Kiirus on koordinaadi esimene tuletis. Tuletised füüsikas. Tuletise geomeetriline ja füüsiline tähendus
Tuletise füüsiline tähendus. Matemaatika eksami ülesehitus sisaldab rühma ülesandeid, mille lahendamiseks on vajalikud teadmised ja tuletise füüsilise tähenduse mõistmine. Eelkõige on ülesandeid, kus antakse teatud punkti (objekti) liikumisseadus, mida väljendatakse võrrandina ja on vaja leida selle kiirus teatud liikumishetkel või aeg, mille möödudes objekt omandab teatud etteantud kiiruse.Ülesanded on väga lihtsad, need lahendatakse ühe toiminguga. Niisiis:
Materiaalse punkti x (t) liikumisseadus antakse piki koordinaattelge, kus x on liikuva punkti koordinaat, t on aeg.
Kiirus konkreetsel ajahetkel on aja koordinaadi tuletis. See on tuletise mehaaniline tähendus.
Samamoodi on kiirendus tuletis kiirusest aja suhtes:
Seega on tuletise füüsiliseks tähenduseks kiirus. See võib olla liikumise kiirus, mis tahes protsessi muutumise kiirus (näiteks bakterite paljunemine), töö lõpetamise kiirus (ja nii edasi, rakendatud probleeme on palju).
Lisaks peate teadma tuletiste tabelit (peate seda teadma, aga ka korrutustabelit) ja diferentseerimise reegleid. Täpsemalt, määratletud probleemide lahendamiseks on vaja teadmisi esimese kuue tuletise kohta (vt tabelit):
Mõelge ülesannetele:
x (t) \u003d t 2 - 7 t - 20
kus x t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t \u003d 5 s.
Tuletise füüsiliseks tähenduseks on kiirus (liikumise kiirus, protsessi muutumise kiirus, töö kiirus jne)
Leidke kiiruse muutumise seadus: v (t) \u003d x ′ (t) \u003d 2t - 7 m / s.
T \u003d 5 korral on meil:
Vastus: 3
Otsustage ise:
Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) \u003d 6t 2 - 48t + 17, kus x - kaugus võrdluspunktist meetrites, t - aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t \u003d 9 s.
Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) \u003d 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, kus xt - aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t \u003d 6 s.
Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt
x (t) \u003d –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
kus x - kaugus võrdluspunktist meetrites,t - aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t \u003d 3 s.
Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt
x (t) \u003d (1/6) t2 + 5t + 28
kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus võrdne 6 m / s?
Leidke kiiruse muutumise seadus:
Millisel ajahetkel leidat kiirus oli 3 m / s, tuleb lahendada võrrand:
Vastus: 3
Otsustage ise:
Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, kus x - kaugus võrdluspunktist meetrites, t - aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus võrdne 3 m / s?
Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt
x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3 t 2 - 5 t + 3
kus x - kaugus võrdluspunktist meetrites, t - aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus võrdne 2 m / s?
Panen tähele, et ainult seda tüüpi ülesannetele keskendumine eksamil pole seda väärt. Oskab üsna ootamatult tutvustada esitatud vastupidiseid ülesandeid. Kui antakse kiiruse muutmise seadus ja küsimus on liikumisseaduse leidmises.
Vihje: sel juhul on vaja leida kiirusfunktsiooni integraal (see on ka ühe ülesande ülesanne). Kui peate leidma teatud ajahetkel läbitud vahemaa, siis tuleb saadud võrrandis olev aeg asendada ja vahemaa arvutada. Kuid analüüsime ka selliseid ülesandeid, ärge jätke ilma!Soovin teile edu!
Lugupidamisega Aleksander Krutitsky.
P.S: Oleksin tänulik, kui räägiksite saidist sotsiaalvõrgustikes.
Algebra on helde. Sageli annab ta rohkem, kui temalt küsitakse.
J. Dalamber
Interdistsiplinaarne suhtlus on didaktiline tingimus ja vahend teaduse aluste sügavaks ja põhjalikuks assimileerimiseks koolis.
Lisaks aitavad need tõsta õpilaste teadmiste taset, loogilise mõtlemise arendamist ja nende loomingulisi võimeid. Objektidevahelise suhtluse rakendamine välistab dubleerimise materjali uurimisel, säästab aega ja loob soodsad tingimused õpilaste üldhariduslike oskuste kujunemiseks.
Objektidevahelise suhtluse loomine füüsika käigus suurendab polütehnikumi ja hariduse praktilise orienteerituse tõhusust.
Matemaatika õpetamisel on väga oluline motiveeriv külg. Õpilased tajuvad matemaatilist probleemi paremini, kui see tekib justkui nende silme ees, sõnastatakse pärast mõne füüsikalise nähtuse või tehnilise probleemi kaalumist.
Pole tähtis, kui palju õpetaja räägib praktika rollist matemaatika edenemises ja matemaatika olulisusest füüsika uurimisel, tehnoloogia arengust, kuid kui ta ei näita, kuidas füüsika mõjutab matemaatika arengut ja kuidas matemaatika aitab praktikal selle probleemide lahendamisel, siis rakendatakse materialistliku maailmapildi kujunemist. tõsised kahjustused. Kuid selleks, et näidata, kuidas matemaatika aitab selle probleemide lahendamisel, vajame probleeme, mis pole leiutatud metoodilistel eesmärkidel, vaid mis tekivad tegelikult erinevates praktilise inimtegevuse valdkondades
Ajalooline teave
Newton ja Leibniz lõid diferentsiaalkivi 17. sajandi lõpus kahe ülesande alusel:
- suvalise joone puutuja leidmine;
- kiiruse leidmise kohta meelevaldse liikumisseadusega.
Varem kohtus tuletise mõiste itaalia matemaatiku Nicolo Tartaglia (umbes 1500 - 1557) teostes - siin tekkis puutuja relva kaldenurga uurimise käigus puutuja, mis tagab mürsu kõige pikema ulatuse.
17. sajandil arenes G. Galileo liikumisõpetuste põhjal aktiivselt tuletise kinemaatiline kontseptsioon.
Kogu traktaat tuletise rolli kohta matemaatikas on pühendatud kuulsale teadlasele Galileo Galileile. Descartesi, prantsuse matemaatiku Robervali ja inglise teadlase L. Gregory töödest hakati leidma erinevaid ekspositsioone. Suure panuse diferentsiaalkivi uurimisel andsid Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss.
Mõned tuletise rakendused füüsikas
Tuletisinstrument- diferentsiaalse kalkuleerimise põhimõiste, iseloomustav funktsiooni muutuse määr.
Kindlaks määratud millegi poolt funktsiooni juurdekasvu suhte ja selle argumendi juurdekasvu suhte piirina, kui argument kipub argumenti nulli suurendama, kui selline piir on olemas.
Sellel viisil, 
Seega funktsiooni tuletise arvutamiseks f (x) punktis x 0 definitsiooni järgi peate:
Selle skeemi rakendamisel kaaluge mitmeid füüsilisi probleeme.
Kiirkiiruse probleem. Tuletise mehaaniline tähendus
Tuletage meelde, kuidas liikumiskiirus määrati. Materiaalne punkt liigub mööda koordinaatjoont. Selle punkti x-koordinaat on teadaolev funktsioon x (t) aeg t. Ajavahemikul alates t 0 enne t 0 + punkti liikumine võrdub x (t 0 +)
– x (t 0) - ja selle keskmine kiirus on järgmine: 
.
Tavaliselt on liikumise iseloom selline, et väikesel juhul keskmine kiirus praktiliselt ei muutu, s.t. suure täpsusega liikumist võib pidada ühtlaseks. Teisisõnu, keskmise kiiruse väärtus kipub mingiks täpselt määratletud väärtuseks, mida nimetatakse hetkekiiruseks v (t 0) materiaalne punkt ajal t 0.
Niisiis, 
Aga definitsiooni järgi 
Seetõttu arvatakse, et hetkeline kiirus korraga t 0
Argumenteerides sarnaselt, leiame, et kiiruse tuletis aja suhtes on kiirendus, s.t.
Keha soojusmahtuvuse probleem
Nii et 1 g kaaluva keha temperatuur tõuseb 0 kraadilt temperatuurile t kraadi, peab keha teatama teatavast kuumusest Q. Tähendab Qseal on temperatuurifunktsioon t, milleni keha soojeneb: Q \u003d Q (t). Laske kehatemperatuuril tõusta t 0 enne t.Selle kuumutamise jaoks kulutatud soojushulk on võrdne.Suhe on soojushulk, mida keskmiselt on vaja keha soojendamiseks 1 kraadi võrra, kui temperatuur muutub
kraadi. Seda suhet nimetatakse antud keha keskmiseks soojusmahtuvuseks ja seda tähistatakse abielust.
Sest Kuna keskmine soojusmahtuvus ei anna aimu ühegi temperatuuri T soojusmahtuvusest, võetakse kasutusele soojusmahu mõiste antud temperatuuril t 0 (sel hetkel t 0).
Soojusmaht temperatuuril t 0 (antud punktis) nimetatakse piiriks
Varda lineaartiheduse probleem
Mõelge ebahomogeensele vardale.
Sellise varda puhul tekib küsimus massi muutumise kiirusest sõltuvalt selle pikkusest.
Keskmine lineaarne tihedus 
varda mass on selle pikkuse funktsioon x.
Seega määratakse mittehomogeense varda lineaarne tihedus antud punktis järgmiselt:
Selliseid probleeme arvesse võttes võib saada sarnaseid järeldusi paljude füüsiliste protsesside kohta. Mõned neist on toodud tabelis.
Funktsioon |
Valem |
Järeldus |
| m (t) on kasutatud tuumkütuse massi sõltuvus ajast. |  |
Tuletisinstrument mass aja jooksul seal on kiirus kütusekulu. |
| T (t) on kuumutatud keha temperatuuri sõltuvus ajas. |  |
Tuletisinstrument temperatuur aja jooksul seal on kiirus keha soojendamine. |
| m (t) on massi sõltuvus ajast radioaktiivse aine lagunemise ajal. |  |
Tuletisinstrument radioaktiivse aine mass aja jooksulseal on kiirus radioaktiivne lagunemine. |
| q (t) on juhi kaudu voolava elektrienergia ajaline sõltuvus |  |
Tuletisinstrument elektrienergia kogus aja jooksul seal on praegune tugevus. |
| A (t) - töö sõltuvus ajast |  |
Tuletisinstrument töö õigel ajal seal on vägi. |
Praktilised harjutused:
Püssist välja lendav mürsk liigub vastavalt seadusele x (t) \u003d - 4t 2 + 13t (m). Leidke mürsu kiirus 3 sekundi lõpus.
Juhist läbi voolav elektrienergia kogus, alates ajast t \u003d 0 c, on esitatud valemiga q (t) \u003d 2t 2 + 3t + 1 (jahe) Leidke voolu tugevus viienda sekundi lõpus.
Soojuskogus Q (J), mis on vajalik 1 kg vee soojendamiseks temperatuuril 0 ° C kuni ° C, määratakse valemiga Q (t) \u003d t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3. Arvutage vee soojusmaht, kui t \u003d 100 o.
Keha liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m). Määrake selle kiirus ja kiirendus kordadel 1 s ja 3 s.
Leida jõu F suurus, mis mõjutab massi punkti m, mis liigub vastavalt seadusele x (t) \u003d t 2 - 4t 4 (m), kui t \u003d 3 s.
Keha, mille mass on m \u003d 0,5 kg, liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) \u003d 2t 2 + t - 3 (m). Leidke keha kineetiline energia 7 sekundit pärast liikumise algust.
Järeldus
Tehnoloogia abil saate määratleda veel palju probleeme, mille lahendamiseks on vaja leida ka vastava funktsiooni muutumise kiirus.
Näiteks leitakse pöörleva keha nurkkiirus, kehade kuumutamisel lineaarne koefitsient, keemilise reaktsiooni kiirus antud ajahetkel.
Pidades silmas probleemide rohkust, mis tingib funktsiooni muutumise kiiruse arvutamise või muul viisil funktsiooni inkretsiooni ja argumendi inkretsiooni suhte suhte piiri arvutamise, kui viimane kipub olema , osutus vajalikuks suvalise funktsiooni jaoks selline piirjoon välja tuua ja uurida selle peamisi omadusi. Seda piiri kutsuti tuletusfunktsioon.
Nii oleme paljudel näidetel näidanud, kuidas kirjeldatakse erinevaid füüsikalisi protsesse matemaatiliste probleemide abil, kuidas lahenduste analüüs võimaldab meil teha järeldusi ja prognoose protsesside käigu kohta.
Muidugi on sedalaadi näiteid tohutult palju ja üsna suur osa neist on huvitatud õpilastele üsna kättesaadavad.
„Muusika võib hinge tõsta või rahustada,
Maal - silmale meeldiv,
Luule - äratada tundeid
Filosoofia on meele vajaduste rahuldamine,
Inseneri eesmärk on parandada inimeste elu materiaalset külge,
Ja matemaatika suudab kõik need eesmärgid saavutada. ”
Nii ütles üks Ameerika matemaatik Maurice Kline.
Bibliograafia :
- Abramov A.N., Vilenkin N.Ya. et al., matemaatika valitud küsimused. 10. klass. - M: valgustumine, 1980.
- Vilenkin N.Ya., Shibasov A.P.Matemaatika õpiku lehtede taga. - M: haridus, 1996.
- Dobrokhotova M.A., Safonov A.N.. Funktsioon, selle piir ja tuletis. - M: valgustumine, 1969.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. - M: haridus, 2010.
- Kolosov A.A. Raamat matemaatika klassivälise lugemise jaoks. - M: Uchpedgiz, 1963.
- Fichtenholtz G.M. Matemaatilise analüüsi alused, 1. osa - M: Nauka, 1955.
- Yakovlev G.N. Matemaatika tehnikakoolidele. Algebra ja analüüsi algus, 1. osa - M: Nauka, 1987.
Füüsikaliste probleemide või näidete lahendamine matemaatikas on täiesti võimatu ilma tuletise ja selle arvutamise meetodite tundmiseta. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime pühendada selle artikli sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas funktsiooni tuletist arvutada? Kõiki neid küsimusi saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?
Tuletise geomeetriline ja füüsiline tähendus
Olgu funktsioon olemas f (x) määratletud mingis intervallis (a, b) . Punktid x ja x0 kuuluvad sellesse intervalli. Kui x muutub, muutub ka funktsioon ise. Argumendi muutus - selle väärtuste erinevus xx0 . See erinevus kirjutatakse järgmiselt delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutust või juurdekasvu nimetatakse funktsiooni väärtuste erinevuseks kahes punktis. Tuletus määratlus:
Funktsiooni tuletis mingis punktis on funktsiooni juurdekasvu ja punkti väärtuse suhte suhte piir, kui viimane kipub olema nulli.
Muidu võib selle kirjutada nii:
Mis mõte on sellist piiri leida? Ja siin on see, mida:
funktsiooni tuletis selles punktis on võrdne OX-telje nurga puutujaga ja selle punkti funktsiooni graafiku puutujaga.
Tuletise füüsiline tähendus: tee ajatuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.
Tõepoolest, alates kooliajast teavad kõik, et kiirus on konkreetne viis x \u003d f (t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:
Et teada saada mingi hetke kiirust t0 tuleb arvutada piir:
Esimene reegel: väljastame konstandi
Konstandi saab tuletise tähise jaoks välja võtta. Pealegi - seda tuleb teha. Matemaatikanäidete lahendamisel muutke see reegliks - kui saate avaldist lihtsustada, siis kindlasti ka seda lihtsustada .
Näide. Arvutame tuletise:
Teine reegel: funktsioonide summa tuletis
Kahe funktsiooni summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.
Me ei anna selle teoreemi kohta tõestust, vaid kaalume pigem praktilist näidet.
Leidke funktsiooni tuletis:
Kolmas reegel: funktsioonide tuletisinstrument
Kahe eristatava funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemi abil:
Näide: leidke funktsiooni tuletis:
Otsus: 
Siinkohal on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi osas ja vaheargmendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.
Ülaltoodud näites kohtame väljendit:
Sel juhul on vaheargument 8x viienda kraadini. Sellise avalduse tuletise arvutamiseks kaalume esmalt välise funktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja korrutame seejärel vahefunktsiooni enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.
Neljas reegel: kahe funktsiooni jagunemise tuletis
Kahe funktsiooni jagaja tuletise määramise valem:
Proovisime mannekeenide derivaatidest nullist rääkida. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seetõttu hoiatame teid: püüniseid leidub sageli näidetes, seega olge tuletiste arvutamisel ettevaatlik.
Kui teil on selle ja muude teemade kohta küsimusi, võite pöörduda õpilasteeninduse poole. Aitame teil lühikese aja jooksul lahendada kõige raskema kontrolli ja lahendada ülesandeid, isegi kui te pole kunagi varem tuletisinstrumentide arvutamisel osalenud.
Siiani oleme tuletise kontseptsiooni seostanud funktsiooni graafiku geomeetrilise kujutisega. Kuid see oleks jäme viga, kui tuletisinstrumendi rolli piirata üksnes ülesande puutuja kalde kindlaksmääramisega antud kõvera suhtes. Veelgi olulisem teaduslik ülesanne on arvutada mis tahes koguse muutumiskiirus f (t)muutuvad aja jooksul t. Just sellest vaatenurgast lähenes Newton diferentsiaalarvule. Eelkõige püüdis Newton analüüsida kiiruse nähtust, pidades liikuvate osakeste aega ja asukohta muutujatena (vastavalt Newtoni väljendile “fluents”). Kui osake liigub mööda x-telge, on selle liikumine funktsiooni järgi täpselt määratletud x \u003d f (t)mis näitab osakese x asukohta igal ajal t. "Ühtlane liikumine" püsiva kiirusega b piki x-telge määratakse lineaarse funktsiooni abil x \u003d a + bt, kus a on osakese asukoht alghetkel (jaoks t \u003d 0).
Osakese liikumist tasapinnal kirjeldavad juba kaks funktsiooni
x \u003d f (t), y \u003d g (t),
mis määravad selle koordinaadid aja funktsioonina. Täpsemalt * kaks lineaarset funktsiooni vastavad ühtlasele liikumisele
x \u003d a + bt, y \u003d c + dt,
kus b ja d on kaks konstantse kiirusega "komponenti" ning a ja c on osakese algse asukoha koordinaadid ( t \u003d 0); osakese trajektoor on sirge, mille võrrand on
(x - a) d - (y - s) b \u003d 0
saadakse kahe ülaltoodud seose kõrvaldamise teel.
Kui osake liigub vertikaaltasandil x, y ainult gravitatsiooni mõjul, siis määratakse selle liikumine (see on tõestatud elementaarses füüsikas) kahe võrrandiga:
kus a, b, c, d on konstantsed väärtused, sõltuvalt osakese olekust alghetkel, ja g on gravitatsiooni kiirendus umbes 9,81, kui aega mõõdetakse sekundites ja vahemaa on meetrites. Liikumise trajektoor, mis saadakse t kahest antud võrrandist elimineerimise teel, on parabool
kui ainult b ≠ 0; vastasel juhul on tee vertikaaltelje segment.
Kui osake on sunnitud liikuma piki etteantud kõverat (sarnaselt sellega, kuidas rong liigub mööda rööpaid), saab selle liikumise määrata funktsiooni s (t) (ajafunktsioon t) abil, mis on võrdne kaare pikkusega s, mis arvutatakse sellel kõveral mingist lähtepunktist P 0. osakese positsioonile punktis P ajahetkel t. Näiteks kui me räägime ühikuringist x 2 + y 2 \u003d 1siis funktsioon s \u003d ct määrab sellel ringil ühtlase pöörlemisliikumise kiirusega koos.
* Harjutus. Joonistage võrranditega määratletud tasapinna liikumise trajektoorid: 1) x \u003d sin t, y \u003d cos t; 2) x \u003d sin 2t, y \u003d cos 3t; 3) x \u003d sin 2t, y \u003d 2 sin 3t; 4) eeldada ülalkirjeldatud paraboolse liikumise korral osakese lähteasendit (t \u003d 0) lähtekohas ja eeldada b\u003e 0, d\u003e 0. Leidke tee kõrgeima punkti koordinaadid. Leidke t ja x väärtus, mis vastavad trajektoori sekundaarsele ristumiskohale x-teljega.
Esimene eesmärk, mille Newton endale seadis, oli leida ebaühtlaselt liikuva osakese kiirus. Lihtsuse huvides arvestame osakese liikumist funktsiooniga määratletud sirgjoonel x \u003d f (t). Kui liikumine oli ühtlane, st see viidi läbi konstantsel kiirusel, siis selle kiiruse leidmiseks tuleb võtta kaks punkti t ja t 1 ning vastavad osakeste positsioonid f (t) ja f (t 1) ja suhte moodustamine
Näiteks kui t mõõdetakse tundides ja x kilomeetrites, siis kell t 1 - t \u003d 1 erinevus x 1 - x on läbitud kilomeetrite arv ühe tunni jooksul ja v - kiirus (kilomeetrites tunnis). Ütledes, et kiirus on püsiv väärtus, tähendavad nad ainult seda, et erinevus on suhe
ei muutu väärtuste t ja t 1 korral. Kuid kui liikumine on ebaühtlane (mis toimub näiteks keha vabalangemise ajal, mille kiirus suureneb, kui see langeb), siis suhe (3) ei anna kiiruse väärtust ajahetkel t, vaid tähistab seda, mida tavaliselt nimetatakse keskmiseks kiiruseks ajavahemikus t-st t 1-ni. Kiiruse saamiseks ajal tvaja arvutada piir keskmine kiirus kui t 1 t Seega määratleme kiiruse Newtoni järgi järgmiselt:
Teisisõnu - kiirus on läbitud vahemaa tuletis (osakese koordinaadid sirgjoonel) aja suhtes või tee "hetkeline muutumiskiirus" aja suhtes - vastupidiselt keskel muutuse määr, mis on määratud valemiga (3).
Kiiruse muutumise määr ise kutsus kiirendus. Kiirendus on lihtsalt tuletise tuletis; seda tähistatakse tavaliselt f "(t) ja seda nimetatakse teine \u200b\u200btuletis funktsiooni f (t) väärtusest.
Mõnikord annab matemaatika KASUTAMISE ülesandes B9 funktsiooni või tuletise kõigi lemmikgraafikute asemel võrrandi kaugusest punktist alguspunktini. Mida sel juhul teha? Kuidas leida vahemaa järgi kiirust või kiirendust?
Tegelikult on kõik lihtne. Kiirus on distantsi tuletis ja kiirendus on kiiruse tuletis (või samaväärselt teepikkuse teine \u200b\u200btuletis). Selles lühikeses videos olete veendunud, et sellised ülesanded pole lahendatud keerulisemalt kui "klassikaline" B9.
Täna analüüsime kahte matemaatika eksami tuletiste füüsikalise tähenduse probleemi. Need ülesanded asuvad B osas ja erinevad oluliselt nendest, mida enamik õpilasi on harjunud proovide ja eksamite ajal nägema. Asi on selles, et nad nõuavad tuletisfunktsiooni füüsilise tähenduse mõistmist. Nendes probleemides keskendume funktsioonidele, mis väljendavad vahemaid.
Kui $ S \u003d x \\ vasak (t \\ paremal) $, siis saame $ v $ arvutada järgmiselt:
Need kolm valemit on kõik, mida vajate tuletise füüsikalise tähenduse näidete lahendamiseks. Pidage lihtsalt meeles, et $ v $ on kauguse tuletis ja kiirendus on kiiruse tuletis.
Vaatame, kuidas see reaalsete probleemide lahendamisel töötab.
Näide nr 1
kus $ x $ on kaugus võrdluspunktist meetrites, $ t $ on aeg sekundites alates liikumise algusest. Leidke punkti kiirus (m / s) ajal $ t \u003d 2c $.
See tähendab, et meil on funktsioon, mis määrab vahemaa, ja peame arvutama kiiruse ajahetkel $ t \u003d 2c $. Teisisõnu peame leidma $ v $, s.t.
See on kõik, mida vajasime tingimuse välja selgitamiseks: esiteks, milline funktsioon välja näeb, ja teiseks, mida meilt nõutakse.
Otsustame. Kõigepealt arvutame tuletise:
\\ [(x) "\\ vasak (t \\ paremal) \u003d - \\ frac (1) (5) \\ cdot 5 ((t) ^ (4)) + 4 ((t) ^ (3)) - 3 (( t) ^ (2)) + 5 \\]
\\ [(x) "\\ vasak (t \\ paremal) \u003d - ((t) ^ (4)) + 4 ((t) ^ (3)) - 3 ((t) ^ (2)) + 5 \\]
Me peame leidma tuletise punktis 2. Asendame:
\\ [(x) "\\ vasak (2 \\ paremal) \u003d - ((2) ^ (4)) + 4 \\ cdot ((2) ^ (3)) - 3 \\ cdot ((2) ^ (2)) + 5 \u003d \\]
\[=-16+32-12+5=9\]
See on kõik, me leidsime lõpliku vastuse. Kokku on meie materiaalse punkti kiirus ajahetkel $ t \u003d 2c $ 9 m / s.
Näide nr 2
Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele:
kus $ x $ on kaugus võrdluspunktist meetrites, $ t $ on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel oli selle kiirus võrdne 3 m / s?
Heitke pilk, viimati pidime leidma $ v $ 2 s ajal ja viimati pidime leidma selle hetke, mil see kiirus oleks 3 m / s. Võib öelda, et teame lõppväärtust ja sellest lõplikust väärtusest peame leidma originaali.
Esiteks otsime jälle tuletist:
\\ [(x) "\\ vasak (t \\ paremal) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot 3 ((t) ^ (2)) - 4 \\ cdot 2t + 19 \\]
\\ [(x) "\\ vasak (t \\ paremal) \u003d ((t) ^ (2)) - 8t + 19 \\]
Palume leida, millisel ajahetkel on kiirus 3 m / s. Koostame ja lahendame võrrandi, et leida tuletise füüsikaline tähendus:
\\ [(((t) ^ (2)) - 8 t + 19 \u003d 3 \\]
\\ [(((t) ^ (2)) - 8 t + 16 \u003d 0 \\]
\\ [(((\\ vasakul (t-4 \\ paremal)) ^ (2)) \u003d 0 \\]
Saadud arv tähendab, et ajahetkel 4 väärtusega $ v $ on ülalkirjeldatud seaduse kohaselt liikuv olulisus täpselt 3 m / s.
Võtmepunktid
Kokkuvõtteks: laskem veel kord üle tänapäeva ülesande kõige olulisemast punktist, nimelt vastavalt reeglile, mille järgi vahemaa teisendatakse kiiruseks ja kiirenduseks. Niisiis, kui me kirjeldame probleemis otseselt seadust, mis näitab otseselt kaugust materiaalsest punktist võrdluspunktini, siis selle valemi kaudu võime leida ükskõik millise hetkekiiruse (see on lihtsalt tuletis). Pealegi võime leida ka kiirendust. Kiirendus on omakorda võrdne kiiruse tuletisega, s.t. kauguse teine \u200b\u200btuletis. Sellised ülesanded on üsna haruldased, nii et täna ei võtnud me neid lahti. Kuid kui näete seisundis sõna „kiirendus“, siis ärge see teid hirmutage, otsige lihtsalt mõni teine \u200b\u200btuletis.
Loodan, et see tund aitab teil matemaatika eksamiks valmistuda.
