Dom » Technics » Matematičari su otkrili savršen način za množenje brojeva. Netradicionalni načini množenja višecifrenih brojeva Načini množenja brojeva u različitim zemljama

Matematičari su otkrili savršen način za množenje brojeva. Netradicionalni načini množenja višecifrenih brojeva Načini množenja brojeva u različitim zemljama

Agafurov Maxim

Pregled studentskog istraživačkog rada.

Istraživački rad je izveo učenik 7. "A" razreda MBOU "Srednja škola br. 2" Maksim Agafurov.
Voditelj studija: nastavnik matematike – Lukyanova O.A.
Tema rada: "Neobične metode množenja." Vrsta rada: apstrakt. Ovaj rad je danas aktuelan, jer poznavanje pojednostavljenih metoda usmenog računanja ostaje neophodno čak i uz potpunu mehanizaciju svih najzahtjevnijih računskih procesa. Usmeni proračuni omogućavaju ne samo brzo izvođenje proračuna u vašoj glavi, već i kontrolu, procjenu, pronalaženje i ispravljanje grešaka u rezultatima proračuna izvedenih pomoću kalkulatora. Osim toga, ovladavanje računalnim vještinama razvija pamćenje i pomaže školarcima da u potpunosti savladaju predmete ciklusa fizike i matematike.
Istraživački dio posla je završen. Daju se objašnjenja ovih primjera i izvode se odgovarajući zaključci.
Ciljevi i zadaci istraživačkog rada su pravilno formulisani i odgovaraju navedenoj temi.
Posebna literatura je proučena kvalitativno sa dovoljnom dubinom.
Zaključci istraživačkog rada su logični, teorijski potkrijepljeni.
Istraživački dio je u radu predstavljen na dovoljnom nivou. Njegov opis je u skladu sa zaključcima. Većina posla je obavljena uglavnom samostalno, uz malo vodstva i vodstva od strane supervizora.

Skinuti:

Pregled:


Uvod
Metode množenja višecifrenih brojeva
1.1 "Ljuomora, ili umnožavanje mreže" …………………………… ..4


1.2 "Ruski seljački način" ……………………………………… 5 1.3. „Kineski način množenja“ ……………………………………………… 6
Istraživački dio.
2.1. Kvadriranje bilo kojeg dvocifrenog broja ………………… ... 6 2.2. Kvadrat broja koji je blizak "okruglom" ........................................ ...... 7
2.4. Novi način kvadrature brojeva od 40 do 60 ……………… 7 2.5. Kvadriranje broja koji se završava na 5 ………………… 8 2.6 Kvadriranje broja koji se završava na 1 ………………… 8 2.7. Kvadriranje broja koji se završava na 6 ………………… 8 2.8. Kvadriranje broja koji se završava na 9 ………………… 8 2.9. Kvadriranje broja koji se završava na 4 ………………… 8 Zaključak. Bibliografija.

Uvod " Brojanje i računanje -

Osnove reda u glavi."

Johann Heinrich Pestalozzi (1746. - 1827.)

Oni koji se matematikom bave od djetinjstva razvijaju pažnju, treniraju mozak, volju, njeguju upornost i istrajnost u postizanju ciljeva.

Relevantnost: Matematika je jedna od najvažnijih nauka na svetu i sa njom se čovek susreće svaki dan u svom životu. Mentalna aritmetika je najstariji i najjednostavniji način računanja. Poznavanje pojednostavljenih metoda usmenog proračuna ostaje neophodno čak i uz potpunu mehanizaciju svih najzahtjevnijih računskih procesa. Usmeni proračuni omogućavaju ne samo brzo izvođenje proračuna u vašoj glavi, već i kontrolu, procjenu, pronalaženje i ispravljanje grešaka u rezultatima proračuna izvedenih pomoću kalkulatora. Osim toga, ovladavanje računalnim vještinama razvija pamćenje i pomaže školarcima da u potpunosti savladaju predmete ciklusa fizike i matematike.

Nemoguće je da osoba u svakodnevnom životu bez kalkulacija. Stoga nas na časovima matematike prije svega uče da izvodimo radnje nad brojevima, odnosno brojimo. Množimo, dijelimo, sabiramo i oduzimamo, poznati su nam svi načini koji se uče u školi.

Pitao sam se da li postoje neki drugi načini izračunavanja? Pokazalo se da je moguće množiti ne samo onako kako nam sugeriraju u udžbenicima matematike, već i na drugačiji način. Koristeći online resurse, naučio sam mnoge neobične načine množenja. Uostalom, sposobnost brzog izvođenja proračuna je iskreno iznenađujuća.

Svrha studije :

Pronađite što više neobičnih načina računanja.
Naučite ih primijeniti.
Odaberite za sebe najzanimljivije od onih koje nudi škola i koristite ih prilikom brojanja.

Ciljevi istraživanja:

1. Upoznajte se sa starim načinima množenja, kao što su: "Ljubomora, ili rešetkasto množenje", "Mali zamak", "Ruski seljački način", "Linearni način".

2. Istražite tehnike verbalnog kvadriranja i primijenite ih u praksi.

Malo istorije.

Metode računanja koje sada koristimo nisu uvijek bile tako jednostavne i zgodne. U stara vremena koristili su glomaznije i sporije metode. A kada bi školarac 21. veka mogao da putuje pet vekova unazad, zadivio bi naše pretke brzinom i preciznošću svojih proračuna. Glasine o njemu proširile bi se po okolnim školama i manastirima, pomračujući slavu najvještijih popisivača tog doba, a ljudi bi dolazili sa svih strana da uče od novog velikog majstora.

Radnje množenja i dijeljenja bile su posebno teške u stara vremena. U to vrijeme nije postojala jedinstvena metoda koju je praksa razvila za svaku akciju.Naprotiv, istovremeno je bilo u upotrebi gotovo desetak različitih metoda množenja i dijeljenja - metode jedne druge su više zbunjujuće, kojih osoba prosječnih sposobnosti nije mogla zapamtiti. Svaki učitelj brojanja pridržavao se svoje omiljene tehnike, svaki "majstor podjele" (bilo je takvih stručnjaka) hvalio je svoj način na koji to radi.Tokom milenijuma razvoja matematike, izmišljene su mnoge metode množenja. Osim tablice množenja, sve su one glomazne, složene i teško ih je zapamtiti. Vjerovalo se da je za ovladavanje vještinom brzog umnožavanja potreban poseban prirodni talenat. Običnim ljudima koji nisu imali poseban matematički dar, ova umjetnost je bila nedostupna.

I sve ove metode množenja - "šah ili orgulje", "savijanje", "krst", "rešetka", "pozadi naprijed", "dijamant" i druge su se međusobno takmičile i upijale su se s velikom mukom.

Pogledajmo najzanimljivije i najjednostavnije načine množenja.

1.1. "Ljubomora ili umnožavanje rešetke"

Italijanski matematičar iz 15. veka Luca Pacioli navodi 8 metoda množenja. Po mom mišljenju, najzanimljiviji od njih su “ljubomora ili množenje rešetki” i “mali dvorac”.

Pomnožite 347 sa 29.

Nacrtajte pravougaonik, podijelite ga na kvadrate, podijelite kvadrate dijagonalno. Rezultat je slika slična rešetkastim kapcima venecijanskih kuća. Odatle potiče naziv metode.

Na vrhu tabele upisujemo broj 347, a s desna odozgo na dole - 29

U svaki kvadrat upisujemo proizvod brojeva koji se nalaze u jednom redu i jednoj koloni sa ovim kvadratom. Desetice su u gornjem trokutu, a jedinice u donjem. Brojevi se sabiraju duž svake dijagonale. Rezultati se bilježe lijevo i desno od tabele.

Odgovor je 10063.

Nedostaci ove metode leže u mukotrpnosti izrade pravokutne tablice, a sam proces množenja je zanimljiv i popunjavanje tablice podsjeća na igru.

1.2. "ruski seljački način"

U Rusiji je među seljacima bila rasprostranjena metoda koja nije zahtijevala poznavanje cijele tablice množenja. Ovdje vam je potrebna samo sposobnost množenja i dijeljenja brojeva sa 2.

Napišimo jedan broj lijevo, a drugi desno u jednu liniju.Lijevi broj će se podijeliti sa 2, a desni broj će se pomnožiti sa 2, a rezultati će biti upisani u kolonu. Ako se ostatak pojavi tokom dijeljenja, tada se odbacuje. Množenje i dijeljenje sa 2 nastavljaju se dok ne ostane 1 s lijeve strane.

Zatim precrtavamo one redove iz kolone u kojoj se nalaze parni brojevi na lijevoj strani. Sada saberite preostale brojeve u desnoj koloni.

Odgovor je 1972026.

1.3 Kineski način množenja.

Sada zamislimo metodu množenja o kojoj se naširoko raspravlja na internetu, a koja se zove kineski. Prilikom množenja brojeva uzimaju se u obzir tačke preseka pravih, koje odgovaraju broju cifara svake cifre oba faktora.

Na listu papira naizmjenično nacrtajte linije čiji je broj određen iz ovog primjera.

Prvih 32: 3 crvene linije i malo ispod - 2 plave. Zatim 21: okomito na one koji su već nacrtani, nacrtajte prvo 2 zelene, zatim 1 malinu. VAŽNO: linije prvog broja se povlače u smjeru od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog, drugog broja - od donjeg lijevog, do gornjeg desnog. Zatim brojimo broj presečnih tačaka u svakoj od tri oblasti (na slici su oblasti označene kao kružnice). Dakle, u prvom području (područje stotina) - 6 bodova, u drugom (područje desetina) - 7 bodova, u trećem (područje jedinica) - 2 boda. Dakle, odgovor je 672.

2. Istraživački dio

Tehnike brzog brojanja razvijaju pamćenje. Ovo se ne odnosi samo na matematiku, već i na druge predmete koji se izučavaju u školi.

U svoj rad želim dodati i metode verbalnog kvadriranja brojeva bez korištenja kalkulatora i, što je neophodno pri rješavanju problema GIA i USE, a ujedno je i dobar trening za mozak.

A sada pređimo na neke zanimljive i meni su se svidjeli načini verbalnog kvadriranja brojeva,koristi se u nastavi algebre i geometrije.

2.1. Kvadrirajte bilo koji dvocifreni broj.

Ako zapamtite kvadrate svih brojeva od 1 do 25, onda je lako pronaći kvadrat bilo kojeg dvocifrenog broja iznad 25.

Da biste pronašli kvadrat bilo kojeg dvocifrenog broja, trebate pomnožiti razliku između ovog broja i 25 sa 100 i dodati kvadrat komplementa ovog broja na 50 ili kvadrat njegovog viška od 50 na rezultirajući proizvod .

Razmotrimo primjer:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(M – 25) * 100 + (50-M) 2 = 100M-2500 + 2500–100M + M 2 = M 2.

2.2 Kvadrat broja blizu "okrugla".

Proračun kvadrata u analiziranim primjerima zasniva se na formuli

A² = (a + b) (a - b) + b²,

U kojoj je dobar izbor broja v uvelike olakšava proračune: prvo, jedan od faktora mora se pokazati kao "okrugli" broj (poželjno je da samo prva bude njegova cifra različita od nule), a drugo, sam broj v treba da se lako kvadrira, odnosno treba da bude mali. Ovi uslovi se ostvaruju samo na brojevima a blizu "okrugla".

192² = 200 * 184 + 8² = 36864, / (192 + 8) (192-8) + 8² /

412² = 400 * 424 + 12² = 169744, / (412-12) (412 + 12) + 12² /

2.3. Kvadriranje brojeva od 40 do 50.

2.4. Kvadriranje brojeva od 50 do 60.

Za kvadriranje šeste desetice (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
potrebno je broju jedinica dodati 25 i tom zbiru pripisati kvadrat broja jedinica.
Na primjer:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Kvadriranje broja koji se završava na 5.

Broj desetica se množi sa sljedećim brojem desetica i dodaje 25.

15 * 15 = 10 * 20 + 25 = 225 ili (1 * 2 i dodijelite 25 desno)

35 * 35 = 30 * 40 + 25 = 1225 (3 * 4 i dodijelite 25 desno)

65 * 65 = 60 * 70 + 25 = 4225 (6 * 7 i dodijelite 25 desno)

2.6. Kvadrat broja koji se završava na 1.

Kada kvadrirate broj koji završava na 1, trebate ovu jedinicu zamijeniti 0, kvadrirati novi broj i ovom kvadratu dodati originalni broj i broj koji se dobije zamjenom 1 s 0.

Primjer br. 6. 71 2 =?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. Kvadrat broja koji se završava na 6.

Kada kvadrirate broj koji završava na 6, trebate zamijeniti broj 6 sa 5, kvadrirati novi broj (kao što je ranije opisano) i ovom kvadratu dodati originalni broj i broj koji se dobije zamjenom 6 sa 5.

Primjer br. 7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8 Kvadrat broja koji se završava na 9.

Kada kvadrirate broj koji završava na 9, trebate ovu cifru 9 zamijeniti sa 0 (dobijamo sljedeći prirodni broj), kvadrirate novi broj i oduzmete prvobitni broj i broj koji se dobije zamjenom 9 sa 0 iz ovog kvadrata.

Primjer br. 8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9 Kvadrat broja koji se završava na 4.

Kada kvadrirate broj koji završava na 4, trebate zamijeniti broj 4 sa 5, kvadrirati novi broj i oduzeti prvobitni broj i broj koji se dobije zamjenom 4 sa 5 od ovog kvadrata.

Primjer br. 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. Prilikom kvadriranja često je zgodno koristiti formulu (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab.

Primjer br. 10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Zaključak

Prilikom istraživačkog rada bilo mi je potrebno ne samo znanje koje posjedujem, već i neophodan rad sa dodatnom literaturom.

1. U toku svog rada pronašao sam i savladao različite metode množenja višecifrenih brojeva i mogu reći sledeće - većina metoda množenja višecifrenih brojeva zasniva se na poznavanju tablice množenja

Metoda množenja rešetke nije ništa lošija od konvencionalne. Još je jednostavnije, jer se brojevi unose u ćelije tablice direktno iz tablice množenja bez istovremenog sabiranja, što je prisutno u standardnoj metodi;

- Metoda množenja "ruskog seljaka" mnogo je jednostavnija od prethodno razmatranih metoda. Ali je i veoma glomazan.

Od svih neobičnih metoda brojanja koje sam pronašao, metoda "množenja rešetke ili ljubomore" se činila zanimljivijom. Pokazala sam je svojim kolegama iz razreda, a i njima se jako svidjelo.

Najlakši način mi se činio kineskim metodom množenja, koji su koristili Kinezi, jer ne zahtijeva poznavanje tablice množenja. Naučivši računati na sve predstavljene načine, došao sam do zaključka: da su najjednostavniji načini oni koje učimo u školi, možda su nam poznatiji.

2. Naučio sam neke tehnike verbalnog brojanja koje će mi pomoći u životu. Bilo mi je jako zanimljivo raditi na projektu. Proučavao sam metode množenja koje su mi bile nove, razmatrao različite metode kvadriranja brojeva. Mnogi proračuni su povezani sa skraćenim formulama za množenje, koje sam naučio na časovima algebre. Koristeći pojednostavljene tehnike usmenog računanja, sada mogu izvoditi najzahtjevnije aritmetičke operacije bez upotrebe kalkulatora i kompjutera. Ne samo ja, već i moji roditelji su se zainteresovali. Tehnike usmenog množenja pokazao sam svojim prijateljima i kolegama iz razreda. Poznavanje pojednostavljenih usmenih proračuna posebno je važno u slučajevima kada nemate na raspolaganju tabele ili kalkulator. Imao sam želju da nastavim sa ovim radom i naučim više metoda usmenog brojanja. Mislim da mi moj rad neće biti uzaludan, mogu iskoristiti sva znanja koja sam stekla prilikom polaganja državnog ispita i ispita.

Donskoy, 2013

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, kreirajte sebi Google račun (nalog) i prijavite se na njega:

MBOU „Srednja škola sa. Volnoe "Kharabalinski okrug Astrahanska oblast

Projekat na:

« Umnožili su se neobični načinii ja»

Radove su izveli:

učenici 5. razreda :

Tulesheva Amina,

Sultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R menadžer projekta:

nastavnik matematike

Fateeva T.V.

Volnoe 201 6 godine .

"Sve je broj" Pitagora

Uvod

U 21. vijeku nemoguće je zamisliti život osobe koja ne vrši proračune: to su prodavci, računovođe i obični školarci.

Učenje gotovo svakog predmeta u školi zahtijeva dobro poznavanje matematike, a bez njega ne možete savladati ove predmete. U matematici dominiraju dva elementa - brojevi i figure sa svojom beskonačnom raznolikošću svojstava i radnji s njima.

Željeli smo saznati više o historiji nastanka matematičkih operacija. Sada, kada se računarska tehnologija ubrzano razvija, mnogi ne žele da se zamaraju brojanjem u glavi. Stoga smo odlučili pokazati ne samo da sam proces izvođenja radnji može biti zanimljiv, već i da, nakon što ste dobro savladali tehnike brzog brojanja, možete se raspravljati s kompjuterom.

Relevantnost ove teme leži u činjenici da upotreba nestandardnih tehnika u formiranju računskih vještina povećava interesovanje učenika za matematiku i doprinosi razvoju matematičkih sposobnosti.

Cilj:

Inaučiti neke nestandardne tehnike množenja i pokazati da njihova primjena čini proces računanja racionalnim i zanimljivima za čije izračunavanje je dovoljan usmeni iskaz ili upotreba olovke, olovke i papira.

hipoteza:

EAko su naši preci znali kako se umnožavaju na stari način, da li će, nakon proučavanja literature o ovom problemu, moderni školarac to moći naučiti ili su potrebne neke natprirodne sposobnosti.

Zadaci:

1. Pronađite neobične načine za množenje.

2. Naučite ih primijeniti.

3. Odaberite za sebe one najzanimljivije ili lakše od onih koje nudi škola i koristite ih pri brojanju.

4. Naučite drugove iz razreda da prijave novoenačinsmnoženje.

Predmet proučavanja: matematičko množenje

Predmet studija: načini razmnožavanja

Metode istraživanja:

Metoda pretraživanja korištenjem znanstvene i obrazovne literature, interneta;

Metoda istraživanja u određivanju metoda množenja;

Praktična metoda za rješavanje primjera;

- - ispitivanje ispitanika o njihovom poznavanju nestandardnih metoda množenja.

Istorijat

Postoje ljudi sa izuzetnim sposobnostima koji mogu da se takmiče sa kompjuterima u brzini usmenog računanja. Zovu se "čudo - brojači". A takvih je mnogo.

Priča se da je Gaussov otac, kada je plaćao svoje radnike na kraju sedmice, dodao platu na svakodnevnu platu za prekovremeni rad. Dan nakon što je Gauss otac završio proračune, dijete, koje je imalo 3 godine, pratilo je očeve operacije, uzviknulo je: „Tata, računica nije tačna! Ovo je iznos koji bi trebao biti!" Proračuni su se ponovili i bili su iznenađeni kada su vidjeli da je dječak naveo tačan iznos.

U Rusiji je početkom 20. vijeka svojim umijećem blistao "mađioničar proračuna" Roman Semenovič Levitan, poznat pod pseudonimom Arrago. Jedinstvene sposobnosti počele su se pojavljivati kod dječaka u ranoj dobi. Za nekoliko sekundi kvadrirao je i kockao desetocifrene brojeve, izvukao korijene različitih stupnjeva. Činilo se da sve to radi sa izuzetnom lakoćom. Ali ova lakoća je zavaravala i zahtijevala je mnogo mozga.

Godine 2007. Mark Vishnya, koji je tada imao 2,5 godine, impresionirao je cijelu zemlju svojim intelektualnim sposobnostima. Mladi učesnik emisije "Minute slave" lako je brojao višecifrene brojeve u glavi, prestigavši roditelje i žiri koji je u proračunima koristio kalkulatore. Sa dvije godine savladao je tablicu kosinusa i sinusa, kao i neke logaritme.

U Institutu za kibernetiku Ukrajinske akademije nauka održana su takmičenja kompjutera i ljudi. Na takmičenju su učestvovali mladi kontrafenomen Igor Šeluškov i ZVM „Mir“. Mašina je izvela mnoge složene operacije za nekoliko sekundi, ali je Igor Shelushkov bio pobjednik.

Univerzitet u Sidneju u Indiji takođe je bio domaćin takmičenja čoveka protiv mašine. Shakuntala Devi je također nadmašio mainframe.

Većina ovih ljudi ima odlične uspomene i darove. Ali neki od njih nemaju nikakve posebne sposobnosti za matematiku. Oni znaju tajnu! A ova tajna je da su savladali tehnike brzog brojanja, zapamtili nekoliko posebnih formula. To znači da i mi, koristeći ove metode, možemo brzo i precizno računati.

Radnje množenja i dijeljenja bile su posebno teške u stara vremena. U to vrijeme nije postojala jedinstvena metoda koju je praksa razvila za svaku akciju.

Naprotiv, istovremeno je bilo u upotrebi gotovo desetak različitih metoda množenja i dijeljenja - metode jedne druge su više zbunjujuće, kojih osoba prosječnih sposobnosti nije mogla zapamtiti. Svaki učitelj brojanja pridržavao se svoje omiljene tehnike, svaki "majstor podjele" (bilo je takvih stručnjaka) hvalio je svoj način na koji to radi.

U knjizi V. Bellustina "Kako su ljudi postepeno došli do prave aritmetike" izloženo je 27 metoda množenja, a autor napominje: "sasvim je moguće da postoji više metoda skrivenih u keševima knjižnih skladišta, rasutih u brojnim , uglavnom zbirke rukopisa."

I sve ove metode množenja - "šah ili orgulje", "savijanje", "krst", "rešetka", "pozadi naprijed", "dijamant" i druge su se međusobno takmičile i upijale su se s velikom mukom.

Pogledajmo najzanimljivije i najjednostavnije načine množenja.

Stari ruski način množenja na prstima

Ovo je jedna od najčešćih metoda koju su ruski trgovci uspješno koristili vekovima.

Princip ove metode: množenje na prstima jednocifrenih brojeva od 6 do 9. Prsti su ovdje služili kao pomoćni računarski uređaj.

Da bi to učinili, s jedne strane su izvukli onoliko prstiju koliko je prvi faktor veći od broja 5, a sa druge su isto učinili za drugi faktor. Ostali prsti su bili sklupčani. Zatim je uzet broj (ukupno) ispruženih prstiju i pomnožen sa 10, zatim su brojevi pomnoženi koji pokazuju koliko je prstiju savijeno na rukama i rezultati se sabiraju.

Na primjer, pomnožite 7 sa 8. U ovom primjeru, 2 i 3 prsta će biti savijena. Ako zbrojite broj savijenih prstiju (2 + 3 = 5) i pomnožite broj nesavijenih prstiju (2 3 = 6), dobit ćete broj desetica i jedinica željenog proizvoda 56, redom. Na ovaj način možete izračunati proizvod bilo kojeg jednocifrenog broja većeg od 5.

Množenje za broj 9 je vrlo lako reproducirati "na prste"

Razvijezdaoneprste na obje ruke i okrenite dlanove od sebe. Mentalno dodijelite prstima brojeve od 1 do 10 u nizu, počevši od malog prsta lijeve ruke i završavajući malim prstom desne ruke. Recimo da želimo pomnožiti 9 sa 6. Savijte prst sa brojem jednakim broju kojim ćemo pomnožiti devet. U našem primjeru trebate saviti prst broj 6. Broj prstiju lijevo od savijenog prsta pokazuje nam broj desetica u odgovoru, broj prstiju desno je broj jedinica. Na lijevoj strani imamo 5 nesavijenih prstiju, na desnoj - 4 prsta. Dakle 9 6 = 54.

Množenje sa 9 pomoću ćelija sveske

Uzmite, na primjer, 10 ćelija u bilježnici. Precrtajte 8. kvadratić. Na lijevoj je 7 ćelija, na desnoj 2 ćelije. Dakle, 9 8 = 72. Sve je vrlo jednostavno!

7 2

Metoda množenja "Mali dvorac"

Prednost metode množenja "Mali dvorac" je u tome što se cifre najznačajnijih cifara određuju od samog početka, a to je važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i upisuju u kolonu uz dodavanje potrebnog broja nula. Rezultati se zatim zbrajaju.

„Rešetka množenje"

Prvo se nacrta pravougaonik, podijeljen na kvadrate, a dimenzije stranica pravokutnika odgovaraju broju decimalnih mjesta za množitelj i množilac.

Zatim se kvadratne ćelije dijele dijagonalno, i „... slika izgleda kao rešetkasta roletna-žaluzija. Takvi kapci su bili obješeni na prozore venecijanskih kuća ..."

"ruski seljački način"

U Rusiji je među seljacima bila rasprostranjena metoda koja nije zahtijevala poznavanje cijele tablice množenja. Ovdje vam je potrebna samo sposobnost množenja i dijeljenja brojeva sa 2.

Napišimo jedan broj lijevo, a drugi desno u jednu liniju. Lijevi broj će se podijeliti sa 2, a desni broj će se pomnožiti sa 2 i rezultati će biti upisani u kolonu.

Ako se ostatak pojavi tokom dijeljenja, tada se odbacuje. Množenje i dijeljenje sa 2 nastavljaju se dok ne ostane 1 s lijeve strane.

Zatim precrtavamo one redove iz kolone u kojoj se nalaze parni brojevi na lijevoj strani. Sada saberite preostale brojeve u desnoj koloni.

Ova metoda množenja je mnogo jednostavnija od metoda množenja o kojima smo ranije govorili. Ali je i veoma glomazan.

"Množenje krstom"

Stari Grci i Hindusi u stara vremena nazivali su metodu križnog množenja "metodom munje" ili "množenjem križem".

24 i 32

2 4

3 2

4x2 = 8 - zadnja cifra rezultata;

2x2 = 4; 4x3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 - pretposljednja cifra rezultata, sjećamo se jedinice;

2x3 = 6 pa čak i cifra koju imamo na umu, imamo 7 - ovo je prva cifra rezultata.

Dobijamo sve brojeve proizvoda: 7,6,8. odgovor:768.

Indijski način množenja

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

Osnova ove metode leži u ideji da isti broj označava jedinice, desetice, stotine ili hiljade, ovisno o tome gdje se taj broj nalazi. Zauzeti prostor, u nedostatku bilo koje cifre, određen je nulama dodijeljenim ciframa.

Imatipočinjemo množenje sa najvažnijim bitom, a nepotpune proizvode zapisujemo malo po malo iznad množenja. U ovom slučaju, najznačajniji dio kompletnog proizvoda je odmah vidljiv i, osim toga, izostavljanje bilo koje cifre je isključeno. Znak množenja još nije bio poznat, pa je ostavljena mala udaljenost između faktora

Kineski (slikovni) način množenja

Primjer br. 1: 12 × 321 = 3852
Drawprvi broj odozgo prema dolje, slijeva nadesno: jedan zeleni štap (1 ); dva štapića narandže (2 ). 12 nacrtao
Drawdrugi broj odozdo prema gore, s lijeva na desno: tri plava štapa (3 ); dvije crvene (2 ); jedan jorgovan (1 ). 321 nacrtao

Sada ćemo proći kroz crtež jednostavnom olovkom, podijeliti točke sjecišta brojeva-štapića na dijelove i početi brojati točke. Kretanje s desna na lijevo (u smjeru kazaljke na satu):2 , 5 , 8 , 3 . Broj rezultata mi ćemo "skupljati" s lijeva na desno (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) primljene3852

Primjer br. 2: 24 × 34 = 816
Ovaj primjer ima neke nijanse ;-) Prilikom brojanja bodova u prvom dijelu, pokazalo se16 ... Šaljemo jedan-dodati na tačke drugog dijela (20 + 1 )…

Primjer br. 3: 215 × 741 = 159315

U toku rada na projektu sproveli smo anketu. Učenici su odgovarali na sljedeća pitanja.

1. Da li je modernom čovjeku potrebno da broji?

DaNe

2. Poznajete li druge metode množenja osim dugog množenja?

DaNe

3. Da li ih koristite?

DaNe

4. Želite li znati druge načine množenja?

Ne baš

Intervjuisali smo učenike 5-10 razreda.

Ovo istraživanje je pokazalo da savremeni školarci ne poznaju druge načine izvođenja radnji, jer se rijetko okreću gradivu van školskog programa.

zaključak:

Mnogo je zanimljivih događaja i otkrića u istoriji matematike, nažalost ne dopiru svi ti podaci do nas, savremenih učenika.

Ovim radom željeli smo barem malo popuniti ovu prazninu i prenijeti našim vršnjacima informacije o drevnim metodama množenja.

Kroz robote smo saznali o porijeklu akcije množenja. U starim danima nije bilo lako savladati ovu radnju; tada, kao i sada, nije postojala jedinstvena tehnika razvijena praksom. Naprotiv, istovremeno se koristilo gotovo desetak različitih metoda množenja - metode jedne druge su zbunjujuće, čvršće, što osoba prosječnih sposobnosti nije mogla zapamtiti. Svaki učitelj brojanja držao se svoje omiljene tehnike, svaki "majstor" (bilo je takvih stručnjaka) hvalio je svoj način na koji to radi. Čak je priznato da je za savladavanje umijeća brzog i bez greške množenja višecifrenih brojeva potreban poseban prirodni talenat, izuzetne sposobnosti; ova mudrost je nedostupna običnim ljudima.

Svojim radom smo dokazali da je naša hipoteza tačna, ne morate imati natprirodne sposobnosti da biste mogli koristiti stare metode množenja. A naučili smo i kako odabrati materijal, obraditi ga, odnosno istaknuti ono glavno i sistematizirati ga.

Naučivši računati na sve predstavljene načine, došli smo do zaključka: da su najjednostavniji načini oni koje učimo u školi, ili smo se jednostavno na njih navikli.

Savremeni način množenja je jednostavan i dostupan svima.

Ali, mislimo da naš način množenja u koloni nije savršen i da možemo smisliti još brže i pouzdanije načine.

Moguće je da prvi put mnogi neće moći brzo, u pokretu, izvršiti ove ili druge proračune.

Nema problema. Potrebna vam je stalna obuka za računarstvo. Pomoći će vam da steknete korisne vještine usmenog brojanja!

Bibliografija

1. Glazer, GI Istorija matematike u školi ⁄ GI Glazer ⁄ Istorija matematike u školi: vodič za nastavnike ⁄ priredio VN Molodshiy. - M.: Prosveta, 1964.-- S. 376.

Perelman Ya. I. Zabavna aritmetika: Zagonetke i zanimljivosti u svijetu brojeva. - M.: Izdavačka kuća Rusanov, 1994.-- P. 142.

Enciklopedija za djecu. T. 11. Matematika / Pogl. ed. M.D. Aksenova. - M.: Avata+, 2003.-- S. 130.

Časopis "Matematika" br. 15 2011

Internet resursi.

Svijet matematike je veoma velik, ali oduvijek su me zanimale metode množenja. Radeći na ovoj temi, naučio sam mnogo zanimljivih stvari, naučio da odaberem materijal koji mi je potreban iz pročitanog. Naučila je kako na različite načine rješavati određene zabavne zadatke, zagonetke i primjere množenja, kao i na čemu se baziraju aritmetički trikovi i intenzivne tehnike računanja.

O MNOŽENJU

Šta ostaje u glavama većine ljudi od onoga što su nekada učili u školi? Naravno, različiti ljudi imaju različite stvari, ali svi, sigurno, imaju tablicu množenja. Uz uložene napore da se on „brusi“, prisjetimo se stotina (ako ne i hiljada) problema koje smo uz njegovu pomoć rješavali. Prije tri stotine godina u Engleskoj se osoba koja je poznavala tablicu množenja već smatrala učenom osobom.

Izmišljene su mnoge metode množenja. Italijanski matematičar s kraja 15. i početka 16. stoljeća, Luca Pacioli, u svojoj raspravi o aritmetici, daje 8 različitih metoda množenja. U prvom, koji se zove "mali dvorac", brojevi gornjeg broja, počevši od starijeg, naizmjenično se množe s donjim brojem i upisuju u kolonu uz dodavanje potrebnog broja nula. Rezultati se zatim zbrajaju. Prednost ove metode u odnosu na uobičajenu je u tome što se cifre najznačajnijih cifara određuju od samog početka, a to je ponekad važno u približnim proračunima.

Druga metoda ima ništa manje romantično ime "ljubomora" (ili množenje mreže). Ucrtava se rešetka u koju se zatim unose rezultati međuproračunavanja, tačnije brojevi iz tablice množenja. Rešetka je pravougaonik podijeljen na kvadratne ćelije, koje su zauzvrat podijeljene dijagonalama. Na lijevoj strani (od vrha do dna) ispisan je prvi faktor, a na vrhu - drugi. Na presjeku odgovarajućeg reda i stupca ispisan je proizvod brojeva u njima. Zatim su dobijeni brojevi sabirani duž nacrtanih dijagonala, a rezultat je upisan na kraju takve kolone. Rezultat je očitan duž donje i desne strane pravokutnika. "Takva rešetka", piše Luca Pacioli, "podsjeća na rešetkaste kapke-zavjese koje su okačene na venecijanske prozore, sprečavajući prolaznike da vide dame i časne sestre kako sjede na prozorima."

Sve metode množenja opisane u knjizi Luce Paciolija koristile su tablicu množenja. Međutim, ruski seljaci su znali kako se množe bez stola. Njihova metoda množenja koristila je samo množenje i dijeljenje sa 2. Da bi se pomnožila dva broja, pisali su se jedan pored drugog, a zatim je lijevi broj podijeljen sa 2, a desni pomnožen sa 2. Ako je dijeljenje rezultiralo ostatkom , zatim je odbačeno. Zatim su precrtani oni redovi u lijevoj koloni u kojima su parni brojevi. Dodati su preostali brojevi u desnoj koloni. Rezultat je proizvod originalnih brojeva. Provjerite na nekoliko parova brojeva da li je to zaista tako. Dokaz validnosti ove metode prikazan je korišćenjem binarnog brojevnog sistema.

Stari ruski način množenja.

Od davnina do skoro osamnaestog veka, Rusi su u svojim proračunima radili bez množenja i dijeljenja: koristili su samo dvije aritmetičke operacije - sabiranje i oduzimanje, pa čak i takozvano "udvostručavanje" i "udvostručavanje". Suština stare ruske metode množenja je da se množenje bilo koja dva broja svodi na niz uzastopnih dijeljenja jednog broja na pola (uzastopno, bifurkacijsko) dok se drugi broj udvostručuje. Ako je u proizvodu, na primjer 24 X 5, množitelj se smanjuje za 2 puta („udvostručen“), a množitelj se povećava za 2 puta

("Dvostruko"), tada se proizvod neće promijeniti: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. primjer:

Dijeljenje pomnoženog na pola nastavlja se sve dok količnik ne bude 1, dok se množilac udvostručuje. Posljednji udvostručeni broj daje željeni rezultat. Dakle, 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

U ta davna vremena, udvostručavanje i udvostručenje uzimano je čak i za posebne aritmetičke operacije. Kako su samo posebni. akcije? Uostalom, na primjer, udvostručavanje broja nije posebna radnja, već samo dodavanje datog broja sa samim sobom.

Imajte na umu da se brojevi dijele sa 2 cijelo vrijeme bez ostatka. Ali šta ako je množitelj djeljiv sa 2 sa ostatkom? primjer:

Ako množitelj nije djeljiv sa 2, tada se od njega prvo oduzima jedan, a zatim se dijeli sa 2. Redovi s parnim množiocima se brišu, a desna strana linija s neparnim množiocima se dodaju.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17 + 17.

Prisjetimo se broja 17 (prvi red se ne briše!), A proizvod 20 X 17 zamijenjen je proizvodom jednakim njemu 10 X 34. Ali proizvod 10 X 34, zauzvrat, može se zamijeniti proizvodom jednakim tome 5 X 68; pa je drugi red precrtan:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Prisjetimo se broja 68 (treći red se ne briše!), A proizvod 4 X 68 zamijenjen je proizvodom jednakim njemu 2 X 136. Ali proizvod 2 X 136 može se zamijeniti proizvodom jednakim njemu 1 X 272; stoga se četvrti red briše. Dakle, da biste izračunali proizvod 21 X 17, trebate dodati brojeve 17, 68, 272 - prave dijelove linija s neparnim množiocima. Proizvodi s parnim množiocima uvijek se mogu zamijeniti udvostručavanjem množitelja i udvostručavanjem množitelja proizvodima jednakim njima; stoga su takve linije isključene iz obračuna konačnog proizvoda.

Pokušao sam da se umnožim na stari način. Uzeo sam brojeve 39 i 247, dobio sam ovo

Kolone će ispasti čak i duže od mojih ako uzmemo množitelj veći od 39. Onda sam odlučio, isti primjer na moderan način:

Ispostavilo se da je naša školska metoda množenja brojeva mnogo jednostavnija i ekonomičnija od stare ruske metode!

Samo mi moramo prije svega znati tablicu množenja, a naši preci je nisu znali. Osim toga, moramo dobro poznavati samo pravilo množenja, znali su samo udvostručiti i udvostručiti brojeve. Kao što vidite, znate kako se množi mnogo bolje i brže od najpoznatijeg kalkulatora u drevnoj Rusiji. Inače, Egipćani su prije nekoliko hiljada godina vršili množenje na gotovo isti način kao i ruski narod u stara vremena.

Sjajno je da su se ljudi iz različitih zemalja razmnožili na isti način.

Ne tako davno, prije samo stotinjak godina, učenicima je pamćenje tablice množenja bilo veoma teško. Da bi uvjerili učenike u potrebu poznavanja tablica napamet, autori matematičkih knjiga dugo su pribjegavali. na pesme.

Evo nekoliko redaka iz knjige koja nam nije poznata: „Ali za množenje je potrebna sljedeća tabela, samo je čvrsto zadržite u sjećanju, ovaj i neki broj, a zatim množite, bez ikakvog oklijevanja, recite ili napišite govor, također 2-čekajte 2 je 4, ili 2-x 3 je 6, a 3-x 3 je 9 i tako dalje."

Ako neko ne ponavlja I u svim naučnim tablicama i ponosan je, nije oslobođen muke,

Ne mogu da spoznam Coliko ne uči po broju da će množenje biti depresivno

Istina, u ovom odlomku i stihovima nije sve jasno: napisano je nekako ne baš na ruskom, jer je sve ovo napisao pre više od 250 godina, 1703. godine, Leontij Filipovič Magnicki, divni učitelj ruskog jezika, a od tada ruski jezik se značajno promenio...

LF Magnitsky je napisao i objavio prvi štampani udžbenik aritmetike u Rusiji; prije njega postojale su samo rukom pisane matematičke knjige. Veliki ruski naučnik MV Lomonosov, kao i mnogi drugi istaknuti ruski naučnici osamnaestog veka, proučavali su prema Aritmetici LF Magnitskog.

A kako su se umnožavali tih dana, u vrijeme Lomonosova?. Pogledajmo primjer.

Kako smo shvatili, radnja množenja je tada zabilježena gotovo na isti način kao u naše vrijeme. Samo se množitelj zvao "veličanstvenost", a rad se zvao "proizvod" i, osim toga, nisu pisali znak množenja.

Kako je onda objašnjeno množenje?

Poznato je da je MV Lomonosov znao napamet cijelu "Aritmetiku" Magnitskog. U skladu sa ovim udžbenikom, mali Miša Lomonosov bi objasnio množenje 48 sa 8 na sledeći način: „8 - 8 je 64, ja napišem 4 ispod crte, naspram 8, a u mislima imam 6 decimala. I onda 8-cekaj 4 ima 32, a ja u mislima držim 3, a na 2 ću dodati 6 desetinki, i biće 8. I ovo 8 ću napisati pored 4, u redu sa moje lijeve ruke , i dok mi je 3 u mislima, pisaću u redu blizu 8, lijevo. A iz množenja 48 sa 8, proizvod 384 će biti."

I objašnjavamo na skoro isti način, samo što pričamo na moderan način, a ne na starinski, i, uz to, nazivamo kategorije. Na primjer, 3 treba napisati na trećem mjestu jer će to biti stotine, a ne samo "u nizu blizu 8, s lijeve strane".

Priča "Maša je mađioničar".

Mogu da pogodim ne samo rođendan, kao Pavlik prošli put, već i godinu rođenja“, počela je Maša.

Pomnožite mjesec u kojem ste rođeni sa 100, a zatim dodajte svoj rođendan. , pomnožite rezultat sa 2., dodajte 2 rezultirajućem broju; pomnožite rezultat sa 5, dodajte 1 rezultirajućem broju, dodajte nulu rezultatu. , dodajte još 1 na rezultirajući broj i, na kraju, dodajte broj svojih godina.

Gotovo, dobio sam 20721. - Kažem.

* Tako je, - potvrdio sam.

I dobio sam 81321, - kaže Vitya, učenik trećeg razreda.

Ti si, Maša, verovatno pogrešila, - sumnjala je Petja. - Kako se to dešava: Vitya je iz trećeg razreda, ali je i on rođen 1949. godine, kao i Saša.

Ne, Maša je dobro pogodila - potvrđuje Vitya. Samo sam ja bio bolestan jednu godinu i zato sam dva puta išao u drugi razred.

* I dobio sam 111521, - kaže Pavlik.

Kako je, - pita Vasja, - Pavlik takođe ima 10 godina, kao i Saša, a rođen je 1948. Zašto ne 1949?

Ali zato što je sada septembar, a Pavlik je rođen u novembru, a još mu je samo 10 godina, iako je rođen 1948. - objasnila je Maša.

Pogodila je datum rođenja još troje-četiri učenika, a zatim objasnila kako to radi. Ispada da se oduzima 111 od posljednjeg broja, a onda ostatak ide na tri lica s desna na lijevo, po dvije cifre. Srednje dvije cifre označavaju rođendan, prve dvije ili jedna su broj mjeseca, a posljednje dvije cifre su broj godina. Znajući koliko godina ima osoba, nije teško odrediti godinu rođenja. Na primjer, dobio sam broj 20721. Ako od njega oduzmete 111, dobit ćete 20610. Dakle, sada imam 10 godina, a rođen sam 6. februara. Pošto je sada septembar 1959, znači da sam rođen 1949.

Zašto treba oduzeti 111, a ne neki drugi broj? pitali smo. -A zašto su rođendani, mjesec i broj godina raspoređeni na ovaj način?

Ali vidi, - objasnila je Maša. - Na primjer, Pavlik je, ispunjavajući moje zahtjeve, odlučio sljedeće primjere:

1) 11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Kao što vidite, pomnožio je broj mjeseca (11) sa 100, zatim sa 2, zatim sa još 5 i na kraju sa još 10 (pripisao je vreću), i to samo sa 100 X 2 X 5 X 10 , odnosno za 10000. Dakle, 11 je postalo desetine hiljada, odnosno čine treću fasetu, ako brojimo s desna na lijevo u dvije cifre. Ovo će prepoznati broj mjeseca u kojem ste rođeni. Pomnožio je rođendan (14) sa 2, zatim sa 5 i na kraju sa još 10, i samo sa 2 X 5 X 10, odnosno sa 100. Dakle, rođendan treba tražiti među stotinama, u drugom lice, ali ovde ima na stotine stranaca. Vidite: dodao je broj 2, koji je pomnožio sa 5 i 10. Dakle, dobio je dodatnih 2x5x10 = 100 - 1 sto. Oduzimam ovu stotinu od 15 stotina u broju 111521, ispada 14 stotina. Ovako znam rođendan. Broj godina (10) nije pomnožen ni sa čim. To znači da se ovaj broj mora tražiti među jedinicama, u prvom licu, ali postoje i strane jedinice. Vidite: dodao je broj 1, koji je pomnožio sa 10, a zatim dodao još 1. Dakle, dobio je samo 1 x TO + 1 = 11 jedinica više. Oduzmem ovih 11 jedinica od 21 jedinice u broju 111521, ispadne 10. I tako saznam broj godina. A ukupno, kao što vidite, od broja 111521 oduzeo sam 100+ 11 = 111. Kada sam oduzeo 111 od broja 111521, onda je ispalo PNYU. znači,

Pavlik je rođen 14. novembra i ima 10 godina. Sada je 1959, ali ja nisam oduzeo 10 od 1959, nego od 1958, pošto je Pavlik prošle godine, u novembru, napunio 10 godina.

Naravno, nećete se odmah sjetiti takvog objašnjenja, ali ja sam to pokušao razumjeti na svom primjeru:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2 "OBTO; 1959 - 10 = 1949;

Puzzle.

Prvi zadatak: U podne putnički parobrod kreće iz Staljingrada za Kujbišev. Sat vremena kasnije, robno-putnički parobrod kreće iz Kujbiševa za Staljingrad, koji se kreće sporije od prvog parobroda. Kada se parobrodi sretnu, koji će biti dalje od Staljingrada?

Ovo nije običan aritmetički problem, već šala! Parobrodi će biti na istoj udaljenosti od Staljingrada, kao i od Kujbiševa.

A evo i drugog zadatka. Prošle nedelje naš odred i odred pete klase su sadili drveće duž ulice Bolshaya Pionerskaya. Odredi su trebali posaditi jednak broj stabala sa svake strane ulice. Kao što se sećate, naš odred je rano došao na posao, a pre dolaska učenika petog razreda uspeli smo da zasadimo 8 stabala, ali, kako se ispostavilo, ne sa naše strane ulice: oduševili smo se i počeli da radimo pogrešno. mjesto. Onda smo radili na našoj strani ulice. Učenici petog razreda rano su završili posao. Međutim, nisu nam ostali dužni: došli su na našu stranu i posadili prvo 8 stabala („vratili dug“), a onda još 5 stabala i mi smo završili posao.

Pitanje je koliko su drveća posadili učenici petog razreda od nas?

: Naravno, učenici petog razreda su posadili samo 5 stabala više od nas: kada su posadili 8 stabala sa naše strane, otplatili su dug; i kada su posadili još 5 stabala, nekako su nam posudili 5 stabala. Tako ispada da su oni posadili samo 5 stabala više od nas.

Nijedno rezonovanje nije pogrešno. Istina je da su nam učenici petog razreda učinili uslugu posadivši nam 5 stabala. Ali dalje, da bi se dobio tačan odgovor, mora se rasuđivati ovako: mi nismo ispunili zadatak za 5 stabala, dok su učenici petog razreda svoj zadatak premašili za 5 stabala. Dakle, ispada da razlika između broja drveća koje su posadili učenici petog razreda i broja stabala koje smo posadili nije 5, već 10 stabala!

I evo posljednjeg zadatka slagalice, Igrajući se loptom, 16 učenika je postavljeno na stranice kvadrata tako da je bilo po 4 osobe sa svake strane. Zatim su otišla 2 učenika, a ostali su krenuli tako da je sa svake strane trga ponovo bilo po 4 osobe. Konačno su otišla još 2 učenika, ali su ostali smješteni tako da je sa svake strane trga još bilo po 4 osobe. Kako se ovo moglo dogoditi?

Dva trika brzog množenja

Jednom je učitelj svojim učenicima ponudio sljedeći primjer: 84 X 84. Jedan dječak je brzo odgovorio: 7056. "Šta ste mislili?" upitala je učiteljica učenika. “Uzeo sam 50 X 144 i bacio 144,” odgovorio je. Pa, hajde da objasnimo kako je učenik brojao.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, a 144 pedeset je 72 stotine, što znači 84 X 84 = 7200 - 144 =

A sada izbrojimo na isti način koliko će biti 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, odnosno 64 pedeset ili 32 stotine (3200), bez 64, odnosno da pomnožite broj sa 49, trebate ovaj broj pomnožite sa 50 (pedeset) i oduzmite ovaj broj od rezultirajućeg proizvoda.

A evo i primjera za drugačiji način izračunavanja, 92 X 96, 94 X 98.

Odgovori: 8832 i 9212. Primjer, 93 X 95. Odgovor: 8835. Naši proračuni su dali isti broj.

Tako brzo možete računati samo kada su brojevi blizu 100. Ovim brojevima nalazimo komplement do 100: za 93 to će biti 7, a za 95 će biti 5, od prvog datog broja oduzimamo komplement drugog: 93 - 5 = 88 - ovo će biti u proizvodu stotina, množimo sabirke: 7 X 5 = 3 5 - toliko će biti u proizvodu jedinica. To znači da je 93 X 95 = 8835. A zašto bi to trebalo tačno da se uradi nije teško objasniti.

Na primjer, 93 je 100 bez 7, a 95 je 100 bez 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Da biste oduzeli 5 puta 93, možete oduzeti 5 puta 100, ali dodajte 5 puta 7. Tada ispada:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 saća. - 5 stotina. + 5 X 7 = (93 - 5) ćelija. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Množenje u. domine.

Uz pomoć domina, lako je prikazati neke slučajeve množenja višecifrenih brojeva jednim brojem. Na primjer:

402 X 3 i 2663 X 4

Pobjednik će biti onaj koji u određenom vremenu bude u stanju da iskoristi najveći broj domina, praveći primjere množenja trocifrenih, četverocifrenih brojeva jednocifrenim brojem.

Primjeri množenja četverocifrenih brojeva jednocifrenim.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 X 6.

Kao što vidite, korišteno je samo 20 domina. Sastavljaju se primjeri za množenje ne samo četverocifrenih brojeva jednocifrenim brojem, već i trocifrenih, peterocifrenih i šesterocifrenih brojeva jednocifrenim brojem. Koristio je 25 kostiju i sastavio sljedeće primjere:

Međutim, svih 28 kostiju se i dalje mogu koristiti.

Priče o tome da li je starac Hottabych dobro znao aritmetiku.

Priča "Shvatam aritmetikom" 5 ".

Čim sam sutradan otišao kod Miše, on je odmah pitao: "Šta je bilo novo i zanimljivo u razredu?" Pokazao sam Miši i njegovim prijateljima kako su Rusi u stara vremena pametno želi. Tada sam ih zamolio da u mislima prebroje koliko bi bilo 97 X 95, 42 X 42 i 98 X 93. Naravno, oni to nisu mogli bez olovke i papira i bili su veoma iznenađeni kada sam skoro istog trenutka dao tačne odgovore na ovi primjeri. Konačno smo svi zajedno riješili zadatak koji je dat kući. Ispostavilo se da je veoma važno kako se tačke nalaze na listu papira. Ovisno o tome, možete povući jednu, četiri i šest pravih linija kroz četiri tačke, ali ne više.

Zatim sam pozvala djecu da sastave primjere množenja od domina na isti način kako se to radilo u krugu. Uspjeli smo iskoristiti po 20, 24, pa čak i po 27 kostiju, ali od svih 28 nismo uspjeli sastaviti primjere, iako smo to radili dosta vremena.

Miša se prisjetio da se danas u bioskopu prikazuje film "Starac Hottabych". Brzo smo završili s aritmetikom i otrčali u bioskop.

Evo slike! Iako bajka, ipak je zanimljiva: govori o nama, dečacima, o školskom životu, kao i o ekscentričnom mudracu - Ginu Hottabychu. A Hottabych je mnogo zabrljao govoreći Volki o geografiji! Kao što vidite, u prošlim vremenima, čak su i indijski mudraci - džinovi - poznavali geografiju veoma, vrlo slabo, pitam se kako bi „starac Hottabych podstakao da je Volka položio ispit iz aritmetike? Vjerovatno ni Hottabych nije dobro znao aritmetiku.

Indijski način množenja.

Pretpostavimo da trebate pomnožiti 468 sa 7. Na lijevoj strani pišemo množitelj, na desnoj strani pišemo množitelj:

Indijanci nisu imali znakova razmnožavanja.

Sada pomnožim 4 sa 7, dobijemo 28. Ovaj broj pišemo sa superskriptom 4.

Sada pomnožimo 8 sa 7, dobijemo 56. 5 dodamo 28, dobijemo 33; Izbrisat ćemo 28, i napisati 33, napisati 6 preko broja 8:

Ispalo je vrlo zanimljivo.

Sada pomnožimo 6 sa 7, dobijemo 42, dodamo 4 na 36, dobijemo 40; 36 ćemo izbrisati, a 40 ćemo zapisati; Pišemo 2 iznad broja 6. Dakle, pomnožimo 486 sa 7, dobićemo 3402:

Tačno odlučeno, ali ne baš brzo i povoljno! Tako su se množili najpoznatiji kalkulatori tog vremena.

Kao što vidite, starac Hottabych je prilično dobro poznavao aritmetiku. Međutim, on nije snimao akcije na isti način kao mi.

Davno, prije više od hiljadu i trista godina, Indijanci su bili najbolji kalkulatori. Međutim, papir još nisu imali, a svi proračuni su rađeni na maloj crnoj tabli, pisanim perom od trske i vrlo tankom bijelom bojom, koja je ostavljala tragove koji su se lako brisali.

Kada pišemo kredom na tabli, to je pomalo nalik na indijski način pisanja: na crnoj pozadini pojavljuju se bijeli znakovi koji se lako brišu i ispravljaju.

Indijanci su računanje izvodili i na bijeloj tabli posutoj crvenim prahom, na kojoj su malim štapićem ispisivali znakove, tako da su se bijeli znakovi pojavili na crvenom polju. Slična slika se dobija kada kredom pišemo na crvenoj ili smeđoj ploči - linoleumu.

Znak množenja tada još nije postojao, a između množenja i množenja ostavljena je samo određena praznina. Na indijski način, bilo bi moguće množiti, počevši od jedinica. Međutim, sami Indijanci su obavljali množenje počevši od seniorske kategorije, a nedovršena djela zapisivali su malo po množeći tik iznad množenja. U ovom slučaju, najznačajnija cifra kompletnog proizvoda bila je odmah vidljiva i, osim toga, izostavljanje bilo koje cifre je isključeno.

Primjer množenja na indijski način.

Arapski način množenja.

Pa, ali kako, u samom datumu, izvesti množenje na indijski način, ako je napisano na papiru?

Arapi su ovu tehniku množenja prilagodili za pisanje na papiru, poznati uzbekistanski učenjak Muhammad ibn Musa Alkhvarizmi (Muhamed, sin Muse iz Horezma, grada koji se nalazio na teritoriji savremene Uzbekistanske SSR) prije više od hiljadu godina, izvršio množenje na pergamentu na sljedeći način:

Kao što vidite, nije izbrisao nepotrebne brojeve (već je nezgodno to raditi na papiru), već ih je precrtao; ispisivao je nove brojeve iznad precrtanih, naravno, malo po malo.

Primjer množenja na isti način, pravljenje bilješki u bilježnici.

To znači da je 7264 X 8 = 58112. Ali šta je sa množenjem dvocifrenim brojem, višecifrenim?.

Tehnika množenja ostaje ista, ali pisanje postaje mnogo komplikovanije. Na primjer, trebate pomnožiti 746 sa 64. Prvo, pomnožite sa 3 desetice, pokazalo se

Dakle, 746 X 34 = 25364.

Kao što vidite, brisanje nepotrebnih znamenki i njihova zamjena novim znamenkama pri množenju čak i dvocifrenim brojem dovodi do preglomaznog zapisa. A šta se dešava ako pomnožite trocifrenim ili četvorocifrenim brojem?!

Da, arapski način množenja nije baš zgodan.

Ovaj način umnožavanja bio je u Evropi sve do osamnaestog veka, hiljadu godina. Nazvana je metoda križnog šava ili hijazma, jer je između umnoženih brojeva stavljeno grčko slovo X (chi), koje je postupno zamijenjeno kosim križem. Sada možemo jasno vidjeti da je naša moderna metoda množenja najjednostavnija i najpogodnija, vjerovatno najbolja od svih mogućih metoda množenja.

Da, naš školski metod množenja višecifrenih brojeva je vrlo dobar. Međutim, množenje se može napisati i na drugi način. Možda bi najbolji način bio da to učinite, na primjer, ovako:

Ova metoda je zaista dobra: množenje počinje od najvišeg bita množitelja, najniži bit nepotpunih proizvoda se upisuje ispod odgovarajućeg bita množitelja, što eliminira mogućnost greške u slučaju kada se naiđe na nulu u bilo kojem bitu množitelja. multiplikator. Ovako čehoslovački školarci zapisuju množenje višecifrenih brojeva. To je zanimljivo. A mislili smo da se računske operacije mogu pisati samo onako kako je to kod nas uobičajeno.

Još nekoliko zagonetki.

Evo vašeg prvog, jednostavnog zadatka: turist može prepješačiti 5 km za sat. Koliko će kilometara preći za 100 sati?

Odgovor: 500 kilometara.

A ovo je i dalje veliko pitanje! Morate preciznije znati kako je turist hodao ovih 100 sati: bez odmora ili sa predahom. Drugim riječima, morate znati: 100 sati je vrijeme putovanja turista, ili samo vrijeme njegovog boravka na putu. Osoba vjerovatno ne može biti u pokretu 100 sati zaredom: ovo je više od četiri dana; a brzina kretanja bi se stalno smanjivala. Druga je stvar da li je turist išao sa pauzama za ručak, spavanje itd. Onda za 100 sati kretanja može preći svih 500 km; samo na putu ne bi trebalo da bude više četiri dana, već oko dvanaest dana (ako se pređe u proseku 40 km dnevno). Ako je bio na putu 100 sati, onda je mogao hodati samo oko 160-180 km.

Različiti odgovori. To znači da se uslovu problema mora nešto dodati, inače je nemoguće dati odgovor.

Rešimo sada sledeći problem: 10 pilića pojede 1 kg žitarica za 10 dana. Koliko će kilograma žitarica pojesti 100 pilića za 100 dana?

Rješenje: 10 pilića u 10 dana pojede 1 kg žitarica, što znači da 1 pile u istih 10 dana pojedete 10 puta manje, odnosno 1000 g: 10 = 100 g.

U jednom danu kokoška pojede 10 puta manje, odnosno 100 g: 10 = 10 g. Sada znamo da 1 piletina u jednom danu pojede 10 g žitarica. To znači da 100 pilića dnevno pojede 100 puta više, tj

10g X 100 = 1000g = 1kg. Za 100 dana poješće još 100 puta više, odnosno 1 kg X 100 = 100 kg = 1 centner. To znači da 100 pilića u 100 dana pojede cijeli centner zrna.

Postoji brže rješenje: ima 10 puta više pilića i treba ih hraniti 10 puta duže, što znači da vam treba 100 puta više ukupnog zrna, odnosno 100 kg. Međutim, postoji jedan propust u cijelom ovom obrazloženju. Hajde da razmislimo i pronađemo grešku u obrazloženju.

: - Obratimo pažnju na poslednje rezonovanje: „100 pilića pojede 1 kg žita u jednom danu, a za 100 dana poješće 100 puta više. "

Zaista, za 100 dana (ovo je više od tri mjeseca!), Pilići će primjetno odrasti i jesti će ne 10 g žitarica dnevno, već 40-50 grama žitarica, jer obična kokoška pojede oko 100 g zrna. po danu. To znači da će za 100 dana 100 pilića pojesti ne 1 kvintal žitarica, već mnogo više: dva ili tri kvintala.

A evo i posljednjeg zadatka slagalice za vezivanje čvora: „Na stolu je komad užeta ispružen u pravoj liniji. Trebate ga jednom rukom uzeti za jedan kraj, drugom rukom za drugi kraj i, ne ispuštajući krajeve užeta iz ruku, vezati čvor. »Opšte je poznata činjenica da se neki problemi lako rastavljaju, prelazeći od podataka do problematičnog pitanja, dok drugi, naprotiv, idu od problema do podataka.

Pa, ovdje smo pokušali raščlaniti ovaj problem, prelazeći od pitanja do podataka. Pretpostavimo da već postoji čvor na užetu, a njegovi krajevi su u rukama i nisu oslobođeni. Pokušajmo se sa riješenog problema vratiti na njegove podatke, u početni položaj: uže leži ispruženo na stolu, a njegovi krajevi nisu pušteni iz naših ruku.

Ispada da ako ispravite uže ne puštajući krajeve iz ruku, tada lijeva ruka, hodajući ispod istegnutog užeta i iznad desne ruke, drži desni kraj užeta; a desna ruka, prelazeći preko užeta i ispod lijeve ruke, drži lijevi kraj užeta

Mislim da je nakon ove analize problema svima postalo jasno kako vezati čvor na užetu, sve morate učiniti obrnutim redoslijedom.

Još dva trika brzog množenja.

Pokazat ću vam kako brzo pomnožiti brojeve kao što su 24 i 26, 63 i 67, 84 i 86, itd. itd., odnosno kada su faktori jednaki deset, a jedinice tačno 10. Navedite primjere.

* 34 i 36, 53 i 57, 72 i 78,

* Ispada 1224, 3021, 5616.

Na primjer, trebate pomnožiti 53 sa 57. Pomnožim 5 sa 6 (za 1 više od 5), ispada 30 - toliko stotina u proizvodu; Pomnožim 3 sa 7, ispada 21 - toliko jedinica u proizvodu. Dakle, 53 X 57 = 3021.

* Kako to objasniti?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 ćelija. + 5 are. +3 X 7 = 30 ari. + 3 X 7 = 5 X 6 ćelija. + 21.

Hajde da vidimo kako možete brzo pomnožiti dvocifrene brojeve unutar 20. Na primjer, da pomnožite 14 sa 17, trebate sabrati jedinice 4 i 7, dobićete 11 - u proizvodu će biti toliko desetica (tj. , 10 jedinica). Zatim trebate pomnožiti 4 sa 7, dobit ćete 28 - u proizvodu će biti toliko jedinica. Osim toga, dobijenim brojevima 110 i 28 mora se dodati tačno 100. Dakle, 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. Zaista:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

Nakon toga, riješili smo još ovakvih primjera: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Množenje na abakusu

Evo nekoliko trikova na koje će svako ko zna kako brzo sabrati abakus moći spretno izvesti primjere množenja na koje se susreće u praksi.

Množenje sa 2 i 3 zamjenjuje se dvostrukim i trostrukim sabiranjem.

Kada množite sa 4, prvo pomnožite sa 2 i dodajte ovaj rezultat sebi.

Množenje broja sa 5 izvodi se na abakusu ovako: prenesite cijeli broj jednom žicom iznad, odnosno pomnožite ga sa 10, a zatim podijelite ovaj deseterostruki broj na pola (kako podijeliti sa 2 pomoću abakusa.

Umjesto da množite sa 6, pomnožite sa 5 i dodajte pomnoženo.

Umjesto da množite sa 7, pomnožite sa 10 i oduzmite pomnoženo tri puta.

Množenje sa 8 zamjenjuje se množenjem sa 10 minus dva koja se množe.

Isto tako, pomnožite sa 9: zamijenite množenjem sa 10 minus jedan koji se množi.

Prilikom množenja sa 10, kao što smo već rekli, svi brojevi se prenose jednom žicom iznad.

Čitalac će vjerovatno već shvatiti šta da radi pri množenju brojevima većim od 10 i kakve će zamjene ovdje biti najpogodnije. Faktor 11 se, naravno, mora zamijeniti sa 10 + 1. Faktor 12 se zamjenjuje sa 10 + 2, odnosno praktično - sa 2 + 10, odnosno prvo se udvostručeni broj odvoji, a zatim se dodaje desetostruki broj. . Faktor 13 se zamjenjuje sa 10 + 3, i tako dalje.

Razmotrimo nekoliko posebnih slučajeva za prvih sto množitelja:

Usput, lako je uočiti da je vrlo zgodno množiti brojevima kao što su 22, 33, 44, 55, itd., uz pomoć brojanja; stoga treba težiti korištenju sličnih brojeva sa istim znamenkama pri dijeljenju faktora.

Slični trikovi se koriste i kod množenja brojevima većim od 100. Ako su takvi umjetni trikovi dosadni, onda, naravno, uvijek možemo množiti uz pomoć brojanja po opštem pravilu, množeći svaku cifru faktora i zapisujući parcijalne proizvodi - ovo ipak daje određeno smanjenje vremena...

"Ruski" način množenja

Ne možete množiti višecifrene brojeve, čak ni dvocifrene, ako ne zapamtite napamet sve rezultate množenja jednocifrenih brojeva, odnosno onoga što se zove tablica množenja. U drevnoj "Aritmetici" Magnitskog, koju smo već spomenuli, potreba za čvrstim poznavanjem tablice množenja opjevana je u takvim (savremenom uhu stranom) stihovima:

Ako ne ponavlja tabele i bude ponosan, ne može znati po broju šta da pomnoži

I za sve nauke, a ne za slobodu od brašna, Koliko ne uči depresirati

I u korist to se više neće zaboraviti.

Autor ovih stihova, očigledno, nije znao ili je izgubio iz vida da postoji način množenja brojeva bez poznavanja tablice množenja. Ova metoda, slična našim školskim metodama, korištena je u svakodnevnom životu ruskih seljaka i naslijeđena od njih od davnina.

Njegova suština je da se množenje bilo koja dva broja svodi na niz uzastopnih dijeljenja jednog broja na pola dok se istovremeno udvostručuje drugi broj. Evo primjera:

Dijeljenje na pola se nastavlja do tada), visina u količniku ne ispada 1, dok se paralelno udvostručuje još jedan broj. Posljednji udvostručeni broj daje željeni rezultat. Nije teško razumjeti na čemu se zasniva ova metoda: proizvod se ne mijenja ako se jedan faktor prepolovi, a drugi udvostruči. Stoga je jasno da se kao rezultat višestrukog ponavljanja ove operacije dobije željeni proizvod.

Međutim, šta učiniti, ako u isto vrijeme nrih. Želite li prepoloviti neparan broj?

Narodna metoda se lako izvlači iz ove poteškoće. Potrebno je, kaže pravilo, u slučaju neparnog broja jedan ispustiti, a ostatak podijeliti na pola; ali s druge strane, sve one brojeve ove kolone koji su naspram neparnih brojeva u lijevoj koloni treba dodati jestivom broju desne kolone - zbir će biti željeni? ja radim. U praksi se to radi tako da se precrtaju svi redovi s parnim lijevim brojevima; ostaju samo oni koji sadrže neparan broj lijevo.

Evo primjera (zvjezdice označavaju da ovu liniju treba precrtati):

Zbrajanjem neprekrštenih brojeva dobijamo potpuno tačan rezultat: 17 + 34 + 272 = 32 Na čemu se zasniva ova tehnika?

Ispravnost prijema će postati jasna ako to uzmemo u obzir

19X 17 = (18+ 1) X 17 = 18X17 + 17, 9X34 = (8 + 1) X34 =; 8X34 + 34, itd.

Jasno je da se brojevi 17, 34 itd., izgubljeni pri dijeljenju neparnog broja na pola, moraju dodati rezultatu posljednjeg množenja da bi se dobio proizvod.

Primjeri ubrzanog množenja

Ranije smo spomenuli da postoje i pogodni načini za izvođenje onih pojedinačnih radnji množenja na koje se svaka od gore navedenih tehnika raspada. Neki od njih su vrlo jednostavni i zgodno primjenjivi, čine proračune toliko lakim da uopće ne ometa njihovo pamćenje kako bi se koristili u uobičajenim proračunima.

Ovo je, na primjer, tehnika unakrsnog množenja, koja je vrlo zgodna kada se radi o dvocifrenim brojevima. Metoda nije nova; datira još od Grka i Hindusa i u stara vremena se zvala "metoda munje", ili "množenje krstom". Sada je zaboravljeno, i ne škodi podsjetiti se na to1.

Pomnožimo 24X32. Mentalno postavljamo broj prema sljedećoj shemi, jedan ispod drugog:

Sada uzastopno izvodimo sljedeće radnje:

1) 4X2 = 8 je posljednja znamenka rezultata.

2) 2X2 = 4; 4X3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 - pretposljednja cifra rezultata; 1 sećamo se.

3) 2X3 = 6, pa čak i jedinicu koju imamo na umu imamo

7 je prva znamenka rezultata.

Dobijamo sve brojeve proizvoda: 7, 6, 8 - 768.

Nakon kratke vježbe, ova tehnika se vrlo lako usvaja.

Drugi način, koji se sastoji u korištenju takozvanih "sabiraka", pogodno se koristi u slučajevima kada su brojevi koji se množe blizu 100.

Pretpostavimo da želite da pomnožite 92X96. "Sabiranje" za 92 do 100 će biti 8, za 96 - 4. Radnja se izvodi prema sljedećoj šemi: množitelji: 92 i 96 "zbrajanja": 8 i 4.

Prve dvije cifre rezultata dobivaju se jednostavnim oduzimanjem od faktora komplementa pomnoženog, ili obrnuto, odnosno oduzimanjem 4 od 92 ili oduzimanjem 8 od 96.

U ovom i drugom slučaju imamo 88; proizvod "sabiraka" pripisuje se ovom broju: 8X4 = 32. Dobijamo rezultat 8832.

Da bi rezultat trebao biti tačan jasno se vidi iz sljedećih transformacija:

92x9b = 88X96 = 88 (100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96 = 4 (88 + 8) = 4X 8 + 88X4 92x96 8832 + 0

Još jedan primjer. Potrebno je pomnožiti 78 sa 77: množitelji: 78 i 77 "sabirci": 22 i 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Treći primjer. Pomnožite 99 X 9.

množitelji: 99 i 98 "sabirci": 1 i 2.

99-2 = 97, 1X2 = 2.

U ovom slučaju, treba imati na umu da 97 ovdje znači broj stotina. Tako da zbrajamo.

Natalija Karpušina, kandidat pedagoških nauka.

Da biste savladali množenje višecifrenih brojeva, potrebno je samo znati tablicu množenja i znati zbrajati brojeve. U suštini, poteškoća leži u tome kako pravilno postaviti međurezultate množenja (parcijalni proizvodi). U nastojanju da olakšaju proračune, ljudi su smislili mnogo načina za množenje brojeva. Tokom vekovne istorije matematike, postoji nekoliko desetina njih.

Rešetkasto množenje. Ilustracija iz prve štampane knjige o aritmetici. 1487 godine.

Napierovi štapovi. Ovaj jednostavan računski uređaj je prvi put opisan u djelu Johna Napiera "Rabdologija". 1617 godine.

John Napier (1550-1617).

Shikkardov model računske mašine. Ovaj računski uređaj, koji nije došao do nas, izumitelj je napravio 1623. godine, a opisao ga je godinu dana kasnije u pismu Johanesu Kepleru.

Wilhelm Schickard (1592-1635).

Hindusko naslijeđe - Lattice Way

Hindusi, koji već dugo poznaju decimalni brojevni sistem, preferiraju usmeno nego pismeno. Izmislili su nekoliko načina za brzo razmnožavanje. Kasnije su ih posudili Arapi, a od njih su ove metode prešle na Evropljane. Oni se, međutim, nisu ograničili na njih i razvili su nove, posebno onu koja se uči u školi - množenje kolonom. Ova metoda je poznata od početka 15. veka, u narednom veku je postala čvrsto primenjivana od strane matematičara, a danas se koristi svuda. Ali da li je množenje stupaca najbolji način za ovu aritmetiku? Zapravo, postoje i druge, u naše vrijeme zaboravljene metode množenja, ništa gore, na primjer, metoda rešetke.

Ova metoda se koristila u antici, u srednjem vijeku se široko proširila na Istoku, au renesansi - u Evropi. Metoda rešetke se također nazivala indijska, muslimanska ili "množenje ćelija". A u Italiji se zvalo "gelosia", ili "množenje rešetke" (gelosia u prijevodu s talijanskog - "zastori", "rešetkaste kapke"). Zaista, brojke dobivene množenjem iz brojeva bile su slične kapcima-zavjesama, koje su zatvarale prozore venecijanskih kuća od sunca.

Objasnimo suštinu ove jednostavne metode množenja na primjeru: izračunajte proizvod 296 × 73. Počnimo crtanjem tabele sa kvadratnim ćelijama, u kojoj će biti tri kolone i dva reda, prema broju znamenki u faktori. Podijelite ćelije na pola dijagonalno. Iznad tabele zapisujemo broj 296, a na desnoj strani okomito - broj 73. Pomnožimo svaku cifru prvog broja sa svakom cifrom drugog i upišemo proizvode u odgovarajuće ćelije, stavljajući desetice iznad dijagonale i jedinice ispod njega. Cifre željenog proizvoda dobijaju se dodavanjem cifara u kosim prugama. U ovom slučaju, kretat ćemo se u smjeru kazaljke na satu, počevši od donje desne ćelije: 8, 2 + 1 + 7, itd. Zapišimo rezultate ispod tabele, kao i lijevo od nje. (Ako se ispostavi da je sabiranje dvocifreni zbir, naznačićemo samo jedinice, a zbiru cifara iz sljedeće trake dodati desetice.) Odgovor: 21 608. Dakle, 296 x 73 = 21 608.

Metoda rešetke ni na koji način nije inferiorna u odnosu na množenje stupaca. Još je jednostavnije i pouzdanije, unatoč činjenici da je broj radnji obavljenih u oba slučaja isti. Prvo, morate raditi samo sa jednocifrenim i dvocifrenim brojevima i njima je lako upravljati u glavi. Drugo, nema potrebe da pamtite međurezultate i slijedite redoslijed kojim ih zapisujete. Memorija se rasterećena i pažnja zadržava, pa je vjerovatnoća greške smanjena. Osim toga, metoda mreže omogućava brže rezultate. Pošto ste ga savladali, možete se uvjeriti i sami.

Zašto metoda rešetke dovodi do tačnog odgovora? Šta je njegov "mehanizam"? Hajde da to shvatimo uz pomoć tabele napravljene slično prvoj, samo što su u ovom slučaju faktori predstavljeni kao zbroj 200 + 90 + 6 i 70 + 3.

Kao što vidite, u prvoj kosoj traci postoje jedinice, u drugoj desetice, u trećoj stotine itd. Kada se dodaju, oni daju u odgovoru, redom, broj jedinica, desetice, stotine itd. Ostalo je očigledno:

Drugim riječima, u skladu sa zakonima aritmetike, proizvod brojeva 296 i 73 izračunava se na sljedeći način:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14.000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10.000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 20) + 60 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Napierovi štapovi

Rešetkasto množenje leži u srcu jednostavnog i originalnog uređaja za računanje - Napierovih štapova. Njegov izumitelj, John Napier, škotski baron i zaljubljenik u matematiku, zajedno sa profesionalcima, bavio se poboljšanjem sredstava i metoda računanja. U istoriji nauke poznat je prvenstveno kao jedan od tvoraca logaritama.

Uređaj se sastoji od deset ravnala na kojima se nalazi tablica množenja. Svaka ćelija, podijeljena dijagonalom, sadrži proizvod dva jednocifrena broja od 1 do 9: broj desetica je naveden u gornjem dijelu, a broj jedinica u donjem dijelu. Jedan ravnalo (lijevo) je nepomičan, ostatak se može preurediti s mjesta na mjesto, postavljajući željenu kombinaciju brojeva. Koristeći Napierove štapove, lako je množiti višecifrene brojeve, svodeći ovu operaciju na sabiranje.

Na primjer, da biste izračunali proizvod brojeva 296 i 73, trebate 296 pomnožiti sa 3 i 70 (prvo sa 7, a zatim sa 10) i dodati rezultirajuće brojeve. Primijenimo još tri na fiksni ravnalo - sa brojevima 2, 9 i 6 na vrhu (trebalo bi da formiraju broj 296). Sada pogledajmo treći red (brojevi redova su naznačeni na ekstremnom ravnalu). Brojevi u njemu čine skup koji nam je već poznat.

Sabirajući ih, kao u metodi rešetke, dobijamo 296 x 3 = 888. Slično, s obzirom na sedmi red, nalazimo da je 296 x 7 = 2072, zatim 296 x 70 = 20 720. Dakle,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Napierovi štapići su se koristili i za složenije operacije - dijeljenje i vađenje kvadratnog korijena. Pokušali su više puta poboljšati ovaj računski uređaj i učiniti ga praktičnijim i efikasnijim u radu. Zaista, u nekim slučajevima, za množenje brojeva, na primjer s brojevima koji se ponavljaju, bilo je potrebno nekoliko setova štapića. Ali takav je problem riješen zamjenom ravnala s rotirajućim cilindrima sa tablicom množenja nanesenom na površinu svakog od njih u istom obliku kako ju je Napier predstavio. Umjesto jednog seta štapova, ispostavilo se da ih je bilo devet odjednom.

Takvi trikovi su zaista ubrzali i olakšali proračune, ali nisu utjecali na glavni princip Napierovog uređaja. Tako je metoda rešetke pronašla drugi život, koji je trajao još nekoliko stoljeća.

Shikkard mašina

Naučnici su se dugo pitali kako da prebace složeni računski rad na mehaničke uređaje. Prvi uspješni koraci u stvaranju računskih mašina izvedeni su tek u 17. vijeku. Vjeruje se da je sličan mehanizam ranije od drugih napravio njemački matematičar i astronom Wilhelm Schickard. Ali ironično, samo je uzak krug ljudi znao za ovo, a tako koristan izum nije bio poznat svijetu više od 300 godina. Dakle, to ni na koji način nije uticalo na kasniji razvoj računarskih objekata. Opis i skice Schickardovog automobila otkriveni su prije samo pola stoljeća u arhivi Johannesa Keplera, a nešto kasnije od sačuvanih dokumenata napravljen je njegov radni model.

U osnovi, Schickardova mašina je šestocifreni mehanički kalkulator koji zbraja, oduzima, množi i dijeli brojeve. Ima tri dijela: množitelj, sabirač i mehanizam za pohranjivanje međurezultata. Osnova za prvu bili su, kao što možete pretpostaviti, Napierovi štapovi smotani u cilindre. Bili su pričvršćeni na šest vertikalnih osovina i rotirani pomoću posebnih ručki smještenih na vrhu stroja. Ispred cilindara nalazila se ploča sa devet redova prozora od po šest u svakom, koji su se otvarali i zatvarali bočnim kvakama kada je trebalo vidjeti potrebne brojeve, a ostatak sakriti.

U radu, Shikkard mašina za brojanje je vrlo jednostavna. Da biste saznali čemu je jednak proizvod 296 x 73, potrebno je postaviti cilindre na poziciju na kojoj se prvi množitelj pojavljuje u gornjem redu prozora: 000296. Proizvod 296 x 3 dobijamo otvaranjem prozora prozora. treći red i sabiranje viđenih brojeva, kao u metodi rešetke. Na isti način, otvarajući prozore sedmog reda, dobijamo proizvod 296 x 7, kojem dodajemo 0. Ostaje samo dodati pronađene brojeve na sabiraču.

Nekada su ga izmislili Indijanci, brz i pouzdan način množenja višecifrenih brojeva, koji se koristio u proračunima vekovima, sada je, nažalost, zaboravljen. Ali mogao nas je spasiti danas, da nije bilo svima poznatog kalkulatora.

problem: razumjeti vrste množenja

Target: Uvod u različite metode množenja prirodnih brojeva koje se ne koriste u nastavi i njihovu upotrebu u računanju brojevnih izraza.
Zadaci:
1. Pronađite i analizirajte različite načine množenja.
2. Naučite demonstrirati neke metode množenja.
3. Objasniti nove metode množenja i naučiti učenike da ih koriste.
4. Razvijati vještine samostalnog rada: traženje informacija, odabir i dizajn pronađenog materijala.
5. Eksperimentirajte "koji je način brži"
Hipoteza: Trebam li znati tablicu množenja?
Relevantnost: Odnedavno studenti više vjeruju gadžetima nego sebi. I iz tog razloga računaju samo na kalkulatore. Željeli smo pokazati da postoje različiti načini množenja, kako bi učenicima bilo lakše brojati i zanimljivo podučavati.
UVOD
Ne možete množiti višecifrene brojeve - čak ni dvocifrene - osim ako ne zapamtite napamet sve rezultate množenja jednocifrenih brojeva, odnosno onoga što se zove tablica množenja.
U različito vrijeme, različiti narodi posjedovali su različite načine množenja prirodnih brojeva.
Zašto sada svi narodi koriste jednu metodu množenja "kolona"?
Zašto su ljudi napustili stare načine umnožavanja u korist modernih?
Imaju li zaboravljene metode množenja pravo na postojanje u naše vrijeme?
Da bih odgovorio na ova pitanja, uradio sam sljedeće:
1. Uz pomoć interneta pronašao sam informacije o nekim od ranije korištenih metoda množenja.;
2. Proučavao literaturu koju je predložio nastavnik;
3. Na sve načine koje sam proučavao riješio sam nekoliko primjera da bih otkrio njihove nedostatke;
4) identifikovali najefikasnije među njima;
5. Proveden eksperiment;
6. Izvukao zaključke.
1. Pronađite i analizirajte različite načine množenja.
Množenje na prstima.

Staroruska metoda množenja na prstima jedna je od najčešćih metoda koju su ruski trgovci uspješno koristili vekovima. Na prste su naučili da množe jednocifrene brojeve od 6 do 9. Istovremeno, bilo je dovoljno da savladaju početne vještine brojanja prstiju "jedinice", "parice", "trojke", "četvorke", "petice". ” i „desetice”. Prsti su ovdje služili kao pomoćni računarski uređaj.

Metode množenja brojeva u različitim zemljama

Množenje sa 9.

Množenje za broj 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - lakše se nestaje iz memorije i teže ga je ručno ponovo izračunati metodom sabiranja, međutim, za broj 9 je množenje lako reprodukovano "na prstima". Raširite prste na obe ruke i okrenite dlanove od sebe. Mentalno dodijelite prstima brojeve od 1 do 10 redom, počevši od malog prsta lijeve ruke i završavajući malim prstom desne ruke (ovo je prikazano na slici).

Ko je izmislio množenje na prstima

Recimo da želimo pomnožiti 9 sa 6. Savijte prst sa brojem jednakim broju kojim ćemo pomnožiti devet. U našem primjeru trebate saviti prst broj 6. Broj prstiju lijevo od savijenog prsta pokazuje nam broj desetica u odgovoru, broj prstiju desno je broj jedinica. Na lijevoj strani imamo 5 nesavijenih prstiju, na desnoj - 4 prsta. Dakle 9 6 = 54. Na slici ispod prikazan je cijeli princip "kalkulacije" u detalje.

Množenje na neobičan način

Drugi primjer: trebate izračunati 9 8 = ?. Usput, recimo da prsti na rukama ne moraju nužno djelovati kao "mašina za računanje". Uzmite, na primjer, 10 ćelija u bilježnici. Precrtajte 8. kvadratić. Na lijevoj je 7 ćelija, na desnoj 2 ćelije. Dakle 9 8 = 72. Sve je vrlo jednostavno.

7 ćelija 2 ćelije.

Indijski način množenja.

Najvredniji doprinos riznici matematičkog znanja dat je u Indiji. Hindusi su predložili način na koji smo pisali brojeve koristeći deset znakova: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Indijanci su bili veoma dobri u brojanju. Smislili su vrlo jednostavan način množenja. Izvodili su množenje, počevši od najznačajnije znamenke, i zapisivali nepotpune radove odmah iznad množećeg, malo po malo. U ovom slučaju, najznačajnija cifra kompletnog proizvoda bila je odmah vidljiva i, osim toga, izostavljanje bilo koje cifre je isključeno. Znak množenja još nije bio poznat, pa su ostavili malu udaljenost između faktora. Na primjer, pomnožimo ih na način 537 sa 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

6
Množenje metodom "LITTLE CASTLE".

Množenje brojeva sada se uči u prvom razredu škole. Ali u srednjem vijeku, vrlo malo njih je savladalo umjetnost množenja. Rijetki aristokrata mogao bi se pohvaliti da poznaje tablicu množenja, čak i ako je diplomirao na europskom univerzitetu.

Tokom milenijuma razvoja matematike, izmišljeni su mnogi načini množenja brojeva. Italijanski matematičar Luca Pacioli, u svojoj raspravi Zbir znanja u aritmetici, odnosima i proporcionalnosti (1494), daje osam različitih metoda množenja. Prvi od njih se zove "Mali dvorac", a drugi je ništa manje romantičan naziv "Ljubomora ili množenje rešetki".

Prednost metode množenja "Mali dvorac" je u tome što se cifre najznačajnijih cifara određuju od samog početka, a to je važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.

Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i upisuju u kolonu uz dodavanje potrebnog broja nula. Rezultati se zatim zbrajaju.

Metode množenja brojeva u različitim zemljama

Množenje brojeva metodom "ljubomore".

"Metode množenja Druga metoda se romantično naziva ljubomora" ili "množenje mreže".

Prvo se nacrta pravougaonik, podijeljen na kvadrate, a dimenzije stranica pravokutnika odgovaraju broju decimalnih mjesta za množitelj i množilac. Zatim se kvadratne ćelije dijele dijagonalno i "... slika izgleda kao rešetkasta kapka-žaluzija", piše Pacioli. „Takvi kapci su bili okačeni na prozore venecijanskih kuća, pa je prolaznicima na ulici bilo teško da vide dame i časne sestre kako sjede na prozorima.“

Pomnožimo na ovaj način 347 sa 29. Nacrtaj tabelu, zapiši iznad nje broj 347, a desno broj 29.

U svaki red upisujemo proizvod brojeva iznad ove ćelije i desno od nje, dok je broj desetica proizvoda upisan iznad kose crte, a broj jedinica - ispod nje. Sada dodajemo brojeve u svaku kosu traku, izvodeći ovu operaciju, s desna na lijevo. Ako je iznos manji od 10, onda ga upisujemo ispod donjeg broja trake. Ako se pokaže da je više od 10, tada pišemo samo broj jedinica zbroja, a sljedećem iznosu dodajemo broj desetica. Kao rezultat, dobijamo željeni proizvod 10063.

Seljački način množenja.

Najviše, po mom mišljenju, "domaći" i najlakši način množenja je metoda koju koriste ruski seljaci. Ova tehnika ne zahtijeva poznavanje tablice množenja izvan broja 2. Njena suština je da se množenje bilo koja dva broja svodi na niz uzastopnih dijeljenja jednog broja na pola uz istovremeno udvostručavanje drugog broja. Dijeljenje na pola se nastavlja sve dok količnik ne bude 1, dok se paralelno udvostručuje još jedan broj. Posljednji udvostručeni broj daje željeni rezultat.

U slučaju neparnog broja, odbacite jedan, a ostatak podijelite na pola; ali s druge strane, posljednjem broju desnog stupca bit će potrebno dodati sve one brojeve ove kolone koji stoje naspram neparnih brojeva lijevog stupca: zbir će biti željeni proizvod

Proizvod svih parova odgovarajućih brojeva je, dakle, isti

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

U slučaju kada je jedan od brojeva neparan ili su oba broja neparna, postupite na sljedeći način:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Novi način množenja.

Zanimljiv novi način množenja, o kojem su nedavno postojali izvještaji. Vasilij Okonešnjikov, pronalazač novog sistema usmenog brojanja, kandidat filozofskih nauka, tvrdi da je osoba u stanju da zapamti ogromnu količinu informacija, glavna stvar je kako te informacije rasporediti. Prema samom naučniku, najpovoljniji u tom pogledu je devetostruki sistem - svi podaci su jednostavno smešteni u devet ćelija, smeštenih kao dugmad na kalkulatoru.

Iz takve tabele je vrlo lako računati. Na primjer, pomnožimo broj 15647 sa 5. U dijelu tabele koji odgovara pet, odaberite brojeve koji odgovaraju ciframa broja po redu: jedan, pet, šest, četiri i sedam. Dobijamo: 05 25 30 20 35

Ostavljamo lijevu cifru (u našem primjeru, nulu) nepromijenjenu, i dodajemo sljedeće brojeve u parovima: pet sa dva, pet sa tri, nula sa dva, nula sa tri. Posljednja brojka je također nepromijenjena.

Kao rezultat, dobijamo: 078235. Broj 78235 je rezultat množenja.

Ako se pri sabiranju dvije cifre dobije broj veći od devet, tada se njegova prva znamenka dodaje prethodnoj cifri rezultata, a druga se upisuje na njeno "pravilno" mjesto.

Zaključak.

Radeći na ovoj temi, naučio sam da postoji 30-ak različitih, smiješnih i zanimljivih načina množenja. Neki se još uvijek koriste u raznim zemljama. Za sebe sam odabrao nekoliko zanimljivih načina. Ali nisu sve metode zgodne za korištenje, posebno kada se množe višecifreni brojevi.

Metode množenja

Skinuti:

Pregled:

Pregled:

Slični članci