Valemid logaritmiliste ja eksponentsiaalfunktsioonide eristamiseks. Arvutage tuletised logaritmilise tuletise abil. Logaritmilise tuletise omadus

Eksponent- ja logaritmifunktsioonide eristamine

1. Arv e Funktsioon y = e x, selle omadused, graafik, diferentseerimine

Vaatleme eksponentsiaalset funktsiooni y=a x, kus a > 1. Erinevate aluste a jaoks saame erinevad graafikud (joon. 232-234), kuid võite märgata, et need kõik läbivad punkti (0; 1), neil kõigil on horisontaalne asümptoot y = 0 juures , kõik need on kumeralt allapoole ja lõpuks on neil kõigil puutujad kõigis punktides. Joonistagem näiteks puutuja graafika funktsioon y=2x punktis x = 0 (joonis 232). Kui teete täpseid konstruktsioone ja mõõtmisi, saate veenduda, et see puutuja moodustab x-teljega 35° nurga (ligikaudu).

Nüüd joonistame funktsiooni y = 3 x graafikule puutuja, samuti punktis x = 0 (joonis 233). Siin on puutuja ja x-telje vaheline nurk suurem – 48°. Ja eksponentsiaalfunktsiooni jaoks y = 10 x sarnases
olukorras saame nurga 66,5° (joon. 234).

Seega, kui eksponentsiaalfunktsiooni y=ax alus a suureneb järk-järgult 2-lt 10-le, siis punktis x=0 oleva funktsiooni graafiku puutuja ja x-telje vaheline nurk suureneb järk-järgult 35°-lt 66,5-le. °. Loogiline on eeldada, et on olemas alus a, mille vastav nurk on 45°. See alus peab jääma arvude 2 ja 3 vahele, kuna funktsiooni y-2x puhul on meie suhtes huvipakkuv nurk 35°, mis on väiksem kui 45° ja funktsiooni y=3 x puhul on see 48°. , mis on juba veidi üle 45 °. Meid huvitavat alust tähistatakse tavaliselt tähega e. On kindlaks tehtud, et arv e on irratsionaalne, s.t. tähistab lõpmatut mitteperioodilist kümnendarvu murdosa:

e = 2,7182818284590...;

praktikas eeldatakse tavaliselt, et e=2,7.

Kommenteeri(mitte väga tõsine). On selge, et L.N. Tolstoil pole numbriga e midagi pistmist, kuid numbri e kirjutamisel pange tähele, et number 1828 kordub kaks korda järjest - L. N. sünniaasta. Tolstoi.

Funktsiooni y=e x graafik on näidatud joonisel fig. 235. See on eksponentsiaal, mis erineb teistest eksponentsiaalidest (teiste alustega eksponentsiaalfunktsioonide graafikud) selle poolest, et punktis x=0 graafiku puutuja ja x-telje vaheline nurk on 45°.

Funktsiooni y = e x omadused:

1)
2) ei ole paaris ega paaritu;
3) suureneb;
4) ülalt piiramata, alt piiratud;
5) ei oma suurimaid ega väikseimaid väärtusi;
6) pidev;
7)
8) kumer allapoole;
9) eristatav.

Tulge tagasi § 45 juurde, vaadake eksponentsiaalfunktsiooni y = a x omaduste loendit, kui a > 1. Leiate samad omadused 1-8 (mis on üsna loomulik) ja üheksanda omadusega seotud omadus.
funktsiooni diferentseeritavust me siis ei maininud. Arutame seda nüüd.

Tuletagem tuletise y-ex leidmiseks valem. Sel juhul me ei kasuta tavalist algoritmi, mille lõime välja § 32 ja mida on edukalt kasutatud rohkem kui üks kord. Selles algoritmis on viimases etapis vaja arvutada piir ja meie teadmised piiride teooriast on endiselt väga-väga piiratud. Seetõttu tugineme geomeetrilistele eeldustele, võttes eelkõige arvesse asjaolu, et eksponentsiaalfunktsiooni graafiku puutuja on kahtlemata olemas (seetõttu kirjutasime ülaltoodud omaduste loendisse üheksanda omaduse nii enesekindlalt üles - funktsiooni y = e x diferentseeritavus).

1. Pange tähele, et funktsiooni y = f(x), kus f(x) =ex, puhul teame juba tuletise väärtust punktis x =0: f / = tan45°=1.

2. Tutvustame funktsiooni y=g(x), kus g(x) -f(x-a), s.o. g(x)-ex" a. Joonisel 236 on kujutatud funktsiooni y = g(x) graafik: see saadakse funktsiooni y - fx) graafikult, nihutades piki x-telge |a| skaalaühikute võrra Funktsiooni y = g (x) graafiku puutuja punktis x-a on paralleelne funktsiooni y = f(x) graafiku puutujaga punktis x -0 (vt joonis 236), mis tähendab, et ta moodustab 45° nurk x-teljega.Tuletise geomeetrilist tähendust kasutades saame kirjutada , et g(a) =tg45°;=1.

3. Pöördume tagasi funktsiooni y = f(x) juurde. Meil on:

4. Oleme kindlaks teinud, et suvalise a väärtuse korral kehtib seos. A-tähe asemel võib loomulikult kasutada tähte x; siis saame

Sellest valemist saame vastava integreerimisvalemi:

A.G. Mordkovitši algebra 10. klass

Kalendri-temaatiline planeerimine matemaatikas, video matemaatikas võrgus, Matemaatika koolis allalaadimine

Tunni sisu tunnimärkmed toetavad raamtunni esitluskiirendusmeetodid interaktiivseid tehnoloogiaid Harjuta ülesanded ja harjutused enesetesti töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, diagrammid, huumor, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid nipid uudishimulikele hällid õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku fragmendi uuendamine, innovatsioonielemendid tunnis, vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid aasta kalenderplaan, metoodilised soovitused, aruteluprogrammid Integreeritud õppetunnid

Algebra ja matemaatilise analüüsi algus

Eksponent- ja logaritmifunktsioonide eristamine

Koostanud:

matemaatikaõpetaja, Munitsipaalharidusasutus Keskkool nr 203 KhEC

Novosibirski linn

Vidutova T.V.

Number e. Funktsioon y = e x, selle omadused, graafik, diferentseerimine

1. Koostame graafikud erinevate aluste jaoks: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2. valik) (1. valik) " width="640"

Mõelge eksponentsiaalfunktsioonile y = a x, kus a on 1.

Ehitame erinevatele alustele A graafika:

1. y = 2 x

3. y = 10 x

2. y = 3 x

(2. valik)

(1 valik)

1) Kõik graafikud läbivad punkti (0; 1);

2) Kõikidel graafikutel on horisontaalne asümptoot y = 0

juures X  ∞;

3) kõik need on kumeralt allapoole suunatud;

4) Neil kõigil on puutujad kõigis punktides.

Joonistame funktsiooni graafikule puutuja y = 2 x punktis X= 0 ja mõõta nurk, mille moodustab puutuja teljega X

Kasutades graafikute puutujate täpseid konstruktsioone, võite märgata, et kui alus A eksponentsiaalne funktsioon y = a x alus suureneb järk-järgult 2-lt 10-le, seejärel nurk funktsiooni graafiku puutuja vahel punktis X= 0 ja x-telg suureneb järk-järgult 35-lt 66,5-le.

Seetõttu on põhjust A, mille vastav nurk on 45’. Ja see on tähendus A sõlmitakse 2. ja 3. vahel, sest juures A= 2 nurk on 35', kusjuures A= 3, see on võrdne 48'ga.

Matemaatilise analüüsi käigus tõestatakse selle aluse olemasolu, tavaliselt tähistatakse seda tähega e.

Määras selle e – irratsionaalne arv, st see tähistab lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurdu:

e = 2,7182818284590… ;

Praktikas eeldatakse tavaliselt, et e ≈ 2,7.

Funktsioonigraafik ja omadused y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) suureneb;

4) ülalt piiramata, alt piiratud

5) ei oma ei suurimat ega väikseimat

väärtused;

6) pidev;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) kumer allapoole;

9) eristatav.

Funktsioon y = e x helistas eksponent .

Matemaatilise analüüsi käigus tõestati, et funktsioon y = e x on mis tahes punktis tuletis X :

(e x ) = e x

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4е -4x-1

Näide 1 . Joonistage funktsiooni graafikule puutuja punktis x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = nt

Vastus:

Näide 2 .

x = 3.

Näide 3 .

Uurige ekstreemumi funktsiooni

x=0 ja x=-2

X= -2 – maksimumpunkt

X= 0 – miinimumpunkt

Kui logaritmi alus on arv e, siis öeldakse, et on antud naturaallogaritm . Naturaallogaritmide jaoks on kasutusele võetud spetsiaalne tähistus ln (l – logaritm, n – naturaalne).

Funktsiooni y = ln x graafik ja omadused

Funktsiooni y = omadused lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) ei ole paaris ega paaritu;

3) suureneb (0; + ∞);

4) ei ole piiratud;

5) ei oma suurimaid ega väikseimaid väärtusi;

6) pidev;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) kumer ülaosa;

9) eristatav.

0 kehtib eristusvalem "width="640".

Matemaatilise analüüsi käigus on tõestatud, et iga väärtuse puhul x0 diferentseerimisvalem kehtib

Näide 4:

Arvutage funktsiooni tuletis punktis x = -1.

Näiteks:

Interneti-ressursid:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Tunni teema: “Eksponent- ja logaritmifunktsioonide eristamine. eksponentsiaalfunktsiooni antiderivaat" UNT ülesannetes

Sihtmärk : arendada õpilastes teoreetiliste teadmiste rakendamise oskusi teemal „Eksponent- ja logaritmifunktsioonide eristamine. Eksponentfunktsiooni antiderivaat" UNT probleemide lahendamiseks.

Ülesanded

Hariduslik: süstematiseerida õpilaste teoreetilisi teadmisi, kinnistada probleemilahendusoskusi sellel teemal.

Hariduslik: arendada mälu, vaatlust, loogilist mõtlemist, õpilaste matemaatilist kõnet, tähelepanu, enesehinnangut ja enesekontrolli oskusi.

Hariduslik: panustada:

vastutustundliku õppimisse suhtumise kujundamine õpilaste seas;

jätkusuutliku matemaatikahuvi arendamine;

positiivse sisemise motivatsiooni loomine matemaatika õppimiseks.

Õppemeetodid: verbaalne, visuaalne, praktiline.

Töö vormid: individuaalne, eesmine, paaris.

Tundide ajal

Epigraaf: "Meel ei seisne ainult teadmistes, vaid ka oskuses teadmisi praktikas rakendada" Aristoteles (slaid 2)

I. Organisatsioonimoment.

II. Ristsõna lahendamine. (slaid 3-21)

17. sajandi prantsuse matemaatik Pierre Fermat määratles selle joone kui "sirge, mis on punkti väikeses naabruses kõveraga kõige lähemal."

Tangent

Funktsioon, mis on antud valemiga y = log a x.

Logaritmiline

Funktsioon, mis on antud valemiga y = A X.

Soovituslik

Matemaatikas kasutatakse seda mõistet materiaalse punkti liikumiskiiruse ja funktsiooni graafiku puutuja nurkkoefitsiendi leidmiseks antud punktis.

Tuletis

Mis on funktsiooni F(x) nimi funktsiooni f(x) korral, kui tingimus F"(x) =f(x) on täidetud mis tahes punktis intervallist I.

Antiderivaat

Mis on X ja Y vahelise seose nimi, kus iga X element on seotud Y ühe elemendiga.

Nihke tuletis

Kiirus

Funktsioon, mis on antud valemiga y = e x.

Eksponent

Kui funktsiooni f(x) saab esitada kujul f(x)=g(t(x)), siis nimetatakse seda funktsiooni...

III. Matemaatiline dikteerimine (slaid 22)

1. Kirjutage üles eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valem. ( A x)" = A x ln a

2. Kirjuta üles eksponentsiaali tuletise valem. (e x)" = e x

3. Kirjutage üles naturaallogaritmi tuletise valem. (ln x)"=

4. Kirjutage üles logaritmilise funktsiooni tuletise valem. (log a x)"=

5. Kirjutage üles funktsiooni f(x) = antiderivaatide üldkuju A X. F(x)=

6. Kirjutage üles funktsiooni f(x) =, x≠0 antiderivaatide üldkuju. F(x)=ln|x|+C

Kontrolli oma tööd (vastused slaidil 23).

IV. UNT probleemide lahendamine (simulaator)

A) nr 1,2,3,6,10,36 tahvlil ja märkmikus (slaid 24)

B) Töö paaris nr 19,28 (simulaator) (slaid 25-26)

V. 1. Otsige vigu: (slaid 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x) = 17 2x, f "(x) = 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9–4x), f "(x)=
.

VI. Õpilaste esitlus.

Epigraaf: "Teadmised on nii väärtuslik asi, et pole häbi neid ühestki allikast hankida." Thomas Aquinas (slaid 28)

VII. Kodutöö nr 19,20 lk.116

VIII. Test (reservülesanne) (slaid 29-32)

IX. Tunni kokkuvõte.

“Kui tahad suures elus osaleda, siis täitke oma pead matemaatikaga, kuni teil selleks võimalus on. Siis saab ta teile kogu elu suureks abiks.” M. Kalinin (slaid 33)

Valmis tööd

KRAADITÖÖD

Palju on juba möödas ja nüüd olete lõpetaja, kui muidugi kirjutate lõputöö õigel ajal. Aga elu on selline, et alles nüüd saab sulle selgeks, et olles lõpetanud tudeng-olemise, kaotad sa kõik tudengirõõmud, millest paljusid sa pole kunagi proovinud, lükates kõik edasi ja lükates hilisemaks. Ja nüüd, selle asemel, et järele jõuda, töötate oma lõputöö kallal? Siin on suurepärane lahendus: laadige meie veebisaidilt alla vajalik lõputöö - ja teil on koheselt palju vaba aega!
Lõputööd on edukalt kaitstud Kasahstani Vabariigi juhtivates ülikoolides.
Tööde maksumus alates 20 000 tenge

KURSUSE TÖÖD

Kursuseprojekt on esimene tõsine praktiline töö. Just kursusetööde kirjutamisega algab ettevalmistus diplomiprojektide väljatöötamiseks. Kui üliõpilane õpib kursuseprojektis teema sisu õigesti esitama ja asjatundlikult vormistama, siis edaspidi ei teki tal probleeme aruannete kirjutamise ega lõputööde koostamise ega muude praktiliste ülesannete täitmisega. Selleks, et aidata õpilasi seda tüüpi õpilastööde kirjutamisel ja selgitada selle koostamisel tekkivaid küsimusi, loodi see teabejaotis.
Tööde maksumus alates 2500 tenge

MAGISTRITÖÖD

Praegu on Kasahstani ja SRÜ riikide kõrgkoolides väga levinud bakalaureuse kraadile järgnev erialase kõrghariduse tase - magistrikraad. Magistriõppes õpivad üliõpilased eesmärgiga omandada magistrikraad, mida tunnustatakse enamikus maailma riikides rohkem kui bakalaureusekraadi ning mida tunnustavad ka välismaised tööandjad. Magistriõppe tulemuseks on magistritöö kaitsmine.
Pakume Sulle ajakohast analüütilist ja tekstilist materjali, hind sisaldab 2 teadusartiklit ja referaadi.
Tööde maksumus alates 35 000 tenge

PRAKTIKAARUANDED

Pärast mistahes tüüpi üliõpilaste praktika (haridus-, tööstus-, eelõppe) läbimist on nõutav aruanne. See dokument on üliõpilase praktilise töö kinnitus ja praktika hinnangu kujundamise aluseks. Tavaliselt tuleb praktikaaruande koostamiseks koguda ja analüüsida ettevõtte kohta käivat infot, arvestada praktika toimumise organisatsiooni struktuuri ja töörutiini, koostada kalenderplaan ning kirjeldada oma praktilist tegevust. tegevused.
Aitame koostada praktika kohta aruande, arvestades konkreetse ettevõtte tegevuse spetsiifikat.

Eksponentvõimsusfunktsioonide või tülikate murdosaavaldiste eristamisel on mugav kasutada logaritmilist tuletist. Selles artiklis vaatleme selle rakenduse näiteid koos üksikasjalike lahendustega.

Edasine esitlus eeldab tuletiste tabeli, diferentseerimisreeglite kasutamise oskust ja kompleksfunktsiooni tuletise valemi tundmist.

Logaritmituletise valemi tuletamine.

Esiteks võtame logaritmid alusele e, lihtsustame funktsiooni vormi logaritmi omaduste abil ja seejärel leiame kaudselt määratud funktsiooni tuletise:

Näiteks leiame eksponentsiaalse võimsusfunktsiooni x tuletise astmest x.

Logaritmide võtmine annab . Vastavalt logaritmi omadustele. Võrdsuse mõlema poole eristamine viib tulemuseni:

Vastus: .

Sama näidet saab lahendada ka ilma logaritmilist tuletist kasutamata. Saate teha mõningaid teisendusi ja liikuda eksponentsiaalse võimsusfunktsiooni diferentseerimiselt keeruka funktsiooni tuletise leidmisele:

Näide.

Leia funktsiooni tuletis .

Lahendus.

Selles näites funktsioon on murd ja selle tuletise saab leida diferentseerimisreeglite abil. Kuid väljendi kohmakuse tõttu nõuab see palju teisendusi. Sellistel juhtudel on mõistlikum kasutada logaritmilist tuletise valemit . Miks? Sa saad nüüd aru.

Leiame selle kõigepealt üles. Teisendustes kasutame logaritmi omadusi (murru logaritm võrdub logaritmide vahega ja korrutise logaritm on võrdne logaritmide summaga ning logaritmi märgi all oleva avaldise aste võib olla välja võetud koefitsiendina logaritmi ees):

Need teisendused viisid meid üsna lihtsa avaldiseni, mille tuletist on lihtne leida:

Asendame saadud tulemuse logaritmilise tuletise valemiga ja saame vastuse:

Materjali koondamiseks toome veel paar näidet ilma üksikasjalike selgitusteta.

Näide.

Leidke eksponentsiaalse võimsusfunktsiooni tuletis