Стороны треугольника. Параметры треугольника по заданным параметрам Онлайн треугольник расчет
Построить любую крышу не так просто, как кажется. А если хочется, чтобы она была надежной, прочной и не боялась различных нагрузок, то предварительно, еще на этапе проектирования, нужно произвести немало расчетов. И они будут включать в себя не только количество материалов, используемых для монтажа, но и определение углов наклона, площади скатов и т. д. Как рассчитать угол наклона крыши правильно? Именно от этого значения во многом будут зависеть и остальные параметры этой конструкции.
Проектирование и строительство любой кровли – всегда очень важное и ответственное дело. Особенно, если речь идет о кровле жилого дома или сложной по форме крыше. Но даже обычная односкатная, устанавливаемая на невзрачном сарайчике или гараже, точно так же нуждается в проведении предварительных расчетов.
Если заранее не определить угол наклона кровли, не выяснить, какую оптимальную высоту должен иметь конек, то велик риск построить такую кровлю, которая рухнет после первого же снегопада, или все отделочное покрытие с нее будет сорвано даже умеренным по силе ветром.
Также угол наклона кровли будет значительно влиять на высоту конька, на площадь и габариты скатов. В зависимости от этого можно будет более точно рассчитать количество требуемых для создания стропильной системы и отделки материалов.
Цены на различные виды кровельных коньков
Конек кровельный
Единицы измерения
Вспоминая геометрию, которую каждый изучал в школе, можно с уверенностью заявить, что угол наклона крыши измеряется в градусах. Однако в книгах, посвященных строительству, а также в различных чертежах можно встретить и другой вариант – угол указан в процентах (тут имеется ввиду соотношение сторон).
В целом, углом наклона ската является угол, который образован двумя пересекающимися плоскостями – перекрытием и непосредственно скатом крыши. Он может быть только острым, то есть лежать в диапазоне 0-90 градусов.
На заметку! Очень крутые скаты, угол наклона которых составляет более 50 градусов, встречаются крайне редко в чистом виде. Обычно они используются только при декоративном оформлении крыш, могут присутствовать в мансардах.
Что касается измерения углов кровли в градусах, то тут все просто – эти знания есть у каждого, изучавшего в школе геометрию. Достаточно набросать схему кровли на бумаге и при помощи транспортира определить угол.
Что касается процентов, то тут необходимо знать высоту конька и ширину здания. Первый показатель делится на второй, а полученное значение умножается на 100%. Таким образом, можно вычислить процентное соотношение.
На заметку! При процентном соотношении 1 обычный градус наклона равен 2,22%. То есть скат с углом 45 обычных градусов равен 100%. А 1 процент – это 27 угловых минут.
Таблица значений — градусы, минуты, проценты
Какие факторы влияют на угол наклона?
На угол наклона любой кровли влияет очень большое число факторов, начиная от пожеланий будущего владельца дома и заканчивая регионом, где дом будет располагаться. При расчете важно учитывать все тонкости, даже те, что на первый взгляд кажутся незначительными. В один прекрасный момент они могут сыграть свою роль. Определять подходящий угол наклона крыши следует, зная:
- виды материалов, из которых будет строиться пирог кровли, начиная от стропильной системы и заканчивая внешней отделкой;
- условия климата в данной местности (ветровая нагрузка, преобладающее направление ветров, количество осадков и т. д.);
- форму будущего строения, его высоту, дизайн;
- назначение строения, варианты использования чердачного помещения.
В тех регионах, где отмечена сильная ветровая нагрузка, рекомендуется строить крышу с одним скатом и небольшим углом наклона. Тогда при сильном ветре у кровли больше шансов устоять и не быть сорванной. Если же для региона характерно большое количество осадков (снега или дождя), то скат лучше делать более крутым – это позволит осадкам скатываться/стекать с кровли и не создавать дополнительной нагрузки. Оптимальный уклон односкатной кровли в ветреных регионах варьируется в пределах 9-20 градусов, а там, где выпадает много осадков – до 60 градусов . Угол 45 градусов позволит не учитывать снеговую нагрузку в целом, но давление ветра в этом случае на крышу будет в 5 раз больше, чем на кровлю с наклоном всего 11 градусов.
На заметку! Чем больше параметры уклона крыши, тем большее количество материалов потребуется для ее создания. Стоимость увеличивается минимум на 20%.
Углы скатов и кровельные материалы
Не только климатические условия будут оказывать значительное влияние на форму и угол скатов. Немаловажную роль играют и используемые для строительства материалы, в частности – покрытие крыш.
Таблица. Оптимальные углы наклона скатов для кровель из различных материалов.
На заметку! Чем меньше показатель наклона кровли, тем меньший шаг используется при создании обрешетки.
Цены на металлочерепицу
Металлочерепица
Высота конька тоже зависит от угла ската
При расчетах любой кровли за ориентир всегда берется прямоугольный треугольник, где катеты – это высота ската в верхней точке, то есть в коньке или же переходе нижней части всей системы стропил в верхнюю (в случае с мансардными кровлями), а также проекция длины конкретного ската на горизонталь, которая представлена перекрытиями. Здесь есть только одна постоянная величина – это длина крыши между двумя стенами, то есть длина пролета. Высота коньковой части будет меняться в зависимости от угла наклона.
Спроектировать кровлю помогут знания формул из тригонометрии: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LхtgA, S = H/sinA, где А – это угол ската, Н – высота кровли к области конька, L – ½ всей длины пролета кровли (при двухскатной крыше) либо вся длина (в случае односкатной кровли), S – длина самого ската. Например, если известно точное значение высоты коньковой части, то определяется угол наклона по первой формуле. Найти угол можно будет по таблице тангенсов. Если же в основе расчетов лежит угол кровли, то найти параметр высоты конька можно по третьей формуле. Длину стропил, имея значение угла наклона и параметров катетов, можно посчитать по четвертой формуле.
Первые - это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».
Египетский треугольник
Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.
Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).
Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.
При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.
Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.
Признаки равенства фигур
- Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, - бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
- При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.
По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.
Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.
Свойства треугольника с прямым углом
Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.
Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.
В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о, 45 о и 60 о.
- При угле, который равен 30 о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
- Если угол 45 о, значит, второй острый угол также 45 о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
- Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о.
Площадь легко узнать по одной из трех формул:
- через высоту и сторону, на которую она опускается;
- по формуле Герона;
- по сторонам и углу между ними.
Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.
Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику
Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:
В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.
Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).
Быстрая навигация по статье
Длина сторон прямоугольного треугольника
Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²
- Находим квадрат длины катета a;
- Находим квадрат катета b;
- Складываем их между собой;
- Из полученного результата извлекаем корень второй степени.
Пример: a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b² =3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5.
Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..
Если известен периметр
В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.
Пример: P=18, a=7, b=6, c=?
1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:
2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:
c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.
Если известен угол
Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)
Если известна площадь
В этом случае одной формулой не обойтись.
1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:
sin γ= 2S/(a*b)
2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) И снова воспользуемся теоремой синусов:
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.
Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен 90º. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие – катетами.
Чтобы найти угол в прямоугольном треугольнике, используются некоторые свойства прямоугольных треугольников, а именно: то, что сумма острых углов равна 90º, а также то, что напротив катета, длина которого в два раза меньше гипотенузы, лежит угол, равный 30º.
Быстрая навигация по статье
Равнобедренный треугольник
Одно из свойств равнобедренного треугольника — два его угла равны. Для вычисление значений углов прямоугольного равнобедренного треугольника нужно знать, что:
- Прямой угол равен 90º.
- Значения острых углов определяются по формуле: (180º-90º)/2=45º, т.е. углы α и β равны 45º.
Если известна величина одного из острых углов, второй можно найти по формуле: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Чаще всего это соотношение используется, если один из углов равен 60º или 30º.
Ключевые понятия
Сумма внутренних углов треугольника равна 180º. Так как один угол прямой, два оставшихся будут острыми. Для их нахождения необходимо знать, что:
Другие способы
Величины острых углов прямоугольного треугольника можно вычислить, зная значение медианы – линии, проведенной из вершины к противоположной стороне треугольника, и высоты – прямой, представляющей собой перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу. Пусть s – медиана, проведенная из прямого угла к середине гипотенузы, h — высота. В таком случае получается, что:
- sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
- cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
- sin α=h/b; sin β =h/a.
Две стороны
Если в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы и одного из катетов, либо две стороны, для нахождения значений острых углов используются тригонометрические тождества:
- α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
- α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
- α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).
Треугольник представляет собой геометрическое число, состоящее из трех сегментов, которые соединяют три точки, которые не лежат на одной линии. Точки, которые образуют треугольник, называются его точками, а сегменты бок о бок.
В зависимости от типа треугольника (прямоугольного, монохромного и т. Д.) Вы можете рассчитать сторону треугольника по-разному, в зависимости от исходных данных и условий проблемы.
Быстрая навигация для статьи
Чтобы вычислить стороны прямоугольного треугольника, используется теорема Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов ноги.
Если мы отмечаем ноги буквами «a» и «b», а гипотенуза — «c», то страницы могут быть найдены со следующими формулами:
Если известны острые углы прямоугольного треугольника (a и b), его стороны могут быть найдены со следующими формулами:
Обрезанный треугольник
Треугольник называется равносторонним треугольником, в котором обе стороны одинаковы.
Как найти гипотенузу в двух ногах
Если буква «a» идентична одной и той же странице, «b» — основание, «b» — угол, противоположный основанию, «a» — смежный угол для вычисления страниц может использовать следующие формулы:
Два угла и боковая сторона
Если известны одна страница (c) и два угла (a и b) любого треугольника, формула синуса используется для вычисления оставшихся страниц:
Вы должны найти третье значение y = 180 — (a + b), потому что
сумма всех углов треугольника равна 180 °;
Две стороны и угол
Если известны две стороны треугольника (a и b) и угол между ними (y), для вычисления третьей стороны может быть использована теорема косинуса.
Как определить периметр прямоугольного треугольника
Треугольный треугольник представляет собой треугольник, один из которых равен 90 градусам, а два других — острые. расчет периметр такой треугольник в зависимости от количества известных сведений об этом.
Вам это понадобится
- В зависимости от случая, навыки 2 трех сторон треугольника, а также один из его острых углов.
инструкции
первый Метод 1. Если известны все три страницы треугольник , Затем, независимо, перпендикулярно или не треугольно, периметр рассчитывается как: P = A + B + C, где возможно, c — гипотенуза; a и b — ноги.
второй Способ 2.
Если в прямоугольнике есть только две стороны, то, используя теорему Пифагора, треугольник может быть рассчитана по формуле: P = v (a2 + b2) + a + b или P = v (c2 — b2) + b + c.
третий Метод 3. Пусть гипотенуза c и острый угол? Учитывая прямоугольный треугольник, можно будет обнаружить периметр таким образом: P = (1 + sin?
четвёртая Метод 4. Говорят, что в правом треугольнике длина одной ноги равна а и, напротив, имеет острый угол. Затем вычислить периметр это треугольник будет выполняться по формуле: P = a * (1 / tg?
1 / сын? + 1)
пятые Способ 5.
Онлайн-расчет треугольника
Позвольте нашей ноге привести и быть включенным в нее, тогда диапазон будет рассчитываться как: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)
Похожие видео
Теорема Пифагора является основой любой математики. Определяет связь между сторонами истинного треугольника. Теперь указано 367 доказательств этой теоремы.
инструкции
первый Классическая школьная формулировка теоремы Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов ног.
Чтобы найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике двух Catets, вы должны обратиться, чтобы построить квадрат длины ног, собрать их и взять квадратный корень из суммы. В оригинальной формулировке его высказывания рынок основан на гипотенузе, равном сумме квадратов из 2 квадратов производства Catete. Однако современная алгебраическая формулировка не требует введения представления области.
второй Например, прямоугольный треугольник, ноги которого составляют 7 см и 8 см.
Тогда, согласно теореме Пифагора, квадратная гипотенуза равна R + S = 49 + 64 = 113 см. Гипотенуза равна квадратному корню из числа 113.
Углы прямоугольного треугольника
Результатом стал необоснованный номер.
третий Если треугольники — ноги 3 и 4, то гипотенуза = 25 = 5. Когда вы извлекаете квадратный корень, вы получаете натуральное число. Числа 3, 4, 5 образуют пигагорейский триплет, так как они удовлетворяют соотношению x? + Y? = Z, что естественно.
Другими примерами пифагорейского триплета являются: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
четвёртая В таком случае, если ноги идентичны друг другу, теорема Пифагора превращается в более примитивное уравнение. Например, пусть такая рука равна числу А и гипотенуза определена для С, а затем с? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. В этом случае вам не нужен A.
пятые Теорема Пифагора — частный случай, который больше общей теоремы косинуса, который устанавливает связь между тремя сторонами треугольника для любого угла между двумя из них.
Совет 2: Как определить гипотенузу для ног и углов
Гипотенуза называется стороной в прямоугольном треугольнике, которая противоположна углу 90 градусов.
инструкции
первый В случае известных катетеров, а также острого угла прямоугольного треугольника может гипотенузы размер, равный отношению ноги к косинус / синус этого угла, если угол находился напротив / е включают в себя: Н = С1 (или С2) / грех, Н = С1 (или С2 ?) / cos ?. Пример: Пусть ABC задан неправильный треугольник с гипотенузой AB и под прямым углом C.
Пусть B равно 60 градусам и A 30 градусов. Длина ножки BC 8 см. Должна быть обнаружена длина гипотенузы AB. Для этого вы можете использовать один из вышеуказанных методов: AB = BC / cos60 = 8 см. AB = BC / sin30 = 8 см.
Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольника треугольник . Он расположен под прямым углом. Метод поиска гипотенузы прямоугольника треугольник в зависимости от исходных данных.
инструкции
первый Если ваши ноги перпендикулярны треугольник , то длина гипотенузы прямоугольника треугольник может быть обнаружено пифагорейским аналогом — квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин ног: c2 = a2 + b2, где a и b — длина ног правой треугольник .
второй Если известно, и одна из ног под острым углом, формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от наличия или отсутствий под определенным углом по отношению к известному катету — смежно (катет расположена вблизи), или наоборот (расположено противоположный случай nego.V указанного угол равен доле гипотенуза ноги в косинусном угол: a = a / cos; E, с другой стороны, гипотенуза такая же, как отношение синусоидальных углов: da = a / sin.
Похожие видео
Полезные советы
Угловой треугольник, стороны которого связаны как 3: 4: 5, называемые египетской дельтой, из-за того, что эти фигуры широко используются архитекторами древнего Египта.
Это также самый простой пример треугольников Джерона, в котором страницы и область представлены целыми числами.
Треугольник называется прямоугольником, угол которого равен 90 °. Сторона, противоположная правому углу, называется гипотенузой, другая — ногами.
Если вы хотите найти, как прямоугольного треугольника, образованного некоторыми свойствами правильных треугольников, а именно тот факт, что сумма острых углов 90 °, который используется, и тот факт, что длина противоположной ноги составляет половину гипотенузы составляет 30 °.
Быстрая навигация для статьи
Обрезанный треугольник
Одним из свойств равного треугольника является то, что его два угла одинаковы.
Чтобы вычислить угол прямоугольного равного треугольника, вам нужно знать, что:
- Это не хуже 90 °.
- Значения острых углов определяются по формуле: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, т.е.
Углы α и β равны 45 °.
Если известное значение одного из острых углов известно, другое можно найти по формуле: β = 180º-90º-α или α = 180º-90º-β.
Это соотношение наиболее часто используется, если один из углов составляет 60 ° или 30 °.
Ключевые понятия
Сумма внутренних углов треугольника равна 180 °.
Потому что это один уровень, два остаются острыми.
Вычислить треугольник онлайн
Если вы хотите их найти, вам нужно знать, что:
Другие способы
Значения острых углов прямоугольного треугольника могут быть вычислены из среднего значения — с линией от точки на противоположной стороне треугольника, а высота — линия представляет собой перпендикуляр, опущенной из гипотенузы под прямым углом.
Пусть медиана вытягивается от правого угла до середины гипотенузы, а h — высота. В этом случае оказывается, что:
- sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
- cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
- sin α = h / b; sin β = h / a.
Две страницы
Если длины гипотенузы и одна из ног известны в прямоугольном треугольнике или с двух сторон, то для определения значений острых углов используются тригонометрические тождества:
- α = arcsin (a / c), β = arcsin (b / c).
- α = arcos (b / c), β = arcos (a / c).
- α = arctg (a / b), β = arctg (b / a).
Длина прямоугольного треугольника
Площадь и площадь треугольника
периметр
Окружность любого треугольника равна сумме длин трех сторон. Общая формула для поиска треугольного треугольника:
где P — окружность треугольника, a, b и c его стороны.
Периметр равного треугольника можно найти путем последовательного объединения длин его сторон или умножения боковой длины на 2 и добавления к продукту длины основания.
Общая формула для нахождения равновесного треугольника будет выглядеть так:
где P — периметр равного треугольника, но либо b, b — основание.
Периметр равностороннего треугольника можно найти путем последовательного объединения длины его сторон или путем умножения длины любой страницы на 3.
Общая формула для нахождения обода равносторонних треугольников будет выглядеть так:
где P — периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.
область
Если вы хотите измерить область треугольника, вы можете сравнить ее с параллелограммом. Рассмотрим треугольник ABC:
Если мы возьмем тот же треугольник и зафиксируем его так, чтобы мы получили параллелограмм, мы получим параллелограмм той же высоты и основы, что и этот треугольник:
В этом случае общая сторона треугольников складывается вместе по диагонали формованного параллелограмма.
Из свойств параллелограмма. Известно, что диагонали параллелограмма всегда делятся на два равных треугольника, то поверхность каждого треугольника равна половине диапазона параллелограмма.
Так как площадь параллелограмма совпадает с продуктом его базовой высоты, площадь треугольника будет равна половине этого продукта. Таким образом, для ΔABC область будет одинаковой
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:
Два одинаковых прямоугольных треугольника можно сгибать в прямоугольник, если он прислоняется к ним, что каждая другая гипотенуза.
Так как поверхность прямоугольника совпадает с поверхностью соседних сторон, площадь данного треугольника одинакова:
Отсюда можно заключить, что поверхность любого прямоугольного треугольника равна произведению ног, деленная на 2.
Из этих примеров можно сделать вывод, что поверхность каждого треугольника такая же, как произведение длины, а высота снижается до подложки, разделенной на 2.
Общая формула для поиска области треугольника будет выглядеть так:
где S — область треугольника, но его основание, но высота падает на дно a.
