Головна » Краса » Обчислення площі з допомогою певного інтеграла. Обчислення площ фігур, обмежених заданими лініями. IV. Пояснення нового матеріалу

Обчислення площі з допомогою певного інтеграла. Обчислення площ фігур, обмежених заданими лініями. IV. Пояснення нового матеріалу

З визначення випливає, що для невід'ємної функції f(x) певний інтегральний дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривої у = f (x), прямими х = а, х = bі віссю абсциссy = 0 (рисунок 4.1).

Якщо функція – f(x) непозитивна, то певний інтеграл
дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції, взятої зі знаком мінус (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 – Геометричний зміст певного інтегралу для непозитивної функції

Для довільної безперервної функції f(x) певний інтеграл
дорівнює сумі площ криволінійних трапецій, що лежать під графіком функції f (x) і вище осі абсцис, за вирахуванням суми площ криволінійних трапецій, що лежать над графіком функції f (x) і нижче осі абсцис (рисунок 4.8).

Малюнок 4.8 – Геометричний зміст певного інтегралу для довільної безперервної функції f(x) (знаком «плюс» позначено площу, яку додають, а «мінусом» – та, яку віднімають).

При обчисленні практично площ криволінійних фігур часто використовується така формула:
, де S– площа фігури, укладеної між кривими y = f 1 (x) та y = f 2 (x) на відрізку [а, b], а f 1 (x) та f 2 (x) - безперервні функції, задані на цьому відрізку такі, що f 1 (x) ≥ f 2 (x) (див. малюнки 4.9, 4.10).

Під час вивчення економічного сенсу похідної було з'ясовано, що похідна постає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта чи процесу у часі чи відносного іншого досліджуваного чинника. Щоб встановити економічний сенс певного інтеграла, необхідно саму цю швидкість розглянути як функції від часу чи іншого чинника. Тоді, оскільки певний інтеграл є зміною первісної, ми отримаємо, що у економіці він оцінює зміна цього об'єкта (процесу) за певний період (або за певному зміні іншого чинника).

Наприклад, якщо функція q=q(t) описує продуктивність праці залежно від часу, то певний інтеграл цієї функції
являє собою обсяг випущеної продукції Q за проміжок часу від 0 до 1 .

Методи обчислення певних інтегралівзасновані на розглянутих раніше методах інтегрування (доказів проводити не будемо).

При знаходженні невизначеного інтеграла ми користувалися методом заміни змінної, заснованим на формулі: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, де x =(t) - функція, що диференціюється на аналізованому проміжку. Для певного інтеграла формула заміни змінної набуде вигляду
, де
та для всіх.

Приклад 1. Знайти

Нехай t = 2 - x 2. Тоді dt = -2xdxіxdx = - ½dt.

При х = 0 t = 2 - 0 2 = 2. При х = 1 t = 2 - 1 2 = 1. Тоді

Приклад 2. Знайти

Приклад 3. Знайти

Формула інтегрування частинами для певного інтеграла набуде вигляду:
, де
.

Приклад 1. Знайти

Нехай u = ln (1 + x), dv = dx. Тоді

Приклад 2. Знайти

Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу

приклад 1.Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х 2 - 2 і y = x.

Графік функції y= х 2 – 2 є параболою з точкою мінімуму приx= 0,y= -2; вісь абсцис перетинається в точках
. Графік функції у = х – пряма, бісектриса невід'ємної координатної чверті.

Знайдемо координати точок перетину параболи у = х 2 – 2 та прямий у = х, розв'язавши систему цих рівнянь:

х 2 - х - 2 = 0

х = 2; y = 2 або х = -1; y = -1

Таким чином, фігуру, площу якої необхідно знайти, можна подати на малюнку 4.9.

Малюнок 4.9 – Фігура, обмежена лініями у = х 2 – 2 і y = x

На відрізку [-1, 2] х ≥ х 2 – 2 .

Скористаємося формулою
, Вважаючи f 1 (х) = х; f 2 (х) = х 2 - 2; a = -1; b = 2.

приклад 2.Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = 4 - х 2 і y = х 2 - 2x.

Графік функції y = 4 - х 2 є параболу з точкою максимуму при x = 0, y = 4; вісь абсцис перетинається в точках 2 та -2. Графік функції у = х 2 - 2x - парабола з точкою мінімуму при 2x - 2 = 0, х = 1; y = -1; вісь абсцис перетинається в точках 0 та 2.

Знайдемо координати точок перетину кривих:

4 - х 2 = х 2 - 2х

2х 2 - 2х - 4 = 0

х 2 - х - 2 = 0

х = 2; y = 0 або х = -1; y = 3

Таким чином, фігуру, площу якої необхідно знайти, можна представити малюнку 4.10.

Малюнок 4.10 - Фігура, обмежена лініями у = 4 - х 2 і y = х 2 - 2x

На відрізку [-1, 2] 4 - х 2 ≥ х 2 - 2x.

Скористаємося формулою
, вважаючи f 1 (х) = 4 - х 2; f 2 (х) = х 2 - 2х; a = -1; b = 2.

приклад 3.Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = 1/х; y = х 2 і y = 4 у невід'ємній координатній чверті.

Графік функції у = 1/х є гіперболою, при позитивних х вона випукла вниз; осі координат є асимптотами. Графік функції у = х 2 у невід'ємній координатній чверті – гілка параболи з точкою мінімуму на початку координат. Ці графіки перетинаються при 1/х = х 2; х 3 = 1; х = 1; у = 1.

Пряму y=4 графік функції у = 1/х перетинає за х =1/4, а графік функції у = х 2 при х = 2 (або -2).

Таким чином, фігуру, площу якої необхідно знайти, можна подати на малюнку 4.11.

Рисунок 4.11 – Фігура, обмежена лініями у = 1/х; y= х 2 іy= 4 у невід'ємній координатній чверті

Шукана площа фігури ABC дорівнює різниці між площею прямокутника АВНЕ, яка дорівнює 4*(2 – ¼) = 7, та сумою площ двох криволінійних трапецій АСFЕ та СВНF. Обчислимо площу АСFЕ:

Обчислимо площу СВНF:

Отже, потрібна площа дорівнює 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (од. 2).

Урок з математики для першого курсу закладів середньої професійної освіти

Тема: "Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу".

Викладач математики С.Б. Баранова

Освітні завдання:

забезпечити повторення, узагальнення та систематизацію матеріалу з даної теми;

створити умови контролю (самоконтролю) знань та умінь.

Розвиваючі завдання:

сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми порівняння, узагальнення, виділення головного;

продовжити розвиток математичного кругозору, мислення та мови, уваги та пам'яті.

Виховні завдання:

сприяти вихованню інтересу до математики;

виховання активності, мобільності, уміння спілкуватися.

Тип уроку – комбінований урок із елементами проблемного навчання.

Методи та прийоми навчання - Проблемний, наочний, самостійна робота студентів, самоперевірка.

Устаткування - Додаток до уроку, таблиці.

План уроку

Організаційний момент. Підготовка студентів до роботи на занятті.

Підготовка студентів до активної діяльності (перевірка обчислювальних навичок та таблиць інтегралів за групами).

Підготовка до вивчення нового матеріалу через повторення та актуалізацію опорних знань.

Робота із новим матеріалом.

Первинне осмислення та застосування вивченого матеріалу, його закріплення.

Домашнє завдання.

Застосування знань.

Підбиття підсумків.

Рефлексія.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Поняття певного інтеграла одна із основних понять математики. До кінця 17 ст. Ньютоном і Лейбніцем було створено апарат диференціального та інтегрального обчислення, що становить основу математичного аналізу.

На попередніх заняттях ми навчилися "брати" невизначені інтеграли, обчислювати певні інтеграли. Але значно важливіше застосування певного інтегралу. Ми знаємо, що з його допомогою можна обчислювати площі криволінійних трапецій. Сьогодні ми відповімо на запитання: Як це зробити?

2. Підготовка студентів до активної діяльності.

Але спочатку нам необхідно перевірити обчислювальні навички та знання таблиці інтегралів. Перед вами завдання, результатом виконання якого буде висловлювання французького математика С.Д. Пуассона (Життя прикрашається двома речами: заняттям математикою та її викладанням).

Завдання виконується парами ().

3. Підготовка до вивчення нового матеріалу через повторення та актуалізацію опорних знань.

Переходимо до теми нашого заняття "Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу". Окрім уміння обчислювати певний інтеграл, нам слід згадати властивості площ. У чому вони?

Рівні постаті мають рівні площі.

Якщо фігура розбита на частини, її площа перебуває як сума площ окремих частин.

Також нам потрібно повторити правило інтеграла суми та формулу Ньютона-Лейбніца.

4. Робота з новим інтегралом

1. Певний інтеграл служить обчислення площ криволінійних трапецій. Але на практиці частіше зустрічаються постаті, які такими не є і нам необхідно навчитися знаходити площу саме таких постатей.

Робота за таблицею "Основні випадки розташування плоскої фігури та відповідні формули площ" ().

2. Давай перевіримо себе.

Робота із завданням () із наступною перевіркою (таблиця №3).

3. Але вміння правильно вибирати формули для площі недостатньо. На наступній таблиці () у кожному із завдань є “зовнішня” причина, яка дозволяє обчислити площу фігури. Знайдемо їх.

а) не вказано формули для графіків функцій.

б) немає меж інтегрування.

в) не вказано назви графіків і немає однієї межі.

г) не зазначено формули одного з графіків.

4. З урахуванням виконаної роботи, сформулюємо та запишемо алгоритм вирішення завдань на тему уроку.

Побудувати графіки даних ліній. Визначити потрібну фігуру.

Знайти межі інтегрування.

Записати площу шуканої фігури за допомогою певного інтегралу.

Обчислити отриманий інтеграл.

5. Первинне осмислення та застосування вивченого матеріалу, його закріплення.

1. З урахуванням алгоритму виконаємо завдання №2 з останньої таблиці.

Малюнок 1

Рішення:

Для точки А:

– не задовольняє умову завдання

Для точки В:

– не задовольняє умову завдання.

Відповідь: (Кв. од.).

2. Але під час виконання цього завдання алгоритм застосовувався в повному обсязі. Для його відпрацювання виконаємо наступне завдання

Завдання. Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .

Малюнок 2

Рішення:

– парабола, вершина (m, n).

(0;2) – вершина

Знайдемо межі інтегрування.

Відповідь: (кв. од).

6. Домашнє завдання.

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями (Завдання розібрати).

7. Застосування знань.

Самостійна робота (Додаток №5))

8. Підбиття підсумків.

навчилися складати формули для знаходження площ плоских фігур;

знаходити межі інтегрування;

обчислювати площі постатей.

9. Рефлексія.

Студентам лунають листочки. Вони повинні оцінити свою роботу, вибравши один із запропонованих варіантів відповіді.

Оцінити рівень складності уроку.

Вам було на уроці:

легко;

зазвичай;

важко.

засвоїв повністю, можу застосувати;

засвоїв повністю, але важко у застосуванні;

засвоїв частково;

не засвоїв.

Переглянувши відповіді, зробити висновок про підготовленість студентів до практичної роботи.

Використовувана література:

Валуце І.І., Ділігулін Г.Д. Математика для технікумів.

Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Трішин І.М. Вища математика економістів.

Данко П.Є., Попов О.Г. Вища математика, ч.1.

Званич Л.І., Рязановський А.Р. М., Нова школа.

Газета "Математика". Видавничий дім "Перше вересня".

Додаток №1

Обчисліть певні інтеграли і ви дізнаєтеся один із висловлювань французького математика С.Д.Пуассона.

Життя

Трьома

Двома

Речами

Заняттям

Математикою

Арифметикою

Викладанням

Її

Прикрашається

Забуттям

Додаток №2

ОСНОВНІ ВИПАДКИ РОЗМІЩЕННЯ ПЛОЩОЇ ФІГУРИ І ВІДПОВІДНІ ФОРМУЛИ ПЛОЩІВ

______________________________________

__________________________________ ______

________________________________ ______

___________________________________

Фігура симетрична щодо осі ординат або початку координат.

Додаток №3

Використовуючи певний інтеграл, запишіть формули для обчислення площ фігур, заштрихованих малюнку.

_________________________________________

__________________________________________

___________________________________________

____________________________________________

Додаток №4

Знайти "зовнішню" причину, що не дозволяє обчислити площу фігури.

Малюнок 1

Малюнок 2

Малюнок 3

Малюнок 4

_____________________________

Додаток №5

Самостійна робота

Варіант 1

Запишіть за допомогою інтегралів площі фігур та обчисліть їх

Намалюйте фігури, площади яких дорівнюють наступним інтегралам:

Самостійна робота

Варіант 2

1. Намалюйте фігури, площі яких дорівнюють наступним інтегралам:

Визначення.Різниця F(b)– F(a) називається інтегралом від функції f(x) на відрізку [a; b] і позначається так: = F(b) - F(a) - формула Ньютона-Лейбніца.

Геометричний зміст інтегралу.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком безперервної позитивної на проміжку [a; b ] функції f (x), віссю Ох і прямими х = а та х = b:

Обчислення площ з допомогою інтегралу.

1.Площа фігури, обмеженою графіком безперервної негативної на проміжку [a; b ] функції f (x), віссю Ох і прямими х = а та х = b:

2. Площа фігури, обмеженої графіками безперервних функцій f (x), і прямими х = а, х = b:

3. Площа фігури, обмеженої графіками безперервних функцій f (x) і :

4.Площа фігури, обмеженої графіками безперервних функцій f(x), та віссю Ох:

Завдання та тести на тему "Інтеграл. Обчислення площ за допомогою інтегралу"

Інтеграл
Уроків: 4 Задань: 13 Тестів: 1
Обчислення площ за допомогою інтегралів - Первісна та інтеграл 11 клас
Уроків: 1 Задань: 10 Тестів: 1
Первісна - Первісна та інтеграл 11 клас
Уроків: 1 Задань: 11 Тестів: 1
Планіметрія: обчислення довжин та площ
Завдань: 7
Обчислення та перетворення - Підготовка до ЄДІ з математики ЄДІ з математики
Завдань: 10

Перш ніж почати обчислювати площу фігури, обмежену заданими лініями, постарайтеся зобразити цю фігуру в системі координат. Це суттєво полегшить вирішення завдання.

Вивчення теоретичних матеріалів на цю тему дає Вам можливість опанувати поняттями первісної та інтегралу, засвоїти зв'язок між ними, опанувати найпростішу техніку інтегрального обчислення, навчиться застосовувати інтеграл до обчислення площ фігур, обмежених графіками функцій.

приклади.

1. Обчислити інтеграл

Рішення:

Відповідь: 0.

2. Знайти площу фігури, обмеженою лініями

a) f(x) = 2 х – х 2 і віссю абсцис

Рішення:Графік функції f(x) = 2x - х 2 параболи. Вершина: (1; 1).

Відповідь:(Кв. од.).

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, і гіперболу.

Криволінійною трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю , прямими , і безперервною графіком на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст.

З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто,певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа певної постаті. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищеданої осі), то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю чи під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.

Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Починаємо розглядати власне процес обчислення подвійного інтеграла та знайомитися з його геометричним змістом.

Подвійний інтеграл чисельно дорівнює площі плоскої фігури (області інтегрування). Це найпростіший вид подвійного інтеграла, коли функція двох змінних дорівнює одиниці: .

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді. Зараз ви здивуєтеся, наскільки все дійсно просто! Обчислимо площу плоскої фігури, обмеженою лініями. Для певності вважаємо, що у відрізку . Площа цієї фігури чисельно дорівнює:

Зобразимо область на кресленні:

Виберемо перший спосіб обходу області:

Таким чином:

І відразу важливий технічний прийом: повторні інтеграли можна вважати окремо. Спочатку внутрішній інтеграл, потім зовнішній інтеграл. Даний спосіб настійно рекомендую початківцям у темі чайникам.

1) Обчислимо внутрішній інтеграл, при цьому інтегрування проводиться за змінною «гравець»:

Невизначений інтеграл тут найпростіший, і далі використовується банальна формула Ньютона-Лейбніца, з тією різницею, що межами інтегрування не числа, а функції. Спочатку підставили в «ігрок» (первоподібну функцію) верхню межу, потім нижню межу

2) Результат, отриманий у першому пункті, необхідно підставити у зовнішній інтеграл:

Більш компактний запис всього рішення виглядає так:

Отримана формула – це точно робоча формула для обчислення площі плоскої фігури за допомогою «звичайного» певного інтеграла! Дивіться урок Обчислення площі за допомогою певного інтегралу, Там вона на кожному кроці!

Тобто, завдання обчислення площі за допомогою подвійного інтегралу мало чим відрізняєтьсявід завдання знаходження площі за допомогою певного інтегралу!Фактично це одне й теж!

Відповідно ніяких труднощів виникнути не повинно! Я розгляну небагато прикладів, оскільки ви, по суті, неодноразово стикалися з цим завданням.

Приклад 9

Рішення:Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Тут і далі я не зупинятимусь на тому, як виконувати обхід області, оскільки в першому параграфі були наведені дуже докладні роз'яснення.

Таким чином:

Як я вже зазначав, початківцям краще обчислювати повторні інтеграли окремо, цього ж методу дотримуватимуся і я:

1) Спочатку за допомогою формули Ньютона-Лейбніца розбираємося з внутрішнім інтегралом:

2) Результат, отриманий першому кроці, підставляємо у зовнішній інтеграл:

Пункт 2 – фактично перебування площі плоскої постаті з допомогою певного інтеграла.

Відповідь:

Ось таке дурне і наївне завдання.

Цікавий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 10

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями , ,

Зразок чистового оформлення рішення наприкінці уроку.

У Прикладах 9-10 значно вигідніше використовувати перший спосіб обходу області, допитливі читачі, до речі, можуть змінити порядок обходу та обчислити площі другим способом. Якщо не припуститеся помилки, то, природно, вийдуть ті самі значення площ.

Але в ряді випадків ефективніший другий спосіб обходу області, і на закінчення курсу молодого ботана розглянемо ще пару прикладів на цю тему:

Приклад 11

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями ,

Рішення:На нас з нетерпінням чекають дві параболи з бзиком, які лежать на боці. Посміхатися не треба, схожі речі в кратних інтегралах трапляються часто.

Як найпростіше зробити креслення?

Представимо параболу у вигляді двох функцій:
– верхня гілка та – нижня гілка.

Аналогічно, представимо параболу у вигляді верхньої та нижньої гілок.

Далі керує поточкове побудова графіків, в результаті чого виходить ось така химерна фігура:

Площу фігури обчислимо за допомогою подвійного інтегралу за формулою:

Що буде, якщо ми оберемо перший спосіб обходу області? По-перше, цю область доведеться розділити на дві частини. А по-друге, ми спостерігатимемо за цією сумною картиною: . Інтеграли, звичайно, не надскладного рівня, але... існує стара математична приказка: хто з корінням дружний, тому залік не потрібен.

Тому з непорозуміння, яке дано в умові, висловимо зворотні функції:

Зворотні функції в даному прикладі мають ту перевагу, що задають відразу всю параболу цілком без будь-яких там листя, жолудів гілок і коріння.

Згідно з другим способом, обхід області буде наступним:

Таким чином:

Як кажуть, відчуйте різницю.

1) Розправляємось із внутрішнім інтегралом:

Результат підставляємо у зовнішній інтеграл:

Інтегрування по змінній «гравець» не повинно бентежити, була б буква «зю» – чудово проінтегрувалося б і по ній. Хоча хтось прочитав другий параграф уроку Як обчислити об'єм тіла обертання, Той вже не відчуває жодної незручності з інтегруванням по «ігрок».

Також зверніть увагу на перший крок: підінтегральна функція є парною, а відрізок інтегрування симетричний щодо нуля. Тому відрізок можна споловинити, а результат – подвоїти. Даний прийом докладно закоментований на уроці Ефективні методи обчислення певного інтегралу.

Що добавити…. Всі!

Відповідь:

Для перевірки своєї техніки інтегрування можете спробувати обчислити . Відповідь має вийти точно такою ж.

Приклад 12

За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури, обмеженою лініями

Це приклад самостійного рішення. Цікаво відзначити, що якщо ви спробуєте використовувати перший спосіб обходу області, то фігуру доведеться розділити не на дві, а на три частини! І, відповідно, вийде три пари повторних інтегралів. Буває й таке.

Майстер клас підійшов до завершення, і настав час переходити на гросмейстерський рівень. Як визначити подвійний інтеграл? Приклади рішень. Постараюсь у другій статті так не маньячить =)

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення: Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Таким чином:
Перейдемо до зворотних функцій:

Таким чином:
Відповідь: