Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus mpr 2. Ühe ja mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus. Küsimused matemaatika eksamiks. II semester

Küsimused matemaatika eksamiks. II semester.

Küsimusele vastamisel tuleb määratleda kõik kasutatavad terminid.

Algebra.

1. Rühmad, rõngad, väljad. Rühma isomorfism.

2. Lineaarruumi definitsioon. Teoreem lineaarselt sõltuvate ja sõltumatute vektorsüsteemide kohta.

3. Teoreem lineaarse sõltuvuse kohta süsteemist, mis koosneb k vektorist, millest igaüks on lineaarne kombinatsioon mõnest m vektorist koosnevast süsteemist (k>m).

4. Lineaarruumi alus. Aluse elementide arvu muutumatuse teoreem. Lineaarselt sõltumatu süsteemi elementide arvu teoreem (T. 1.3, T.1.4).

5. Vektori koordinaadid. Teoreemid vektorite koordinaatide kohta (T.1.5 ja T.1.7).

6. Skalaarkorrutise definitsioon ja omadused. Nurk vektorite vahel.

7. Tühikud ja .

8. Lineaarruumi alamruum. Vektorite süsteemi lineaarne ulatus.

9. Maatriksid: definitsioon; liitmine ja korrutamine. Samasuuruste maatriksite ruumi mõõde ja alus.

10. Maatrikskorrutis. Omadused.

11. Pöörd- ja transponeeritud maatriksid.

12. Plokkideks jagatud maatriksite korrutamine.

13. Ortogonaalsed maatriksid.

14. Maatriksi determinant: definitsioon, laiendus esimeses veerus. Ülemise ja alumise kolmnurkmaatriksi determinant. Determinantide seos ja .

15. Permutatsioonid.

16. Teoreem determinandi väljendamise kohta terminite summana, millest igaüks sisaldab maatriksi elementide korrutist (üks igast reast ja igast veerust), mis on varustatud mõne reegli järgi märgiga.

17. Determinantide omadused: ridade (veergude) permutatsioon, suvalises veerus (reas) laiendamine, i-nda rea ​​elementide korrutiste summa j-nda rea ​​vastavate elementide algebraliste täienditega.

18. Determinandi lineaarsus rea või veeru elementide suhtes. Maatriksi determinant, mille read (veerud) on lineaarselt sõltuvad. Maatriksi determinant, mille mõnele reale liidetakse teine, korrutatuna arvuga.

19. Plokimaatriksi determinant. Maatriksite korrutise determinant.

20. Pöördmaatriks. Järeldused kolmnurkmaatriksitel.

21. Elementaarteisenduste maatriksid.

22. Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks juhul, kui süsteemid on vastuolulised või unikaalse lahendusega.

23. Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks juhul, kui süsteemidel on lõpmatult palju lahendeid. Süsteemide üldlahenduse struktuur.

24. Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid.

25. Crameri teoreem.

26. Maatriksi horisontaalsed ja vertikaalsed astmed. Väike auaste. Nende kokkulangevus trapetsikujulise maatriksi jaoks.

27. Maatriksi järgu muutumatus, kui see korrutatakse mittedegenereerunud astmega. Suvalise maatriksi astmete võrdsuse teoreem.

28. Kroneckeri-Capelli teoreem.

29. Omaväärtused ja maatriksvektorid. Sarnaste maatriksite iseloomulike polünoomide kokkulangevus. Erinevatele omaväärtustele vastavate omavektorite lineaarne sõltumatus.

30. Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse seos vastava koordinaatide veergude süsteemiga. Ühe vektori koordinaatide veergude kommunikatsioon erinevates alustes.

31. Lineaarruumide lineaarne kaardistamine. Kuvamaatriks mõnel alusel. Selle kasutamine vektori kujutise arvutamiseks. Kaardistusmaatriksite seos erinevates alustes.

32. Kernel ja kuva pilt. Kuva auaste, selle seos kuvamaatriksi auastmega.

33. Operaatori omaväärtused ja omavektorid. Operaatormaatriks omavektorite baasil.

34. Operaatori erinevatele omaväärtustele vastavate omavektorite lineaarne sõltumatus. Oma alaruumid, nende mõõde. Tagajärjed.

35. Eukleidilised ja unitaarruumid. Gram-Schmidti ortogonaliseerimisprotsess.

36. Teoreem reaalse sümmeetrilise maatriksi omaväärtuste ja omavektorite kohta.

37. Ortogonaalse sarnasuse teoreem reaalse sümmeetrilise maatriksi jaoks mõne diagonaalmaatriksiga. Tagajärjed.

38. Bilineaarsete ja ruutvormide definitsioon. Mingil alusel bilineaarse vormi maatriks, selle kasutamine bilineaarse vormi arvutamiseks. Sama bilineaarse kujuga maatriksite ühendamine erinevates alustes.

39. Teoreem aluse ortogonaalse teisenduse olemasolu kohta, mis taandab ruutvormi kanooniliseks vormiks. Praktiline meetod ruutvormi taandamiseks kanooniliseks vormiks, kasutades aluse ortogonaalset teisendust (omavektorite meetod). Kõvera ehitus

40. Teoreem ruutvormi positiivse (negatiivse) määratluse vajaliku ja piisava tingimuse kohta.

41. Teoreem aluse kolmnurkteisenduse olemasolu kohta, mis taandab ruutvormi kanooniliseks vormiks. Sylvesteri kriteerium.

Matemaatiline analüüs.

Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus.

42. Punktide jada .Teoreem koordinaadipõhise konvergentsi kohta.

43. Funktsioonipiirang R muutujad. Funktsioonide järjepidevus R muutujad. Weierstrassi teoreem.

44. Funktsiooni diferentseeritavus R muutujad. Diferentseeruvate funktsioonide summa ja korrutise diferentseeritavus.

45. Funktsioonide osatuletised R muutujad. Funktsiooni diferentseeritavuse seos osatuletisi olemasoluga. Näide funktsioonist, millel on punktis A osatuletised, kuid mis ei ole selles punktis diferentseeritav.

46. ​​Funktsiooni diferentseeritavus osatuletisi olemasolu ja pidevuse korral.

47. Kompleksfunktsiooni tuletis. Kompleksfunktsiooni osatuletised. Esimese diferentsiaali kuju muutumatus.

48. Kõrgema järgu osatuletised. Segatuletiste võrdsuse teoreem.

49. Kõrgemate tellimuste erinevused. Vormi invariantsi puudumine esimesest kõrgema järgu erinevuste korral.

50. Taylori valem p muutujate funktsioonide jaoks.

51. Teoreem ühe muutuja kaudselt antud funktsiooni olemasolu ja diferentseeritavuse kohta. Funktsiooni esimese ja teise tuletise arvutamine y(x), antud võrrandiga kaudselt

52. Teoreem funktsionaalse võrrandisüsteemiga antud p muutuja kaudselt antud funktsioonide olemasolu ja diferentseeritavuse kohta. Tuletisinstrumentide arvutamise tehnikad. Funktsiooni esimese ja teise tuletise arvutamine z(x,y), antud võrrandiga kaudselt

.

Funktsioonide esimeste tuletiste arvutamine y(x), z(x), u(x), süsteemi poolt kaudselt määratud

.

53. Mitme muutuja funktsiooni äärmuspunktide määramine. Ekstreemumipunktide olemasoluks vajalikud ja piisavad tingimused.

54. Mitme muutuja funktsiooni tingimuslike ekstreemumipunktide määramine. Vajalikud ja piisavad tingimused tingimuslike ekstreemumipunktide olemasoluks. Näide: leidke funktsiooni tingimuslikud ekstreemumipunktid tingimuse all.

3. hindele vastates peate teadma kõiki küsimuste 1 - 54 mõisteid ja sõnastusi, samuti küsimuste 25, 29, 33, 40, 46, 49 teoreemide tõestusi. Märkmeid (ja pettuslehti) ei saa kasutatud.

N muutuja funktsioon Muutujat u nimetatakse n muutuja (argumendi) funktsiooniks x, y, z, …, t, kui iga väärtuste süsteem x, y, z, …, t nende muutuste vahemikust ( määratluspiirkond), vastab teatud väärtusele u. Funktsiooni domeen on kõigi punktide kogum, kus sellel on teatud reaalväärtused. Kahest muutujast koosneva funktsiooni z=f(x, y) puhul esindab definitsioonipiirkond teatud punktide kogumit tasapinnal ja kolme muutuja funktsiooni u=f(x, y, z) puhul teatud kindlat punktide kogum ruumis.

Kahe muutuja funktsioon Kahe muutuja funktsioon on seadus, mille kohaselt iga definitsioonipiirkonna sõltumatute muutujate x, y (argumendid) väärtuste paar vastab sõltuva muutuja z (funktsioon) väärtusele. Seda funktsiooni tähistatakse järgmiselt: z = z(x, y) või z= f(x, y) või mõni muu standardtäht: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Esimest järku osatuletised Funktsiooni z \u003d f (x, y) osatuletis sõltumatu muutuja x suhtes on konstandi y juures arvutatud lõplik piir. Osatuletis y suhtes on lõplik piir, mis arvutatakse a konstant x Osatuletiste puhul kehtivad tavalised reeglid ja diferentseerimisvalemid.

Funktsiooni z =f(x, y) summaarne diferentsiaal arvutatakse valemiga Kolme argumendi funktsiooni u =f(x, y, z) kogudiferentsiaal arvutatakse valemiga

Kõrgemat järku osatuletised Funktsiooni z =f(x, y) teist järku osatuletised on selle esimest järku osatuletised.Samamoodi defineeritakse ja tähistatakse kolmandat ja kõrgemat järku osatuletisi.

Kõrgemat järku diferentsiaalid Funktsiooni z=f(x, y) teist järku diferentsiaal on selle madala diferentsiaali diferentsiaal Kõrgemat järku diferentsiaalid arvutatakse valemiga On sümboolne valem

Kompleksfunktsioonide diferentseerimine Olgu z=f(x, y), kus x=φ(t), y=ψ(t) ja funktsioonid f(x, y), φ(t), ψ(t) on diferentseeruvad. Seejärel arvutatakse kompleksfunktsiooni z=f[φ(t), ψ(t)] tuletis valemiga

Implitsiitsete funktsioonide diferentseerimine Kahe muutuja z=f(x, y) kaudse funktsiooni tuletisi, mis on antud võrrandiga F(x, y, z)=0, saab arvutada valemitega

Funktsiooni ekstreemum Funktsioonil z=f(x, y) on maksimum (miinimum) punktis M 0(x 0; y 0), kui funktsiooni väärtus selles punktis on suurem (väiksem) selle väärtusest mis tahes teises punktis M(x; y ) mõnes punkti M 0 naabruses. Kui diferentseeruv funktsioon z=f(x, y) jõuab ekstreemumini punktis M 0(x 0; y 0), siis tema esimene -järku osatuletised on selles punktis võrdsed nulliga, st (vajalikud äärmuslikud tingimused).

Olgu M 0(x 0; y 0) funktsiooni z=f(x, y) statsionaarne punkt. Märgistame JA moodustame diskriminandi Δ=AC B 2. Siis: Kui Δ>0, siis on funktsioonil punktis M 0 ekstreemum, nimelt maksimum punktis A 0 (või C>0); Kui Δ

Antiderivatiivne funktsioon Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) antituletiseks intervallil X=(a, b), kui selle intervalli igas punktis on f(x) tuletis F(x), st. sellest definitsioonist järeldub, et antituletise leidmise probleem on pöördvõrdeline diferentseerimise probleemiga: antud funktsiooni f(x) jaoks on vaja leida funktsioon F(x), mille tuletis on võrdne f(x).

Määramatu integraal Funktsiooni F(x)+С kõigi antiderivatiivide hulka f(x) korral nimetatakse funktsiooni f(x) määramatuks integraaliks ja seda tähistatakse sümboliga. Seega definitsiooni järgi kus C on suvaline konstant; f(x) integrand; f(x) dx integrand; x integratsiooni muutuja; määramatu integraalmärk.

Määramata integraali omadused 1. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga ja määramata integraali tuletis on võrdne integrandiga: 2. Mõne funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle summaga funktsioon ja suvaline konstant:

3. Integraalimärgist saab välja võtta konstantse teguri: 4. Lõpliku arvu pidevate funktsioonide algebralise summa määramatu integraal on võrdne funktsioonide liikmete integraalide algebralise summaga: 5. Kui, siis ja kus u=φ(x) on suvaline funktsioon, millel on pidev tuletis

Põhilised integreerimismeetodid Otsese integratsiooni meetod Integratsioonimeetodit, mille puhul antud integraal taandatakse integrandi (või avaldise) identsete teisendustega üheks või mitmeks tabeliintegraaliks ja rakendades määramatu integraali omadusi, nimetatakse otseintegreerimiseks.

Selle integraali taandamiseks tabeliks kasutatakse sageli järgmisi diferentsiaali teisendusi (operatsioon „diferentsiaali märgi alla toomine“):

Muutuja muutumine määramata integraalis (asendusintegratsioon) Asendusintegratsiooni meetod seisneb uue integreerimismuutuja sisseviimises. Sel juhul taandatakse antud integraal uueks integraaliks, mis on tabelikujuline või sellele taandatav. Olgu see vajalik integraali arvutamiseks. Teeme asendus x = φ(t), kus φ(t) on funktsioon, millel on pidev tuletis. Siis dx=φ "(t)dt ja määramata integraalintegratsiooni valemi muutumatuse omaduse põhjal saame integratsioonivalemi asendamise teel

Osade kaupa integreerimine Osade kaupa integreerimise valem Valem võimaldab taandada integraali arvutamise integraali arvutamiseks, mis võib osutuda algsest palju lihtsamaks.

Ratsionaalmurdude integreerimine Ratsionaalne murd on murd kujul P(x)/Q(x), kus P(x) ja Q(x) on polünoomid. Ratsionaalmurdu nimetatakse õigeks, kui polünoomi P(x) aste on madalam polünoomi Q(x) astmest; vastasel juhul nimetatakse murdu valeks murruks. Lihtsamad (elementaar)murrud on korrapärased murrud järgmisel kujul: kus A, B, p, q, a on reaalarvud.

Lihtsaima IV tüüpi murru esimene integraal võrrandi paremal küljel on kergesti leitav asendades x2+px+q=t ja teine ​​teisendatakse järgmiselt: Seadistades x+p/2=t, dx=dt we saada ja tähistada qp 2/4=a 2 ,

Ratsionaalmurdude integreerimine dekomponeerimise abil lihtmurdudeks Enne ratsionaalse murru P(x)/Q(x) integreerimist tuleb teha järgmised algebralised teisendused ja arvutused: 1) Kui on antud ebaõige ratsionaalne murd, siis vali täisarvu osa hulgast. see, st kujul, kus M(x) on polünoom ja P 1(x)/Q(x) on õige ratsionaalne murd; 2) Laiendage murdosa nimetaja lineaarseteks ja ruutteguriteks: kus р2/4 q

3) Jaga õige ratsionaalne murd lihtmurdudeks: 4) Arvuta ebamäärased koefitsiendid A 1, A 2, ..., Am, ..., B 1, B 2, ..., Bm, ..., C 1, C 2, ..., Cm, ... , mille puhul viime viimase võrdsuse ühise nimetaja juurde, võrdsustame saadud identiteedi vasak- ja parempoolses osas x samade astmetega koefitsiendid ja lahendame süsteemi lineaarvõrrandid soovitud koefitsientide suhtes.

Lihtsamate irratsionaalfunktsioonide integreerimine 1. Integraalid kujul, kus R on ratsionaalfunktsioon; m 1, n 1, m 2, n 2, … täisarvud. Kasutades asendust ax+b=ts, kus s on arvude n 1, n 2, ... vähim ühiskordne, teisendatakse määratud integraal ratsionaalfunktsiooni integraaliks. 2. Vormi integraal Sellised integraalid taandatakse ruudukujulisest trinoomist ruudu valimisel tabeliintegraalideks 15 või 16

3. Vormi integraal Selle integraali leidmiseks valime lugejasse juuremärgi all oleva ruuttrinoomi tuletise ja laiendame integraali integraalide summaks:

4. Vormi integraalid Asendades x α=1/t, taandatakse see integraal vaadeldavaks elemendiks 2. 5. Integraal kujul, kus Рn(х) on n-nda astme polünoom. Seda tüüpi integraal leitakse identiteedi abil, kus Qn 1(x) on määramatute kordajatega astme polünoom (n 1), λ on arv. Diferentseerides näidatud identiteedi ja taandades tulemuse ühiseks nimetajaks, saame kahe polünoomi võrdsuse, millest saame määrata polünoomi Qn 1(x) ja arvu λ koefitsiendid.

6. Diferentsiaalbinoomide integraalid, kus m, n, p on ratsionaalarvud. Nagu PL Tšebõšev tõestas, väljendatakse diferentsiaalbinoomide integraale elementaarfunktsioonidena ainult kolmel juhul: 1) p on täisarv, siis taandatakse see integraal ratsionaalfunktsiooni integraaliks, kasutades asendust x=ts, kus s on murdude m ja n vähim ühised mitmiknimetajad. 2) (m+1)/n on täisarv, sel juhul ratsionaliseeritakse see integraal, kasutades asendust a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р on täisarv, sel juhul viib sama eesmärgini asendusax n+b=ts, kus s on murdosa р nimetaja.

Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine Integraalid kujul, kus R on ratsionaalne funktsioon. Integraalimärgi all on siinuse ja koosinuse ratsionaalne funktsioon. Sel juhul on rakendatav universaalne trigonomeetriline asendus tg(x/2)=t, mis taandab selle integraali uue argumendi t ratsionaalfunktsiooni integraaliks (tabel lk 1). On ka teisi asendusi, nagu on näidatud järgmises tabelis:

Funktsiooni f(x) kindel integraal lõigul on integraalsummade piir, eeldusel, et suurima osalõigu Δхi pikkus kipub olema null. Arve a ja b nimetatakse integratsiooni alumiseks ja ülemiseks piiriks. Cauchy teoreem. Kui funktsioon f(x) on lõigul pidev, siis on kindel integraal olemas

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="(!LANG:Kui segmendil on f(x)>0, siis on kindel integraal geomeetriliselt ​kõverjooneline"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

Määratud integraalide arvutamise reeglid 1. Newton Leibnizi valem: kus F(x) on f(x) antiderivaat, st F(x)‘= f(x). 2. Integreerimine osade kaupa: kus u=u(x), v=v(x) on pidevalt diferentseeruvad funktsioonid lõigul .

3. Muutuja, kus x=φ(t) on funktsioon, mis on pidev koos oma tuletisega φ' (t) lõigul α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ( t)] – funktsioon on pidev [α; β] 4. Kui f(x) on paaritu funktsioon, st f(x)= f(x), siis Kui f(x) on paarisfunktsioon, st f(x)=f(x) , siis.

Valed integraalid Valed integraalid on: 1) lõpmatu piiriga integraalid; 2) piiramata funktsioonide integraalid. Funktsiooni f (x) ebaõige integraal vahemikus a kuni + lõpmatus on defineeritud võrdsusega. Kui see piir on olemas ja on lõplik, siis nimetatakse ebaõiget integraali koonduvaks; kui piir ei eksisteeri või on võrdne lõpmatusega, lahknev Kui funktsioonil f(x) on lõigu punktis lõpmatu katkestus ja see on pidev a≤x korral

Ebaõigete integraalide konvergentsi uurimisel kasutatakse üht võrdlusmärki. 1. Kui funktsioonid f(x) ja φ(x) on defineeritud kõigi х≥а jaoks ja on lõigul integreeritavad, kus А≥а ja kui 0≤f(x)≤φ(x) kõigi х≥ jaoks а, siis integraali koondumisest tuleneb integraali konvergents ja 2. 1 Kui x→+∞ korral on funktsioon f(x)≤0 suurusjärgus p>0 lõpmatuseni väiksem kui 1/x, siis integraal koondub. kui p>1 ja lahkneb p≤1 2 korral. 2 Kui funktsioon f(x) ≥ 0 on defineeritud ja pidev intervallis a ≤ x

Tasakujulise kujundi pindala arvutamine Kõvera y=f(x), sirgjoonte x=a ja x=b ning OX-telje segmendiga piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala arvutatakse valemiga Pindala kõveraga y=f 1(x) ja y=f 2(x) ning sirgjoontega x=a ja x=b piiratud joonise ots leitakse valemiga ja OX-telje segment arvutatakse valem kus t 1 ja t 2 määratakse võrrandist a = x (t 1), b = x (t 2) kaks polaarraadiust θ=α, θ=β (α

Tasapinna kõvera kaare pikkuse arvutamine Kui lõigul olev kõver y=f(x) on sile (st tuletis y'=f'(x) on pidev), siis on selle kõvera vastava kaare pikkus leitud valemiga (t), y=y(t) [x(t) ja y(t) on pidevalt diferentseeruvad funktsioonid] kõvera kaare pikkus, mis vastab parameetri t monotoonsele muutusele t 1-st kuni t 2, arvutatakse valemiga Kui sujuv kõver on antud polaarkoordinaatides võrrandiga ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, siis on kaare pikkus võrdne.

Kehamahu arvutamine 1. Kehamahu arvutamine teadaolevate ristlõikepindade järgi. Kui keha ristlõike pindala, OX-teljega risti asetsev tasapind, saab väljendada x funktsioonina, st kujul S=S(x) (a≤x≤b), siis ruumala OX-teljega risti olevate tasandite vahele jääva kehaosa x= a ja x=b vahel, leitakse valemiga 2. Pöördekeha ruumala arvutamine. Kui ümber OX-telje pöörleb kõverjooneline trapets, mis on piiratud kõveraga y=f(x) ja sirgjoontega y=0, x=a, x=b, siis pöördekeha ruumala arvutatakse valemiga Kui joonis mida piiravad kõverad y1=f 1(x) ja y2=f 2(x) ning sirged x=a, x=b, pöörleb ümber OX-telje, siis on pöörlemisobjekti maht võrdne.

Pöörlemispinna arvutamine Kui sujuva kõvera kaar y=f(x) (a≤х≤b) pöörleb ümber OX-telje, siis pöördepinna pindala arvutatakse valemiga Kui kõver on antud parameetriliste võrranditega x=x(t), y=y(t ) (t 1≤t≤t 2), siis.

Põhimõisted Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatud muutujad, nende funktsiooni ja selle funktsiooni tuletised (või diferentsiaalid). Kui on ainult üks sõltumatu muutuja, siis nimetatakse võrrandit tavaliseks, kui sõltumatuid muutujaid on kaks või enam, siis nimetatakse võrrandit osadiferentsiaalvõrrandiks.

Esimest järku võrrand Funktsionaalvõrrandit F(x, y, y) = 0 või y = f(x, y), mis ühendab sõltumatut muutujat, soovitud funktsiooni y(x) ja selle tuletist y (x), nimetatakse esimest järku. diferentsiaalvõrrand. Esimest järku võrrandi lahenduseks on mis tahes funktsioon y= (x), mis asendatuna võrrandis koos selle tuletisega y = (x) muudab selle identiteediks x suhtes.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendus Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon y = (x, C), mis parameetri C mis tahes väärtuse korral on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus. Võrrandit Ф(x, y, C)=0, mis defineerib üldlahendi kaudse funktsioonina, nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraaliks.

Võrrand lahendatud tuletise suhtes Kui tuletise suhtes on lahendatud 1. järku võrrand, siis saab seda esitada kui Selle üldlahendus on geomeetriliselt integraalkõverate perekond ehk erinevatele väärtustele vastav joonte hulk konstandist C.

Cauchy ülesande väide Probleemi, mille eesmärk on leida lahendus diferentsiaalvõrrandile, mis rahuldab algtingimust at, nimetatakse esimest järku võrrandi Cauchy ülesandeks. Geomeetriliselt tähendab see: leida antud punkti läbiva diferentsiaalvõrrandi integraalkõver.

Eraldatud muutuja võrrand Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse eraldatud muutuja võrrandiks. Esimest järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse eraldatavate muutujatega võrrandiks, kui sellel on vorm: Võrrandi lahendamiseks jagage selle mõlemad osad funktsioonide korrutisega ja seejärel integreerige.

Homogeensed võrrandid Esimest järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse homogeenseks, kui seda saab taandada kujule y = või kujule, kus ja on sama järku homogeensed funktsioonid.

Esimest järku lineaarvõrrandid Esimest järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui see sisaldab y ja y’ esimesel astmel, st sellel on vorm. Selline võrrand lahendatakse asendusega y=uv, kus u ja v on tundmatud abifunktsioonid, mis leitakse võrrandisse abifunktsioonide asendamisel ja ühele funktsioonile seatakse teatud tingimused.

Bernoulli võrrand Bernoulli võrrand on esimest järku võrrand, millel on vorm

2. järku diferentsiaalvõrrandid 2. järku võrrandil on vorm Või Teist järku võrrandi üldlahend on funktsioon, mis parameetrite mis tahes väärtuste korral on selle võrrandi lahendus.

Cauchy ülesanne 2. järku võrrandile Kui 2. järku võrrand on lahendatud teise tuletise suhtes, siis sellise võrrandi puhul toimub järgmine ülesanne: leida võrrandi lahendus, mis rahuldab algtingimusi: ja Seda ülesannet nimetatakse Cauchy ülesanne 2. järku diferentsiaalvõrrandi jaoks.

Teist järku võrrandi lahendi olemasolu ja kordumatuse teoreem Kui võrrandis on funktsioon ja selle osatuletised argumentide suhtes pidevad mõnes punkti sisaldavas valdkonnas, siis on olemas ka selle võrrandi ainulaadne lahend, mis rahuldab tingimused ja.

Järkjärgu vähendamist võimaldavad 2. järku võrrandid Lihtsaim teist järku võrrand lahendatakse topeltintegreerimisega. Võrrand, mis ei sisalda sõnaselgelt y-d, lahendatakse asendamise teel, võrrand, mis ei sisalda x-i, lahendatakse asendamise teel, .

Lineaarsed homogeensed võrrandid Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand on võrrand Kui kõik selle võrrandi koefitsiendid on konstantsed, siis nimetatakse võrrandit konstantsete koefitsientidega võrrandiks.

Lineaarse homogeense võrrandi lahendite omadused Teoreem 1. Kui y(x) on võrrandi lahend, siis Cy(x), kus C on konstant, on ka selle võrrandi lahendus.

Lineaarse homogeense võrrandi lahendite omadused Teoreem 2. Kui ja on võrrandi lahendid, siis on ka nende summa selle võrrandi lahendiks. Tagajärg. Kui ja on võrrandi lahendus, siis on funktsioon ka selle võrrandi lahendus.

Lineaarselt sõltuvad ja lineaarselt sõltumatud funktsioonid Kaks funktsiooni ja nimetatakse lineaarselt sõltuvaks mingist intervallist, kui on võimalik valida sellised arvud ja mitte võrdne nulliga samal ajal, et nende funktsioonide lineaarne kombinatsioon on sellel intervallil identselt võrdne nulliga, st.

Kui selliseid numbreid ei saa valida, siis nimetatakse funktsioone ja näidatud intervallil lineaarselt sõltumatuks. Funktsioonid on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nende suhe on konstantne, st.

Teoreem 2. järku lineaarse homogeense võrrandi üldlahenduse struktuuri kohta Kui 2. järku LOE lineaarselt sõltumatud osalahendid, siis nende lineaarne kombinatsioon kus ja on suvalised konstandid, on selle võrrandi üldlahend.

2. järku lineaarne homogeenne võrrand konstantsete koefitsientidega Võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandi tunnusvõrrandiks. See saadakse LOE-st, asendades tuletise järjestusele vastava astmega k.

Kõrgema algebra elemendid (8 tundi)

Diferentsiaalarvutuse rakendamine funktsioonide uurimisel ja joonistamisel (26 tundi)

Ühe muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus

(30 tundi)

2.1. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed omadused. Intervallil pidevate funktsioonide omadused (esimene ja teine ​​Weierstrassi teoreem ja teoreem
Cauchy). Tuletisfunktsiooni definitsioon ja omadused. Tuletise geomeetriline ja mehaaniline tähendus.

2.2. Kompleksfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide tuletised. Funktsioonid seatud
parameetriliselt. nende eristamine. Lihtsamate elementaarfunktsioonide tuletiste tabelid. Diferentsiaal ja selle omadused.

2.3. Kõrgema järgu tuletis- ja diferentsiaalid. Teine tuletis
parameetriliselt määratud funktsioonist. Vektorfunktsiooni tuletis ja
selle geomeetriline tähendus. Suurenev (vähendav) funktsioon punktis.
Rolle'i, Lagrange'i, Cauchy teoreemid. Lagrange'i teoreemi tagajärjed.
Funktsioonide lokaalsete ja globaalsete äärmuste leidmine. Avalikustamine
määramatused vastavalt L'Hopitali reeglile.

3.1. Taylori valem ja seeria. Binoomteoreem. Taylori valemid elementaarfunktsioonide jaoks. Funktsiooni kumerus. Käändepunktid. Funktsioonide asümptoodid. Funktsioonide graafikute koostamine.

3.2 Skalaarargumendi vektorfunktsioonid ja nende eristamine.
Tuletise mehaaniline ja geomeetriline tähendus. Puutuja sirge ja normaaltasandi võrrandid.

3.3 Tasapinnakõvera kõverus ja kõverusraadius.

4.1. Keerulised numbrid, toimingud nendega. Pilt integreeritud
numbrid lennukis. geomeetriline tähendus. Kompleksarvu moodul ja argument. Kompleksarvu algebralised ja trigonomeetrilised vormid. Euleri valem.

4.2. Polünoomid. Bezouti teoreem. Algebra fundamentaalteoreem. Lagunemine
polünoom reaalkoefitsientidega lineaar- ja ruutteguritel. Ratsionaalsete murdude lagundamine lihtsateks.

muutujad (20 tundi)

5.1. Domeen. Funktsiooni piir, järjepidevus. Mitme muutuja funktsiooni eristatavus, osatuletised ja
totaalne diferentsiaal, seos osatuletistega. Tuletised
keerukatest funktsioonidest. Kogudiferentsiaali kuju muutumatus.
Implitsiitse funktsiooni tuletised.

5.2. Puutetasand ja pind normaalne. Geomeetriline
kahe muutuja funktsiooni kogudiferentsiaali tähendus.

5.3. Kõrgema järjekorra osatuletised. Teoreem diferentseerimise tulemuse sõltumatuse kohta eristamise järjekorrast. Kõrgema järgu erinevused.

5.4. Ruumikõvera kõverus ja vääne. Freneti valemid.

5.5. Taylori valem mitme muutuja funktsiooni jaoks. Äärmused
mitme muutuja funktsioonid. Ekstreemumiks vajalikud ja piisavad tingimused. Tingimuslik äärmus. Funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused suletud piirkonnas. Lagrange'i kordajate meetod.
Näited rakendustest optimaalsete lahenduste otsimisel.

Mitme muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus

Põhidefinitsioon ja mõisted.

1. Kahe muutuja funktsiooni kujutis, funktsiooni määratlus- ja muutumispiirkond.

2. Osatuletised, nende geomeetriline tähendus.

3. Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid.

4. Kahe muutuja funktsiooni diferentsiaal, ligikaudsed arvutused diferentsiaali abil.

5. Puutetasand ja pinna normaal.

Muutuv zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">G seaduse järgi (reegel) f : (x, y) → z(z = f(x, y) ) luuakse üks-ühele kirjavahetus.

Palju G helistas funktsiooni ulatus z = f(x, y) ja tähistatud

Palju Z helistas funktsiooni ulatus z = f(x, y) ja tähistatud E(z).

Kahe muutuja funktsiooni saab tähistada:

aga) selgesõnaliselt z = f(x, y); z = φ (x, y); z = z(x, y);

b) kaudselt F(x, y, z(x, y))=0.

Kui ( x0,y0)https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" width="76 height=24" height="24">; E(z) ≥ 0.

ajakava funktsioonid muutujate vaim on pind ruumis .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; kujutada tasapinnal kuidas

nende funktsioonide määratlusvaldkonna punktide kogum.

1) Funktsiooni ja sõltumatute muutujate paaride vastavuse seadus (reegel). z = f(x, y) on logaritmiline, seega (x - y)>0, st x > y. Domeen on punktide kogum tasapinnal kuidas, lamades joone all y = x, välja arvatud joonele kuuluvad punktid, seega näidatakse seda punktiirjoonena.

Vaheta ala funktsionaalse sõltuvuse seaduse järgi z .

2) Vastavusseadus (reegel). z = f(x, y) ,

sellepärast (y - x2) ≥ 0, st y ≥ x2. Domeen –

tasapinnaliste punktide komplekt kuidas sees lamades

paraboolid y ≥ x2, sealhulgas punktid, mis kuuluvad

parabool (ala piir). Vaheta ala peal

funktsionaalse sõltuvuse seadus z ≥ 0.

Kahe muutuja funktsiooni osatuletiste definitsioon ja nende geomeetriline tähendus.

Osatuletisfunktsioonid z= f(x, y) nimetatakse funktsiooni juurdekasvu suhte piirideks z = z(x, y) vastava argumendi juurdekasvuni piki suundi Oh või OU juures Δ x → 0 Ja Δ y → 0 vastavalt:

Osaline tuletis x suhtes:

arvutamisel arvestage x = const.

Geomeetriliselt

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , kus α on pinna puutuja nurk punktis x-telje suunaga;

Kus β on pinna puutuja nurk punktis y-telje suunaga.

Eristamise reeglid Ja tabelituletised ühe muutuja funktsioonid täielikult õiglane kahe ja mitme muutuja funktsiooni jaoks.

Kahe muutuja funktsiooni jaoks z = f(x, y) on kaks

esimest järku osatuletised : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, mis on samuti kahe muutuja funktsioonid ja mida saab muutujate järgi eristada X Ja y. Leiame neli teist järku osatuletised :

Pange tähele, et segatud derivaadid kõrgemad tellimused on võrdsed (Schwarzi teoreem): , ehk erinevad tuletised

teine ​​järk - kolm: , .

Kahe muutuja funktsiooni kolmandad tuletised ( z = f(x, y)) - kaheksa: kuid neli neist on erinevad, kuna mis tahes järjestuses diferentseerimisel on segatuletised võrdsed:

Leiame esimesed tuletised:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Leidke teised segatuletised:

me näeme seda, st kontrollisime Schwartzi teoreemi ja näitasime seda.

Diferentsiaal ja selle geomeetriline tähendus. Ligikaudsed arvutused diferentsiaali abil. Puutetasand ja pind normaalne.

Funktsiooni kogudiferentsiaal z= f(x, y) on funktsiooni kasvu lineaarne osa (kuni punktis oleva pinna puutujatasandini (x0; y0)):

Seda valemit kasutatakse funktsiooni ligikaudseks arvutamiseks punktis.

Näiteks, peate arvutama funktsiooni väärtuse, kus

= 1.02 = 1 + 0.02 , aga y0 = 2.97 = 3 - 0.03 : vastu võtta X= 1 , ja jaoks y = 3;

taga Δ X Ja Δ juures peaks valima Δ x = 0,02 Ja Δ y = – 0,03 nii et arvutusviga oleks väikseim (ei järgi selles näites Δ juures vali väärtus Δ y = 0,97, ja jaoks y = 2, punkti esitamine y0 = 2.97 =2 + 0,97).

Näide 2 Arvutage väärtus https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> ja pange tähele, et see tuleb arvutada punktis x0 = 0,98; y0 = 1,05.

Kasutame võimalust diferentsiaali abil arvutuste tegemiseks. Kujutage ette punkti x0 = 0,98 = 1 - 0,02; y0 = 1,05 = 1 + 0,05 ja tähistada x = 1; y = 1; Δх = -0,02; Δу = 0,05.

Arvutame funktsiooni = osatuletised; . Siis .

Sest ja me arvutame

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Arvutades selle väärtuse kalkulaatoris, saame https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0,0003 .

Diferentsiaali definitsioonist saab selle ka välja võtta geomeetriline tähendus.

Kui A(x, y)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">lennukZ(x, y) = z(A) + a(x- xA) + b(y- yA), ja funktsiooni graafiku pind ühineb punkti läheduses oleva tasapinnaga A(x, y), siis sellist lennukit nimetatakse pinna puutuja tasapind sel hetkel.
Või puutuja tasapinna võrrand a(x-xA)+b(y-yA)+(-1)(z- zA)=0 Ja normaalvektor temale, kes usub normaalvektor pinnale punktis A(x, y).

ärakiri

1 PA Velmisov YuV Pokladova Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus Õpik Uljanovski UlGTU

2 UDC (7 LBC n7 V 8 retsensendid: UlGU rakendusmatemaatika osakond (osakonna juhataja, füüsika- ja matemaatikateaduste doktor professor AA Butov; füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, UlSU AS professor Andreev Toimetuse ja kirjastuse poolt heaks kiidetud Ülikooli nõukogu kui õppekäsiraamatud Velmisov PAV 8 Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus: õpik / PA Velmisov Yu V Pokladova Uljanovsk: UlGTU ISBN-iga Käsiraamat on mõeldud kõikide erialade bakalaureustele, kes õpivad rubriiki "Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus muutujad" Käsiraamat sisaldab lühikest teoreetilist materjali teoreetilised küsimused üksikülesanded näiteid probleemide lahendamisest ja on mõeldud õpilastele iseseisvaks tööks lõigu valdamisel. Töö tehti UlSTU "Kõrgmatemaatika" osakonnas.

3 SISUKORD Sissejuhatus Teoreetilised küsimused Teoreetiline materjal ja näited probleemide lahendamisest Mitme muutuja funktsiooni definitsiooni valdkond Näide ülesande lahendamisest Osatuletised Ülesande lahendamise näide 8 Kompleksfunktsiooni tuletised 8 Probleemi lahendamise näide 9 Tuletised kaudsest funktsioonist Näide ülesande lahendamisest Diferentsiaal Ülesande lahendamise näide Diferentsiaali kasutamine funktsiooni väärtuste ligikaudsetes arvutustes 7 Näide ülesande lahendamisest 7 7 Taylori ja Maclaurini valemid 8 Näide ülesande lahendamisest Tangenstasandi ja normaal pinnale 9 Näide ülesande lahendamisest Gradient ja tuletis suunas Ülesande lahendamise näide 9 Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Näide ülesande lahendamisest Näide ülesande lahendamisest Funktsiooni tingimuslik ekstreemum mitmest muutujast Lahendusülesande näide 7 Kahe muutuja funktsiooni väikseim ja suurim väärtus piirkonnas 9 Näide ülesande lahendamisest 9 Vähimruutude meetod Ülesande lahendamise näide Ülesande lahendamise näide An ülesande lahendamise näide 8 Arvutusülesanded 9 Loetelu kirjandust

4 SISSEJUHATUS Matemaatika valdamisel ja selle meetodite valdamisel on oluliseks teguriks õpilaste aktiivne iseseisev töö.Tüüparvutuste süsteem aktiveerib õpilaste iseseisvat tööd ja aitab kaasa kõrgema matemaatika kursuse sügavamale uurimisele.õpilasel on oskused lahendada tüüpülesandeid. Käsiraamat sisaldab lühikest teoreetilist materjali teoreetilised küsimused üksikud ülesanded probleemide lahendamise näited ja on mõeldud õpilaste iseseisva töö tagamiseks osa Teoreetilised küsimused on kõigile õpilastele ühised; kõik käesolevas juhendis sisalduvad ülesanded on esitatud 8 valikus Iga teema kohta võetakse kokku põhiteoreetiline teave, antakse lahendused tüüpilistele näidetele Lahendused annavad teooriale viitamise reegli põhivalemid.

5 Teoreetilised küsimused Selle definitsioonipiirkonna kahe muutuja funktsiooni definitsioon Nende mõistete geomeetriline tõlgendus Kolme muutuja funktsiooni mõiste Kahe ja kolme muutuja funktsioonide piiri mõiste punktis Pideva funktsiooni mõiste mitu muutujat Kahe ja kolme muutuja funktsioonide osatuletised Punktis diferentseeruva funktsiooni definitsioon Kahe ja kolme muutuja funktsioonide esimest järku diferentsiaal Puutuja tasapinna ja pinna normaalvõrrandid Mitme sõltumatu muutuja kompleksfunktsiooni osatuletised Kokku tuletis 7 Diferentseerimine ühe ja mitme sõltumatu muutuja kaudsete funktsioonide 8 Kõrgemat järku osatuletiste määramine Kahe ja kolme muutuja funktsioonide teist järku diferentsiaal 9 Taylori valem ja Maclaurini valem kahe muutuja funktsiooni jaoks Gradient ja suunatuletis Funktsioonide ekstreemumipunkti mõiste kahest ja kolmest muutujast Vajalikud ja piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi jaoks Vajalik ja piisav kolme muutuja funktsiooni ekstreemumi täpsed tingimused Kahe muutuja funktsiooni tingimusliku ekstreemumi punkti mõiste Vajalikud ja piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni tingimusliku ekstreemumi jaoks Lagrange'i kordajate meetod Suurima ja väikseima väärtuse leidmine ​​kahe muutuja funktsioonist suletud piiratud piirkonnas 7 Vähimruutude meetod

6 Teoreetiline materjal ja näited probleemide lahendamisest Mitme muutuja funktsiooni määratlusvaldkond Olgu D sõltumatute muutujate väärtuspaaride kogum ja Definitsioon Hulka D, mille elementide jaoks on väärtused, nimetatakse definitsioonipiirkonnaks funktsiooni f (Definitsioon Kui iga sõltumatute muutujate väärtuste hulk kindlast hulgast DR vastab muutuja u teatud väärtusele, siis nad ütlevad, et u on hulga D defineeritud muutujate funktsioon (uf Näide ülesande lahendamisest Otsige ja kujutage definitsioonifunktsiooni valdkond = (Lahendus: logaritmiline funktsioon defineeritakse ainult argumendi positiivse väärtusega, nii et > või< Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k

7 Tähistatakse uf või ukkkfk Vajadusel muutujad, millest funktsioon sõltub, näiteks fk Kahe muutuja funktsiooni f korral on meil definitsiooni järgi ffff lm - osatuletis ffff suhtes lm - osatuletis koos respekt Kasutame ka tähistusi, mille puhul algarvu ei panda peale, näiteks fffk Märkus Definitsiooni kohaselt arvutatakse osatuletis muutuja kk suhtes tavapäraste reeglite ja diferentseerimisvalemite järgi, mis kehtivad ühe funktsiooni korral. muutuja (sel juhul loetakse kõik muutujad peale k konstantidena. Näiteks osatuletise arvutamisel funktsiooni f muutuja suhtes loetakse muutujat konstantseks ja vastupidi Definitsioon Funktsioonide järgu osatuletised uf nimetatakse tema esimest järku osatuletiste osatuletisteks Definitsiooni järgi tähistatakse ja leitakse teist järku tuletisi järgmiselt: uuu - teist järku tuletis muutuja kkkkkkuuu suhtes - segatuletis. i teist järku kkk muutujates k ja f: Eelkõige kahe muutuja funktsioonide puhul võib ülaltoodud algarvud ära jätta. Samamoodi defineeritakse teisest kõrgemat järku osatuletised ja tähistatud tuletised on pidevad 7

8 Näide ülesande lahendamisest Antud funktsioon s Näita, mis Lahendus Leiame osatuletised os ; os; os os s ; os s ; os os s funktsioon uf ((t (t (t muutuja t suhtes arvutatakse valemiga: du ududud (dt dt dt dt t dt dt dt Olgu uf (kus (tttm (tttm (tttm kus ttt on sõltumatud muutujad) )

9 utkutuuuttt (uuuu tm tmtmtm Kui uf (ttm where (tttm then ffltltkmklk Näide ülesande lahendamisest Leia kompleksfunktsiooni tuletis du dt utt ost Lahendus) Kuna funktsioon u on ühe sõltumatu muutuja du t funktsioon, siis on vaja arvuta tavatuletis dt du ududud dt dt dt dt Leia selles valemis sisalduvad tuletised: uuudddtst dt t dt dt Leia kompleksfunktsiooni 9 osatuletised u osv l(vwweveuu

10 Lahendus Funktsioon u on kahe muutuja v ja w funktsioon Muutujad v ja w on omakorda kahe sõltumatu muutuja funktsioonid ja Leia osatuletised: wwveveuvuweesvvvwwvwu u es(eee ; (e (e (e (euuvuwvwsveevwvwvw (ee) (e (eee) Eelkõige kaudse funktsiooni tuletis (antud võrrandiga F (saab arvutada valemiga: d F (d F eeldusel, et F ; kaudse funktsiooni osatuletised (antud võrrandiga F) ) leitakse järgmiselt: FF (FF eeldusel, et F) Märkus Tuletise osaline võrrandiga F u antud funktsiooni uf muutuja k suhtes võib olla

11 leitakse ka selle võrrandi diferentseerimisel k suhtes, sel juhul on vaja arvestada u sõltuvust k-st. Järjekordi arvutatakse valemite (((või diferentseerides võrrandeid F u F (F) (vastav arv kordi) Näide ülesande lahendamisest Leia kaudse funktsiooni esimest järku tuletis (antud võrrandiga l tg Lahendusmeetod: Implitsiitse funktsiooni tuletis (antud võrrandiga d FF ( saab arvutada valemiga () : d F (FF os (os (Leia kaudse funktsiooni tuletis: d F os (os (d F os (os (Sellisel juhul F l tg meetod: Eristage võrrandi mõlemad osad l tg muutuja x lugedes y funktsioon x: l (tg (os Väljend: os (os (osjaga Leia kaudse funktsiooni esimest järku osatuletised (antud võrrandiga

12 Lahendusmeetod: Implitsiitse funktsiooni tuletised (antud kasutades võrrandi F F (saab arvutada valemiga (: FFF) Sel juhul F(FF) (väljendame: Samamoodi diferentseerime võrrandi mõlemad osad suhtes muutujale, arvestades funktsiooni: ((väljendame: Leidke kaudse funktsiooni teist järku tuletis (antud võrrandiga l) Lahendusmeetod: Implitsiitse funktsiooni tuletis (antud võrrandiga d FF (võib olla arvutatakse valemiga (: d F Sel juhul d Leia tuletis: d F(l FF

13 FF dd Teise tuletise leiame kompleksfunktsiooni diferentseerimisreegli järgi, arvestades, et y sõltub x-st (((dddddddddddd Asendades saadud avaldisesse dd, leiame: (dd meetod: Diferentseerime võrrandi l mõlemad osad muutuja x suhtes, arvestades y-d x funktsioonina: ((l ; (Deristame veel kord võrrandi mõlemad osad muutuja x suhtes, vaadeldes y-d x funktsioonina: (Asendame saadud avaldises: (Leia kaudse funktsiooni teist järku osatuletised (antud võrrandiga) Lahendusmeetod: Implitsiitse funktsiooni tuletised (antud võrrandi abil (F saab arvutada valemiga (:ffff)

14 Sel juhul (FFFF Leiame kaudse funktsiooni osatuletised: FFFF Teise tuletise leiame kompleksfunktsiooni diferentseerimisreegli järgi, lugedes funktsioonina: kord mõlemad võrrandi osad muutuja osas peetakse funktsiooniks: Me väljendame

15 Asendage saadud avaldises: Samamoodi leitakse tuletised 9 Leidmiseks on vaja algset võrrandit kaks korda diferentseerida, võttes arvesse funktsiooni Segatuletise leidmiseks diferentseeritakse algvõrrand kõigepealt ja seejärel (või vastupidi Diferentsiaaldefinitsioon Funktsiooni uf M kogukasv on erinevus uff Definitsioon Funktsiooni uf punktis M punktis M argumentide vastavate juurdekasvudeni nimetatakse diferentseeruvaks, kui selle punkti mõnes naabruses saab esitada funktsiooni kogukasvu as u AAA o((kus AAA on arvud sõltumatud ) selle funktsiooni vaadeldavas punktis on lineaarne: du AAA Funktsiooni uf diferentsiaal vastab valemile uuu du ddd (kus ddd

16 Diferentsiaali sümboolse valemiga ddd (funktsiooni uf k-ndat järku väljendab kdudddu (Eelkõige du puhul leitakse valem (ja du) järgmiselt udu dk d (mkm km Näiteks kahe muutuja funktsioon f, th ja th diferentsiaalide korral kehtivad valemid dd dd ddddd dd d (k (7 Ülesande lahendamise näide Leia funktsiooni uel kolmandat järku diferentsiaal du Lahendus Leia kõik osatuletised üles kolmandasse järku (kaasa arvatud: ueuelueuelueueueuel) Leia kahe muutuja funktsiooni u kolmandat järku diferentsiaal, kasutades valemeid ((7: uuuududdd dd dededde dd eld) Otsi funktsiooni u teist järku diferentsiaal Lahendus. kolme muutuja funktsioonina kasutame valemeid ((:

17 duddduuuuuuddd dd dd dd Leia kõik osatuletised kuni teist järku (kaasa arvatud): uuuuuuuuu Leia kolme muutuja funktsiooni u teist järku diferentsiaal: duddd dd dd dd Diferentsiaali rakendamine väikeste funktsiooniväärtuste ligikaudsetes arvutustes vastavalt valemile (diferentseeruva funktsiooni uf korral on meil ligikaudne võrdsus u du või ff df kus df määratakse valemiga f (((millel on funktsiooni f väärtused ja selle osatuletised punktis vastavalt valem (saate arvutada funktsiooni f väärtuse punktile piisavalt lähedal asuvas punktis Ülesande lahendamise näide Arvutage funktsiooni ligikaudne väärtus (punktis A (9; Lahendus Funktsiooni ligikaudne väärtus (punktis And arvutame valemiga (: 7

18 ((((Meil on 9 ; me määrame Funktsiooni väärtuse arvutamine punktis koordinaatidega: Since ((then (Asenda valemis: 9; (9 (9) Taylori ja Maclaurini valemid df (df (df)) (f (f (R (7!!! kus R o( on jääkliikme)) f ((f ((f ((R!) Erijuhul, kui valemit (7) nimetatakse Maclaurini valemiks) Näide ülesande 7 lahendamisest Laienda funktsiooni (e punkti M läheduses (piiratud teist järku terminitega (kaasa arvatud)) Lahendus Sel juhul on Taylori valem (7) kujul df (df (f (f (R kus R on ülejäänud liige) Taylori valemi !!) Leidke funktsiooni kõigi osatuletiste väärtused kuni teist järku (kaasa arvatud) punktis M: (Koosta funktsiooni diferentsiaalid kuni teist järku, kaasa arvatud d((d (ddd)

19 d ((d (dd (dd dd 9d Arvestades et dd saame: ((9(e ((R 8 Puutetasand ja pinna normaal) Definitsioon Pinna puutujatasand punktis M (puutepunkt on nimetatakse tasapinnaks, mis sisaldab kõiki seda punkti läbiva pinnale joonistatud kõverate puutujaid Definitsioon Pinna normaalne punktis M on selles punktis puutujatasandiga risti olev joon, mis läbib puutujapunkti M. Kui pinnavõrrand on antud eksplitsiitsel kujul f, siis puutujatasandi võrrand punktis M ( omab f (((8 Normaali võrrandid (f ((8)) (F(F (Näide ülesande lahendamisest 8 8) Koosta puutujatasandi võrrand ja pinna normaalvõrrand punktis M (7 Lahendus Kui pinnavõrrand on antud selgel kujul f, siis puutujatasandi võrrand punktis M (saab kuju (8 f (f) (( ja normaalvõrrandid kind (8 f ((f (9

20 Leidke punktis M osatuletisi ff väärtused: fff (f (Asendades leitud väärtused puutujatasandi võrranditesse normaalväärtusega, saame: 7 (või - puutuja 7 võrrand tasapinna võrrandid - normaaltasandi võrrandid 8 Koostage punktis M puutujatasandi võrrand ja pinna normaalse 7 võrrandid (Lahendus Kui pinnavõrrand on antud kaudsel kujul F (siis puutuja võrrand tasapind punktis M (on kujul (8 F (F((F((normaal määratakse võrranditega (8 F(F)) (Asendades leitud väärtused puutujatasandi ja normaalvõrranditesse, saame: (või - puutujatasandi võrrandi; - normaalse 9 võrrandid Gradient ja tuletis suunas Olgu funktsioon f defineeritud punkti lähedus ja lase - sellest punktidest tulev vektor Vektoril võta punkt M (funktsiooni f tuletise definitsioon punktis M suunas (nimetatakse piiri (kui see on olemas f (f) (f (M f (M (M lm lm MMM kus MM M) Tuletise mõiste suunas on osatuletiste mõiste üldistus Suundtuletis punktis M iseloomustab funktsiooni muutumist selles punktis vektori suunas Kui funktsioon f on punktis M diferentseeruv (siis selles punktis

21 os os kus os os on vektori suunakoosinused Definitsioon Funktsiooni f gradient punktis M (vektor, mille projektsioonid on funktsiooni osatuletiste väärtused selles punktis nimetatakse neid grd j () 9 Märkus) Muutujate funktsiooni suunatuletis ja gradient on defineeritud sarnaselt. on seotud seosega (grd (9 need) suunatuletis on võrdne gradiendi ja ühikvektori skalaarkorrutisega Näide ülesande 9 lahendamisest Antud on: funktsioon (rs punkt A ja vektor Leia: grd punktis A; tuletis punktis A piki vektori punkti A suunda selleks arvutame ja punktis A Meil ​​on: (A (A Seega grd (A j Leida funktsiooni f tuletis (vektori suunas kasutame valemit (9) Selleks leia ühikvektor siis (A grd (A 7

22 Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Olgu punkti M funktsioon uf defineeritud mingis naabruses Definitsioon Punkti funktsioonil uf on maksimum (minimaalne M-is, kui on olemas punkti M naabruskond, milles kõigi jaoks punktid M (MM) võrratus f M f M (vastavalt f M f M Funktsiooni maksimumi või miinimumi nimetatakse selle ekstreemumiks ja punkte, kus funktsioonil on ekstreemum, nimetatakse ekstreemumipunktideks (maksimumi või miinimumi). Ekstreemumi vajalik tingimus Kui funktsioonil uf on punktis M ekstreemum, siis selles punktis f (M) Piisava ekstreemumi tingimus Olgu M funktsiooni uf statsionaarne punkt ja see funktsioon on punkti mõnes naabruses kaks korda diferentseeruv M ja kõik selle teised osatuletised on pidevad punktis M Siis: kui dudu mis tahes väärtuse korral, mis ei ole samaaegselt võrdne nulliga, siis on funktsioonil uf punktis M miinimum (maksimaalne; kui du väärtus on erinev märgid olenevalt siis punktis M ei ole ekstreemumit; kui du väärtuste hulga jaoks, mis ei võrdu samal ajal nulliga, siis on vaja täiendavaid uuringuid Vaatleme kahe muutuja funktsiooni juhtumit Definitsioon Funktsioon f (omab maksimumi (miinimum punktis M (kui selline on olemas punkti M naabruskond, kus kõigi punktide M (peale M) võrratus f ( f (f (f (vajalik tingimus kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi jaoks)) Kui diferentseeruv funktsioon f (jõuab ekstreemumi punktis a punkt

23 M (siis selles punktis on esimest järku osatuletised võrdsed nulliga ff (((((Piisav tingimus kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi jaoks punkti M naabruses, funktsioonil on pidev teist järku osaline tuletised Siis: kui D, siis funktsioon f (on punktis M (äärmus, nimelt maksimum punktis AB ja miinimum punktis AB ; kui D, siis ekstreemum punktis M (puudub; kui D, siis lisauuringud Vaatleme funktsiooni uf (kolm muutujat) juhtumit Sylvesteri kriteerium Et ebavõrdsus du kehtiks ddd mis tahes väärtuse korral, mis ei võrdu nulliga, on samaaegselt vajalik ja piisav, et: uuuuuuuuuuuuuuu Tuleks meeles pidada, et kõik tuletised on arvutatakse punktis M (Näide ülesande 8 lahendamisest Leia kahe muutuja funktsiooni äärmused (Lahendus Kui diferentseeruv funktsioon f ( jõuab punktis M ekstreemumini (siis vastavalt selles punktis ekstreemumi jaoks vajalikule tingimusele on esimest järku osatuletised võrdsed nulliga 8 Leia funktsiooni statsionaarsed punktid () :

24 8 Selle süsteemi lahendamisel saame kaks statsionaarset punkti M (- M (-- Kasutame kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisavat tingimust Leia A f B f C f (((D AB C) Vaatleme punkti M ( -: ABC Kuna D 8, siis punkt M (- on äärmuspunkt, nimelt miinimum, kuna A Leia funktsiooni miinimum: m 7 Vaatleme punkti M (--: ABC Kuna D 8 siis punktis M () -- ekstreemumit pole Näide ülesande lahendamisest Leia kolme muutuja funktsiooni ekstreemum u Lahendus Leia antud funktsiooni statsionaarsed punktid u Selleks koostame võrrandisüsteemi: uuu lahendades mille saame; ; Leia teist järku osatuletised: uuuuuu Arvutage nende väärtused statsionaarses punktis M (;; : uuuuuu Leia funktsiooni u teist järku diferentsiaal statsionaarses punktis M (;; : duddd dd dd Kasutame Sylvesteri kriteeriumit In see probleem:

25 uuuuuu 8 uuuuuuuuu Vastavalt Sylvesteri kriteeriumile du Seega punkt M (;; on funktsiooni u miinimumpunkt vastavalt ekstreemumi piisavale tingimusele Funktsiooni väärtus miinimumpunktis um Tingimusliku ekstreemumi piirangu võrrandid Definitsioon Funktsioon uf omab tingimuslikku maksimumi (tingimuslik miinimum punktis M, kui on selline punkti M naabrus, kus kõigi punktide M (MM, mis rahuldavad piiranguvõrrandid) korral on ebavõrdsus f M f M (vastavalt f M f M) täidetud Tingimusliku ekstreemumi leidmise probleem taandatakse Lagrange'i funktsiooni m L mf kk k m võrrandite tavapärase ekstreemumi uurimisele: L (kkmk

26 millest leitakse tundmatud m Tingimusliku ekstreemumi piisav tingimus Olgu süsteemi lahenditel (funktsioon uf punktis m M tingimuslik maksimum, kui d L ja tingimuslik miinimum, kui d L mis tahes väärtuste puhul, mis mmddd on ei võrdu samaaegselt nulliga ja selline kddkmk Kahe muutuja funktsiooni tingimuslik ekstreemum B juhul kui kahe muutuja funktsiooni f piiranguvõrrandiga (Lagrange'i funktsioon saab kujul L f (Süsteem (kirjutatakse kujul L (f ( (L (f ((((((() on selle süsteemi lahend ja L) ((L) rakenda Lagrange'i funktsiooni Sylvesteri kriteeriumi Sylvesteri kriteerium: d L (funktsioonil on tingimuslik miinimum siis ja ainult siis, kui LLLLL ja d L (funktsioonil on tingimuslik maksimum siis ja ainult siis, kui LLLLL

27 mis tahes dddd väärtuste korral, mis ei võrdu samal ajal nulliga ja nii, et Ülesande lahendamise näide Leidke kahe muutuja funktsiooni tingimuslik ekstreemum, kui piiranguvõrrand on kujul Lahendus Koostage Lagrange'i funktsioon: L( f (ost) LL Süsteemi esimesest ja teisest võrrandist leiame ja võrdsustame saadud avaldised: või siit Vaatleme kahte juhtumit: siis Asenda seosvõrrandis: ; leia kaks juurt siis Väärtused ei ole väärtuse lahendid süsteem - selle lahendid 9-s, siis Asendage ühendusvõrrandisse: ((või 8, mis on vale Lahendused puuduvad Seega on süsteemil ainulaadne lahendus 9 Meetod Kasutame tingimusliku ekstreemumi piisavat tingimust Leidke osatuletised: LLL ja koostage determinant: ((9 9 ((9 LL (((9 LL) Funktsiooni väärtus tingimuslikus maksimumpunktis 7 m

28 Meetod: LLL Leia funktsiooni L teist järku diferentsiaal punktis M (: 9 d L(L (d L (dd L (dd)) Kasutage Sylvesteri kriteeriumi: 9 dd d So d L mis tahes väärtuste jaoks ​​dd ei võrdu nulliga samal ajal on punktis M (tingimuslik maksimum Funktsiooni väärtus tingimuslikus maksimumpunktis on m Näide ülesande lahendamisest Leia funktsiooni 8 tingimuslik ekstreemum piiranguvõrrandiga Lahendusmeetod Koostage Lagrange'i funktsioon: L (f (8 ost) Leidke punktid, kus tingimuslik ekstreemum on võimalik Selleks koostame võrrandisüsteemi : LL ja lahendame selle Esimesest võrrandist avaldame teisest võrrandist, me väljendage Kolmanda võrrandi võrdsustamine Seega on süsteemil unikaalne lahend Leia d L(L (d L (dd L (ddd 8)) saame: 8

29 d L ddd Seega on funktsioonil tingimuslik maksimum at Funktsiooni väärtus tingimuslikus maksimumpunktis on m Meetod Sel juhul on muutuja hõlpsasti väljendatav ühendusvõrrandist: Funktsiooni asendamine funktsiooni võrrandiga, saame ühe muutuja funktsiooni: : - lokaalse maksimumi punkt - funktsiooni maksimaalne väärtus selles punktis Kahe muutuja funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused piirkonnas, et leida a suurima ja väikseima väärtuse Piiratud suletud alal diferentseeruv funktsioon, peate: leidma antud piirkonnas paiknevad statsionaarsed punktid ja arvutama nendes punktides funktsiooni väärtused; leidma funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused piiri moodustavatel joontel pindala; kõigi leitud väärtuste hulgast valige suurim ja väikseim Pr Ülesande lahenduse nimi Leia antud võrratussüsteemiga piiratud suletud alal D funktsiooni väikseim ja suurim väärtus Lahendus Pindala D on kolmnurk, mis on piiratud koordinaattelgede ja sirgjoonega 9

30 Leiame funktsiooni statsionaarsed punktid piirkonna D sees Nendes punktides on osatuletised võrdsed nulliga: Selle süsteemi lahendamisel saame punkti K See punkt ei kuulu piirkonda D 8 8 seetõttu ei ole statsionaarseid Kui piirkonna D punktid on erinevad võrrandid, siis uurime funktsiooni igas jaotises eraldi: Sellel lõigul (Kuna segmendil on muutuja kasvav funktsioon, on funktsiooni väikseim väärtus punktis (: ( ja suurim punktis (: (Selles jaotises (Leia tuletis võrrandist, mille saame Seega on funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused piiril selle väärtuste hulgas punktides ((Leia need väärtused: ((või (Selles jaotises 7 Võrrandi 8 7 lahendamine saame 7 seega 8 7 Funktsiooni väärtus selles punktis on (ja lõiguväärtuste otstes ülalt leitud funktsioonid Saadud väärtuste võrdlemine (((((() järeldame, et funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused on suletud Vahemikud D on võrdsed vastavalt (max ja (max). Ülesande lahendamise näide Leia ebavõrdsusega antud suletud alal D funktsiooni väikseim ja suurim väärtus Lahendus Piirkond D on ring raadiusega c

31 Leia funktsiooni statsionaarsed punktid piirkonna D sees Nendes punktides on osatuletised võrdsed nulliga: Seetõttu pole statsionaarseid punkte Uurime funktsiooni piirkonna piiril Koostame Lagrange'i funktsiooni L (Kasutades vajalikku ekstreemumi olemasolu tingimused, saame võrrandisüsteemi LL Lahendame saadud süsteemi Esimesest võrrandist avaldame teisest võrrandist väljendame Võrrandi, saame Asendaja kolmandas võrrandis Seega on meil kaks punkti MM Leidke funktsiooni väärtused saadud punktides: määrake analüütiline sõltuvus f (kahe muutuja vahel ja Selle ülesande lahendamiseks laialt kasutatav meetod on vähimruutude meetod. Laske katse tulemuseks saada funktsiooni väärtused argumendi vastavad väärtused. Tulemused on kokku võetud tabelis xy

32 Esmalt määratakse lähendava funktsiooni vorm (kas teoreetilistest kaalutlustest või katseväärtustele vastavate punktide O tasapinnal paiknemise olemusest. Seejärel on funktsiooni valitud vormiga vaja et valida selles sisalduvad parameetrid nii, et see kajastaks kõige paremini vaadeldavat sõltuvust Vähimruutude meetod on järgmine. Arvestage nii katse tulemusel saadud kui ka leitud väärtuste erinevuste summa ruuduga. funktsiooni väärtuste arvutamise tulemus (vastavates punktides: S (((Valime parameetrid nii, et sellel summal oleks väikseim väärtus. Seega taandub probleem funktsiooni uurimisele (S ekstreemumini). ) Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi vajalikust tingimusest järeldub, et need väärtused vastavad võrrandisüsteemile SSS või laiendatud kujul (Vormi lineaarse lähendamise korral võtab funktsioon (S kuju S) ((See on funktsioon kahe muutujaga ja äärmuslikud tingimused: ((S S

33 Siit saame järgmise võrrandisüsteemi tundmatute ja (saab näidata, et süsteemil (on ainulaadne lahendus ning leitud väärtuste ja funktsiooni jaoks (S on ruutväärtuse korral miinimum vormi lähendus, funktsioon (on kujul S ((Võrrandisüsteem (on kujul (( või laiendatud kujul (Me saime kolmest lineaarsest võrrandist koosneva süsteemi kolme tundmatu määramiseks Kui soovid leida funktsiooni vorm siis funktsioon (kirjutatakse kujul S (võrrandisüsteem (tundmatute parameetrite määramiseks võtab kuju

34 või laiendatud kujul (Näide ülesande lahendamisest Funktsiooni (f) viis väärtust saadi katseliselt viie argumendi väärtusega, mis on kirjutatud tabelisse Vähimruutude meetodil leidke vormi funktsioon väljendades ligikaudselt funktsiooni (f) funktsioon Lahendus Otsime funktsiooni (f lineaarfunktsiooni kujul Süsteem (võtab kuju: Arvestades, et

35 7 saame 7 Selle süsteemi lahendamisel leiame: 7 Soovitud sirge võrrand on kujul: 7 Koostame graafiku yx Näide ülesande lahendamisest Funktsiooni f väärtusi saadi katseliselt (kuue argumendi väärtuse jaoks, mis on salvestatud tabelisse 7 Leia vähimruutude meetodil funktsioon, mis väljendab ligikaudselt funktsiooni f (Koostage joonis, millele ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis graafik katsepunktid ja lähendusfunktsiooni graafik Lahendus Otsime funktsiooni f (ruutfunktsiooni kujul Süsteem (antud kujul: Arvestades, et

36 Selle süsteemi lahendamisel leiame: Soovitud funktsiooni võrrandil on järgmine kuju: Koostame graafiku Funktsiooni f viis väärtust saadakse eksperimentaalselt (viie argumendi väärtusega, mis on salvestatud tabel Vähimruutude meetodil leia funktsioon kujul, mis ligikaudu väljendab funktsiooni f (Tee joonis, millel

37 Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis konstrueerige katsepunktid ja lähendava funktsiooni graafik Lahendus Otsime funktsiooni f (funktsiooni kujul Süsteem (võtab kuju: Arvestades, et saame Lahendades selle süsteemi, leiame : 7 87 Soovitud funktsiooni võrrand on kujul: 7 87 Ehitame graafiku 7

38 Ülesande lahendamise näide Tehke ristkülikukujulisest laiusega plekilehest prismakujuline renn nii, et selle ristlõige oleks suurima pindalaga Lahendus renni alumine põhi võrdub EF = külgkülg on võrdne kuni FD = AEBFD - fig Plekkplekk CAGD α α EF Joonise külg AD kolmnurgast GDF leiame GD os ja trapetsi kõrguse GF s siit AD EF GD os - trapetsi ülemine alus Tähistatakse pindalaga ​trapetsikujuline ADFE Seejärel sss os os os os os s os os

39 Arvutusülesanded Ülesanne Leidke ja kujutage järgmiste funktsioonide definitsioonipiirkonnad: ((= + =l(+ +ll (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros (+ + =l(+) l (s 9 = + = rs (=l(+ 7 = = + 8 =l(+l (os = l (+ 9 l (= + =e =l(+ + =l(+ =9 + = l) (+ = ros (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s))) Ülesanne Kontrollige, kas funktsioon f (võrrand f (võrrand le 9) rahuldab antud

40 f (võrrand s 9 l e e os s (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e e

41 f (võrrand l 7 8 s os ros Ülesanne Leia liitfunktsiooni u(tuletised ulu du? d du u rs st os t? dt uvwwvuu? wvuttt du? dt vwuuuwsv os? wvt du ur tgelut e 7) tuletised du ? d 8 uvwl(vwweveuu? 9 uttt du? dt ueuuv os wwsv? wvu os u du? d

42 u(tuletised u tg tteste os t du? dt vuuuwwv os? weeu du ul? du rtg tet du? dt ueuuv os w ws v? wvu du 7 u tg? d du 8 uttst? dt rsv 7 uwvlw 7 uwvlw uuue lw wsv?wvu du ue?d du u ros st os t?dt wuuu tg lw v?vwvvw 7 uuuwv os?wu du ulee?d du u rtg os tst?dt uu 7 ur wtgwlw v u lt tt?dt

43 Ülesanne Leidke kaudse funktsiooni esimene tuletis funktsioon funktsiooni s tg os le 7 el 7 8 os os os rtg l 9 7 ee 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtg e 7 os ll 8 Ülesanne Leidke kolmanda järgu diferentsiaalid (- sõltumatud muutujad du järgmistest funktsioonidest ue os 7 ullu 8 ueu 9 usueuus(os(ul os ul(ue

44 Ülesanne Arvutage funktsiooni ligikaudne väärtus ((punkti A koordinaadid (punktis A punkti A koordinaadid (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9 l) (8; 7 rtg;; 9 (;;);); 8 (98; 9 ( 9; (9; rs (99; s (; 98 e;; 97 (; 9 s;; 97 (; 97;; 9 7 lee)

45 Ülesanne 7 Laienda funktsiooni (vastavalt Taylori valemile punktis M, piirdudes teist järku terminitega kaasa arvatud (M (M s os e (e (- 7 ss (8 ll (9 ((ss) Laienda funktsiooni) (vastavalt Maclaurini valemile punktis M, piiratud terminitega kolmandat järku kaasa arvatud (((e os sl(el) Laienda funktsiooni (vastavalt Taylori valemile punktis M (M (- (- (-) (7 ((- 8 ((7 os ses 8 os l (e os os 9 e os l

46 Ülesanne 8 Kirjutage punktis A määratud pinna puutujatasandi ja normaalvõrrandid pind A (; ; (; 8 (; ; - (; ; l (; ; ; (; ; 7 (); ; 8 (;;;; ; (-; ; (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l) /; l (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7)

47 pind A (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 Ülesanne 9) Antud funktsioon (punkt A(ja vektor (Leia: grd punktis A; tuletis punktis A vektori suunas (A a rtg ((- (- ((l (- (- (- (- l (- 7 () 8 e (9) - s (( - (- (- ((- 7

48 (A a 7 e ((8 8 l 9 ((((rtg ((- rs ((- l ((- 7 (- ()) (- l (- (- (- Ülesanne Otsi kahe muutuja funktsiooni äärmusi (((l 8l 8 ll 9 (> ll 7 9 9

49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 Ülesanne Kolme muutuja funktsiooni ekstreemumi leidmine u (u (u (8 9 l 88l 7l (9

50 u (u (((7 8 Ülesanne

51 (sidusvõrrand l l l 7 l

52 Ülesanne Leia funktsiooni väikseim ja suurim väärtus (suletud alal D antud võrratuste süsteemiga (ala D

53 (piirkond D Ülesanne Katseliselt saadi funktsiooni f viis väärtust (argumendi viie väärtusega, mis on tabelisse kantud Vähimruutude meetodil leidke funktsioon kujul YX, mis väljendab ligikaudset (lähendavat funktsiooni f ) (Koostage joonis, millel on Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kujutatud katsepunktid ja lähendusfunktsiooni YX x graafik

54 x Ülesanne Funktsiooni f väärtused saadakse eksperimentaalselt (mis on kirjas tabelis Vähimruutude meetodil leidke funktsioon kujul YXX (paaritute valikute ja Y (paarisvõimaluste korral) korral), mis lähendab funktsiooni f ( Koostage joonis, millel on Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kujutatud katsepunktid ja lähendusfunktsioonide x x graafik

55 Ülesanne Lahendage rakendusülesandeid suurimate ja väiksemate väärtuste jaoks Leia suurima ruumalaga silindri mõõtmed, mis on valmistatud toorikust raadiusega kuuli kujul. Maja katusel on ristlõige võrdhaarne kolmnurk suurima perimeetriga tooriku mõõtmed täisnurkse kolmnurga kujul, mille hüpotenuus on antud Valmistage tinast ristkülikukujuline kast (ilma etteantud anuma kaaneta V kõige väiksema materjalikuluga Kandke ristkülikukujuline rööptahukas suurimast mahust d läbimõõduga kuuliks Leia suurima mahutavusega silindrilise anuma mõõtmed, mille pind on S 7 On antud mõõtmetega ristkülikukujuline raualeht Lõika selle nurkadest välja sellise suurusega võrdsed ruudud, et servade painutamisel saadud anum on suurim 8 Ristkülikukujulise rööptahu pind võrdub Q Leia rööptahuka mõõtmed suurima ruumala 9 risttahuka servade summa on Leia suurima ruumalaga risttahuka mõõtmed Leia suurima ruumalaga risttahukas tingimusel, et selle diagonaali pikkus on d Leia ruumala V pöördekoonus väikseim kogupind Märkige väikseima kogupinnaga silinder Kõigist täispinnaga S risttahukatest leidke suurima ruumalaga silinder Määrake suurima ruumalaga koonuse mõõtmed eeldusel, et selle külgpind on võrdne S Kõigist täisnurksetest kolmnurkadest pindalaga S leidke selline hüpotenuus, mille väärtus on väikseim Kõigist ringi sisse kirjutatud kolmnurkadest, leidke see, mille pindala on suurim 7 Leidke kõigist kolmnurkadest, mille ümbermõõt on p, pindalalt suurim 8 Leia kõigist antud pindalaga S ristkülikutest selline ümbermõõt, mille väärtus on väikseim. 9 Kõigist ristkülikukujulistest rööptahukatest mahuga V leia see, mille kogupind on väikseim Väljendage arv nelja positiivse teguri korrutisena, nii et nende summa on väikseim

56 Leia kolmnurk etteantud perimeetriga p, mis ühe külje ümber pööramisel moodustab suurima ruumalaga keha Määrake avatud ristkülikukujulise kasti välismõõtmed etteantud seinapaksusega d ja mahutavusega V nii, et materjali kogus oleks kõige väiksem. kulutati selle valmistamisele Kõigist sama alusega ja ühe ja sama nurgaga kolmnurkadest tipus leidke pindalalt suurim. Kirjutage suurima ruumalaga ristkülikukujuline kast raadiusega R kuuli. Kirjutage suurima ruumalaga ristkülikukujuline kast In etteantud parempoolne ringkoonus Kirjutada suurima ruumalaga ristkülikukujuline kast Milliste mõõtmetega avatud ristkülikukujulise kasti puhul antud ruumalaga V on selle pind väikseim? 7 Ringist on vaja välja lõigata sektor selliselt, et sellest saaks teha maksimaalse mahuga koonusekujulise filtri 8 Antud on lahtise silindrilise anuma maht Millised peaksid olema selle mõõtmed, et keevisõmbluste pikkus on minimaalne? (Tühjad: leht ringikujulise aluse ristkülikukujulise lehe külgpinna kujul VIITED Kõrgem matemaatika Metoodilised juhised ja kontrollülesanded (programmiga / YUS Arutyunova M toimetamisel: Kõrgkool 98 Danko PE Popov AG Kozhevnikova TY Kõrgem matemaatika harjutustes ja probleemid HM Kõrgkool 98 Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus: Juhised testi läbiviimiseks / Comp: NYA Goryacheva YuA Reshetnikov Uljanovsk 999 s Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus: tüüpiline arvutus kõrgemas matemaatikas / Comp: AV Ankicheva NYa TB Rasputko Uljanovsk: UlGTU s Piskunov NS Diferentsiaal- ja integraalarvutus TM: Integral-Press s Kirjalik DT Kõrgema matemaatika loengukonspektid: h M: Iris-press 88 s 7 Matemaatika ülesannete kogu H: Õpik gümnaasiumidele / all AV Efimov AS peatoimetus Pospelova - M: FIZMATLIT - s 8 Fikhtengolts GM Diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus T M: FIZMATLIT 8 s

57 Hariduslik elektrooniline väljaanne VELMISOV Petr Aleksandrovich POKLADOVA MITME MUUTUJATE FUNKTSIOONIDE DIFERENTSIAALARVUTUS Õpik Konv.trükk Andmemaht MB EI Trükiväljaanne LR alates 97 Trükkimiseks allkirjastatud Formaat 8 / Konv. trükk L Tiraažieksemplarid U.Trükikoopiad Telli Trükikoda7 gstvGank Venets d Uljanovski Riiklik Tehnikaülikool 7 Ulyanovsk Sev Venets St. Tel: (E-ml:

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Föderaalne riigieelarveline erialane kõrgharidusasutus "ULJANOVSK RIIK TEHNIKAÜLIKOOL"

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Uljanovski Riiklik Tehnikaülikool

Föderaalne Haridusagentuur MOSKVA RIIKLIK GEODESIA JA KARTOGRAAFIA ÜLIKOOL (MIIGAIK) O. V. Isakova L. A. Saykova

Mitme muutuja funktsioonid Paljudes loodusteaduste ja teiste distsipliinide geomeetria küsimustes tuleb tegeleda kahe kolme või enama muutuja funktsioonidega Näited: Kolmnurga pindala S a h kus a on alus

Kaudse funktsiooni diferentseerimine Vaatleme funktsiooni (,) = C (C = const) See võrrand defineerib kaudse funktsiooni () Oletame, et oleme selle võrrandi lahendanud ja leidnud eksplitsiitse avaldise = () Nüüd saame

Koostanud VPBelkin 1 Loeng 1 Mitme muutuja funktsioon 1 Põhimõisted Muutuja sõltuvust \u003d f (1, n) muutujatest 1, n nimetatakse n argumendi funktsiooniks 1, n Järgnevalt vaatleme

Praktiline harjutus KOMPLEKS- JA KAUDFUNKTSIOONI DIFERENTSEMINE Kompleksfunktsiooni diferentseerimine Ühe võrrandiga antud kaudse funktsiooni eristamine Implitsiitse ja parameetriliselt antud süsteemid

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM GOU VPO "SIBERI RIIKLIK GEODEETIKAKADEEMIA" OG Pavlovskaja ES Plyusnina MATEMAATIKA Osa Mitme muutuja funktsioonid Metoodilised juhised

Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus Mitme muutuja funktsioonid Suurust nimetatakse muutujate n funktsiooniks, kui omistatakse igasse hulka X kuuluv punkt M n

VENEMAA Föderatsiooni HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Kurgani Riiklik Ülikool" Rakendusmatemaatika osakond

MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID Ühe sõltumatu muutuja funktsioonid ei kata kõiki looduses esinevaid sõltuvusi. Seetõttu on loomulik laiendada tuntud funktsionaalse sõltuvuse mõistet ja tutvustada

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Siberi Riiklik Tööstusülikool"

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Moskva Riiklik Geodeesia ja Kartograafia Ülikool OV Isakova, LA Saykova Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus Soovitatav

Föderaalne Raudteetranspordi Agentuur Uurali Riiklik Raudteetranspordiülikool E E Popovskiy P P Skachkov MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID Standardarvutus Jekaterinburg 1 Föderaal

Sissejuhatus Juhend on pühendatud kahe muutuja funktsiooni teooria uurimisele ja praktilisele rakendamisele Iga lõik vastab ühele selleteemalisele praktilisele õppetunnile Juhendi eesmärk

VENEMAA FÖDERAATSIOONI TRANSPORDIMINISTEERIUM FöderaalRIIK KUTSEHARIDUSASUTUS ULJANOVSK TSIILILENNUKÕRGE LENNUKOOL

HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM MOSKVA RIIKLIK TEHNIKAÜLIKOOL "MAMI" Kõrgema matemaatika osakond MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, BE Teush OI Tkachenko, DIFERENTSIAALKALVUS

DIFERENTSIAALARVETUS Antud teema õppimise tulemusena peaks üliõpilane: oskama rakendada tuletiste tabelit ja diferentseerimisreegleid elementaarfunktsioonide tuletiste arvutamiseks leida tuletisi

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Moskva Lennuinstituut (riiklik uurimistöö

8. teema MITME MUUTUJATE DIFERENTSIAALKARVUTUSE FUNKTSIOONID Loeng 8.1. Mitme muutuja funktsioonid. Osatuletised Plaan 1. Kahe ja mitme muutuja funktsiooni mõiste Piir ja pidevus

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Siberi Riiklik Tööstusülikool"

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kutsekõrgharidusasutus "Novgorodi Riiklik Ülikool nimega

5 Punkti, kus F F F või vähemalt üks nendest tuletistest ei eksisteeri, nimetatakse pinna ainsuse punktiks.. Sellises punktis ei pruugi pinnal olla puutujatasapinda Määratlus pinna suhtes normaalne

Loengud 9 Mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreem Definitsioon Olgu mitme muutuja funktsioon f f (antud (mingi hulk D ja (selle hulga mingi punkt))

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Föderaalne riigieelarveline erialane kõrgharidusasutus "ULJANOVSK RIIK TEHNIKAÜLIKOOL"

Praktiline harjutus 5 Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum 5 Ekstreemumi määratlus ja vajalikud tingimused 5 Teavet ruutvormide kohta 53 Ekstreemumi piisavad tingimused 5 Definitsioon ja vajalikud

Tüüpivariandi I "Ühe muutuja funktsioonide integraalarvutus" Ülesanne Arvuta määramatu integraal I cos d 9 Esitame selle integraali I integraalide summana: d I cos d d d 9 Kasutades

Töötuba: "Taylori valem" Kui funktsioonil f () on tuletised kuni (n +) järguni, kaasa arvatud intervallis (0, 0), 0, siis kõigi selle intervalli x jaoks Taylori valem (järgus n) () f

Mitme muutuja funktsioonid Mitme muutuja funktsioonid Teist järku pinnad. X muutuja funktsiooni definitsioon. Geomeetriline tõlgendus. Funktsiooni privaatsed sammud. Eraldi tuletisväärtpaberid.

8. loeng Kompleksfunktsiooni eristamine Vaatleme kompleksfunktsiooni t t t f kus ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t

Õnnitleme teid uue kooliaasta alguse puhul. Soovin teile edu paljude muutujate funktsioonide ja diferentsiaalvõrrandite uurimisel Osakonna veebileht http://kvm.gubkin.ru 1 Paljude muutujate funktsioonid 2 Definitsioon

I Mitme muutuja funktsiooni definitsioon Määratlusvaldkond Paljude nähtuste uurimisel tuleb tegeleda kahe või enama sõltumatu muutuja funktsioonidega, näiteks kehatemperatuur antud hetkel

Mitme muutuja funktsioonid Mitme muutuja funktsioonid Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum. Funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtuse leidmine suletud alal Tingimusliku ekstreemumi kompleks

Peatükk Kahe muutuja funktsiooni äärmused Kahe muutuja funktsiooni äärmused Paljude majandusülesannete lahendamisel tuleb arvutada suurimad ja väikseimad väärtused Näiteks vaatleme probleemi

RIIKLIKU KÕRGHARIDUSASUTUS VALGEVENE-VENEMAA ÜLIKOOL "Kõrgmatemaatika" osakond KÕRGMATEMAATIKA MATEMAATIKA MATEMAATILINE ANALÜÜS Juhend

Vene Föderatsiooni Haridusministeerium MATI - K. E. TSIOLKOVSKI järgi nime saanud VENEMAA RIIKLIKU TEHNOLOOGIAÜLIKOOL Kõrgema matemaatika osakond N D VYSK LOENGU KOKKUVÕTE KÕRGEMA MATEMAATIKA osast

UKRAINA HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM UKRAINA RIIKLIKU METALLURGIKAAKADEEMIA METOODIKA JUHEND distsipliini ülesannete lahendamiseks Kõrgem matemaatika ja praktiliste kontrollülesannete võimalused

Föderaalne haridusagentuur RIIKLIK KUTSEKÕRGE HARIDUSASUTUS Moskva Riikliku Ülikooli instrumenditehnika ja informaatika kõrgosakond

LOENG Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Ekstreemumi olemasoluks vajalikud ja piisavad tingimused Punkti M, 0) nimetatakse maksimumi) funktsiooni miinimumpunktiks.

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium Õppeasutus "Maxim Tanki nimeline Valgevene Riiklik Pedagoogikaülikool" MATEMAATILISE ANALÜÜSI, ALGEBRA JA GEOMEETIA TÖÖTUBA

~ 1 ~ MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 3 Kahe muutuja funktsioon, määratluspiirkond, täpsustamisviisid ja geomeetriline tähendus. Definitsioon: z f nimetatakse kahe muutuja funktsiooniks, kui iga väärtuspaar,

Penza osariigi ülikool OGNikitina MITME MUUTUJATE FUNKTSIOONID DIFERENTSIAALKARVUTUS Õpetus Penza UDC 5755 Nikitina OG Mitme muutuja funktsioonid Diferentsiaalarvutus:

Föderaalne Põllumajandusagentuur Föderaalne osariigi kutsekõrgharidusasutus Michurini osariigi põllumajandusülikooli matemaatika osakond

II DIFERENTSIAALVÕRDENDID Esimest järku diferentsiaalvõrrandid Definitsioon Seoseid, milles tundmatud muutujad ja nende funktsioonid on tuletise või diferentsiaalmärgi all, nimetatakse

LOENG N. Skalaarväli. Suunatuletis. Gradient. Puutetasand ja pind normaalne. Mitme muutuja funktsiooni äärmus. Tingimuslik ekstreemum. Skalaarväli. Tuletis seoses

Loengud Peatükk Mitme muutuja funktsioonid Põhimõisted Mõned mitme muutuja funktsioonid on hästi teada Toome mõned näited Kolmnurga pindala arvutamiseks on teada Heroni valem S

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium

RGR juhendid ja variandid teemal Mitme muutuja funktsioon Disain eriala üliõpilastele. Kui kogus määratakse üheselt kindlaks suuruste väärtuste määramisega ja üksteisest sõltumatult,

P0 tuletis Vaatleme mõnd funktsiooni f () sõltuvalt argumendist Olgu see funktsioon defineeritud punktis 0 ja mõnes selle naabruses, pidev selles punktis ja selle naabruses

VALGEVENE RIIKLIKÜLIKOOL MAJANDUSTEADUSKOND MAJANDUSINFOTEADUSTE JA MATEMAATILISE ÖKONOOMIKA OSAKOND Paljude muutujate funktsioonid Loengukonspektid ja praktilised tööd

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM LIITRIIGI EELARVE KÕRGHARIDUSASUTUS "ST.

Pinnateooria diferentsiaalgeomeetrias Elementaarne pind Definitsioon Tasapinna domeeni nimetatakse elementaarpiirkonnaks, kui see on homöomorfismi all oleva avatud ringi kujutis,

Loeng 11. TINGIMUSLIK EXTREMUM 1. Tingimusliku ekstreemumi mõiste. Tingliku ekstreemumi leidmise meetodid. Kahe muutuja funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused suletud alal. 1. Tingimusliku mõiste

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM SIBERI RIIKLIK GEODEESIAKADEEMIA Yu.G. Kostyna, G.P. Martõnov KÕRGEMATEMAATIKA Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus,

Sissejuhatus Matemaatilise analüüsi kodutestid (HCT) on õpilaste iseseisva töö praeguse kontrolli üks peamisi vorme. DKR-i täitmiseks kuluv ligikaudne aeg,

Osakoormusega üliõpilaste koolituste põhivorm on iseseisev töö õppematerjali kallal, mis koosneb järgmistest komponentidest: õpikutest materjali õppimine, probleemide lahendamine, enesekontroll.

1. Koostage järgmiste funktsioonide määratluspiirkond. a) Kuna funktsioon on seal defineeritud, on funktsiooni definitsioonipiirkonnaks hulk - pooltasand. b) Kuna funktsiooni ulatus on

MITME MUUTUJATE FUNKTSIOONID 1. Põhimõisted. Kui igale üksteisest sõltumatule muutujapaarile määratakse mingist hulgast D muutuja, siis nimetatakse seda kahe funktsiooniks.

VALGEVENE VABARIIGI HARIDUSMINISTEERIUM Valgevene Riiklik Tehnikaülikool Kõrgema matemaatika osakond 1 G. I. Lebedeva G. A. Romanyuk I. M. Martynenko MITME MUUTIJA FUNKTSIOONID Metoodiline