Називають натуральним. Натуральні числа. Натуральний ряд чисел

Натуральні числа для нас дуже звичні і природні. І це не дивно, так як знайомство з ними починається з перших років нашого життя на інтуїтивно зрозумілому рівні.

Інформація цієї статті створює базове уявлення про натуральні числа, розкриває їх призначення, прищеплює навички запису і читання натуральних чисел. Для кращого засвоєння матеріалу наведені необхідні приклади і ілюстрації.

Навігація по сторінці.

Натуральні числа - загальне уявлення.

Не позбавлене здорової логіки таку думку: поява завдання рахунки предметів (перший, другий, третій предмет і т.д.) і завдання зазначення кількості предметів (один, два, три предмети і т.д.) зумовило створення інструменту для її вирішення, цим інструментом з'явилися натуральні числа.

З цієї пропозиції видно основне призначення натуральних чисел - нести в собі інформацію про кількість будь-яких предметів або порядковий номер даного предмета в розглянутому безлічі предметів.

Щоб людина могла використовувати натуральні числа, вони повинні бути якимось чином доступні як для сприйняття, так і для відтворення. Якщо озвучити кожне натуральне число, то воно стане більш прийнятною на слух, а якщо зобразити натуральне число, то його можна буде побачити. Це самі природні способи, що дозволяють донести і сприйняти натуральні числа.

Так приступимо ж до придбання навичок зображення (записи) і навичок озвучування (читання) натуральних чисел, пізнаючи при цьому їх зміст.

Десяткова запис натурального числа.

Спочатку слід визначитися з тим, від чого ми будемо відштовхуватися при запису натуральних чисел.

Давайте запам'ятаємо зображення наступних знаків (покажемо їх через кому): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Наведені зображення є запис так званих цифр. Давайте відразу домовимося не перевертати, не нахиляти і іншим чином не спотворювати цифри під час запису.

Тепер домовимося, що в запису будь-якого натурального числа можуть бути присутніми тільки зазначені цифри і не можуть бути присутніми ніякі інші символи. Також домовимося, що цифри в запису натурального числа мають однакову висоту, розташовуються в рядок один за одним (з майже відсутніми відступами) і зліва знаходиться цифра, відмінна від цифри 0 .

Наведемо кілька прикладів правильної записи натуральних чисел: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (Зверніть увагу: відступи між цифрами не завжди однакові, докладніше про це буде сказано при розгляді). З наведених прикладів видно, що в запису натурального числа не обов'язково присутні всі з цифр 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; деякі або всі цифри, які беруть участь у записі натурального числа, можуть повторюватися.

записи 014 , 0005 , 0 , 0209 не є записами натуральних чисел, так як зліва знаходиться цифра 0 .

Запис натурального числа, виконана з урахуванням всіх вимог, описаних в цьому пункті, називається десяткової записом натурального числа.

Далі ми не будемо розмежовувати натуральні числа і їх запис. Пояснимо це: далі в тексті будуть використовуватися фрази типу «дано натуральне число 582 », Які означатимуть, що дано натуральне число, запис якого має вигляд 582 .

Натуральні числа в сенсі кількості предметів.

Прийшов час розібратися з кількісним змістом, який несе в собі записане натуральне число. Сенс натуральних чисел в плані нумерації предметів розглянуто в статті порівняння натуральних чисел.

Почнемо з натуральних чисел, записи яких збігаються з записами цифр, тобто, з чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 і 9 .

Уявімо, що ми відкрили очі і побачили деякий предмет, наприклад, ось такий. В цьому випадку можна записати, що ми бачимо 1 предмет. Натуральне число 1 читається як « один»(Схиляння числівника« один », а також інших числівників, дамо в пункті), для числа 1 прийнято ще одну назву - « одиниця».

Однак, термін «одиниця» - багатозначний, їм крім натурального числа 1 , Називають щось, що розглядається як єдине ціле. Наприклад, будь-який один предмет з їх безлічі можна назвати одиницею. Наприклад, будь-який яблуко з безлічі яблук - це одиниця, будь-яка зграя птахів з безлічі зграй птахів - це також одиниця і т.д.

Тепер відкриваємо очі і бачимо:. Тобто, ми бачимо один предмет і ще один предмет. В цьому випадку можна записати, що ми бачимо 2 предмета. Натуральне число 2 , Читається як « два».

Аналогічно, - 3 предмета (читається « три»Предмета), - 4 (« чотири») Предмета, - 5 (« п'ять»), - 6 (« шість»), - 7 (« сім»), - 8 (« вісім»), - 9 (« дев'ять») Предметів.

Отже, з розглянутої позиції натуральні числа 1 , 2 , 3 , …, 9 вказують кількість предметів.

Число, запис якого збігається із записом цифри 0 , Називають « нуль». Число нуль НЕ натуральне, однак, його зазвичай розглядають разом з натуральними числами. Запам'ятаємо: нуль означає відсутність чого-небудь. Наприклад, нуль предметів - це жодного предмета.

У наступних пунктах статті ми продовжимо розкривати зміст натуральних чисел в плані вказівки кількості.

Однозначні натуральні числа.

Очевидно, запис кожного з натуральних чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 складається з одного знака - однієї цифри.

Визначення.

Однозначні натуральні числа - це натуральні числа, запис яких складається з одного знака - однієї цифри.

Перерахуємо всі однозначні натуральні числа: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Всього однозначних натуральних чисел дев'ять.

Двозначні і тризначні натуральні числа.

Спочатку дамо визначення двозначних натуральних чисел.

Визначення.

Двозначні натуральні числа - це натуральні числа, запис яких складають два знака - дві цифри (різні або однакові).

Наприклад, натуральне число 45 - двозначне, числа 10 , 77 , 82 теж двозначні, а 5 490 , 832 , 90 037 - не двозначно.

Давайте розберемося, який зміст несуть в собі двозначні числа, при цьому будемо відштовхуватися від вже відомого нам кількісного сенсу однозначних натуральних чисел.

Для початку введемо поняття десятка.

Уявімо таку ситуацію - ми відкрили очі і побачили безліч, що складається з дев'яти предметів і ще одного предмета. У цьому випадку говорять про 1 десятці (одному десятку) предметів. Якщо розглядають разом один десяток і ще один десяток, то говорять про 2 десятках (двох десятках). Якщо до двох десятків приєднати ще один десяток, то будемо мати три десятка. Продовжуючи цей процес, будемо отримувати чотири десятки, п'ять десятків, шість десятків, сім десятків, вісім десятків, і нарешті, дев'ять десятків.

Тепер ми можемо перейти до суті двозначних натуральних чисел.

Для цього подивимося на двозначне число як на два однозначних числа - одне знаходиться зліва в запису двозначного числа, інше знаходиться праворуч. Число зліва вказує кількість десятків, а число праворуч - кількість одиниць. При цьому якщо справа в запису двозначного числа знаходиться цифра 0 , То це означає відсутність одиниць. В цьому і є весь сенс двозначних натуральних чисел в плані вказівки кількості.

Наприклад, двозначне натуральне число 72 відповідає 7 десяткам і 2 одиницям (тобто, 72 яблука - це безліч з семи десятків яблук і ще двох яблук), а число 30 відповідає 3 десяткам і 0 одиницям, тобто, одиниць, які не є об'єднані в десятки, немає.

Відповімо на питання: «Скільки всього існує двозначних натуральних чисел»? Відповідь: їх 90 .

Переходимо до визначення тризначних натуральних чисел.

Визначення.

Натуральні числа, запис яких складається з 3 знаків - 3 цифр (різних або повторюваних), називаються тризначними.

Прикладами натуральних тризначних чисел є 372 , 990 , 717 , 222 . Натуральні числа 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 не є тризначними.

Для розуміння сенсу, закладеного в тризначних натуральних числах, нам знадобиться поняття сотні.

Безліч з десяти десятків - це 1 сотня (одна сотня). Сотня і сотня - це 2 сотні. Дві сотні і ще одна сотня - це три сотні. І так далі, маємо чотири сотні, п'ять сотень, шість сотень, сім сотень, вісім сотень, і, нарешті, дев'ять сотень.

Тепер подивимося на тризначне натуральне число як на три однозначних натуральних числа, що йдуть один за одним справа наліво в запису тризначного натурального числа. Число праворуч вказує кількість одиниць, наступне число вказує кількість десятків, наступне число - кількість сотень. цифри 0 в запису тризначного числа означають відсутність десятків і (або) одиниць.

Таким чином, тризначне натуральне число 812 відповідає 8 сотням, 1 десятку і 2 одиницям; число 305 - трьом сотням ( 0 десяткам, тобто, десятків, не об'єднаних в сотні, немає) і 5 одиницям; число 470 - чотирьом сотням і семи десяткам (одиниць, не об'єднаних в десятки, немає); число 500 - п'яти сотням (десятків, не об'єднаних в сотні, і одиниць, не об'єднаних в десятки, немає).

Аналогічним чином можна дати визначення чотиризначних, п'ятизначних, шестизначних і т.д. натуральних чисел.

Багатозначні натуральні числа.

Отже, переходимо до визначення багатозначних натуральних чисел.

Визначення.

Багатозначні натуральні числа - це натуральні числа, запис яких складається з двох або трьох або чотирьох і т.д. знаків. Іншими словами, багатозначні натуральні числа - це двозначні, тризначні, чотиризначні і т.д. числа.

Відразу скажемо, що безліч, що складається з десяти сотень, - це одна тисяча, Тисяча тисяч - це один мільйон, Тисяча мільйонів - це один мільярд, Тисяча мільярдів - це один трильйон. Тисячі трильйонів, тисячі тисяч трильйонів і так далі також можна дати свої назви, але в цьому немає особливої \u200b\u200bпотреби.

То який сенс ховається за багатозначними натуральними числами?

Подивимося на багатозначне натуральне число як на такі одне за іншим справа наліво однозначні натуральні числа. Число праворуч вказує кількість одиниць, наступне число - кількість десятків, наступне - кількість сотень, далі - кількість тисяч, далі - кількість десятків тисяч, далі - сотень тисяч, далі - кількість мільйонів, далі - кількість десятків мільйонів, далі - сотень мільйонів, далі - кількість мільярдів, далі - кількість десятків мільярдів, далі - сотень мільярдів, далі - трильйонів, далі - десятків трильйонів, далі - сотень трильйонів і так далі.

Наприклад, багатозначне натуральне число 7 580 521 відповідає 1 одиниці, 2 десяткам, 5 сотням, 0 тисячам, 8 десяткам тисяч, 5 сотням тисяч і 7 мільйонам.

Таким чином, ми навчилися групувати одиниці в десятки, десятки в сотні, сотні в тисячі, тисячі в десятки тисяч і так далі і з'ясували, що цифри в запису багатозначного натурального числа вказують відповідну кількість вищеперелічених груп.

Читання натуральних чисел, класи.

Ми вже згадували, як читаються однозначні натуральні числа. Вивчимо вміст наступних таблиць напам'ять.

А як читаються інші двозначні числа?

Пояснимо на прикладі. Прочитаємо натуральне число 74 . Як ми з'ясували вище, це число відповідає 7 десяткам і 4 одиницям, тобто, 70 і 4 . Звертаємося до щойно записаним таблицями, і число 74 читаємо як: «Сімдесят чотири» (союз «і" не вимовляємо). Якщо потрібно прочитати число 74 в реченні: «Ні 74 яблук »(родовий відмінок), то це буде звучати так:« Ні сімдесяти чотирьох яблук ». Ще приклад. число 88 - це 80 і 8 , Отже, читаємо: «Вісімдесят вісім». А ось приклад пропозиції: «Він думає про вісімдесяти восьми рублях».

Переходимо до читання тризначних натуральних чисел.

Для цього нам доведеться вивчити ще кілька нових слів.

Залишилося показати, як читаються інші тризначні натуральні числа. При цьому будемо використовувати вже отримані навички читання однозначних і двозначних чисел.

Розберемо приклад. прочитаємо число 107 . Це число відповідає 1 сотні і 7 одиницям, тобто, 100 і 7 . Звернувшись до таблиць, читаємо: «Сто сім». А тепер вимовимо число 217 . Це число є 200 і 17 , Тому, читаємо: «Двісті сімнадцять». аналогічно, 888 - це 800 (Вісімсот) і 88 (Вісімдесят вісім), читаємо: «Вісімсот вісімдесят вісім».

Переходимо до читання багатозначних чисел.

Для читання запис багатозначного натурального числа розбивається, починаючи справа, на групи по три цифри, при цьому в самій лівій такій групі може виявитися або 1 , або 2 , або 3 цифри. Ці групи називаються класами. Клас, що знаходиться праворуч, називають класом одиниць. Наступний за ним (справа наліво) клас називають класом тисяч, Наступний клас - класом мільйонів, Наступний - класом мільярдів, Далі йде клас трильйонів. Можна дати назви і наступних класів, але натуральні числа, запис яких складається з 16 , 17 , 18 і т.д. знаків, зазвичай не читають, так як їх дуже важко сприйняти на слух.

Подивіться на приклади розбиття багатозначних чисел на класи (для наочності класи відокремлюють один від одного невеликим відступом): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Занесемо записані натуральні числа в таблицю, по якій легко навчитися їх читати.

Щоб прочитати натуральне число, називаємо зліва направо складові його числа по класах і додаємо назву класу. При цьому не вимовляємо назву класу одиниць, а також пропускаємо ті класи, які складають три цифри 0 . Якщо в запису класу зліва знаходиться цифра 0 або дві цифри 0 , То ігноруємо ці цифри 0 і читаємо число, отримане відкиданням цих цифр 0 . Наприклад, 002 прочитаємо як «два», а 025 - як «двадцять п'ять».

прочитаємо число 489 002 за наведеними правилами.

Читання ведемо зліва направо,

• читаємо число 489 , Що представляє клас тисяч, - «чотириста вісімдесят дев'ять";
• додаємо назву класу, отримуємо «чотириста вісімдесят дев'ять тисяч»;
• далі в класі одиниць бачимо 002 , Зліва знаходяться нулі, їх ігноруємо, тому 002 читаємо як «два»;
• назва класу одиниць додавати не треба;
• в результаті маємо 489 002 - «чотириста вісімдесят дев'ять тисяч два".

Приступаємо до читання числа 10 000 501 .

• Зліва в класі мільйонів бачимо число 10 , Читаємо «десять»;
• додаємо назву класу, маємо «десять мільйонів»;
• далі бачимо запис 000 в класі тисяч, так як всі три цифри є цифри 0 , То пропускаємо цей клас і переходимо до наступного;
• клас одиниць являє число 501 , Яке читаємо "П'ятсот один";
• таким чином, 10 000 501 - десять мільйонів п'ятсот один.

Зробимо це без докладних пояснень: 1 789 090 221 214 - «один трильйон сімсот вісімдесят дев'ять мільярдів дев'яноста мільйонів двісті двадцять одна тисяча двісті чотирнадцять».

Отже, в основі навички читання багатозначних натуральних чисел лежить вміння розбивати багатозначні числа на класи, знання назв класів та вміння читати тризначні числа.

Розряди натурального числа, значення розряду.

У записі натурального числа значення кожної цифри залежить від її позиції. Наприклад, натуральне число 539 відповідає 5 сотням, 3 десяткам і 9 одиницям, отже, цифра 5 в запису числа 539 визначає кількість сотень, цифра 3 - кількість десятків, а цифра 9 - кількість одиниць. При цьому говорять, що цифра 9 варто в розряді одиниць і число 9 є значенням розряду одиниць, цифра 3 варто в розряді десятків і число 3 є значенням розряду десятків, А цифра 5 - в розряді сотень і число 5 є значенням розряду сотень.

Таким чином, розряд - це з одного боку позиція цифри в запису натурального числа, а з іншого боку значення цієї цифри, яке визначається її позицією.

Розрядами присвоєні назви. Якщо дивитися на цифри в запису натурального числа справа наліво, то їм будуть відповідати наступні розряди: одиниць, десятків, сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч, мільйонів, десятків мільйонів і так далі.

Назви розрядів зручно запам'ятовувати, коли вони представлені у вигляді таблиці. Запишемо таблицю, яка містить назви 15 розрядів.

Зауважимо, що кількість розрядів даного натурального числа дорівнює кількості знаків, що беруть участь у записі цього числа. Таким чином, у записаній таблиці містяться назви розрядів всіх натуральних чисел, запис яких містить до 15 знаків. Наступні розряди також мають свої назви, але вони дуже рідко використовуються, тому не має сенсу їх згадувати.

За допомогою таблиці розрядів зручно визначати розряди даного натурального числа. Для цього потрібно записати в цю таблицю дане натуральне число так, щоб в кожному розряді виявилася одна цифра, і крайня праворуч цифра виявилася в розряді одиниць.

Наведемо приклад. Запишемо натуральне число 67 922 003 942 в таблицю, при цьому стануть чітко видно розряди і значення цих розрядів.

У записі цього числа цифра 2 варто в розряді одиниць, цифра 4 - в розряді десятків, цифра 9 - в розряді сотень і т.д. Слід звернути увагу на цифри 0 , Що знаходяться в розрядах десятків тисяч і сотень тисяч. цифри 0 в цих розрядах означають відсутність одиниць даних розрядів.

Слід ще обмовитися про так званому нижчому (молодшому) і вищому (старшому) розряді багатозначного натурального числа. Нижчою (молодшим) розрядом будь-якого багатозначного натурального числа є розряд одиниць. Вищим (старшим) розрядом натурального числа є розряд, відповідний крайней справа цифрі в запису цього числа. Наприклад, молодшим розрядом натурального числа 23 004 є розряд одиниць, а старшим - розряд десятків тисяч. Якщо в запису натурального числа рухатися за розрядами зліва направо, то кожен наступний розряд нижче (молодше) попереднього. Наприклад, розряд тисяч молодше розряду десятків тисяч, тим більше розряд тисяч молодше розряду сотень тисяч, мільйонів, десятків мільйонів і т.д. Якщо ж в запису натурального числа рухатися за розрядами справа наліво, то кожен наступний розряд вище (старше) попереднього. Наприклад, розряд сотень старше розряду десятків, і тим більше, старше розряду одиниць.

У деяких випадках (наприклад, при виконанні додавання або віднімання) використовується не саме натуральне число, а сума розрядних доданків цього натурального числа.

Коротенько про десятковій системі числення.

Отже, ми познайомилися з натуральними числами, зі змістом, закладеним в них, і способом запису натуральних чисел за допомогою десяти цифр.

Взагалі, метод запису чисел за допомогою знаків, називають системою числення. Значення цифри в запису числа може залежати від її позиції, а може і не залежати від її позиції. Системи числення, в яких значення цифри в записі числа залежить від її позиції, називають позиційними.

Таким чином, розглянуті нами натуральні числа і метод їх записи, вказує на те, що ми користуємося позиційної системою числення. Слід зауважити, що особливе місце в цій системі числення має число 10 . Дійсно, рахунок ведеться десятками: десять одиниць об'єднуються в десяток, десяток десятків об'єднується в сотню, десяток сотень - у тисячу, і так далі. число 10 називають підставою даної системи числення, а саму систему числення називають десяткової.

Крім десяткової системи числення існують і інші, наприклад, в інформатиці використовується двійкова позиційна система числення, а з Шістдесяткова системою ми стикаємося, коли мова йде про вимірювання часу.

Список літератури.

• Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх установ.

Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм було потрібно перерахувати предмети (тварин, рибу і т.д.), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і говорили: «У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці».

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальною властивістю - їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа - це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числа не існує.

За рахунку число нуль не використовується. Тому нуль не рахується натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж вважати. Перш за все вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками - число 2, трьома - число 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися і особливі знаки для позначення чисел - попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1 500 років тому. В Європу їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Всього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

натуральний ряд - це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше попереднього на 1.

Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому не існує.

Систему рахунку (числення), який ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десяткової тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця в запису числа, тобто від розряду, в якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинськими назвами чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

• 1 000 мільярдів \u003d 1 000 000 000 000 \u003d 1 трильйон ( «три» - по латині «три»)
• 1 000 трильйонів \u003d 1 000 000 000 000 000 \u003d 1 квадрильйон ( «квадра» - по латині «чотири»)
• 1 000 квадрильйонів \u003d 1 000 000 000 000 000 000 \u003d 1 квінтильйон ( «квінта» - по латині «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевершує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву - гугол. Гугол - число, у якого 100 нулів.

Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм було потрібно перерахувати предмети (тварин, рибу і т.д.), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і говорили: «У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці».

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців володіють загальною властивістю - їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа - це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числа не існує.

За рахунку число нуль не використовується. Тому нуль не рахується натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж вважати. Перш за все вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками - число 2, трьома - число 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися і особливі знаки для позначення чисел - попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1 500 років тому. В Європу їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Всього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

натуральний ряд - це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше попереднього на 1.

Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому не існує.

Систему рахунку (числення), який ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десяткової тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця в запису числа, тобто від розряду, в якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинськими назвами чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

• 1 000 мільярдів \u003d 1 000 000 000 000 \u003d 1 трильйон ( «три» - по латині «три»)
• 1 000 трильйонів \u003d 1 000 000 000 000 000 \u003d 1 квадрильйон ( «квадра» - по латині «чотири»)
• 1 000 квадрильйонів \u003d 1 000 000 000 000 000 000 \u003d 1 квінтильйон ( «квінта» - по латині «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевершує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву - гугол. Гугол - число, у якого 100 нулів.

Натуральні числа і їх властивості

Для рахунку предметів в житті використовують натуральні числа. У записі будь-якого натурального числа використовуються цифри $ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 $

Послідовність натуральних чисел, кожне наступне число в якому на $ 1 $ більше попереднього, утворює натуральний ряд, який починається з одиниці (тому що одиниця найменше натуральне число) і не має найбільшого значення, Тобто нескінченний.

Нуль не відносять до натуральних числах.

Властивості відношення слідування

Всі властивості натуральних чисел і операцій над ними слідують з чотирьох властивостей відносин прямування, які були сформульовані в $ 1891 $ м Д.Пеано:

Одиниця натуральне число, яке не слід ні за яким натуральним числом.

За кожним натуральним числом слід те й лише число

Кожне натуральне число, відмінне від $ 1 $, слід за одним і тільки одним натуральним числом

Підмножина натуральних чисел, що містить число $ 1 $, а разом з кожним числом і наступне за ним число, містить всі натуральні числа.

Якщо запис натурального числа складається з однієї цифри його називають однозначним (наприклад, $ 2,6.9 $ і т.д.), якщо запис складається з двох цифр-двозначним (наприклад, $ 12,18,45 $) і т.д. за аналогією. Двозначні, тризначні, чотиризначні і т.д. числа називають в математиці багатозначними.

Властивість складання натуральних чисел

Переместительное властивість: $ a + b \u003d b + a $

Сума не змінюється при перестановці доданків

Сочетательное властивість: $ a + (b + c) \u003d (a + b) + c $

Щоб додати до числа суму двох чисел, можна спочатку додати перший доданок, а потім, до отриманої сумме- другий доданок

Від додавання нуля число не зміниться і якщо додати до нуля якесьнебудь число, то вийде доданий число.

властивості віднімання

Властивість вирахування суми з числа $ a- (b + c) \u003d a-b-c $ якщо $ b + c ≤ a $

Для того, щоб відняти суму з числа, можна спочатку відняти від цього числа перший доданок, а потім з отриманої разності- другий доданок

Властивість віднімання числа із суми $ (a + b) -c \u003d a + (b-c) $, якщо $ c ≤ b $

Щоб із суми відняти число, можна відняти його з одного доданка, а до отриманої різниці додати інше доданок

Якщо з числа відняти нуль, то число не зміниться

Якщо з числа відняти його саме, то вийде нуль

властивості множення

Переместительное $ a \\ cdot b \u003d b \\ cdot a $

Твір двох чисел не змінюється при перестановці множників

Сочетательное $ a \\ cdot (b \\ cdot c) \u003d (a \\ cdot b) \\ cdot c $

Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник

При множенні на одиницю твір не змінюється $ m \\ cdot 1 \u003d m $

При множенні на нуль добуток дорівнює нулю

Коли в записі твору немає дужок, множення виконують по порядку зліва направо

Властивості множення щодо додавання і віднімання

Розподільна властивість множення щодо складання

$ (A + b) \\ cdot c \u003d ac + bc $

Для того щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і скласти отримані твори

Наприклад, $ 5 (x + y) \u003d 5x + 5y $

Розподільна властивість множення щодо вирахування

$ (A-b) \\ cdot c \u003d ac-bc $

Для того, щоб помножити різницю на число, множно помножити на це число зменшуване і від'ємник і з першого твору відняти друге

Наприклад, $ 5 (x-y) \u003d 5x-5y $

Порівняння натуральних чисел

Для будь-яких натуральних чисел $ a $ і $ b $ може виконуватися тільки одна з трьох співвідношень $ a \u003d b $, $ a

Меншим вважається число, яке в натуральному ряду з'являється раніше, а великим, яке з'являється пізніше. Нуль менше будь-якого натурального числа.

приклад 1

Порівняти числа $ a $ і $ 555 $, якщо відомо, що існує певна кількість $ b $, причому виконуються співвідношення: $ a

Рішення: На підставі зазначеного властивості, т.к. за умовою $ a

в будь-якому підмножині натуральних чисел, що містить хоча б одне число, є найменше число

Підмножиною в математиці називають частину безлічі. Кажуть, що безліч є підмножиною іншого, якщо кожен елемент підмножини є одночасно і елементом більшого безлічі

Часто для порівняння чисел знаходять їх різницю і порівнюють її з нулем. Якщо різниця більше $ 0 $, але перше число більше другого, якщо різниця менше $ 0 $, то перше число менше другого.

Округлення натуральних чисел

Коли повна точність не потрібна, або неможлива, числа округлюють, тобто замінюють їх близькими числами з нулями на кінці.

Натуральні числа округлюють до десятків, сотень, тисяч і т.д

При округлеіі числа до десятків його замінюють найближчим числом, що складається з цілих десятків; у такого числа в розряді одиниць стоїть цифра $ 0 $

При округлеіі числа до сотень його замінюють найближчим числом, що складається з цілих сотень; у такого числа в розряді десятків і одиниць повинна стояти цифра $ 0 $. І т.д

Числа, до яких округлюють дане називають наближеним значенням числа з точністю до зазначених разрядов.Напрімер якщо округляти число $ 564 $ до десятків то отримаємо, що округлити його можна з недоліком і отримати $ 560 $, або з надлишком і отримати $ 570 $.

Правило округлення натуральних чисел

Якщо праворуч від розряду, до якого округлюють число, стоїть цифра $ 5 $ або цифра, велика $ 5 $, то до цифри цього розряду додають $ 1 $; в іншому випадку цю цифру залишають без зміни

Всі цифри, розташовані правіше розряду, до якого округлюють число, замінюють нулями

Натуральні числа

Натуральні числа визначення - це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів і багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яке найменше натуральне число? Одиниця - це найменше натуральне число.
Яке найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральне число. Отже, складання натуральних чисел a і b:

Твір натуральних чисел є натуральне число. Отже, твір натуральних чисел a і b:

с - це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше від'ємника, то різниця натуральних чисел є натуральне число, інакше - немає.

Приватне натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a і b

де с - натуральне число, то це означає, що a ділиться на b без остачі. У цьому прикладі a - ділене, b - дільник, c - приватна.

Дільник натурального числа - це натуральне число, на яке перше число ділиться без остачі.

Кожне натуральне число ділиться на одиницю і на себе.

Прості натуральні числа діляться тільки на одиницю і на себе. Тут мається на увазі діляться без остачі. Приклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться тільки на одиницю і на себе. Це прості натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більше одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складових чисел:

Одиницю не вважають складовим числом.

Безліч натуральних чисел складають одиниця, прості числа і складені числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською буквою N.

Властивості додавання і множення натуральних чисел:

переместительное властивість складання

сочетательное властивість складання

(A + b) + c \u003d a + (b + c);

переместительное властивість множення

сочетательное властивість множення

(Ab) c \u003d a (bc);

розподільна властивість множення

A (b + c) \u003d ab + ac;

Цілі числа

Цілі числа - це натуральні числа, нуль і числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним - це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;...

Безліч цілих чисел позначається латинською буквою Z.

раціональні числа

Раціональні числа - це цілі числа і дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді періодичної дробу. приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

З прикладів видно, що будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді дробу m / n, де m ціле число, n натуральне число. Уявімо у вигляді такої дробу число 3, (6) з попереднього прикладу.