Dom » ljepota » Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi sa potencijama. Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi sa potencijama. Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe

Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

Rješavanje trigonometrijskih jednačina bilo kojeg nivoa složenosti na kraju se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. I u ovome se trigonometrijski krug opet ispostavlja kao najbolji asistent.

Prisjetimo se definicija kosinusa i sinusa.

Kosinus ugla je apscisa (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.

Sinus ugla je ordinata (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.

Pozitivan smjer kretanja na trigonometrijskom krugu je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rotacija od 0 stepeni (ili 0 radijana) odgovara tački sa koordinatama (1;0)

Koristimo ove definicije za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

1. Riješite jednačinu

Ovu jednačinu zadovoljavaju sve vrijednosti ugla rotacije koje odgovaraju tačkama na kružnici čija je ordinata jednaka .

Označimo tačku sa ordinatom na ordinatnoj osi:

Nacrtajte vodoravnu liniju paralelnu s x-osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobijamo dvije tačke koje leže na kružnici i imaju ordinatu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:

Ako, ostavljajući tačku koja odgovara kutu rotacije po radijanu, obiđemo puni krug, tada ćemo doći do točke koja odgovara kutu rotacije po radijanu i ima istu ordinatu. To jest, ovaj kut rotacije također zadovoljava našu jednačinu. Možemo napraviti onoliko „praznih“ okretaja koliko želimo, vraćajući se na istu tačku, a sve ove vrijednosti uglova će zadovoljiti našu jednadžbu. Broj obrtaja u praznom hodu će biti označen slovom (ili). Budući da možemo napraviti ove okrete iu pozitivnom iu negativnom smjeru, (ili) možemo poprimiti bilo koje cjelobrojne vrijednosti.

To jest, prva serija rješenja originalne jednadžbe ima oblik:

, , - skup cijelih brojeva (1)

Slično, druga serija rješenja ima oblik:

, Gdje , . (2)

Kao što ste mogli pretpostaviti, ova serija rješenja temelji se na tački na kružnici koja odgovara kutu rotacije za .

Ove dvije serije rješenja mogu se kombinirati u jedan unos:

Ako uzmemo (tj. čak) u ovom unosu, onda ćemo dobiti prvu seriju rješenja.

Ako uzmemo (tj. neparno) u ovom unosu, onda ćemo dobiti drugu seriju rješenja.

2. Sada riješimo jednačinu

Pošto je ovo apscisa tačke na jediničnom krugu dobijenom rotacijom kroz ugao, tačku označavamo apscisom na osi:

Nacrtajte okomitu liniju paralelnu osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobićemo dve tačke koje leže na kružnici i imaju apscisu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima. Podsjetimo da kada se krećemo u smjeru kazaljke na satu dobivamo negativan kut rotacije:

Zapišimo dvije serije rješenja:

(Do željene tačke dolazimo tako što idemo iz glavnog punog kruga, tj.

Kombinirajmo ove dvije serije u jedan unos:

3. Riješite jednačinu

Tangentna linija prolazi kroz tačku sa koordinatama (1,0) jedinične kružnice paralelne sa OY osom

Označimo tačku na njoj ordinatom jednakom 1 (tražimo tangentu čiji su uglovi jednaki 1):

Povežimo ovu tačku sa ishodištem koordinata pravom linijom i označimo tačke preseka linije jediničnim krugom. Točke preseka prave linije i kružnice odgovaraju uglovima rotacije na i :

Budući da točke koje odgovaraju uglovima rotacije koje zadovoljavaju našu jednadžbu leže jedna od druge na udaljenosti od radijana, rješenje možemo napisati na sljedeći način:

4. Riješite jednačinu

Prava kotangensa prolazi kroz tačku sa koordinatama jedinične kružnice paralelne osi.

Označimo tačku sa apscisom -1 na liniji kotangensa:

Povežimo ovu tačku sa ishodištem prave linije i nastavimo je dok se ne ukrsti sa kružnicom. Ova ravna linija će presjeći krug u tačkama koje odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:

Budući da su ove točke odvojene jedna od druge razmakom jednakom , možemo zapisati općenito rješenje ove jednadžbe na sljedeći način:

U navedenim primjerima koji ilustruju rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi korištene su tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Međutim, ako desna strana jednadžbe sadrži vrijednost koja nije tabela, tada vrijednost zamjenjujemo u opšte rješenje jednadžbe:

POSEBNA RJEŠENJA:

Označimo tačke na kružnici čija je ordinata 0:

Označimo jednu tačku na kružnici čija je ordinata 1:

Označimo jednu tačku na krugu čija je ordinata jednaka -1:

Budući da je uobičajeno naznačiti vrijednosti najbliže nuli, rješenje pišemo na sljedeći način:

Označimo tačke na kružnici čija je apscisa jednaka 0:

5.
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka 1:

Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka -1:

I malo složeniji primjeri:

Sinus je jednak jedan ako je argument jednak

Argument našeg sinusa je jednak, pa dobijamo:

Podijelimo obje strane jednakosti sa 3:

odgovor:

Kosinus je nula ako je argument kosinusa jednak

Argument našeg kosinusa je jednak , pa dobijamo:

Izrazimo , da bismo to učinili prvo se pomaknemo udesno sa suprotnim predznakom:

Pojednostavimo desnu stranu:

Podijelite obje strane sa -2:

Imajte na umu da se predznak ispred pojma ne mijenja, jer k može poprimiti bilo koju cjelobrojnu vrijednost.

odgovor:

I na kraju, pogledajte video lekciju "Odabir korijena u trigonometrijskoj jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga"

Ovo završava naš razgovor o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Sljedeći put ćemo razgovarati o tome kako odlučiti.

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednačine, razlomke i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je utvrditi koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom zavisi od toga koliko je tačno određena vrsta jednačine koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.

Situacija je drugačija sa trigonometrijske jednačine. Nije nimalo teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njen tip na osnovu izgleda jednačine. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.

Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna zamjena

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stiču proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Složenije trigonometrijske jednadžbe

Jednačine

grijeh x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

su najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. U ovom dijelu ćemo pogledati složenije trigonometrijske jednadžbe koristeći konkretne primjere. Njihovo rješenje se po pravilu svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Primjer 1 . Riješite jednačinu

grijeh 2 X=cos X grijeh 2 x.

Prenoseći sve članove ove jednačine na lijevu stranu i faktoring rezultujući izraz, dobijamo:

grijeh 2 X(1 - koz X) = 0.

Proizvod dva izraza jednak je nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli, a drugi ima bilo koju numeričku vrijednost, sve dok je definiran.

Ako grijeh 2 X = 0 , zatim 2 X= n π ; X = π / 2n.

Ako 1 - cos X = 0 , zatim cos X = 1; X = 2kπ .

Dakle, imamo dvije grupe korijena: X = π / 2n; X = 2kπ . Druga grupa korijena očito je sadržana u prvoj, budući da je za n = 4k izraz X = π / 2n postaje
X = 2kπ .

Dakle, odgovor se može napisati u jednoj formuli: X = π / 2n, Gdje n- bilo koji cijeli broj.

Imajte na umu da se ova jednačina ne može riješiti smanjenjem za sin 2 x. Zaista, nakon redukcije dobili bismo 1 - cos x = 0, odakle X= 2k π . Tako bismo, na primjer, izgubili neke korijene π / 2 , π , 3π / 2 .

Primjer 2. Riješite jednačinu

Razlomak je jednak nuli samo ako mu je brojilac jednak nuli.
Zbog toga grijeh 2 X = 0 , odakle 2 X= n π ; X = π / 2n.

Iz ovih vrijednosti X morate izbaciti kao vanjske one vrijednosti na kojima grijehX ide na nulu (razlomci sa nultim nazivnicima nemaju značenje: podjela nulom je nedefinirana). Ove vrijednosti su brojevi koji su višestruki π . U formuli
X = π / 2n dobijaju se za par n. Stoga će korijeni ove jednadžbe biti brojevi

X = π / 2 (2k + 1),

gdje je k bilo koji cijeli broj.

Primjer 3 . Riješite jednačinu

2 grijeh 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

Hajde da se izrazimo grijeh 2 X kroz cosx : grijeh 2 X = 1 - cos 2x . Tada se ova jednačina može prepisati kao

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , ili

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Određivanje cosx kroz at, dolazimo do kvadratne jednačine

2u 2 - 7u + 3 = 0,

čiji su korijeni brojevi 1/2 i 3. To znači da ili cos x= 1 / 2, ili cos X= 3. Međutim, ovo drugo je nemoguće, jer kosinus bilo kojeg ugla ne prelazi 1 u apsolutnoj vrijednosti.

Ostaje da se to prizna cos x = 1 / 2 , gdje

x = ± 60° + 360° n.

Primjer 4 . Riješite jednačinu

2 sin X+ 3cos x = 6.

Od grijeha x i cos x u apsolutnoj vrijednosti ne prelaze 1, tada izraz
2 sin X+ 3cos x ne može uzeti vrijednosti veće od 5 . Dakle, ova jednadžba nema korijen.

Primjer 5 . Riješite jednačinu

grijeh X+cos x = 1

Kvadriranjem obe strane ove jednačine dobijamo:

grijeh 2 X+ 2 sin x cos x+ cos 2 x = 1,

Ali grijeh 2 X + cos 2 x = 1 . Zbog toga 2 sin x cos x = 0 . Ako grijeh x = 0 , To X = nπ ; ako
cos x , To X = π / 2 + kπ . Ove dvije grupe rješenja mogu se napisati u jednoj formuli:

X = π / 2n

Budući da smo kvadrirali obje strane ove jednadžbe, moguće je da među korijenima koje smo dobili postoje strani korijeni. Zato je u ovom primjeru, za razliku od svih prethodnih, potrebno izvršiti provjeru. Sva značenja

X = π / 2n mogu se podijeliti u 4 grupe

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X *= π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X *= 3π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 3)

At X = 2kπ grijeh x+cos x= 0 + 1 = 1. Prema tome, X = 2kπ su korijeni ove jednadžbe.

At X = π / 2 + 2kπ. grijeh x+cos x= 1 + 0 = 1 Dakle X = π / 2 + 2kπ- takođe koreni ove jednačine.

At X = π + 2kπ grijeh x+cos x= 0 - 1 = - 1. Dakle, vrijednosti X = π + 2kπ nisu korijeni ove jednadžbe. Slično je pokazano da X = 3π / 2 + 2kπ. nisu korijeni.

Dakle, ova jednadžba ima sljedeće korijene: X = 2kπ I X = π / 2 + 2mπ., Gdje k I m- bilo koji cijeli brojevi.

Ponekad je teško odrediti njen tip na osnovu izgleda jednačine. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.

Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna zamjena

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinus:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prelazak na pola ugla

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`grijeh (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Algebarska metoda.

Faktorizacija.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prelazak na pola ugla

Uvođenje pomoćnog ugla

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

Slični članci