Lihtne sündmus tõenäosusteoorias. Tõenäosusteooria. Põhiterminid ja mõisted. Reegel iseseisvate sündmuste tõenäosuste korrutamiseks
Õpetus seadustest, mis järgivad nn. juhuslikud nähtused. Vene keeles sisalduvate võõrsõnade sõnastik. Tšudinovi A.N., 1910 ... Vene keele võõrsõnade sõnastik
tõenäosusteooria - - [L.G. Sumenko. Inglise-vene infotehnoloogia sõnaraamat. Moskva: GP TsNIIS, 2003.] Infotehnoloogia teemad üldiselt EN tõenäosusteooria, tõenäosuste tõenäosuse arvutamise teooria ... Tehnilise tõlkija juhend
Tõenäosusteooria - on üks osa matemaatikast, mis uurib erinevate sündmuste tõenäosuste (vt tõenäosus ja statistika) suhet. Olgem loetletud selle teadusega seotud olulisemad teoreemid. Mitme vastuolulise sündmuse esinemise tõenäosus on võrdne ... entsüklopeediline sõnastik F. Brockhaus ja I.A. Efron
VÕIMALUSTE TEOORIA - matemaatiline. teadus, mis võimaldab mõne juhusliku sündmuse (vt) tõenäosustel leida juhuslike sündmuste tõenäosused seotud l. viisil esimesega. Kaasaegne televiisor aksiomaatika põhjal (vt. Meetod aksiomaatiline) A. N. Kolmogorov. Peal… … Vene sotsioloogiline entsüklopeedia
Tõenäosusteooria - matemaatika haru, kus vastavalt mõne juhusliku sündmuse etteantud tõenäosusele leitakse muude, kuidagi esimesega seotud sündmuste tõenäosus. Tõenäosusteooria uurib ka juhuslikke muutujaid ja juhuslikke protsesse. Üks peamisi ... ... Mõisted kaasaegne loodusteadus... Põhiterminite sõnastik
tõenäosusteooria - tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. tõenäosusteooria vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. tõenäosusteooria, f pranc. théorie des probabilités, f ... Fizikos terminų žodynas
Tõenäosusteooria - ... Vikipeedia
Tõenäosusteooria - matemaatiline distsipliin, mis uurib juhuslike nähtuste seaduspärasusi ... Kaasaegse loodusteaduse algused
VÕIMALUSTE TEOORIA - (tõenäosusteooria) vt tõenäosus ... Põhjalik seletav sotsioloogiline sõnaraamat
Tõenäosusteooria ja selle rakendused - ("Tõenäosusteooria ja selle rakendused",) teadusajakiri NSV Liidu Teaduste Akadeemia matemaatika osakonnad. Avaldab originaalartikleid ja lühisõnumid tõenäosusteooria kohta, üldised küsimused matemaatiline statistika ja nende rakendused loodusteadustes ning ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia
Raamatud
- Tõenäosusteooria. , Wentzel E.S .. Raamat on õpik, mis on mõeldud matemaatikat tundvatele inimestele tavalise ülikoolikursuse raames ja kes on huvitatud tõenäosusteooria tehnilistest rakendustest ... Osta 2056 UAH eest (ainult Ukraina)
- Tõenäosusteooria. , Wentzel E.S .. See raamat on mõeldud matemaatikat tundvatele isikutele tavalise ülikoolikursuse raames ja huvitatud tõenäosusteooria tehnilistest rakendustest, ...
Matemaatika programmeerijatele: tõenäosusteooria
Ivan Kamyshan
Mõned programmeerijad mõtlevad pärast ühiste kommertsrakenduste väljatöötamise valdkonnas masinõppe valdamist ja andmeanalüütikuks saamist. Nad ei saa sageli aru, miks teatud meetodid töötavad, ja enamik masinõppemeetodeid tundub võluvana. Tegelikult põhineb masinõpe matemaatilisel statistikal, mis omakorda põhineb tõenäosusteoorial. Seetõttu pöörame selles artiklis tähelepanu tõenäosusteooria põhimõistetele: puudutame tõenäosuse määratlusi, jaotust ja analüüsime mõnda lihtsat näidet.
Võib-olla teate, et tõenäosusteooria on tavapäraselt jagatud kaheks osaks. Diskreetne tõenäosusteooria uurib nähtusi, mida saab kirjeldada võimaliku käitumise (täringuviske, müntide) lõpliku (või loendatava) arvuga jaotusega. Pidev tõenäosusteooria uurib nähtusi, mis on jaotatud mõnele tihedale komplektile, näiteks segmendile või ringile.
Tõenäosusteooria teemat saate kaaluda lihtsa näitega. Kujutage end ette laskuriarendajana. Laskemehaanika on selle žanri mängude arendamise lahutamatu osa. On selge, et laskur, milles kõik relvad lasevad absoluutselt täpselt, pakuvad mängijatele vähest huvi. Seetõttu on hädavajalik lisada relvale hajumine. Kuid relva löögipunktide lihtne randomiseerimine ei võimalda peenhäälestamist, seetõttu on mängu tasakaalu kohandamine keeruline. Samal ajal saate juhuslike muutujate ja nende jaotuste abil analüüsida, kuidas relv antud leviga töötab, ja aidata vajalikke kohandusi teha.
Elementaarsete tulemuste ruum
Oletame, et mõnest juhuslikust eksperimendist, mida võime mitu korda korrata (näiteks mündi viskamine), saame välja vormistada teatud teabe (pead või sabad). Seda teavet nimetatakse elementaarseks tulemuseks, samas kui on soovitatav kaaluda kõigi elementaarsete tulemuste kogumit, mida sageli tähistatakse Ω (Omega) tähega.
Selle ruumi struktuur sõltub täielikult katse olemusest. Näiteks kui kaaluda laskmist piisavalt suure ümmarguse sihtmärgi suunas, on elementaarsete väljundite ruum ring, mugavuse huvides asetades keskpunkti nulli ja tulemus on selle ringi punkt.
Lisaks arvestatakse paljude elementaarsete tulemustega - sündmustega (näiteks esikümnesse jõudmine on väikese raadiusega kontsentriline ring sihtmärgiga). Diskreetsel juhul on kõik üsna lihtne: kõik sündmused, sealhulgas elementaarsed väljundid või välistavad, võime saada piiratud aja jooksul. Pideval juhul on kõik palju keerulisem: vajame kaalumiseks mõnda üsna head komplektikomplekti, mida analoogia põhjal nimetatakse algebraks algarvudega, mida saab liita, lahutada, jagada ja korrutada. Algebras olevaid komplekte saab ristida ja ühendada ning operatsiooni tulemus on algebras. See on kõigi nende mõistete taga olev matemaatika jaoks väga oluline omadus. Minimaalne perekond koosneb ainult kahest komplektist - tühi komplekt ja elementaarsete tulemuste ruum.
Mõõde ja tõenäosus
Tõenäosus on viis teha järeldusi väga keeruliste objektide käitumise kohta, süvenemata nende toimimisse. Seega määratletakse tõenäosus sündmuse (sellest väga heast komplektidest) funktsioonina, mis tagastab arvu - mõned tunnused sellele, kui sageli selline sündmus võib tegelikkuses aset leida. Täpsuse huvides leppisid matemaatikud kokku, et see arv peaks jääma nulli ja ühe vahele. Lisaks sellele seatakse sellele funktsioonile nõuded: võimatu sündmuse tõenäosus on , kogu tulemuste kogumi tõenäosus on üks ja kahe sõltumatu sündmuse (mitte ristuvate kogumite) ühendamise tõenäosus võrdub summa tõenäosused. Teine tõenäosuse nimi on tõenäosuse mõõt. Kõige sagedamini kasutatakse Lebesgue'i mõõdet, üldistades pikkuse, pindala, mahu mõisted mis tahes dimensiooniks (n -mõõtmeline maht) ja seega on see rakendatav laia hulga komplektide jaoks.
Koos nimetatakse elementaartulemuste hulga kogumit, komplektide perekonda ja tõenäosusmõõtu tõenäosuslik ruum... Mõelgem, kuidas saaksime sihtmärgi laskmise korral näite jaoks tõenäosuslikku ruumi ehitada.
Kaaluge suure ümmarguse sihtmärgi laskmist raadiusega R, millest mööda ei saa. Panime elementaarsündmuste komplekti ringi, mille keskpunktiks on raadiusega R koordinaadid. Kuna sündmuse tõenäosuse kirjeldamiseks hakkame kasutama ala (Lebesgue'i mõõt kahemõõtmeliste komplektide jaoks), siis kasutame mõõdetavate (mille jaoks see mõõdik on olemas) komplektide perekonda.
Märkus Tegelikult on see tehniline küsimus ja lihtsate ülesannete korral ei mängi mõõt ja komplektide perekonna määramise protsess erilist rolli. Kuid on vaja mõista, et need kaks objekti on olemas, sest paljudes tõenäosusteooria raamatutes algavad teoreemid sõnadega: “ Olgu tõenäosusruum (Ω, Σ, P) ...».
Nagu eespool mainitud, peaks algtulemuste kogu ruumi tõenäosus olema võrdne ühega. Ringi pindala (kahemõõtmeline Lebesgue'i mõõde, mida tähistame λ 2 (A), kus A on sündmus) on koolist tuntud valemi järgi võrdne π * R 2-ga. Seejärel saame sisse viia tõenäosuse P (A) \u003d λ 2 (A) / (π * R 2) ja see väärtus jääb juba iga sündmuse A vahemikku 0 kuni 1.
Kui eeldame, et sihtmärgi mis tahes punkti tabamine on võrdselt tõenäoline, vähendatakse laskuri poolt sihtmärgi teatud piirkonda tabamise tõenäosuse otsimist selle komplekti ala leidmiseks (sellest võime järeldada, et kindla punkti tabamise tõenäosus on , kuna punkti pindala on null).
Näiteks tahame teada, kui suur on tõenäosus, et laskur pääseb esikümnesse (sündmus A - laskur sattus nõutavasse komplekti). Meie mudelis tähistab "kümmet" ring, mille keskpunkt on null ja raadius r. Siis on tõenäosus sellesse ringi sattuda P (A) \u003d λ 2 / (A) π * R 2 \u003d π * r 2 / (π R 2) \u003d (r / R) 2.
See on üks lihtsamaid geomeetrilise tõenäosuse probleemide tüüpe - enamik neist probleemidest nõuab ala leidmist.
Juhuslikud muutujad
Juhuslik muutuja on funktsioon, mis teisendab algtulemused reaalarvudeks. Näiteks võime käsitletavas probleemis sisse viia juhusliku väärtuse ρ (ω) - kauguse löögipunktist sihtmärgi keskpunktini. Meie mudeli lihtsus võimaldab meil selgesõnaliselt määratleda algtulemuste ruumi: Ω \u003d (ω \u003d (x, y) arvud nii, et x 2 + y 2 ≤ R 2). Siis juhuslik muutuja ρ (ω) \u003d ρ (x, y) \u003d x 2 + y 2.
Tõenäosusruumist abstraheerimise vahendid. Jaotuse funktsioon ja tihedus
On hea, kui ruumi struktuur on hästi teada, kuid tegelikult pole see alati nii. Isegi kui ruumi struktuur on teada, võib see olla keeruline. Juhuslike muutujate kirjeldamiseks, kui nende avaldis pole teada, on olemas jaotusfunktsiooni mõiste, mida tähistatakse F ξ (x) \u003d P (ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Jaotusfunktsioonil on mitu omadust:
- Esiteks on see vahemikus 0 kuni 1.
- Teiseks, see ei vähene, kui selle x argument suureneb.
- Kolmandaks, kui -x on väga suur, on jaotusfunktsioon 0 lähedal ja kui x ise on suur, on jaotusfunktsioon 1 lähedal.
Tõenäoliselt pole selle konstruktsiooni tähendus esimesel lugemisel eriti selge. Üks neist kasulikud omadused - jaotusfunktsioon võimaldab teil otsida tõenäosust, et väärtus võtab väärtuse intervallist. Niisiis, P (juhuslik muutuja ξ võtab väärtused intervallist) \u003d F ξ (b) -F ξ (a). Selle võrdsuse põhjal saame uurida, kuidas see väärtus muutub, kui intervalli piirid a ja b on lähedased.
Olgu d \u003d b-a, siis b \u003d a + d. Seetõttu on F ξ (b) -F ξ (a) \u003d F ξ (a + d) - F ξ (a). D väikeste väärtuste korral on ka ülaltoodud erinevus väike (kui jaotus on pidev). Mõistlik on kaaluda suhet p ξ (a, d) \u003d (F ξ (a + d) - F ξ (a)) / d. Kui piisavalt väikeste d-väärtuste korral erineb see suhe d-st sõltumatult mõnest konstantsest p ξ (a), siis sel hetkel on juhusliku suuruse tihedus võrdne p ξ (a).
Märkus. Tuletise mõistega varem kokku puutunud lugejad võivad märgata, et p ξ (a) on funktsiooni F ξ (x) tuletis punktis a. Igal juhul saate tuletise kontseptsiooni uurida Mathprofi veebisaidi vastavas artiklis.
Nüüd saab jaotusfunktsiooni tähendust määratleda järgmiselt: selle tuletis (tihedus p ξ, mille me eespool määratlesime) punktis a kirjeldab, kui sageli juhuslik muutuja langeb väikesesse intervalli, mis on keskendatud punktis a (punkti a naabruses) võrreldes teiste punktide naabruskondadega ... Teisisõnu, mida kiiremini jaotusfunktsioon kasvab, seda tõenäolisemalt ilmub selline väärtus juhuslikus katses.
Naaseme näite juurde. Saame arvutada juhusliku muutuja jaotuse funktsiooni ρ (ω) \u003d ρ (x, y) \u003d x 2 + y 2, mis tähistab kaugust keskpunktist kuni sihtmärki tabava juhusliku punktini. Definitsiooni järgi on F ρ (t) \u003d P (ρ (x, y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Leiame selle juhusliku muutuja tiheduse p ρ. Pange kohe tähele, et väljaspool intervalli on , sest jaotusfunktsioon selle intervalli jooksul ei muutu. Selle intervalli lõpus tihedust ei määrata. Selle võib leida intervallist, kasutades tuletiste tabelit (näiteks Mathprofi veebisaidilt) ja diferentseerimise põhireegleid. T 2 / R2 tuletis on võrdne 2t / R2. See tähendab, et leidsime tiheduse kogu reaalarvude teljel. Teine kasulik tiheduse omadus on tõenäosus, et funktsioon võtab intervallist väärtuse, arvutatakse selle intervalli tiheduse integraali abil (mis see on, saate Mathprofi artiklitest omaenda, sobimatu, määramata integraali kohta lugeda veebisait). Esimesel lugemisel võib funktsiooni f (x) intervalli integraali mõelda kui kõvera trapetsi pindala. Selle küljed on Ox-telje fragment, intervall (horisontaalne koordinaattelg), vertikaalsed segmendid, mis ühendavad punkte (a, f (a)), (b, f (b)) kõveral punktidega (a, 0), (b, 0) Oxi teljel. Viimane külg on funktsiooni f graafiku fragment alates (a, f (a)) kuni (b, f (b)). Integraalist saab rääkida intervalli ulatuses (-∞; b], kui piisavalt suurte negatiivsete väärtuste korral muutub a integraali väärtus intervalli jooksul numbri a muutusega võrreldes tühiselt väikeseks. Integraal intervallide vahel määratakse sarnaselt)
