Види кутів. Ознаки паралельності двох прямих. Властивості паралельних прямих навхрест кути, що лежать, рівні

За редакцією Іваницької В.П. - М: Державне навчально-педагогічне видавництво міністерства освіти РРФСР, 1959. - 272 c.
завантажити(пряме посилання) : egnnsholaster1959.djvu Попередня 1 .. 11 > .. >> Наступна

Якщо суміжні кути рівні, кожен з них називається прямим кутом. Їхня загальна сторона називається перпендикуляром до прямої, що утворюється двома іншими сторонами. Можна також сказати, що бісектриса розгорнутого кута є перпендикуляром до прямої сторони, що утворюється.

Теорема. Якщо кути дорівнюють, то рівні і суміжні з ними кути.

Нехай (h, k) = ^. (I, т) і нехай ^(h!, k) і ^(/", т)- відповідні їм суміжні кути (чорт. 20).Нехай, далі, / - рух, при якому ^(h, k) відображається в (I, tri).При цьому русі розгорнутий ^ (h, К) відобразиться в розгорнутий (I, /"). Звідси випливає, що ^(h", k) відобразиться в ^(V, т), тобто ^(h!, k) = ^(V, т).

Теорема. Існує бісектриса будь-якого кута і до того ж єдина.

Нехай ^ (A, k) відмінний від розгорнутого і внутрішня область випукла. Відкладемо на його сторонах від вершини О рівні відрізки OA та OB (чорт. 21, а) і з'єднаємо точки А та В. У рівнобедреному трикутнику AOB А = ^B (§ 8). З'єднуючи середину С відрізка AB з точкою О, отримаємо рівні за першою ознакою трикутники ЛОС і BOC Отже, AOC = ВОС, і тому промінь ОС - бісектриса (h, k).

Якщо (h, k) не є опуклим (на кресленні внутрішня область його не заштрихована), то за попередньою

6}
t ^

теоремі його бісектрисою є промінь т, додатковий до променя /.

З рівності трикутників ACO і BCO випливає також, що ACO = BCO1 тобто промінь СО є бісектрисою розгорнутого кута зі сторонами CA і СВ.

Нехай тепер дано розгорнутий ^ (р,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB відображається в

(Р, q). Промінь ЗІ відображається при цьому в промінь t. Оскільки ^(р, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO і ^ACO= = (q, t), то (р, t) = = ^(q, t), тобто t-бісектриса (Р, q).

Нехай / - бісектриса

(A, A), а Г - довільний промінь, що виходить з вершини кута і лежить у внутрішній області його. Якщо Г лежить у внутрішній ділянці ^ (А, /), то ^ (А, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (А, /). Отже, ^ (А, Г)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Наслідок 1. Існує один і тільки один перпендикуляр до даної прямої, що виходить із заданої на ній точки і лежить у заданій напівплощині, обмеженої цієї прямої.

Наслідок 2. Половини рівних кутів рівні між собою.

Дійсно, якщо ^(А, А) = ^(A", А"), то існує рух /, при якому один з них відображається в іншій. По доведеній теоремі їх бісектриси / і Г при цьому русі також повинні відобразитися одна в одну. Тому ^(A, /) = ^(A", Г).

Оскільки всі розгорнуті кути рівні, то окремим випадком слідства 2 є пропозиція: всі прямі кути рівні між собою.

Прямі а і А, що утворюють під час перетину прямі кути, називаються перпендикулярними (а ± Ь).

Відображення від прямої. Нехай пряма лежить у площині а. Утворені у своїй полуплоскости позначимо через X і р. (чорт. 22). Візьмемо на прямий промінь А

що виходить з точки О. За властивістю 6 рухів (§ 7) існує єдиний рух, що відображає промінь h сам в себе і напівплощину X в напівплощину jx. Всі точки цього променя за якістю 5 рухів відображаються самі в собі. Всі точки променя k, що доповнює до прямого променя h, теж відображаються самі в собі.

Отже, при розглянутому русі всі точки прямої відображаються самі в себе. Легко, далі, бачити, що по-

Візьмемо тепер крапку поза прямою а.

Теорема. Через будь-яку точку, що не лежить на прямій, проходить єдина пряма, перпендикулярна до цієї прямої.

Доведення. Нехай M - точка, що лежить поза прямою а (чорт. 23). Пряма а ділить площину, що визначається цією прямою і

точкою М, на дві напівплощини: напівплощина X, що містить точку М, і напівплощину jx. При відображенні від прямої а точка M відображається в точку M" напівплощини jx. Так як точки M і M" лежать у різних напівплоско-

сті, то прямі MM" і а Чорт 23

перетинаються в деякій

точці M0, яка при відображенні відображається сама в собі. Звідси випливає, що пряма MM відображається сама в себе, і тому кути / і 2, утворені нею з прямою а (див. рис. 23), відображаються один в інший.

лупа jx відображається при цьому в напівплощину X.

Розглянуте рух називається відбитком від прямої а.

З існування бісектриси розгорнутого кута випливає, що через будь-яку точку, що лежить на прямій а, можна провести пряму Ъ, перпендикулярну до прямої а.

Значить, ці кути рівні, а оскільки вони, крім того, суміжні, то MM" ± а. Нехай тепер через M проведена інша пряхма, що перетинає пряму а в деякій точці Af0. Вона відобразиться в пряму M"N0, a ^ MN0M0 відобразиться в M"N0M0. Отже, ^ 3 = ^i4. Але через аксіоми 1 (§ 2) чки M1 N0 і M" не лежать на одній прямій, і тому сума кутів 3 і 4, тобто ^ MN0M", не є розгорнутим кутом. Звідси випливає, що кути 3 і 4 відмінні від прямого і пряма MN0 не буде перпендикулярна до прямої а. Пряма MM" є, таким чином, єдиною прямою, перпендикулярною а і проходить через точку М.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Запитання 1.Які кути називаються суміжними?
Відповідь.Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими.
На малюнку 31 кути (a 1 b) та (a 2 b) суміжні. Вони сторона b загальна, а сторони a 1 і a 2 є додатковими напівпрямими.

Запитання 2.Доведіть, що сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Відповідь. Теорема 2.1.Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
Доведення.Нехай кут (a 1 b) та кут (a 2 b) - дані суміжні кути (див. рис.31). Промінь b проходить між сторонами a 1 і 2 розгорнутого кута. Тому сума кутів (a 1 b) і (a 2 b) дорівнює розгорнутому куту, тобто 180 °. Що й потрібно було довести.

Запитання 3.Доведіть, що якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
Відповідь.

З теореми 2.1 слід, що й два кута рівні, то суміжні із нею кути рівні.
Допустимо, кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні. Нам потрібно довести, що кути (a 2 b) та (c 2 d) теж рівні.
Сума суміжних кутів дорівнює 180 °. З цього випливає, що a 1 b + a 2 b = 180 ° і c 1 d + c 2 d = 180 °. Звідси, a 2 b = 180 ° - a 1 b і c 2 d = 180 ° - c 1 d. Оскільки кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні, ми отримуємо, що a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. За якістю транзитивності знака рівності слідує, що a 2 b = c 2 d. Що й потрібно було довести.

Запитання 4.Який кут називається прямим (гострим, тупим)?
Відповідь.Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом.
Кут, менший за 90°, називається гострим кутом.
Кут, більший за 90° і менший за 180°, називається тупим.

Запитання 5.Доведіть, що кут, суміжний із прямим, є прямий кут.
Відповідь.З теореми сумі суміжних кутів випливає, що кут, суміжний з прямим кутом, є прямий кут: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Запитання 6.Які кути називаються вертикальними?
Відповідь.Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими напівпрямими сторонами іншого.

Запитання 7.Доведіть, що вертикальні кути дорівнюють.
Відповідь. Теорема 2.2. Вертикальні кути рівні.
Доведення.Нехай (a 1 b 1) та (a 2 b 2)- дані вертикальні кути (рис. 34). Кут (a 1 b 2) є суміжним з кутом (a 1 b 1) та з кутом (a 2 b 2). Звідси по теоремі сумі суміжних кутів укладаємо, кожен із кутів (a 1 b 1) і (a 2 b 2) доповнює кут (a 1 b 2) до 180°, тобто. кути (a 1 b 1) та (a 2 b 2) рівні. Що й потрібно було довести.

Запитання 8.Доведіть, що якщо при перетині двох прямих один із кутів прямий, то інші три кути теж прямі.
Відповідь.Припустимо, що прямі AB та CD перетинають один одного в точці O. Припустимо, що кут AOD дорівнює 90°. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, отримуємо, що AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Кут COB вертикальний кут AOD, тому вони рівні. Тобто кут COB = 90 °. Кут COA вертикальний куті BOD, тому вони рівні. Тобто кут BOD = 90 °. Таким чином, усі кути дорівнюють 90°, тобто вони всі – прямі. Що й потрібно було довести.

Запитання 9.Які прямі називаються перпендикулярними? Який знак використовується для позначення перпендикулярності до прямих?
Відповідь.Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Перпендикулярність прямих позначається знаком (perp). Запис (aperp b) читається: «Пряма a перпендикулярна прямий b».

Запитання 10.Доведіть, що через будь-яку точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму, і лише одну.
Відповідь. Теорема 2.3.Через кожну пряму можна провести перпендикулярну їй пряму і лише одну.
Доведення.Нехай a - ця пряма і A - дана точка на ній. Позначимо через a 1 одну із напівпрямих прямою a з початковою точкою A (рис. 38). Відкладемо від напівпрямої a 1 кут (a 1 b 1), що дорівнює 90 °. Тоді пряма, що містить промінь b 1 буде перпендикулярна прямий a.

Припустимо, що існує інша пряма, що теж проходить через точку A і перпендикулярна до прямої a. Позначимо через c 1 напівпряму цієї прямої, що лежить в одній напівплощині з променем b 1 .
Кути (a 1 b 1) і (a 1 c 1), рівні кожен 90°, відкладені в одну напівплощину від напівпрямої a 1 . Але від напівпрямої a 1 в дану напівплощину можна відкласти лише один кут, що дорівнює 90°. Тому не бути іншою прямою, що проходить через точку A і перпендикулярною до прямої a. Теорему доведено.

Запитання 11.Що таке перпендикуляр до прямої?
Відповідь.Перпендикуляром до цієї прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної даної, який має одним зі своїх кінців їх точку перетину. Цей кінець відрізка називається основоюперпендикуляр.

Запитання 12.Поясніть, у чому полягає доказ протилежного.
Відповідь.Спосіб доказу, який ми застосували в теоремі 2.3, називається доказом протилежного. Цей спосіб доказу полягає в тому, що ми спочатку робимо припущення, протилежне тому, що затверджується теорема. Потім шляхом міркувань, спираючись на аксіоми та доведені теореми, приходимо до висновку, що суперечить умові теореми, або одній з аксіом, або доведеній раніше теоремі. На цій підставі укладаємо, що наше припущення було невірним, а отже, вірним є твердження теореми.

Запитання 13.Що називається бісектрисою кута?
Відповідь.Бісектриса кута називається промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл.

Кути.

Основні поняття.

Кут- це фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки.

Вершина кута- Це точка, з якої виходять два промені, що утворюють цей кут.

Бісектриса- це промінь, що виходить із вершини кута і ділить кут навпіл.

Розгорнутий кут- Це кут, сторони якого лежать на одній площині; дорівнює 180? і є прямою.

Прямий кут- це кут, що дорівнює половині розгорнутого кута; дорівнює 90?.

Гострий кут- це кут, який менший за прямий.

Тупий кут- це кут, який більший за прямий, але менший за розгорнутий.

Кут розбиває площину дві частини. Кожна частина називається плоским кутом.

Плоскі кути із загальними сторонами називаються додатковими.

Якщо плоский кут є частиною напівплощини, його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими ж сторонами.

Якщо плоский кут містить напівплощину, його градусна міра дорівнює 360 º - α, де α - градусна міра додаткового плоского кута.

Рівні кути.

Це кути, які збігаються під час накладання.

Суміжні кути.

Два кути називаються суміжнимиякщо у них одна сторона загальна, а інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими.

На малюнку кути (ad)і (cd)суміжні. У них сторона dзагальна, а сторони aі c- Додаткові напівпрямі.

Теорема:

Сума суміжних кутів дорівнює 180 º.

З теореми випливає:

Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути дорівнюють.

Якщо кут не розгорнутий, його градусна міра менше 180 º .

Кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут.

Вертикальні кути.

Два кути називаються вертикальнимиякщо сторони одного кута є додатковими напівпрямими сторін іншого. Вони створені перетином двох прямих і є прилеглими, мають загальну вершину і однакову градусну міру.

На малюнку кути (A 1 B 1) та (A 2 B 2) вертикальні. Сторони A 2 та B 2 другого кута є додатковими напівпрямими сторін A 1 та B 1 першого кута.

Теорема:

Вертикальні кути рівні.

Центральний кут.

Центральним кутомв колі називається плоский кут з вершиною у її центрі (рис.1).

Частина кола, розташована всередині плоского кута, називається дугого кола, що відповідає цьому центральному куту (на рис.1 дуга AB є дугою кола).

Градусною міроюдуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута.

Кути, вписані в коло.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло(Рис.2).

Властивості:

Кути при перетині двох прямих третьої.

При перетині прямих aі bсічучої cутворюється вісім кутів, які на малюнку позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7;

навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6.

Кожен кут, залежно від його величини, має свою назву:

Вид кута	Розмір у градусах	приклад
Гострий	Менше 90°
Прямий	дорівнює 90 °. На кресленні прямий кут зазвичай позначають символом , проведеним від одного боку кута до іншого.
Тупий	Більше 90 °, але менше 180 °
Розгорнутий	дорівнює 180 ° Розгорнутий кут дорівнює сумі двох прямих кутів, а прямий кут становить половину розгорнутого кута.
Випуклий	Більше 180 °, але менше 360 °
Повний	дорівнює 360 °

Два кути називаються суміжнимиякщо у них одна сторона загальна, а дві інші сторони становлять пряму лінію:

Кути MOPі PONсуміжні, так як промінь OP- спільна сторона, а дві інші сторони - OMі ONстановлять пряму.

Загальна сторона суміжних кутів називається похилої до прямої, На якій лежать дві інші сторони, тільки в тому випадку, коли суміжні кути не рівні між собою. Якщо суміжні кути рівні, їх спільна сторона буде перпендикуляром.

Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

Два кути називаються вертикальнимиякщо сторони одного кута доповнюють до прямих ліній сторони іншого кута:

Кути 1 та 3, а також кути 2 та 4 - вертикальні.

Вертикальні кути рівні.

Доведемо, що вертикальні кути дорівнюють:

Сума ∠1 та ∠2 складає розгорнутий кут. І сума ∠3 та ∠2 складає розгорнутий кут. Отже, ці дві суми дорівнюють:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

У цій рівності ліворуч і праворуч є по однаковому доданку - ∠2. Рівність не порушиться, якщо це доданок у лівій і правій частині опустити. Тоді ми отримуємо.