Razlika između polumjera i promjera. Kako pronaći radijus kruga: pomoći učenicima

Uputstvo za upotrebu

Ako je poznat samo promjer, tada će formula izgledati kao "R \u003d D / 2".

Ako je dužina opseg  nepoznato, ali postoje podaci o duljini određenog, formula će izgledati kao "R \u003d (h ^ 2 * 4 + L ^ 2) / 8 * h", gdje je h visina segmenta (je udaljenost od sredine akorda do izbočenog dijela označenog lukovi), a L je duljina segmenta (koja nije duljina akorda). Akord je segment koji povezuje dvije točke opseg.

Obratite pažnju

Potrebno je razlikovati pojmove „krug“ i „krug“. Krug je dio ravnine koji je zauzvrat ograničen krugom određenog polumjera. Da biste pronašli polumjer, morate znati područje kruga. Jednadžba će u ovom slučaju imati oblik "R \u003d (S / π) ^ 1/2", gdje je S područje. Da biste izračunali površinu, zauzvrat, trebali biste znati polumjer ("S \u003d πr ^ 2").

Znajući samo dužinu prečnik  krugove, možete izračunati ne samo područje  krug, ali i područje nekih drugih geometrijskih oblika. Ovo proizlazi iz činjenice da se promjeri kružnica upisanih ili opisanih oko takvih figura podudaraju s duljinama njihovih strana ili dijagonala.

Uputstvo za upotrebu

Ako trebate pronaći područje  (S) poznatom dužinom prečnik  (D) množimo broj pi (π) s povišenom dužinom prečnik, a rezultat podijelite na četiri: S \u003d π ² * D² / 4. Na primjer, krug je jednak dvadeset centimetara, onda je to područje  može se izračunati na sljedeći način: 3.14² * 20² / 4 \u003d 9.86 * 400/4 \u003d 986 centimetara.

Ako trebate pronaći područje  kvadrat (S) promjera oko kruga (D), uspravite duljinu prečnik  kvadrat i podijeli rezultat na pola: S \u003d D² / 2. Na primjer, ako je promjer zacrtanog kruga jednak dvadeset centimetara, tada područje  kvadrat se može izračunati na sljedeći način: 20² / 2 \u003d 400/2 \u003d 200 kvadratnih centimetara.

Ako područje  kvadrat (S) mora se nalaziti prema promjeru kruga upisanog u njega (D), dovoljno je uspraviti duljinu prečnik  u kvadratu: S \u003d D². Na primjer, ako je promjer upisanog kruga jednak dvadeset centimetara, tada područje  kvadrat se može izračunati na sljedeći način: 20² \u003d 400 kvadratnih centimetara.

Ako trebate pronaći područje  (S) poznata prečnikm upisanog (d) i opisanog (D) kruga oko njega, a zatim podignite dužinu prečnik krug upisan u kvadrat i podijeli sa četiri, a rezultatu dodaj polovinu proizvoda duljine upisanih i obrezanih krugova: S \u003d d² / 4 + D * d / 2. Na primjer, ako je promjer optočenog kruga jednak dvadeset centimetara, a upisanog - deset centimetara, područje  trokut se može izračunati na sljedeći način: 10² / 4 + 20 * 10/2 \u003d 25 + 100 \u003d 125 kvadratnih centimetara.

Pomoću ugrađenog Google pretraživača izvršite potrebne proračune. Na primjer, za upotrebu ovog pretraživača područje  pravokutni trokut prema primjeru iz četvrtog koraka, morate unijeti sljedeći upit za pretraživanje: "10 ^ 2/4 + 20 * 10/2" i pritisnite Enter.

Izvori:

• kako pronaći opseg u promjeru

Krug je ravna geometrijska figura, čije su sve točke u istoj i ne-nultoj udaljenosti od odabrane točke, koja se naziva sredinom kruga. Prava koja povezuje bilo koje dvije točke kruga i prolazi kroz središte naziva se prečnik. Ukupna dužina svih granica dvodimenzionalne figure, koja se obično naziva perimetar, u krugu se često naziva „obim“. Znajući obim, može se izračunati i njegov promjer.

Uputstvo za upotrebu

Upotrijebite jedno od osnovnih svojstava kruga kako biste pronašli promjer, a to je da je omjer duljine njegovog oboda i promjera isti za apsolutno sve krugove. Naravno, postojanost matematičara nije ostavila nezapaženo, a ovaj udeo je odavno dobio svoje - ovo je broj Pi (π je prva od grčkih reči „ opseg"I" perimetar "). Taj se broj određuje duljinom kruga u kojem je promjer jednak jednom.

Upotrijebite bilo koji za izračun duljine promjera, ako to ne možete učiniti u glavi. Na primjer, možete koristiti onu ugrađenu u pretraživač Nigma ili Google - to su matematičke operacije koje se upisuju na "čovjeku". Na primjer, ako je poznati opseg četiri metra, tada možete pronaći promjer koji može "ljudski" tražiti od pretraživača: "4 metra podijeljeno s pi." Ali ako u polje za pretraživanje upišete, na primjer, "4 / pi", pretraživač će razumjeti ovu izjavu problema. U svakom slučaju, odgovor je „1,27323954 metra“.

Upotrijebite Windows softverski kalkulator ako ste više upoznati sa sučeljima s uobičajenim tipkama. Kako ne biste tražili vezu da biste je pokrenuli u dubokim razinama glavnog izbornika sistema, pritisnite kombinaciju tipki WIN + R, unesite naredbu calc i pritisnite tipku Enter. Sučelje ovog programa malo se razlikuje od konvencionalnih kalkulatora, pa postupak dijeljenja oboda s brojem Pi vjerojatno neće uzrokovati poteškoće.

  Pitanje promjera globusa nije tako jednostavno kako se možda na prvi pogled čini, jer je sam pojam "globusa" vrlo proizvoljan. Za pravu kuglu promjer će uvijek biti isti, bez obzira gdje se crta linija, povezujući dvije točke na površini sfere i prolazeći kroz sredinu.

Što se tiče Zemlje, to nije moguće, jer je njena sfernost daleko od idealne (u prirodi ne postoje idealne geometrijske figure i tijela, oni su apstraktni geometrijski pojmovi). Da bi tačno označili Zemlju, naučnici su čak morali da uvedu i poseban koncept - „geoid“.

Službeni prečnik zemlje

Jačina promjera Zemlje određena je mjestom na kojem će se mjeriti. Radi praktičnosti uzimaju se dva pokazatelja za službeno priznati promjer: promjer Zemlje na ekvatoru i udaljenost između Sjevernog i Južnog pola. Prvi pokazatelj je 12.756.274 km, a drugi 12.714, razlika između njih je nešto manja od 43 km.

Ti brojevi ne ostavljaju velik dojam, čak su inferiorni udaljenost između Moskve i Krasnodara - dva grada koja se nalaze na teritoriji jedne zemlje. Međutim, izračunati ih nije bilo lako.

Izračun prečnika zemlje

Prečnik planete izračunava se istom geometrijskom formulom kao i bilo koji drugi prečnik.

Za pronalaženje oboda kruga potrebno je pomnožiti njegov promjer s brojem πand. Stoga, za pronalaženje promjera Zemlje, potrebno je izmjeriti njen obim u odgovarajućem odjeljku (duž ekvatora ili u ravnini polova) i podijeliti ga sa brojem π i.

Prva osoba koja je pokušala izmjeriti opseg Zemlje bio je starogrčki naučnik Eratosten iz Cirene. Primijetio je da je u Sieni (danas Asuan) na dan ljetnog solsticija Sunce na svom zenitu, osvjetljavajući dno dubokog bunara. U Aleksandriji je tog dana bila 1/50 obima zenita. Iz ovoga je naučnik zaključio da je udaljenost od Aleksandrije do Sijene 1/50 opsega Zemlje. Udaljenost između tih gradova je 5.000 grčkih etapa (otprilike 787.5 km), dakle, opseg Zemlje je 250.000 stupnjeva (približno 39.375 km).

Na raspolaganju suvremenim znanstvenicima postoje napredniji mjerni instrumenti, ali njihova teorijska osnova odgovara ideji Eratostena. U dvije točke smještene nekoliko stotina kilometara jedna od druge bilježi se položaj Sunca ili određenih zvijezda na nebu te se izračunava razlika između rezultata dva mjerenja u stupnjevima. Znajući udaljenost u kilometrima lako je izračunati duljinu od jednog stepena, a potom to pomnožiti sa 360.

Za preciziranje veličine Zemlje koriste se laserski i satelitski promatrački sustavi.

Danas se vjeruje da je opseg Zemlje na ekvatoru 40 075.017 km, a na - 40 007.86. Eratosten se samo malo griješio.

Jačina i obima i promjera Zemlje povećava se zbog toga što meteoritni materijal stalno pada na Zemlju, ali taj je proces vrlo spor.

Izvori:

• Kako izmjeriti Zemlju u 2019. godini

Prvo ćemo shvatiti razliku između kružnice i kruga. Da bi se uočila ta razlika, dovoljno je uzeti u obzir koje su obje brojke. Ovo je bezbroj točaka ravnine smještenih na jednakoj udaljenosti od jedne središnje točke. No, ako se krug također sastoji od unutarnjeg prostora, tada mu krug ne pripada. Ispada da je krug i krug koji ga povezuje (o-krug (r)), i beskonačni broj tačaka unutar kruga.

Za bilo koju tačku L koja leži na kružnici važi jednakost OL \u003d R. (Dužina segmenta OL jednaka je polumjeru kruga).

Prava koja povezuje dvije točke kruga je njegova akord.

Akord koji prolazi kroz sredinu kruga je prečnik  ovog kruga (D). Prečnik se može izračunati formulom: D \u003d 2R

Kružnica  izračunato formulom: C \u003d 2 \\ pi R

Područje kruga: S \u003d \\ pi R ^ (2)

Kružni luk nazvan njegov deo, koji se nalazi između njegove dve tačke. Ove dvije tačke definiraju dva luka kruga. CD sa akordima spaja dva luka: CMD i CLD. Isti akordi spajaju iste lukove.

Centralni ugao  naziva se uglom koji je između dva radijusa.

Dužina luka  možete naći formulom:

1. Upotreba mjere diplome: CD \u003d \\ frac (\\ pi R \\ alfa ^ (\\ circ)) (180 ^ (\\ krug))
2. Koristeći radijansu mjeru: CD \u003d \\ alpha R

Prečnik, koji je okomit na akord, deli akord i lukove koje je povukao na pola.

Ako se akordi AB i CD kružnice presijecaju u točki N, tada su proizvodi segmenata akorda razdvojenih točkom N jednaki jedni drugima.

AN \\ cdot NB \u003d CN \\ cdot ND

Tangenta u krug

Tangenta u krug  uobičajeno je zvati liniju koja ima jednu zajedničku točku s krugom.

Ako linija ima dvije zajedničke točke, onda se zove seant.

Ako radijus povučete do tačkice, ona će biti okomita na tangenciju na krug.

Nacrtajte dvije tangente od ove točke do našeg kruga. Ispada da su segmenti tangente jednaki jedan drugom, a središte kružnice je smješteno na bisektoru ugla sa vrhom u ovoj točki.

AC \u003d CB

Sada iz naše tačke nacrtamo tangentu i secant u krugu. Dobivamo da će kvadrat dužine segmenta tangente biti jednak proizvodu cijelog presjeka u odnosu na njegov vanjski dio.

AC ^ (2) \u003d CD \\ cdot BC

Možemo zaključiti: produkt čitavog segmenta prvog seanta i njegovog vanjskog dijela jednak je proizvodu čitavog segmenta drugog segmenta i njegovog vanjskog dijela.

AC \\ cdot BC \u003d EC \\ cdot DC

Kutovi kruga

Mjere središnjeg kuta i luka na koje se oslanja jednake su.

\\ ugao COD \u003d \\ cup CD \u003d \\ alfa ^ (\\ circ)

Upisani ugao  - ovo je ugao čiji je vrh na kružnici, a stranice sadrže akorde.

Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovini ovog luka.

\\ ugao AOB \u003d 2 \\ ugao ADB

Na osnovu prečnika, upisanog ugla, ravna.

\\ ugao CBD \u003d \\ ugao CED \u003d \\ ugao CAD \u003d 90 ^ (\\ circ)

Upisani uglovi koji se temelje na jednom luku su identični.

Upisani uglovi naslonjeni na jedan akord su identični ili je njihova suma jednaka 180 ^ (\\ circ).

\\ ugao ADB + \\ ugao AKB \u003d 180 ^ (\\ krug)

\\ ugao ADB \u003d \\ ugao AEB \u003d \\ ugao AFB

Na jednom krugu su vrhovi trouglova s \u200b\u200bidentičnim uglovima i danom bazom.

Ugao s vrhom unutar kruga i smješten između dva akorda identičan je polovini zbroja kutnih vrijednosti kružnih lukova koji su unutar zadanih i okomitih uglova.

\\ ugao DMC \u003d \\ ugao ADM + \\ ugao DAM \u003d \\ frac (1) (2) \\ lijevo (\\ čaša DmC + \\ čaša AlB \\ desno)

Ugao s vrhom izvan kruga i smješten između dvije sekunde jednak je polovini razlike u kutnim vrijednostima kružnih lukova koji su zatvoreni unutar ugla.

\\ ugao M \u003d \\ ugao CBD - \\ ugao ACB \u003d \\ frac (1) (2) \\ lijevo (\\ cup DmC - \\ cup AlB \\ desno)

Upisani krug

Upisani krug  Da li se krug dodiruje na stranicama poligona.

Na mjestu gdje se bisektori uglova poligona presijecaju, nalazi se njegovo središte.

Krug možda nije upisan u svaki poligon.

Područje upisanog poligona kruga nalazi se formulom:

S \u003d pr

p je poluperimetar poligona,

r je polumjer upisanog kruga.

Iz toga slijedi da je polumjer upisanog kruga:

r \u003d \\ frac (S) (p)

Zbrojevi duljina suprotnih strana bit će identični ako je krug upisan u konveksni četverokut. I obrnuto: krug se uklapa u konveksni četverokut, ako su u njemu zbrojevi dužina suprotnih strana identični.

AB + DC \u003d AD + BC

Krug je moguće unijeti u bilo kojem od trouglova. Samo jedan singl. Na mjestu gdje se bisektori unutarnjih uglova figure križaju, ležati će centar ovog upisanog kruga.

Polumjer upisanog kruga izračunava se formulom:

r \u003d \\ frac (S) (p),

gdje je p \u003d \\ frac (a + b + c) (2)

Zaokruženi krug

Ako kružnica prođe kroz svaku vršku poligona, tada se obično naziva takav krug opisano oko poligona.

Na sjecištu srednjih perpendikulara strana ove figure bit će središte zacrtanog kruga.

Polumjer se može izračunati kao polumjer kruga koji je opisan u blizini trokuta definiranog s bilo koja 3 vrha poligona.

Postoji slijedeći uvjet: krug oko četverokuta moguće je opisati samo ako je zbroj njegovih suprotnih uglova 180 ^ (\\ circ).

\\ ugao A + \\ ugao C \u003d \\ ugao B + \\ ugao D \u003d 180 ^ (\\ krug)

Krug se može opisati oko bilo kojeg trokuta, i jedini. Središte takvog kruga smjestiće se na mjestu gdje se sijeku srednji okomiti bok trokuta.

Polumjer opisanog kruga može se izračunati formulama:

R \u003d \\ frac (a) (2 \\ sin A) \u003d \\ frac (b) (2 \\ sin B) \u003d \\ frac (c) (2 \\ sin C)

R \u003d \\ frac (abc) (4 S)

a, b, c su dužine stranica trougla,

S je područje trougla.

Ptolomejeva teorema

Za kraj, razmotrite Ptolomejevu teoremu.

Ptolomejeva teorema kaže da je proizvod dijagonala identičan zbiru produkata suprotnih strana upisanog četverokuta.

AC \\ cdot BD \u003d AB \\ cdot CD + BC \\ cdot AD

Ova lekcija je o krugu i krugu. Učitelj će vas također naučiti razlikovati zatvorene i otvorene linije. Upoznaćete se sa osnovnim svojstvima kruga: središtem, polumjerom i promjerom. Naučite njihove definicije. Naučite odrediti polumjer ako je promjer poznat, i obrnuto.

Ako npr. Napunite prostor unutar kruga, nacrtajte krug kompasom na papiru ili kartonu i izrežite ga, dobićemo krug (Sl. 10).

Sl. 10. Krug

Krug  je dio ravnine omeđen krugom.

Stanje:Vitya Verkhogadadkin je u svom krugu nacrtao 11 promjera (Sl. 11). A kad sam prebrojao radijuse, dobio sam 21. Da li je tačno brojao?

Sl. 11. Ilustracija za zadatak

Rješenje:radijusi bi trebali biti dvostruko veći od promjera, dakle:

Victor je pogrešno izbrojao.

Reference

1. Math 3. razred. Udžbenik za opće obrazovanje. institucije s adj. do elektrona. nosač. U 2 sata, dio 1 / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova i dr.] - 2. izd. - M .: Obrazovanje, 2012. - 112 str.: Ill. - (Škola Rusije).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematika, 3. razred - M .: VENTANA-GRAF.
3. Peterson L.G. Matematika, 3. razred - M .: Juventa.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Domaći zadatak

1. Matematika. 3. razred. Udžbenik za opće obrazovanje. institucije s adj. do elektrona. nosač. U 2 sata, dio 1 / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova i dr.] - 2. izd. - M.: Obrazovanje, 2012., čl. 94 br. 1, član 95 br. 3.

2. Riješite zagonetku.

Živimo zajedno sa mojim bratom,

Zabavno nam je zajedno

Stavili smo kriglu na lim (Sl. 12),

Obris olovke.

Pokazalo se šta vam treba -

Nazvani ...

3. Potrebno je odrediti promjer kruga ako je poznato da je polumjer 5 m.

4. * Kompasom nacrtajte dva kruga s radijusima: a) 2 cm i 5 cm; b) 10 mm i 15 mm.

Često kada student položi završne ispite u školi ili prijemne ispite na bilo kojem univerzitetu, potrebna su mu određena znanja iz područja geometrije. Štoviše, zadaci nisu toliko složeni, samo se morate sjetiti osnovnih formula kako biste ih primijenili u rješenju. Zadaci u kojima je potrebno pronaći polumjer kruga nisu iznimka. U principu, oni su vrlo jednostavni za rješavanje. U ovom članku ćemo vam reći kako pronaći polumjer kruga na različite načine.

Nađite polumjere kruga na osnovu formula

Kad u kontrolnom ispitu dobijete zadatak u kojem trebate pronaći radijus kruga, prvo morate analizirati dostupne podatke. Jer će tok odluke u cjelini ovisiti o njima. Dakle, na primjer, moguće je pronaći razmatranu vrijednost koristeći sljedeće parametre: opseg, njezinu površinu, promjer itd. Razmotrit ćemo najjednostavnije i najčešće metode za rješavanje problema u kojima je polumjer kruga nepoznat.

Svi znamo da je polumjer kruga duljina od njegovog središta do neke točke koja se nalazi na samom krugu. S tim u vezi, rješenja mogu biti sljedeća:

1. Kad vam se u početnim podacima problema dade promjer kruga, ovdje će rješenje biti jednostavnije nego jednostavno. Napokon znamo da je promjer segment koji povezuje nekoliko točaka na krugu, prolazeći kroz njegovo središte. Iz ovoga proizlazi da je prečnik 2 radijusa. Zatim pronalazimo polumjer prema formuli: r \u003d D / 2, gdje je r polumjer kruga, a D, njegov promjer. Na primjer, promjer uvjeta je 32 cm, tada polumjer izračunavamo na sljedeći način: 32/2 \u003d 16 cm.
2. Prelazimo na sljedeću metodu rješenja. Pretpostavimo da vam je dodijeljen obim u stanju. Matematički gledano, ovo je takozvani perimetar. Dobro smo svjesni da postoji posebna formula za pronalaženje obima: P \u003d 2πr. Odatle možemo izvesti formulu polumjera: r \u003d P / 2π. Sada razmotrite ovo kao primer. Pretpostavimo da vam je, uz uvjet problema, dodijeljen obim 31,4 cm, a π u matematici konstantna vrijednost i uvijek je 3,14; tada nalazimo radijus na sljedeći način: 31.4 / 2 * 3.14 \u003d 5 cm.
3. Sada razmislite kako pronaći polumjer kruga ako mu je dano područje. Formula područja kruga ima sljedeći oblik: S \u003d πr2. Odatle nalazimo formulu radijusa: r \u003d √ (S / π). Ponovo razmislite o svemu u digitalnom smislu. Dopustite vam da dobijete područje u stanju problema, na primjer, 28,26 cm2. Zamijenite podatke u formuli koju smo dobili i dobili smo: .228,26 / 3,14 \u003d 3 cm.

Sada vam neće biti teško riješiti bilo koji problem s pronalaskom radijusa kruga. Glavna stvar je jasno analizirati početne podatke, a zatim primijeniti odgovarajuću formulu i možete sebe smatrati izvrsnim matematičarom.

Kružnica  nazivaju je zatvorena, ravna krivulja, čije se sve točke leže u istoj ravnini uklanjaju na istoj udaljenosti od središta.

Tačka Oh    je središte kruga R    je polumjer kruga - udaljenost od neke točke na kružnici do centra. Po definiciji, svi radijusi zatvoreni

smokva 1

krivulje imaju istu dužinu.

Udaljenost između dviju tačaka kruga naziva se akordom. Segment kruga koji prolazi kroz njegovo središte i povezuje njegove dvije točke naziva se prečnik. Sredina promjera je sredina kruga. Točke krugova dijele zatvorenu krivulju na dva dijela, svaki se dio naziva kružni luk. Ako krajevi luka pripadaju promjeru, tada se takav krug naziva polukrug, čija se dužina obično označava π   . Mjera stepena dvaju krugova koji imaju zajedničke krajeve je 360 \u200b\u200bstepeni.

Koncentrični krugovi su krugovi koji imaju zajedničko središte. Ortogonalni krugovi su krugovi koji se presijecaju pod uglom od 90 stepeni.

Ravnina koju krug ograničava naziva se krugom. Jedan dio kruga, koji je ograničen sa dva polumjera i lukom, je kružni sektor. Sektorski luk je luk koji ograničava sektor.

Sl. 2

Međusobni raspored kruga i ravne linije (Sl. 2).

Krug i linija imaju dvije zajedničke točke ako je udaljenost od crte do središta kruga manja od polumjera kruga. U ovom se slučaju linija u odnosu na kružnicu naziva sekant.

Krug i linija imaju jednu zajedničku točku ako je udaljenost od crte do središta kruga jednaka polumjeru kruga. U ovom se slučaju linija u odnosu na krug naziva tangenta na kružnicu. Njihova zajednička tačka naziva se tandencija kruga i crte.

Osnovne formule krugova:

• C \u003d 2πR   gde C    - obim
• R \u003d C / (2π) \u003d D / 2 gde C / (2π)    - dužina kružnog luka
• D \u003d C / π \u003d 2R   gde D    - prečnik
• S \u003d πR2   gde S    - područje kruga
• S \u003d ((πR2) / 360) α gde S    - područje kružnog sektora

Krug i krug dobili su ime u drevnoj Grčkoj. Već u antici ljudi su se zanimali za okrugla tijela, pa je krug postao kruna savršenstva. Činjenica da se okruglo tijelo moglo kretati samostalno bio je poticaj za izum volana. Šta bi bilo posebno u ovom izumu? Ali zamislite ako u trenutku kotači nestanu iz naših života. U budućnosti je ovaj izum dao matematički koncept kruga.