnosu na y = x . Ova linija je simetrala prvog i trećeg kvadranta. Dobili smo dokaz jednog od svojstava međusobno inverznih funkcija, o čemu ćemo kasnije raspravljati.

Uzmimo primjer u kojem trebate pronaći logaritamsku funkciju, inverznu datog eksponencijala.

Primjer 2

Stanje: odrediti koja će funkcija biti inverzna za y = 2 x .

Rješenje

Za datu funkciju, domen definicije su svi realni brojevi. Raspon vrijednosti nalazi se u intervalu 0; +∞ . Sada treba da izrazimo x kroz y, odnosno da rešimo naznačenu jednačinu kroz x. Dobijamo x = log 2 y. Preuredite varijable i dobijete y = log 2 x .

Kao rezultat, dobili smo eksponencijalne i logaritamske funkcije, koje će biti međusobno inverzne jedna drugoj u cijeloj domeni definicije.

odgovor: y = log 2 x .

Na grafikonu će obje funkcije izgledati ovako:



Osnovna svojstva međusobno inverznih funkcija

U ovom pododjeljku navodimo glavna svojstva funkcija y = f (x) i x = g (y) koje su međusobno inverzne.

Definicija 1

1. Već smo ranije izveli prvo svojstvo: y = f (g (y)) i x = g (f (x)) .
2. Drugo svojstvo proizlazi iz prvog: domen definicije y = f (x) će se podudarati sa domenom inverzne funkcije x = g (y), i obrnuto.
3. Grafovi funkcija koji su inverzni bit će simetrični u odnosu na y = x .
4. Ako se y = f (x) povećava, tada će se povećati i x = g (y), a ako se y = f (x) smanjuje, onda će se i x = g (y) smanjiti.

Savjetujemo vam da pažljivo razmotrite koncepte domena definicije i opsega funkcija i nikada ih ne zbunite. Recimo da imamo dvije međusobno inverzne funkcije y = f (x) = a x i x = g (y) = log a y . Prema prvom svojstvu, y = f (g (y)) = a log a y . Ova jednakost bit će istinita samo u slučaju pozitivnih vrijednosti y, a za negativne vrijednosti logaritam nije definiran, pa nemojte žuriti da zapišete da je log a y = y. Obavezno provjerite i dodajte da ovo vrijedi samo za pozitivno y.

Ali jednakost x = f (g (x)) = log a a x = x bit će istinita za sve realne vrijednosti x.

Ne zaboravite na ovu točku, posebno ako morate raditi s trigonometrijskim i inverznim trigonometrijskim funkcijama. Dakle, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 jer je raspon arksinusa π 2 ; π 2 i 7 π 3 nisu uključeni u njega. Tačan unos će biti

a r c sin sin 7 π 3 \u003d a r c sin sin 2 π + π 3 \u003d \u003d \u003d u obliku s u l p r i o n i o n \u003d a r c sin sin π 3 \u003d π 3

Ali sin a r c sin 1 3 \u003d 1 3 je ispravna jednakost, tj. sin (a r c sin x) = x za x ∈ - 1 ; 1 i a r c sin (sin x) = x za x ∈ - π 2 ; π 2 . Uvijek budite oprezni s opsegom i opsegom inverznih funkcija!

• Osnovne međusobno inverzne funkcije: snaga

Ako imamo funkciju stepena y = x a , tada će za x > 0 funkcija stepena x = y 1 a također biti inverzna prema njoj. Zamenimo slova i dobićemo y = x a i x = y 1 a.

Na grafikonu će izgledati ovako (slučajevi sa pozitivnim i negativnim koeficijentom a):



• Osnovne međusobno inverzne funkcije: eksponencijalne i logaritamske

Uzmimo a, koji će biti pozitivan broj, koji nije jednak 1.

Grafovi za funkcije s a > 1 i a< 1 будут выглядеть так:



• Osnovne međusobno inverzne funkcije: trigonometrijske i inverzne trigonometrijske

Ako trebamo iscrtati glavnu granu sinusa i arksinusa, to će izgledati ovako (prikazano u označenom svjetlosnom području).

Definicija inverzne funkcije.

Neka je funkcija striktno monotona (rastuća ili opadajuća) i kontinuirana u domeni definicije, domeni ove funkcije, tada je na intervalu definirana kontinuirana striktno monotona funkcija sa domenom vrijednosti, koja je inverzno za .

Drugim riječima, ima smisla govoriti o inverznoj funkciji za funkciju u određenom intervalu ako se ili povećava ili smanjuje na ovom intervalu.

Funkcije f i g naziva recipročnim.

Zašto uopće razmatrati koncept inverznih funkcija?

Ovo je uzrokovano problemom rješavanja jednačina. Rješenja su samo napisana u terminima inverznih funkcija.

Primjeri pronalaženja međusobno inverznih funkcija.

Na primjer, trebate riješiti jednačinu.

Rešenja su tačke .

Funkcije kosinus i arc kosinus su samo inverzi u domeni definicije.

Razmislite nekoliko primjera pronalaženja inverznih funkcija.

Počnimo s linearnim recipročnim funkcijama.

Primjer.

Rješenje.

Područje definicije i opsega ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva. Izrazite x u terminima y (drugim riječima, riješite jednačinu za x).

Ovo je inverzna funkcija, iako je ovdje y argument, a x je funkcija ovog argumenta. Da ne bismo narušili navike u zapisu (ovo nije od suštinske važnosti), preuređivanjem slova x i y napisaćemo .

Dakle, i su međusobno inverzne funkcije.

Dajemo grafičku ilustraciju međusobno inverznih linearnih funkcija.


Očigledno, grafovi su simetrični u odnosu na pravu liniju y=x (simetrale prvog i trećeg kvadranta). Ovo je jedno od svojstava međusobno inverznih funkcija, o čemu će biti riječi u nastavku.

Sada razmotrite primjer pronalaženja logaritamske funkcije inverzne datoj eksponencijalnoj funkciji.

Primjer.

Pronađite inverznu funkciju za .

Rješenje.

Domen ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva, domen vrijednosti je interval. Izrazite x u terminima y (drugim riječima, riješite jednačinu za x).

Ovo je inverzna funkcija. Preuređivanje slova x i y, imamo .

Dakle, i - eksponencijalna i logaritamska funkcija su međusobno inverzne funkcije u domenu definicije.

Graf međusobno inverznih eksponencijalnih i logaritamskih funkcija.


Svojstva međusobno inverznih funkcija.

Hajde da navedemo svojstva međusobno inverznih funkcija i .

Bilješka o imovini 1).

Na primjer: i su međusobno inverzne funkcije. Po prvom imanju imamo . Ova jednakost vrijedi samo za pozitivno y, za negativno y logaritam nije definiran. Zato nemojte žuriti sa unosima poput , a ako ste to već napisali, onda biste trebali dodati izraz " za pozitivno y».

Jednakost, pak, vrijedi za bilo koji realni x.

Nadamo se da ste uhvatili ovaj suptilan trenutak.

Posebno morate biti oprezni s trigonometrijskim i inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Na primjer, , budući da je raspon vrijednosti arcsinusa, ali ne spada u njega.

Biće tačno


Zauzvrat je tačna jednakost.

To je at and u .

Još jednom naglašavamo: OPREZNITE SA PODRUČJEM DEFINICIJE I PODRUČJEM VRIJEDNOSTI!

Grafovi osnovnih elementarnih međusobno inverznih funkcija.

Ako su vam potrebne inverzne funkcije za grane trigonometrijskih funkcija koje nisu glavne, tada će se odgovarajuća inverzna trigonometrijska funkcija morati pomaknuti duž ordinatne ose za potreban broj perioda.

Na primjer, ako vam je potrebna inverzna funkcija za tangentnu granu na intervalu (ova grana se dobiva od glavne grane pomakom duž x ose), tada će to biti grana tangente luka pomjerena duž ose oy za .


Za sada, završimo s inverznim funkcijama.

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra i počeci analize: Proc. za 10-11 ćelija. obrazovne institucije.

Odgovarajući izrazi koji se pretvaraju jedan u drugi. Da bismo razumjeli što to znači, vrijedi razmotriti konkretan primjer. Recimo da imamo y = cos(x). Ako uzmemo kosinus iz argumenta, tada možemo pronaći vrijednost y. Očigledno, za ovo morate imati x. Ali šta ako je igra na početku data? Ovdje dolazi do srži stvari. Za rješavanje problema potrebna je upotreba inverzne funkcije. U našem slučaju, ovo je arkosinus.

Nakon svih transformacija, dobijamo: x = arccos(y).

To jest, da biste pronašli funkciju inverznu datoj, dovoljno je jednostavno izraziti argument iz nje. Ali ovo funkcionira samo ako će rezultat imati jednu vrijednost (više o tome kasnije).

Općenito, ova činjenica se može napisati na sljedeći način: f(x) = y, g(y) = x.

Definicija

Neka je f funkcija čija je domena postavljena X i čija je domena postavljena Y. Tada ako postoji g čiji domeni obavljaju suprotne zadatke, tada je f reverzibilno.

Osim toga, u ovom slučaju je g jedinstven, što znači da postoji tačno jedna funkcija koja zadovoljava ovo svojstvo (ni više, ni manje). Tada se naziva inverzna funkcija, a u pisanom obliku se označava na sljedeći način: g (x) = f -1 (x).

Drugim riječima, oni se mogu posmatrati kao binarna relacija. Reverzibilnost se dešava samo kada jedan element skupa odgovara jednoj vrijednosti drugoj.

Ne postoji uvijek inverzna funkcija. Da bi se to uradilo, svaki element y ê Y mora odgovarati najviše jednom x ê X. Tada se f naziva jedan prema jedan ili injekcija. Ako f -1 pripada Y, tada svaki element ovog skupa mora odgovarati nekom x ∈ X. Funkcije s ovim svojstvom nazivaju se surjekcije. Po definiciji vrijedi ako je Y slika f, ali to nije uvijek slučaj. Da bi bila inverzna, funkcija mora biti i injekcija i surjekcija. Takvi izrazi se nazivaju bijekcije.

Primjer: kvadratne i korijenske funkcije

Funkcija je definirana na

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) = arcsin (-x) = - arcsin x - neparna funkcija, graf je simetričan u odnosu na tačku O (0; 0).

arcsin x = 0 na x = 0.

arcsin x > 0 na x ê (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y = arcsin x se povećava za bilo koji x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arc kosinus

Kosinusna funkcija opada na segmentu i poprima sve vrijednosti od -1 do 1. Dakle, za bilo koji broj a takav da je |a|1, postoji jedan korijen u jednadžbi cosx=a na segmentu. Ovaj broj u naziva se arkosinus broja a i označava se arcos a.

Definicija . Lučni kosinus broja a, gdje je -1 a 1, je broj iz segmenta čiji je kosinus jednak a.

Svojstva.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funkcija nije ni parna ni neparna.

   arccos x = 0 na x = 1

   arccos x > 0 na x ê [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y = arccos x se smanjuje za bilo koji x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - opadajući.

Arktangent

Tangentna funkcija raste na segmentu -
, dakle, prema teoremi o korijenu, jednadžba tgx \u003d a, gdje je a bilo koji realan broj, ima jedinstveni korijen x na intervalu -. Ovaj korijen se naziva arc tangent broja a i označava se sa arctga.

Definicija. Arc tangent broja aR ovaj broj se zove x , čija je tangenta a.

Svojstva.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) = y = arctg (-x) = - arctg x - funkcija je neparna, graf je simetričan u odnosu na tačku O (0; 0).

arctg x = 0 na x = 0

Funkcija raste za bilo koje x ê R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arc tangent

Kotangentna funkcija na intervalu (0;) opada i poprima sve vrijednosti iz R. Dakle, za bilo koji broj a u intervalu (0;) postoji jedan korijen jednadžbe ctg x \u003d a. Ovaj broj a naziva se arc tangent broja a i označava se sa arcctg a.

Definicija. Tangens luka broja a, gdje je a R, je takav broj iz intervala (0;) , čiji je kotangens a.

Svojstva.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funkcija nije ni parna ni neparna.

arcctg x = 0- ne postoji.

Funkcija y = arcctg x smanjuje se za bilo koje hê R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funkcija je neprekidna za bilo koje x ê R.

2.3 Transformacije identiteta izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije

Primjer 1. Pojednostavite izraz:

a)
gdje

Rješenje. Hajde da stavimo
. Onda
i
Naći
, koristimo relaciju
Dobijamo
ali . Na ovom segmentu kosinus uzima samo pozitivne vrijednosti. Na ovaj način,
, to je
gdje
.

b)

Rješenje.

v)

Rješenje. Hajde da stavimo
. Onda
i
Hajde da prvo pronađemo, za šta koristimo formulu
, gdje
Pošto kosinus na ovom intervalu uzima samo pozitivne vrijednosti
.