Vastastikused pöördfunktsioonid, põhidefinitsioonid, omadused, graafikud. Pöördfunktsioonid - definitsioon ja omadused Pöördfunktsioonide, nende omaduste ja graafikute näited

Olgu hulgad $ X $ ja $ Y $ kaasatud reaalarvude hulka. Tutvustame inverteeritava funktsiooni mõistet.

Definitsioon 1

Funktsiooni $ f: X \ to Y $, mis vastendab hulga $ X $ hulgaga $ Y $, nimetatakse inverteeritavaks, kui mis tahes elemendi $ x_1, x_2 \ puhul X $-s, kuna see järgneb $ x_1 \ ne x_2 $ et $ f (x_1 ) \ ne f (x_2) $.

Nüüd saame tutvustada pöördfunktsiooni mõistet.

Definitsioon 2

Olgu funktsioon $ f: X \ to Y $, mis vastendab hulga $ X $ hulka $ Y $, on inverteeritav. Seejärel funktsioon $ f ^ (- 1): Y \ to X $ vastendades hulga $ Y $ hulka $ X $, mis on määratletud tingimusega $ f ^ (- 1) \ left (y \ right) = x $ on nimetatakse pöördväärtuseks $ f ( x) $ jaoks.

Sõnastame teoreemi:

1. teoreem

Olgu funktsioon $ y = f (x) $ defineeritud, monotoonselt kasvav (kahanev) ja pidev mingis intervallis $ X $. Seejärel on selle funktsiooni väärtuste vastavas intervallis $ Y $ pöördfunktsioon, mis samuti monotoonselt suureneb (väheneb) ja on pidev intervallil $ Y $.

Tutvustame nüüd otseselt vastastikku pöördfunktsioonide kontseptsiooni.

3. määratlus

Definitsiooni 2 raames nimetatakse funktsioone $ f (x) $ ja $ f ^ (- 1) \ left (y \ right) $ vastastikku pöördfunktsioonideks.

Vastastikku pöördfunktsioonide omadused

Olgu funktsioonid $ y = f (x) $ ja $ x = g (y) $ vastastikku pöördvõrdelised, siis

$ y = f (g \ vasak (y \ parem)) $ ja $ x = g (f (x)) $

Funktsiooni $ y = f (x) $ domeen võrdub funktsiooni $ \ x = g (y) $ domeeniga. Ja funktsiooni $ x = g (y) $ domeen võrdub funktsiooni $ \ y = f (x) $ domeeniga.

Funktsioonide $ y = f (x) $ ja $ x = g (y) $ graafikud on sirge $ y = x $ suhtes sümmeetrilised.

Kui üks funktsioonidest suureneb (väheneb), siis teine ​​funktsioon suureneb (väheneb).

Pöördfunktsiooni leidmine

Võrrand $ y = f (x) $ on lahendatud muutuja $ x $ suhtes.

Leia saadud juurtest need, mis kuuluvad intervalli $ X $.

Leitud $ x $ on sobitatud numbriga $ y $.

Näide 1

Leidke pöördfunktsioon funktsiooni $ y = x ^ 2 $ jaoks intervallil $ X = [- 1,0] $

Kuna see funktsioon väheneb ja on pidev intervallil $ X $, siis intervallil $ Y = $, mis samuti väheneb ja on sellel intervallil pidev (teoreem 1).

Arvutame $ x $:

\ \

Valime sobiva $ x $:

Vastus: pöördfunktsioon $ y = - \ sqrt (x) $.

Pöördfunktsioonide leidmine

Selles osas käsitleme mõnede elementaarfunktsioonide pöördfunktsioone. Ülesanded lahendame ülaltoodud skeemi järgi.

Näide 2

Leia pöördfunktsioon funktsioonile $ y = x + 4 $

Leidke $ x $ võrrandist $ y = x + 4 $:

Näide 3

Leidke funktsiooni $ y = x ^ 3 $ pöördväärtus

Lahendus.

Kuna funktsioon on kasvav ja pidev kogu definitsioonipiirkonnas, siis teoreemi 1 kohaselt on sellel pöördpidev ja kasvav funktsioon.

Leidke $ x $ võrrandist $ y = x ^ 3 $:

Leidke sobivad väärtused $ x $ jaoks

Meie puhul on väärtus sobiv (kuna määratluspiirkond on kõik numbrid)

Defineerime muutujad uuesti, saame, et pöördfunktsioonil on vorm

Näide 4

Leia pöördfunktsioon funktsioonile $ y = cosx $ intervallil $$

Lahendus.

Vaatleme funktsiooni $ y = cosx $ hulgal $ X = \ left $. See on pidev ja kahanev hulgal $ X $ ning vastendab hulga $ X = \ vasak $ hulgaga $ Y = [- 1,1] $, seega teoreemiga pöördvõrdelise pideva monotoonfunktsiooni olemasolu kohta funktsioon $ y = cosx $ komplektis $ Y $ on pöördfunktsioon, mis on samuti pidev ja suureneb hulgas $ Y = [- 1,1] $ ja vastendab hulga $ [- 1,1] $ komplekt $ \ jättis $.

Leidke $ x $ võrrandist $ y = cosx $:

Leidke sobivad väärtused $ x $ jaoks

Defineerime muutujad uuesti, saame, et pöördfunktsioonil on vorm

Näide 5

Leidke funktsiooni $ y = tgx $ pöördfunktsioon vahemikus $ \ vasak (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ parem) $.

Lahendus.

Vaatleme funktsiooni $ y = tgx $ hulgal $ X = \ vasak (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ parem) $. See on pidev ja kasvav komplektis $ X $ ning vastendab hulga $ X = \ vasak (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ parem) $ hulgale $ Y = R $, seega on pideva pöördfunktsiooni monotoonfunktsiooni olemasolu teoreemi kohaselt funktsioonil $ y = tgx $ hulgas $ Y $ pöördfunktsioon, mis on samuti pidev ja suureneb hulgas $ Y = R $ ja vastendab hulga $ R $ komplektiga $ \ vasak (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ parem) $

Leidke $ x $ võrrandist $ y = tgx $:

Leidke sobivad väärtused $ x $ jaoks

Defineerime muutujad uuesti, saame, et pöördfunktsioonil on vorm

Oletame, et meil on mingi funktsioon y = f (x), mis on rangelt monotoonne (kahanev või kasvav) ja pidev definitsioonipiirkonnas x ∈ a; b; selle väärtuste vahemik y ∈ c; d ja intervallil c; d sel juhul on meil funktsioon x = g (y) väärtusvahemikuga a; b. Teine funktsioon on samuti pidev ja rangelt monotoonne. Seoses y = f (x) on see pöördfunktsioon. See tähendab, et saame rääkida pöördfunktsioonist x = g (y), kui y = f (x) antud intervallil kas väheneb või suureneb.

Need kaks funktsiooni, f ja g, on vastastikku pöördvõrdelised.

Milleks meil pöördfunktsioonide mõistet üldse vaja on?

Vajame seda võrrandite y = f (x) lahendamiseks, mis on kirjutatud just nende avaldiste abil.

Oletame, et peame leidma lahenduse võrrandile cos (x) = 1 3. Selle lahendid on kõik punktid: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π k, k ∈ Z

Üksteise suhtes pöördvõrdelised on näiteks arkosinus- ja koosinusfunktsioonid.

Vaatleme mitmeid antud funktsioonide pöördfunktsioonide leidmise probleeme.

Näide 1

Seisukord: milline funktsioon on pöördväärtus y = 3 x + 2 korral?

Lahendus

Tingimuses määratud funktsiooni definitsioonide vahemik ja väärtuste vahemik on kõigi reaalarvude kogum. Proovime seda võrrandit lahendada x-iga, st väljendada x-i y-ga.

Saame x = 1 3 y - 2 3. See on pöördfunktsioon, mida me vajame, kuid siin on y argument ja x funktsioon. Korraldame need ümber, et saada tuttavam tähistus:

Vastus: funktsioon y = 1 3 x - 2 3 on pöördvõrdeline, kui y = 3 x + 2.

Mõlemat vastastikku pöördfunktsiooni saab joonistada järgmiselt:

Näeme mõlema graafiku sümmeetriat y = x suhtes. See joon on esimese ja kolmanda kvadrandi poolitaja. Oleme saanud tõestuse vastastikku pöördfunktsioonide ühe omaduse kohta, mida käsitleme allpool.

Võtke näide, milles peate leidma antud eksponentsiaalse logaritmilise funktsiooni pöördväärtuse.

Näide 2

Seisukord: määrake, milline funktsioon on pöördväärtus y = 2 x korral.

Lahendus

Antud funktsiooni puhul on ulatus kõik reaalarvud. Väärtuste vahemik asub vahemikus 0; + ∞. Nüüd peame väljendama x-i y-ga, st lahendama määratud võrrandi x-iga. Saame x = log 2 y. Järjesta muutujad ümber ja saad y = log 2 x.

Selle tulemusel on meil eksponentsiaalsed ja logaritmilised funktsioonid, mis on kogu määratlusvaldkonnas üksteise suhtes pöördvõrdelised.

Vastus: y = log 2 x.

Graafikul näevad mõlemad funktsioonid välja järgmised:



Vastastikku pöördfunktsioonide põhiomadused

Selles alajaotuses loetleme funktsioonide y = f (x) ja x = g (y) peamised omadused, mis on vastastikku pöördvõrdelised.

Definitsioon 1

1. Esimese omaduse oleme juba varem tuletanud: y = f (g (y)) ja x = g (f (x)).
2. Teine omadus tuleneb esimesest: definitsiooni domeen y = f (x) langeb kokku pöördfunktsiooni väärtuste vahemikuga x = g (y) ja vastupidi.
3. Pöördfunktsioonide graafikud on sümmeetrilised y = x suhtes.
4. Kui y = f (x) kasvab, siis suureneb ka x = g (y) ja kui y = f (x) väheneb, siis ka x = g (y) väheneb.

Soovitame teil hoolikalt kaaluda funktsioonide definitsioonipiirkonna ja tähendusvaldkonna mõisteid ning mitte kunagi neid segamini ajada. Oletame, et meil on kaks vastastikku pöördfunktsiooni y = f (x) = a x ja x = g (y) = log a y. Esimese omaduse järgi y = f (g (y)) = a log a y. See võrdsus kehtib ainult y positiivsete väärtuste korral ja negatiivsete väärtuste puhul pole logaritmi määratletud, seega ärge kiirustage üles kirjutama, et log a y = y. Kontrollige kindlasti ja lisage, et see kehtib ainult siis, kui y on positiivne.

Kuid võrdus x = f (g (x)) = log a a x = x on tõene kõigi x reaalväärtuste korral.

Ärge unustage seda punkti, eriti kui peate töötama trigonomeetriliste ja pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega. Niisiis, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, kuna arsiini väärtuste vahemik on π 2; π 2 ja 7 π 3 ei sisaldu selles. Kirje on õige

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

Kuid sin a r c sin 1 3 = 1 3 on tõeline võrdsus, st. sin (a r c sin x) = x x ∈ - 1 korral; 1 ja a r c sin (sin x) = x x ∈ - π 2 korral; π 2. Olge pöördfunktsioonide ulatuse ja ulatusega alati ettevaatlik!

• Põhilised vastastikku pöördfunktsioonid: võimsus

Kui meil on astmefunktsioon y = x a, siis x> 0 korral on astmefunktsioon x = y 1 a ka selle pöördfunktsioon. Asendage tähed ja saage vastavalt y = x a ja x = y 1 a.

Graafikul näevad need välja järgmised (juhtumid positiivse ja negatiivse koefitsiendiga a):



• Põhilised vastastikused funktsioonid: eksponentsiaalne ja logaritmiline

Võtame a, mis on positiivne arv, mitte 1.

Funktsioonide graafikud, mille a> 1 ja a< 1 будут выглядеть так:



• Põhilised vastastikku pöördfunktsioonid: trigonomeetrilised ja pöördtrigonomeetrilised

Kui meil on vaja joonistada siinuse ja arcsinuse põhiharu, näeb see välja selline (näidatud esiletõstetud alaga).

Pöördfunktsiooni definitsioon.

Olgu funktsioon rangelt monotoonne (kasvav või kahanev) ja pidev domeenis, selle funktsiooni väärtuste vahemik, siis määratletakse intervallil pidev rangelt monotoonne funktsioon väärtuste vahemikuga, mis on pöördvõrdeline .

Teisisõnu on mõttekas rääkida konkreetse intervalli funktsiooni pöördfunktsioonist, kui see sellel intervallil kas suureneb või väheneb.

Funktsioonid f ja g nimetatakse vastastikku pöördvõrdeliseks.

Miks üldse mõelda pöördfunktsioonide mõistele?

Selle põhjuseks on võrrandite lahendamise probleem. Lahendused on kirjutatud pöördfunktsioonide abil.

Näited vastastikuste funktsioonide leidmiseks.

Näiteks soovite lahendada võrrandi.

Lahendused on punktid .

Funktsioonid koosinus ja pöördkoosinus on määratlusvaldkonnas lihtsalt pöördvõrdelised.

Kaaluge mõned näited pöördfunktsioonide leidmisest.

Alustame lineaarsete vastastikuste funktsioonidega.

Näide.

Lahendus.

Selle funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste vahemik on kogu reaalarvude komplekt. Väljendame x-i y-ga (teisisõnu lahendame x võrrandi).

See on pöördfunktsioon, kuigi siin on y argument ja x on selle argumendi funktsioon. Et mitte murda märkimise harjumusi (see ei oma põhimõtteliselt tähtsust), paneme tähed x ja y ümber, kirjutame.

Seega ja on vastastikku pöördfunktsioonid.

Toome graafilise illustratsiooni vastastikku pöördvõrdelistest lineaarfunktsioonidest.


Ilmselgelt on graafikud sümmeetrilised sirge y = x suhtes (esimese ja kolmanda kvadrandi poolitajad). See on üks vastastikku pöördfunktsioonide omadusi, mida arutatakse allpool.

Vaatleme nüüd näidet logaritmilise funktsiooni pöördväärtuse leidmisest antud eksponentsiaalfunktsiooniga.

Näide.

Leidke pöördfunktsioon väärtusele.

Lahendus.

Selle funktsiooni domeen on terve reaalarvude komplekt, domeen on intervall. Väljendame x-i y-ga (teisisõnu lahendame x võrrandi).

See on vastupidine funktsioon. Tähed x ja y ümber paigutades saame.

Seega ja - eksponentsiaalsed ja logaritmilised funktsioonid on definitsioonivaldkonnas vastastikku pöördfunktsioonid.

Vastastikuste eksponentsiaal- ja logaritmifunktsioonide graafik.


Vastastikku pöördfunktsioonide omadused.

Loetleme vastastikku pöördfunktsioonide omadused ja .

Omandi märkus 1).

Näiteks: ja - vastastikku pöördfunktsioonid. Esimese kinnisvara järgi on meil ... See võrdsus kehtib ainult positiivse y puhul, negatiivse y puhul on logaritm määratlemata. Nii et ärge kiirustage vormi märkmeid tegema ja kui olete juba nii kirjutanud, peaksite lisama fraasi " positiivse y jaoks».

Võrdsus kehtib omakorda iga reaalse x kohta.

Loodame, et olete selle peene punkti tabanud.

Eriti ettevaatlik tuleb olla trigonomeetriliste ja pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega.

Näiteks, , kuna arsiini väärtuste vahemik ja ei kuulu sellesse.

See saab õigeks


Vastutasuks on tõeline võrdsus.

See on juures ja aadressil .

Rõhutame veel kord: OLGE TÄHELEPANU MÄÄRATLUSE JA VÄÄRTUSTE ALAGA!

Põhiliste elementaarsete vastastikku pöördfunktsioonide graafikud.

Kui vajate pöördfunktsioone muude trigonomeetriliste funktsioonide harude jaoks kui peamised, siis tuleb vastavat pöördfunktsiooni trigonomeetrilist funktsiooni piki ordinaattelge vajaliku arvu perioodide võrra nihutada.

Näiteks kui vajate intervalli puutujaharu jaoks pöördfunktsiooni (see haru saadakse põhiharust nihkega piki x-telge), siis on see arktangensharu, mis on nihutatud piki oy-telge võrra.


Nüüdseks lõpetame pöördfunktsioonidega.

Bibliograafia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 cl. üldharidusasutused.

Vastavad väljendid, mis muutuvad üksteiseks. Et mõista, mida see tähendab, tasub vaadata konkreetset näidet. Oletame, et meil on y = cos (x). Kui võtta argumendist koosinus, saate leida y väärtuse. Ilmselgelt peab selleks olema X. Aga mis siis, kui mäng oli algselt antud? Siin tulebki asja tuumani. Probleemi lahendamiseks on vaja kasutada pöördfunktsiooni. Meie puhul on see pöördkoosinus.

Pärast kõiki teisendusi saame: x = arccos (y).

See tähendab, et selle funktsiooni leidmiseks, mis on antud funktsiooni pöördväärtus, piisab, kui väljendada selle põhjal argumenti. Kuid see toimib ainult siis, kui saadud tulemusel on üks tähendus (sellest lähemalt hiljem).

Üldiselt saate selle fakti kirjutada järgmiselt: f (x) = y, g (y) = x.

Definitsioon

Olgu f funktsioon, mille määratluspiirkond on hulk X ja väärtuste vahemik on hulk Y. Kui siis on olemas g, mille domeenid täidavad vastandlikke ülesandeid, siis f on pöörduv.

Veelgi enam, antud juhul on g ainulaadne, mis tähendab, et seda omadust rahuldab täpselt üks funktsioon (ei rohkem ega vähem). Siis nimetatakse seda pöördfunktsiooniks ja kirjutades tähistatakse seda järgmiselt: g (x) = f -1 (x).

Teisisõnu võib neid vaadelda binaarsete seostena. Pöörduvus toimub ainult siis, kui komplekti üks element vastab ühele teise väärtusele.

Pöördfunktsioon ei ole alati olemas. Selleks peab iga element y є Y vastama maksimaalselt ühele x є X. Siis nimetatakse f-i üks-ühele või süstimiseks. Kui f -1 kuulub Y-sse, peab selle hulga iga element vastama mingile x ∈ X-le. Selle omadusega funktsioone nimetatakse sürjektideks. Seda tehakse definitsiooni järgi, kui Y on f kujutis, kuid see ei ole alati nii. Ümberpööramiseks peab funktsioon olema nii süstimine kui ka süstimine. Selliseid väljendeid nimetatakse bijektideks.

Näide: ruut- ja juurfunktsioonid

Funktsioon on määratletud

E (y) = [-π / 2; π / 2]

y (-x) = arcsin (-x) = - arcsin x - funktsioon on paaritu, graafik on sümmeetriline punkti O (0; 0) suhtes.

arcsin x = 0 at x = 0.

arcsin x> 0 x є jaoks (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y = arcsin x suureneb mis tahes x є korral [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arkosiin

Koosinusfunktsioon lõigul väheneb ja võtab kõik väärtused -1-st 1-ni. Seetõttu on mis tahes arvu a korral, nii et | a | 1, lõigul on võrrandis cosx = a üks juur. Seda arvu nimetatakse arvu a pöördkoosinusteks ja seda tähistatakse kaaredega a.

Definitsioon . Arvu a pöördkoosinus, kus -1 a 1, on arv segmendist, mille koosinus on võrdne a-ga.

Omadused.

1. E (y) =

   y (-x) = arccos (-x) = π - arccos x - funktsioon ei ole paaris ega paaritu.

   arccos x = 0 at x = 1

   arccos x> 0 x є jaoks [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y = arccos x väheneb mis tahes x є korral [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 - kahanev.

Arktangent

Tangensi funktsioon suureneb segmendil -
Seetõttu on juurteoreemi kohaselt võrrandil tanx = a, kus a on mis tahes reaalarv, intervallil - kordumatu juur x. Seda juurt nimetatakse arvu a arktangensiks ja seda tähistatakse tähisega arctga.

Definitsioon. Arvu arktigent aR nimetatakse selliseks arvuks x , mille puutuja on a.

Omadused.

E (y) = (-π / 2; π / 2)

y (-x) = y = arctan (-x) = - arctan x - funktsioon on paaritu, graafik on sümmeetriline punkti O (0; 0) suhtes.

arctan x = 0, kui x = 0

Funktsioon suureneb mis tahes x є R korral

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arccotangent

Kootangensfunktsioon intervallil (0;) väheneb ja võtab kõik väärtused R-st. Seetõttu on iga arvu a korral vahemikus (0;) võrrandis ctg x = a üks juur. Seda arvu a nimetatakse arvu a kaare kotangensiks ja seda tähistatakse arcctg a-ga.

Definitsioon. Arvu a kaarkootangens, kus a R, on selline arv vahemikust (0;) , mille kotangent on a.

Omadused.

E (y) = (0; π)

y (-x) = arcctg (-x) = π - arcctg x - funktsioon ei ole paaris ega paaritu.

arcctg x = 0- ei eksisteeri.

Funktsioon y = arcctg x väheneb mis tahes x є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funktsioon on pidev mis tahes x є R korral.

2.3 Pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate avaldiste identsed teisendused

Näide 1. Lihtsustage väljendit:

a)
kus

Lahendus. Panime
... Siis
ja
Leidma
, kasutame seost
Saame
Aga . Selles segmendis võtab koosinus ainult positiivseid väärtusi. Seega
, see on
kus
.

b)

Lahendus.

v)

Lahendus. Panime
... Siis
ja
Esiteks leiame, mille jaoks kasutame valemit
, kus
Kuna sellel intervallil võtab koosinus ainult positiivseid väärtusi, siis
.