El área de un paralelogramo. Como encontrar el area de un paralelogramo, triangulo, trapezoide Area de paralelogramo ejemplos de soluciones

Tarea 4.

Una de las diagonales de un paralelogramo de longitud 4√6 forma un ángulo de 60° con la base, y la segunda diagonal forma un ángulo de 45° con la misma base. Encuentra la segunda diagonal.

Solución.

1. AO = 2√6.

2. Aplicar el teorema del seno al triángulo AOD.

AO/sen D = OD/sen A.

2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o.

OD = (2√6sen 60 o) / sen 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Respuesta: 12.

Tarea 5.

Para un paralelogramo con lados 5√2 y 7√2, el ángulo menor entre las diagonales es igual al ángulo menor del paralelogramo. Encuentra la suma de las longitudes de las diagonales.

Solución.

Sean d 1, d 2 las diagonales del paralelogramo, y sea φ el ángulo entre las diagonales y el ángulo menor del paralelogramo.

1. Contemos dos diferentes
caminos de su área.

S ABCD \u003d AB AD sen A \u003d 5√2 7√2 sen f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Obtenemos la igualdad 5√2 7√2 sen f = 1/2d 1 d 2 sen f o

2 5√2 7√2 = re 1 re 2 ;

2. Usando la razón entre los lados y las diagonales del paralelogramo, escribimos la igualdad

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = re 1 2 + re 2 2 .

re 1 2 + re 2 2 = 296.

3. Hagamos un sistema:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(re 1 + re 2 = 140.

Multiplica la segunda ecuación del sistema por 2 y súmala a la primera.

Obtenemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Por lo tanto, Id 1 + d 2 I = 24.

Como d 1, d 2 son las longitudes de las diagonales del paralelogramo, entonces d 1 + d 2 = 24.

Respuesta: 24.

Tarea 6.

Los lados del paralelogramo son 4 y 6. El ángulo agudo entre las diagonales es 45 o. Encuentra el área del paralelogramo.

Solución.

1. Del triángulo AOB, usando el teorema del coseno, escribimos la relación entre el lado del paralelogramo y las diagonales.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

re 1 2/4 + re 2 2/4 - 2 (re 1/2) (re 2/2)√2/2 = 16.

re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √2 = 64.

2. De manera similar, escribimos la relación para el triángulo AOD.

Tomamos en cuenta que<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obtenemos la ecuación d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Tenemos un sistema
(re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √2 = 64,
(re 1 2 + re 2 2 + re 1 re 2 √2 = 144.

Restando la primera de la segunda ecuación, obtenemos 2d 1 d 2 √2 = 80 o

re 1 re 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Nota: En este problema y en el anterior, no es necesario resolver el sistema por completo, previendo que en este problema necesitamos el producto de diagonales para calcular el área.

Respuesta: 10.

Tarea 7.

El área del paralelogramo es 96 y sus lados son 8 y 15. Halla el cuadrado de la diagonal menor.

Solución.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Hagamos una sustitución en la fórmula.

Obtenemos 96 = 8 15 sin VAD. Por tanto sen VAD = 4/5.

2. Encuentra cos MAL. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 MAL = 1. cos 2 MAL = 9/25.

Según la condición del problema, encontramos la longitud de la diagonal menor. La diagonal BD será menor si el ángulo BAD es agudo. Entonces cos MALO = 3/5.

3. Del triángulo ABD, usando el teorema del coseno, encontramos el cuadrado de la diagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos MALO.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Respuesta: 145.

¿Tiene usted alguna pregunta? ¿No sabes cómo resolver un problema de geometría?
Para obtener la ayuda de un tutor, regístrese.
¡La primera lección es gratis!

sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.

Área geométrica- una característica numérica de una figura geométrica que muestra el tamaño de esta figura (parte de la superficie delimitada por un contorno cerrado de esta figura). El tamaño del área se expresa por el número de unidades cuadradas que contiene.

Fórmulas del área del triángulo

1. fórmula del área del triángulo para lado y altura
   Area de un triangulo igual a la mitad del producto de la longitud de un lado de un triángulo y la longitud de la altura trazada a este lado
   
2. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio del círculo circunscrito
   
3. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio de un círculo inscrito
   Area de un triangulo es igual al producto del semiperímetro del triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
   
donde S es el área del triángulo,
- las longitudes de los lados del triángulo,
- la altura del triángulo,
- el ángulo entre los lados y,
- radio de la circunferencia inscrita,
R - radio del círculo circunscrito,

fórmulas de área cuadrada

1. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de un lado
   área cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
2. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de la diagonal
   área cuadrada igual a la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
   

   S=	1	2
   	2

donde S es el área del cuadrado,
es la longitud del lado del cuadrado,
es la longitud de la diagonal del cuadrado.

fórmula del área del rectángulo

área del rectángulo es igual al producto de las longitudes de sus dos lados adyacentes

donde S es el área del rectángulo,
son las longitudes de los lados del rectángulo.

Fórmulas para el área de un paralelogramo

1. Fórmula del área del paralelogramo para la longitud y la altura del lado
   área del paralelogramo
2. La fórmula para el área de un paralelogramo dados dos lados y el ángulo entre ellos
   área del paralelogramo es igual al producto de las longitudes de sus lados por el seno del ángulo que los forma.
   

   a b sinα

donde S es el área del paralelogramo,
son las longitudes de los lados del paralelogramo,
es la altura del paralelogramo,
es el ángulo entre los lados del paralelogramo.

Formulas para el area de un rombo

1. Fórmula del área del rombo dada la longitud y la altura del lado
   área de rombo es igual al producto de la longitud de su lado por la longitud de la altura bajada a este lado.
2. La formula del area de un rombo dada la longitud del lado y el angulo
   área de rombo es igual al producto del cuadrado de la longitud de su lado por el seno del ángulo entre los lados del rombo.
3. La fórmula para el área de un rombo a partir de las longitudes de sus diagonales.
   área de rombo es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales.
donde S es el área del rombo,
- longitud del lado del rombo,
- la longitud de la altura del rombo,
- el ángulo entre los lados del rombo,
1, 2 - las longitudes de las diagonales.

Fórmulas del área del trapecio

1. Fórmula de Heron para un trapecio

   Donde S es el área del trapezoide,
   - la longitud de las bases del trapezoide,
   - la longitud de los lados del trapezoide,
   

¿Qué es un paralelogramo? Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares.

1. El área de un paralelogramo se calcula mediante la fórmula:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Dónde:
a es el lado del paralelogramo,
h a es la altura dibujada hacia este lado.

2. Si se conocen las longitudes de dos lados adyacentes del paralelogramo y el ángulo entre ellos, entonces el área del paralelogramo se calcula mediante la fórmula:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Si se dan las diagonales del paralelogramo y se conoce el ángulo entre ellas, entonces el área del paralelogramo se calcula mediante la fórmula:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Propiedades del paralelogramo

En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

En un paralelogramo, los ángulos opuestos son: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Las diagonales del paralelogramo en el punto de intersección se bisecan \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.

La suma de los ángulos de un paralelogramo adyacente a un lado es 180 o:

\(\ángulo A + \ángulo B = 180^(o) \), \(\ángulo B + \ángulo C = 180^(o)\)

\(\ángulo C + \ángulo D = 180^(o) \), \(\ángulo D + \ángulo A = 180^(o)\)

Las diagonales y los lados de un paralelogramo están relacionados por la siguiente relación:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

En un paralelogramo, el ángulo entre las alturas es igual a su ángulo agudo: \(\angle K B H =\angle A \) .

Las bisectrices de ángulos adyacentes a un lado de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares.

Las bisectrices de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son paralelas.

Características del paralelogramo

Un cuadrilátero es un paralelogramo si:

\(AB = CD\) y \(AB || CD\)

\(AB = CD\) y \(BC = AD\)

\(AO = OC\) y \(BO = OD\)

\(\ángulo A = \ángulo C \) y \(\ángulo B = \ángulo D \)

Antes de aprender a encontrar el área de un paralelogramo, debemos recordar qué es un paralelogramo y cómo se llama su altura. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares (se encuentran en líneas paralelas). La perpendicular trazada desde un punto arbitrario en el lado opuesto a la línea que contiene este lado se llama altura del paralelogramo.

El cuadrado, el rectángulo y el rombo son casos especiales de paralelogramo.

El área de un paralelogramo se denota como (S).

Fórmulas para encontrar el área de un paralelogramo

S=a*h, donde a es la base, h es la altura que se dibuja a la base.

S=a*b*sinα, donde a y b son las bases, y α es el ángulo entre las bases a y b.

S \u003d p * r, donde p es el semiperímetro, r es el radio del círculo inscrito en el paralelogramo.

El área del paralelogramo formado por los vectores a y b es igual al módulo del producto de los vectores dados, a saber:

Considere el ejemplo No. 1: se da un paralelogramo, cuyo lado mide 7 cm y la altura es de 3 cm.Cómo encontrar el área del paralelogramo, necesitamos una fórmula para resolverlo.

Entonces S = 7x3. S=21. Respuesta: 21 cm2.

Considere el ejemplo No. 2: Las bases miden 6 y 7 cm, y el ángulo entre las bases es de 60 grados. ¿Cómo encontrar el área de un paralelogramo? Fórmula utilizada para resolver:

Así, primero encontramos el seno del ángulo. Seno 60 \u003d 0.5, respectivamente S \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 Respuesta: 21 cm 2.

Espero que estos ejemplos te ayuden a resolver problemas. Y recuerda, lo principal es el conocimiento de las fórmulas y la atención.

Paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados son paralelos por pares.

En esta figura, los lados y ángulos opuestos son iguales entre sí. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en un punto y lo bisecan. Las fórmulas del área del paralelogramo le permiten encontrar el valor a través de los lados, la altura y las diagonales. El paralelogramo también se puede representar en casos especiales. Se consideran rectángulo, cuadrado y rombo.
Primero, consideremos un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo por altura y el lado al que se baja.

Este caso se considera un clásico y no requiere mayor investigación. Es mejor considerar la fórmula para calcular el área de dos lados y el ángulo entre ellos. El mismo método se utiliza en el cálculo. Si se dan los lados y el ángulo entre ellos, entonces el área se calcula de la siguiente manera:

Supongamos que nos dan un paralelogramo con lados a = 4 cm, b = 6 cm, el ángulo entre ellos es α = 30°. Encontremos el área:

Área de un paralelogramo en términos de diagonales

La fórmula para el área de un paralelogramo en términos de diagonales le permite encontrar rápidamente el valor.
Para los cálculos, necesita el valor del ángulo ubicado entre las diagonales.

Considere un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo a través de diagonales. Sea dado un paralelogramo con diagonales D = 7 cm, d = 5 cm, el ángulo entre ellos es α = 30°. Sustituye los datos en la fórmula:

Un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo a través de una diagonal nos dio un excelente resultado: 8.75.

Conociendo la fórmula del área de un paralelogramo en términos de una diagonal, puedes resolver muchos problemas interesantes. Veamos uno de ellos.

Tarea: Dado un paralelogramo con un área de 92 sq. ver El punto F está ubicado en el medio de su lado BC. Encontremos el área del trapezoide ADFB, que estará en nuestro paralelogramo. Para empezar, dibujemos todo lo que recibimos de acuerdo con las condiciones.
Vamos a la solución:

Según nuestras condiciones, ah \u003d 92, y en consecuencia, el área de nuestro trapezoide será igual a