Paprastas įvykis tikimybių teorijoje. Tikimybių teorija. Pagrindiniai terminai ir sąvokos. Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Doktrina apie įstatymus, kurie laikosi vadinamųjų. atsitiktiniai reiškiniai. Užsienio žodžių, įtrauktų į rusų kalbą, žodynas. Chudinovas A.N., 1910 m. Rusų kalbos žodžių žodynas

tikimybių teorija - - [L.G.Sumenko. Anglų rusų informacinių technologijų žodynas. M.: GP TsNIIS, 2003.] Informacinių technologijų temos apskritai EN tikimybių teorija tikimybių tikimybės skaičiavimo teorija ... Techninio vertėjo vadovas

Tikimybių teorija - yra matematikos dalis, tirianti įvairių įvykių tikimybių (žr. Tikimybė ir statistika) ryšį. Išvardinkime svarbiausias su šiuo mokslu susijusias teoremas. Vieno iš kelių nenuoseklių įvykių tikimybė lygi ... enciklopedinis žodynas F. Brockhausas ir I.A. Efronas

GALIMYBIŲ TEORIJA - matematinis. mokslas, leidžiantis kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybėms (žr.) rasti atsitiktinių įvykių, susijusių su. l. būdas su pirmuoju. Šiuolaikinis televizorius remiantis aksiomatika (žr. Aksiomatinis metodas) A. N. Kolmogorovas. …… Rusijos sociologinė enciklopedija

Tikimybių teorija - matematikos šaka, kurioje pagal pateiktas kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybes randama kitų įvykių tikimybė, tam tikru būdu susijusi su pirmuoju. Tikimybių teorija taip pat tiria atsitiktinius kintamuosius ir atsitiktinius procesus. Vienas pagrindinių ... ... Sąvokos šiuolaikinis gamtos mokslas... Pagrindinių terminų žodynas

tikimybių teorija - tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. tikimybių teorija vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. tikimybių teorija, f pranc. théorie des probabilités, f ... Fizikos terminų žodynas

Tikimybių teorija - ... Vikipedija

Tikimybių teorija - matematinė disciplina, tirianti atsitiktinių reiškinių modelius ... Šiuolaikinio gamtos mokslo užuomazgos

GALIMYBIŲ TEORIJA - (tikimybių teorija) žr. Tikimybė ... Išsamus aiškinamasis sociologinis žodynas

Tikimybių teorija ir jos taikymai - („Tikimybių teorija ir jos taikymai“,) mokslo žurnalas SSRS mokslų akademijos matematikos katedros. Skelbia originalius straipsnius ir trumpieji pranešimai apie tikimybių teoriją, bendrieji klausimai matematinė statistika ir jų pritaikymas gamtos mokslams ir ... Didžioji tarybinė enciklopedija

Knygos

• Tikimybių teorija. , Wentzel E.S .. Knyga yra vadovėlis, skirtas žmonėms, susipažįstantiems su matematika įprastų universitetinių kursų srityje ir besidomintiems tikimybių teorijos techniniais pritaikymais ... Pirkti už 2056 UAH (tik Ukraina)
• Tikimybių teorija. , Wentzel E.S .. Knyga yra vadovėlis, skirtas asmenims, susipažįstantiems su matematika įprastų universitetinių kursų srityje ir besidomintiems techninėmis tikimybių teorijos taikymo ...

Matematika programuotojams: tikimybių teorija

Ivanas Kamyšanas

Kai kurie programuotojai, dirbę kurdami įprastas komercines programas, galvoja apie mašininio mokymosi įvaldymą ir tapimą duomenų analitiku. Jie dažnai nesupranta, kodėl tam tikri metodai veikia, o dauguma mašininio mokymosi metodų atrodo kaip magija. Iš tikrųjų mašininis mokymasis grindžiamas matematine statistika, kuri savo ruožtu remiasi tikimybių teorija. Todėl šiame straipsnyje atkreipsime dėmesį į pagrindines tikimybių teorijos sąvokas: paliesime tikimybės, pasiskirstymo apibrėžimus ir išanalizuosime keletą paprastų pavyzdžių.

Galbūt žinote, kad tikimybių teorija įprastai yra padalinta į 2 dalis. Diskreti tikimybių teorija tiria reiškinius, kuriuos galima apibūdinti pasiskirstymu su galingu (arba suskaičiuojamu) galimo elgesio (kauliukų, monetų metimo) skaičiumi. Nuolatinė tikimybių teorija tiria reiškinius, pasiskirstiusius po tam tikrą tankią aibę, pavyzdžiui, segmente ar apskritime.

Galimybių teorijos dalyką galite apsvarstyti pateikdami paprastą pavyzdį. Įsivaizduokite save kaip šaulių kūrėją. Šaudymo mechanika yra neatsiejama šio žanro žaidimų kūrimo dalis. Akivaizdu, kad šaulys, kuriame visi ginklai šaudomi absoliučiai tiksliai, žaidėjams bus mažai įdomus. Todėl į ginklą būtina pridėti sklaidą. Bet paprastas atsitiktinis ginklo pataikymo taškų nustatymas neleis tiksliai sureguliuoti, todėl bus sunku sureguliuoti žaidimo balansą. Tuo pačiu metu, naudodami atsitiktinius kintamuosius ir jų paskirstymus, galite analizuoti, kaip ginklas veiks su tam tikru plitimu, ir padėti atlikti reikiamus pakeitimus.

Elementarių rezultatų erdvė

Tarkime, iš kokio nors atsitiktinio eksperimento, kurį galime pakartoti daug kartų (pavyzdžiui, mėtydami monetą), galime išgauti tam tikrą įformintą informaciją (galvas ar uodegas). Ši informacija vadinama elementariu rezultatu, tuo tarpu patartina atsižvelgti į visų elementarių rezultatų rinkinį, dažnai žymimą Ω (Omega) raide.

Šios erdvės struktūra visiškai priklauso nuo eksperimento pobūdžio. Pvz., Jei svarstysime šaudymą į pakankamai didelį apskritą taikinį, elementarių rezultatų erdvė bus apskritimas, kad patogumas būtų nuleistas į centrą, o rezultatas bus taškas šiame apskritime.

Be to, atsižvelgiama į daugelį elementarių rezultatų - įvykių (pavyzdžiui, patekimas į dešimtuką yra koncentrinis apskritimas su mažu spinduliu su taikiniu). Atskiru atveju viskas yra gana paprasta: bet kokį įvykį, įskaitant arba neįtraukiant elementarių rezultatų, galime gauti per ribotą laiką. Nuolatiniu atveju viskas yra daug sudėtingiau: mums reikia svarstyti gana geros rinkinių šeimos, vadinamos algebra pagal analogiją su pirminiais realiaisiais skaičiais, kuriuos galima sudėti, atimti, padalyti ir dauginti. Algebros rinkiniai gali būti susikirsti ir sujungti, o operacijos rezultatas bus algebra. Tai yra labai svarbi visų šių sąvokų matematikos savybė. Minimali šeima susideda tik iš dviejų rinkinių - tuščio rinkinio ir pradinių rezultatų erdvės.

Priemonė ir tikimybė

Tikimybė yra būdas padaryti išvadas apie labai sudėtingų objektų elgesį, nesigilinant į jų veikimą. Taigi tikimybė apibrėžiama kaip įvykio (iš tos labai geros rinkinių šeimos), kuris grąžina skaičių, funkcija - tam tikra charakteristika, kaip dažnai toks įvykis gali įvykti realybėje. Dėl aiškumo matematikai sutiko, kad šis skaičius turėtų būti nuo nulio iki vieno. Be to, šiai funkcijai keliami reikalavimai: neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui, viso rezultatų rinkinio tikimybė yra viena, o dviejų nepriklausomų įvykių (nesikertančių rinkinių) sujungimo tikimybė lygi tikimybės. Kitas tikimybės pavadinimas yra tikimybės matas. Dažniausiai naudojamas Lebesgue'o matas, apibendrinantis ilgio, ploto, tūrio sąvokas į bet kokius matmenis (n-dimensijų tūris), taigi jis taikomas plačiai aibių klasei.

Kartu vadinamas pagrindinių elementų rezultatų rinkinys, aibių šeima ir tikimybės matas tikimybinė erdvė... Apsvarstykime, kaip mes galime sukonstruoti tikimybinę erdvę pavyzdžiui šaudydami.

Apsvarstykite galimybę nušauti didelį apvalų taikinį R spinduliu, kurio negalima praleisti. Įdėjome elementarių įvykių rinkinį apskritimą, kurio centras yra spindulio R koordinačių pradžia. Kadangi įvykio tikimybei apibūdinti naudosime sritį (Lebesgue'o matas dvimatėms aibėms), naudosime išmatuojamų (kuriems ši priemonė yra) rinkinių šeimą.

Pastaba Tiesą sakant, tai yra techninis reikalas ir atliekant paprastas užduotis mato ir rinkinių šeimos nustatymo procesas neturi ypatingo vaidmens. Tačiau būtina suprasti, kad šie du objektai egzistuoja, nes daugelyje tikimybių teorijos knygų teoremos prasideda žodžiais: „ Tegul (Ω, Σ, P) yra tikimybės erdvė ...».

Kaip minėta pirmiau, visos pradinių rezultatų erdvės tikimybė turėtų būti lygi vienai. Apskritimo plotas (dvimatis Lebesgue'o matas, kurį žymime λ 2 (A), kur A yra įvykis) pagal mokykloje gerai žinomą formulę yra lygus π * R 2. Tada galime įvesti tikimybę P (A) \u003d λ 2 (A) / (π * R 2), ir ši reikšmė jau bus nuo 0 iki 1 bet kuriam įvykiui A.

Jei darysime prielaidą, kad pataikyti į bet kurį taikinio tašką yra vienodai tikėtina, šaulio ieškoma tikimybė pataikyti į tam tikrą taikinio plotą sumažėja iki šio rinkinio ploto radimo (iš to galime daryti išvadą, kad tikimybė pataikyti į konkretų tašką lygi nuliui, nes taško plotas lygus nuliui).

Pavyzdžiui, norime sužinoti, kokia tikimybė, kad šaulys pateks į dešimtuką (A įvykis - šaulys pateko į reikiamą rinkinį). Mūsų modelyje „dešimt“ žymi apskritimas, kurio centras yra nulis ir spindulys r. Tada tikimybė patekti į šį ratą yra P (A) \u003d λ 2 / (A) π * R 2 \u003d π * r 2 / (π R 2) \u003d (r / R) 2.

Tai yra vienas iš paprasčiausių „geometrinės tikimybės“ problemų tipų - daugumai šių problemų reikia rasti plotą.

Atsitiktiniai kintamieji

Atsitiktinis kintamasis yra funkcija, kuri elementarius rezultatus paverčia realiaisiais skaičiais. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje problemoje galime įvesti atsitiktinę reikšmę ρ (ω) - atstumą nuo smūgio taško iki taikinio centro. Mūsų modelio paprastumas leidžia mums aiškiai apibrėžti elementarių rezultatų erdvę: Ω \u003d (ω \u003d (x, y) skaičiai tokie, kad x 2 + y 2 ≤ R 2). Tada atsitiktinis kintamasis ρ (ω) \u003d ρ (x, y) \u003d x 2 + y 2.

Abstrakcijos iš tikimybinės erdvės priemonės. Paskirstymo funkcija ir tankis

Gerai, kai erdvės struktūra yra gerai žinoma, tačiau iš tikrųjų taip nėra visada. Net jei erdvės struktūra yra žinoma, ji gali būti sudėtinga. Jei norite apibūdinti atsitiktinius kintamuosius, jei jų išraiška nežinoma, yra paskirstymo funkcijos samprata, kuri žymima F ξ (x) \u003d P (ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Paskirstymo funkcija turi keletą savybių:

1. Pirma, jis yra tarp 0 ir 1.
2. Antra, jis nemažėja, kai padidėja jo x argumentas.
3. Trečia, kai -x yra labai didelis, skirstymo funkcija yra artima 0, o kai pats x yra didelis, skirstymo funkcija yra artima 1.

Tikriausiai šios konstrukcijos prasmė per pirmąjį svarstymą nėra labai aiški. Vienas iš naudingos savybės - skirstymo funkcija leidžia ieškoti tikimybės, kad vertė paima vertę iš intervalo. Taigi, P (atsitiktinis kintamasis ξ ima reikšmes iš intervalo) \u003d F ξ (b) -F ξ (a). Remiantis šia lygybe, galime ištirti, kaip ši vertė keičiasi, jei intervalo ribos a ir b yra artimos.

Tegul d \u003d b-a, tada b \u003d a + d. Todėl F ξ (b) -F ξ (a) \u003d F ξ (a + d) - F ξ (a). Mažoms d reikšmėms minėtas skirtumas taip pat yra nedidelis (jei skirstinys yra tęstinis). Tikslinga atsižvelgti į santykį p ξ (a, d) \u003d (F ξ (a + d) - F ξ (a)) / d. Jei pakankamai mažoms d reikšmėms šis santykis mažai skiriasi nuo kažkokios pastovios p ξ (a), nepriklausančios nuo d, tai šiuo metu atsitiktinio kintamojo tankis lygus p ξ (a).

Pastaba Skaitytojai, anksčiau susidūrę su išvestinės sąvoka, gali pastebėti, kad p ξ (a) yra funkcijos F ξ (x) darinys taške a. Bet kokiu atveju išvestinės sąvoką galite ištirti susijusiame straipsnyje „Mathprofi“ svetainėje.

Dabar skirstymo funkcijos reikšmę galima apibrėžti taip: jos išvestinis (tankis p ξ, kurį mes apibrėžėme aukščiau) taške a apibūdina, kaip dažnai atsitiktinis kintamasis pateks į mažą intervalą, kurio centras yra taške a palyginti su kitų taškų rajonais ... Kitaip tariant, kuo sparčiau auga paskirstymo funkcija, tuo didesnė tikimybė, kad tokia reikšmė atsiras atsitiktinio eksperimento metu.

Grįžkime prie pavyzdžio. Mes galime apskaičiuoti atsitiktinio kintamojo, ρ (ω) \u003d ρ (x, y) \u003d x 2 + y 2, paskirstymo funkciją, kuri žymi atstumą nuo centro iki atsitiktinai pataikiusio į tikslą. Pagal apibrėžimą, F ρ (t) \u003d P (ρ (x, y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Mes galime rasti šio atsitiktinio kintamojo tankį p ρ. Iš karto atkreipkite dėmesį, kad už intervalo ribų yra nulis, nes pasiskirstymo funkcija per šį intervalą nekinta. Šio intervalo pabaigoje tankis nenustatomas. Jį galima rasti intervalo viduje, naudojant išvestinių lentelę (pavyzdžiui, iš „Mathprofi“ svetainės) ir elementarias diferenciacijos taisykles. T 2 / R 2 išvestinė lygi 2t / R2. Tai reiškia, kad tankį radome visoje realiųjų skaičių ašyje.

Kita naudinga tankio savybė yra tikimybė, kad funkcija ima reikšmę iš intervalo, apskaičiuojama naudojant tankio integralą per šį intervalą (apie tai, kas yra, galite sužinoti straipsniuose apie savo, netinkamus, neapibrėžtus „Mathprofi“ integralus) Interneto svetainė).

Pirmą kartą skaitant funkcijos f (x) intervalo integralą galima laikyti kreivos trapecijos plotu. Jo kraštai yra Ox ašies fragmentas, intervalas (horizontali koordinačių ašis), vertikalūs segmentai, jungiantys taškus (a, f (a)), (b, f (b)) kreivėje su taškais (a, 0), (b, 0) Ox ašyje. Paskutinė pusė yra funkcijos f grafiko fragmentas nuo (a, f (a)) iki (b, f (b)). Mes galime kalbėti apie integralą per intervalą (-∞; b], kai esant pakankamai didelėms neigiamoms reikšmėms, a integralo vertė per intervalą pasikeis nežymiai maža, palyginti su skaičiaus a pokyčiu. Integralas per intervalus nustatomas panašiai)