Quién descubrió los números naturales. Estudiar el tema exacto: los números naturales son números, ejemplos y propiedades.
Que es natural y que no enteros? ¿Cómo explicarle a un niño, o tal vez no a un niño, cuáles son las diferencias entre ellos? Vamos a averiguarlo. Hasta donde sabemos, los números naturales y no naturales se enseñan en el quinto grado, y nuestro objetivo es explicarles a los estudiantes para que realmente entiendan y aprendan qué y cómo.
Historia
Los números naturales son uno de los conceptos más antiguos. Hace mucho tiempo, cuando las personas aún no sabían contar y no tenían idea de los números, cuando necesitaban contar algo, por ejemplo, peces, animales, tachaban puntos o rayas en varios objetos, como luego lo descubrieron los arqueólogos. En ese momento era muy difícil para ellos vivir, pero la civilización se desarrolló primero al sistema numérico romano y luego al sistema numérico decimal. Ahora casi todo el mundo usa números arábigos.
Todo sobre números naturales
Los números naturales son números primos que usamos en nuestra vida diaria para contar objetos con el fin de determinar el número y el orden. Actualmente usamos la notación decimal para escribir números. Para escribir cualquier número, usamos diez dígitos, del cero al nueve.
Los números naturales son aquellos números que usamos cuando contamos objetos o indicamos el número de serie de algo. Ejemplo: 5, 368, 99, 3684.
Una serie de números son números naturales que se organizan en orden ascendente, es decir, del uno al infinito. Tal serie comienza con el número más pequeño, 1, y el número natural más grande no existe, ya que la serie de números es simplemente infinita.
En general, el cero no se considera un número natural, ya que significa la ausencia de algo y tampoco hay recuento de elementos.
El sistema de numeración arábiga es un sistema moderno que usamos todos los días. Es una variante de indio (decimal).
Este sistema numérico se volvió moderno debido al número 0, que inventaron los árabes. Antes de eso, estaba ausente en el sistema indio.
Números antinaturales. ¿Qué es?
Los números naturales no incluyen números negativos ni números enteros. Así son - números antinaturales
A continuación se muestran algunos ejemplos.
Los números antinaturales son:
- Números negativos, por ejemplo: -1, -5, -36 .. y así sucesivamente.
- Números racionales, que se expresan en fracciones decimales: 4.5, -67, 44.6.
- Como fracción simple: 1/2, 40 2/7, etc.
Números irracionales como e \u003d 2.71828, √2 \u003d 1.41421 y similares.
Esperamos haberle ayudado mucho a lidiar con números naturales y no naturales. Ahora le resultará más fácil explicar este tema a su hijo, ¡y él lo dominará tan bien como los grandes matemáticos!
Los números naturales son uno de los conceptos matemáticos más antiguos.
En el pasado distante, la gente no conocía los números, y cuando necesitaban contar objetos (animales, peces, etc.), lo hacían de manera diferente a como lo hacemos ahora.
Se comparó la cantidad de objetos con partes del cuerpo, por ejemplo, con los dedos en la mano y decían: "Tengo tantas nueces como dedos en mi mano".
Con el tiempo, la gente se dio cuenta de que cinco nueces, cinco cabras y cinco liebres han propiedad comun - su número es cinco.
¡Recuerda!
Enteros - estos son números, que comienzan con 1, obtenidos al contar elementos.
1, 2, 3, 4, 5…
Número natural más pequeño — 1 .
Mayor número natural no existe.
El número cero no se usa para contar. Por tanto, el cero no se considera un número natural.
La gente aprendió a escribir números mucho más tarde que a contar. En primer lugar, comenzaron a representar una unidad con un palo, luego con dos palos, el número 2, con tres, el número 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Luego hubo signos especiales para designar números, los predecesores de los números modernos. Los números que usamos para escribir números nacieron en la India hace unos 1.500 años. Fueron traídos a Europa por los árabes, por eso se les llama numerales arábigos.
Hay diez dígitos en total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Con estos números, puede escribir cualquier número natural.
¡Recuerda!
Rango natural Es una secuencia de todos los números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
En una fila natural, cada número es mayor que el anterior en 1.
El número natural es infinito, el número natural más grande no existe en él.
El sistema de conteo que usamos se llama decimal posicional.
Decimal porque 10 unidades de cada dígito forman 1 unidad del dígito más significativo. Posicional porque el valor de un dígito depende de su lugar en el registro numérico, es decir, del dígito en el que está escrito.
¡Importante!
Las clases que siguen a los mil millones se nombran de acuerdo con los nombres latinos de los números. Cada unidad siguiente contiene mil anteriores.
- 1,000 billones \u003d 1,000,000,000,000 \u003d 1 billón ("tres" es latín para "tres")
- 1.000 trillones \u003d 1.000.000.000.000.000 \u003d 1 cuatrillón ("quadra" en latín significa "cuatro")
- 1,000 billones \u003d 1,000,000,000,000,000,000 \u003d 1 quintillón ("quint" - latín para "cinco")
Sin embargo, los físicos han encontrado un número que excede el número de todos los átomos (las partículas más pequeñas de materia) en todo el universo.
Este número ha recibido un nombre especial: googol... Googol es un número con 100 ceros.
Enteros
Los números naturales se definen como números enteros positivos. Los números naturales se utilizan para contar objetos y para muchos otros propósitos. Estos números son:
Esta es una serie natural de números.
¿Es cero un número natural? No, el cero no es un número natural.
¿Cuántos números naturales hay? Hay una variedad infinita de números naturales.
¿Cuál es el número natural más pequeño? Uno es el número natural más pequeño.
¿Cuál es el número natural más grande? Es imposible indicarlo, porque hay un número infinito de números naturales.
La suma de números naturales es un número natural. Entonces, la suma de los números naturales ayb:
El producto de los números naturales es un número natural. Entonces, el producto de los números naturales ayb:
c es siempre un número natural.
Diferencia de números naturales No siempre existe un número natural. Si lo restado es mayor que lo restado, entonces la diferencia de números naturales es un número natural, de lo contrario no lo es.
El cociente de números naturales No siempre existe un número natural. Si para los números naturales a y b
donde c es un número natural, esto significa que a es divisible por b completamente. En este ejemplo, a es el dividendo, b es el divisor, c es el cociente.
El divisor de un número natural es un número natural por el cual el primer número es divisible uniformemente.
Cada número natural es divisible por uno y por sí mismo.
Los números naturales primos son divisibles solo por uno y por sí mismos. Aquí está destinado a dividir por completo. Ejemplo, números 2; 3; 5; 7 son divisibles solo por uno y por sí mismos. Estos son números naturales primos.
La unidad no se considera un número primo.
Los números que son mayores que uno y que no son primos se llaman números compuestos. Ejemplos de números compuestos:
La unidad no se considera un número compuesto.
El conjunto de números naturales es uno, números primos y números compuestos.
El conjunto de números naturales se denota con la letra latina N.
Propiedades de la suma y multiplicación de números naturales:
propiedad de desplazamiento de la suma
propiedad de combinación de la adición
(a + b) + c \u003d a + (b + c);
propiedad de viaje de la multiplicación
propiedad de combinación de la multiplicación
(ab) c \u003d a (bc);
propiedad de distribución de la multiplicación
A (b + c) \u003d ab + ac;
Números enteros
Los enteros son números naturales, cero y lo opuesto a los números naturales.
Los números opuestos a los números naturales son enteros negativos, por ejemplo:
1; -2; -3; -4;...
El conjunto de números enteros se denota con la letra latina Z.
Numeros racionales
Los números racionales son números enteros y fracciones.
Cualquier número racional se puede representar como una fracción periódica. Ejemplos:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Los ejemplos muestran que cualquier número entero es una fracción periódica con un período de cero.
Cualquier número racional se puede representar como una fracción m / n, donde m es un número entero número, n natural número. Representemos en forma de tal fracción el número 3, (6) del ejemplo anterior.
El número más simple es número natural... Se utilizan en la vida cotidiana para contar. elementos, es decir para calcular su número y orden.
¿Qué es un número natural? números naturalesson los números que se utilizan para contar artículos o para indicar el número de serie de cualquier artículo de todos los homogéneosartículos.
Enteros son números que comienzan desde uno. Se forman naturalmente durante el conteo.Por ejemplo, 1,2,3,4,5 ... -primeros números naturales.
Número natural más pequeño - uno. No existe el mayor número natural. Al contar el número cero no se usa, por lo que cero es un número natural.
Serie natural de números es una secuencia de todos los números naturales. Notación de números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
En una fila natural, cada número es mayor que el anterior uno por uno.
¿Cuántos números hay en una fila natural? El número natural es infinito, el número natural más grande no existe.
Decimal, ya que 10 unidades de cualquier dígito forman 1 unidad del dígito más significativo. Posicional cómo el significado de un dígito depende de su lugar en el número, es decir de la categoría donde está escrito.
Clases de números naturales.
Cualquier número natural se puede escribir usando 10 números arábigos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Para leer los números naturales, se dividen, empezando por la derecha, en grupos de 3 números cada uno. 3 primero los números de la derecha son la clase de unidades, los siguientes 3 son la clase de miles, luego las clases de millones, miles de millones yetc. Cada uno de los números de la clase se llamadescarga.
Comparación de números naturales.
De los 2 números naturales, el menor es el número que se llamó antes al contar. por ejemplo, numero 7 menos 11 (escrito así:7 < 11 ). Cuando un número es mayor que el segundo, se escribe así:386 > 99 .
Tabla de categorías y clases de números.
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Unidad de primera clase |
1er dígito de la unidad Decenas de segundo rango 3er rango cientos |
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2da clase mil |
Unidades de 1er dígito de mil 2do rango decenas de miles 3er rango cientos de miles |
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Millones de tercer grado |
1er dígito unidad millón 2do rango decenas de millones 3er rango cientos de millones |
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Billones de cuarto grado |
1er dígito unidad mil millones 2do rango decenas de miles de millones 3er rango cientos de miles de millones |
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Los números de quinto grado y superiores se consideran números grandes. Unidades de quinto grado - billones, sexto clase - cuatrillones, séptimo grado - quintillones, octavo grado - sextillones, noveno grado -eptillones. Propiedades básicas de los números naturales.
Acciones sobre números naturales. 4. La división de números naturales es una operación opuesta a la multiplicación. Si b ∙ c \u003d aluego
Fórmulas de división: a: 1 \u003d a a: a \u003d 1, a ≠ 0 0: a \u003d 0, a ≠ 0 (un ∙ b): c \u003d (a: c) ∙ b (un ∙ b): c \u003d (b: c) ∙ a Expresiones numéricas e igualdades numéricas. La notación donde los números están conectados por signos de acción es expresión numérica. Por ejemplo, 10 ∙ 3 + 4; (60-2 ∙ 5): 10. Los registros donde se combinan 2 expresiones numéricas con un signo igual son igualdades numéricas. La igualdad tiene lados izquierdos y derechos. El orden de realizar operaciones aritméticas. La suma y resta de números son acciones de primer grado y la multiplicación y división son acciones de segundo grado. Cuando una expresión numérica consta de acciones de un solo grado, entonces se realizan secuencialmentede izquierda a derecha. Cuando las expresiones consisten en acciones de solo el primer y segundo grado, las acciones se realizan primero segundo grado, y luego - acciones de primer grado. Cuando hay corchetes en la expresión, las acciones entre corchetes se realizan primero. Por ejemplo, 36: (10-4) + 3 ∙ 5 \u003d 36: 6 + 15 \u003d 6 + 15 \u003d 21. |
Definición
Los números naturales son números que se utilizan para contar objetos. Para escribir números naturales se utilizan 10 números arábigos (0-9), que son la base del sistema numérico decimal generalmente aceptado para cálculos matemáticos.
Secuencia de números naturales
Los números naturales forman una serie que comienza en 1 y cubre el conjunto de todos los números enteros positivos. Esta secuencia consta de números 1, 2, 3,…. Esto significa que en el rango natural:
- Existe el número más pequeño y no hay el más grande.
- Cada número siguiente es mayor que el anterior en 1 (la excepción es la unidad en sí).
- Cuando se tiende al infinito, los números crecen indefinidamente.
A veces, también se introduce 0 en una serie de números naturales. Esto está permitido, y luego se habla de expandido rango natural.
Clases de números naturales
Cada dígito de un número natural expresa un cierto dígito. El más reciente es siempre el número de unidades en un número, el anterior es el número de decenas, el tercero desde el final es el número de centenas, el cuarto es el número de miles, y así sucesivamente.
- en el número 276: 2 centenas, 7 decenas, 6 unidades
- en el número 1098: 1 mil, 9 decenas, 8 unidades; el lugar de las centenas está ausente aquí, ya que se expresa por cero.
Para números grandes y muy grandes, puede ver una tendencia constante (si examina el número de derecha a izquierda, es decir, desde el último dígito al primero):
- los últimos tres dígitos del número son unidades, decenas y centenas;
- los tres anteriores son unidades, decenas y centenas de miles;
- los tres delante de ellos (es decir, los dígitos 7, 8 y 9 del número, contando desde el final) son unidades, decenas y cientos de millones, etc.
Es decir, cada vez que tratamos con tres dígitos, es decir, unidades, decenas y centenas de un nombre mayor. Tales grupos forman clases. Y si tiene que lidiar con las primeras tres clases en la vida cotidiana con más o menos frecuencia, entonces las otras deben aparecer en la lista, porque no todos recuerdan sus nombres de memoria.
- La cuarta clase, que sigue la clase de millones y representa números de 10 a 12 dígitos, se llama mil millones (o mil millones);
- Quinto grado - billón;
- Sexto grado - billones;
- Séptimo grado - quintillón;
- Octavo grado - sextillones;
- Noveno grado - septillón.
Suma de números naturales
La suma de números naturales es una operación aritmética que le permite obtener un número que contiene tantas unidades como hay en los números sumados.
El signo de suma es el signo "+". Los números agregados se llaman términos, el resultado es la suma.
Los números pequeños se suman (resumen) oralmente, tales acciones se escriben en una línea por escrito.
Los números de varios dígitos, que son difíciles de sumar mentalmente, generalmente se agregan en una columna. Para esto, los números se escriben uno debajo del otro, alineados con el último dígito, es decir, escriben el lugar de los unos debajo del lugar de los unos, el lugar de las centenas debajo del lugar de las centenas, y así sucesivamente. A continuación, debe agregar los dígitos en pares. Si la suma de los dígitos ocurre con una transición a través de diez, entonces este diez se fija como uno por encima del dígito de la izquierda (es decir, después de él) y se suma junto con los dígitos de este dígito.
Si no son 2, pero se agregan más números a una columna, entonces al sumar los dígitos de la categoría, no 1 docena, sino varios, pueden ser redundantes. En este caso, el número de decenas se transfiere a la siguiente categoría.
Resta de números naturales
La resta es una operación aritmética, lo opuesto a la suma, que se reduce al hecho de que a partir de la suma existente y uno de los términos, necesitas encontrar otro: un término desconocido. El número al que se resta se llama número decreciente; el número que se resta se resta. El resultado de la resta se llama diferencia. El signo que denota una acción de resta es "-".
Al pasar a la suma, lo restado y la diferencia se convierten en términos y lo reducido en una suma. La suma generalmente verifica la corrección de la resta realizada y viceversa.
Aquí 74 es la reducción, 18 es la resta, 56 es la diferencia.
Un requisito previo para restar números naturales es el siguiente: lo disminuido debe ser mayor que lo restado. Solo en este caso, la diferencia resultante también será un número natural. Si la acción de sustracción se realiza para una serie natural extendida, entonces se permite que la disminución sea igual a la resta. Y el resultado de la resta en este caso será 0.
Nota: si lo restado es igual a cero, entonces la operación de resta no cambia el valor de lo restado.
La resta de números de varios dígitos generalmente se realiza en una columna. Los números se escriben de la misma manera que para la suma. La resta se realiza para los dígitos correspondientes. Si resulta que el valor a reducir es menor que el valor a restar, entonces se toma uno de la categoría anterior (a la izquierda), que, después de la transferencia, naturalmente se convierte en 10. Este diez se suma con la cifra de la categoría dada reducida y luego se realiza la resta. Además, al restar el siguiente dígito, es necesario tener en cuenta que el valor a reducir se ha convertido en 1 menos.
Producto de números naturales
El producto (o multiplicación) de números naturales es una operación aritmética, que consiste en encontrar la suma de un número arbitrario de términos idénticos. Para registrar la acción de la multiplicación, use el signo "·" (a veces "×" o "*"). Por ejemplo: 3 5 \u003d 15.
La acción de multiplicar es insustituible si necesita sumar un gran número de condiciones. Por ejemplo, si necesita sumar el número 4 7 veces, entonces multiplicar 4 por 7 es más fácil que realizar esta suma: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
Los números que se multiplican se llaman multiplicadores, el resultado de la multiplicación es el producto. En consecuencia, el término "trabajo" puede, según el contexto, expresar tanto el proceso de multiplicación como su resultado.
Los números de varios dígitos se multiplican en una columna. Para ello, los números se escriben de la misma forma que para la suma y la resta. Se recomienda ser el primero (arriba) en escribir cualquiera de los 2 números que sea más largo. En este caso, el proceso de multiplicación será más sencillo y, por tanto, más racional.
Al multiplicar en una columna, los dígitos de cada uno de los dígitos del segundo número se multiplican secuencialmente por los dígitos del primer número, comenzando desde su final. Habiendo encontrado el primer trabajo de este tipo, escriben el número de unidades y tienen en cuenta el número de decenas. Al multiplicar el número del segundo número por el siguiente dígito del primer número, se agrega al producto la cifra que se tiene en cuenta. Y nuevamente escriben el número de unidades del resultado obtenido y recuerdan el número de decenas. Al multiplicar por el último dígito del primer número, el número obtenido de esta manera se registra en su totalidad.
Los resultados de multiplicar el segundo dígito del segundo número se escriben en la segunda fila, desplazándolo 1 celda hacia la derecha. Etc. Como resultado, se obtendrá una "escalera". Todas las filas de números resultantes deben agregarse (de acuerdo con la regla de adición de columnas). En este caso, las celdas vacías deben considerarse llenas de ceros. La cantidad resultante es el producto final.
Nota
- El producto de cualquier número natural por 1 (o 1 por un número) es igual al número en sí. Por ejemplo: 376 1 \u003d 376; 1 86 \u003d 86.
- Cuando uno de los factores o ambos factores son iguales a 0, entonces el producto es igual a 0. Por ejemplo: 32 · 0 \u003d 0; 0 845 \u003d 845; 0 0 \u003d 0.
División de números naturales
La división es una operación aritmética, con la ayuda de la cual, de acuerdo con un producto conocido y uno de los factores, se puede encontrar otro factor desconocido. La división es la inversa de la multiplicación y se usa para verificar que la multiplicación se realizó correctamente (y viceversa).
El número que se divide se llama dividendo; el número por el que se dividirá es el divisor; el resultado de la división se llama cociente. El signo de división es ":" (a veces, con menos frecuencia - "÷").
Aquí 48 es el dividendo, 6 es el divisor, 8 es el cociente.
No todos los números naturales se pueden dividir entre sí. En este caso, se realiza la división del resto. Consiste en el hecho de que se selecciona un factor para el divisor de modo que su producto por el divisor sea un número lo más cercano posible en valor al dividendo, pero menor que éste. El divisor se multiplica por este factor y se resta del dividendo. La diferencia será el resto de la división. El producto de un divisor por un factor se llama cociente incompleto. Atención: ¡el resto debe ser menor que el multiplicador seleccionado! Si el resto es mayor, significa que el multiplicador se elige incorrectamente y debe aumentarse.
Seleccionamos el multiplicador para 7. En este caso, este es el número 5. Encuentra el cociente incompleto: 7 · 5 \u003d 35. Calculamos el resto: 38-35 \u003d 3. Desde 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
Los números de varios dígitos se dividen en columnas. Para hacer esto, el dividendo y el divisor se escriben uno al lado del otro, separando el divisor con una barra vertical y una horizontal. En el dividendo, se selecciona el primer dígito o los primeros dígitos (a la derecha), que debe ser un número que sea mínimamente suficiente para dividir por el divisor (es decir, este número debe ser mayor que el divisor). Para este número, se selecciona un cociente incompleto, como se describe en la regla de división con un resto. La cifra del multiplicador utilizado para encontrar el cociente incompleto se escribe debajo del divisor. El cociente incompleto se registra debajo del número que se dividió, alineándolo a la derecha. Encuentra su diferencia. El siguiente dígito del dividendo se destruye escribiéndolo junto a esta diferencia. Para el número resultante, el cociente incompleto se encuentra nuevamente escribiendo el dígito del factor seleccionado, junto al anterior debajo del divisor. Etc. Estas acciones se llevan a cabo hasta que se agote el dividendo. Después de eso, la división se considera completa. Si el dividendo y el divisor se dividen completamente (sin resto), la última diferencia dará cero. De lo contrario, se obtendrá el número restante.
Exponenciación
La exponenciación es una operación matemática que implica multiplicar un número arbitrario de números idénticos. Por ejemplo: 2 · 2 · 2 · 2.
Tales expresiones se escriben como: una x,
dónde un - el número multiplicado por sí mismo, x - el número de tales factores.
Números naturales primos y compuestos
Cualquier número natural, excepto 1, se puede dividir por al menos 2 números, por uno y por sí mismo. Según este criterio, los números naturales se dividen en primos y compuestos.
Los números que son divisibles solo por 1 y por sí mismos se consideran primos. Los números que son divisibles por más de estos 2 números se llaman números compuestos. Una unidad que es divisible exclusivamente por sí misma no es ni simple ni compuesta.
Los números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19, etc. Ejemplos de números compuestos: 4 (divisible por 1,2,4), 6 (divisible por 1,2,3,6), 20 (divisible por 1,2,4,5,10,20).
Cualquier número compuesto se puede descomponer en factores primos. En este caso, se entiende por factores primos sus divisores, que son números primos.
Un ejemplo de factorización prima:
Divisores de números naturales
Un divisor es un número por el que se puede dividir un número determinado sin dejar residuo.
De acuerdo con esta definición, los números naturales primos tienen 2 divisores, compuestos, más de 2 divisores.
Muchos números tienen factores comunes. Un divisor común es un número por el cual estos números son divisibles sin residuo.
- Los números 12 y 15 tienen un factor común de 3
- Los números 20 y 30 tienen factores comunes 2,5,10
El máximo común denominador (MCD) es de particular importancia. Este número, en particular, es útil para poder encontrarlo para reducir fracciones. Para encontrarlo, debes descomponer estos números en factores primos y representarlos como el producto de sus factores primos comunes, tomados en sus potencias más pequeñas.
Se requiere encontrar el MCD de los números 36 y 48.
Divisibilidad de números naturales
Está lejos de ser siempre posible "a ojo" determinar si un número es divisible por otro sin un resto. En tales casos, el criterio de divisibilidad apropiado es útil, es decir, una regla por la cual en cuestión de segundos puede determinar si los números se pueden dividir sin un resto. El signo "" se utiliza para denotar divisibilidad.
Minimo común multiplo
Este valor (denotado por LCM) es el número más pequeño que es divisible por cada uno de los dados. El MCM se puede encontrar para un conjunto arbitrario de números naturales.
NOC, como GCD, tiene un significado aplicado significativo. Por lo tanto, es el MCM lo que debe calcularse llevando las fracciones ordinarias a un denominador común.
El MCM se determina factorizando los números dados en factores primos. Para su formación, se toma un producto, que consiste en cada uno de los factores primos presentes (al menos para 1 número), representados en el grado máximo.
Halla el MCM de los números 14 y 24.
Promedio
La media aritmética de un número arbitrario (pero finito) de números naturales es la suma de todos estos números, dividida por el número de términos:
La media aritmética es un valor promedio de un conjunto de números.
Los números son 2,84,53,176,17,28. Se requiere encontrar su media aritmética.
