Формули диференціювання логарифмічної та показової функції. Диференціювання показової та логарифмічної функції. Первинна показова функція в завданнях ЕНТ. Випадок негативних значень y
Тема уроку: «Диференціювання показової та логарифмічної функції. Первісна показникова функція» в завданнях ЕНТ
Ціль : розвивати в учнів навички застосування теоретичних знань на тему «Диференціювання показової та логарифмічної функції. Первинна показова функція» для вирішення завдань ЕНТ.
Завдання
Освітні: систематизувати теоретичні знання учнів, закріпити навички розв'язання завдань на цю тему.
Розвиваючі:розвивати пам'ять, спостережливість, логічне мислення, математичну мову учнів, уваги, навичок самооцінки та самоконтролю.
Виховні:сприяти:
формування у учнів відповідального ставлення до вчення;
розвитку сталого інтересу до математики;
створення позитивної внутрішньої мотивації до вивчення математики.
Методи навчання: словесний, наочний, практичний.
Форми роботи:індивідуальна, фронтальна, у парах.
Хід уроку
Епіграф: «Розум полягає не тільки у знанні, а й у вмінні застосовувати знання на практиці» Арістотель (слайд 2)
I. Організаційний момент.
ІІ. Розгадування кросворду. (Слайд 3-21)
Французький математик XVII століття П'єр Ферма визначив цю лінію так «Пряма, що найбільш тісно прилягає до кривої в малій околиці точки».
Стосовна
Функція, що задається формулою у = log a x.
Логарифмічна
Функція, що задається формулою у = ах.
Показова
У математиці це поняття використовується при знаходженні швидкості руху матеріальної точки та кутового коефіцієнта щодо графіку функції в заданій точці.
Похідна
Як називається функція F(x) для функції f(x), якщо виконується умова F"(x) = f(x) для будь-якої точки інтервалу I.
Первісна
Як називається залежність між X і У, при якій кожному елементу Х ставиться у відповідність єдиний елемент У.
Похідна від переміщення
Швидкість
Функція, що задається формулою у = е x.
експонента
Якщо функцію f(x) можна у вигляді f(x)=g(t(x)), то цю функцію називають…
ІІІ. Математичний диктант. (Слайд 22)
1. Записати формулу похідної показової функції. ( ах)" = ах · ln a
2. Записати формулу похідної експоненти. (e х)" = e х
3. Записати формулу похідної натурального логарифму. (ln x)"=
4. Записати формулу похідної логарифмічної функції. (log a x)"= 
5. Записати загальний вигляд первісних для функції f(x) = ах. F(x)= 
6. Записати загальний вигляд первісних для функції f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C
Перевірити роботу (відповіді на слайді 23).
IV. Розв'язання задач ЕНТ (тренажер)
А) №1,2,3,6,10,36 на дошці та у зошиті (слайд 24)
Б) Робота у парах №19,28 (тренажер) (слайд 25-26)
V. 1. Знайти помилки: (слайд 27)
1) f(x) = 5 e - 3х, f "(x) = - 3 e - 3х
2) f (x) = 17 2х, f "(x) = 17 2х ln17
3) f(x) = log 5
(7x+1), f "(x)= 
4) f(x) = ln (9 - 4х), f "(x) = 
.
VI. Презентація учнів.
Епіграф: «Знання – така дорогоцінна річ, що його не соромно видобувати з будь-якого джерела» Фома Аквінський (слайд 28)
VII. Будинок.завдання №19,20 стор.116
VIII. Тест (резервне завдання) (слайд 29-32)
IX. Підсумок уроку.
«Якщо ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є можливість. Вона надасть вам потім величезну допомогу у всьому вашому житті» М. Калінін (слайд 33)
Диференціювання показової та логарифмічної функцій
1. Число е. Функція у = е х, її властивості, графік, диференціювання
Розглянемо показову функціюу = а х, де а > 1. Для різних підстав а отримуємо різні графіки (рис. 232-234), але можна помітити, що всі вони проходять через точку (0; 1), всі вони мають горизонтальну асимптоту у = 0 при , всі вони звернені опуклістю вниз і, нарешті, всі вони мають дотичні у всіх своїх точках. Проведемо для прикладу дотичну до графікуфункції у = 2x у точці х = 0 (рис. 232). Якщо зробити точні побудови та вимірювання, то можна переконатися в тому, що ця дотична утворює з віссю х кут 35° (приблизно).
Тепер проведемо дотичну до графіка функції у = 3 x теж у точці х = 0 (рис. 233). Тут кут між дотичною та віссю х буде більшим – 48°. А для показової функції у = 10 x в аналогічній
ситуації отримуємо кут 66,5 ° (рис. 234).
Отже, якщо основа показової функції у=ах поступово збільшується від 2 до 10, то кут між дотичною до графіку функції в точці х=0 і віссю абсцис поступово збільшується від 35° до 66,5°. Логічно вважати, що існує основа, для якого відповідний кут дорівнює 45°. Ця основа повинна бути укладена між числами 2 і 3, оскільки для функції у- 2х кут, що нас цікавить, дорівнює 35°, що менше, ніж 45°, а для функції у=3 x він дорівнює 48°, що вже трохи більше, ніж 45° °. Підстава, що цікавить нас, прийнято позначати буквою е. Встановлено, що число е - ірраціональне, тобто. є нескінченною десятковою неперіодичною дріб:
e = 2,7182818284590...;
практично зазвичай вважають, що e=2,7.
Зауваження(Не дуже серйозне). Зрозуміло, що Л.М. Толстой ніякого відношення до e не має, проте в записі числа е, зверніть увагу, двічі поспіль повторюється число 1828 - рік народження Л.М. Толстого.
Графік функції у=е х зображено на рис. 235. Це - експонента, що відрізняється від інших експонент (графіків показових функцій з іншими підставами) тим, що кут між дотичною до графіка в точці х = 0 і віссю абсцис дорівнює 45 °.
Властивості функції у = е х:
1)
2) не є ні парною, ні непарною;
3) зростає;
4) не обмежена згори, обмежена знизу;
5) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
6) безперервна;
7)
8) випукла вниз;
9) диференційована.
Поверніться до § 45, погляньте на наявний там перелік властивостей показової функції у = а х при а > 1. Ви виявите ті ж властивості 1-8 (що цілком природно), а дев'ята властивість, пов'язана з
диференційованість функції, ми тоді не згадали. Обговоримо його тепер.
Виведемо формулу для відшукання похідної у-ех. При цьому ми не користуватимемося звичайним алгоритмом, який виробили в § 32 і який не раз успішно застосовували. У цьому алгоритмі на заключному етапі треба обчислити межу, а знання з теорії меж у нас з вами поки дуже обмежені. Тому будемо спиратися на геометричні передумови, вважаючи, зокрема, сам факт існування щодо графіка показової функції не підлягає сумніву (тому ми так впевнено записали в наведеному вище переліку властивостей дев'яте властивість - диференційність функції у = е х).
1. Зазначимо, що з функції y = f(х), де f(х) =ех, значення похідної у точці х =0 нам відомо: f / = tg45°=1.
2. Введемо до розгляду функцію у=g(x), де g(х) -f(х-а), тобто. g(х)-ех" а. На рис. 236 зображено графік функції у = g(х): він отриманий з графіка функції у - fх) зсувом по осі х на | а | одиниць масштабу. Дотична до графіка функції у = g (х) у точці х-а паралельна дотичної до графіка функції у = f(х) у точці х -0 (див. рис. 236), отже, вона утворює з віссю х кут 45 °. Використовуючи геометричний зміст похідної, можемо записати , Що g (а) = tg45 °; = 1.
3. Повернемося до функції у = f(x). Маємо:
4. Ми встановили, що з будь-якого значення а справедливо співвідношення . Замість літери а можна, природно, використовувати літеру х; тоді отримаємо
З цієї формули виходить відповідна формула інтегрування:
А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас
Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі
Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані урокиПри диференціюванні показово статечної функції або громіздких дробових виразів зручно користуватися логарифмічною похідною. У цій статті ми розглянемо приклади її застосування із докладними рішеннями.
Подальший виклад має на увазі вміння користуватися таблицею похідних, правилами диференціювання та знання формули похідної складної функції.
Висновок формули логарифмічної похідної.
Спочатку проводимо логарифмування на основі e , спрощуємо вид функції, використовуючи властивості логарифму, і далі знаходимо похідну неявно заданої функції: 
Наприклад знайдемо похідну показово статечної функції x ступенем x .
Логарифмування дає. За властивостями логарифму. Диференціювання обох частин рівності призводить до результату: 
Відповідь: 
.
Цей приклад можна вирішити і без використання логарифмічної похідної. Можна провести деякі перетворення і перейти від диференціювання показово статечної функції до знаходження похідної складної функції: 
приклад.
Знайти похідну функції 
.
Рішення.
У цьому прикладі функція 
є дріб і його похідну можна шукати з використанням правил диференціювання. Але з громіздкості висловлювання це вимагатиме безлічі перетворень. У таких випадках розумніше використовувати формулу логарифмічної похідної 
. Чому? Ви зараз зрозумієте.
Знайдемо спочатку. У перетвореннях будемо використовувати властивості логарифму (логарифм дробу дорівнює різниці логарифмів, а логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів, і ще ступінь виразу під знаком логарифму можна винести як коефіцієнт перед логарифмом): 
Ці перетворення привели нас до досить простого виразу, похідна якого легко перебуває: 
Підставляємо отриманий результат у формулу логарифмічної похідної та отримуємо відповідь:
Для закріплення матеріалу наведемо ще кілька прикладів без докладних пояснень.
приклад.
Знайдіть похідну показово статечної функції 
Готові роботи
ДИПЛОМНІ РОБОТИ
Багато чого вже позаду і тепер ти – випускник, якщо, звісно, вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш усі студентські радості, багато з яких, ти так і не спробував, все відкладаючи та відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати втрачене, ти копишся над дипломною роботою? Є чудовий вихід: завантажити потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться багато вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені у провідних Університетах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге
КУРСОВІ РОБОТИ
Курсовий проект – це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової розпочинається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті та грамотно його оформляти, то надалі у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити питання, що виникають під час її складання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2500 тенге
МАГІСТЕРСЬКІ ДИСЕРТАЦІЇ
В даний час у вищих навчальних закладах Казахстану та країн СНД дуже поширений ступінь вищої професійної освіти, який слідує після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, який визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання у магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний та текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге
ЗВІТИ З ПРАКТИКИ
Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботи студента та основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт з практики, потрібно зібрати та проаналізувати інформацію про підприємстві, розглянути структуру та розпорядок роботи організації, в якій проходить практика, скласти календарний план та описати свою практичну діяльність.
Ми допоможемо написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.
Нехай
(1)
є функція, що диференціюється від змінної x . На початку ми розглянемо її на безлічі значень x , котрим y приймає позитивні значення: . Надалі ми покажемо, що це отримані результати застосовні й у негативних значень .
У деяких випадках, щоб знайти похідну функції (1), її зручно попередньо прологарифмувати
,
а потім обчислити похідну. Тоді за правилом диференціювання складної функції
.
Звідси
(2)
.
Похідна від логарифму функції називається логарифмічною похідною:
.
Логарифмічна похідна функції y = f(x) - це похідна натурального логарифму цієї функції: (ln f(x))′.
Випадок негативних значень y
Тепер розглянемо випадок, коли змінна може набувати як позитивних, так і негативних значень. В цьому випадку візьмемо логарифм від модуля та знайдемо його похідну:
.
Звідси
(3)
.
Тобто, у випадку, потрібно знайти похідну від логарифму модуля функції .
Порівнюючи (2) та (3) ми маємо:
.
Тобто формальний результат обчислення логарифмічної похідної не залежить від того, взяли ми за модулем чи ні. Тому, при обчисленні логарифмічної похідної ми можемо не турбуватися про те, який знак має функція .
Прояснити таку ситуацію можна за допомогою комплексних чисел. Нехай, при деяких значеннях x негативна: . Якщо ми розглядаємо лише дійсні числа, то функція не визначена. Однак, якщо ввести до розгляду комплексні числа, то отримаємо таке:
.
Тобто функції і відрізняються на комплексну постійну:
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю, то
.
Властивість логарифмічної похідної
З такого розгляду випливає, що логарифмічна похідна не зміниться, якщо помножити функцію на довільну постійну :
.
Дійсно, застосовуючи властивості логарифму, формули похідної сумиі похідної постійної, маємо:
.
Застосування логарифмічної похідної
Застосовувати логарифмічну похідну зручно у випадках, коли вихідна функція складається з добутку статечних чи показових функцій. І тут операція логарифмування перетворює добуток функцій їх суму. Це полегшує обчислення похідної.
Приклад 1
Знайти похідну функції:
.
Рішення
Логарифмуємо вихідну функцію:
.
Диференціюємо по змінній x.
У таблиці похідних знаходимо:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
;
;
;
;
(П1.1) .
Помножимо на:
.
Отже, ми знайшли логарифмічну похідну:
.
Звідси знаходимо похідну вихідної функції:
.
Примітка
Якщо ми хочемо використовувати тільки дійсні числа, слід брати логарифм від модуля вихідної функції:
.
Тоді
;
.
І ми одержали формулу (П1.1). Тож результат не змінився.
Відповідь
Приклад 2
За допомогою логарифмічної похідної знайдіть похідну функції
.
Рішення
Логарифмуємо:
(П2.1) .
Диференціюємо по змінній x:
;
;
;
;
;
.
Помножимо на:
.
Звідси ми отримуємо логарифмічну похідну:
.
Похідна вихідної функції:
.
Примітка
Тут вихідна функція невід'ємна: . Вона визначена за . Якщо не припускати, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу, формулу (П2.1) слід записати так:
.
Оскільки
і
,
це не вплине на остаточний результат.
Відповідь
Приклад 3
Знайдіть похідну
.
Рішення
Диференціювання виконуємо за допомогою логарифмічної похідної. Логарифмуємо, враховуючи що :
(П3.1) .
Диференціюючи, отримуємо логарифмічну похідну.
;
;
;
(П3.2) .
Оскільки , то
.
Примітка
Виконаємо обчислення без припущення, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу. Для цього візьмемо логарифм від модуля вихідної функції:
.
Тоді замість (П3.1) маємо:
;
.
Порівнюючи з (П3.2) бачимо, що результат змінився.
