Formule za razlikovanje logaritamskih i eksponencijalnih funkcija. Izračunajte derivate koristeći logaritamski izvod. Svojstvo logaritamskog izvoda

Razlikovanje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

1. Broj e. Funkcija y = e x, njena svojstva, graf, diferencijacija

Razmotrimo eksponencijalnu funkcija y=a x, gdje je a > 1. Za različite baze a dobijamo različite grafove (sl. 232-234), ali možete primijetiti da svi prolaze kroz tačku (0; 1), svi imaju horizontalnu asimptotu y = 0 na , svi su konveksno okrenuti prema dolje i, konačno, svi imaju tangente u svim svojim tačkama. Nacrtajmo, na primjer, tangentu na grafika funkcija y=2x u tački x = 0 (Sl. 232). Ako napravite precizne konstrukcije i mjerenja, možete osigurati da ova tangenta formira ugao od 35° (približno) sa x-osom.

Sada nacrtajmo tangentu na graf funkcije y = 3 x, također u tački x = 0 (slika 233). Ovdje će ugao između tangente i x-ose biti veći - 48°. I za eksponencijalnu funkciju y = 10 x u sličnom
situaciji dobijamo ugao od 66,5° (Sl. 234).

Dakle, ako se baza a eksponencijalne funkcije y=ax postepeno povećava od 2 do 10, tada se ugao između tangente na graf funkcije u tački x=0 i x-ose postepeno povećava od 35° do 66,5 °. Logično je pretpostaviti da postoji osnova a kojoj je odgovarajući ugao 45°. Ova baza mora biti zatvorena između brojeva 2 i 3, jer za funkciju y-2x ugao koji nas zanima iznosi 35°, što je manje od 45°, a za funkciju y=3 x je jednako 48°. , što je već nešto više od 45°. Osnovu koja nas zanima obično označavamo slovom e. Ustanovljeno je da je broj e iracionalan, tj. predstavlja beskonačan decimalni neperiodični frakcija:

e = 2,7182818284590...;

u praksi se obično pretpostavlja da je e=2,7.

Komentar(nije baš ozbiljno). Jasno je da je L.N. Tolstoj nema nikakve veze sa brojem e, međutim, u pisanju broja e, imajte na umu da se broj 1828 ponavlja dva puta zaredom - godina rođenja L.N. Tolstoj.

Grafikon funkcije y=e x prikazan je na sl. 235. Ovo je eksponencijal koji se razlikuje od ostalih eksponencijala (grafova eksponencijalnih funkcija sa drugim bazama) po tome što je ugao između tangente na graf u tački x=0 i x-ose 45°.

Svojstva funkcije y = e x:

1)
2) nije ni paran ni neparan;
3) povećanja;
4) nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo;
5) nema ni najveću ni najmanju vrednost;
6) kontinuirano;
7)
8) konveksno nadole;
9) diferencibilan.

Vratite se na § 45, pogledajte listu svojstava eksponencijalne funkcije y = a x za a > 1. Naći ćete ista svojstva 1-8 (što je sasvim prirodno), a deveto svojstvo povezano sa
tada nismo spomenuli diferencijabilnost funkcije. Hajde da razgovaramo o tome sada.

Izvedemo formulu za pronalaženje izvoda y-ex. U ovom slučaju nećemo koristiti uobičajeni algoritam, koji smo razvili u § 32 i koji je uspješno korišten više puta. U ovom algoritmu je u završnoj fazi potrebno izračunati granicu, a naše znanje o teoriji granica je još uvijek vrlo, vrlo ograničeno. Stoga ćemo se osloniti na geometrijske premise, s obzirom, posebno, na samu činjenicu postojanja tangente na graf eksponencijalne funkcije bez sumnje (zato smo tako samouvjereno zapisali deveto svojstvo u gornjoj listi svojstava - diferencijabilnost funkcije y = e x).

1. Imajte na umu da za funkciju y = f(x), gdje je f(x) =ex, već znamo vrijednost derivacije u tački x =0: f / = tan45°=1.

2. Uvedimo funkciju y=g(x), gdje je g(x) -f(x-a), tj. g(x)-ex" a. Slika 236 prikazuje grafik funkcije y = g(x): dobija se iz grafika funkcije y - fx) pomeranjem duž x ose za |a| jedinice skale Tangenta na graf funkcije y = g (x) u tački x-a je paralelna sa tangentom na graf funkcije y = f(x) u tački x -0 (vidi sliku 236), što znači da formira ugao od 45° sa osom x. Koristeći geometrijsko značenje derivacije, možemo napisati da je g(a) =tg45°;=1.

3. Vratimo se na funkciju y = f(x). Imamo:

4. Utvrdili smo da je za bilo koju vrijednost a relacija važeća. Umjesto slova a, možete, naravno, koristiti slovo x; onda dobijamo

Iz ove formule dobijamo odgovarajuću formulu integracije:

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje

Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu, metodološke preporuke, programi diskusije Integrisane lekcije

Algebra i početak matematičke analize

Razlikovanje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Sastavio:

nastavnik matematike, Opštinska obrazovna institucija Srednja škola br. 203 KhEC

Novosibirsk grad

Vidutova T.V.

Broj e. Funkcija y = e x, njegova svojstva, graf, diferencijacija

1. Napravimo grafikone za različite baze: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2. opcija) (1. opcija) " width="640"

Razmotrimo eksponencijalnu funkciju y = a x, gdje je a 1.

Gradićemo za razne baze A grafika:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(Opcija 2)

(1 opcija)

1) Svi grafovi prolaze kroz tačku (0; 1);

2) Svi grafovi imaju horizontalnu asimptotu y = 0

at X  ∞;

3) Svi su konveksno okrenuti nadole;

4) Svi imaju tangente u svim svojim tačkama.

Nacrtajmo tangentu na graf funkcije y=2 x u tački X= 0 i izmjeriti ugao koji formira tangenta sa osom X

Koristeći precizne konstrukcije tangenti na grafove, možete primijetiti da ako je baza A eksponencijalna funkcija y = a x baza se postepeno povećava od 2 do 10, a zatim kut između tangente na graf funkcije u tački X= 0 i x-osa se postepeno povećava sa 35’ na 66,5’.

Stoga postoji razlog A, za koji je odgovarajući ugao 45’. I ovo je smisao A se zaključuje između 2 i 3, jer at A= 2 ugao je 35’, sa A= 3 jednako je 48’.

U toku matematičke analize dokazuje se da ovaj temelj postoji, obično se označava slovom e.

Odlučio to e – iracionalan broj, tj. predstavlja beskonačan neperiodični decimalni razlomak:

e = 2,7182818284590… ;

U praksi se obično pretpostavlja da e ≈ 2,7.

Funkcijski graf i svojstva y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) povećanja;

4) nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo

5) nema ni najvećeg ni najmanjeg

vrijednosti;

6) kontinuirano;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) konveksno nadole;

9) diferencibilan.

Funkcija y = e x pozvao eksponent .

U toku matematičke analize dokazano je da funkcija y = e x ima derivat u bilo kojoj tački X :

(e x ) = e x

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4e -4x-1

Primjer 1 . Nacrtajte tangentu na graf funkcije u tački x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = pr

odgovor:

Primjer 2 .

x = 3.

Primjer 3 .

Ispitajte funkciju ekstrema

x=0 i x=-2

X= -2 – maksimalna tačka

X= 0 – minimalna tačka

Ako je osnova logaritma broj e, onda kažu da je dato prirodni logaritam . Za prirodne logaritme uvedena je posebna notacija ln (l – logaritam, n – prirodan).

Grafikon i svojstva funkcije y = ln x

Svojstva funkcije y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) nije ni paran ni neparan;

3) raste za (0; + ∞);

4) nije ograničeno;

5) nema ni najveću ni najmanju vrednost;

6) kontinuirano;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) konveksni vrh;

9) diferencibilan.

0 formula diferencijacije "width="640" je važeća

U toku matematičke analize dokazano je da za bilo koju vrijednost x0 formula diferencijacije je važeća

Primjer 4:

Izračunajte derivaciju funkcije u tački x = -1.

Na primjer:

Internet resursi:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Tema lekcije: „Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije" u UNT zadacima

Target : razvijati vještine učenika u primjeni teorijskih znanja na temu „Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije" za rješavanje UNT problema.

Zadaci

edukativni: sistematizirati teorijska znanja učenika, konsolidirati vještine rješavanja problema na ovu temu.

edukativni: razvijati pamćenje, zapažanje, logičko mišljenje, matematički govor učenika, pažnju, samopoštovanje i sposobnosti samokontrole.

edukativni: doprinijeti:

razvijanje odgovornog odnosa prema učenju kod učenika;

razvoj održivog interesovanja za matematiku;

stvaranje pozitivne unutrašnje motivacije za učenje matematike.

Metode nastave: verbalno, vizuelno, praktično.

Oblici rada: individualno, frontalno, u paru.

Tokom nastave

Epigraf: „Um nije samo u znanju, već i u sposobnosti da se znanje primeni u praksi“ Aristotel (slajd 2)

I. Organizacioni momenat.

II. Rješavanje ukrštenice. (slajd 3-21)

Francuski matematičar iz 17. veka Pierre Fermat definisao je ovu liniju kao „pravu liniju koja je najbliža krivoj u malom kraju tačke“.

Tangenta

Funkcija koja je data formulom y = log a x.

Logaritamski

Funkcija koja je data formulom y = A X.

Indikativno

U matematici se ovaj koncept koristi za pronalaženje brzine kretanja materijalne tačke i ugaonog koeficijenta tangente na graf funkcije u datoj tački.

Derivat

Kako se zove funkcija F(x) za funkciju f(x), ako je uslov F"(x) =f(x) zadovoljen za bilo koju tačku iz intervala I.

Antiderivativ

Kako se zove odnos između X i Y, u kojem je svaki element X povezan s jednim elementom Y.

Derivat pomaka

Brzina

Funkcija koja je data formulom y = e x.

Izlagač

Ako se funkcija f(x) može predstaviti kao f(x)=g(t(x)), tada se ova funkcija naziva...

III. Matematički diktat (slajd 22)

1. Zapišite formulu za izvod eksponencijalne funkcije. ( A x)" = A x ln a

2. Zapišite formulu za izvod eksponencijala. (e x)" = e x

3. Zapišite formulu za izvod prirodnog logaritma. (ln x)"=

4. Zapišite formulu za izvod logaritamske funkcije. (log a x)"=

5. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = A X. F(x)=

6. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Provjerite svoj rad (odgovori na slajdu 23).

IV. Rješavanje UNT problema (simulator)

A) Br. 1,2,3,6,10,36 na tabli i u svesci (slajd 24)

B) Rad u parovima br. 19,28 (simulator) (slajd 25-26)

V. 1. Pronađi greške: (slajd 27)

1) f(x)=5 e – 3h, f "(x)= – 3 e – 3h

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4h), f "(x)=
.

VI. Studentska prezentacija.

Epigraf: „Znanje je toliko dragoceno da ga nije sramota dobiti iz bilo kog izvora“ Toma Akvinski (slajd 28)

VII. Domaća zadaća br. 19,20 str.116

VIII. Test (rezervni zadatak) (slajd 29-32)

IX. Sažetak lekcije.

“Ako želite da učestvujete u velikom životu, onda punite glavu matematikom dok imate priliku. Ona će vam tada pružiti veliku pomoć tokom života” M. Kalinjin (slajd 33)

Završeni radovi

DEGREE WORKS

Mnogo toga je već prošlo i sada ste diplomirani, ako, naravno, napišete tezu na vrijeme. Ali život je takva stvar da ti tek sada postaje jasno da ćeš, prestajući da budeš student, izgubiti sve studentske radosti, od kojih mnoge nikada nisi probao, odlažući sve i odlažući za kasnije. I sada, umjesto da sustižete, radite na svojoj tezi? Postoji odlično rješenje: preuzmite tezu koja vam je potrebna s naše web stranice - i odmah ćete imati puno slobodnog vremena!
Teze su uspješno odbranjene na vodećim univerzitetima Republike Kazahstan.
Trošak rada od 20.000 tenge

RADOVI NA PREDMETU

Kursni projekat je prvi ozbiljniji praktični rad. Upravo sa pisanjem predmeta počinje priprema za izradu diplomskih projekata. Ako student nauči pravilno predstaviti sadržaj teme u predmetnom projektu i kompetentno ga formatirati, u budućnosti neće imati problema s pisanjem izvještaja, sastavljanjem teza ili obavljanjem drugih praktičnih zadataka. U cilju pomoći studentima u pisanju ove vrste studentskog rada i razjašnjenja pitanja koja se javljaju tokom njegove izrade, zapravo je kreirana ova informativna rubrika.
Trošak rada od 2.500 tenge

MAGISTARSKE DISERTACIJE

Trenutno je u visokoškolskim ustanovama Kazahstana i zemalja ZND vrlo čest nivo visokog stručnog obrazovanja koji slijedi nakon diplome - master. Na master programu studenti studiraju sa ciljem sticanja magistarske diplome, koja je u većini zemalja svijeta priznata više od diplome bachelor, a priznaju je i strani poslodavci. Rezultat magistarskog studija je odbrana magistarskog rada.
Obezbedićemo Vam ažurne analitičke i tekstualne materijale, u cenu su uključena 2 naučna članka i jedan sažetak.
Trošak rada od 35.000 tenge

IZVJEŠTAJI O PRAKSI

Nakon završene bilo koje vrste studentske prakse (obrazovne, industrijske, preddiplomske) obavezan je izvještaj. Ovaj dokument će biti potvrda studentovog praktičnog rada i osnova za formiranje ocjene za praksu. Obično, da biste sastavili izvještaj o stažiranju, potrebno je prikupiti i analizirati podatke o preduzeću, razmotriti strukturu i radnu rutinu organizacije u kojoj se praksa obavlja, izraditi kalendarski plan i opisati svoju praktičnu praksu. aktivnosti.
Pomoći ćemo vam da napišete izvještaj o vašoj praksi, uzimajući u obzir specifičnosti djelatnosti određenog preduzeća.

Prilikom razlikovanja eksponencijalnih funkcija stepena ili glomaznih frakcijskih izraza, zgodno je koristiti logaritamski izvod. U ovom članku ćemo pogledati primjere njegove primjene s detaljnim rješenjima.

Dalje izlaganje pretpostavlja sposobnost korištenja tablice izvoda, pravila diferencijacije i poznavanje formule za izvod kompleksne funkcije.

Derivacija formule za logaritamski izvod.

Prvo, uzimamo logaritme na bazu e, pojednostavljujemo oblik funkcije koristeći svojstva logaritma, a zatim pronalazimo izvod implicitno specificirane funkcije:

Na primjer, pronađimo izvod eksponencijalne funkcije stepena x na stepen x.

Uzimanje logaritma daje . Prema svojstvima logaritma. Razlikovanje obe strane jednakosti dovodi do rezultata:

odgovor: .

Isti primjer se može riješiti bez korištenja logaritamskog izvoda. Možete izvršiti neke transformacije i prijeći od diferenciranja eksponencijalne funkcije snage na pronalaženje izvoda složene funkcije:

Primjer.

Pronađite izvod funkcije .

Rješenje.

U ovom primjeru funkcija je razlomak i njegov izvod se može naći korištenjem pravila diferencijacije. Ali zbog glomaznosti izraza, ovo će zahtijevati mnoge transformacije. U takvim slučajevima razumnije je koristiti formulu logaritamskog izvoda . Zašto? Sada ćeš razumjeti.

Hajde da ga prvo pronađemo. U transformacijama ćemo koristiti svojstva logaritma (logaritam razlomka jednak je razlici logaritama, a logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama, a stepen izraza pod znakom logaritma može biti uzeti kao koeficijent ispred logaritma):

Ove transformacije dovele su nas do prilično jednostavnog izraza, čiji je derivat lako pronaći:

Dobijeni rezultat zamjenjujemo u formulu za logaritamski izvod i dobivamo odgovor:

Da bismo konsolidirali materijal, navest ćemo još nekoliko primjera bez detaljnih objašnjenja.

Primjer.

Naći izvod eksponencijalne funkcije snage